（基础数学专业论文）八元数及clifford代数在数字图像处理中的应用.pdf

_ | | | l f l | l i 川| | l i f f i l l | y 17 6 7 9 2 8 3 6 3 9 4 0 z i j l t e c t i o i l ，w l l i c hw e r ep r o p o s e db ys a n g w i n ea n de l l 5 ，6 】t h ei m p r 帆d 出o r i t h i n s 啪缸t e r ， m o r e o v e r ，t h e y 甜es l l i t a b l ef o r 盯b i t r a 眄n - d i m e i l s i o n a li m a 印p r o c e s s i i 培t h e 甜9 0 r i t h 瑚 p r o p o s e di nt 1 1 i sp 印e rc a no b t a l i n9 0 0 de x p e r i m e i l t 甜r e s u l t s k e yw o r d s ：h i g h - d i m e n s i o n mi m a g ep r o c e s s i n g ；e d g ed e t e c t i o n ；i m a g es e g m e n t 孙 t i o n ；o c t o n i o na 丑g e b r a ；c l i 舫r d 龃g e b r a s ；c a u d l yi i l t e g r 以f 、o r m u l a 第一章绪论 1 1 课题研究的背景、研究现状和意义 图像信息是人类认识世界的重要知识来源，在许多场合下，没有其他形式比图像 所传送的信息更为丰富和真切数字图像处理( d i 西t a li m a 嚣p r o c e s s i n g ) 是一门关于利 用计算机对图像进行去除噪声、增强、复原、分割、压缩、提取特征等处理的学科该 学科在卫星遥感、医学工程、检测系统、文字识别等领域有着广泛的应用 ，2 一 图像分割是数字图像处理中的关键技术之一，图像分割是将图像中有意义的特征 部分提取出来，其有意义的特征有图像中的边缘、区域等，这是进一步进行图像识别、 分析和理解的基础虽然目前已研究出不少区域分割的方法( 如区域生长法和基于形 态学分水岭的分割算法等) ，但还没有一种普遍适用于各种图像的有效方法因此，对图 像分割的研究是目前图像处理中研究的热点之一现存的彩色图像分割算法中，大部 分是基于r g b ( r 硝g r 咖b l u e ，红绿蓝) 彩色空间开发的从而，从图像分量的个 数上讲，该类方法一般只适合于三维的彩色空间，如r g b 空间或h s i ( h u e s a t u r a t i o n i n t e n s i 饥色调饱和度强度) 空间然而，当我们对多分量图像进行处理时，通常要 求综合考虑多个图像分量例如，多光谱遥感图像是最具代表性的一类多分量图像，其 波段个数有时可超过两百个因此，开发出新的适合多分量图像的分割算法，是本文尝 试和探索的主要内容之一 边缘检测在彩色图像处理中占据着基础而重要的地位，它是彩色图像分割和模式 识别等高层次图像处理任务的基础彩色图像的边缘一般定义为颜色信息或者亮度信 息的不连续跳变经典的彩色图像边缘检测方法中有相当一部分是灰度图像边缘检测 方法的推广，即用灰度图像边缘检测方法分别检测r 、g 、b 三幅分量图像的边缘，再 合成这三幅边缘图像作为原图像的边缘然而，简单地将一幅彩色图像视作由三幅原 色图像合成是不合适的，因为这样将丢失大量的由色度变化引起的边缘信息 1 】如何 更好地综合图像的亮度信息和色度信息，是本文尝试和探索的另一个内容 由于彩色图像具有r 、g 、b 三个分量，因此，在彩色图像处理中，高维代数上的分 析理论派上了用场1 9 9 2 年起，e u 和s a n g w i n e 等人相继提出的四元数彩色图像表示 及其应用【4 - 1 0 】在彩色图像处理领域中已引起了人们广泛的兴趣国内也有学者对四 元数在彩色图像处理中的应用作了相关研究【1 1 ，1 2 】这一切使得古老的四元数分析理 论在数字图像处理中扮演了重要的角色然而，对于维数超过3 的多分量图像( 如多 光谱图像) ，作为工具，四元数也无能为力显然，此时必须借助于更高维代数上的分析 理论 我们知道，赋范可除代数只有四种【1 3 1 4 1 ，它们是实数r 、复数c 、四元数及八 元数o 也即，若在舻中规定乘法 ”，使得对比，耖r n ，有z 可r n 且i z 秒i = 圳乩这 里= ( ? z i ) 考，则n = 1 ，2 ，4 ，8 长期以来，数学家试图将四元数分析理论推广到高 维c l i f b d r d 分析理论可视作四元数分析理论的一种高维推广，它的建立始于上世纪7 0 1 年代，并在r d e l a n g h e ，f b r 葩奴，f s o m m e n 等人的努力下得到长足发展【1 5 】然而四 元数分析理论最直接的推广一八元数分析理论仅在近1 0 余年建立起来【1 3 ，1 9 - 2 5 】 基于以上事实，本文在四元数彩色图像处理的基础上，探讨了八元数分析及c l i f f o r d 分析在图像处理中的若干应用，并开发出一套基于非交换代数的高维图像边缘检 测和区域分割算法作为应用示例，将新算法运用于彩色图像处理中利用该类算法适 合多分量处理的特点，在边缘检测和图像分割中同时考虑r g b 和h s i 彩色空间的所 有分量，从而可更好地综合亮度信息和色度信息另方面，在处理多个图像分量的同 时，如何有效降低算法的复杂度是我们必须慎重考虑的问题因此，本文对s a 皿g w i n e 和e u 等人提出的四元数边缘检测算法进行改进，降低了算法复杂度，同时，该改进算 法可适用于任意维数的多分量图像处理 由于多分量图像特别是多光谱遥感图像在现实中有广泛应用【2 6 】，本文开发的高 维图像边缘检测和图像分割算法应该有较好的应用前景，文中构造的八元数滤波器和 c h 勖r d 滤波器可能成为多分量图像处理领域的有力工具 1 2 主要研究成果 本文主要做了如下四个方面的工作： ( 1 ) 八元数乘法具有两条重要的性质：每一个单位纯八元数对应于r 7 中的一个旋 转( r 6 的情形平凡地被包括其中) 1 3 2 5 】；纯八元数的乘法可以简单地由r 7 向量的点乘 与叉乘表示【1 6 】基于以上两条性质，本文将四元数彩色边缘检测和区域分割的思想推 广到更高维的情形，开发出基于八元数的高维图像边缘检测和区域分割算法，并将之 应用于彩色图像处理中，联合考虑r g b 和h s i 空间的所有分量，构造出相应的颜色敏 感( c o l o r s e i l 8 i t i v e 钆e r ) 与非颜色敏感( n o n c o l o r s e n s i t i v e 矗l t e r ) 滤波器取得令人满意 的实验效果 ( 2 ) 利用c l i 珏b r d 代数乘法的矢量积表示性质【1 5 】，进一步将四元数彩色边缘检测 和区域分割的思想推广到一般的n 维情形中，构造出相应的n 维c u 舫r d 滤波器，从而 完全突破了边缘检测与图像分割滤波器在维数上的限制作为应用示例，将c l i 肋r d 滤 波器用于彩色图像处理中，较好地检测出颜色敏感与非颜色敏感边缘，也准确的找出 具有特定颜色信息的区域，效果良好 ( 3 ) 对s a n g w i n e 和e u 等人在文献【5 ，6 】中提出的基于四元数乘法矢量积表示性 质的边缘检测算法进行简化首先给出必要的数学证明，在理论上证明了在该方法中 不必引进矢量的叉积运算在此基础上构造出仅基于矢量点积的边缘检测与图像分割 滤波器，由于在卷积过程中避免了矢量叉积，该类滤波器较为简单，算法运行时间也较 大缩短了而且，改进后的算法可适用于任何维数的多分量图像边缘检测 ( 4 ) c a u d l y 积分公式是复分析、四元数分析、八元数分析及c l i 舫r d 分析理论的 基石【1 3 ，”，2 7 ，2 8 l ，没有c a u d l y 积分公式，复分析及超复分析就不可能成为一门独立的 学科上世纪3 0 年代起，r f u t e r 在四元数分析中建立了c a u c h y 型积分公式【2 7 】，f b r a u c x ，r d e l a j l g h e ，f s o m m e n 在c l i 舫r d 分析中也建立了类似的公式与定理【蚓，从 2 而使四元数分析与c l i 肋r d 分析取得巨大的进展八元数分析理论及其c a u d l y 积分 公式则是由我国学者在近l o 余年建立起来【”，2 1 i ，从而完善了高维的c a u d l y 积分公 式及相关理论c a u d l y 积分公式有着重要的物理意义：如果某一物理特性在空间某 区域上有良好的光滑性( 解析) ，那么区域内任意点的物理特性可由区域边界上的点来 表示这里所指的”空间”在复分析中是指二维平面，而在四元数分析、八元数分析及 c l i 勖r d 分析中则指各种高维的空间特别地，当以上所指的”区域是圆盘或者球体 ( 超球) 时，c a u d l y 积分公式便是平均值定理本文探索了高维c a u d l y 积分公式在图 像处理中的应用，以八元数c a u d l y 积分公式为例，构造出相应的边缘检测滤波器，取 得良好的检测效果若使用c l i 助r d 分析中的c a u d l y 积分公式，可将该方法应用到任 意维数的多分量图像边缘检测中值得一提的是，该类滤波器的一维形式就是著名的 l 印l a u c e 梯度算子滤波器 3 第二章基本知识 由于本文大部分内容是以四元数彩色边缘检测和图像分割为基础，讨论八元数和 c l i 肋r d 代数在高维图像处理中的应用，因此有必要在本章给出以下三个方面的预备 知识：数字图像处理这一学科的发展概况及主要研究内容；本文用到的两个色彩空间： r g b 和h s i 空间及两者之间的转换；图像边缘检测技术概述以及四元数在该领域中 的应用；八元数和c h 肋r d 代数的相关知识 2 1 数字图像处理综述 1 3 ，2 6 】 数字图像处理( d i 酉t a li m a g ep r o c e s s i n g ) 又称为计算机图像处理，它是指将图像 信号转换成数字信号并利用计算机对其进行处理的过程数字图像处理最早出现于2 0 世纪5 0 年代，当时的电子计算机已经发展到一定水平，人们开始利用计算机来处理 图形和图像信息数字图像处理作为一门学科大约形成于2 0 世纪6 0 年代初期早期 的图像处理的目的是改善图像的质量，它以人为对象，以改善人的视觉效果为目的图 像处理中，输入的是质量低的图像，输出的是改善质量后的图像，常用的图像处理方法 有图像增强、复原、编码、压缩等首次获得实际成功应用的是美国喷气推进实验室 ( j p l ) 他们对航天探测器徘徊者7 号在1 9 6 4 年发回的几千张月球照片使用了图像处 理技术，如几何校正、灰度变换、去除噪声等方法进行处理，并考虑了太阳位置和月球 环境的影响，由计算机成功地绘制出月球表面地图，获得了巨大的成功随后又对探测 飞船发回的近十万张照片进行更为复杂的图像处理，以致获得了月球的地形图、彩色 图及全景镶嵌图，获得了非凡的成果，为人类登月创举奠定了坚实的基础，也推动了数 字图像处理这门学科的诞生在以后的宇航空间技术，如对火星、土星等星球的探测 研究中，数字图像处理技术都发挥了巨大的作用数字图像处理取得的另一个巨大成 就是在医学上获得的成果1 9 7 2 年英国e m i 公司工程师h o u s 丘e l d 发明了用于头颅诊 断的x 射线计算机断层摄影装置，也就是我们通常所说的c t ( c o m p u t e rt o m o g r 印h ) c t 的基本方法是根据人的头部截面的投影，经计算机处理来重建截面图像，称为图像 重建1 9 7 5 年e m i 公司又成功研制出全身用的c t 装置，获得了人体各个部位鲜明清 晰的断层图像1 9 7 9 年，这项无损伤诊断技术获得了诺贝尔奖，说明它对人类作出了 划时代的贡献与此同时，图像处理技术在许多应用领域受到广泛重视并取得了重大 的开拓性成就，属于这些领域的有航空航天、生物医学工程、工业检测、机器人视觉、 公安司法、军事制导、文化艺术等，使图像处理成为一门引人注目、前景远大的新型 学科随着图像处理技术的深入发展，从7 0 年代中期开始，随着计算机技术和人工智 能、思维科学研究的迅速发展，数字图像处理向更高、更深层次发展人们已开始研 究如何用计算机系统解释图像，实现类似人类视觉系统理解外部世界，这被称为图像 理解或计算机视觉很多国家，特别是发达国家投入更多的人力、物力到这项研究，取 得了不少重要的研究成果其中代表性的成果是7 0 年代末m i t 的m a r r 提出的视觉 计算理论，这个理论成为计算机视觉领域其后十多年的主导思想图像理解虽然在理 4 论方法研究上已取得不小的进展，但它本身是一个比较难的研究领域，存在不少困难， 因人类本身对自己的视觉过程还了解甚少，因此计算机视觉是一个有待人们进一步探 索的新领域 数字图像处理主要研究的内容有以下几个方面： ( 1 ) 图像变换：由于图像阵列很大，直接在空间域中进行处理，涉及计算量很大因 此，往往采用各种图像变换的方法，如傅立叶变换、沃尔什变换、离散余弦变换等间接 处理技术，将空间域的处理转换为变换域处理，不仅可减少计算量，而且可获得更有效 的处理( 如傅立叶变换可在频域中进行数字滤波处理) 小波变换在时域和频域中都具 有良好的局部化特性，它在图像处理中也有着广泛而有效的应用 ( 2 ) 图像编码压缩：图像编码压缩技术可减少描述图像的数据量( 即比特数) ，以便 节省图像传输、处理时间和减少所占用的存储器容量压缩可以在不失真的前提下获 得，也可以在允许的失真条件下进行编码是压缩技术中最重要的方法，它在图像处理 技术中是发展最早且比较成熟的技术 ( 3 ) 图像增强和复原：图像增强和复原的目的是为了提高图像的质量，如去除噪 声，提高图像的清晰度等图像增强不考虑图像降质的原因，突出图像中所感兴趣的部 分，如强化图像高频分量，可使图像中物体轮廓清晰，细节明显；如强化低频分量可减 少图像中噪声影响图像复原要求对图像降质的原因有一定的了解，一般讲应根据降 质过程建立，降质模型”，再采用某种滤波方法，恢复或重建原来的图像 ( 4 ) 图像分割：图像分割是数字图像处理中的关键技术之一图像分割是将图像 中有意义的特征部分提取出来，其有意义的特征有图像中的边缘、区域等，这是进一 步进行图像识别、分析和理解的基础虽然目前已研究出不少边缘提取、区域分割的 方法，但还没有一种普遍适用于各种图像的有效方法因此，对图像分割的研究还在不 断深入之中，是目前图像处理中研究的热点之一 ( 5 ) 图像描述：图像描述是图像识别和理解的必要前提作为最简单的二值图像 可采用其几何特性描述物体的特性，一般图像的描述方法采用二维形状描述，它有边 界描述和区域描述两类方法对于特殊的纹理图像可采用二维纹理特征描述随着图 像处理研究的深入发展，已经开始进行三维物体描述的研究，提出了体积描述、表面 描述、广义圆柱体描述等方法 ( 6 ) 图像分类( 识别) ：图像分类( 识别) 属于模式识别的范畴，其主要内容是图像经 过某些预处理( 增强、复原、压缩) 后，进行图像分割和特征提取，从而进行判决分类 图像分类常采用经典的模式识别方法，有统计模式分类和句法( 结构) 模式分类，近年 来新发展起来的模糊模式识别和人工神经网络模式分类在图像识别中也越来越受到 重视 2 2r g b 和h s i 色彩空间”】 颜色空间按照基本结构可以分两大类：基色颜色空间和色、亮分离颜色空间本 文讨论的大部分算法是基于r g b ( r e d g r e e n b l u e ，红绿蓝) 色彩空间和h s i ( h u e 5 s a t u r a t i o n i n t e n s 蚵，色调饱和度强度) 色彩空间，它们分别属于基色颜色空间和 色、亮分离颜色空间以下介绍这两种颜色空间以及两者之间的转换 根据三基色原理：自然界中任何一种色光都可由r 、g 、b 三基色按不同的比例 相加混合而成，即可用基色光单位来表示光的量特别地，当三基色分量都为最弱时 混合为黑色光，当三基色分量都为最强时混合为白色光因此，任意色光c 都可以用 r 、g 、b 三色不同分量的相加混合而成： f = r 【捌+ 9 【g 】+ 6 【b 】 以r 、g 、b 分量作为为变量直角坐标的空间称为r g b 颜色空间r g b 空间可以 由如下立方体表示： 图2 - 1r g b 彩色空间 任一颜色c 是这个立方体坐标中的一点，调整三色系数r 、g 、b 中的任一系数都 会改变c 的坐标值，也即改变了c 的色值 ， r g b 彩色空间是最常见的彩色空间，它采用物理三基色表示，因而物理意义很清 楚，适合彩色显像管工作由于r g b 空间所具有的设备独立性，它被广泛应用于计算 机图形、电视系统中在数字图象处理中，最常用的就是说r g b 彩色空间，如b m p 彩 色图象就采用分别存储红绿蓝三个颜色分量的方法来表示真彩色图象然而r g b 空 间并不是一个感觉均匀的颜色空间，这一体制也不适应人的视觉特点，基于r g b 空间 设计的彩色边缘检测方法容易产生颜色失调或丢失色度边缘缺点 h s i 也是一种常见的彩色模型采用色调和饱和度来描述颜色，是从人类的色视 觉机理出发提出的 色调h u e 表示颜色，颜色与彩色光的波长有关，将颜色按红橙黄绿青蓝紫顺序排 列定义色调值，并且用角度值( o d 3 6 0 0 ) 来表示例如红、黄、绿、青、蓝、洋红的角 度值分别为o d 、6 0 0 、1 2 0 0 、1 8 0 0 、2 4 0 0 和3 0 0 0 饱和度s a t u r a t i o n 表示色的纯度，也就是彩色光中搀杂白光的程度白光越多饱和 度越低，白光越少饱和度越高且颜色越纯饱和度的取值采用百分数( o 一l o o ) ， 6 其中， c c o s 斋簪著慕) 转换后，h 、s 、i 模型系可由下图表示： 青 红 图2 2h s i 彩色空间的圆锥模型 7 大小 必须 参见 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 图参3h s 色度的圆盘模型 如图2 2 所示，h s i 彩色空间是一个圆锥型空间模型圆锥模型可以将色调、强度 以及饱和度的关系变化清楚地表现出来圆锥型空间的竖直轴表示光强i ，顶部最亮 表示白色，底部最暗表示黑色，中间是在最亮和最暗之间过渡的灰度圆锥型空间中部 的水平面圆周是表示色调h 的角度坐标，如图2 2 所示 h s i 具有如下两个方面的优点：由于人类的视觉系统对亮度的敏感程度远强于对 颜色浓淡的敏感程度，对比r g b 彩色空间，h s i 彩色描述对人来说是自然的、直观的， 符合人的视觉特性；色度( 即色调和饱和度) 与亮度的不相关性使得h s i 模型对于开 发基于彩色描述的图像处理方法也是一个较为理想的工具，采用h s i 彩色空间有时可 以减少彩色图像处理的复杂性，提高处理的快速性，同时更接近人对彩色的认识和解 释因此，基于h s i 颜色空间的边缘检测算法可对色度与亮度分别独立地进行操作，从 而具有对彩色信息更为敏感的优点 2 3 图像边缘检测概述及四元数彩色边缘检测 该节我们对图像边缘检测技术中一些常用的算法作简单的介绍，并着重介绍了四 元数边缘检测技术，为第三章和第四章讨论八元数和c l i 怕r d 代数在边缘检测中的应 用作铺垫 2 3 1 边缘检测技术概述 图像是最直接的视觉信息，包含着最原始的巨大的信息，其中最重要的信息是由 它的边缘和轮廓提供的图像边缘是图像最基本的特征，边缘中包含着有价值的目标 边界信息，这些信息可以用于图像分析、目标识别以及图像滤波所谓边缘，是指其周 围像素灰度有阶跃变化或屋顶变化的那些像素的集合图像边缘检测是图像处理与分 析中最基础的内容之一，同时由于成像过程中的投影、混合、畸变和噪声等导致图像 特征的模糊和变形，且图像边缘和噪声均为频域中的高频分量，这给边缘检测带来了 困难边缘检测的难题是检测精度与抗噪性能之间的矛盾对于图像边缘检测，寻求算 法较简单、能较好解决边缘检测精度与抗噪性能协调问题的算法，一直是图像处理与 8 分析研究的主要问题之一图像边缘检测通常有经典的基于微分、基于小波与分形理 论、基于数学形态学，以及近年来发展的基于模糊学、基于神经网络、基于遗传算法 等多种图像边缘检测方法”】常用的边缘检测算法有： ( 1 ) 微分边缘检测技术【1 ，3 】 图像边缘检测与提取的研究一直贯穿于图像处理与分析的始终，传统的图像边缘 检测方法大多可归结为图像高频分量的增强过程，微分运算时边缘检测与提取的主要 手段人们最早提出一阶微分边缘算子，如舶b e r t 算子、s o b e l 算子、p r e 耐t t 算子和 k i r s h 算子等，这些算子由于梯度或一阶微分算子通常在图像边缘附近的区域内产生 较宽的响应，即使用一阶微分算子的方法多是在梯度值大于某一值时就认为此点是边 缘点，但是这种方法导致检测的边缘点太多故采用上述算子检测的边缘图像常需作 细化处理，这就影响了边缘定位的精度基于上述算子进行改进得到的算法有l o g 算 法和c a n n y 边缘检测算子【3 】 ( 2 ) 基于小波与分形理论边缘检测技术【1 1 3 劁 小波分析是当前应用数学和工程中的一个迅速发展的领域随着小波理论和分析 理论的广泛应用，2 0 世纪9 0 年代初期关于小波理论的边缘检测方法和基于分形特征 的边缘检测与提取方法也相继出现基于小波理论的边缘检测方法因小波理论时频分 析的优越性而优于一般的传统图像边缘检测方法，它可检测出图像在不同尺度下的边 缘特征 小波变换在时域和频域同时具有良好的局部化性质，它能将信号或图像分解成交 织在一起的多种尺度成分，并对大小不同的尺度成分采用相应粗细的时域或空域取样 步长，对高频信号细处理，对低频信号粗处理，从而能够不断聚焦到对象的任意微小细 节边缘检测是找出信号突变部分的位置，这在数学上常表示为间断点，尖点等而在 图像信号上，这些奇异点就是图像的边缘点由于实际图像的空间频率成分十分复杂， 用普通的方法直接提取边缘往往并不是十分有效，而用小波变换可以将图像分解成不 i 司频率成分的小波分量，然后再从这些不同层次的小波分量中找出信号本身的特征以 便更有效提取边缘像素，虽然小波正交基用途广泛，但也存在着不足，尤其是小波正交 基的结构复杂 ( 3 ) 基于数学形态学的边缘检测技术 1 ，3 0 】 数学形态学是2 0 世纪6 0 年代由法国科学家s e r r a 和德国的m a t h e r o n 提出的，到 2 0 世纪7 0 年代中期完成了理论论证数学形态学是分析几何形状和结构的数学方法， 是建立在几何代数基础上，用集合论方法定量描述几何结构的科学数学形态学由一 组形态学的代数运算子组成最常用的有7 种基本变换，分别是膨胀、腐蚀、开、闭、 击中、薄化、厚化其中，膨胀和腐蚀是两种最基本、最重要的变换，其他变换由这两 种变换的组合来定义用这些算子及其组合进行图像形状和结构的分析处理包括图 像分割、特征抽取、边缘检测等方面的工作因而不同于其他的图像处理理论( 如空 间域、频率域的变换方法) ，是一种用于图像处理的新理论和新方法基于数学形态学 的图像边缘检测方法与微分算子法、模板匹配法等常用的边缘检测方法相比，具有算 9 法简单、运算速度快、效果好等优点用形态学边缘检测方法所得的结果图像，在边 缘的连续性及各项同性方面都优于传统方法，形态学边缘检测方法对图像细节和边缘 定位也有相当好的效果，所检测出的边缘宽度与所使用的结构元素形状和大小密切相 关，当结构元素的尺寸( 刻度数) 增大时，检出的边缘宽度将随之增大，因而合理地调 整结构元素的尺寸将能有效地去除噪声并能很好地保护细节 ( 4 ) 基于模糊学的边缘检测技术【1 1 3 1 】 图像处理过程实际上是对图像灰度矩阵的处理过程图像像素的灰度值都是一些 确定值，图像的模糊化就是将图像灰度值转换到模糊集中，用一个模糊值来代表图像 的明暗程度模糊梯度算法是基于图像灰度梯度变化的原理而产生的利用模糊理论 的不确定性来反映图像灰度梯度变化过程的模糊性，并根据像素的隶属度来确定边缘 穿越的位置，可使边缘检测更加准确，但由于其算法的复杂性，实现很困难 ( 5 ) 基于神经网络的边缘检测技术【3 2 3 3 】 近年来，人工神经网络正广泛地被用于模式识别、信号与图像处理、人工智能及 自动控制等领域神经网络的主要问题是输入与输出层的设计问题、网络数据的准备 问题、网络权值的准备及确定问题、隐层数及结点的问题、网络的训练问题图像边 缘检测本质上属于模式识别问题，而神经网络能很好地解决模式识别问题因此，用样 本图像对神经网络进行训练，将训练后的网络再进行实测图像的边缘检测在网络训 练中，所提取的特征要考虑噪声点和实际边缘的差异，同时去除噪声点形成的虚假边 缘，因此该方法有较强的抗噪性能在学习算法的设计中，常规的对图像进行混合的结 构训练样本对于神经网络性能具有重要影响使用神经网络的方法得到的边缘图像边 界连续性较好，边界封闭性好，而且对于任何灰度的检测可以得到很好的结果 ( 6 ) 基于遗传算法的边缘检测技术【3 4 ，3 5 】 遗传算法是一类基于自然选择和遗传学原理的有效搜索方法，许多领域成功地应 用遗传算法得到了问题的满意解答通常g a s ( g e n e t i ca 1 9 0 r i t h m s ) 是在并行计算机上 实现，而大规模并行计算机的日益普及，又为并行g a s 奠定了物质基础。对于图像的 边缘提取，采用二阶的边缘检测算子处理后要进行过零点检测，其计算量很大而且硬 件实时资源占用空间大且速度慢，所以学术界提出一种二次搜索寻优的阈值选取策略 通过遗传算法进行边缘提取阈值的自动选取，能够显著地提高阈值选取的速度，可以 对视觉系统所产生的边缘图像进行阈值的实时自动选取，增强了整个视觉系统的实时 性 综上所述，在图像边缘检领域有多种基于不同理论的方法，它们都不是一种具有 绝对优势的方法，有的方法边缘检测精度高，但抗噪性能较差；有的方法解决了抗噪性 能差的问题，但精确度又不够还有些算法在一定程度上较好解决了两者的协调问题， 但算法复杂，实现困难，运算时间长可见，无论哪一种边缘检测算法在解决一定问题 的同时，都存在不同类型的缺陷实质上边缘检测作为视觉的初级阶段，通常认为是一 个非良态的问题，很难从根本上解决因而，寻求算法较简单、能较好解决边缘检测精 度与抗噪声性能协调问题的边缘检测算法，将一直是图像处理与分析中研究的主要问 1 0 题之一，还有很多工作需要进一步研究 2 3 2 四元数边缘检测 彩色图像的边缘一般定义为颜色信息或者亮度信息的不连续跳变，经典的彩色图 像边缘检测方法中有相当一部分是灰度图像边缘检测方法的推广，即用灰度图像边缘 检测方法分别独立检测r 、g 、b 三幅分量图像的边缘，再合成这三幅边缘作为原图像 的边缘然而，简单地将一幅彩色图像的边缘视作由三幅原色图像边缘的合成是不合 适的【l 】 随着计算机成本的日益低廉及其性能的日趋增强，开发基于高维可除代数( 如四 元数h ) 的彩色图像边缘检测新算法成为可能自1 9 9 2 年以来，由e u 和s a n g 耐n e 等 人提出基于四元数的彩色图像边缘检测算法引起了人们广泛的兴趣【4 _ 1 0 】该类算法 的优点是可以同时考虑r 、g 、b 三个分量突变程度，从而是一种比较优秀的彩色图像 边缘检测算法下面介绍四元数的相关知识及其在彩色图像边缘检测中的应用 四元数是一种非交换但结合的四维可除代数【2 7 i ，可描述如下：考虑四维实空间 向量，令 1 = ( 1 ，o ，o ，0 ) t = ( 0 ，1 ，0 ，o ) 歹= ( o ，0 ，1 ，0 ) 七= ( o ，0 ，0 ，1 ) 规定i 2 = 歹2 = 尼2 = 一1 ，巧= 七= 一歹z ，歹后= t = 一巧，七 = 歹= 一i 七 若g = ( o ，6 ，c ，d ) r 4 ，则可将g 写成： g = n 1 + 阮+ 巧+ d 庇 于是冗4 在上述乘法意义下变为实的非交换代数，记为而日7 = 日1 【o ) 是一非交 换群，日，+ ，是一s k e w 一丑e l d 对v q = o + 觇+ 巧+ d 七日，令 虿= o 一兢一巧一d 七 | g | = 以万巧了孺互 则孵= _ g = 2 当g o 时，g _ 1 = 晶将g 写为g = n + 跣+ ( c + 觇) j ，则日笺c 2 值得注意的是，四元数具备以下两个性质，正是这两条性质，使得四元数在彩色图 像处理中的得到广泛的应用，其中最具代表性的是四元数彩色图像边缘检测和图像分 割 ， 性质1 俾元数乘法的几何意义户7 ，3 6 】： 如复平面上单位圆周上的复数对应平面上的一个旋转，单位四元数膜为j 的四 元数j 代表r 3 的一个旋转具体如下：令g 皿，= 1 ，根据四元数的三角形式表示， 可记g 为q = c 0 8 ( ) + 佗s i n ( ) ，其中n 为纯单位四元数设z 是一纯四元数，代表r 3 中的一个向量则向量z = 口z g - 1 是由向量z 按照右手法则绕轴凡旋转角度彩而得 到的，因此g 代表r 3 中的一个旋转 性质2 俾元数乘法的矢量积表示， 2 7 】： 令q 1 = a 1 + 6 l + c 1 j + d 1 惫= n 1 + q 1 ，9 2 = a 2 + 6 2 i + c 2 j + d 2 惫= n 2 + q 2 ，根据四元 数的乘法规则展开可得：口1 口2 = 口1 n 2 一9 1 眈+ 口1 9 2 + 口2 口1 + 9 1 9 2 该式表明：四元数 的乘法可简单地表示成r 3 向量的点积与又积特别地， 垡丝2 一塑。丝十塑暨 该式表明，两个纯四元数( 实部为o ) 作乘法运算，乘积的实部和虚部分别可用三维 向量的点积和叉积表示若9 1 = 口2 且1 9 1 i = i 他i = 1 ，则有9 1 9 2 = o ，从而9 1 9 2 = 一塑丝= 一l q l l 2 = 一i q 2 1 2 = 一1 四元数在图像处理领域有着重要的应用，自1 9 9 2 年起，e l l 和s a 鹏而n e 相继将四 元数代数应用于图像处理中，并建立起一套基于四元数的图像处理方法【4 _ 1 0 】本文的 工作和他们的研究成果有着密切的联系，下面主要介绍他们两方面的工作： 1 9 9 8 年，s a n g 耐n e 等人提出一种基于四元数乘法几何意义的彩色图像边缘检测方 法 4 】，该方法是将颜色矢量( r ，g ，b ) 对应一个纯四元数，从而将r g b 空间自然地嵌入 到四元数中，根据单位四元数与三维空间矢量旋转变换的对应关系和空间解析几 何的相关知识，构造相应的四元数滤波器实现彩色边缘检测 另一方面，根据四元数代数乘法的矢量积表示性质，s a n g 而n e 和e 1 1 等人构造出 一类基于四元数乘法矢量积表示性质的颜色敏感( c o l o r - s e n s i t i v e ) 和非颜色敏感( n o n - c o l o r - s e l l s i t i v e ) 滤波器，并将之应用于彩色图像边缘检测和彩色图像分割中，获得了令 人满意的效果 5 ，6 j 该方法同样将颜色矢量( r ，g ，b ) 对应一个纯四元数，对两个四元数 作积后，根据实部与虚部的取值，设定阈值判断像素点是否为边缘点 用四元数表示彩色图像的( r ，g ，b ) 向量是非常自然的，同时，该类算法在卷积过 程中统一考虑了各个颜色分量，因此，相比独立考虑r 、g 、b 分量的边缘检测和图像 分割算法，具有较大的优越性 2 4 八元数和c l i 肋r d 代数 2 4 1 八元数 八元数是实数域上一个8 维代数，设e o ，e 1 ，e 7 是其中一组基，并记集为 = ( 1 ，2 ，3 ) ，( 1 ，4 ，5 ) ，( 1 ，7 ，6 ) ，( 2 ，4 ，6 ) ，( 2 ，5 ，7 ) ，( 3 ，4 ，7 ) ，( 3 ，6 ，5 ) 】， 对八元数中的乘法，上述基满足e 3 = e 0 ，e e o = e o 龟= e t ，e = 一1 ，t = 1 ，2 ，7 且对 任意三元组( 理，p ，7 ) ，有 e a e p = e 7 = 一e p e q ，e p e 7 = e 口= 一e y e p ，e 7 e 口= e p = 一e q e y 即基元之间的乘法运算规律由下表给出： 1 2 e 0e 1e 2e 3e 4e 5e 6e 7 e 0e 0e 1e 2e 3e 4e 5e 6e 7 e 1e 1一e oe 3一e 2e 5一e 4 一e 7 e 6 e 2e 2一e 3一e 0e 1e 6e 7一e 4一e 5 e 3 e 3 e 2一e 1一e 0 e 7 一e 6e 5 一e 4 e 4e 4一e 5一e 6一e 7一e 0e 1e 2e 3 e 5 e 5 e 4 一e 7 e 6一e 1一e 0一e 3e 2 e 6 e 6e 7e 4一e 5一e 2e 3一e 0一e 1 e 7 e 7 一e 6e 5e 4一e 3一e 2e 1一e 0 表二1八元数基元乘法运算表 由上表容易看到，八元数的乘法不满足交换律和结合律而且，只需令e 4 一e 7 的 系数为o ，四元数便可嵌入到八元数。中对每个z = j 翰e i o ，r e z = z o 称为x 的标量部分，j m z = 堡= i 鼢e t 称为z 的向量部分，x 的共轭记为虿= j 规e t = z o 一互， x 的模定义为= ( ；z ) 考 对于z ，矽o ，x 和y 的范数和共轭满足l z 矽l = 川l ，痂= 劢= ；z = h 2 ，可= 一万易见z 一1 = 彘为x 的逆，于是。成为一个非交换非结合的可除代数 z o 称为单位八元数当且仅当= 1 ，z 称为纯八元数当且仅当z o = o 类似于复数和四元数，八元数也有相应的三角形式表示【1 3 ，2 5 】：即z = ( c o s 矽+ 荨s i n 矽) ，其中c o s 妒= 胬，s i n 妒= 坐茜产，毒= 羔建毒粤是一个单位纯八元数，矽是向量 z r 8 与实轴的夹角特别地，若z 是单位八元数，则有z = c o s 妒+ s i n 妒 性质1 队元数乘法的几何意义) 【1 3 2 5 l ： 设y 0 是一个纯八元数，代表r 7 中的一个向量，g = c 0 8 矽+ s i n 妒是一单位八 元数，则向量y = g _ 1 是由向量y 按照右手法则绕轴毒旋转角度缈而得到的，因 此g 代表r 7 中的一个旋转 性质2 队元数乘法的矢量积表示，【1 3 ，1 6 】： 八元数的乘法可简单地表示成r 7 向量的点积与叉积令z = ；鳓色= z o + 互， 可= j 犰e i = 珈+ 型，其中z t ，纨r ，i = o ，1 ，7 贝l jz 秒= z o 珈一星型+ z o 型+ 珈笙+ 互型， 根据八元数的乘法规则展开可得? 趔2 一星型+ 互型 该式表明，两个纯八元数( 实部为o ) 作乘法运算，乘积的实部和虚部分别可用七维 向量的点积和叉积表示特别地，若星= 型且= 训= l ，则有笙堑= o ，从而 剑= 一互秒= 一h 2 = 一m 2 = 一1 我们将这性质称为八元数乘法的矢量积表示性质 以上两个性质在本文中有着至关重要的地位，本文第三章的工作正是建立在这两 个性质的基础上进行的 1 3 另一方面，c a u d l y 积分公式及其推论一平均值定理是复分析、四元数分析、八元 数分析及c h 胁d 分析中极其重要的结论本文在第五章中以八元数c a u c h y 积分公式 为例，研究高维c a u d l y 积分公式及平均值定理在图像边缘检测中的应用作为预备知 识，下面给出八元数解析函数的定义以及c a u c h y 积分公式、平均值定理的内容 1 3 ，2 1 】： 定义1 设q 是r 8 中的一个连通开集一个函数，c 1 ( q ，o ) 说是在q 左佑j o 一解析，如果 。，2 骞e t 差- oc ，。2 妄差e t - o l 这里d i 他c 算子d 和其伴随算子西定义为d = 。量e t 矗，西= 量黾矗。 定理1 ：f ，沈g ，型积分公式，设q 是r 8 中的一个连通开集，m 是以8 维的紧 的定向的c o o 流形，m 及其边界均含于q 中令如( z ) = 5 ( 一1 ) j 勺蜗，其中蜗= 如o 如1 出j 一1 d 吩 1 八如7 ，o 歹7 若在q 内，( z ) 是左。一解析函数， 即d ，= 0 ，则 去z m 罱c 嘶圳= 嚣：嚣 其中u 8 是r 8 中的单位球的面积 若将定理1 中的m 取为球体，我们便得到平均值定理： 定理2 ：队元数中的平均值定理) 设q 是r 8 中的一个连通开集，研( 硒) 是以硒 为心，r 为半径的球，岛( 绚) q ，则当d ，= o ( ，d = o ) 时 ，( 知) 2 高赢厶) m ) 咖( z ) 其中i 耳( 知) i 是研( 幻) 的体积，幽( z ) = 如。八八如7 是q 上的体积元 关于八元数分析的更多内容，请参考文献【1 3 ，1 6 2 5 】 2 4 2c l i 肋r d 代数 设( e 1 ，e 2 ，e n ) 是实数域r 上的线性空间的一组正交基，c l i 勖r d 代数a n 是由 ( e 1 ，e 2 ，e 佗) 张成的结合代数【1 5 】，满足：e o e t = e t e o = e t ，e = 一1 ，i = 1 ，2 ，佗e i e ，= 一勺e i ，l i 歹佗 小中的元素称为c l i 肋r d 数，任意z a n ，x 具有形式z = 入o + h e a ，其中 a = ( 九1 ，九p ) ，1 1 九p n ，1 p 礼，e a = e 】e 2 e 危，z a 2 显然，a 几是 2 几维的结合但非交换的代数若c l i 舫r d 数互具有形式互= z o + 銎1 兢e t ，则星称为 一个c l i 舶r d 向量对任意的z ，x 的c l i 舫r d 模定义为= 2 号( a 刍) 壹特别地， c l i 肋r d 向量星的模是倒= 2 圭( ? z ；) 圭 1 4 设笙= ? 甄e i 和堑= ：轨e t 是两个单位化( c h 硒r d 模为一) 的c h 肋r d 向量，由 c l i 肋r d 代数的乘法规则，星3 ，可如下展开： 避= ( 粥t ) ( 玑e t ) = 一z t 犰+ ( 眈协一巧犰) e t 勺 1lt = 1 1 s 歹竹 从上式可得，一般情况下，两个n 维c l i 肋r d 向量的乘积不再是n 维c h 勖r d 向 量换句话说，由n 维c l i f b 0 r d 向量组成的线性子空间关于c l i 舫r d 乘法不封闭若 记( 翰幼一吻玑) e t 勺为星可，并称之为向量互和秒的叉积那么，c l i 舫r d 积 1 l 歹n 到可表示n 维矢量的点积与叉积之和，即：鲥= 一互耖+ 笪可注意到若互= 夕，即 瓤= 耽，i = 1 ，佗，那么我们有星可= o ，从而鲥= 一互可= 一1 ；若星秒，则鲥是一 个虚部非零，实部不等于一l 的c l i 肋r d 数， 我们可将这一性质视作c l i 肋r d 积的向量积表示性质这样一来，c l i 胁d 代数和 八元数代数、四元数代数分享同一性质在以下章节，沿用s a n g 丽n e 构造四元数滤波 器的思想，我们将八元数代数和c l i 舫r d 代数这性质应用到图像边缘检测中，并构造 出相应的高维多分量图像边缘检测滤波器 关于c 1 肋r d 分析的更多内容，请参考文献【15 】 1 5 第三章基于h s i 空间的复型s o b e l 彩色图像边缘检 测算子 基于3 维矢量的旋转和四元数的几何意义，s a n g w i n e 在1 9 9 8 年提出一种基于四 元数运算的彩色图像边缘检测滤波器【4 】，该类滤波器是以彩色图像的r g b 空间描述 为基础的e u l e r 公式表明，复数对应于平面矢量的旋转变换，因此，我们可尝试将该性 质应用于彩色图像边缘检测中另一方面，基于h s i 空间开发的边缘检测算法能够较 好地检测由色度信息变化引起的边缘在这一章中，我们在这一章构造基于h s i 彩色 空间的复型s o b e l 边缘检测算子 首先，对r g b 空间做非线性变换可获得h s i 空间，具体过程见2 2 节根据h s i 空间分量的不相关性，利用复数乘法代表平面向量的旋转伸缩的几何意义，对h 和s 分量建立了复单位圆盘模型，同时构造多方向的复型s o b e l 算子，独立提取色度边缘 其次，采用经典的差分边缘检测算法独立提取1 分量的边缘( 亮度边缘) 最后，融合色 度边缘和亮度边缘得到原图像的边