（基础数学专业论文）子流形的pinching问题(1).pdf

摘要 应用j s i m o n s 的方法，人们已经得到许多有关单位球面中的极小子流形或 具有平行平均曲率向量场的子流形的刚性定理本文也研究了子流形的p i n c h - i n g 问题，得到几类子流形的刚性定理 第一部分简要介绍了黎曼几何中的基本知识，主要内容为：联络与曲率， 子流形的基本方程 第二部分对球面铲押上具有常数量曲率的子流形m “，我们研究了m “ 中有关第二基本形式模长平方的p i n c h i n g 问题，证明了铲+ p 中具有平行平均 曲率向量场和法丛平坦的子流形的一个刚性定理 第三部分对于单位球面上不含脐点的子流形，m o e b i u s 形式平行，我们讨 论m 关于m o e b i u s 度量的截曲率的p i n c h i n g 问题 第四部分对于局部对称黎曼流形中的极小子流形，我们得到有关r i c c i 曲 率的一个刚性定理 第五部分研究了p i n c h i n g 黎曼流形中具有平行平均曲率向量的伪脐子流 形，得到了这类子流形关于第二基本形式模长平方的积分不等式及一个p i n c h - i n g 定理 关键词 内蕴刚性，常数量曲率，截面曲率，l l i c c i 曲率，平均瞌率向量 a b s t r a c t b yt h ea p p l i c a t i o no ft h et e c h n i q u eo fj s i m o n s ，t h e r eh a v eb e e nm a n yr i g i d i t y r e s u l t so b t a i n e df o rm i n i m a ls u b m a n i f o l d so rf o rs u b m a n i f o l d sw i t hp a r a l l e lm e a | r l c u r v a t u r ev e c t o rf i e l di m m e r s e di n t oau n i ts p h e r e t h et h e s i sm a i n l yt os t u d yt h e p i n c h i n gp r o b l e m so fs u b m a n i f o l d s ，w ep r o v er i g i d i t yt h e o r e m so fs e v e r a ls u b m a n i - f o l d s i nt h ef i r s ts e c t i o n ，w ed i s c u s st h em o s tf u n d a m e n t a lt h e o r yo fr i e m a n ng e o m - e t r y ：m e t r i ca n dc u r v a t u r e ，f u n d a m e n t a lr e s u l t so i ls u b m a n i f o l d s i nt h es e c o n ds e c t i o n 1 e t 彳“b eac l o s e ds u b m a n i f o l di s o m e t r i c a l l yi m m e r s e di n au n i ts p h e r e 伊押w es t u d ft h ep i n c h i n gp r o b l e ma b o u tt h es q u a r eo ft h es e c o n d f u n d a m e n t a lf o r mo fm “a n dp r o v ear i g i d i t yt h e o r e mf o rm “i m m e r s e di ns “+ 9 w i t hp a r a l l e ln o r m a l i z e d m e a nc u e v a t u r ev e c t o rf i e l da n df l a tn o r m a lb u n d l e i nt h et h i r ds e c t i o n l e tmb eas u b m a n i f o l dw i t h o u tu m b i l i co nu n i ts p h e r e ，i t s m o e b i u sf o r m 西i sp a r a l l e l w ed i s c u s st h ep i n c h i n gp r o b l e m so fs e c t i o n a lc u r v a t u r e a b o u tm o e b i u sm e t r i ca r eo b t a i n e d i nt h ef o r t hs e c t i o n 1 e t 彳“b eam i n i m a ls u b m a n i f o l di nal o c a l l ys y m m e t r i c r i e m a n n i a nm a n i f o l d ，w ed i s c u s sar i g i d i t yt h e o r e mo fr i c c ic u r v a t u r e i nf i f t hs e c t i o n ，w ed i s c u s st h eo r i e n t e dc l o s e dp s e u d o - u m b i l i c a ls u b m a n i f o l d m “w 托hp a r a l l e lm e a nc u r v a t u r ev e c t o ri nar i e m a n n i a nm a n i f o l dn “+ p w ep r o v e ai n t e g r a la b o u tt h es q u a r eo ft h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r mo fm a n di t sp i n c h i n g t h e o r e m k e yw o r d s r i g i d i t y , c o n s t a n ts c a l a rc l l r v a t u r e ，s e c t i o n a lc u r v a t u r e ，r i c c ic u r v a t u r e ，m e a nv e c 一 1 l 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律后果由本人承担。 论文作者签名： 切8 珲 时间：狮g 年岁月二6 日 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 ( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名：锄i 珲 签名日期：洲g 年岁月“日 翮魏瓤 签名日期：厶年皇月弓口日 一绪论 1 1 黎曼度量与联络 设m 是一个n 维a 一流形，m 上的一个黎曼度量g 是一个c o 。指定， 即对于m 的每一个切向量空间瓦m m ) ，指定咒m 中一个向量内积 g x ( ，) ：已m 死m 一r 所谓指定g 。的，即对m 的任意一个局部坐标系( 。1 ，扩) ，如令 “垆，。( 未，刍) ， 则( z ) 是坐标( 。l ，扩) 的g 0 0 函数，并且具有下列性质：对m 上的任意 向量场x ，y ，有 g ( x ，y ) = 9 ( y i x ) ，g ( x ，x ) 0 ， 并且啦( x ，x ) = 0 的充要条件是x ( ) = 0 有时，我们将g ( ，) 记为( ，) - 易知： g o 。流形上总是存在黎曼度量的( 2 4 ) 给定了黎曼度量g 的c 。o 流形称为黎 曼流形，记为( t g ) 或m 。 定义1 1 设m 是a o o 流形m 上的一个仿射联络v 是映射 v ：蛇( m ) 蛇( m ) - 虢( m ) ( x ，y ) _ v x y 使得对于任意的x ，y i z 蛇( m ) 和任意的 h g ”( m ) ，它满足下列条件， ( i ) v i x + g t y z = f v x z + h 、7 y z ； ( i i ) v x ( y + z ) = v x y + v x z ， v x ( f v ) = ( x f ) y + i v x y v x y 称为y 关于x 的共变( 协变) 导数仿射联络通常简称为联络， 定义1 2 设( m ，g ) 是黎曼流形，m 上的一个联络v 称为l e v i - c i v i t a 联 络，如果它还满足 ( i ) v x y v y x = 【x ，y 】， ( i i ) x ( y , z ) = ( v xy ，z ) + ( y v x z ) ， 其中陋，y 】是向量场x 与y 的李括号积 设m 是黎曼流形，v 是l e v i - c i v i t a 联络定义映射 r ：瓣( 彳) 瓣( 巧) 跪( f ) r ( m ) ( x ，z ) _ n ( x ，y ) z 为 r ( x ，y z ) = v x ( v v z ) 一v v ( v x z ) 一v x ，v z ( 1 1 ) 定义1 3 由( 1 1 ) 定义的三重线性映射r ：瓣( m ) 乳( m ) 蛇( m ) _ 十鸵( m ) ， 称为黎曼流形m 的眭旨率张量 如果令 n ( x ，y ，z ，w ) = 一( r ( x ，y ) z ，w ) ( 1 , 2 ) 则定义了m 上的一个( o ，4 ) 型的张量场，它也称为m 的曲率张量 定义1 4 切空间t p m ( p m ) 中的2 维子空间称为流形m 在p 点的一个 平面截面，记为”设( x ，y ，为”的任意一个基底，则 g p ( 加商麓 ( 1 s ) 称为黎曼流形m 在p 点关于平面截面”的截面曲率，简称为截面曲率或截曲 率 定义1 5 设m 是黎曼流形，若在点p m ，截面曲率为常数，则称m 在 p 点是迷向的特别的，若m 的截面曲率恒为常数，则称m 为常曲率黎曼流 形或常曲率空间 定义1 6 设m 是n 维黎曼流形， e l ，e 。) 是正m 中的一个标准正交 基，对v x ，y 耳m ，则 r i c ( x ，y ) = r ( e i ，x 愚，y ) i 2 与标准正交基( e i ) 的选取无关，于是定义了m 上的一个二阶协变张量场，称 为吖的r i c c i 曲率张量 由曲率张量的性质知，r i c c i 曲率张量是对称的，即 r i c ( x ，y ) = r i c ( r x ) 定义1 7m 在p 点的数量曲率定义为 r ) = r i c ( e i ，e j ) = r ( e i ，e j ，唧，勺) ， j l ，j 其中 e 矗是耳m 的标准正交基 1 2 子流形的一些重要概念及基本方程 设( n ，口) 是n + p 维黎曼流形，m 是n 维微分流形，：m _ 是浸 入浸入，自然地诱导出m 上一个度量g = ，+ 口，这样m 也成为黎曼流形， 且，：m _ + n 是黎曼流形m 到的等距浸入此时m 称为的黎曼子流 形( 简称为子流形) p 称为子流形m 在中的余维数特别的，当p = l 时， 称m 为的超曲面 ，：m _ + 是浸入，因而在局部上是嵌入由于我们的计算是在局部上进 行的，因而可假定m 已嵌入在中将上的黎曼联络记为亏对z m ， 用蹬m 表示b m 在中的正交补于是 b n = b m o 譬胍 对v x b n ，则有 x = x t + x 上，x t b m ，x 上蛩m 已的p 维子空间譬m 称为m 在点i t , 的法空间令 t 上m = u 砑m ， v e e m 它称为m 的法丛于是 t n ：t m o t 上m 设x ，y 瓣( m ) ，其正交分解记为 v x y = v x y + b ( x ，y ) ，( 2 1 ) 3 其中v x y 和b ( x ，y ) 分别表示m 的切向和法向分量 令耻( m ) 表示m 上光滑法向量场的集合，于是有下列命题 命题映射b ：虢( m ) 晚( m ) _ + 乳上( m ) 是对称的和g 。( m ) 双线性的它 在每点z m ，诱导了一个对称双线性映射b 。：疋m b m _ + t ? m b 称为子流形m ( 或等距浸入，) 的第二基本形式膏= 丢打b 称为子流 形的平均曲率向量均曲率向量的长度称为平均曲率，记为日 若x 驼( m ) ，瓣j ( m ) ，令 v x ( 一一a f 二r + v 支f ( 2 2 ) 其中一4 x 和v 支f 分别表示m 的切向和法向向量 设矗表示的曲率张量，兄表示m 的曲率张量对v x ，y z ，w 驼( m ) 则有 矗( x ，y ) z = 审x f t v z f z y f z x z 一亏陋，卅z 命题2 1 ( g a u s s 方程) a ( x ，y z ，w ) = a ( x ，y z ，w ) + ( b ( x ，z ) ，b w , ) ) 一( b ( z ) ，b ( x ，) ) ( 2 3 ) 则有 对第二基本形式b ，定义其共变微分亏b 如下 ( f z x b ) ( y , z ) = v 上x bc y , z ) 一b ( v x z ) 一b ( y v x z ) 命题2 2 ( c o d a z z i 方程) ( r c x ，y ) z ) j 。= ( 寺x b ) ( y z ) 一( 寺y b ) ( x ，z ) 法丛t 上m 关于联络v 上的嚏率张量r 上定义如下；对v x ，y 搋( m ) 驼上( m ) ，令 _ r 上( x ，y ) = v 支v 托一v 士v 女f v & ，y 一 ( 2 4 ) f 我们有 命题2 3 ( r i c c i 方程) ( 矗( x ，y ) ) 上= r 上( x ，y ) + b ( y , a x ) 一b ( x ，a f y ) ( 2 5 ) 定义2 4 设m 是n + p 维黎曼流形的n 维子流形，若m 的第二基本 形式b = 0 ，则称m 为全测地子流形若m 的平均曲率向量曰= 0 ，则称m 为极小子流形显然，全测地子流形是极小子流形的特殊情况 定义2 5 设是子流形m 的法向量场，若对m 的任意切向量场x ，有 v 妊= 0 ， 则称是平行的特别的，若m 的平均曲率向量平行，则称m 为平均曲率 向量平行的子流形 定义2 6 若对子流形m 的任意切向量场x ，y ，有 b ( x ，y ) = g ( x ，y ) 直， 则称m 为全脐子流形 定义2 。7 设财是n + 芦维黎曼流形的n 维子流形，v 上是子流形的法 联络若m 的法曲率张量r 上恒消失，即对vx ，y 跣( m ) ，有r - l ( x ，y ) = 0 ， 则称m 的法联络是平坦的，或称m 是法丛平坦的子流形显然，超曲面( 余 维数p = 1 ) 都是法丛平坦的 定义2 8 若黎曼流形( 扎+ p ，口) 的截面曲率k n 满足 0 n + 1 ) ( 3 2 ) 风+ 1 ，k “船= d h , 玩，女“嘻= 日“h + l 肆( d n + 1 ) ( 3 3 ) 由( 2 3 ) ，( 3 2 ) 和( 3 3 ) 式得 巩+ l , k l - = - 凰z 一刍绵，m 嘞，。 口 n + l 其中v 凰= z 日七 = d h k + i 皿u 靖和d h = e f 甄咄，v _ 】 由( 3 1 ) 和( 3 4 ) 式得 ( 3 4 ) 嗡1 矿1 = n 嘞 矿1 一导e 饰j 毋， 矿1 4 口 1 j i , j ，卢 n + 1 + 竹s n 十l n 2 h 2 一s ，2 。+ l + n h t r ( 五：+ 1 ) 一s 2 件1 ，口 口 n + 1 一en ( l 。十l 三口一工口二。+ 1 ) 口 n + 1 设t = 玎u i 屿是m “上的一个对称张量，定义为 = 晴1 一n h j i j 我们引入伴随于t 的算子6 3 ，对m n 上的，c 2 ( m n ) 作用为 口，= 向= 孑+ 1 向一n h a f j i , j 其中是l & p l a c i a n 算子 8 ( 3 5 ) ( 3 6 ) 因为, t i j j = 0 ，据 3 有 | m 纳= | m g o j ，、f , g e u 2 。m 1 取，= h ，代入上式有 矿1 粕= 口日+ n h a h t j 由( 3 5 ) 和( 3 7 ) 式，我们有 ( 3 7 ) 矿1 1 = n 口日+ ；n 2 ( 日2 ) - - ? 2 2 v 日 2 一昙嘞j 嘶，j 矿1 + n h t r ( 工k 1 ) 一n 2 h 2 一l 谢，口 n + 1 + n + 1 一5 ：+ l j 一n ( l n + l 工口一l f j l n + 1 ) ( 3 - 8 ) 口 n + 1口 n + 1 因为日是平行的，我们选取e ”1 = 日，有0 9 。+ l ，。= 0 ，v a 由( 2 3 ) 和 ( 3 3 ) 式得 风k = 0 ，砜。刖= 0 对任意0 1 n + 1 和膏，f = l ，n 又m ”的法丛平坦，由( 2 1 ) 式得对任意的d 和卢，有 令 l q l 8 = l 8 l a ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 三n + 1 = 工。+ l 一丑厶，岛+ 1 = 乳+ l n h 2 ，雪= s n h 2 ，( 3 1 1 ) 其中厶是礼维单位矩阵 由( 3 2 ) 式得 砩扎口= ( 吩+ 1 一日如) ) 岛+ 研， ( 3 1 2 ) 卢 n + 1口 n + li j 其中曲= 口 叶1 品 引理1 ( s a n t o s 4 ) 设a ，b 是n n 的对称矩阵，且满足t r a = 0 ，t r b = 0 ，a b b a = 0 ，则 一祷南( 印胁铲) l 2 2 口s 祷南( 孙a 2 ) ( n 伊) l 2 ( 3 1 3 ) - 9 - 由( 3 1 1 ) 式及引理l 得 n 岛+ l n 2 h 2 + n h t r ( l n + 1 ) 3 一s ，2 。+ 1 溉。岛+ 1 - n h 2 ) - n ( n - 2 ) h 隔) c 。均 把( 3 9 ) ，( 3 1 0 ) ，( 3 1 2 ) ，( 3 1 4 ) 式代入( 3 8 ) 式得 矿1 危矿1 n 叫+ 互1 n 2 a ( h 2 ) - - ”, 2 i v h l 2 氐。 n + n h 2 - s - n ( n - 2 ) h , 州i - - l 。, 写+ 1 i s u ) 其中雪= 晶+ l + 适当选取法标架场 e 。+ 2 1 ，e 。+ ，) 使得对任意a 卢，有& 口= 0 ，那么 畿口= 罐研 q ，卢 n + 1f l n + l 等号成立当且仅当至少有( p - 2 ) 个昂为零 在( 3 1 ) 式两边对a n + 1 求和，且由( 3 9 ) ，( 3 1 0 ) ，( 3 1 1 ) 式得 喝 嚣= ，j ，n n + 1 n 耽埘惕+ n & 一n 2 珑 j ，口 n + l q n + 1a n + l + n 琊t r ( 工：邱) 一畿口 a n + l 。口a n + l ，口 一n ( l 。如一邱厶) e n + l ，卢 = ( n + n h 2 ) s l + n h t r ( l ：三n + 1 ) q n + 1 一岛，。一畿 a n + l e n + 1 由引理1 得 n ( 啦n + 1 ) 小- 2 ) & 嘉与 由( 3 1 2 ) ，( 3 1 6 ) 及上式，我们有 h i j a h i j 研 ( n + n 俨) 一n ( n 一2 ) 日 j ，a n + l 注意到a s = ( n 2 h 2 ) 和 1 0 一雪) ；a s = ( 蝎) 2 + 矿1 矿1 + h u a h i g i , j ，七，oi ，ji , j ，o n + 1 ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 由( 3 1 5 ) ，( 3 1 8 ) 式得 。n 口日+ ；象( 蜴k ) 2 - - n 2j v h 2 + n + n h 2 - n ( n - 2 ) h 耥一雪) 1 1 j ，r 丹 、 删+ ；蒹( 嚣k ) 2 - - n 2 阳h 斟n + n h 2 - n ( 删) 丑南一雪 ，j ，r ，a t 、 ( 3 1 9 ) 考虑二次型 f ( z ，f ) ：。2 一芸。可一2 ， vt 一 作正交变换u 2 去 ( 1 + 圻i 1 ) z + ( 1 一撕f 刁叫，u = 而1 ( 圻f 了一1 ) z + ( ，百= 了+ 1 ) 鲥于是f ( z ，) 变为f ( z ，) = 刁导= ( “2 一口2 ) ，由于是正交变换， 故有一+ y 2 = u 2 + 口2 ，令z = 佃，= 雪，因此得 o n 口日+ i 萎，( 瓢) 2 。i v h l 2 + 雪 赤( 扛固) l ，j 水皿 叫+ ；象( 埘一2 i v 邵+ 雪 n _ 南s + 南u 2 ) l ，k ，o n 叫+ i 萎( ) 2 - - n 2 l v h l 2 + 雪卜赤占 ( 3 2 0 ) t ，j ，月，o 引理2 ( h o u 1 ) 假设标准数量曲率r 是常数且r c ，则 ( ) 2 n 2 i v h l 2 ( 3 2 1 ) ，j 詹，o 2 4 定理的证明 证明由引理2 及定理的假设，我们有 ；萎，( 喙) 2 _ n 2 i v hl 2 ；雪 n - 焘s _ o - 他1 ) 1 j 一，n 一 ( 1 ) 如果s 1 ，如果毋= 0 ，关于m 3 e b i u s 度量的截曲率 k 壁裟掣， 则：m 寸s 拈+ p 等价于s 4 的v e r o n e s e 曲面 定理2 设z ：m _ + s 叶1 是n + 1 维单位球面上不含脐点的超曲面，n 23 ， 如果西= o , m 关于m s e b i u s 度量具有非负的截曲率，则 ( 1 ) zm s e b i u s 等价于环面s ( o ) s n - l e ( 6 ) 的开部分( 1 n 一1 ，0 2 + 6 2 = 1 ) 或者标准柱面s 2 ( 1 ) r n 一c 丑n + 1 在球极射影下的原像的开部分 ( 1 k n 一1 ) ；或者 ( 2 ) m 局部地关于m s e b i u s 度量是三个常曲率空间的乘积m = 尬肘jx m 3 且威m 坛“= 1 ，2 ，3 ) 之中至少有一个为1 若某个d i m m i 2 ，则尬的常 数截曲率是正的特别，当d i m 尬0 = 1 ，2 ，3 ) 都为1 时，m 为伊的m s e b i u s 的齐次超曲面 z ( u ，”，”) = 磊i 五1 丽( s i n h m u ) ，笔c o s ( t 。”) ，幻t ts i n ( t 2 。) ，鲁c o s ( t 。”) ，鲁s l n ”) ) ， 其中t l ，f 2 ，岛为正常数且 ll1 再2 虿+ 瑶 在本部分，我们把庐= 0 减弱为v 咖= 0 可以得到类似的结论 3 2 单位球面上子流形的m b e b i u s 不变量 本节中我们按文【1 0 叙述铲+ 1 上子流形的m 5 e b i u s 不变量 指标取值范围约定为 1 a ，b ，e ，j - 墨亿，n + lso t ，卢礼+ p 设置? + 9 + 2 是按如下方式定义内积的l o r e n t z 空间 ( x ，w ) = 一x o l u 0 - i - z 1 叫1 + - + 茁n + ，+ l “机+ p + l ，( 2 1 ) 这里 x = ( 2 r 0 ，2 ：1 ，- 一，x n + p + 1 ) ，w = ( w o ，o 1 ，一，+ p + 1 ) 设z ：m 寸铲却是n + p 维单位球面上不含脐点的n 维子流形 j = d x d x ，i i = 挖嚣民。o j e a 1 3 分别是。的第一和第二基本形式，h = 。h 。e 。是。的平均曲率向量这里 e 是z 的切从关于，的标准正交标架场，碱) 是其对偶标架场， e 。 是。 的法丛的标准正交标架场定义m 的m s e b i u s 位置向量为y ：m _ + r ? + 叶2 为 y = p ( 1 , x ) ，p 2 = 鲁( i i h i l 2 一n 俐2 ) ， ( 2 2 ) g = ( d y , d y ) = p 2 d x d x 称为z 的m f i e m u s 度量设是g 的l a p l a c e 算子， 定义 n = 一n a y 一者i ( 矿y ) y ， ( 2 3 ) 则y ) = ( n ，n ) = 0 ，似n ) = 1 取毋= p - t e i ，l i n ，它们是m 的切丛关 于g 的标准正交标架场， 姚) 是其对偶标架场，t 既) 是m 的法丛关于( ，) 的正交标架场，记m = 墨( y ) ，1 茎i 茎n ，则 y ， h ，碥，玩十1 ，晶十p 构 成群+ p + 2 上沿着m 的活动标架场 有以下结构方程 d y = 岫k ； d n = 嗽k + 札e a ； d k = 一也y w i n + e “巧+ 咄。觇 d 玩= 一九y 一k + u 。p 昂， 其中( 慨，她。，札，u 。口) 是m 上的l - 形式，且 “幻2 - w j i , “8 8 5 一“8 q 外微分以上结构方程，我们得到 姚a 慨= o ；吨。 咄= o ； 灿= a w j ； 她一 奶= 姚n a ； 峨一口a 如= 一咄。 戗 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 灿j 一咄 龇，= 一叫t n 叫n 一她 咖一咖 叫 n 幽妇一咄口 “j 鼬一e w i i a w j n + 咄 札。o ； 女j 础。p 一u a l 叶p = 一a w i # 1 l 由( 2 8 ) 式和c a r t a n 引理，有 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 他= 如，如= 知；嘞= 目嚣c 1 ) j ，b 嚣= 璐，( 2 1 5 ) j ， 其中a 玎和嘲是m 上局部定义的函数我们再定义 a ：= a i j w i 。叫；b ：= b 弘 叫玩； ( 2 1 6 ) ：= 札既= 四咄e a ( 2 1 7 ) a8 l 称a 为z 的b 1 a s c h k e 张量，b 为。的m 5 e m t 8 第二基本形式和币为$ 的 m f e b i u s 形式 定义 如，胁= d a q + e a 制幻+ a t j ； ( 2 1 8 ) b 秘k = d 嚣嚣+ 口曩+ 辜b 器十莓口知a ； ( 2 舶) 屿= d 四+ 霹哳+ 讲u 陋； ( 2 舶) d w 巧一吣a w k j = 一；r 洲“j k 岫，助胪一黼 ( 2 2 1 ) 幽。p 一1a w t # 一1 _ 一r a 口i j 岫a w j ，r n 脚5 一r n 所i ( 2 2 2 ) 则( 2 1 0 ) ( 2 1 4 ) 式等价于下列方程 a 妤，k a k ，j ：e 。，b ac ，a b 嚣哪) ； ( 2 2 3 ) g 一嚷i = 乏二( b 磊a 幻一日为a 航) ； ( 2 2 4 ) 璐，k 一藤j = 如碟一如凹； ( 2 2 5 ) 勘“= ( 磁蜀一琊跟) + ( a 诸如一a i l 6 1 女) + ( a j f 6 让一a j k 砒( 2 2 6 ) r 。口d = ( 戢硝一壤b 岛) ( 2 - 2 7 ) 七 1 五 同时，我们有 联= o ；( b 嚣) 2 = 字 t n l 粥= p _ 1 ( 嚣一日。曲) ；丑嚣j = - ( n 一1 ) 凹 j 粕= 一p 。2 ( 胁毛j q o g p ) 咱( j 。g p ) e j ( z o g p ) 一日。 嚣) 一争2 ( 啊酬2 一，+ ( 日8 ) 2 ) 如 掣= 一p - 2 ( 霹+ ( 寄一日。5 0 ) e 3 ( t o g p ) ) 这里( h e s s i j ) 和v 分别是关于j 的h e s s i a n 和梯度 定义 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 磁洲叫= d b 嚣，k + 彤，k w l i + 瑚，k w l j + b 0 ，+ 磁，舯。2 3 2 ) fjzl占 对( 2 1 9 ) 式两边外微分，由( 2 9 ) ，( 2 1 9 ) ，( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 式，得 b ；州一肚= 鼹削+ 训+ 瑶耶酬 ( 2 r 3 3 ) t nm占 定义m 6 e b i u s 第二基本形式关于m s e b i u s 度量的l a p l a c i e m 为b 嚣= 蠕，枷则有 由( 2 2 8 ) 式得 ；( 彤) 2 = ( b 拍2 + b o a b i j v 口 u # 皿 一 ( 霸，m ) 2 + b 0 器= 0 巧，可，o 3 3 单位球面上子流形有关截面曲率的p i n c h i n g 定理 ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 本部分定理如下； 定理a 设。：m _ + s 叶p 是t 1 + p 维单位球面上不含脐点的n 维子流形， p 1 ，如果v 庐= 0 ，关于m a e b i u s 度量的截衄率 1 6 k 掣 则z ：m _ s 叶p 等价于的v e r o n e s e 曲面 定理b 设z ：m - s 卅1 是n + 1 维单位球面上不含脐点的超曲面，n 3 ， 如果v 西= o ，m 关于m s e b i u s 度量具有非负的截曲率，则 ( 1 ) zm d e b i u a 等价于环面妒( o ) 铲一o ( 的开部分( 1s n 一1 ，0 2 + b 2 = 1 ) 或者标准柱面驴( 1 ) 彤一2cr 卅1 在球极射影下的原像的开部分 ( 1 k s n 一1 ) ；或者 ( 2 ) m 局部地关于m 6 e b i u s 度量是三个常曲率空间的乘积m = m t xm 2 m 3 且d i m m i ( i = 1 ，2 ，3 ) 之中至少有一个为1 若某个d i r a m i 2 ，则m f 的常 数截曲率是正的特别，当d i m 地( = l ，2 ，3 ) 都为1 时，m 为s 4 的m s e b u f u s 的齐次超曲面 z ( u ，”，加) = 磊i 五1 巧而( s i n h ( t u ) ，笔c 。s ( t z ”) ，乏s i n ( t 。”) ，等c 。s ( t s ”) ，鲁s i n ( t a ”) ) 其中t l ，t 2 ，t 3 为正常数且 1 一1 1 t ；一t ；。t i 定理a 的证明 若v 毋= 0 ，则对任意 ，矗有c 易= 0 我们有 b 罨 k b 器j b = 6 订c l k 一6 i k c 爱k = 0 由b 磊， = 器女得 麟，幻= b 袅，巧= 口，订， 由( 2 2 8 ) 式，我们有b 赢埘= 0 因此 翳= 粥o t 。瓴o t 批= b i j ( b i k ，j + 蛄钟一讯凹) ， i j , a4t j ，a = b 嚣( b a 北+ 如曜k 一c ! ；：k ) d ，a = b i j b i k 曲 甜七，口 = b i a j ( b i a k 。刈+ 硫巧女+ 砩巧十磁邱唧t ) 玎女，口 mm 卢 = ( b i j b i m r 。柳+ b o b 三k r 。t 批) + b 嚣b 囊r 口耐 ( 3 1 ) 仿照钟定兴等的证明可知定理a 得证 定理b 的证明 记蹭1 = ，对m 上任意一点z ，在b m 上取关于m 6 e m s 度量的g 标准正交基，使n 阶实对称矩阵( b 甜) 对角化，设b i j = u i 6 1 j ，并将此标准正交 基扩充成。点某邻域上t m 关于g 的标准正交标架场，由( 3 1 ) 式，在。点有 b q a b i j = u 黾腓一u i t t k p h k i k = ；( 撕一t 女) 2 r 触0 ( 3 ，2 ) ” l 七l rt 月 由( 2 3 5 ) 和( 3 6 ) 式，在点有b j ， = 0 ，l 茎i ，j ，k 墨n 由z 点的任意性知 m 6 b m 铭3 第二基本形式丑是平行的 又由( 2 2 9 ) 式得a = 0 ，v 兄即= 0 因此，由定理2 可知定理a 成 立 四局部对称黎曼流形中 极小子流形r i c c i 曲率的p i n c h i n g 问题 设n 押表示截面曲率满足； n - 1 一r j 赢 ( 2 d 一1 ) 一亏8 ( 1 一d ) 。一1 ) ) 则m n 是全测地子流形或者是铲+ 1 ( 1 ) 中的c l i f f o r d 极小超曲面，或者是s 4 ( 1 ) 中的v e r o n e s e 曲面 4 2 记号，定义和基本公式 本节对各类指标取值范围约定如下 1 a ，b ，c ，曼n + p ； 1s t ，j ，k ，n ； n + 1 o ，p ，7 ，。似+ p 设n + p 表示截面曲率满足 互1 j k n l 的n + p 维局部对称完备黎曼流形，m “是n “+ p 中紧致极小子流形在n 9 上选取局部标准正交标架场托a ) ，使得它们限制在m ”上，( e 与m “相切 设( u a 是n 蚪p 关于 e a ) 的对偶标架场，o j a b ) 是卅p 的联络形式，则限 制在m “上，有 = 0 ，f 嚣q ， 嚣= 哚， ( 2 1 ) j 】9 h = 吩吨。q 。e n 玎，8 嘞科= 翰埘+ ( 嚣 奢一醒曝) ， a 如州= 跚+ e ( h i k h a 一一醒缘) ， i ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 其中 ，冠，玩口m 及k a b c d 分别是m “的第二基本形式，曲率向量场，法曲 率向量场及蚪，的蓝率张量场定义 s = 2 ，凰= ( 嚣) n n 用 和h i a j k t 分别表示h 的一阶和二阶共变导数的分量，则有 嚣一 赫= 一 毛甜女 嚣斟一 嚣= ( 嚣t r m j 斟+ 丑嘣就) 一 0 且。p 斛 m占 因为“却是局部对称的，则 ( 2 5 ) ( 2 6 ) k 翻越= 辨九g + 瓣略+ 莳p 嚷一旬k ( 2 7 ) 口芦口 m 其中。订m 为k 嘶k 的共变导数 4 3 预备知识 因为m “是叶p 的极小子流形，所以有 h ，q 。射= 0 ，v a ，f 由( 2 5 ) ，( 2 7 ) 及( 3 1 ) 式知， 的l a p l a c i a n ( 3 1 ) 吕= 一( 删+ 枞) + ( r 州 + 景女啪) 一磙如触( 3 2 ) 血 m 声， 我们有 h i j h l j = ( 4 口“咏壤一k 曲z k h i j h i 4 j ) + 2 嚣( 墙。玎女 a do 卢巧知a 坷m + 螺i 纠女) + 2 【打( 玩耶) 2 一打( 硪娣) _ ( 风饰) 】2 8n 8 2 0 矩阵( ( 凰砟) ) ) p 。p 是实对称矩阵，故可选取法标架场 ) ，使之对角化， 即 叭凰唧) 】2 = ( 打h 2 ) 2 ( 3 3 ) 甜 口 另外，由【1 5 得 2 i t r ( 蛾嘲) 一打呱毋) 2 + i t r ( 魂) 】2 冬 1 + i s g n ( p 一1 ) s 2 ( 3 4 ) n 口 。 引理 1 9 | 设n + p 是n + p 维黎曼流形，如果其截面瞳率k n 满足0 n 一1 一耳南 ( 2 d 一1 ) 一( 1 一d ) 一1 ) 时，有 s 丁j 赫 ( 2 6 1 ) n i 8 ( 1 一d ) ( p 一1 ) n ) ， 从而s = 0 ，此时m “是n + p 中得全测地子流形 ( 2 ) 当凰= n 一1 一再如 ( 2 6 一1 ) 一；( 1 6 ) 仞一1 ) ) 时，有 s s i 耳彘 ( 2 6 1 ) n i 8 ( 1 6 ) ( p 一1 ) n ) ， 由 17 可知，s 0 时，m “是s , n + t ( 1 ) 中的c l i f f o r d 极小超曲面或酽( 1 ) 中 l 拘v e r o n e s 8 曲而 五p i n c h i n g 黎曼流形中 伪脐子流形的p i n c h i n g 定理 以n 却表示其截面曲率k n 满足0 6 冬k l v 1 的n 维单连通完备的 黎曼流形，称为6 一p i n c h i n g 流形hwx u 在文【2 1 】中讨论了这类黎曼流 形中的极小子流形的积分不等式及其p i n c