（基础数学专业论文）具有奇异系数的拟线性半线性二阶椭圆型和抛物线型方程.pdf

中国科学技术大学博士学位论文 具有奇异系数的拟线性半线性二阶椭圆型和抛物型方程 摘要 本文研究具有奇异系数的非线性二阶椭圆型和抛物型方程的若干定 解问题具体地说就是讨论如下二阶拟( 或半) 线性椭圆型方程的d i t i c h l e t 问题 j 。州_ ( 酬) n 。) 2 几- “) ，。“2( o 叫 ll ，m = 0 以及如下二阶拟( 或半戡性抛物型方程的初边值问题和初值问题 c a i i ( h y 问题) i i , l d i v ( 一m ，i ，i t ，l v “j ) r “) = ，( m ，i ，”) ，_ 姨k ( 0 ，7 1 ) i t ( ( ) ，7 = o ( o o 2 ) i i ( ，0 ) = f f u ( r ) 其中v “= ( d l ，d “) ，而d i u = 磬，这里1 2 ，是有界区域或者 ，本身，1 是其变量的己知函数 偏微分方程定解问题的存在性或不存在性，唯一性和正则性历来是研 究的主题本文对若干系数在边界和( 或) 内部有一定奇异性的二阶椭 圆型和抛物型方程探讨这些问题自从著名文章 g n n 发表之后，人们 对问题( 0 0 1 ) 感兴趣的是轴对称解的存在性或不存在性，唯一性或多解 性，正则性以及轴对称解的性态等问题本文的第二章和第三章主要探 讨拟微分算子、非线性项、以及空间维数对问题( 0 0 1 ) 解的上述诸性质 的影响，特别是当非线性项具有奇异性的情形 非线性二阶抛物型方程是偏微分方程理论的一个重要分支虽然二阶 抛物型方程和二阶椭圆型方程之闯具有某些类似之处，但在关于时间解 的整体存在性、解在有限时刻的爆破( b l o w ，) 问题以及解的渐近性 等方面，二阶抛物型方程仍然有着鲜明的特色本文从第四章开始，讨 论具有奇性系数的发展i 一l a p l a , v 方程和二阶半线性抛物型方程的初边 值问题和初值问题( ( a 1 1 ( h y 一问题) ，得到了一些整体解的存在性和不存 在性、奇异解的存在性和弱解的正则性等结果 i 。中国科学技术大学博士学位论文 第二章在单位圆内讨论如下半线性椭圆问题 这里a 0 ，g j ，( r ) 是在3 上非负- i i 二l d + + v 连续的函数为了处 理比以往文献中更高的奇异性( 即a 更大) ，我们借助于s d l a u ( 1 e r 内估 计和( h 函数的下界估计，将a 的范围从0 a 1 + ( q + 1 ) 2 提高到 0 a 1 + ( 、+ ( q 1 ) ，对某个0 n j ，0 ，j 1 我们的论证不需 要函数k ( ) 和解的轴对称性同时去掉了次l 临界增长的条件 第三章讨论下列具有奇异系数的1 - i 。a 1 ) l a - tc 、方程在单位球内的1 ) h i t h l e t 问题的可解性和正则性一 j d jz t ( f “j ”一2 甲“) = “f 卜j ) pj7 ( 】一j j j ) 、j jq - 2 批山l 3 1 o 1 ”：【) 1 一d 执 ( 0 0 1 ) 其中1 ，j ，： 0 ，1 _ 【0 ，。) 在 0 ，1 上连续， 在【0 ，1 ) 上局部i i j l d e t - 连续，且r t ( 1 ) 1 0 此时方程右端的系数在边界和 内部均有奇性利用变分法，我们证明了，当下面条件满足时 r - p , 0sa 0 i t ( ；c ，) = 0 ，i ) l l l | f ，【】 ( 0 0 5 ) ，f ( 1 10 ) = i t 0 ( ) ，r ，j “ 100 付 仃 一 ? ? 一 一 叭叭 = = i 一 i i 中国科学技术大学博士学位论文 v 其中p l ，a20 ，r 一q ，q 1 ， i ) ，i - o ，o o ) 在【( ) 11 上连续，在 0 ，1 ) 上局部i l j l d e r 连续，且r ( 1 ) 0 处理这一问题的主要工具仍然 是第三章的紧映射引理我们的结果可概括为下列两个方面t ( a ) 当p q 时，整体解的存在性和b l o w 一- p 现象与无奇性的传统情 形类似； ( f j ) 当i j = q 时，我们发现 ( 1 ) 如果0 0 ，对t f u l i ，在半径，充分大时( ( j 一0j ) 存在整体 解 情形( 1 ) 是己知的写f 实，往往表述为：对有界区域丽言，小的区域 比大的区域更为稳定【州然而，值得指出的是，情形( 2 ) 阐明了，当 边界奇性充分强烈时，大的区域比小的区域更为稳定这清楚地显示， 定解问题整体解的存在性还与方程系数在边界的奇性密切相关就我们 所知，似乎本文是第一次触及这点的 第五章研究具有奇异低阶项的半线性抛物型方程的如下初值问题c a l l ( h y 问题) ； “j ( a vu ) 一i j “一“f3 一i j “”，j “，”。( 0 , o o ) ( 0 0 f j ) ( f 0 ) =u o ( ，) ，“ 这里p l ，1 = ( n 。j ( i ，) ) 是一个元素有界可测的正定矩阵i ：= 吲r ，) p 。( i - - t ，2 ) ，”定义见第五章此时，由于，t = ( “。，( r ，) ) 仅仅 有界可测且l ，j = 吲一，f ) 具有奇性，开端于倪维明 ni n 2 】而被广泛应用 的上、下解方法似乎不再适用我们仿照【百s z h a n g z l 】( 这里i j 三0 ) 借助于具有奇异低阶项的一致抛物笄子基本解的( ? a i i - 1 界进行讨论与 ( 舡s z h a n g z 1 不同的是，我们使用压缩映射原理，而不是s c h a r i d e r 不 动点定理，从而将单纯的存在性结果推广为存在唯一性定理 第六章讨论下列具有奇异位势的半线性抛物方程的( ”r h y 问题奇性 。i中国科学技术大学博士学位论文 解的存在性 卜。“_ ，矩瞄0 名蔗0 彬o o ， ( ) ? ， 其中，l ： ，7 ， l ，i ，j ( ，) ，吲_ ) ，c 【心) 均为非负函数，且r ) ( i _ = l ，2 ) 在 原点可能具有一定的奇异性在【z z 中讨论了i j ( 一) 三o ，吲z ) 具有奇异 性时抛物方程初值问题奇性解的存在性我们在一定条件下证明了初值 问题( o ，0 6 ) 奇性解的存在性抛物问题奇性解的存在性结果似不多见 第七章考虑具有奇异位势的奇异热方程的下列初值问题和初边值问 题， j 一专舢= m i i ”“+ 几，) 巾，) 。( o ，”) 】h ) l 巾，( 】) = 州，胪 和 ，一击“= v 阻l ”1 + ，( r ) ，l 2 ，( ) i ，i ，( ，) ，厂( ，- ) ，f u 均为己知函数， 这里2 为有界光滑区域我们利用1 , 2 a 1 u 类，( 打wi , i g h l 函数，著名 的： ( ：定理和不动点定理，在一定条件下证明了( ( ) ( 】7 ) 和( o ! ；) 分布解 的存在性 中国科学技术大学博士学位论文 v j i q u a s i l i n e a ra n ds e m i l i n e a re l l i p t i ca n d p a r a b o l i ce q u a t i o n sw i t hs i n g u l a rc o e f f i c i e n t s z e n gy o u d o n g 一d i ( 4 ( 1 v l ：i ：三：。r “) ，a 2 c 。， “tdi”(a($，,“uja,lnv：ul)：wi：,：)三：f。(x。,，l“)，zs2，t(。，丁)c。z， t l e r ed u = ( d l u ，d n u ) ，w h e l c 忱“= 杂，qc 州n 之3 ) i sab o u n d e d o ru n b o u n d e dd o m a i n ，aa n dfa l pg i v e nf i m c t i o n sw i t hr e s p e c t - t ot h e irw r i a b l e s s i n c et h ew e l l - k n o w np a p e r 【g n n w 8 5p u b l i s h e di n1 9 7 9 ，m a n ya u t h o r sw e r e i n t m e s t e di nt h ee x i s t e u c eo rn o l l e x i s t m t c e ，u n i q u e n e s so rm u l t i s o l u t i o n s ，r e g - u l a r i 咄a n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro fr a d i a ls o l u t i o n st o1 ) r o b l e m ( 0 0 1 ) i nt h e c h a p t e r2a 【1 dc h a p t e r3o ft h i st h e s i s ，w em a i l f l ys t l i ( 1 yt h ei n f l u e n c eo ft i l e q u a s i l i n e a ro p e r a t o r d i v ( a ( j v t d ) v “) ，t h en o n l i n e a rt e r m ，( ) ，a n dt h e d i l n e n s i o l lo i lt h ea b o v ep r 0 1 ) e r t i e so ft h er a ( 1 i a ls o l u t i o nt o1 ) l o b l e l n ( 0 0 1 ) ， e s p e c i a l l yi n t h ec e w h e r et h en o u l i n e a rt e r mo f ( o 0 1 ) b e c o m es i n g u l a ra t s o l l l ew h e r e n c m l i n e a rp a r a b o l i ce q u a 。t i o ni sam a i na , n d i m l ) o i t a n ti ) r m m ho fp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a l t h o u g ht h e r ea i e8 0 1 1 1 1 s i m i l a r i t i e sb e t w e e ni ) a r a b o l i c t y p ee q u a t i o n sa i l de l l i p t i ct y p ee q l l a t i o n s t h ep a r a b e l i et y p ee q u a t i o np o s - s e s s e ss o l l l eb r i g h tf e a t u r e si t s e l f ，e s l ) e c i a l l yr e l a t e dt ot i l ee x i s t e n c ea n dn o l l e x i s t e u c eo fg l o b a ls o l u t i o n si nt i m e ，a l l ( 1b l o wi l pj ) l - 0 1 ) l e mo fs o l u t i o n si naf i n i t e 。i i i中国科学技术大学博士学位论文 t i m ea n dt i l ea s y m p t o t i cb e h a v i o l 。o fs o l u t i o n s ，e l ( f r 0 1 1 1c h a p t e r4t oc h a p t e r7 ，w ec o n s i d e rt h ei n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b 一 1 e i l la n di n i t i a lv a l u ep r 0 1 ) l e u l ( o lc a u c h y1 ) r o b l e n l ) o fe v o l u t i o np - l a p l a c e e q u a t i o n sm i d s e m i l i n e a rp a i - a b o l i ce q u a t i o n sw i t hs i n g u l a rc o e f l i c i e n t s u n d e r s o n l es l l i t a b l ec o n d i t f o n s ，w eo b t a i n e ds o l l l er e s u l t so fe x i s t e n c eo fg l o b a l8 0 - l u t i o n st oiz f i t i m b o u n d a r yv a l u ep r o m l e ma n dc a u c l l yi ) w b l e m ，r e s p e c t i v e t y ； a n de x i s t e n c eo ft h es i n g u l a rs o l u t i o nt oc a u c h yp r o b l e n i ，a n dr e g u l a r i t yo f w e a ks o i u c i o n s c h a p t e r 2i sd e v o t e dt ot h ee x i s t e n c ea n dn o l w x i s t e l l c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s t ot h es e m i f i n e a re t f i l ) t i ce q u a t i o n a t t = ( p ) ( 1 一j _ 7 、“i 1 1l l l eu n i tb a l lb w i t h0 - d i r i c h l e tb o u n d a r yc o u d i t i o u o u rl u a i nt o o l sa r eb a s e do l lt h ei u t e r i o r e s t i l n a t e so ft h es c h a u d e rt y p e t h es c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e ma n dt h e p o i n t w i s ee s t i m a t e sf o r g r e e nf u n c t i o n s o u ra lg t u n e n td o e sn o tr e q u i r et h e r a d i a ls y n u n e t r yo fb o t h 凡( ) a n dt h es o l u t i o n m o r e o v e r ，w eh a v ed r o p e do u t t h es u b c r i t i c a lc o n d i t i o nq ( + 2 ) ( 一2 ) c h a p t e l 3i s c o l l c e l n e dw i t ht i l es o l v a b i l i t yo ft h ed i r i c h l e t1 ) r o b l e u li na u n i tn b a l lf o rt h ep l a p l a c i a ue q u a t i o nw i t hs i n g u l a rc o e f f i c i e n t sw h i c ha r e s i n g u l a rn o to n l ya 8i x i t e n d st olb u ta l s oa s t e n d st oo ： j ，一胁( i v n p v 叫 l 札 = ( i x l ) 1 1 7 ( i 一) 一。、v 。l l ， = 0 i ，# b 1 o o i lo b i ( 0 0 3 ) a 1 ) 1 ) l y i n g t h ev a r i a t i o n a lm e t h o d ，w ep 1 o v e dt h a t t h e r ee x i s t sau o i i i - r i v i a l r a d i a ls o l u t i o nt o1 ) r o b l e n l ( 0 0 3 ) w h e nt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o ns a t i s f i e d ： l _ 圳s k j 十j ：；洲g p 等； m o r e o v e r ，w i t ht i l ea i do fo u l 1 e g u l a l i l yt h e o ! e l l l ，w rp j o v e dt h a tt h e r ee x i s t s ap o s i t i v er a d i a ls o l u t i o nt op r o b l e m ( 0 0 3 ) w h e nt i l t , f o l l o w i n gc o n d i t i o n sa r e s a t i s f i e ( 1 ： - 一 一了p - - 1 1 0 一 - q ，q 1 a l l dl o c a l l yl l s l d e rc o l l t h l t l t l l l si nn ，j o ) ，f 0 ，o b m ，0 ( 0 0 4 ) z b n “： 0 ，i _ 0 ，。) i sc o i i t i l u o i i s 】w i t h “( 1 ) 0 r o u g h l ys 1 ) e a k i n g ，o t l l r e s u l t sa l ri r i sf o l l o w s ： ( a ) w h e np q ，l l i l d e rs o l l l ec o n d i t i o n sr e l a t e d t ora n d ，o u ll e s u l t sa r e a n a l o g o u st ot h et r a d i t i o n a il - e s u l t s ( b ) w b e np = g tw eh a v e1 h ef o l l o w i n go b s e l v a t i o n ： ( 1 ) i f0 0 ，( 0 0 4 ) h a s a g l o b a is o h i l i o n f o l 1 1 0 i t 7a tl e a s t f o rr s u l f i c i e n t l yl a r g e 7 l h ec a s e ( i ) i l l u s t l a l 船m e r e l yt h eo l do b s e i v a t i o n ( e g ，s e e | 1 ，5 , 6 ) t h a t ，f o r b o u n d e dd o l n a i n s ，s m a l ld o m a i n sa l el i l o r es t a b l et h a i il a i g ed o m a i n s | l o w e v e r ，i ti sw o r t h yt op o i n to u tt h a tt h ec a s e ( 2 ) i l l u s t r a t e sc l e a r l yt h a t ，f o r b o u n d e dd o m a i n s ，( i no u rc a s e ) l a i g ed o m a i n sa r el l l o r es t a b l et h a ns m a l ld o * l i l a i l l s 7 l h i si l n p l i e sc l e a r l yt h a tt h ee x i s t e n c eo ft h eg l o b a ls o l u t i o ni sc l o s e l y r e l a t e dt ot h es i n g u l a r i t yo ft h ee q u a t i o nv i it h ei m u n d a r y i ts e e l l l st h a tt h i s p a p e ri st h ef i r s t t oa f j d r e s st h i sf a c tt ot h eb e s to fo u rk n o w l e d g e h ic h a p t e r5w e s t u d yt h eg l o b a 1e x i s t e l l c ea n di e g u l a i i t yo ft i l ef o l l o w i n g s e m i l i n e a f i j a r a b o l i cp r o b l e m ： 卜 场”，i l t ，f “( 0 ，。) 。、 【u u bj u o ( r ) ，1 r ” w h e l ep 1a n d a = ( a i j ( r ，) ) i s a p o s i t i v ed e t i n i l ，ei l l a t i i xw i t hi ) o u n d e d i j i j 0 一 “ l 可ad x中国科学技术大学博士学位论文 i l l e a s l u a b l ec o e f f i c i e n t s u n d e ls o l l l ec o n d i t i o n s w oo b t a i t l e dt h eg l o b a le x - i s t e l l c eo fc a u c h yp r o b l e n la n dl o c a lc o l l t h l u i t yf o rw e a ks o l u t o n so f ( 0 0 5 ) t h e s er e s u l t se x t e n dt i l em a i nr e s u l t si n 【z b e i n gd i i l e r e n t r o n l z 】w eu s et h e c o n t r a c t i o nl n a p p i u gp ti n c i p l et op r o v et i l ei l i a i nt h e o r e l l lw h i l ez h a n gu s e d i nc h a p t e r6w et r e a tt i l ee x i s t e n c eo fs i n g u l a rp o s i t i v es o l u t i o n sf o rt i l e f o l l o w i n gs e m i l i n e a rp a r a b o l i cp t o b l e m ： 卜“，：，麓? ”麓嚣笔o p o ) 【o 咖， u n d e rs o l l l ec o n d i t a o n sr e l a t e dt ol i ，w ep r o v e dt h a tt h e l ee x i s kas o l u t i o l l t h a ti ss i n g u l a r “s e e d “， 0t op l o b l e m ( o 0 o ) i ts e e l l l st h a tt h e l ei sf e w r e s u ta b o u tt i l ee x i s t e n c eo fs i n g u l a rs o l u t i o n st ot i l e c a u c h yp r o b l e u lo ft i l e h e a te q a u t i o n c h a p t e r7 ，t i l el a s tc h a p t e r i l lt h i st h e s i s ，i sd e v o t e dt ot h ee x i s t e n c eo f ( 1 i s t - l ，i l m t i o ；l a ls o l u u o n sf o l t i l ef o l l o w i g ( a t i t h yp r o b l e ma n d i n i t i a l b o u n d a r y v a l u ep r o b l e mo fs e l l l i l i n e a rs i n g u l a rh e a l e q u a t i o n sw i l ，1 1s i n g u l a rc o e l l i c i e n t s ： a l l ( 1 一击“= u ( r ，0 ) = v ”“+ - r ( z ) ，f ) ，p ( 0 ，。) 、 ( 0 0 7 ) u ( 。c ) ，c ，c ” 矿f “f p 一“+ 九f j ，。# 9 0 ( ) ( 1 1 7 ) i中国科学技术大学博士学位论文 f ：( ) 是为奇线关于( 1 1 i ) 己进行了广泛的研究，可见( a n o l 和 s h o w f d l t e t 的专著【( 1 s 下面概述一下本文底下各章的内容 第二章在单位圆内讨论如下半线性椭圆问题 这里a 0 ，q l ，k ( _ ) 是在i j 上非负n 1 1 6 1 d i n 连续的函数为了处 理比以往文献中更高的奇异性( 即a 更大) ，我们借助于s h ；m l e r 内估 计和 ：r e e l l 函数的下界估计，将a 的范围从0 a 1 + ( q + 1 ) 2 提高到 o a 1 + n + ( 吖一j ) ，f o r , s o i i i ，0 ns ，【】 i 同时去掉了次临 界增长的条件 第三章讨论下列具有奇异系数的l ，一h l l a ”方程在单位球内的d i r i d l ， l n l 问题的可解性和正则性， 卜d i v 怖f p - a v ) _ 帅卅州j 斗一 一。，在7 丸 0 ) 内( 1 1 9 ) l = 0 t 在0 1 3 , _ 1 2 其中i p ，“：【0 ，l 】_ ) ，) 在【0 ，1 上连续， 在i o ，i j 上局部1 1 6 t c m 连续，且“( 1 ) 0 此时方程右端的系数在边界和 内部均有奇性利用变分法，我们证明了，当下面条件满足时 r 一n0sa l + 三，j 一q ，q i ，r f 【0 ，1 。 0 ，_ x 】) 在【0 ，i 上连续，在 0 ，i ) 上局部l l s l d e r 连续，且n ( 1 ) 0 处理这一问题的主要工具仍然 是第三章的紧映射引理我们的结果可概括为下列两个方面， ( a ) 当p q 时，整体解的存在性和b 一现象与无奇性的传统情形类 似； ( b ) 当p = g 时，我们发现 ( 1 ) 如果0 0 ，对f l u w ，在半径，充分大时( 1 1 l o ) 存在整体 解 情形( j ) 是己知的事实，往往表述为，对有界区域而言，小的区域 比大的区域更为稳定【i c l 】然而，值得指出的是，情形( 2 ) 阐明了，当 边界奇性充分强烈时，大的区域比小的区域更为稳定这清楚地显示， 定解问题整体解的存在性还与方程系数在边界的奇性密切相关就我们 所知，似乎本文是第一次触及这点的 本人体会，对数学研究的成果的评判标准侧重于两个方面，其一是方 法的独创性例如，s o b o l e v s c h w a r t z 的广义函数理论，mg i o r g i n a s j l 学， l | ，肛 晰 v 口 ? v 叭 帆 “= = 出叫 一 也 n f j中国科学技术大学博士学位论文 估计，m y i 。”划b c ，v 估计，c t m n d a l l i 胁s 的粘性解理论等都是开创性 的工作，有着划时代的里程碑意义它们是数学园中的瑰宝其二是揭 示新现象这是为数学大厦添砖加瓦的工作大量的数学研究应该属于 这一类，当然也有它弥足珍贵的意义在就此而言，窃以为本章是本文 的主要贡献之一 第五章研究具有奇异低阶项的半线性抛物型方程的如下初值问题c a u c h y 问题) t 裂篇毫。和”( 1 1 ) 圳( 】1 毗川， 这里p 1 ，a = ( “。j ( i ) ) 是一个元素有界可测的正定矩阵k = 吲z ，) p 一( b l ，2 ) ，j 一定义见第五章此时，由于a = ( m 小1 1 t ) ) 仅仅 有界可测且k = k ( 文) 具有奇性，开端于倪维明【n i n 2 而被广泛应用 的上、下解方法似乎不再适用我们仿照q js z h a u g z 1 ( 这里h 三0 ) 借助于具有奇异低阶项的一致抛物算子基本解的g a t m 界进行讨论与 ( 2 ls z h a u g z 1 不同的是，我们使用压缩映射原理，而不是s c h a u d e r 不 动点定理，从而将单纯的存在性结果推广为存在唯一性定理 第六章讨论下列具有奇异位势的半线性抛物方程的( ：a i i ( h y 问题奇性 解的存在性 ( 1 1 1 2 ) 其中“23 ，p i ，1 小) ，吲，) ，i t 0 ( t ) 均为非负函数，且吲z ) ( i = 1 ，2 ) 在原点可能具有一定的奇异性在【z z 中讨论了州一) 三o ，k ( z ) 具有奇 异性时抛物方程初值问题奇性解的存在性我们在一定条件下证明了初 值问题( 1 1 1 2 ) 奇性解的存在性抛物问题奇性解的存在性结果似不多 见 一 第七章考虑具有奇异位势的奇异热方程的下列初值问题和初边值问 ” n l | 一“ 、i l 0 时 引 叫 一 “ h ，i_jr、-jl ar 】 【c s h 】 【c w 【i ) g 【d e g 】 1 1 旷s c 第一章绪 论 7 一 题， 和 慨 “一击“= u l , , i ”。1 “+ ，( z ) ，j ：s 2 ，0 1 ，v ( z ) ，( z ) ，f u ( z ) 均为已知函数， 这里q 为有界光滑区域我们利用k a t o 类，g r e e nt i g h t 函数，著名 的3 g 定理和不动点定理，在一定条件下证明了( 1 1 1 3 ) 和( 1 1 1 4 ) 分布 解的