（基础数学专业论文）一类无限维李代数的表示.pdf

中文摘要 中文摘要 设a ：= cp 1 ，z 亨1 】是复数域c 上的d 2 个交换未定元的l a u r e n t 多 项式环，d e r ( a ) 是a 的全体导子构成的李代数对n = ( n l ，n 2 ，呦) 1 z d ， 记扩= z p z 尹2 令耽( n ) = z ”z ( a ) ，i = 1 ，d 对“c d ，记 d ( u ，7 - ) = e 垒1 d i ( r ) 本文在第二章和第三章研究三角导子李代数 量：= d0 ，r ) ：t c d ，r z 4 满足当i 歹时u i 勺= o ， 的结构和表示第二章给出三角导子李代数的刻画并证明了三角导子李代数是p e r f 础的李代数第三章以cl 1 ，z 1 为表示空间构造了三角导子李代数的一 类表示，并给出了其为不可约表示的充分必要条件，对非不可约表示研究了其所对 应模一切非零真子模的结构 本文在第四章研究了高秩v i r a s o r 伊l 妣代数 g ：= s p a n c d ( u ，r ) ：r z d o ) ，t k e r ( r ) ) 的导子李代数，证明其与斜导子李代数 ：= s p a n c d ( 牡，r ) ：“k e r ( 7 ) ) 同构，并给出高秩v i r a s o r 争l i k e 代数与斜导子李代数的自同构群a u t ( g ) 与a u t ( ) ， 得到 a u t ( g ) 笺a u t ( ) 兰g l d ( z ) k ( c ) d ， 推广了相关文献的结论 关键词： 三角导子李代数；表示；高秩v i r a s o r o - 1 i k e 代数；斜导子李代数；自同构 群；导子 a b s t r a c t l e ta ：= cl 1 ，右1 】b e t h e 血g o f h e n t p o b m o m i a l i i l d 2c o m m 1 】t i i l g v a r i a 山ko nt h e 缸l do fc o m p l e xn 珊曲e rc ，a n dl e td e r ( a ) b et h el i ea l g e b r ao f t h ed e r i v a t i o n so faf 0 rn = ( n l ，佗2 ，心) t z d ，d e n o t ez ”= z 1 z 才l e t d ( 咒) = z “磊( a 跳) ，i = 1 ，d w r ed e n o t ed ( t 正，r ) = 冬1 d i ( 7 _ ) f o ru c d i nt h ec h a p t e r s2a n d3o ft h i sp 印e r ，w es t u d yt h es t m c t u r e 趿dr e p r e s e n t a t i o n o ft h et r i 觚g u l a l rd e r i v a t i o nl i ea l g e b r a ： 譬：= d ( t ，7 - )：t 正c d ，r z ds l l c ht h a tu 乃= ow h e ni j ) i ti sg i v e nt h ec h 毗a c t e r 斌i o no ft h et r i a n g u kd e r i v a t i o nl i ea l l g e b r ai i l c h 印协2 ， a n do n es h o w st h a tt h et r i a n g u kd e r i v a t i o nl i ea l g e b r ai ti sp e r f e c t i nc h a p 泐3 ， w ec o n s t l l l c ta c l a 胬r 印re 8 _ e n 龇i o no ft h et r i a n g u l a l rd e r i v a t i o nl i ea l g e b r a w h i c h h a st h er e p r 髑e n t a t i o ns p a u c eo ft h ef o 珊ck 1 ，2 手1 w _ e 百v et h es u 伍c i e n t a n d n e o e s s a r yc o n d i t i o ns u c ht h a tt h er 印r e s e i l t a t i o ni si r r e d u c i b l e ，w ea l s os t u d yt h e s t m c t u r eo f 出1n o n z e r op r 叩e rs u b m o d u l ew h e nt h er 印r 箦e n t a 七i o ni sn o ti r r e d u c i b k i nc h a p t e r4 ，w e 咖d yt h ed e r 瓶，t i o nl i e 姆b r ao ft h ef o u o w i i l gh 砷e rr a i l k v i r a s o r 争1 i l 【ea 蛔e b r a ： g ：= s p a n c d ( t 正，r ) ：r z d o ，札k e r ( r ) ) ， o n es h o 倍t h a tgi s o m o r p h i st ot h ef o u o w i n gs k e wd e r i v a t i o nl i ea l g e b r a ： ：= s p a n c d ( u ，r ) ：t k e r ( r ) w ed e s c r i b et h ea u t o m o r p h i s m 盯o u p sa u t ( g ) a n da u t ( ) ，r 唧e c t i v e l y ，o fh 远h e r r a n kv i r a u s o r o _ l 妇a l g e b r aa n ds k e wd e r i v 砒i o nl i ea l g e b r a i ti so b t a i l l e dt h ef o l l o w - i i l gr e s u h 8 ： a u t ( g ) 竺a u t ( ) 垡g 己d ( z ) k ( c ) d t h i sg e n e r a l i z e st h er e s u l to ft h ec o r r e l a t i v em e r a t u r e k e y w o r d s ：t r 洫g u l 缸d e r i v a t i o nl i ea k e b r a ；r e p r e s e n t a t i o n ；h i g h e rr 如kv i r a s o r 小 l 龇a l g e b r a ；s k e wd e r i v a t i o nl i ea l g e b r a ；她t o m o r p h i s mg r o u p ；d e r i v a t i o n i i 黑龙江大学硕士学位论文 本文要使用的符号及其意义： 符号说明 符号 意义 c 复数域 z 整数环 c c 的乘法群 u0y 空间u 与y 的直和 z d z e l0 0z e d c 奄 c e l0 0c e 七 r 詹 c 七nz d ( c ) d c + e 1o oc + e d g 玩( z ) z 上的d 阶可逆矩阵的全体 鼠d 阶单位阵厶的第i 列 ot 7同维向量与7 7 通常的h a d 锄a r e d 积 m r矩阵m 的转置 m _ t 可逆矩阵m 逆的转置 ( ，) c d 上的通常内积 k e r ( r ) t 工c d ：( u ，r ) = o ) d e r ( 2 ) 代数烈的导子全体 a u t ( 2 【)代数2 i 的自同构群 设s 为李代数l 的非空子集，本文中由s 生成的工的子代数记为( s ) ，而 由s 张成的l 的c 一向量子空间记为s p a n c s 令a = ck 产1 ，z 手1 为c 上有d 个交换未定元z l ，铂的l 咖e n t 多项式环，记d e r ( a ) 是a 的全体 导子构成的李代数对他= ( 礼1 ，n 2 ，n d ) t z d ，记严= z ? t z z 令 眈( 死) = z “五( a 如) ，i = 1 ，d 对u c d ，记d ( ，r ) = 垒l u d i ( r ) 命题o 1 以j ；加e r ( a ) 是z d 分次李代数，且有 d e r ( a ) = o 。z a ( d e r ( a ) ) 。， 其中( d e r ( a ) ) n = d ( 牡，而：u c d ，n z d ，且在d e r ( a ) 上有如下李结构： 【d ( u ，r ) ，dp ，s ) 】= d ( t i ，r + 5 ) ，“，t ，c d ，r ，5 z d ，( 1 ) 一t v 符号说明 其中铷= ( u ，s ) 秽一( 口，r ) u 本文要研究的d e r ( a ) 的子集； 符号 白七 白 6 七 譬七 譬 g g r 意义 。叁1 d ( c e i ，o ) 6 d s p a n c d ( e 寿，r ) ：r i 奄) d ( u ，r ) ：u c ，r r 七满足当i 歹时u 乃= o ) 互d s p a n c d ( u ，r ) ：r z d o ) ，u k e r ( r ) ) = a0i ) 磐： 曝 c 阽1 ，右1 】的子集 意义 c p ：1 ，z 吉1 】 c 7 = o ， z 2 0 1 ：z 日) 此处日 连同交换关系 【l 。，l 。】= ( 礼一m ) l 竹l + t l ，v m ，几z 构成的李代数w i t t 代数的泛中心扩张耽r ：= m0c c + 入c ，k + 州：一m ) l m h + 如h o 竺竽c ，v 仇，n z 称为v i r a u s o r o 代数在无穷维李代数中v i r 8 s o r o 代数是另一类非常重要的代数，其 表示在构造仿射李代数的表示和分析其结构时起着重要的作用，也在顶点算子代 数理论的研究中扮演着及其重要的角色所以人们对v i r a s o r o 代数的研究也不断 深入，易见v i r a s o r o 代数其实就是1 维环面导子代数的泛中心扩张由于v i r 8 s o r o 代数的广泛应用，人们自然试图对它进行推广，d 维环面是1 维环面最为自然的 推广但是在d 2 时，d 维环面上由全体导子构成的李代数没有非平凡的中心 扩张，这使得人们对其的研究一方面转变为研究a b e l 扩张，另一方面研究其某 些子代数的中心扩张，当然最期望所研究的子代数的中心扩张在某种意义上也是 v i r a s o r o 代数的推广 当d = 2 时，【4 9 】介绍了d e r ( a ) 的一类子代数，因其与v i r a l s o r o 代数有着极 其类似的性质，故被称为v i r a s o r o - l i l 【e 代数文献【5 0 】研究了v i r a s o r o - l i l ( e 代数 的导子代数，得到 第1 章绪论 d e r ( g ) = 9o 白 其中g 为秩2 的v i r a s o r o - 1 i l c e 代数同时， 【5 0 】还研究了斜导子代数的自同 构群，得到 a u t ( 9o 白) 竺g l 2 ( z ) k ( c + c ) 另外，v i r 锯0 r o 1 i k e 代数的表示理论也得到广泛关注，参见【5 1 ，5 2 】众所周知，对 李代数的自同构群及其结构的研究可以加深人们对李代数自身结构和表示结构的 认识，因此具有重要的意义，近来出现了许多有关李代数自同构群的研究文献( 见 【5 0 ，5 3 ，5 4 ，5 5 ，5 6 ，5 7 】) 其中，许多学者研究了d e r ( a ) 的一些子代数的自同构群 ( 有些考虑了变量非交换的量子环面情形) ，但大都研究d = 2 的情形 受上述工作启发，对一个固定的d 2 本文在第二章和第三章主要研究了 d e r ( a ) 的一类子代数 写= d ，7 ) d e r ( a ) ：牡c d ，r z d 满足当i j ：时地乃= o ， 的结构和表示因为其生成元的参变量t ，7 _ 下标呈三角状所以称之为三角导子李代 数本文的前一个部分之所以要研究三角导子李代数，一方面因为对其结构和表示 的研究是环面导子李代数研究的补充和发展，另外在作者的另一篇习研中得到三 角导子李代数的中心扩张是v i r a u s o r o 代数的一种新形式的自然推广在第二章我 们给出三角导子李代数的定义并给出其刻画： 互= o 冬1 6 t = 2 ：。( o 皂。文( z ) ) 其中毹( z ) ：= d ( c e 詹，z e ) 在第三章我们将多变量l a 眦e n t 多项式环面a 作为 表示空间，对参变量( q ，p ) c c 构造并研究了一类三角导子李代数的表示 仁，所：譬一g 【( a ) ， ( 妒( d ，卢) ( d ( “，r ) ) ) 0 ”) = ( u ，n + q + 7 o ) z ”+ ，r z d ，u c d 得到( q ，卢) 是不可约表示的充分必要条件是( a d ，阮) 譬z o ，1 ) 并且我们研究了 非不可约表示所对应模的一切真子模的结构： 1 若屈= o ，v x ( q ，p ) i d ，则互非零真子模有且仅有 毋：，x ( 口，p ) + l i d 黑龙江大学硕士学位论文 2 若阮= l ，则譬非零真子模有且仅有： ( 唠：p 岛) oe 川( 1 一乱“x ( 印) ) 哦“o ：一， 其中“一1 o ，1 ) ，p = x ( q ，p ) + 1 ，d 3 若尻= o ，且存在展= 1 ，x ( a ，p ) i d 令 a = m a 0 ：屈= 1 ，) ( ( q ，p ) j d ) ， 则互非零真子模有且仅有磐：，i = 入+ 1 ，d 及 ( 畦p 岛) o 气一1 ( 1 一以“x ( 印) ) 乩。毋：， 其中p 一1 o ，1 ) ，p = ) ( ( 口，p ) + 1 ，入 其中 巾厕= lh & 蜊叭) 如果潍茎篡矧蓁三 本文在第四章将把【5 0 1 的结果从d = 2 的情形推广到d 2 ，刻画了高秩 v i r a s o r o l n ( e 代数的导子李代数，证明其与d 个变量的环面上斜导子李代数同构， 并得出斜导子李代数是完备李代数的结论；本文最后给出了高秩v i r a s o r o - l i l 【e 代数 和斜导子李代数的自同构群 一4 一 第2 章出维交换环面三角导子李代数 第2 章出维交换环面三角导子李代数 2 1 三角导子李代数的定义 鉴于d e r ( a ) 一模的重要性及推广v i r a s o r o 代数的意义我们给出： 定义2 1 称d e r ( a ) 的子空间 互= d ( u ，r ) ：t c d ，r z d 满足当i j 咖i = o 为d 一维交换环面三角导子李代数 我们在2 3 节将证明墨确实构成d e r ( a ) 的子代数另外三角导子李代数也 是g 在文【4 8 】中构造相应子代数的推广 2 2 壤( g ) 与6 七 对1 i ，七d ，g z 是z 的加法子群我们定义d e r a 的子空间： 鬣( g ) ：= d ( c e 七，g e i ) ：= s p a n c d ( e 七，夕e i ) ：夕g 6 七：= s p a n c d ( e 七，r ) ：r r 七) 引理2 2 设1 i ，七d ，g z 是z 的加法子群，则瓯( g ) 是d e r ( a ) 的子 代数，并且当i 七时( g ) 是a6 e f 的，当g o 时罐( g ) 是p e 咖c 的 证明任取d ( e 七，0 e ) ，d ( e 七，6 e i ) 毹( g ) ，有 f d ( e 七，粥i ) ，d ( e k ，6 e i ) 】= d ( ( ( e 奄，6 e i ) e 一( e 七，伽i ) e 七) ，( 0 + 6 ) e i ) = ( e 七，( 6 一o ) e i ) d ( e 七，( 口+ 功色) = ( 6 一a ) 6 ， d ( e 七，( 口+ 6 ) e ) 最( g ) ， 所以壤( g ) 对d e r ( a ) 中的运算封闭是子代数，并且当i 七时以，i = o ，进而毹( g ) 是交换的若g o ，则g 中有无穷多个元素，对任意取定的d ( e 七，鲈七) 罐( g ) ， 令o g 2 - 1 夕) ，6 = 夕一口 则6 一口= 夕一2 口o 由上式知 d ( e ，驴七) = d ( e ，( + 6 ) e 七) = ( 6 一口) - 1d ( e 七，( q + 6 ) e k ) = 白一2 口) - 1 【d ( 粥七) ，d ( e ，6 e 七) 】 磷( g ) ，畿( g ) 】 一5 一 这就证明了罐( g ) = 【磷( g ) ，罐( g ) 口 引理2 3 设1 膏d ，则6 i 是d e r ( a ) 的p e 啦c 子代数，并且 证明任取r ，s r ，因为 6 t = ( o 笔。毹( z ) ) 【d ( e 七，7 _ ) ，d ( e k ，5 ) 】= d ( ( ( e ，s ) e 一( e ，r ) e 七) ，7 + s ) 所以6 南是d e r ( a ) 的子代数 = ( e 南，3 一r ) d ( e 知，r + s ) 6 七 任取d ( e ，j 9 ) 6 k ，令r = p l e l + + 矶一l e k 一1 ，+ r 毛e 七，其中仉z 2 1 m ) ，5 = j d r ，贝0 ( 5 一7 k ) = 依一2 r o 并且 d ( e 知，j d )= d ( e 女，r + 5 ) = ( “一5 ) _ 1 【d ( e 七，r ) ，d ( e 七，5 ) 】【6 ，6 】 进而6 七= 【6 k ，6 】，即6 七是p e r f e c t 子代数 设7 = r l e l + + 7 k e 七i 、 断言：如果“o ，那么d ( e 知，r ) ( o 冬1 毹( z ) ) 因为d ( 钆，7 七e 七) 磁( z ) 假设d ( e k ，o + 1 e j + 1 + “e k ) ( o 岛+ 1 碰( z ) ) ，v l 歹 后那么 d ( 钆，勺勺+ + 以e 惫) = 7 - i 1 【d ( e ，o 勺) ，d ( e ，0 + 1 勺+ 1 + 仉仇) 】 ( o 岛毹( z ) ) 所以d ( e 女，r l e l + + r e 七) ( o 笔l 磁( z ) ) 这就证明了断言 又因为 d ( 靠，7 l e l + + 7 七一1 e 一1 ) = 2 1 r i l 【d ( e 七，一r t e t ) ，d ( e ，r ) 】( o 冬。g ( z ) ) 所以6 七c ( o 笔1 霹( z ) ) ，而( o 垒l g ( z ) ) c6 是显然的从而引理成立 口 一6 第2 章出维交换环面三角导子李代数 2 3三角导子李代数的刻画 引理2 4 设1 i 歹d ，则【6 i ，6 j 】c6 j 证明设r r i ，s r j ， 进而引理成立口 f d ( e t ，7 ) ，d ( 勺，5 ) 】= ( e i ，s ) d ( 勺，7 + 5 ) 6 j 引理2 5 设1 七西则是d e r ( a ) 的p r e ，e c t 子代数，6 塑譬是理 想，并且 瓢= o 垒1 6 证明由定义显然有。坠1 6 ic 甄我们只需要证明co 叁1 6 i 由定义知互1 = 6 l ，假设一1 = o 旨6 设d ( t 正，) ，其中u = u l e l + + 牡七e 南，r = 7 1 e l + + r 七e 七，由假设不妨 设t 知，仉不同时为零 如果仇o ，那么由于“= o ，i 七可以得到u = u 知，那么d ( 札，r ) 6 以下只需要考虑u 詹0 ，“= 0 的情形由于= 0 所以 又因为 所以 d ( t l e l + t 七一l e 七一l ，r ) 瓢一l = o 譬6 d ( u k e 七，7 ) 6 ， d ( t 上，7 ) = d ( u l e l + 让七一1 e 一1 ，7 ) + d0 七e 七，7 ) o 冬1 6 i 由归纳法原理就证明了co 垒1 6 i ，进而= o 笔1 6 i 由引理2 4 【6 i ，6 爿c6 jc ，v 1 i 歹七所以瓢是子代数并且6 女 是理想，再由6 i ，1 i 七是p e r f e c t 的，知瓢是p e r f e c t 的 口 由此引理我们立即得到： 定理2 6d 一维交换环面的三角导子代数墨是z d 阶化的p e r ，e c z 代数，有z 詹 阶化的班班c t 子代数使 0 譬l 墨d l 墨， 一7 一 黑龙江大学硕士学位论文 满足一l 是瓢的理想，并且瓢一116 七，特别的 互= e 垒，6 七= 0 2 ：。( o 冬，文( z ) ) 一8 一 第3 章三角导子李代数的表示 第3 章三角导子李代数的表示 研究代数的表示不仅对了解代数本身的结构有帮助，而且也有其独立的理论意 义在本章，我们以a = c 【砖1 ，z 孝】为表示空间，构造一系列三角导子李代 数的表示，并给出了其为不可约的充分必要条件对非不约的表示，我们研究了其 所对应模一切真子模的形式 3 1 以c z 砉1 ，z 寺 为表示空间三角导子李代数的一类表示 弓l 理3 1 设d ( t 上，) 6 i ，d ( t ，s ) 6 j 则 ( u ，s ) or = ( t ，r ) uos 证明我们不妨设i j ，并且设乱= 地e i ，刀= 勺 当i j 时有口or = o ，扣，r ) = o ，进而引理成立 当i = 歹时有( 让，s ) 口or = 蚴s i 仇心e i = 忱r i 姚s i 色= ( ，r ) u os 这时引理也成 立口 定理3 2 设( q ，) c d c d 令a = c 【碚1 ，z 孝】，定义线性映射咖( 。) ： 互一g l ( a ) ， ( 妒( n ，卢) ( d ( 札，7 ) ) ) ( z n ) = ( t 正，n + q + 7 op ) z ”+ 7 ，v n ，r z d ，“c d 则( 。，钟规定了一个以a 为表示空间的三角导子李代数s 的表示 证明由定理2 6 及( 。，p ) 是线性映射我们只需要证明当d ( u ，7 ) g i ，dp ，s ) 6 j 时有 ( 。，口) ( d ( u ，r ) ) ，咖( 。，卢) ( d ( 钉，5 ) ) 】= ( 。，p ) ( f d ( “，r ) ，d ( 口，s ) 】) ( 3 1 ) 黑龙江大学硕士学位论文 事实上，对任意的礼z d 有 ( ( 。，p ) ( d ( u ，r ) ) ，( o ，p ) ( d ( 秽，5 ) ) ) ( 2 ”) = ( ( 。，卢) ( d ( u ，7 ) ) ( 口，卢) ( d ，5 ) ) ) ( z “) 一( ( 。，p ) ( dp ，s ) ) ( 。，p ) ( d 似，r ) ) ) ( z ”) = ( 口，n + q + s op ) ( 庐( o ，口) ( d ( “，r ) ) ) 一心，n + q + r op ) ( ( 。，卢) ( d ( ，5 ) ) ) ( z 蚪5 ) ( z 计7 ) = ( 秽，n + q + s op ) ( 乱，扎+ s + q + rop ) z ”+ 5 + 7 一( u ，n + q + 7 op ) ( 钐，几+ r + a + 5op ) z ”+ 5 + 7 = ( ( 口，礼+ q + so ) ( u ，s ) 一( u ，扎+ a + r op ) ( 口，r ) ) z ”+ 卧7 又因为 ( ( 郇) ( 【d ( u ，r ) ，d ( 可，5 ) 】) ) ( z “) = ( 咖( 。，西( ，5 ) d ，r + 5 ) 一( u ，r ) d ( u ，r + 5 ) ) ) ( z n ) = ( 让，s ) ( 口，n + q + 7 - op + 5 op ) z ”+ 7 + 5 0 ，r ) ( 让，佗+ q + ro + 5o 钟z n + 7 + 8 = ( ( 牡，s ) ，礼+ q + sop ) 一p ，r ) ( 乱，仡+ a + 7 o ) ) z ”+ 。+ 7 + ( ( u ，s ) ( 钞，rop ) 一( u ，r ) 0 ，so 卢) ) 2 ”+ 5 + 再注意引理3 1 有( 似，s ) 秒o7 = ( u ，r ) uos ，所以 ( 牡，s ) ( 钉，rop ) = ( 可，7 - ) ( t 正，sop ) 进而( 3 1 ) 成立，所以定理成立口 注记3 3 上三角矩阵李代数任意有限维不可约表示在l o s s d n 函子下的像有且 仅有上述定理中表示的形式因此也可以仿l n s s o 礼的方法构造互的上述表示 在本章里，我们总用咖( n ，卢) 记定理中( q ，p ) c d c d 为参数三角导子李代数 譬的表示因为6 七( 或瓢) ，后= l ，d 是互的子代数，所以( 。，p ) 在6 女( 或瓢) 上的限制( 。，口) 1 6 。( 或( 。，p ) i 瓢) 是以a 为表示空间g 七( 或) 的表示，在不引起混 淆的情况仍然记成( 。，卢) 我们将妒( 。，p ) 所对应的模记成a ( 。，p ) 即互中元素在a 的齐次元上的作用为 d ( “，7 ) z ”= ( t 正，扎+ q + rop ) z 刑。r ，v d ( u ，7 ) s 作为本节的结束，我们给出上述定理的推论： 一1 0 一 ( 3 2 ) 第3 章三角导子李代数的表示 推论3 4 设y 是a 的子空间，则y 是a ( 。，p ) 的瓢子模的充分必要条件是对 任意的1 i 七，y 是a ( 。芦) 的6 i 子模 证明必要性：设瓢( y ) cy ，由6 i 是瓢的子代数，所以6 ( y ) cy 充分性；如果6 i ( y ) ce1 i 七，由引理2 5 瓢= o 叁1 6 i ，所以 譬( y ) = ( o 冬1 6 t ) ( y ) c 垒1 6 ( y ) cv 口 3 2 妒( 。，p ) 不可约的条件 为了研究( 郇) 为不可约表示的条件，我们先定义一系列记号 记巩= c 瞄手1 ，z 亭1 ，七= l ，d 规定= c 易见帆= o ，r 。c z 7 ， w - d = a 设o 七 扣 = ( 日和 ) 丌) 设1 惫d 记 笏：= 眠一1 一q i ) 一口 ) ，i = 1 ，2 ，七 及 嚷= o ，一m ，；【一1 7 _ 一q + 1 ) 一q 足 ，i = 1 ，2 ，七 易见 国o 嚷= 暇 一a i + l 一a 七) ，i = 1 ，2 ，惫 豸：一l 一q = 曙：；1 一口 = ，i = l ，2 ，七( 七2 ) 我们总是认为譬中的元素对w ；中元素的作用为( 3 2 ) 引理3 5 设0 七d ，则 b k ：= o 笔1 d ( c e i ，o ) 是互七的极大交换子代数，彬i 是瓢的关于白的权模 证明极大性是显然的后者只需要注意到b 七在w ；上的作用是对角的 口 推论3 6 设y 可玩是w i 的瓢子模则对任意的r r 七有ync 矿= 0 或 t r y 1 1 黑龙江大学硕士学位论文 证明只需注意到权模的子模是权模 口 引理3 7 设1 七d ，则肌是a ( 。，p ) 的6 k 子模 证明设扩眠，d ( 既，r ) 6 ，则礼，7 r k ，所以n + 7 r 奄，再由 d ( e 七，7 _ ) 矿= ( 竹k + a k + 仇r ) 2 n + r 眠， 所以6 ( 帆) c 口 引理3 8 设o 七d 一1 ，p z ，日是a ( 。，) 的6 k 子模则日 p 】 是a ( 。，p ) 的6 i 子模，并且日与日 办同构 证明设严z 乱1 日 办，d ( 既，7 ) 6 k ，则扩日w 七，进而n ，7 r 知，所 以n + r r 知，由 所以z 日又因为 6 七( 日) c 日， d ( e ，r ) z “z 暑+ l = ( 佗七+ q + 仇r 七) z 蚪7 z 备l 所以6 ( 日( p ) ) c 日 p ) 即日d 是a ( 。，卢) 的6 七子模 做线性映射 ，：h _ hd ) 矿h 严z p + l 由日妇) 的定义，易见其为双射又因为 d ( e ，r ) ，( 严) 所以，是模同构口 = d ( e ，7 i ) z ”z 鲁1 日 p ) = ( 佗女+ q 女+ r 七伉) z 7 z p + 1 = ，( ( n + 口七+ “伉) z 州1 ) = ，( d ( e ，7 ) 2 n ) ，v r 1 1 七 引理3 9 设o 七d ，0 5 d 一七，则帆+ 。是a ( 。，p ) 的子模 证明注意到 帆+ 。= o 儿加z 眠 p 1 ) 伪 一1 2 一 第3 章三角导子李代数的表示 及 6 ( 帆) c 再引理3 4 和并反复用引理3 8 即可得到 瓢( w ；扣) cw k + 。 即眠如是a ( 。，卢) 的瓢子模 口 引理3 1 0 设l 后d ，q 七z ，风= 0 ，则w ；中瓢的所有非零真子模具有 形式 日 1 ，日是w i 一1 中的瓢一l 非零子模 证明 设y l ，日是帆一1 中的一1 真子模 证明设y ) 的形式，进而需要 6 i ( 日 一口七) ) c 日 一q ) ，1 i 七一l 所以日是一1 模，但日不能等于眠一l ，也就证明了引理口 引理3 1 2 设置 1 ，2 ，d ，则帆是不可约互k 模的充分必要条件是凤 o ，1 或a 七z 证明由前两个引理即得必要性 充分性：设y p 是w ；的非零真子模因为y 0 ，应用推论3 6 知存在 n r k 使z ”y 当侠o ，1 时由( 3 2 ) 知 d ( e ，r ) z n = ( “倪+ n i + q 七) z ”+ r ，v 7 _ r 知， 假设存在p z 使得 p 风+ n 血+ q = 0 ， 因为凤o 从而对任意的q z 妇 都有 q p k + 佗k + q 置0 ， 从而 z n + 5 + 。vv s r 七一1 ，q z ) - 为了证明y = 帆只需要证明当g = p 时上式依然成立取掣z o ，p ) ，则有 d ( e k ，一y ) e 七) z ”如+ 妒 = ( ( p 一可) 鼠+ n k + q 七+ 可) z 州。抖p e = ( 1 一仇) y 2 ”+ 5 + p e * 因为凤1 ，y o 所以( 1 一雠) 秒0 ，从而 z n + 5 + p 。v v s p 一l ， 第3 章三角导子李代数的表示 此时我们得到y = 巩 当q k 岳z 时由先前的证明，我们只需要对陬= 0 或厥= 1 这两种情况证明 y = w i 为此我们取佗r 七使z n 矿 若q k z ，凤= o ，此时他奄+ q k 0 进而 d ( e ，r ) z ”= ( 礼k + q ) z ”+ k 协r 这说明y = 巩 若a 簪z ，仇= 1 ，此时仉+ n k + a 七o ，v r r 七进而y = 口 由上述两个引理，立即可得： 定理3 1 3 ( 。，卢) 是不可约表示的充分必要条件是尻o ，l 或q d 隹z 3 3 可约a ( q ，所的子模结构 我们对( 口，p ) c d c d 定义 小脚= m 啦h 二挑。) 如果黧霉三 由定义我们立即有命题； 命题3 1 4 如果x ( 口，p ) isd ，则嘶z 并且屈 o ，1 ) 定理3 1 5 设o x ( & ，钟 七d ，则 ( i ) 若屈= o ，v x ( a ，p ) i 七，则w ；中的非零真子模有且仅有 毋：，x ( q ，肛) + 1 i 七 ( i i ) 若仇= 1 ，则w ；中的甄非零真子模有且仅有： ( 唣p 岛) o 一l ( 1 一札- 1 x ( 。，p ) ) 慨乩。豸， 其中p l o ，1 ) ，p = x ( q ，p ) + 1 ，丘 ( i i i ) 若凤= o ，忌2 且存在屈= 1 ，) ( ( q ，p ) i 七，令 入= m a x0 ：屈= l ，x ( q ，p ) i 七) ， 黑龙江大学硕士学位论文 则w ；中的瓢非零真子模有且仅有曙：，i = 入+ 1 ，七及 ( 畦p 易嗥) 一1 ( 1 一以- l x ( q 口) ) 饥“o 磐， 其中p 一1 o ，1 ) ，p = x ( q ，p ) + 1 ，a 证明我们用数学归纳法来证明定理 当七= 1 时 如果岛= o ，则由引理3 1 0 知m 中互1 的菲零真子模有且仅有 一q 1 ) = 豸i ， 这说明( i ) 当后= 1 时如果满足条件( i ) 则定理成立 如果风= 1 ，则由定理3 1 l 知帆中的譬l 非零真子模有且仅有c ，这说明当 知= l 时如果满足条件( i i ) 则定理成立 当七= 2 时如果岛= o 并且俄= 1 则此时a = 1 设y 是中任 意的一个非零真子模，应用定理3 1 0 知有川中的z l 非零子模使 y = u 一a 2 ) ， 如果x 如，p ) = 1 ，那么定理3 1 2 可得u = 肌此时 y = 帆 一q 2 ) = 国； 如果x ( q ，p ) = o ，注意到尻= l ，o = x ( q ，p ) 1 ，对u 应用定理中( i i ) 则有 u = c l 进而 y = c ： 一q 2 = 呜 这说明当七= 2 时如果满足条件( i i i ) 则定理成立 假设忌一1 时定理成立其中对( i ) ，( i i ) 1 七一1 d ，对( i i i ) 2 七一1 d 设y w ；是中任意的一个非零真子模 如果满足定理条件( i ) ；应用定理3 1 0 知有w ；一1 中的甄一l 非零子模日使 y = 日( 一。七) ， 如果) ( ( q ，p ) = 一1 ，那么定理3 1 2 可得日= 一1 ，则 y = 一i 一口膏) = 曙1 如果x ( q ，p ) 七一1 ，注意到舷= o ，v x 如，p ) i 七一1 ，对h 应用( i ) 的归 纳假设可知日= 毋：- l x ( q ，p ) + 1 i 七一1 从而 y = 仍：一1 【一a k ) = 噔：，x ( 口，p ) + 1 i 七一1 第3 章三角导子李代数的表示 进而定理在满足条件( i ) 时成立 如果满足定理条件( i i ) ；那么应用定理3 1 0 知有w ；一l 中的一l 真子模k 使 如果k = o ，则 y = c ：ok 一q 女 y = c l ； 如果k o ，并且屈= o ，v x ( a ，p ) i = c lo 留：，x ( q ，p ) + 1 i 足一1 如果k o ，并且风一1 = 1 ，对k 应用( i i ) 的归纳假设可知k = ( o 譬：岛一。) o e l i 一1 ( 1 一乳一1 ，x ( q ，p ) ) 吼一。，o 豸二i ，其中p l o ，1 ) ，p = x ( q ，p ) + 1 ，后一1 从 而 y = c ：o ( ( o 等岛一。 一q t ) ) o 一( 1 一乳一，x ( 。，芦) ) 嘛礼。曙二： 一q t ) ) = ( 略p 岛) o p 一1 ( 1 一矗_ l x ( a ，卢) ) 屯“o 毋髻- 1 其中e p l o ，1 ) ，p = x ( q ，p ) + l ，詹 如果k 0 ，凤一1 = o ，七一1 2 ( 这种情形发生仅能如此) 且存在屈= 1 ，x ( q ，p ) i 七一1 因为凤一l = o 所以 a = n l a a ：屈= l ，x ( 口，p ) i = m a x 0 ：屈= 1 ，x ( o ，p ) i 后) 注意到七一l 2 对k 应用( i i i ) 的归纳假设可知k = 噶：一l ，i = a + 1 ，七一l 或k = ( o 甚p 岛一1 ) o 一1 ( 1 一一1 ，x ( q ，卢) ) 吼吨。凹二：，其中气一l o ，1 ) ，p = ) ( ( a ，p ) + 1 ，a 前者 y = c ：o 豸：一1 一口k ) = c 2o 毋：，i = 入+ l ，七一l 后者，因为以+ 1 = 风+ 2 = = 风一l = 0 所以 y = c ：( ( o p 岛一。 一a t ) o 一l ( 1 一札“x ( 。，p ) ) 峨“o 国二： 一口t ) ) = ( o 甚p 色) o p 一1 ( 1 一乱_ 1 x ( 。，p ) ) 吼“o 国芒- 1 其中一1 o ，l ，p = x ( q ，p ) + 1 ，忌 一1 7 黑龙江大学硕士学位论文 进而定理在满足条件( i i ) 时成立 如果满足定理条件( i i i ) ；由条件( i i i ) 的假设易见) ( ( 口，p ) 七一1 应用定理 3 1 0 知有w ；一1 中的一l 非零子模j 使 如果，= 一l ，则 y = j 一口忌) ， y = 帆一1 一q k ) = 四：； 下面考虑j 是w ；一1 中的瓢一1 非零真子模的情形 如果凤一1 = 1 ，对j 应用( i i ) 可得j = ( o ；岛一1 ) o 一1 ( 1 一以- 1 x ( 口，p ) ) 嘛“o 国二：， 其中气一1 o ，1 ) ，弘