（基础数学专业论文）子流形高斯像的几何与拓扑性质研究.pdf

浙嚣大学硕士学搜论文予滤形高期像的几何与拓扑性质研究 摘要 子流形高斯像的几何与拓扑是整体微分几何领域的重要研究课题之本文着重研究 常曲率空间形式中完备子流形高斯像体积的几何与拓扑性质获得了子流形商新像体积的 计算公式及其上、下界估计，并证明了商斯像体积p i n c h i n g g * ：件下的拓扑球面定理 1 9 6 8 年，陈省身话翡了获鬣空间 乎却中完各霹定趣援小溜嚣裹欺像的委积等于 袤摄，l 、 曲霹的总韭率乘以- 1 。1 9 8 6 年，陈志华将这定理推广到璩灏舻忡和职曲空间口2 + p 中完备 可寇向极小曲面的情形在此基础上，1 9 9 0 年，李海中和许洪伟独立地给出了常曲率空间形 式中完备可定向曲面商斯像的面积计算公式1 9 8 1 年，m ，g r o m o v 证明了任一n 维紧致黎曼 流形m 的全b e t t i 数& o 成g 唧，的，其中g ( n ，) 为便与n ，有关静正常数，k = i n f z “( m 。 本文第一部分首先磷究了敬氏空藩舻却中缝完备蔼走囱予漉形弱懿斯镶麓凡留与拓 羚性质，给出了窝颊像体积的诗算公式、裹耘像体积的几何上舆和拓扑下界，证明了高斯 像体积p i n c h i n g 条件下的拓扑球面寇理，确切地说，获得了下述结果： 设妒：m 一舻+ p 是n 维完备可定向黎曼流形m 到舻却的等距浸入，9 ( m ) 为m 的商斯 像；! i l ( i ) 扩( 9 ( 珏) ) 一l 五订s ”，2 d m ； f i i ) 女n 暴挺是紧致戆，那么 y 舭) ) t 厶，。e 善c i ( 啦胆c ( n , p ) i = o 照 特别地，当v ( g ( m ) ) 3 c ( n ，p ) 时，m 必阎胚于n 维球谳伊( 1 ) 这疆协是z 方向上的商度函数，e 是驴+ p 4 中的零测集，岛( ) 是m o r s e 函数的指数为t 的 临弊点的个数，觑是m 的关予任一固定系数域的第i 个b e t t i 簸，g ( n ，坊= “h + p - - i “墙一l ， “j m 是m 维萃位球蕊s m f l ) 鹩体稼 球疆中予滤形具有嚣类不闷熬裹撷映射，本文第= 都分硬究了球垂中完蔷予汽形的第 一类高期像的几何与拓扑性质，获得了第一类高斯像体积的计算公式，并将第一部分中的 主饕结果作了如下推广： 设妒：m - s ”却是n 维完备可定向黎受流形m 刮铲却的等距浸入，9 ( m ) 为m 的第一 类离斯像辩 ( i ) 知r = 莒删y g ( 嬲) ) sh f ( 1 + 鲁) $ d 掰，当照投港掰是全溯地辩等号成立； 缚) 如果姬是紧致的，那么 y ( 9 ( 嘲；啄1 五。善q ( ( 3 。妒) 。) 玉q ( 囝羡磊 特别地，当v ( g ( m ) ) 3 c 1 ( n ，功时，m 必同胚于维球面( 1 ) ， 速藿p0 曲；是等距浸入j 。l p ：m f 押十1 在# 方向上的高度函数，i ：扩却q 舻+ 蚪1 最 2 激江大学硕士学位论文 予流形离耘像的几何与拓扑性质研究 标准等鼯嵌天，最基s n 。p 中豹零测集，盘( p 0 妨。是m o r s e 函数【! 。妒b 熬指数为i 豹燃界点 的个数，熊是m 的关于任固定系数城的第i 个b e t t i 数，q ( ”，p ) 一“。+ p 岣，“m 是m 维单 位球面s “f 1 ) 的体积 本文第三部分职究了球嚣中完备子瀛形题第二类囊颊像的几何与拓扑性成，挎媳两部 分的主要结果作了栩应推广 设啦：m s n 伸是n 维綮致可定商黎燕流形掰虱s “坤的等鼹浸入，g ( 掰) 为掰褥第二 类蘸额像，剥 y ( g l ：艇) ) “芗1 石。n 口蚤键譬。囝z ) d z q ( 强国i = o 照， 特剐地，当矿( g ( m ) ) 3 0 1 ( n ，p ) 时，m 妊闯瓢于n 维球面s ”( 1 ) 这羹( j 。妒k 是等距浸 入f 。妒：m 一萎，坤+ 1 在z 方怠上的裹瘦函数，j ：s 蚪p 一舻押+ 1 是标准等距嵌入， e 是s n + p 中的零测集，c f ( u o 妒) 。) 是m o r s e 函数汀。妒) 。的指数为i 的临界点的个数，风是 f 的 关于任一固定系数域韵第个b 蛀t i 数，窃( n ，妨一“却压咋，“k 是m 维革位簿箍( 1 ) 韵侮 积 此外，还诞明了当m 2 为s o 十( 1 ) 中完备可定向的曲面时，则第= 类离斯像面积为 y ( 9 ( m ) ) = 厶归i 雨而雨两面瓦两鬲d m 3 激江大学联士学挺论文 子流形高颊像的几何与拓手卜性质研究 a b s t r a c t i tp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei ng l o b a ld i f f e r e n t i a lg e o m e t r yt os t u d yt h eg e o m e t r i ca n dt o p o l o g i c a lp r o p e r t i e so fg a u s s i a i m a g eo fs u b m a n i f o l d s 。i nt h i sp a p e r w ei n v e s t i g a t et h eg e o m e t r i ca n dt o p o l o g i c a lp r o p e r t i e sf o rt h eg a u s s i a ni m a g eo f c o m p l e t es u b m a n i f o l d si nas p a c ef o n nw i t hc o n s t a n tc u r v a t u r e w eo b t a i nt h e c o m p u t a t i o nf o r m u l ae a l dt h ee s t i m a t eo fl o w e ra n du p p e rb o u n d sf o rt h ev o l t a ：h eo f g a u s s i a ni m a g eo fs u b m a n i f o l d s ，a n dp r o v et h et o p o l o g i c a ls p h e r et h e o r e m su n d e r t h ep i n c h i n gc o n d i t i o nf o rt h eg a u s s i a ni m a g e i n1 9 6 8 ，s s c h e r n 3 p r o v e dt h a tt h eg a u s s i a ni m a g eo fc o m p l e t em i n i m a l s u r f a c ei nr 2 却e q u a l si t st o t a lc u r v a t u r et i m e s l + i n1 9 8 6 z 。h ，c h e ng e n e r a l i z e d t h er e s u l tt ot h ec a s ef o rt h ec o m p l e t em i n i m a ls u r f a c ei ns p h e r es 2 + 9a n dh y p e r b o l i cs p a c e i n1 9 9 0 h z l ia n d 珏w x up r o v e dt h ec o m p u t a t i o nf o r m u l af o r t h eg a u s s i a ni m a g eo fs u r f a c ei nas p a c ef o r mo fc o n s t a n tc u r v a t u r ei n d e p e n d e n t 甄 i n1 9 8 1 m g r o m o vp r o v e dt h a tt h eb e t t in u m b e r so fa n yn - d i m e n s i o n a lc o m p a c t r i e m a n n i a nm a n i f o l dm s a t i s f y ： n ：o 风a ( n ，的，w h e r ee ( 竹，砷i sap o s i t i v ec o n - s t a n td e p e n do n 站a n d 奄o n l y , k = i n i k m 。 i nt h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e r ，w es t u d yt h eg e o m e t r i ca n dt o p o l o g i c a lp r o p e r t i e s f o rg a u s s i a ni m a g eo fc o m p l e t eo r i e n t e ds u b m a n i f o l d si n 詹5 + 9 a n dg i v eo u tac o m p u t a t i o nf o r m u l af o rt h ev o l m eo ft h eg a n s s i a ni m a g e 。a l s ot h el o w e rt o p o l o g i c a l b o u n da n dt h eu p p e rg e o m e t r i cb o u n d 。m o r e o v e rw ep r o v e dt h et o p o l o g i c a ls p h e r e t h e o r e mu n d e rt h ep i n c h i n gc o n d i t i o nf o rt h eg a u s s i a ni m a g e p r e c i s e l y ，w eg e tt h e r e s u l ta sf o l l o w l e t 啦：m _ 形却b ea ni s o m e t r i ci m m e r s i o nf r o m8 no r i e n t e dc o m p l e t er i e - m a r m i a nm a n i f o l dmt or “押d e n o t eb y9 ( m 1t h eg a u s s i a ai m a g eo fm t h e n ( i ) y 献) n - i 山酽，2 d m 。 ( i i ) 珏mi sc o m p a c t ，t h e n y 国( 掰 t 五。- l 聍蚤岛诬) 如g 融p ) i = 0 挠 i np a r t i c u l a r ，i fy ( g ( m ) ) 3 c ( n ，力，t h e nmi sh o m e o m o r p h i ct o 伊( 1 ) h e r e 慨 i st h eh e i g h tf u n c t i o ni nt h ed i r e c t i o no fg ，ei st h em e a n u r ez e r os e ti ns f ， q ( 妒 ) i st h en u m b e ro fc r i t i c a lp o i n t sw i t ht h ei n d e xo fif o rm o r s ef u n c t i o nl p g ， 4 濒江大学硕士学位论文 子滤形离艇像的几何与拓扑性质研究 c ( n ，p ) = 却一l 啼1 ，反i st h ei - t hb e t t in u m b e ro fm w i t hr e s p e c tt oa n yf i x e d t o e m c i e n tf i e l d ，0 。i st h ev o l u m eo fs ”( 1 ) t h e r ea r et w od i f f e r e n tk i n d so fg a u s sm a p sf o rs u b m m f i f o l d si ns p h e r e i nt h e s e c o n dp a r to ft h i sp a p e r ，w es t u d yt h eg e o m e t r i ca n dt o p o l o g i c a lp r o p e r t i e sf o rt h e g a u s s i a ni m a g eo fc o m p l e t eo r i e n t e ds u b m a n i f o l d si n 铲a n dw eg e tt h ec o m p u t a t i o n f o r m u l af o rt h eg a u s s i a ni m a g eo ft h ef i r s tc l a s s ，w h i c hi sag e n e r a l i z a t i o no fp a r t o n e l e t ：m - s “+ pb ea ni s o m e t r i ci m m e r s i o nf r o ma no r i e n t e dc o m p l e t e r i e m e m n i a nm a n i f o l dmt os “+ p d e n o t eb yg ( m 1t h eg a u s s i a ai m a g eo ft h e f i r s tc l a s so fm t h e n 固疡+ s d m v 殛( 埘) ) & ( 1 + 曼) 疽埘，t h e e q u a l i t yh o l d s i f a n do n l y i f m i st o t a l l yg e o d e s i c ( i i ) i fm i sc o m p a c t ，t h e nw eh a v e v ( g ( 肼) ) 峪1 二。氓f 蚤c i ( ( i o n ) = ) d z a 沁p ) i = 0 展 i np a r t i c u l a r ，i f 矿( 尊( m ) ) c z ( n , p ) i = 0 岛 i np a r t i c u l a r ，i fv m m ) ) o 时，9 ( m ) 是第一类高斯像 1 9 8 1 年，m g r o m o v 运g r o v e - s h i o h a m a 建立的非光滑m o r s e i 巍数临界点理 论证鹗了下述著名定理： 7 浙江大学硕士学位论文 子流形高斯像的几何与拓扑性质研究 定理c ( 【6 j ) 侄一他维紧致黎曼流形m 的全b e t t i 数满足 n 屈g ( 强垓 i ：= 。 其中g ( 锋，) 为仅与n ，奄有关熬正常数，k = i n f k m 本文第二章错究了欧空润静却串椎维完备霹定秘孑漉形的亵凝像的几侮 与拓扑桎质，给出了高辩像体积黯计算公式、离薪像体积韵凡侮上器秘拓扑下爨， 证明了高新像体税p i n c h i n g 条件下的拓矜球蘅定理确切缝说，获褥了下述结果： 定理2 1 设妒：m 一舻卸是咒缭完备可定商黎筵流形掰到坤的等距浸入， g ( m ) 为m 的高新像娜 ( i ) v ( 9 ( m ) ) n - g ，m 酽，2 d m ； ( i i ) 如果m 是紧致的，那么 矿献竭) ，厶竹卜。e 薹( 妒z ) 玉秽i = o 隐 n 特剐斑，当矿( g ( 掰) ) 3 c ( n ，p ) 吃掰必圈j j 薹予嚣维球蘑铲( 1 ) ， 这里是。方向上的高度函数，e 怒s “押。串静零擦集，c f ( ) 是m o r s e 函数纯懿指 数为i 的滴界点的个数，院跫掰的燕予任圈定系数域韵第i 个b e t t i 数，c ( n ，p ) = 5 d n + p l 坼一1 ，“h 是m 维荜位球面s “( 1 ) 的体积 注记当m 整彤“中的单位球面扩( i ) 时，( i ) 、( i i ) 中所有的不等式均取等号 且v 浈m ) ) 一 推论2 1 设妒：m 一常+ p 是n 维完备可定向黎曼流形m 劐舒+ p 晌等躐浸入， 9 ( m ) 为m 的高斯像若n 为奇数，且v 0 ( m ) ) 4 c ( n ，p ) ，姗m 必同胚于礼维球 面铲( 1 ) 擐论2 2 + 设m “是舻+ 1 中紧致可定向的超曲陋，g 为m 的g a u 8 s 映射，凰为m 的 第竹个平均曲率则 y 国( m ) ) = 厶f 玩 d m g ( 扎) 薹n 成， 8 瀵辽大学硕士学位论文子流形窟期像的几何与拓扑性质研究 其中g ( 札) = c ( n ，i ) 特稍逸，当矿国( 嬲) ) 3 c ( n ) 时，膨盛黼胚予维球褥酽( 1 ) 定爨2 。2 ，设妣“是舻却中完器可定氪的极小子流形，g 为m 的g a u s s 映射。则 v ( g ( 旧) = 厶扣薇j 丽d 耐s 扎一厶铲芦d m ， 当且仅当m 是e i n s t e i n 流形时等式成立 本文的第三章研究了球面上的第一类高斯像的几何与拓扑性质，获得了高 斯像的体积公式，给出了高新像体积的拓孛卜下界，是对第二章中静结粜的推广，我 们获得下面酌结架： 定理3 。1 ，设妒：m 一驴忉是赡维宪冬可寇向黎曼流形m 到铲+ p 的等距浸入， 9 ( 埘) 为m 的第一类商斯像则 ( i ) 乜、丽d msv ( g ( m ) ) 如( 1 + ：) i 删，当且仅当m 是全测地时等譬成 立： ( i i ) 如果m 最紧致的，那么 y ( g 泓) ) 啄1 石。邮耋盘。四z 皿芝q ( p ) 耋熊 特别地，当v ( 9 ( m ) ) - - p - tf s + - 1 e 善馥如g 夏琏 nn 特别地，n v ( g ( m ) ) 3 c ( n ，p ) 时，m 必同胚于礼维球面伊( 1 ) 这蓬蛾楚。方瘫上懿高度函数，露是s ”p 一1 中豹零测集，龟( 妒。) 是m 。r s e 遁数指数 为t 的l 巍界点的个数，鹰是埘的关于任一固定系数域的第个b e t t i 数，g ( n ，p ) 一 u 。押一1 一1 ，o j m 魁m 维单位球面s ”( 1 ) 的体积 由定理2 ，1 可键下覆的接论 捺论2 1 设妒：m 一帮+ p 是n 维完备可定向黎曼流形肼虱形+ p 辩等躐浸入， g ( m ) n m 豹麓袋像棼是鸯数，n v ( 9 ( m ) ) m 的情况我们知邋r a n k a 曼m ，因此r a n k a a 曩m 若r a n k a a m ，则ia ，a l = 0 ，那么 搿剁s1 b b i t c c t 若r a n k a a = ? t t ，我们 设q 一( 盖g ) 怒一令挖阶魏方阵，箕中g 是a 7 x 一0 的极大线佳无关鼹。于是我们存 q q i = lg x a 座竺一且t l a a l 因为a = ( ba ) ，所以q = ( bcg ) ，由前面的结果可得 a | l g l = l q q l l b 器| | ( g ) ( g ) l = l 君b l l s ； g l 因此t a a l | b | | g | t 弓l 理褥证 在证明定n _ 2 ，1 的过程中，我们还用n t 下面的引理 1 8 激泷大学硕学位论文子漉形高斯像的几何与拓扑性质研究 引理1 5 ( 2 8 ) 设m “是n 维紧致黎曼流形，并且妒：m “一r n + p 是等距浸入则 厶| 矗h d u ；z m 飞e ( ) d 伊却一， k = 0 ，l ， 其中是z 方向上的高度函数，层是s ”，“中的零测集，q ( 吼) 是m o r s e 函数忱指数 为t 的临界点的个数，巩= ( p ，u ) f 使得在p 点e 。的负的特征值个数为) cu ，并 且u 瓯= e u k n 阢= 纸萁中 定淫2 + l 靛涯搿令岛一夏嗡壤，攫撄线性代数懿知识，可选取邋当豹基 矗) ， 镬得对称阵( ) 。链被对角纯，仍记舞( ) 。+ 设s 是掰豹第二基本影式攘长的 平方，则 s = 州岛)( 2 7 ) 出g l 理l 。l 褥 舅一方蔼 v ( 9 ( m ) ) = 厶妒反瓦焉d = 厶 ，一 3 厶娶( 蕃( 嗨) 2 ) 8 m s m 黟黝 一斋l 。妒a m v ( f ( m ) ) 厶 厂i 一 、( h ( ( 蝎) 2 ) ) d m v 口i = lj 、l s i i d m ￥1 = i 假设a = ( a 1 a 2 a ；) 。，其中a ，i = 1 ，n 楚扎l 的矩阵则 d e t ( a 2 ) 一 a a 兰 a i l a l i i ( a 2 a 。) ( 如a 。) 然后考虑矩阵( a 2 a 由；f 疆l ，2 得 ( a 。如) ( a 。a 。) lsi a ：a 2 l ( a 。一a 。) ( a 3 - a 。) 1 9 ( 2 8 ) 激嚣大学鞭学位论文予流形巍凝像蕊死德与撼抖性蕨硬究 如魏迭代下去，藏褥弱下蠢静不等式 n i i ( ( o 酊) 2 ) = | a z a ll l a i 奠。 ( d e t a ) 2( 2 9 ) j = l o 由( 2 8 ) ，( 2 9 ) 和日l 理1 5 ，我仃 得至0 。j 哇恩面 芝f m i d e t h 。 d m 一警 2 右k q 。蚤如冲 由m o r s e 不等式，筏们襻到 v ( 。( m ) ) x z 。弋占k 壹= o 慨) 如宅著塞胁， ( 2 t 。) 如果v 幻( m ) ) 3 c ( n ，p ) ，根据( 2 1 0 ) 可褥， w 一- i 厶。审篆。划拶妒1 3 a 所戳存在# ，谈得& o 岛( ) 3 ，潮为c 。( 豫) 一( 毂) = l ，瑗淤 c i ( 亿) = 0 ，i = 1 ，辩一1 ， 即慨仅有两个t i o g a 禳据r e e b 定迸，m g , n n 子扎维球面酽 定理2 2 的证明根据g a u s s 方程我们有 嘞= 九焱a 嚣一九盏矗南 o ，8 女 由溅豹极，i 、魏魏，e 是淼= 0 ，搬嚣此 k r 珏= 一矗惫 蔷 口k ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 从引理1 1 和( 2 1 2 ) 可得 矿( 9 ( ) 一厶压丽撕 ( 2 1 3 ) 2 0 濒江大学硕士学位论文子波形离斯像的几何与拓扑性质研究 选取适当的 龟 ，使得( ) 。稀( 甄) 。能同时对角仡( 2 1 ) 中的等等成立当置便 当 e 磊蕊强= e 蝇矗备，t l ，n ( 2 t 1 4 ) n kak 即 因为 r f = s 甜，1 ，j 曼n 醌= 勘锌硒= 罢翰 ( 2 1 5 ) 从而我们知道( 2 1 ) 式取等譬当膻仅当硝是e i n s t e i n 流形定理得证 注李海中 2 l j 和许洪伟 2 叫证鹈了，当铭= 2 辩韵矿( 守( 掰) ) 公式 2 t 浙江大学硕士学位论文子流形高斯像的几何与拓扑往质研究 第3 章s 叶p 中子流形的第一类高斯像的几何与拓 扑性质 3 1主要结果 零章节主要研究了s ”p 中子滚形的第一类嚣鬏缘的几蜒与事嚣扑性癀，获得下 述定理 定理3 1 设妒：m 一+ p 是扎维完备可定向黎曼流形m 到伊+ p 的等雅浸入， p ( 嬲) 为埘豹第一类裹颠像。则 ( i ) 西爵焉蠢船s ，( g ( 掰) ) 锄( 1 + 菩) 删，当照纹当埘是全测地对等号成 立： ( i i ) n 果m 是紧致的，那么 v ( 9 ( m ) ) 啄1k 、譬蚤岛( ( 7 。妒) = ) d z c g n , p ) 萎反_ 特别地，当y ( 9 ( m ) ) 3 岛( 礼，时，m 必同胚于n 维球面伊( 1 ) 这里( j 。妒) ；是等距浸入i 。妒：m 一足t 押+ 1 在z 方向上的高度函数，i ：铲+ p 一 帮p “是标准等距嵌入，e 是s ”却中的零测集，c l ( 口。妒) ；) 是m 甜8 e 涵数。妫；的攫 数为t 的临界点的个数，成是肼的关予任固定系数城的第计、b e t t i 数，g 沁，p ) = + ，屿，u 。是m 维单位球面s m ( 1 ) 的体积 定理3 2 。设。：m ”一s “却是缎霹定囱敬极小子浚形g 是懑欺映射，则 ( 圳= 厶痧丽甄d m 曼厶( 1 + 要) i 蹦，( 3 1 ) 当且仅当m 是e i n s t e i n 流形时等式成立 推论3 1 设a 护是+ p 冒定向韵黎曼子流形麴果y ( 营( 掰) ) 有限，则矿( 矩) 也是 有限的，并且满足 y 0 ( 肘) ) 矿( 朋。) ， ( 3 2 ) 等号成立当置便当尉是全铡地的 滤江大学联学垃论文子滚形裹勰像鲍几俺与拓羚性魇研究 定臻3 3 设掰”建s ”“甲辩l 趸嗣酶建圈巍，g 怒两新联瓣，骂_ 是艇融弟f 个半潮强 率，则 y 顿硎= 厶m 静，。( 巍) 鹃t + s 妻= 1k = 魏p + 。l 驴础( 扎s 地2 k 。) h 。h 2 s r 删。 接谂3 2 设掰”是+ 1 中连逶霹定肉熬越夔覆，r 是挺豹数量麴率，簧l j v ( a ( 蚴) 厶 ，+ s 十丽害珂p 一扎婶一t ) 2 + 耋( ：) 醒咖) 3 d 甄( s t ) 当目仅当m 是全脐超曲面或者。，兰1 或者扎= 2 时等式成立 在 委弱定理静避程中，我们臻到了下嚣这个g l 理 引理1 3 设m 是s ”抑中的完锫可定向的黎曼流形，口( m ) 是高斯像，则 y ( ，m = 厶p e 。( n w 莓霹) “2 d m 证明由 e 。却+ 的取法知，酽却的度量为 n + 口 槲2 = 妒。一( 3 5 ) 黜l 鸯c a r t a n 萼l 理 l 臼# = 莓- - 嘞r e , ， n = 他+ 1 ，扎+ p 协? 。车碍州萨 ( 爱国 由g a u s s 映射的定义得 矿d 岛= - - n 虢a - - n c ；2 t 胪o + 醛p + l 焉押胪o ( 3 7 ) 口= 舛lt ， t 津j 薅嚣，丑，舅分裂表示。：m _ 妒押，i ：s ”+ p _ 舻押+ 1 积o 茹：m _ 置”+ 舛1 戆第二 基本形式，则 再( 岛，髟) = 盈( 岛，e j ) + 廖7 ( 岛，吩) ， 1 冬 ，js 扎， ( 3 8 ) 2 3 浙江大学硕士学位论文 子流形高斯像的几何与拓扑性质研究 其中丑( e ，) ：寥丸嚣，霹( e t , e j ) ：害醵e 。十砑卅1 e 。+ p + l ，因为s n 押是 其中丑( 如，勺) = ，蝎， 嚣( ) = + 要；， ；e n 十九；e n + p + l ，凼为f “”是 8 = n 十i十i 全脐的，所以b ，( e j ) 一e 。+ ，+ 。，结f f ( 3 9 ) 式，我们得到对舛1 = ，无；= h ? j ， 8 = 托十1 ，+ ，蟊+ 筘。i 萄魏 h + pn 矿璐= ( 稚+ 冁鹾妒。萨 ( 3 9 ) 由此即得 矿白( 耐) ) = 3 2第一类高斯像的体积与拓扑球面定瓒 d m ( 3 i 定理3 1 鲍诞爨令岛：害- , r 苎壤是襄选取避当的 8 ；，镬褥( 岛) 。能对建化定理3 鲍诞爨令岛一壤是蠡选取避当的 8 ；，镬褥( 岛) 。n 能对热化 n = n 十l = l 仍记做( ) 。则8 = 打( ) 。由( 3 1 1 ) 式得 y ( ，( 埘) ) 一厶扛丽瓦d 姐= 厶画丙d m 厶j ( 薹生粤) “d m 2 厶( + 荔s ) ；d m ( 3 - 1 t ) 另一方面，因为n b ( 1 + s 。) 翌1 + s ，所以 v ( g ( m ) ) m 以- - + s d m ( 3 1 2 ) ( 3 1 ) 式中的绰号成立当髓仅当( 3 1 2 ) 和( 3 1 3 ) 中的等号成立因此我们得到 即 s 惋。s33 h & 一0 一 似 一一礁 一。! l百点 一 + 海 一赫 ，；，in ，k o j | 釉 。黼 啦一 i 鼠 浙江大学硕士学位论文 子流形高斯像的几何与拓扑性质研究 等号成立当且仅当m 是全测饱的 设岛一：羹：叠 氛啄