（基础数学专业论文）变分迭代算法及其应用.pdf

摘要 非线性问题在许多科学领域中非常重要，因此，非线性方程的精确解或解析 解在数学物理中显得极其重要变分迭代算法可以成功的解决非线性方程解的问 题 本文就是利用改进的变分迭代算法来解决耦合b w g e r s 方程、l ( 1 e m g o r d o n 方程和一类双曲型偏微分方程 本文有四个章节 第一章中简要介绍了非线性方程及其传统的数值计算方法，并简单介绍了各 种数值计算方法的特点和使用条件以及各种数值方法的发展情况，最后介绍了变 分迭代算法及其应用 第二章介绍了有关变分的基本概念、基本引理、基本定理、几种变分的直接 方法及重要结论 第三章首先介绍了变分迭代算法最基本的思想来源，然后介绍了变分迭代算 法的形成及其简单的应用，最后介绍了改进的变分迭代算法 第四章给出了改进的变分迭代算法的应用，把它应用于几类重要微分方程的 求解 关键词：非线性方程；变分迭代算法；b u r g e r s 方程；l ( 1 e i n g o r d o n 方程；双 曲型方程；拉氏乘子 a b s t r a c t ni sw e l ll 【i l o 、lm a tn o n l i i l e a rp r o b l e n l sa r ev e 巧i m p o r t a i l ti nav a r i e 哆o f s c i 饥t i f i c 丘e l d s ，e x a c to ra l l a l 如cs o l u t i o no fn o n l m e a re q u a t i o n sp l a y sa i l 妇p o r t a n t r o l ei n t l l e o 巧o ft 1 1 em a m e m a t i c a lp h y s i c s t h ev a r i a t i o n a li t e r a t i o nm e t h o di s s u c c e s s 觚l ya p p l i e dt 0n o l l l i n e a r 删i o i l s t h em o t i v a t i o no ft 1 1 i s p a p e ri s t 0e x t e n dt l l em o d i f i e dv a d a t i o n a li t e r a t i o n m e t h o df o rs o l v i n gm r e ed i tt ”e so fn o i l l i n e a re q u a t i o n sn a m e l y ，c o u p l e d b u r g e r se q u a t i o n ，e i n g o r d o ne q u a t i o na n dak i n do f h y p e r b o l i cp a n i a ld i t i a l e q u a t i o n n l ec o l l t e n to ft h i sp a p e ri sm a i l l l yd i v i d e di n t 0f o u rp a n s h lm ep a no f 砷的d u c t i o n ，w em e n y 锄胁d u c en o i l l i n e a re q u a t i o n sa i l di t s 仃a d i t i o n a lm l n l 嘶c a lm e m o d s ，m e l lw eb r i e n yi n 协) d u c em ec h a m c t e r i s t i c ，s e r v i c e c o n d i t i o na i l d 缸l ed e v e l o p m e n to fv 撕o u sm m l e r i c a lm e t h o d s a tl a s t ，w ei n 仃o d u c e m ev a r i a 娃0 n a li t c r a t i o nm e t l l o da n di t sa p p l i c a t i o l l s i nt h es e c o l l dp a n ，w ei i l m ) d u c es o m eb 2 u s i cm e o 巧o f v a r i a t i o 坞f o re x 锄叩l e ， d e 6 i l i t i o n s ，l e m m a s ，m e o r e l i l s ，t h ed i r e c tm e t h o d so fv a r i a t i o na 1 1 ds o m ei m p o r t a i l t c o n c l u s i o n s i i lt l l e 廿l i r dp a r t ，w e6 r s ti n 臼d d u c et l l eb a s i ci d e a so fv 撕撕o n a li t e r a t i o nm e m o d ， 1 e l lw ei n 仃o d u c e 也ef o n l l a t i o no fv 撕a t i o n a li t e r a t i o nm e m o da n di t s s i i i l p l e a p p l i c a t i o n s ，a tl a s t ，w ei i l t l 0 d u c et h em o d i f i e dv 撕a t i o n a ji t e r a t i o nm e t h o d i i lt l l ef o 似hp a r to ft 1 1 i sp a p e r ，w e 舀v es o m e 印p l i c a t i o n so ft h em o d i f i e d v 撕a t i o n a li t e r a t i o nm e t l l o d k e yw o r d s ： n o n l i n e a re q u a t i o n ； v a r i a t i o n a li t e r a t i o n m e t h o d ； b u r g e r s e q u a t i o n ；l ( 1 e i n - g o r d o n e q u a t i o n ；h y p e r b o l i ce q u a t i o n ； l a g r a n g ei n u h = i p u e r i i 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担 作者签名： 宅吩诹日期：川年 frl s 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密团 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者虢彬嗡边嗍一年厂月日 导师答名：劫够场 叮j 寸胂7 卅 日期：一“月j 第一章绪论 非线性问题是当今世界最热门的课题之一传统的数值计算方法一般对初值 非常敏感，这是非线性问题的固有特征，因此一般的数值计算方法存在以下困难： 1 ) 数值解易产生振荡或发散，从而得不到真正的物理解；2 ) 即使得到收敛解， 有时也很难判断它与真正物理解的拟合程度，在很多情况下，数值误差往往会掩 盖物理问题的真正情况 近年来，几种用来寻找非线性微分方程的解的方法得到发展，主要有以下方 法：摄动法【踟、变分法1 2 5 】、分裂法【4 】、同伦摄动法i 引、同伦分析法 7 1 、谐波平衡 法，改进的l i n s t e d t - p o i n c a r e 【8 g 】、人工参数法i ”6 l 等等 几乎所有的摄动理论都依赖于小参数的假设：方程的解可以表示成小参数s 的级数形式： 仳2 + 占毪+ r + ， 式中仳表示微分方程的近似解，为未扰动方程( e = o ) 的解上式只有在摄动参 数很小的时候才有效，而实际系统所包含的小参数有一定的数值，不可能任 意小，所以按小参数直接展开的级数解常常只能在自变量的某个区间内具有渐 近性，即只能在自变量的某个区间内才是一致有效的而大多数非线性方程不存 在小参数或难确定小参数，在这种情况下，摄动法就无能为力了 分裂法【4 j 在不需要小参数的情况下可以得到非线性方程的级数形式的解，但 此法要求非线性方程的非线性部分充分可微同伦摄动法1 6 】是通过引入一个人 工参数和利用同伦技术而得到的一种方法，利用此法可得到非线性方程的一致有 效解，该解表示成所引入的人工参数的级数形式，但此方法仍要求非线性方程的 非线性部分充分可微 在工程计算中，会遇到各种各样的大型线性方程组如各种数值计算方法( 有 限元、有限差分法、边界元法等) 都需要求解大型线性方程组，因此求解大型线 性方程组的迭代方法得到了普遍的关注由于计算能力的限制，迭代格式的收敛 性及收敛速度就成了一个关键问题传统的各种方法在文献 3 4 中有详细的介 绍，本文将介绍一种收敛速度很快的迭代算法一变分迭代算法 1 9 7 8 年i n o k u t i l l 】提出了求解非线性方程的广义拉氏乘子法，该方法起初主 要应用于量子力学，但这种方法的主要缺陷是：只能求解一些特殊点的值，而不 能得到近似的解析解t m u r a 和s l - l e e 首先提出变分估算的基本概念【1 l 应用 变分估算方法不仅可以保证足够高的精度，而且每迭代一步都是向精确解最佳逼 近，其数值过程总是收敛的最重要的是，这种方法对初值并不十分敏感，大大 方便了数值求解何吉欢【5 l 把以上两种思想发展成为一种迭代算法并广泛应用 于一些问题的求解i m l 6 】文献 5 中把变分迭代法和a d o m i a n 分裂算法i 纠作了比 较，结果说明变分迭代算法的收敛速度远远快于a d o m i a n 分裂算法；文献 2 中何 吉欢对近年来发展起来的各种近似方法作了综述和比较得出变分迭代法的收剑 速度最快文献 1 9 中d e h g h a n 对该算法的收敛性作了说明； 2 6 2 8 中多人对此 方法作了改进使收敛速度加快；文献 2 9 中j i r a m o s 给出变分迭代算法收敛性 的另一种解释；文献 3 6 3 7 中将变分迭代算法应用于一类抛物型反问题近十几 年来，分数微分方程的研究受到普遍的关注，大多数文章只讨论了线性分数微分 方程的性质m ，如c 8 m p o s 讨论了常系数线性分数微分方程解的性质，而d e l b l s c o 等分析了非线性分数微分方程的解的存在性和唯一性【1 引，但还没有一种有效的 近似方法求解非线性分数微分方程，而本文提到的变分迭代算法可以成功地求解 非线性分数微分方程【瓠矧 变分迭代算法在现代非线性问题研究中有非常重要的作用，是解决一些非线 性问题强有力的工具 本文分为四章在第一章中，简要介绍了非线性方程及其传统的数值计算方 法，并且简单介绍了各种数值计算方法的特点和使用范围以及各种数值方法发展 情况，最后介绍了变分迭代算法及其应用第二章首先介绍了有关变分理论的预 备知识，然后介绍了有关变分的基本概念、基本引理、基本定理、几种变分的直 接方法及重要结论第三章首先介绍了变分迭代算法最基本的思想来源，然后介 绍了变分迭代算法的形成及其简单的应用，最后介绍了变分迭代算法的发展成 果，并给出了几个更简洁的常用变分迭代公式第四章给出了改进的变分迭代算 法的应用 2 第二章预备知识及相关结论 变分是变分理论中最基本的概念，本章首先介绍了变分理论的预备知识、变 分的基本概念、变分学基本引理，然后介绍了变分的直接方法这些是后面所要 用到的 2 1 微分学基本定理 一兀幽数、多兀函数的黍勒中值定理和极值定理是燹分理论的基础 2 1 1泰勒中值定理及极值定理 一元函数的泰勒中值定理及极值定理【川 定理2 1 1 若函数，0 ) 在点z 。的某个开区间0 ，6 ) 内具有n + 1 阶连续导数， 则当z 在( n ，6 ) 内部时，p ) 可表示为： 他h ( 卅，诎z 训+ 掣( z 训2 + + 掣( z 叫“+ r 上式中只= 若；鲁 一) 蚪1 称为拉格朗日型余项，荨是介于和z 之间的某个 值此定理称为一元函数的泰勒中值定理 定理2 1 2 设可导函数，( z ) 在点有极值，则在该点必有，( ) = 0 该定理 称为一元函数的极值定理 定理2 1 3 若函数，( 。，箩) 在点( ，) 的某个领域内连续且有直到凡+ l 阶的 连续偏导数，并设 = + z ，秒：菇+ y ) 为该领域内的任意一点，则总存在 口( 0 p 1 ) ，使下面的竹阶泰勒公式成立： m 劫= ，c ，+ ( z 击+ 南】，c 慨，+ 去 z 丢+ 可南 2 ，c ，+ + 郭告山跏砌+ r 上式中 z 昙+ 可南】，c 溉，= 妻c 玎c 。笔掣，嚷为南个事物中 取r 个的组合数， 咒= 万南【z 丢+ 3 ，品厂，瓴+ 蚣$ ，+ 蚣3 ，) 称为j f ( 们在点( ，) 的靠 阶拉格朗日型余项此定理称为二元函数的泰勒中值定理 定理2 1 4 设可导函数，( 墨) 在点( ，) 有极值，则在该点必有 ( ，) = ( ，) = o 该定理称为二元函数极值定理 多元函数的泰勒中值定理及极值定理( 3 定理2 1 5 若函数，( q ，) 在点( 雩，) 的某个领域内连续且有直 到挖+ 1 阶的连续偏导数，并设瓴，) 为该领域内的任意一点，则总存在 p ( o p 1 ) ，使下面的竹阶泰勒公式成立： ，( q ，) = ，( 雩，) + 去【q 告+ 毒+ + 吨去】科蔫 + 小q 毒吃苦+ + 剖瞄咖力+ + 廿喑心告+ + 爿瞄办- 船+ 吸 上式中 = 一 = l 2 ，m ) 吃2 南卜毒+ 毒】蚪枷吣，小蚣， 定理2 1 5 称为多元函数的泰勒中值定理 定理2 1 6 设可导数数，( 气，) 在点( ，) 有极值，则在该点必 有。( ，) = o ，其中七= 1 2 ，_ m 定理2 1 6 称为多元函数的极值定理 2 1 2 含参量积分及其性质 定义2 1 7 嚣1 设函数，( z ，y ) 是矩形域d 陋sz 6 ，c 可d 】上的有界函数，对 于【c ，d 】上任意固定的，函数，( ) 就是z 的函数，若这个函数在h 6 1 上可积， 则r ，( z ，) 出就唯一地确定一个数，这个数与有关，当在f c d 】上变动时，所 得到的积分值一般来说是不同的，记为妒( 秒) = ，k 可) 如，它是! ，的函数，定义 4 域为【c ，训，通常3 称为参变量( 积分过程中看作常量) ，并且积分f 。，( z ，) 如称为 含参变量的积分 性质1 ( 连续性) 设函数，( z ，可) 在闭区域 0 6 ；c ，训上连续，则 妒( y ) = j ，( z ，可) 如 在区间 c ，d 】上连续 。| 生质2 ( 求导与积分顺序的可交换性) 若函数，( z ，3 ) 及五( z ，y ) 在闭区域 ，b ；c ，d 】 上连续，则积分妒( 可) = r ， ，可) 如在【c c f l 可导，且有丢r ，( 掣) 如= r ，掣) 出 这个性质又称为积分号下求微商 性质3 设函数，( z ，钞) 与，( 毛耖) 都在闭区域【口，6 ；c ，卅上连续，又函数q ( ) ，p ( 可) 在 区间 c ，卅上可导，并且当c ! d 时，有n q ( y ) 6 ，口p ( 3 ，) 6 ，那么函数 ， p l - 妒( ! ，) = r 、：，( 墨y ) 如在区间( c ，d ) 可导，且有 妒b ) = 丢式舷灿= 璧) 如训m 啪- ，( q 莉q 2 2 变分基本概念及基本引理 首先介绍变分学基本引理，然后介绍变分的基本概念 2 2 1 变分法基本引理 引理2 2 1 3 q 设函数，( z ) 在区间陋，州上连续，任意函数叩( z ) 在区间【o ，6 】上具 有礼阶连续导数，且对于某个整数m ( m = 0 ，l ，n ) ，当满足条件 叩( ( 8 ) = 叩( ( 6 ) = o = o ，1 ，m ) 时，如果积分，：6j f ( z 切( z ) 如= o 总成立，则在区间h6 】上必有， ) 三o 特别，当上面引理中m = n = 0 时，有下面的引理： 引理2 2 2 设函数，( z ) 在区间 口，6 】上连续，任意函数叩( z ) 在区间 n ，6 】上连续， 当满足条件叼( o ) = 町( 6 ) = o 时，总使积分厂6 ，( z ) 叩( z ) 如= o 成立，则在区间 o ，卅上 必有厂( 茁) 兰o 引理2 2 3 设函数，( 墨) 在闭区域d 内连续，任意函数叼( 妃) 及其一阶偏导 数在区域d 内都连续，且在d 的边界二上7 7 ( 曩3 ) 等于零，总使积分 j 。，( z ，y ) 叩( z ，! ，) d z d y2 o 成立，则在区域d 上必有，0 ，! ) 兰0 引理2 2 4 ( 黎曼定理)设函数，( z ) 在区间【口，叫上连续，任意函数叩( z ) 在区间 ，6 l 上具有一阶连续导数，且叩( ) = 7 7 ( 6 ) = o 若积分，：6 ，( z ) 叼 ) 如= o 总成立， 则在区间【o ，6 】上必有， ) 兰常数 引理2 2 5 设函数，扛) 在区间【o ，6 】上连续，任意函数叼( z ) 在区间 n ，6 】上具有 n l 阶连续导数，且当? 7 ( ( n ) = 卵( ( 6 ) = o = o ，l ，犯一1 ) 时，都有积分 ，：6 ，( z ) 叩( ” ) 如三。成立，则在区间 口，6 】上，( z ) 是竹一1 次多项式 2 2 2 变分学的基本概念 定义2 2 6以函数作为自变量的函数称为泛函 定义2 2 7 具有某种共同性质的函数构成的集合称为函数类 定义2 2 8 设川剪( z ) 】为在某一个可取函数类f = 秒( z ) ) 中定义的泛函，0 ) 为f 中的一个函数如果对于f 中任一函数3 ( z ) ，都有 j = ，阿( z ) 】一，( z ) 】o ( 或o ) 则泛函川耖( z ) 】称为在( z ) 上取得绝对极小值( 或绝对极大值) 绝对极小值与绝对 极大值统称为绝对极值如果作为比较的函数y ( z ) 仅限于0 ) 的某个领域，且有 j = ，陟( z ) 】一圳( z ) 】o ( 或o ) 则泛函t ，【秒0 ) 】称为在 ) 上取得相对极小值( 或相对极大值) 相对极小值与相对 极大值统称为相对极值绝对极值和相对极值统称为极值 定义2 2 9j 使泛函取得极值或可能取得极值的函数( 或曲线) 称为极值函数、 极值曲线或极带 定义2 2 1 0 对于任意定值z ，q 】，可取函数( z ) 与另一可取函数( z ) 之 差可0 ) 一0 ) 称为函数秒0 ) 在 ) 处的变分，记作曲，6 称为变分符号，这时有 6 = 暑( z ) 一( z ) 2 3 变分的性质 如果函数可0 ) 与另一函数( z ) 都可导，则函数的变分6 y 有以下性质【圳： 阿= 可( z ) 一玩( z ) = 可( z ) 一( z ) 】l = ( 曲) 由此得到变分符号占与导数符号导之间的关系6 i 挈l ：兰( 6 可) ，即函数导数的变 l 们j 口z 分等于函数变分的导数 上面的性质可推广到高阶导数的变分情形，即 6 可”= ( 6 可) ，6 可”= ( 6 y ) ”，6 可( “) = ( 6 ) “ 6 2 3 1 泛函的变分 设f ( z ，y ( z ) ，( z ) ) 是3 个独立变量z ，秒( ) ，可( z ) 在区间【，q 】上的已知函数，且 二阶连续可微，l ，b ( 茁) 】为在某一个可取函数类f = 妇0 ) ) 中定义的泛函，设泛函 j 陌( z ) - r f ( z ，y ( z ) ，! ( z ) ) 如，在箩= 秒( z ) 的邻域内，任取一曲线3 ，= 巩( z ) ，则有： j 气 6 可：铫( 动一可( z ) ，6 矿：可，( z ) 一! ，( 正) 。 6 可= 铫( 动一可( z ) ，6 矿= 可。( z ) 一! ，( 正) 泛函， ( z ) 1 的增量 j = 以巩( z ) 】一川可 ) 】= 川可( z ) + 6 y 】一以暑0 ) 】 ：，| 气f o ，可+ 却，! j + 6 移。) 如一，：f ，笤，可灿 一吒u = ，：气【f ( 墨暑+ 6 弘鲈。+ 6 可) 一f ( z ，y ，) 1 d 卫 由二元函数的泰勒中值定理得 f ( z ，! ，+ 6 3 f ，s 。+ 6 y ) 一f ( z ，y ，! ) = i p 6 秒+ i f 6 ( 2 1 ) 式( 2 1 ) 中，f ，与f 一分别表示乞与0 在( z ，y ( z ) ，3 ( 功) 处的值，秒( z ) 介于y ) 与巩( z ) 之间， 歹 ) 介于! ( z ) 与g j ) 之间因而i ； ) 一( z ) l o ，当d 【巩 ) ，( z ) 】充公小时，必 有 lf ，一艺l ，lf 矿一弓i 岛 因此，有 j = e 【f ( z ，拶+ 的，箩+ 6 可) 一f o 幽掣) 】如= e ( - v 曲+ 瓦曲) 如 = e ( 驰+ 删) 如+ e 厩一驰+ ( 瓦一驴肚 = e ( 乞曲+ o 曲) 如+ d ，( z ) 一( z ) 】 上式中鲥 巩( z ) 一3 ( z ) 】- e ( 瓦一巴妒+ ( i 矿一气弘! 】出且随讲巩( z ) 一( z ) 趋于 零而趋于零这是由于 i e 【( - v 一乞脚+ 西一。砌协卜c 匠一i 泐l 如+ cp o i 坳i 如 ( 气+ 乞) d i 玑( z ) 一( z ) 】( z ，一) = d ) 一可 ) 】 而e 随d 魄 ) 一可( z ) 1 趋于零而趋于零 这样j 二1 ( 乞勋+ 乞6 ) 如与，相差一个比d 。( z ) 一 ) 为更高阶的无穷小 量是汪函增量的丰要部分则有 定义2 3 1 设函数f = f ( 甄，暑) 关于z ，g 连续，且有足够次可微性，f 的 增量f = f ( z ，3 + 6 掣，。+ 6 秒) 一f ( z ，詈，掣。) = 艺国+ 名6 1 。+ ，则6 f = 乞劫+ 0 6 暑， 称为函数f 的变分泛函的变分式可写成： 6 t ，) 】= 6 ：气f ( 别，秒胁= ：气6 f ( 训，秒 一u 2 3 2 变分的基本运算性质 设f 、岛、五是z ，可，掣的可微函数，则变分记号6 有下列基本运算性 质： 1 6 ( 墨+ 最) = 6 置+ 6 e 2 6 ( 互五) = 互6 互+ 互6 墨 3 6 ( f “) = 7 矗f “_ 1 6 f 4 6 阱半 5 6 ( f “) ( 即) “ p = 剖 6 6 ：气f ( 刎，秒= ：气6 f ( 训，可 t ，吒u 定理2 3 2 若泛函j 3 ，( 功】在= ( 。) 上达到极值，则它在3 = 3 ( z ) 上的变分 等于零 2 4 变分的直接方法 变分的直接方法主要有以下几种【3 2 1 ：瑞利一里兹法、康脱洛维奇法、伽辽 金法、有限元法、最小二乘法、配置法等等 2 4 1 瑞利一里兹法 瑞利一里兹法是变分直接方法中最重要的一种其基本思想是： 1 ) 取定一族所谓坐标函数系 叶，) ，它具有以下性质：( i ) 峨都在 泛函的定义域d 内有定义；( i i ) 任意多个函数都是线性无关的；( i i i ) 对于任一可 取函数i p 连同它的某阶导数及正数，恒可找到坐标函数的某个线性组合： = c l q + c 2 u 2 + + 气，使在定义域内成立以下不等式： li l 口一靠i e ，i 妒。一妒。l e ，i 妒一心i g 这一性质称为坐标函数族的相对完备性 为使每一线性组合= c 吐都属于可取函数类，可设所有q 都满足齐次 i = l 边界条件若微分方程的边界条件是非齐次的，则可取两种方法：使边界条件 齐次化；在满足齐次边界条件的吐外，再添加任一充分光滑且满足非齐次边 界条件的函数，使吮= 魄+ 属于可取函数类 七 2 ) 将含有七个待定系数的试验函数哦= + 巳哆代入泛函以乱】，则，【魄】 i = l 成为含七个变量的函数，即嗽】= j ( c 1 ，c 2 ，气) 3 ) 为使，魄】取极值，由定理2 1 6 ，令磬：o ，j ：l 2 ，七，解出c l ，c 2 ，气代 d c 。“ 回即得极值函数的近似式这时还可算出相应的泛函值j 愀 = 噍 七+ l 4 ) 再将试验函数取做呶+ = + 巳哆，其中c 1 ，c 2 ，。是待定的重复以 = l 上2 ) 、3 ) 两步，又可得出极值函数的另一近似式和泛函极值j 帆+ 1 】= 畋+ 。若有 呶，哦，哦，使d 1 吱畋d ，则称 哦) 为极小化序列常用的坐 标函数有幂函数 1 ，z ，z 2 ，) 和三角函数 1 ，c 0 8 z ，s i n z ，c 0 8 2 z ，s i n 2 z ，) 【一7 r ，7 r 】) 或这些函数的某种组合 2 4 2 康脱洛维奇法 康脱洛维奇法用于多自变量的情形本质上与里兹法相同，但在近似解式中 将里兹法所使用的待定系数改为某一自变量的待定函数对于二自变量来说，这 种方法又叫做化为常微分方程法，因为求解的后一阶段归结为求解若干个常微分 方程 2 4 3伽辽金法( g l e r k i n ) 设微分方程为：三= p 伽辽金法的基本思想是( 前提是边界条件是齐次的， 非齐次的可化为齐次的) ： 1 ) 选取一个相对完备的坐标函数系 屿，) ，这些u 。都能满足所给 的齐次边界条件，不但要满足本质边界条件，还必须涉足自然边界条件 2 ) 取试验函数为= q i q ，若所设的恰好是边值问题的解，则应有 i = 1 三= p 3 ) 一个个地用咄乘l = p 的两边，然后令积分 脱一p ) u ；打= o ，江1 ，2 ，佗 9 即肛【叫喜嘲i 刊q 如_ o ，江垅，礼 4 ) 积分后，得出n 个含a i 的方程组，解出o ；代入 5 ) 将礼改为几+ l ，重复以上步骤，可作为原问题的一个近似解由于是 近似的，所以可以把= 三一p 看做是剩余项，因此可以把迦辽金法理解为这样 一种方法：它使剩余项沿各坐标方向的分量在某种意义下平均为零，即 j j 。s 哆d 伊= o 若把咄作为权函数，则这方法又称为加权剩余法 2 4 4 有限元法 有限元法是里兹法和伽辽金法的继续，克服以上两种方法的缺点，把区域分 成若干单位，然后对每一单元选择一组简单的坐标函数，并用以上两种方法应用 于这些单元，借助于近似积分作为一系列方程后，在保持一定连续性的前提下， 进行组集以求得整体的数值解 2 4 5最小二乘法 设微分方程为：a u 一，= o 最小二乘法的基本思想是： 1 ) 选择一组基本的相对完备的坐标函数 叶，) ，哆满足齐次边界 条件 2 ) 取近似解= 0 1 q + + 3 ) 将代入微分方程，设其误差为气( z ) = a 一， 4 ) 选择q ，。使d 上的积分儿e 口= 儿似一力2 d 口取最小值 2 4 6配置法 设在区间【口，6 】上已给微分方程为：d 让= ，让q ) = “( 6 ) = p 并设方程有一个 解配置法的基本思想是：让微分方程在域内的某些点上获得满足或使边界条件 在边界的某些点上获得满足，即： 1 ) 取( z ) 使它满足边界条件，令t ，= 钍一，则t ，满足齐次边界条件 2 ) 得到关于t ，的微分方程：伪= d ( + ) = ， 3 ) 设 吼，) 为满足齐次边界条件的一组坐标函数，设= 气蛾 i ；l 4 ) 代入d ( 让。+ u ) = ， 5 ) 为确定乞，在区间内部取等距离的或按某种规则取不等距离的几个点t ， 使方程d ( + u ) = ，在这几个点上一一成立，从而得到关于c l ，c 2 ，的代数方程 组，解出c 1 ，c 2 ，c 。代入即得所求微分方程近似解= + 1 0 第三章变分迭代算法的基本概念及其发展 1 9 7 8 年i n o k u t i 【1 1 提出了求解非线性方程的广义拉氏乘子法，该方法起初主要 应用于量子力学，但这种方法的主要缺陷是：只能求解一些特殊点的值，而不能 得到近似的解析解，因此该法没有得到广泛的应用这种基本思想后来被何吉欢 发展成为一种迭代算法，称之为变分迭代算法1 2 酬 3 1变分迭代算法的基本思想 本节给出了变分迭代算法的基本思想、变分迭代算法的形成及其发展成果 3 1 1变分迭代算法的基本思想 基本思想是：先给方程一个近似解( 试函数) ，再引进广义拉氏乘子校正近似 解，构造一迭代公式( 校正泛函) ，拉氏乘子可由变分理论最佳识别由于在非线性 问题中识别拉氏乘子时应用了限制变分的概念，只能通过迭代才能得到收敛解 为了加快收敛速度，近似解中可引入待定常数，待定常数可用多种方法( 变分直接 法) 最佳识别 设有一非线性方程 岳= 妒( 。) ( 3 1 ) 一般的迭代方法是先给定一个初值，然后按以下方法迭代： 吒+ 。= 妒( 吒) ( 后= l 2 ，3 ，t ) 现在假设其精确解为近似解z 与其相差如，即z = + 如，由式( 3 1 ) 有 茁妒( 茁) 为此，用下式校正 = 妒( z ) + a z 一妒( z ) 】_ ( 3 2 ) 上式中，表示估算解，第二项是校正项，a 为一待定函数 下面用变分的概念来最佳地确定乘子a 把z = + 如代入( 3 2 ) 式得 = 妒( ) + l p ( 弘z + a + 6 z 一妒( z 。) 一妒。( ) 6 z ) + 。( 如2 ) = 妒( z o ) + 妒( ) + a 1 一妒( z o ) ) 6 z + 。( 占z 2 ) 式中占z 2 = z ) 2 ，令妒。( ) + n 1 一妒( z 。) 】= o ，即 a ：一! 虹2 【1 一妒( ) 】 可保证估算解具有二阶精度 ( 3 3 ) 事实上，精确解事先是未知的，因此用近似解代替( 3 3 ) 式中的精确解得 a ：一翌型 1 一妒( z ) 】 从而可得以下解的迭代公式： 吒+ t2 妒( 气) 一i 兰菩篙可 一妒( ) ) ( 3 4 ) 3 1 2 变分迭代算法的形成 为了说明这种算法的基本思想，现考虑非线性方程： 叫j + v 【j = 9 ( 3 5 ) 其中，工为线性算子，为非线性算子，9 ( t ) 是已知的连续函数 变分迭代算法最基本的特点是为式( 3 5 ) 构造一个校正泛函如下： + 。( t ) = ( t ) + 上入 三( s ) + 崛( s ) 一9 ( 3 ) 出 ( 3 6 ) 其中，a 是广义拉氏乘子，可用变分理论最佳识别；( t ) 为初始近似解( 可以包 含待定常数或待定函数) ，吒( s ) 为限制变分量，即峨= o ，中的竹表示第n 次近似解 对于线性方程，应用式( 3 6 ) 一次迭代即可得到精确解如： r 京三未搿咖t n 7 ， 其校正泛函可表示成巩+ 。( t ) = 巩( t ) + 上a 。( s ) + u 2 。( 占) 一a 8 i n u 8 一b s i n s 如 令上述校正泛函取驻值，注意到6 ( 0 ) = 0 ，得 6 。+ 。( t ) = 6 ( t ) + 6 上a ! 。( 3 ) + u 2 箩。( s ) 一a s i n u s b s 洫s ) 出 = 6 剪。( t ) + 入( s ) 6 破( s ) i 耐一a ( s ) 占剪。( s ) i ，；。+ f ( a 。+ “，2 a 够乳( s ) d s = ( 1 一a ( ) 声o ) + 入( t ) 6 可：( ) + f ( 入”+ u 2 a 声巩( s ) 出= o 1 2 得以下驻值条件 占巩：入。( s ) + u 2 入0 ) = o 6 豉：入( s ) i 捌= o 饥：1 一a ( s ) i 一= o 由常微分方程理论，拉氏乘子a 可识别为a = 土s i n u ( 5 一z ) u 于是得以下迭代公式 巩+ ，( t ) = ( ) + 言上。s i u ( 3 一) 。) + 叫2 ( s ) 一a s i n 一b 8 i n s ) 如 ( 3 8 ) 用齐次方程的解作为初始近似解，即( t ) = c 0 8 “，代入式( 3 8 ) 可得 巩( t ) = ( ) + 吉r s i n u 。一z ) 玩( s ) + u 2 ( s ) 一a s i n 一b s i n s ) d s = c 。s u ”吉上2 s i 叫s 一* 胍n u 卜鲥n s 灿 = c 。s 优一会r c o s ( 一u t ) 一c 。8 ( 2 u s u z ) ) d s 一丢r c 0 8 【( u _ 1 ) s 刊卜c 0 8 【( u + 1 ) s 刈】p = c o s “一会t c 。s 觇一丢 击【8 i n ( 叫一s i n ( 一卜志【s i n t 一咖( 一】 一o s “一乏泐s u ”去伍n t “n 此为式( 3 7 ) 的精确解 对于非线性方程，把非线性项作为限制变分项，由于拉氏乘子是近似识别的， 所以必须通过迭代得到近似解，如 q + 钍2 = 0 ，( 3 9 ) 初始条件为乱( 0 ) = 1 ，其校正泛函可表示为 牡。+ 。o ) = ) + a ( u ：( s ) + ( s ) s ( 3 1 0 ) 式中( f ) 为初始近似解，吒为限制变分量 令上述校正泛函取驻值，注意到6 他( 0 ) ：o 可得以下驻值条件： 1 + 入( s ) b = o s ) = o l 拉氏乘子a 可近似识别为a = 一l ，把a = 一1 代入式( 3 1 0 ) 得以下迭代公式 h o ) = ( t ) 一r ( ( s ) + ( s ) 灿 如果初始近似解设为( z ) = 似o ) = 1 ，则可得如下收敛列 ( t ) = l ； ( t ) = 1 一t 7 ( t ) = 1 一t + t 2 一丢t 3 ； ( 句= 1 一t + t 2 一言t 3 + 主矿； ； 啪) = l t 彬一吾“+ ( _ 1 ) “熹 所以在n o o 时收敛到精确解( t ) = 丁b 注：在用变分迭代法求解微分方程时，由于应用限制变分项使得拉氏乘子 近似识别，拉氏乘子越接近精确值，近似解收敛到精确解的速度就越快，所以 应该尽可能的减少限制变分项如在式( 3 7 ) 中，令a 8 i n u t + b s i i l t = o ，若把3 作为限制变分项，则式( 3 7 ) 的校正泛函改写为如下形式： + 。( ) = 巩( t ) + 上入 可”。( s ) + u 2 ；。o ) ) 如 ( 3 1 1 ) 令上述校正泛函取驻值，可得驻值条件 饥：a 。( 占) = o 6 豉：a ( s ) l = o 6 ：1 一a ( s ) l = o 拉氏乘子a 可近似地识别为a ：占一t ，将入= s t 代入式( 3 11 ) ， 代公式 + 。( t ) = 。( t ) + f ( s t ) e ( s ) + u 2 1 。( s ) ) d s 1 4 则有解的迭 ( 3 1 2 ) 若初始条件仍为掣( o ) = 1 ，( o ) = o ，不妨设初始近似解( 亡) = 秒( o ) = 1 ，将( t ) 代入式( 3 1 2 ) 可得下列近似解 们) = 1 + u 2 r ( s 叫如= 1 一寺以2 ； ( t ) = 一刍u 2 t 2 + r ( s 一吼一+ 2 一去u 4 s 2 ) 如= ，一去2 t 2 + 击u 4 t 4 ； 。) = 1 一击u 2 t 2 + 去t 4 + + ( 一矽高囊u 2 呼“ 则 坚可。( t ) = c o s “ 此为可。+ u 2 可= o 在初始条件可( = l ，( o ) = o 下的精确解 若取a = 丢8 i n u ( s t ) 5 一t 一击u 2 。一矿，代入式( 3 1 1 ) 可得如下近似解： 巩( z ) = 1 + f 扣一t 一击u 2 ( s 一矿) u 2 幽= 1 一去u 2 t 2 + 云u 掣； 巩( t ) = 一责u 2 t 2 + 云u 4 矿一言u 6 t 6 + 击u 8 t 8 显然，取a ：三8 i n u ( s t ) s t 一去u z o 一) 。时所得到的近似解趋向精确解 uj ! 的速度更快 3 1 3 变分迭代算法的发展 为了加快收敛速度，许多人对此法进行了改进1 1 5 删，此处主要介绍何吉欢 对变分迭代法的改进【2 1 1 对于不同阶数的微分方程，运用变分迭代法可得不同方程解的迭代公式如下 f 钍+ f ( o ) ：o o k 一心) 一f 绯地，o ) 幽 f 乱+ q + ，( 让，“) ：o u d k ) 鸹一r 一“洳：+ a 啪) + 弛。，以) ) d s ( i i i ) ( i v ) ( v ) ( v i ) f + ，( “，让，仳) = o 1 + 。g ) = ( t ) + f o t ) 钍：( 占) + ，( u 。，) ) 出 l “。+ u 2 让+ ，( ，u ，。) = o 1 毡 + 吉f s i n 叫 州+ u 2 ( s ) 州，) 卜一q 2 t + ，( u ，t ，t i ) = o 1 。= + f 去( e a ( ”一e 州) ( s ) 一q 2 ( s ) + m 。，t ，) f + ，( 性，钍，u ，仳”) = o i + ，。) = ( t ) 一f 三。一t ) 2 仳：( s ) + ，( ，) ) 幽 p + ，( u ，牡，牡，廿。，t ( q ) = o v 1 1 i 仳时。 ) = ) + f 丢。一t ) 3 钍? 。) + ，( 让。，t ，) 幽 l 牡( “+ ，( 仳，牡， 。，牡( “) = o u d h 归 删”r 南 在上面各式中，若分别记： ( i 木) ( t ) = ( i i 奉) ( i i i 掌) ( i v 宰) ( v 幸) ( v i 牛) ( v i i 奉) 一f 地，破冲 ( t ) = 一上e 岬地，t ) d s ( t ) = f ( s t ) ，( ，) d s 0 一t ) “ t 0 ( s ) + ，( ，吒，钍，) 如 ( z ) = 言r 8 i i l u ( s t ) ，( ，t ，) 如 ( t ) = f 去( e 劬- ) 一e q ) ，( ，) 如 ( 归一f 丢( s 叫2 地，) d s ( 归