（基础数学专业论文）半线性中立型微分方程的适度解.pdf

摘要 本文讨论了b a n a c h 空间中一阶中立型微分方程解的存在性和二阶中立型微分 方程的可控性问题，共分两章； 在第一章里，我们研究了b a n a c h 空间中具有非局部条件的中立型微分方程： 面d m 卅卵，u ( 洲= 似卅，u ( 踟， t ，= 【o ，卅 it ( o ) = 毳( t ) + u o 其中a 为b a n a c h 空间中强连续有界线性解析算子半群s ( t ) ( t 0 ) 的无穷小生成 元，利用s c h a e f e r 不动点定理和半群理论，在h 失去紧性条件时，我们得到了上述 问题适度解的存在性，即定理3 1 在第二章中，我们主要讨论b a n a c h 空间中具有非局部条件的二阶中立型发展方 程； f 夏d 眺讣卵，础) ) = 血+ ，( ) + 肌( t ) ， 涎扛【0 ，口】 1z ( o ) = y o + p ( z ) ， iz ( o ) = y 1 + g ( z ) 关键词：非局部条件；等度连续；强连续半群；半线性中立型发展方程；适度解 相对紧性；压缩映像；不动点；有界 奎查奎兰堡圭竺堡垒兰 苎曼 i i a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo ft h em i l ds o l u t i o nt ot h ef i r s t - o r d e r n e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nb a n a c hs p a c ea n dt h ec o n t r o l l a b i l i t yo fs e c o n d o r d e r n e u t r a le v o l u t i o ne q u a t i o n s i ti sc o n s i s t e do ft w oc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ec o u s i d e rt h ee x i s t e n c eo ft h em i l ds o l u t i o n st ot h en e u t r a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hn o n l o c a lc o n d i t o l m ： 磊d u ( t ) + 郇，n ( 洲= 倒t ) + m ，u ( 们， z ，= 0 ，刀 iu ( o ) = ( “) + t 0 w h e r eai st h ei n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ro fa l le q u i c o n t i n u o u ss t r o n g l yc o n t i n u o u ss e m i g r o u po fb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r ss ( t ) w h e nhl o s tt h ec o m p a c t n e s s ，w eg e tt h e t h e o r e m3 1 b yu s i n gt h es c h a e f e r s 丑x e d p o i n tt h e o r e ma n dt h es e m i g r o u pt h e o r y i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w es t u d yt h ec o n t r o l l a b i l i t yo ft h es e c o n d - o r d e rn e u t r a l e v o l u t i o ne q u a t i o n sw i t hn o n l o c a lc o n d i t i o n s ， f 五d 咖) 州细) 】- 止+ m 州刚+ 剐) t l ，= o 叫 1 。( o ) = y 0 + p ( 卫) ， iz ( o ) = y l + g ( z ) k e y w o r d s ：n o n l o c a lc o n d i t i o n s ；e q u i c o u t i n u i t y ；s t r o n g l yc o n t i n u o u ss e m i g r o u p ；s e m i - h n e a rn e u t r a le v o l u t i o ne q u a t i o n s ；m ds o l u t i o n ；r e l a t i v e l yc o m p a c t ；c o n t r a c t i o nf u n c - t i o n ；f i x e d - p o i n t ；b o t m d e d 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 签名日期： 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文 的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档 的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借 阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南 大学研究生院办理 签名导师签名 日期； 引言 二十世纪九十年代以前，具有古典初值条件的微分方程适度解的存在问题被广泛 讨论( 见【1 - 3 ) ，雨自从1 9 9 1 年l b y s z e w s k i 在文献【4 1 中最早开始研究了具有非局 部条件的微分方程，这类问题被广泛关注非局部中立型微分方程是对具有非局部条 件的微分方程的进一步研究在本文中我们主要讨论了非局部中立型微分方程的适度 解及它的控制问题，共分两章 1 非局部条件下一阶半线性中立型微分方程的适度解 非局部问题是对古典c a u c h y 问题研究的发展，人们最早研究了如下形式的微分 方程： j ，差坤) = 倒巩 t o l “( o ) = z 其中a 是个g 半群的无穷小生成元对它的适度解强解以及古典解做了研 究( 见 1 1 】) 自从1 9 9 1 年l b y s z e w s k i 在文献【4 】中最早开始研究了如下形式的非局 部问题： ii ( t ) = a z ( t ) + f ( t ，z ( t ) ) ，0 t s 正 iz ( o ) + g ( t l ，- ，t p ，z ( 1 ) ，一，z ( 岛) ) = x o ， 其中0 t 1 t 2 t 。t 为固定的点非局部问题被广泛研究非局部中立型 微分方程是对具有非局部条件的微分方程进步的研究本文在第一章中讨论了如下 形式的微分方程； j 面d m 卅卵州洲= a u + m ，婶) ) t e ，= 【0 iu ( o ) = h ( u ) + 伽 在h 的几种弱于紧性的条件下讨论了方程适度解的存在性 为了研究方程适度解的存在性我们给出了以下假设条件： ( e 匕) ：s ( t ) 是由a 生成的紧解析半群，且0 p ( a ) ，0s ( t ) i i sn ( 毋) ：( 1 ) ，满足c a r a t h d o d o r y 条件， ( 2 ) 存在a 三( 1 ，；r + ) 和连续不减函数n ：尼。一r + ，使得， 0f ( t ，z ) 0 ( ) n ( | | z0 ) ，z x ，a e t z ( 玛) ：存在0 卢 0 ，集合 ( 艺7 苫而( ，一垂1 ) 一1 垂2 耳) 为预紧的，其中酾表示在空 间e 中的闭凸包， r ：= u e ；i i r ) 是e 中半径为r 的闭球 利用不动点定理和半群理论得到了定理3 1 定理3 ，1 ：若假设条件( e 4 ) ，( f 0 ) ，( 岛) ，( h ) ，( 玩) ，( h ) 成立，且 伽) d s l i r a s u 。p 生蝌 则初值问题( 1 1 ) 的适度解存在 上述是对中立型微分方程适度解存在性的讨论，第二章是对其控制性的讨论 2 具有非局部条件的二阶中立c a u c h y 问题的控制 如前所述，一阶非局部c a u c h y 问题首先由b y s z e w s k i 在【4 】给出，并被广泛讨 论( 【1 3 ，1 4 ) 二阶非局部c a u c h y 同题近年来倍受关注( 1 5 ，1 6 ) ，如【1 5 】中讨论了 y ”一a y f ( t ，g ) u ( o ) + g ( ) = 珈， y ( o ) = 1 的适度解的存在问题1 9 ，1 7 ，i s 讨论了中立型的非局部c a u c h y 问题微，分方程的控 制问题也被广泛讨论【1 9 ，2 0 ，如m b e n c h o h r as k n t o u y a s 在 2 0 讨论了二阶微分 方程 y ”一a y f ( t ，y ) + ( 曰u ) ( t ) ，t j = 【0 ，】 y ( o ) + l ( y ) = y o ， 97 ( 0 ) = y 1 v 的控制问题但上述文章不论是在二阶适度解存在性的讨论中还是在二阶控制问题的 讨论中，多数在给出条件时要求适度解表达式的一部分预紧，这个条件不但要求比较 强。而且形式也非常人工化，很难验证而这篇文章应用了另一个方法，避开了这个 问题，其中的方法与技巧参用了【1 6 ) 在这章中，我们主要研究具有以下形式的二阶中立型发展方程的控制问题 i 爰咖) + 9 ( 和( 洲= a z ( t ) + ，z ( ) ) + b ( t ) ， t ，= 【0 ，司 1z ( o ) = 暂d + 尹( z ) ， iz ( 0 ) = y l + q ( z ) 为了研究它的可控性我们给出了以下假设， ( 凰) a 为强连续有界余弦算子类 c ( t ) ：t 以的无穷小生成元 ( 阮) 定义线性算子 w ：l 2 ( z u ) 一+ x w u 。j os ( 一s ) 口“扣) d s 有取值干l 2 ( j , 们k e r w 的逆，并且存在常数 彳1 ，m 2 ，使得 0 b i f 尬，0 i 矿一1 i | 如， ( 风) 函数，：j x x 连续；对于0 0 ，集合g ( j 研( 0 ；x ) ) 在x 中 是相对紧的；并且存在常数o ，对于每一( t ，砖j 研( o ，x ) ，l l9 ( ，z ) i i 霹 ( 阮) 函数p ，q ：g ( 以x ) + x 连续，并且存在常数知，f 口，使得 0p ( t ) 一p ( ) 1 i - - - ! p0 “一u4 ， ， c ( ，；x ) ， i iq ( - ) 一q ( ) l l sz 口l | h 一 l l ，口e ( j ；x ) ( 王k ) j + + 0 ，s ( t ) ：x x 为紧的，称岛半群s ( t ) 为紧的如果半 2 群s ( t ) 为紧的，则在任意有界的子集b 中， s ( t ) z ) 。日在t 0 是等度连续的，即 半群s ( t ) 为等度连续的 在本文中我们假定a ：d ( a ) - x 是解析半群s ( t ) 的无穷小生成元，即a 满 足； ( 1 ) a 是闭的，且丽= x ( 2 ) 存在0 j 0 ，使得 p ( a ) ) = a ：la r g a l 昙十d ，u o 且 i i 且( a ；a ) | l 0 鲁，入e ，a 0 7 i 设1 1s ( t ) l l n ( t ，) ，0 p ( a ) ( p ( a ) 是a 的预解集) ，则对任意的0 r j 1 ，可定义 闭线性算子( 一a ) 。，并且d ( ( 一4 ) 。) = x 若z d c ( - a ) o ) ，定义i iz 阽= 0 ( 一a ) o z0 ， 记= ( d ( ( 一a ) o ) ，0zi i o ) 引理2 1 ：( 【1 1 ) 若以上条件成立，则 ( 1 ) 若o n 1 ，则k 是一b a n a c h 空间 ( 2 ) 若0 卢 o 1 ，则k c 局，并且只要a 的预解算子是紧的，嵌入就是紧的 ( 3 ) 对任意的0 o t 1 ，存在正常数巴，使得 0 ( - a ) o s ( t ) i l 岳，0 0 ，存在正常数睨，使得 0 ( s ( t ) 一，) ( 一a ) 一o ij g t o ，0 t t 定义2 1 ：如果，：j x x 满足t ( 1 ) t f ( t ，u ) 可擐8 的，v x ， ( 2 ) u f ( t ，u ) 连续的，a e t j 则称映射，满足c a r a t h d o d o r y 条件 3主要结果 定义3 1 ：如果函数“e ，满足“( 0 ) = u o + ( u ) ，且对任意的0 t l 函数 8 a s ( t s ) g ( s ，e ( 8 ) ) 在i o ，t ) 上可积，并有 u ( t ) = s ( z ) ( “o + g ( o ，“( o ) ) + ( ) ) 一g ( t ，u ( t ) ) ，t 一上a s ( 。一s ) 9 ( s ，( 5 ) ) 幽 + 1 0s ( t 一8 ) ，( 8 ，“( s ) ) 4 8 t j 则称是( 1 1 ) 的适度解 定义映射量：e 一e 为 西= 西1 十垂2 ，其中 l u ) ( t ) = s ( t ) g ( o ，t ( o ) ) 一9 ( t ，( t ) ) 一f o ta s ( t s ) g ( s ，u ( s ) ) 幽 ( 西2 ) ( t ) = s ( t ) u o + ( ) 】 + j ( 2s o s ) ，( s ，缸( s ) ) d s 对于u e ，t j 为了研究( 1 1 ) 的适度解，我们给出了下列条件： ( 口 ) ：s ( t ) 是由a 生成的紧解析半群，且0 p ( a ) ，| | s ( t ) f f n ( f 0 ) ：( 1 ) f 满足c a r a t h d e d o r y 条件， ( 2 ) 存在a l ( ，；r + ) 和连续不减函数f t ：r + 矿，使得 j j ( t ，z ) i j 口( f ) n ( 0zj ) ，z 配口e t j ： 3 ( 坞) ：存在0 o ，集合h ( 丽( j 一垂。) “圣z b r ) 为预紧的，其中否丽历表示在空 间e 中的闭凸包，b r ：= “e ；i “i sr 是e 中半径为r 的闭球 定理3 1 若假设( h a ) ，( h i ) ，( ) ，( h ) ，( 以) ，( h ) 成立，且 伽灿 0 ，使得 知油生坐制掣 则对任意u b r ， 一西1 ) 。屯( ) o 志”( 。) o 击f 0u o0 + a ( 忪1 1 ) 1 一上帕 + ，。( s ) 2 ( 1 lu ( s ) ”d s l j n 因此k u b r 证毕 6 引理3 3 ：假设( 日 ) ( 所) ( k ) 成立，则对于6 ( o ，t ) ，( 西2 耳hc ( 【j ，6 】；x ) 为预 紧的，即在t 0 时，圣2 b r 等度连续，且( 0 2 b ，) ( t ) 为预紧的 证明：垤 0 ，3 6 0 ，使得对于任意cj ，当m ( j ) j 时，有 f j , a ( s ) 幽 丽而 毒 对于0 0 时，因s ( t ) 等度连续，则 一l i m o + i i ( s 0 + ) 一s ( t ) ) ( t 正0 + ( ) ) i i = 0 并且 以 一l i m o + i i ( s ( “+ j ) 一s ( j ) ) j c s ( s ) 一州( t s ) ) d s i i = 0 而且上面极限对于u 耳是一致的即当h - - - - - 40 + 时，i j 西2 u ( t + h ) 一西2 u ( t ) 0 一 致收敛于0 因此中2 马( ) ( 亡 0 ) 为等度连续的。 对于任意的e ( 0 ，t ) ，令 ，一f ( 垂2 c u ) ( ) = s ( 。) “。+ s ( 2 ) ( u ) + 上s ( t s ) ，( s ，“( 8 ) 因s ( t ) 是紧半群，则( a l p 2 , b ，) ( t ) 为预綮的，而 l jm 2 ：u 0 ) 一中2 ( t ) 0s i ls 0 一s ) ，( s ，“( s ) ) i id s j i c ，t n l ( r ) a ( s ) d s 所以对于t 0 ，垂2 研( t ) 为预紧的证毕 由上面引理3 1 ，3 2 知k ：耳，研连续，但k 不是紧映射( 引理3 3 对 t = 0 不成立) 定理3 - 1 的证明：下面我们构造闭凸子集曰，使k ：b - b 是紧映射 记b = 蕊( ，一垂i ) _ 1 西2 日，可知b 为有界闭凸子集又由引理3 2 知b c 耳， 则k bc b 由假设( 日) 可知，h ( b ) = ( 苞丽历( j 一西1 ) - 1 西2 耳) 预紧。则西2 b ( 0 ) 是预紧的 下面证明对所有t 正垂2 b ( t ) 为预紧的 v u b i l 圣2 u ) 一垂2 u ( 0 ) 0 0 ( s ( 6 ) 一1 ) ( u o + ( u ) ) j i + n ( r ) 上a ( s ) d s 因为h ( b ) 预紧，可知当5 + 0 ，8 垂：( 6 ) 一垂2 u ( o ) i l 在b 上一致收敛于0 ，结合引 理3 3 知m 2 b c e 为等度连续的，则中2 b c e 为预紧的 又由引理3 1 可知，算子( j 一中1 ) - 1 为l i p s c h i t z 连续的。则在有界闭凸集b 8 上，k ：b ，且为全连续的由s c h a u d e r 不动点定理可知，k 存在不动点。即为 圣的不动点，则( 1 1 ) 的适度解存在证毕 下面给出假设( 嚣) 成立的条件 ( 磁) ：( 1 ) 映射h ：( e ，| | - + x 连续， ( 2 ) 存在非增函数a ：厅。_ + 疗使得0h ( u ) l l sa “ui ) 显然( h i ) 争( z h ) ，我们也可以证明当( 日 ) ( h i ) 满足时，( h i ) = 辛( 日) 因此 有 定理3 2 ：若假设( h a ) ，( h s ) ，( 玛) ，( 磁) ，( 己) 及( ) 成立，则初值问题( 1 1 ) 至少存 在一个适度解 证明：由定理3 1 可知，我们只须证明假设条件( 日) 成立即可 v u 吼口r ，垤 0 ，劭 0 ，使得 ，5 五i i u ( s ) i id s t 定义 d = 口工( z x ) ；当t 【o ，司时，口( t ) = o ； 当t 陵刁时，v ( t ) = u ( t ) 对于训西2 b r ， 由引理3 3 可知，( 中2 f k hcc ( 陋卅；x ) 为预紧的，因此可知( 垂2 耳hcl ( 峨卅；x ) 为预紧的，则dc ( 以x ) 为预紧的因圣2 b rcl ( j ；x ) 有一个网d ，因此西2 耳 在l ( ，；x ) 中是预紧的又因( i 一币t ) “在范数”i i l - 下是连续的，则 ( i 一圣1 ) - 1 西2 屏cl ( j ；x ) 是预紧的，又 c o n v ( i 一圣1 ) 一1 西2 b ，c ( l ) e i 石而( ，一西1 ) 一1 垂2 b ， 并且h ：( e ，”x 连续，从而条件啤) 满足其中( l ) 乙丽面表示在空间 三( ，；x ) 中的闭凸包证毕 对于m c e ，且0 0 使得 ( 死) 为h ( m ) 的e 网 9 定理3 3t 若假设( 日 ) ，( 研) ，( 岛) ，( 日 ) ，( + ) ，( 玩) 及( f l ) 成立，则初值问题( 1 1 ) 至少存在一个适度解 证明：由定理3 1 可知，我们只须证明假设条件旧) 成立即可 由引理3 3 可知对于j 0 ，r 0 ，( 垂2 研h 为预紧的，又由( i 一中1 ) _ 1 的连续 性及h 的连续性知 h ( e i i 而( ，一圣1 ) 一1 ( 西2 耳k ) 也为预紧的结合条件也可知，y r 0 ， ( 乙7 ；而( ，一中1 ) “西2 日) 为预紧的证毕 下面我们给出满足假设( r o ) ，且在假设条件( h a ) ( h ) 成立时满足假设( 日) 的两 种在文献中被广泛讨论的初值类型( 参见【4 ，7 】) ， ( i ) 时滞初值问题：对于固定的r ( 0 ，r ) ， ( 0 ) = u o + 1 ( 脚) ， 其中u ，( t ) = u ( t + r ) ( 2 ) 多点边值问题：t t ，t 2 ，t p 固定，且0 t l 知t ， u ( o ) = 咖- t - h 2 ( t l ，一，t p ；“( t 1 ) ，r 一，u ( p ) ) ( ) 推论3 4 ；若假设( 巩) ，( 研) ，( 以) ，( h h ) ，( g o ) ，( ) 成立，其中h ( u ) ：= h i ( u ，) ，则方程 j 瓦d ) + g ( 细( t ) ) 】- 舭( t ) + ，u ( t ) ) ， t 【o ，明 it ( o ) = h l ( u ，) + u o 至少存在一个适度解 证明：对于mce ，当0 0 ，( 垂2 b ，k 为预紧的又因h 是连续的，且对于 0 d t l ， ( 石面而( ，一圣1 ) 一1 圣2 j 耳) = h ( 虿面面( j 一心1 ) 一1 ( 中2 z 耳) 6 ) 由引理3 1 ，3 2 知( h ) 成立，再由定理3 1 知推论3 5 成立证毕 注，在1 7 中也讨论了( + + ) 形式的多点边值问题，它在全连续且g = 0 时得到适度 解的存在性推论3 5 仅在连续性条件而没有紧性条件下得到了解的存在性 4例子 为了说明前面定理或推论的应用我们来讨论下面的偏微分方程 f 知如) + f 郴，咖踟驴昙础砒砌，圳，川_ 0 ，卅圳叫 lz ( t ，0 ) = z ( t ，r ) = 0 ， 【z ( o ，z ) = u o ( x ) + q ( h ，t r ；z ( t t ，一，知；z ) ) 令x = l 2 ( o ，”】) ，定义a ：d ( a ) 一x 为 a f = ，” w d ( a ) ，其中d ( a ) = ，( ) x ：，”x ，y ( 0 ) = ，( 7 r ) = o ) ， 我们可得a 为紧解析半群丁( ) 的无穷小生成元，它的特征值为一n 2m n ) ， 对应特征向量为如( ) ：= ( 2 ) s i n ( r ) 并且有以下性质( 参见 9 1 ) ： ( a ) 磊：n v 为x 的个基底。 ( b ) 若，d ( a ) ，则a ( f ) = 一墨l n 2 ( ，) ( c ) 对于f x ，( 一 ) 。2 ，= 一0 01 ( 1 n ) ( ，) ， ( d ) 在d 【( 一a ) 1 2 j = ，x ：器l n ( ，) x ) 上定义( 一 ) 1 2 ( 一a ) 1 2 ，= n ( ，磊) 缸 我们假设以下条件成立- ( i ) 函数b 可测，并且盯j ：；r6 2 ( 口，x ) d e d z o 。 ( i i ) 函数( o o x ) b ( o ，) 可测，6 ( 目，0 ) = b ( e ，# ) = 0 且 1 = r i o 。f f o ( 未x b ( 0 ，神) 2 础捌1 2 m ( i i i ) 函数，满足下面三个条件； ( 1 ) 对于v t 【o ，习，p ( t ，) 连续， ( 2 ) 对于v z x ，p ( ，。) 可测， ( 3 ) 存在正的函数a l 1 o ，刀，使得 p 0 ，2 ) l s 口( t ) iz1 够，z ) 【o ，t x ( i v ) q ( t l ，知；z ( l ，知；z ) ) 关于z 连续，且存在非增函数a ：厅厅 使得 l lq ( 亡l ，t p ；z ( q ，知；) ) l l s a ( m 8 x l lz ( 如；z ) i = 1 ，巾) ) ( v ) i i f ( ) j | n ，且由引理1 1 可知。存在正常数吼，使得 i i ( 一a ) t ( t ) i i - 业t l 2 定义，g ：【0 ，卅x ，x ， 2 ：e ( o ，卅；x ) - - - - 4x 9 0 ，z ) ( z ) = b ( 2 ) ( 。) 2 o 6 ( 8 ，。) 。( e ) d e ( t ，z ) ( 。) = p ( t ，z ( z ) ) h 2 ( t 1 ，t p ；z ( n ) ，：( 如) ) ( z ) = q ( h ，一，t p ；z ( z ) ) 由( i ) 可知，b 是x 上的有界线性算子并且由b 的定义和( 2 ) 可得 b(。)，钿)：一【厂6(口，z)。(目)删知扛)dx b ( 。) ，钿) 2 o 【上6 ( 8 ，。) 。( 8 ) 4 刎知扛 = 拍堆( z 。未即，咖棚，鲫( 砩 设日，( 。) = 盯岳6 ( p ，z ) ：( 口) 棚，由( 2 ) 可知，b 1 ：x x 为有界线性算子，且 【i b lu s n l 因此 口( 名) d 【( 一a ) 1 2 ，0 ( 一a ) 1 2 b ( z ) i i = l ib 1 ( z ) i i ，0 ( 一a ) 1 ，2 bi l v i 则微分方程可变为 面d + g ( 缸( 洲= z ( t ) + 巾，z ( t ) ) ， t ，= f o ，卅 【。( o ) = ( t 1 ，t p ；z ( t 1 ) ，。( 知) ) + 蛳 由上可知，a 为紧解析半群的无穷小生成元，且假设条件( 毋) ( 凰) 成立，此时 若 l o = 1 ( + 1 ) 0 ( 一a ) 一1 20 + 2 i g t 0 ，集合l ( j b r ( o ；z 1 ) ) 在历中为相对紧的， ( i i ) 对于a et j ，函数l ( t ，一) ：z 1 - + z 2 为连续的。 ( i i i ) 对于每一z z 1 ，函数l ( ，。) ：j ，易为强可测的， ( i v ) 存在个可积函数m l ：j 一【0 ，) 和个连续函数w l ： 0 ，) - - - 4 【0 ，) 使得 f ll ( t ，z 刈2 曼m l c t ) w n ( i lz ( t ，：) j z 1 ( b ) 对于每一z 历，t i r ( t ) z 在l ，上为连续的，即算子类( r ( t ) ) 川为强连续 的则映射 f ： e ( j ；z 1 ) - - - - 4g ( j ；z 3 ) 是紧的，其中r 的定义为： e t r u ( t ) 2 上r ( t 一3 ) l ( 8 ，t ( s ) ) 如z 正c ( 以五) 引理2 2 ：( 【2 3 】) 设c 为b a n a c h 空间x 的有界闭凸子集，若映射正：c _ + x 0 = 1 ，2 ) 满足； ( 1 ) w ，y c = 号乃z + t 2 y e ； ( 2 ) 五为压缩映射，乃是紧映射； 则乃+ 死在g 上至少有一个不动点 3 主要结果 首先我们给出下面假设： ( 日1 ) a 为强连续有界余弦算子类 c ( t ) ：t 以的无穷小生成元 ( e 定义线性算子 w ：三2 ( 正u ) 一x w u 。j cs ( 一s ) b u ( s ) d s 有取值于工2 ( zu ) k e rw 的逆w ，并且存在常数 矗， 如，使得 i | b 临m 1 ，i i - 1 峪m 2 ( h 3 ) 函数，：j x x 连续；对于0 0 ，集合g ( j 耳( o ；x ) ) 在 x 中是相对紧的；并且存在常数群，对于每一( t ，z ) jxb r ( o ，x ) ，l lg ( t ，z ) l l 群 ( 如) 函数p ，g ：c ( j ；x ) x 连续，并且存在常数f p ，l 。，使得 i i p ( u ) 一v ( v ) i i s 知8 一 忆n ，口g ( t ，；x ) ， 0q ( u ) 一q ( v ) 0 s l q0 t i 一口0 ，t ， g ( ，；x ) ( 凰) l i m o o i n t ! ( 1 + a 2 n m l m 2 ) ( 2 。n a g + d 2 口j r ) + 2 ( 1 + a 2 m 1 m 2 ) ( 1 v + a l 口) + a 2 m 1 m 2 n l p (1 定理3 1 ，若假设( 口。) 一( 凰) 成立，则初值问题( 1 1 ) 为非局部可控制的 证明：记空间y = e ( ，；x ) ，定义映射垂：y y 为 圣= 圣1 + 圣2 ，其中圣2 = f 1 + r 2 + r 3 ， ( cx x ) ( t ) = c ( t ) ( y o + p ( z ) ) + s ( t ) ( y l + g ( z ) ) + s 一s ) b w 一1 x l + p ( ) 一e ( n ) ( 珈+ p ( z ) ) 一s ( ) ( y 1 + 口( z ) ) ( s ) 西， ( r - z ) ( t ) = z s ( t s ) b w 一1e 0 8 c ( a - t ) g ( 邶( r ) ) 打 一，。s o f ) ，( l 。( 7 ) ) 出 j 0 + s ( o ) 9 ( o ，x ( o ) l ( s ) d s ( r 2 z ) ( ) = s ( t ) g ( o ，z ( o ) ) 一厝c ( t s ) g ( s ，x ( s ) ) d s ( r z z ) ( t ) = 詹s ( t 一8 ) f ( s ，x ( s ) ) d s 则 其中 其中z 耳( 0 ；y ) ，t z 则有中不动点的充要条件是( 2 1 ) 是可控的 由( f 屯) ，对于任意函数z ( ) 目( 0 ；y ) 定义控制函数 u 0 ) = w 一1 【z l + p ( z ) 一c ( a ) c y o + p ( ) ) 一s ( ) ( y 1 + q ( z ) 一g ( o ，z ( o ) ) + g 一8 ) 9 ( 5 ，x ( s ) ) d 8 j u 一上s ( o 一5 ) ，( s ，。( 8 ) ) 8 8 】( t ) l b u ( t ) l l i ibi l l l i 矿一1i i i iz l + p ( 。) 一e ( d ) ( 蜘+ p ( z ) ) - s ( ) c y + q ( z ) 一g ( o ，z ( 0 ) ) + c 一s ) 9 ( 8 ，x ( s ) ) d s j 0 一五s ( 。一s ) m ，z ( s ) ) d s i i m i m 2 i ix l0 + l p r + 0 p ( o ) l l + i i 珈0 + 0 r + | | p ( o ) 0 + n 0 玑i i + l 叮r + a n0q ( o ) 0 + 衅+ d 砰+ 0 2 口，】 = m i m 2 r ( i p + n i p + a n l 口) + f + m 如( 2 n 砰+ a 2 n a j ) = l o f = m i m 2 i iz li | + 0p ( o ) 0 + ( i i o0 + 0p ( o ) l | + o0 10 + n | | q ( o ) 0 ) 我们断定存在r 0 ，使得圣( 耳( o ，y ) ) c ( 耳( 0 ，y ) ) 假若不成立，则对于任 意的r 0 ，存在矿耳( 0 ，y ) ，t 7 j 使得j jc l , x ( 矿) j | r ，我们可得 r 0 垂，( ，) 0 l v ( i ly o0 + l p r + 0p ( o ) l i ) + o ( i iy lj | + z 口r + 0q ( o ) 0 + o ；) 则 + a n a ：+ a 2 n d , + a 2 n m l m 2 r ( 1 p + n i p + a n l q ) + 0 2 n l + n 2 m 肘j ( 2 醒+ a 2 n a f ) 1 n 2 ( 1 + n 2 m 1 m 2 ) ( 1 p + a l g ) + 2 m l m 2 n t + ! ( o 珈i i + op ( o ) i i + 口| i 虮o + 口oq ( o ) i i + a 2 1 ) + ( 1 + a 2 n m l m 2 ) ( 2 a n a ：+ a 2 n a f ) 两边取极限，与( 风) 矛盾 令d = b r - ( 0 ，y ) ，则垂：d d 先证圣1 为压缩的 对于3 3 ，y c ( ，；x ) ， lm l z 一圣l 掣i n l v + a n l g + a 2 n m t m 2 ( 1 p + 知+ a n l 4 ) 1 iz 一掣 由( ，6 ) 可知， 4 - a n l q + a 2 n m a m 2 ( i v + n l p + a n l 口) 0 ，取0 = s 1 8 2 0 ，集合，在x 中是相对紧的；并且 存在常数n ；，对于每一( t ，z ) jxb r ( o ，x ) ，i i ，( t ，z ) i i s 群 或假设条件( 凰) 换为下面条件 函数g ：j x ，x 连续；对于0 t 7 0 ，集合 v c t ，r ) = s ( t ) 9 ( s ，z ) ：5 ，t 【0 ，目，z 日r ( o ；x )