（基础数学专业论文）具有plaplacian算子的三阶微分方程三点边值问题的正解.pdf

兰州人学硕士学位论文 摘要 近年来，非线性微分方程的边值问题已经成为微分方程研究领域的一个重要 分支它在气体动力学、流体力学、天文学、经济学、非线性光学等领域有着广泛 的应用背景和重要的理论指导意义，有关这一问题的研究早在一百多年前的s t u r m l i o u v i l l e 时期就已经开始了至今，在问题研究的深度、广度以及研究方法和工具 方面都有很人的发展本文主要讨论了一类具有p l a p l a c i a n 算子的三阶微分方程三 点边值问题正解的存在性所得结果推广和改进了相关文献中的结论 全文共分三章，第一章为引言，主要叙述了微分方程边值问题产生的历史背景 和发展情况，以及本文的主要工作 第二章主要讨论了如下具有p l a p l a c i a n 算子的三阶微分方程三点边值问题 ( 讳( u ( ) ) ) 7 + a ( t ) f ( t ，乱( t ) ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， 他( o ) = 0 ，z u ( o ) 一7 u ，( 0 ) = 0 ，u ( 1 ) = a 乱( 叼) 正解的存在性借助于l e r a y s c h a u d e r 的基于小动点指数的不动点定理和l e g g e t t w i l l i a m s 不 动点定理，建立了一个、两个及三个j 下解的存在性准则 第三章进一步考虑了非线性项显含未知函数的一阶导数的边值问题 ( 九( ( ) ) ) 7 + a ( t ) f ( t ，u ( ) ，u 他) ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， 乱( o ) = 0 ，p 乱( o ) 一，y u 7 ( o ) = 0 ，u ( 1 ) = n 让( 叩) 多个正解的存在性，主要工具为a v e r y p e t e r s o n 不动点定理和一些分析技巧 关键词：三阶微分方程；p - l a p l a c i a n 算子；三点边值问题；锥；不动点定理；正解；存在 性 5 兰州大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a s b e c o m ea ni m p o r t a n tb r a n c hi nt h ed o m a i no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n b e s i d e s ，i th a sa l s o c o m p r e h e n s i v e l ya p p l i e db a c k g r o u n da n di m p o r t a n tm e a n i n go ft h e o r y o r i e n t e di ns o m e r e s e a r c hf i e l d s ，s u c ha sp h y s i c s ，a s t r o n o m y , b i o l o g ya n ds o c i e t y t h er e s e a r c hh a sb e g a n i nt h es t u r m l i o u v i l l e sp e r i o db e f o r e10 0y e a r s u p o nt on o w , t h ed e p t h ，s p a n ，r e s e a r c h w a y sa n dt o o lo fr e s e a r c h i n go nt h ep r o b l e mh a sm a d eg r e a ts t r i d e s t h i st h e s i si sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e rn a r r a t e dt h eh i s t o r i c a lp e r s p e c t i v ea n dt h ed e v e l o p m e n to ft h eb o u n d - a r yv a l u ep r o b l e mo fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w ea l s os t a t et h em a i nr e s u l t so ft h i s t h e s i s i nc h a p t e r2w ed i s c u s s e dt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o nf o rt h ef o l l o w i n gt h r e e o r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rt h i r do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hp - l a p l a c i a no p e r - a t o r ( 如( 札( ) ) ) 7 + n ( ) ，( t ，u ( t ) ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， ( o ) = 0 ，3 u ( o ) 一7 u 7 ( 0 ) = 0 ，u ( 1 ) = a 仳( 7 7 ) b ym e a n so fl e r a y s c h a u d e rf i x e dp o i n ti n d e xt h e o r ya n dl e g g e t t - w i l l i a m sf i x e dp o i n t t h e o r e m ，w ee s t a b l i s ht h ee x i s t e n c ec r i t e r i ao fo n e ，t w oa n dt h r e ep o s i t i v es o l u t i o n s c h a p t e r4i sc o n c e m e dw i t ht h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o no fb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mw i t hf i r s to r d e ra p p e a r i n gi nt h en o n l i n e a r i t y ( 如( ( ) ) ) 7 + a ( t ) y ( t ，乱( ) ，( ) ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， ( o ) = 0 ，3 u ( o ) 一7 u 7 ( 0 ) = 0 ，u ( 1 ) = a u ( 叩) t h em a i nt o o li sa v e r y p e t e r s o nf i x e dp o i n tt h e o r e ma n ds o m ea n a l y t i ct e c h n i q u e k e yw o r d s ：t h i r do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；p l a p l a c i a n ；t h r e ep o i n tb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m ；c o n e ；f i x e dp o i n tt h e o r e m ；p o s i t i v es o l u t i o n ；e x i s t e n c e 6 兰州大学硕士学位论文 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行研究所取 得的成果学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明 确注明出处除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表 或撰写过的科研成果对本文的研究成果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明 本声明的法律责任由本人承担 论文作者签名： 3 r ：t 鞋j ：鱼骘世 兰州大学硕士学位论文 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰州大学本 人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学校保存或向国家有关 部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权兰州大 学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复 制手段保存和汇编本学位论文本人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相 关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为兰州大学 保密论文在解密后应遵守此规定 论文作者签名：导师签名：复红兰量日期： 4 塑p j 第一章引言 1 1 微分方程边值问题的介绍 常微分方程边值问题是微分方程理论研究中的一个基本问题，随着其理论在气 体动力学、流体力学、天文学、经济学、非线性光学等领域的广泛应用，该问题亦成 为微分方程理论研究的最重要的课题之一 1 8 世纪中期，由于伯努利兄弟、欧拉、拉格朗日等的卓越工作，在一阶及高阶 常微分方程求解上取得了重大进展，给出了各种解法，常微分方程成为新的数学分 支1 9 世纪初，法国数学家傅里叶用分离变量法求解热传导问题，导出了二阶常微 分方程的两点边值问题 ， j 圣( z ) + a 七2 中( z ) = 0 ， i 西( o ) = 西( z ) = 0 其中a 是参数，其解是否存在与a 取值有关，从而导出了特征值的概念从1 9 世纪3 0 年 代起s t u r m 和l i o u v i l l e 共同研究了二阶线性齐次方程的边值问题署h s t u r m l i o u v i l l e 特 征值问题他们将二阶线性微分方程化为 0 ( 咖；，) ，+ a q ( t ) x = 0 ，p ( ) ，q ( t ) 0 ， 变换后的方程所应满足的边界条件为 z 7 ( 口) 一a z ( a ) = x t ( 6 ) + f l x ( b ) = 0 ，q ，p 0 ， 现称为s t u r m - l i o u v i l l e 边界条件 1 2 1 ，他们的研究得到了关于特征值的一系列结果形 成s t u r m l i o u v i l l e 理论 1 6 ，1 7 2 0 世纪初，h i l b e r t 和b o c h e r 奠定了常微分方程边值问题的理论基础此后泛函 分析逐渐成为研究常微分方程边值问题的重要理论基础泛函分析正是在算子概念 的基础上发展起来的2 0 世纪3 0 年代中期法国数学家勒雷和绍德尔建立t l e r a y s c h a u d e r 度理论 1 8 1 他们的方法用于研究线性微分、积分、泛函方程时，取得了巨 大成功尤其是这种理论对常微分方程边值问题的应用，形成了常微分方程拓扑方 法或泛函分析方法其核心是各类小动点定理的建立和应用在泛函分析理论以及实 际问题的推动下，常微分方程边值问题的研究在近半个世纪里发展十分迅速除了 1 兰州大学硕士学位论文 传统的二阶常微分方程边值问题之外，开始研究二阶及高阶微分方程的多点边值问 题并且随着新问题的出现，形成了许多新的研究方向 1 9 8 7 年，i f i n 和m o i s e e v 提出并讨论了二阶线性常微分方程多点边值问题【1 8 ， 1 9 1 1 9 9 2 年，g u p t a 研究t ! i i e 线性常微分方程三点边值问题解的存在性【1 7 】此后， g u p t a 等人又利用l e r a y s c h a u d e r 不动点定理、非线性抉择和迭合度理论讨论了更为 一般的非线性多点边值问题1 9 9 9 年马如云f 2 9 1 率先研究了二阶非线性常微分方程 三点边值问题的正解存在性，他讨论的模型是： 乱( z ) + n ( ) ，( 仳( ) ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) u ( o ) = 0 ，c e u ( o ) = 札( 1 ) ， 其中o 7 7 1 ，0 1 ) 智利数学家较早地研究了此类边值问题，并很快引起了 数学界的重视，取得了一系列研究成果 2 4 ，2 5 ，成为一个经久不衰的研究热点具 有p l a p l a c i a n 算子微分方程的边值问题，在非牛顿力学，宇宙物理，血浆问题和弹 性理论等诸多领域都有广泛的应用。 非线性泛函分析是现代数学的一个重要分支，它的丰富理论和先进方法为解决 当今科技领域中层出不穷的非线性问题提供了富有成效的理论工具在处理实际问 题所对应的多种非线性积分方程，微分方程和偏微分方程中发挥着不可替代的作用 相对于二阶微分方程边值问题的发展，三阶微分方程边值问题的发展速度是比 较缓慢的，三阶常微分方程起源于数学和物理学的各种不同领域中，例如，带有固 2 兰州大学硕士学位论文 定或变化横截面的屈曲梁的扰度，三层梁、电磁波、地球引力，吹积的涨潮等【1 5 】由 于三阶常微分方程边值问题在各个学科中均有着广泛的应用，所以近年来三阶常微 分方程边值问题受到人们的极大关注而对于三阶常微分方程边值问题的研究大量 文献都集中在对三阶常微分方程两点边值问题的研究【1 1 ，1 6 1 在实际问题中不断涌现大量的边值问题，比如，用分离变量法求解线性偏微分 方程的经典问题、寻求一维自由边值问题的解、由n 个密度不同的部分组成且横切 面均匀的牵索的振动以及研究弹性稳定性时引出的多点边值问题；研究非牛顿流体、 多孔介质中气体的湍流、化学活性气体的自燃理论中出现的p l a p l a c i a n 方程；研究 梁方程的微小形变时产生的高阶p l a p l a c i a n 方程边值问题等等这些新问题期待人 们深入研究由于边值问题正解的存在性在理论和应用上的重要性，因此，在常微分 方程、有限差分方程及偏微分方程领域边值问题正解的存在性引起了国内外许多数 学工作者的广泛关注 1 2 本文的主要结果 虽然在二阶微分方程两点边值问题方面已经取得了一定的研究成果，但对于 具有p - l a p l a c i a n 算子的三阶微分两点或多点边值问题方面的工作还非常少见【7 ，3 7 由于p - l a p l a c i a n 算子是形式为( 如( ) ) 7 ，在p = 2 的特殊情形，p - l a p l a c i a n 算子即为通 常的二阶微分算子故p l a p l a c i a n 算子可看作是普通二阶微分算子的推广这也启 发我们参考普通二阶方程边值问题的已有结果和方法开拓这一新的研究领域。但毕 竟p l a p l a c i a n 算子当p 2 时不是线性算子所以不能简单套用普通二阶微分方程 求出相应线性问题的g r e e n 函数的方法证明解的存在性这也是这方面的研究结果较 少的一个原因 此外，现有的文献中所讨论的边界条件基本上都是d i d c h l e t 边值条件，而且所讨 论的问题都是非线性项与低阶导数无关鉴于此，本文考虑了一类带有p - l a p l a c i a n 算 予的三阶微分方程三点边值问题正解的存在性，首先在第二章，我们研究了如下的 三阶p l a p l a c i a n 微分方程三点边值问题 ( 如( 乱( ) ) ) + a ( t ) f ( t ，“( ) ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， 7 ( o ) = 0 ，p 锃( o ) 一7 ( o ) = 0 ，珏( 1 ) = q 锃( 胃) ， 3 兰州大学硕士学位论文 其中p l a p l a c i a n 算子如u ) = i u i p - 2 u ，p 1 建立了与此边值问题等价的算子方程， 并借助于s c h a u d e r 基于不动点指数的不动点定理和l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理，详 细讨论了此边值问题一个，两个，三个及任意奇数个正解存在的充分条件得到的主 要结果包含并推广了相关文献中的结果 第三章研究了非线性项显含低阶导数的具有p - l a p l a c i a n 算子的三阶微分方程三 点边值问题 ( 如( u t t ( ) ) ) + a ( t ) f ( u ( t ) ，( t ) ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， ( 1 1 ) ( o ) = 0 ，z u ( o ) 一7 u ( 0 ) = 0 ，u ( 1 ) = q u ( 叩) ( 1 2 ) 多个正解的存在性利用一定的分析技巧和a v e r y p e t e r s o n 不动点定理建立了此问 题至少有三个正解的存在性准则所得到的结果使得施加于非线性项，的条件非常 容易验证 4 第二章 三阶p l a p l a c i a n 微分方程边值问题正解的存在性 2 1 引言和预备引理 常微分方程边值问题是一个重要的研究领域，线性常微分方程的多点边值问 题的研究起源于许多不同的应用数学和物理领域近来，二阶微分方程两点边值问题 正解的存在性引起了人们的很大关注，见【1 ，2 ，5 ，8 ，l o ，1 2 ，1 5 ，2 6 - 3 0 ，3 3 ，3 4 ，3 9 ，4 1 1 及 其参考文献。但关于三阶微分方程多点边值问题正解的存在性方面的工作却很少 m a 【2 9 1 研究了二阶微分方程三点边值问题 + a ( t ) y ( u ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， u ( o ) = 0 ，u ( 1 ) = n 乱( 叼) ， 其e o o 叩 l ，0 o r 0 ，c ( 【0 ，o o ) 【0 ，o o ) ) 当，满足超线性或次线性条件时，此边值问题至 少有一个正解，所用工具是g u o k r a s n o s e l s k i i 不动点定理 在文【7 】中，c h e n 讨论了如下三阶p l a p l a c i a n 微分方程两点边值问题 ( 如( ( ) ) ) + o ( ) ，( 札( ) ，札他) ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， 让( o ) = 0 ，a u ( o ) 一卢乱7 ( o ) = 0 ，7 u ( 1 ) + 6 ( 1 ) = 0 采用g r e e n 函数的反函数定义算子的方法，利用不动点指数理论研究了此边值问题的 多重正解存在性 受以上结果启发，本章考虑三阶p l a p l a c i a n 微分方程 ( 如( 乱( t ) ) ) 7 + a ( t ) f ( t ，u ( ) ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ( 2 1 ) 满足三点边值条件 u ( o ) = 0 ，z u ( o ) 一7 u 7 ( o ) = 0 ，u ( 1 ) = 伽( 叩) ( 2 2 ) 并利用l e r a y s c h a u d e r 基于锥上的不动点指数的4 i 动点定理和l e g g e t t w i l l i a m s 不动 点定理，建立了此边值问题一个和多个正解的存在性准则特别地，我们的结果包含 并推广了已有文献中的结果 s 兰州大学硕士学位论文 所谓( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的正解，我们指的是函数札( ) ，它在( 0 ，1 ) 上是正的且满足微分方 程( 2 1 ) 及边值条件( 2 2 ) 为了讨论问题的方便，首先列出所需的基本假设： ( h 1 ) o t ，y 0 ，0 r 1 ，0 o ； ( h 3 ) f ：【0 ，o o ) _ 【o ，0 0 ) 连续且不恒等于0 引理2 1 ( l e r a y s c h a u d e r 不动点定理j 设d 是实线性赋范空间x 中的有界闭凸子 集，a ：d _ d 全连续，则a 在d 上必有不动点 引理2 2h 3 ，2 2 设k 是b a n a c h 空间e 中的锥设d 是e 上的有界开子集，d k = dnk d 且d k k 设a ：d k _ k 是全连续映射，使得z a x ，z o d k 则 f f j 如果i i a z l i i i z l i ，z o d k ，那么i g ( a ，d k ) = 1 r 训如果存在e k ( o ) 使得x a z + a e ，z o d k ，a 0 ，则i k ( a ，d k ) = 0 ( i i i ) 设是e 的开子集且cd k 如果i g ( a ，d k ) = 1 e i - i k ( a ，u r ) = o ，则a 在d k - u r 中存在不动点：t 口杲- i k ( a ，d k ) = 0 且如( a ，) = 1 ，则有同样的结论 注记2 3 在引理2 2 中，用假设傅j 比用通常懒- i i a x l l 忪i i ，x o d k ，所得的 结果要好 下? 定义2 4m - l - o a 6 及锥k 上的非负连续凹泛函e 定义凸子集所和( 皿，a ，6 ) 如 虬= z k ：i i z l l o ) ， k ( 皿，a ，b )= ( z k ：a 皿( z ) ，| i z l | 6 ) 下面我们给出l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理【2 5 】 引理2 5 ，2 5 设a ：- c _ _ c 是全连续的，皿是锥k 上的非负连续凹泛函，且满 足山( z ) 忙| | ，z j _ c 如果存在0 d 0 z k ( m ，a ，6 ) ； r 豇) l i a z l i 6 ，有皿( a z ) a n a 至少有三个不动点z 1 ，x 2 与z 3 ，且 z l0 d ，a d 和 皿( z 3 ) a ( 2 3 ) 本章的内容是这样安排的首先给出证明主要结果需要的引理；然后讨论( 2 1 ) ， ( 2 2 ) 一个或两个正解的存在性；最后建立( 2 1 ) ，( 2 2 ) 有三个正解的存在性准则 为了证明主要结果，将用到几个引理这些引理基于下面的线性微分方程边值问 题 ( 如( 让( ) ) ) 7 十h ( t ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， ( 2 4 ) 7 ( o ) = 0 ，z u ( o ) 一，y u 7 ( o ) = 0 ，u ( i ) = q u ( 叩) ( 2 5 ) 引理2 6 如果d = p ( 1 一q ? 7 ) + 7 ( 1 一耐0 ，则对h c o ，1 】，线性微分方程边值 问题f 2 烈f 2 卅有唯一解 乱( z ) = 一z ( t s ) 。( z 8 ( 丁) 打) d s 十竽协叫九( 小丁) d t ) d 8 一口o 町c 减( z 8 竹，打) 小2 固 证明设缸如f 2 6 ) 式贝q 在式f 2 6 j 两边求导得 喇= 一o o 九( o o s c 丁) d t ) d 8 + 鲁 z 1c 1 一s ，( z 8 危c 丁，d 丁) d s q o 叩c 叩一s ，矽。( 8 危c 丁，d r ) d s ， 啪) = 一c q ( f o 。h ( 丁) 打) 从而有 ( 如( u ( ) ) ) 7 = - h ( t ) 由一些常规的计算容易验证让满足边值条件f 2 习因此式f 2 6 j 中的乱是f 2 4 ) ，f 2 5 ) 的 解 易看出当d o n ，微分方程边值问题( 如( ( ) ) 7 ) = 0 ，( o ) = 0 ，触( o ) 一，y z 7 ( o ) = 0 ，z ( 1 ) = q z ( 叼) 只有平凡解因此仁6 肿r 的u 是边值问题f 2 4 j ，陀5 j 的唯一解证毕 7 兰州大学硕士学位论文 引理2 74 - 0 a 叩 0 如果九c o ，1 】且非负，则f 2 以r 2 习的唯一 解u ( t ) 满足 u ( t ) 0 ，t 【0 ，“ 证明由( t ) = - q ( f oh ( 丁) d r ) o 知，u 的图像在【o ，l 】上是下凹的，因此只需 证明乱( o ) 0 ，u ( 1 ) 0 为了证明让( o ) 0 ，需要考虑两种情形首先考虑0 0 且 钍( 1 ) = a 扎( ? 7 ) 寺仳( 7 7 ) ， 这与乱的凹性矛盾证毕 _ 类似与文【3 5 】中的引理2 4 ，我们有如下结果 引理2 9 设o q 叩 0 若 c o ，1 】且 o ，则f 2 4 j ，口卵的唯一解钆满 足 i n i u ( ) r 恻i ， t e o ，1 】一” 其中 r 刊n 掣删，砖i l u l l = 蚓m 叩a x 。i u 1 令b a n a c h 空间b = c o ，1 】，其中范数为最大值范数则易看出微分方程边值问 题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 有解“= 乱( t ) 当且仅当仳是算子方程 a u ( t ) 一z 。( t s ) 。( z 8n ( 丁) ，( 乱( 丁) ) 打) d s + 竽小刊。( 小晰州d 丁) 出 一掣小_ s ) 如( 小r m 小) ) d 丁) d s 亿7 ， 的不动点记 k = 0 ，吲。，1 】，蚓m i n 】u ri i i i ) ， 这里7 的定义见引理2 9 显然k 是b 中的锥此外，i 排j i n 2 9 知，a ( k ) ck 由常规方法 易证a ：k _ k 是全连续的 2 2 主要结果 在本节中，令f 为正常数，定义 硒= u k ：l l u l i f ) ， 类似于文【2 3 中的引理2 5 ，有如下结果 q z = 0 使得u o = a u o + a o e 则当t 【叩，l 】时，叫咖( ) f ，从而由( 2 11 ) 知 f ( u o ( t ) ) 讳( f ) 如( m r ) ，t 【? 7 ，1 】 因此 a 铷( 叩) = 一z 叩( 叼一s ) 。( 8n ( 丁) ，( 札。( 丁) ) 打) d s + 学小刊妒。( 小r 姒丁脚下) d s 一竺! 壁鼍i = 蔓二尘z 叼( 叩一s i q ( o a ( 丁) ，( 乱。( 丁) ) d 丁) ( f s 一字小砒( 小丁m 姒丁胂丁) 如 + 竽小叫九( 小丁州州d 丁) d s = 刍z 叩 _ ( 刊( 卵_ s ) + ( 励刊( 1 - s ) ( ：o so ( 柑( 饥。( 州打) d s + 学：1 ( 1 - s ) 巾蛾( 小彬( 删d 丁) 如 = l - 7 7 o d 叩( p s + ，y ) 咖。( z 8n ( 丁) ，( “。( 丁) ) 打) d s + 学小叫( 小丁m 纵叫d 丁) d s 竽小叫九( 小柑渺) 如 - m r l ( 砌彳+ 7 ) 厶f 1 ( 1 一s ) 。( z 5 。( 丁) d r ) d s ， 兰州大学硕士学位论文 即 a u o ( r ) 此外，e h a u o k 知 m r l ( 3 r l + 7 ) 厶f 1 ( 1 _ s ) 九( 小郴丁) d s ( 2 1 2 ) m i n l 】a u o ( ) = m i n a u o ( r ) , a u o ( 1 ) ) ( 2 1 3 ) 则e h ( 2 1 3 ) ，( 2 1 2 ) 和( 2 9 ) 知对于【7 ，1 】， u o ( t ) = a u o ( t ) + a o e ( t ) m 鞴i a u o ( 。) + 知 = m i n a u o ( r ) ，a u o ( 1 ) + 入o = m i n 1 ，a a u o ( y ) + a o 、m r l 0 3 y + 7 ) ：上 d 川+ 知 m t n l ，q ) z 1 ( 1 一s ) 九( z 8 。( 7 ) d 丁) d s + a 。 这意味着r l r l + 入。矛盾因此根据引理2 5 ( i i ) 可得i k ( a ，q ) = 0 下面给出( 2 1 ) ，( 2 2 ) 存在多个正解的结果 定理2 1 3 如果下列条件之一成立? f s l ) 存在f 1 ，1 2 ，l a ( 0 ，co ) ，z 1 r 1 2 与1 2 l a ，使得 矗1 c p ( m ) ，z 乞c p ( m r ) ，“a u ，u a q l 。和路纬( m ) r s 2 ) 存在f 1 ，z 2 ，l a ( 0 ，c o ) ，z 1 f 2 r 1 3 ，使得 ；。c p ( m r ) ，詹c d m ) ，钍a u ，乱a 硒。和瑰c v ( m r ) 则f 2 ，) ，f 2 2 有两个正解此外，如果在f s j j 中，名1 咖( m ) 换为矗1 奶( m ) ，则f 2 ，j f 2 2 j 有第三个正解乱3 硒。 证明假设条件( s 1 ) 成立我们将i i e i t ) a 在a k 。或在q f 。_ l 。中有不动点让1 如果u a u ，乱o k t 。u o k t 。，由引理2 1l 和2 1 2 失 1 ，i k ( a ，硒。) = 1 ，i g ( a ，q z 。) = o , 及i r ( a ，硒。) = 1 根据引理2 1 0 ( i i ) 和f 1 0 使得下列条件之一成立? f 剧j0 f o 讳( m ) ，f 咖( m r ) ，“a u , u a q l 且o ，” 奶( m ) ； r e 2 ) 如( m ) 厶0 0 ，f o 如( 仇) ，u a u , u a 硒且讳( m ) 厶0 0 则仁j ) ，f 2 2 j 有两个正解 证明我们将证明由条件f e ) 成立可推出条件r s j j 成立由o f o 奶( m ) 易 知存在1 1 ( 0 ，r 1 ) 使得矗1 m 觚 而b ，z ) 于是 f ( u ) 如( k u + b ) 如( k 1 3 + b ) 如( m a ) ，乱【0 ，f 3 】 则f 2 如( m ) 和f s j ，成立类似地，由条件f 砣) 成立可推出条件f 舵j 成立证毕 类似于定理2 1 3 的讨论，易得下面的关于边值问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 至少有一个正解的 结果 定理2 1 5 如果下列条件之一成立? f 删存在f l ，1 2 ( o ，o o ) ，1 1 r 1 2 ，使得矗1 奶( m ) 和z 乙c p ( m r ) r 觯) 存在f 1 ，1 2 ( o ，。) ，l l 1 2 ，使得；。c p ( m r ) 和2 c a m ) 受1 1 ( 2 i ) ( 2 2 1 南一个正解 作为定理2 1 5 的推论，我们有： 推论2 1 6 如果下列条件之一成立? f 船) j0 f o 如( m ) 与c p ( m ) 厶。 f e 4 ) 0 ，o 。 如( m ) 和如( m ) 矗0 0 则r 2 j j ，f 2 2 j 在k 中有一个正解 1 3 兰州大学硕士学位论文 下面研究边值问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 三个正解的存在性 令非负连续凹泛函皿：k _ 【0 ，o 。) 定义为 则对u k ，有皿( u ) i l u 皿( u ) 2 m i n l 】u ( 。) ，让k 定理2 1 7 假设存在常数0 a t 使得下列条件满足? r 力，( u ) 6 7 使得a ：磁，一硒， 设l i m u o of ( u ) u 0 ，6 7 ，则差黠 奶( 6 ，) - 即厂( 乱) ( 6 7 ) ，u ， 令a = 九( m a 【0 ，f ，】，( 让) ) ，则 f ( u ) 如( 6 7 u + 入) ， u 0 ( 2 1 4 ) 取 b m a x 刍，6 ，) 若扎一k l ，则由( 2 1 5 ) n - 得 a u l l = + t m e a o , x 1 一o 。( t s ) 。( z 8n ( 丁) ，( u ( 丁) ) d 丁) d s f i t + t r o d1 ( 1 一s ) 。( z 8 。( 丁) ，( 乱( 丁) ) d 丁) d s 1 4 ( 2 1 5 ) 兰州大学硕士学位论文 一掣o 叼c 减( z 8a ( 丁小时肿) d s ) 蹴 学小_ s ) 砂。( s a ( 丁小腑) 幽) 字小叫幽( 小丁，打) ( 6 7 “( s ) + a ) d s ! 堡_ = j 堕j 兰d 二必j o1 ( 1 一s ) 九( z 8 岔( 丁) d 丁) 如 一 r 吖啊儿w 、吖 = ( 2 7 + 入) m 1 7 下面证明如果存在正数c 使得f ( u ) 如( c m ) ，乱【0 ，c 】，则 假设u 瓦，则 a u i a i ) 0l = i k o ( a u ) a i ，乱k ( 皿，a t ，6 ，) 事实上。 u - - 垡 掣 让p ( 皿，。，6 ，) ：皿( 乱) n ，) 对u k ( 6 2 ，n 7 ，6 ，) ，有a t m ，i nu ( t ) u ( t ) 6 ，t 切，1 】从而由( i i ) 知 气c 气l 皿( l 乱) 2 叶m 曼i n 1 l 乱( 。) = m i n a u ( 叩) ，a u ( 丁) ) m i n 1 ，q ) a 扎( 叩) 蛐 l ，d ) 等 m i n l , a ) 竽 一s ) 。 一s ) 4 ( 小州州打) d s ( 1 时，打) s “ 最后证明如果u k ( 皿，a i ，c ，) 且| i a u | | 6 ，则( a 乱) a 7 假设u k ( 皿，a i ，c ，) ，i i a u l l 6 ，那么 皿( a u ) = 删r a i r b 7 = a 7 兰州大学硕士学位论文 由上面的讨论知，引理2 5 的条件满足，因此( 2 1 ) ，( 2 2 ) 至少有三个正解u 1 ，抛，u 3 r 1 1 , , 1 1 1 d ，及骢钍3 ( t ) a t _ 由定理2 1 7 可知，当对，加上类似于条件( i ) ，( i i ) 和条件( i i i ) 中的条件( b ) 时，可建 立( 2 1 ) ，( 2 2 ) 任意多个奇数个正解的存在结果 定理2 1 8 假设存在常数 o 4 n ： a 5 r 呓 。： a 5 r 以 ，几n ， 使得下列条件满足 似j ，f ( u ) 碰，骢札s ( ) n j 依此类推，由归纳法即得所需结果证毕 1 6 第三章非线性项含一阶导数的边值问题的多个正解 众所周知，最近几十年来，二阶微分方程边值问题受到了诸多数学工作者的广 泛关注，有关正解存在性的研究很多。见【l ，2 ，5 ，8 ，1 0 ，1 2 ，1 5 ，2 6 - 3 0 ，3 3 ，3 4 ，3 9 ，4 1 及其 参考文献。对于非线性项依赖于低阶导数的二阶边值问题也有部分结果【4 ，1 5 ，2 6 特别地，g u o 和g e 讨论了二阶三点边值问题 u t 讹) + i ( t ，乱( ) ，( ) ) = 0 ， 乱( o ) = 0 ，a u ( v ) = u ( 1 ) 单个正解的存在性。通过建立相应问题的g r e e n 函数和一新的小动点定理，建立了 此边值问题至少存在一个正解的充分条件。 在文【4 】中，