（基础数学专业论文）极小子流形和calibration.pdf

极小子流形和c a l i b r a t i o n 中文提要 中文提要 本文利用c a l i b r a t i o n 这一研究子流形的有力工具迸一步了解子流形的结 构并讨论它们与极小子流形之间的关系我们证明了对于欧氏空间r 卅中 每一超曲面m ，可以构造扎一微分式f ，而超曲面极小的条件恰是为闭形 式，即必；0 的条件这时是c a l i b r a t i o n ，而m 是f 的积分子流形，从而 证明了欧氏空间中的极小超曲面局部都可以由c a l i b r a t i o n 决定反之，给定 舒+ 1 上的c a l i b r a t i o nf ，如果它满足f r o b e n i u s 可积条件，则过每一点有的积 分子流形m 我们知道f 的积分子流形在其同调类中体积最小，自然 ，也 局部是兄州中的稳定极小子流形 本文还证明了对于定义在欧氏空间中研上的某些调和函数，自然地可 以定义c a l i b r a t i o n ，利用这一方法我们找到一个夹在两个超平面中的完备极小 超曲面 关键词：极小超曲面，c a l i b r a t i o n ，调和函数，f r o b e n i u s 定理 作者：王庆 指导老师：周建伟 m i n i m a ls u b m a a f i f o l d sa n dc a l i b r a t i o n s m i n i m a ls u b m a n i f o l d sa j l dc a l i b r a t i o n s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r lw eu s ec a l i b r a t i o nt os t u d yt h es t r u c t u r eo fs u b m a n i f o l d sa n dd i s c u s s t h er e l a t i o nb e t w e e nc a l i b r a t i o n sa n ds u b m a n i f o l d s w ec a l lc o s t r u c ta ne x t e r i o rn - f 0 y n 2 f o re v e r yh y p e r s u r f a c em i ne u c l i d e a ns p a c er “十1 t h es u b m a n i f o l dmi sm i n i m a l i fa n do n l yi f fi sc l o s e d ( d g = o ) ，t h e nfi sc a l i b r a t i o na n dmi sf s u b m a n i f o l d i nt h i s w a y ，w es h o wt h a tm i n i m a lh y p e r s u r f a c e so fe u c l i d e a ns p a c e se a t l a l lb ed e t e r m i n e d b yc m i b r a t i o n sl o c a l l y o nt h eo t h e rh a n d ，g i v e nc a l i b r a t i o n i nr 叶1 ，i fi ts t a t i s f i e s f r o b e n i u sc o n d i t i o n ，t h e r ei s s u b m a n i f o l dt h r o u 曲e v e r yp o i n t w ek n o wt h a te a c h s u b m a n i f o l di sh o m o l o g i c a l l yv o l u m em i n i m i z i n gi n 舻“，s ot h a te v e r ym i n i m a l h y p e r s u r f a c ei nr 8 + 1i ss t a b l el o c a l l y f o ra n yh a r m o n i cf u n c t i o no nr “，w ec a i d e f i n eac a l i b r a t i o n b yt h i s 嘲i 、e f i n dam i n i m a lh y p e r s u r f a c ei n 彤m24 ) w h i c hi sc o m p l e t ea n db e t w e e nt w op a r a l l e l h y p e r p l a t l e 8 k e y w o r d s ：m i n i m a lh y p e r s u r f a c e ，c a l i b r a t i o n ，h a r m o n i ct u n c t i o n ，p r o b e n i u s t h e o r e m i i w r i t t e nb yw a n gq i n g s u p e r v i s e db yp r o f z h o uj i a nw e i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育 机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责任。 研究生签名： 9 及日期：旦扛p 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合 作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布 ( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：毙教 日期： 曼幺筝圭1 导师签名：l 虱遨美日期：，生生羔兰 极小子流形和c a l i b r a t i o n 引言 引言 黎曼几何自1 8 5 4 年问世以来，已经历了差不多1 5 0 年，它在广义相对论 中有成功的应用特别是2 0 世纪3 0 年代以后，大范围微分几何登上了历史 舞台，其里程碑就是陈省身关于黎曼流形上g a u s s b o n n e t 定理的内在证明 自此以后，微分流形，黎曼几何等成为数学工作者应该具备的知识 自从e u l e r 研究面积最小的旋转面以及l a g r a n g e 首次导出极小曲面方程 以来，极小曲面论题已经历了二百多年的发展，然而它诱人的魅力仍没有减 退，反而更加光彩夺目地吸引着众多数学家的注意，许多数学家在这方面做 出了杰出的工作，如c h e r n 3 ，o s s e r m a l _ 1 1 ，n i t s c l e t 0 ，s i m o s 1 3 ，d o u g l a s 5 等目前微分几何学家还研究作为极小子流形推广的常平均曲率子流形等理 论极小子流形的研究极大地丰富了微分几何的内容，而且促进了变分法， 临界点理论，偏微分方程边值问题，复分析，几何测度论，拓扑学等相关学 科的发展 c a l i b r a t i o n 是h a r v e y 与l a w s o n 等人1 9 8 2 年【9 1 中开始系统研究的，它 是研究子流形的有力工具这方面已有一些工作，w i r t i n g e r 1 5 ，r h a m 1 2 ， f e d e r e r 6 1 等人研究用k a h l e r 形式定义的c a l i b r a t i o n ；b e r g e r 2 研究用四元数形 式给出的c a l i b r a t i o n ；g l u c k 等人 8 】研究用e u l e r 形式给出的c a l i b r a t i o n g l u c k 等人f7 还研究了g r a s s m a n n 流形上用p o n t r a g i n 形式作为c a l i b r a t i o n 的积分 子流形近年来田刚在【14 1 中讨论了y m 场与c a l i b r a t i o n 的关系理论物 理学家也开始关注这一课题并用于研究 仁理论 本文利用c a l i b r a t i o n 这一研究子流形的有力工具进一步了解子流形的结 构并讨论它们与极小子流形之间的关系我们证明了对于欧氏空间伊+ 1 中 每- - n f l l t nm ，可以构造m 微分式，而超曲面极小的条件恰是f 为闭形 极小子流形和c a l i b r a t i o n 式，即= 0 的条件这时是c a l i b r a t i o n ，而m 是的积分子流形，从而 证明了欧氏空间中的极小超曲面局部都可以由c a l i b r a t i o n 决定反之，给定 r 1 上的c a l i b r a t i o n ，如果它满足p r o b e n i u s 可积条件，则过每一点有的积 分子流形m 我们知道f 的积分子流形在其同调类中体积最小，自然肘也 局部是r - + i 中的稳定极小子流形本文还证明了对于定义在欧氏空间中r n 上的某些调和函数，自然地可以定义c a l i b r a t i o n ，利用这一方法我们找到一个 夹在两个超平面中的完备极小超曲面 极小子流形和c a l i b r a t i o n 5 l 极小于流形 1 极小子流形 为了叙述完整起见，我们首先简要介绍有关极小子流形和积分子流形方 面的知识 1 ，1 极小子流形 设，：m j v 是黎曼流形( ，_ ) 中的m 维浸入子流形，如果它的平均曲 率向量处处为零，则称m 是( ，动中的极小子流形 在考虑子流形保持边界不动的挠动的体积时，我们有子流形体积的变分 公式设m 是一个紧致带边的m 维有向光滑流形，：m _ 是从m 到 n 维黎曼流形( n ，动中的光滑等距浸入，f ：m ( 一s ，e ) - 是它的任意 个有固定边界的变分定义由日的体积给出的函数v ( t ) = v o l ( m ，( e ) 4 可) 体 积的第一变分公式： 规。y ( 归一 彤 其中日是子流形，：埘_ 的平均曲率向量，u 是变分f 的变分向量，d v 是子流形m 的体积元素体积的第二变分公式： 孰。呻) 一厶“抛) + r i c 上( u ) + h h t ( 毗 彤 其中矗与r i c 上分别是法丛t 1 m 上的b e l t r a m i c l a p l a c e 算子和r i c c i 曲率算 子，h 是t 上m 上的一个算子这些变分公式的推导过程可参看 1 o i 我们不在此赘述了由子流形体积的第一变分公式可见，如果m 的体积在 任何保持边界不动的变分中取极值，必须有叠l 。v ( o = o ，因此h = 0 进 一步，要使v ( o ) 在y ( t ) 中取极小值，则必须子流形体积的第二变分公式非 负，即嘉f 。y ( t ) 0 ，这时称m 是稳定的极小子流形 极小子流形和c a l i b r a t i o n l i 极小子流形 本文主要讨论欧氏空间中极小超曲面设m 是定义在区域dc 彤上的 c 。函数z 。+ - = f ( x 1 ) 一，z 。) 给出的图，m 是极小超曲面的充要条件是：函 数+ l _ ，( 钆，。) 满足方程 f j j ( 1 + 弱一 疗南= 0 方程的推导过程可参考引文 4 】和 1 l j 1 2 极小子流形和f r o b e n i u s 定理 设m 是m 维流形，对于每一点p m ，耳是乃m 的r 维子空间，称 e = u 玩是m 上的r 维分布，也称e 是m 上一个r 维平面场进一步， 如果对每一点p m ，存在邻域u 及其上c 。o 向量场x 1 ) 一，思，使对于任意 q u ，e q 由x 。，x ，( g ) 生成，则称分布e 是光滑的，也称e 为c 0 。平 面场或c m 分布如果对于任意x ， ，r ( e ) ，总有 膏，州f ( e ) 则称分布e 是对合的，也称分布满足f l - o b e n i u s 条件 下面给出积分子流形的概念 设e 是流形m 的r 维分布，日是m 的子流形，i ：h q m 是包含映 射，如果对任意q h ，i q ( 玛日) = e q ，则h 叫做分布e 的积分子流形 引理1 如果e o 。分布e 是对合的，则对任意p m ，存在过p 的积分子 流形，且此积分子流形在p 邻域上是唯一的 证：设分布e 对合，由f r o b e n i u s 定理，存在p 邻域上局部坐标卡( q 。) ，使 功= ，甜删一。 令h e = ( q ui z r + l ( g ) 一= z 。( g ) = o ) ，砌是u 的坐标面z 卜= 。：0 上开集，是m 的r 维子流形，且t h i v = e ，即h v 是过p 的分布 e 的积分子流形 下证这样的积分子流形的唯一，即如果另有这样的积分子流形，则存在 4 极小子流形和c a l i b r a t i o n 1 极小于流形 p 的邻域，在此邻域内的两积分子流形完全一致 设( k y ) 是p 邻域上的另一这样的坐标，= 0 e i v 品，针 h v = q viy r + l ( q ) = = y m ( q ) = o ) 在u n y 上， 杀= - ? o 哪x t 砑0 另一方面击，去与者，赤均生成e ，所以在u n v 上 警：o ，p ”一，r ；o = r + 1 ，m d 玑 同理豢= 0 所以在包含p 的u o v 连通区域上，同一点的两坐标有如下的 关系 。= 。( l ，y r ，y ，+ 】，弘。) = 毋。( o ，0 ，y t + l ，y m ) 在这样的邻域上，由条件z 。= 0 与y 。= 0 ，o = r + l ，m ，决定的点集重合 设h 是过m 上点p 关于分布e 的积分子流形，若满足： ( 1 ) p h 且h 连通； ( 2 】如果g 是e 的连通积分子流形，g n 日非空，则g ch ， 那么h 叫做分布e 的极大积分子流形因此如果c 。分布e 对合，则e 给 出了m 的一个叶状结构m = u 凰，其中每一风是e 的极大积分子流形， 如果d 卢，贝4 风n 巩= 0 流形上的分布与f r o b e n i u s 定理也可以用外微分形式叙述设e 是流形 m 上c o 。的r 维分布，由e 可以确定余切丛t + m 的子丛 极小子流形和c a l i b r a t i o n5 l 极小于流形 d = ud v ，b = 扣巧m iu ( u ) = 0 ，v 碑) ， p m d 称为e 的零化子空间设在u cm 上，e | u = 五，墨) ，补充义。一，x ， 成为u 上处处线性无关的m 个向量场x 一，墨，x ，拍，k ；设1 一形式 ，u r 十l ，u 。是它们的对偶基，岫( 玛) = 如，于是u r + l ，u 。是空间 d 的局部生成元，分布e 与它的零化子空间是一一对应的 引理2 分布对合即d 满足f r o b e n i u s 条件的充要条件是d 的任一组局 部生成元w 川，w m 都满足 f n d w 。= 铝a 唧，血= r h - 1 ，m 占= r - r 1 其中铝是局部1 一形式也可以表示成 幽oa “r + la a “m = 0 ，a = r + l ，。一，m 如果对m 上每一点存在邻域u 及其上c 。函数 扎，厶，使得d 在 u 上由荫仙，生成，则称d 是完全可积的因此有函数9 矾使得 u 。= g , , b d l # ，卢= r + 1 ，一，m 这时我们也称p f u f f 方程组。r + l = 0 ，w 。= o 完全可积，函数鼻+ l ，厶是 p f a g 方程组u 。：0 的解，相应的积分子流形是厶= 常数这样的1 一形式 蛎仙，d ，m 也局部处处线性无关由于函数g a # 所成( m r ) ( m r ) 矩阵 处处非退化，p f a f f 方程组叫r + 1 = 0 ，u 。= 0 与蜗+ = 0 ，= 0 是等价 的， 引理3d 完全可积的充要条件是e 对合如果对合分布e 的零化子空 间d 由+ 1 ) ，叫。生成，则e 的积分子流形是p f a f f 方程组“a = 0 的解， 6 极小子流形和c a l i b r a t i o nl 极小予流形 证：如果e 对合，则由p r o b e n i u s 定理，对m 上每一点存在坐卡( u ，z ) ， 使e 局部由阳o ，o 生成这时d z r 十l ，d z m 生成d ，所以条件充分 反之，如果d 完全可积，则d 局部由荫扎，蛎生成，由引理2 分布 e 是对合的，条件必要 7 极小子流形和c a l i b r a t i o i l 2 c a l i b r a t i o n c a l i b r a t i o n 最早由h a r v e y 和l a w s o n 在1 9 8 2 年发表的c a l i b r a t e d g e o m e t r i e s 一文中研究 设是n 维r i e m a n n 流形m 上闭的k 形式，且对任意p m ，弓m 中任 意k 个幺正向量耽，都有( u la 啦a v k ) 1 ，则称为m 上的 c a l i b r a t i o n 如果日为m 的拓维定向子流形，对任意p h ，耳h 的定向幺正 基e l ，e 2 ，都有f ( e 。ae 2 a a “) = 1 ，则称h 是c a l i b r a t i o n 的积分子流 形 定理l 设女维定向子流形h 与疗是m 中k + 1 维子流形c 的边缘，即 日一百：o c ，且h 是m 的c a l i b r a t i o n 的积分子流形，则 jh 姒 3 h 蕊a ，jhj 其中d v h ，d 分别为h ，膏上体积元，即h 是m 的同调意义下体积最小 的子流形 证：设包含映射i ：h qm ，i ：疗qm ，则分别有h ，宜上的函数g h ，9 亓，使 得i = 9 玎d y 矗，i = 9 矗d v 矗， 设。，。：，。为h 的定向幺正基，e h e 。，民为膏的定向幺正基- h 是m 的c a l i b r a t i o n 的积分子流形，则 ( e l e 2 ，- 8 女) = t = d v h ( e l e 2 a a e k ) ( 6 l 西a a 乱) l = d a d 2 a a 缸) 故g = 1 ，9 疗1 极小子流形和c a l i b r a t i o n 2c a l i b r a t i o n 应用s t o k e s 定理，由o c = 日一耳得到 0 = f c d = f , , i x l = l l i 耐l l 一| t g 甜a 所以 fd v j r = j a g a 删n sj d v 蟊 定理1 说明h 是同调意义下体积最小的子流形自然，如果风是日的 一个保持边界不动的变分，则h o = h 的体积在凰中最小，因此法向变分 下体积的第二变分非负，则说明了c a l i b r a t i o n 的积分子流形都是稳定的极小 子流形 定理2 设扎一形式是欧氏空间口+ 1 中某区域上的c a l i b r a t i o n ，则的 积分子流形由p f a f f 方程+ = 0 给出 、 证：不妨设h 为毋+ 的n 维定向子流形，对v p hc 印“，耳h 的定 向幺正基e 1 1 一，e n ，有( e 。a ae 。) = 1 h 是的积分子流形，补充e 州， 使e 1 ，渤，e n + l 是乃兄州的一组定向幺正基它的对偶基为w 1 ，叫。，w n + l ， 即( 白) = 由( e la a e 。) = i ，得到= w 1a a ，则 = n + 1 i 而 c o n + l ( e ；) = 0 ，江1 ，n ，所以( + ) i 苘= 0 从而证明了定理的积分子流形日 由p f a f f 方程 = 0 给出 由b h - o b e n i u s 定理，p f 缸f f 方程+ f = 0 可积的条件是d ( + ) a ( 十) = 0 极小于流形和c a l i b r a t i o n 5 3 极小子流形和c a l i b r a t i o n 的关系 3 极小子流形和c a l i b r a t i o n 的关系 下面讨论极小子流形和c a i b r a t i o n 之间的关系 定理3r 时1 中的极小超曲面m “局部可以由c a l i b r a t i o n 决定 证：不妨设口“中的超曲面时局部由0 一，z 。) _ r = ( 钆，( 。) ) o r “中区域d ) 决定，记 = 差，凡= 矗蠢记白= 甄o r = e 。+ ，f e 州，e - = ( 0 ，芏，o ) ，a = l ，n + 1 ，a ，矗生成m 的切空问利用兄“+ t 中e 与 d x a 的对应关系，由 0 它局部可以由( 阮，) _ r = ( ，( ，) ，x 2 ，) 决定，其中 ，( z 2 ，z ，) = 士、，i ；i i 二_ 匠i f j = _ 磊，i x l 2 = z + 。+ z l ，i i 2 2 ；+ 1 + i 以下讨论取t t + 的情况，对于取“一”的情况类似可得由 a r 瓦“i 十 而亓羽 毫- - e e , - - , a l y 蔫l 钆一k 一，k 甜可。2 1 。1 2 + z i 我们得到r k + h 中区域。川z 一2 + z 0 上的如一1 ) 一形式 f = 一、。l 1 2 一i z l 2 + 。 、+ a 2 川 如2 a d x k d y lad y h 十1 ) “赤南岫 五” 如州删弧 + ( - 矿。南d x l a ad z l cad y - a a 玩”m 1 2 极小子流形和c a l i b r a t i o n 3 极小于流形和c a l i b r a t i o n 的关系 由定理3 的证明可知q ，n 为融限中的极小锥的条件恰好是= o 的条件， 从 d = n 一( 一1 ) 一o ( 0 2 + a ) j 1 2 d x la a 出女ad y la ad y 得到g ，h 为极小锥面的充要条件是n = 西k - t 这时也是r n + 1 上的c a l i b r a t i o n 所以 吼圹) r 一懈= 等妣七，h 2 ) 是r n = r k r h 中的极小锥面，且局部都可以由c a l i b r a t i o n 决定 读者也可以通过计算平均曲率日= 0 得到r “= r 。计中的极小锥面 的条件，但计算较复杂s i m o n s 1 3 证明了礼 8 时，b e n s t a i n 问题是肯定 的在证明的过程中，利用了类似例3 中极小锥的最小性质，证明了当佗7 时，稳定的极小锥是圆盘从而得到礼 0 是常数) 是r “上的调和函数 利用它给出了r 扎+ 1 中区域1 一砰0 上的c a l i b r a t i o n 江厨1 _ d 针薹( 驴1 触1 a - a 五x j 讹州 其中厶= a ( 2 一n ) x j r 的积分子流形的方程是 土t 1 一抒出。+ - 4 - f j d x j = o ， 即+ f 土考蠹出，2 土考鬻d 巧2 士万执它的一个 解是 ，7 n f 2 一r z l x n + l2 士j l r o 历荔专蠢咖札， 其中r 0 ：n 而i 酉由超曲面的表达式可知r = + o 。和r = 舶是该 曲面的两个奇点，其中一l i m ，。f 。万杀 ；器茜乖d r = o ，r 。珊是可去奇点，而 瞄。了桑办= c o p ( 可与+ j i ，；) 收敛，其中c 0 是与n 有关的常数，卢( ，) 是卢一函数由1 d x n r + li 。= ，觋士了豪婺鬻丽2 o 。，乌笋| 一。= o 。，知r ”1 中两个超益面z 。+ l = i , r 、a ( 2 - n ) 、零甭d r 与z “+ l5 一：! r 。菇a e ( 2 - ：n i ) 际f 出可以 拼成r n + t 中区域r 。n 一a 2 ( 2 一n ) 220 上的一个完备的极小超曲面这曲 面具有以下性质： ( 1 】该曲面是旋转曲面 ( 2 ) 该曲面夹在两个超平面z 。+ l - 士c 0 卢( 可与+ j 1 ，；) 之间 查文献我们未发现这一极小超曲面 注：遗憾的是，类似例4 ，例5 那样，使得到的c a l i b r a t i o n 满足p r o b e n i u s 条件的调和函数不是很好找我们知道定义在复平面上的多项式函数f ( z ) = 1 4 极小子流形和c a l i b r a t i o n 5 3 极小子流形和c m i b r a t i o n 的关系 c n 扩+ 一1 z 一1 + + c l z + c o 的实部和虚部是互为共轭的调和函数设，( z ，) 是f ( ：) 的实部给出的调和函数，则，给出了月3 中区域1 一璧一鬈0 上的 c a l i b r a t i 。n = 土_ 二了f 巧d x a d y + f 。d y ad z f u d xad z ，若其积分子流形存 在即+ f 满足f r o b e n i u s 条件，经过简单计算可知函数，( z ，) 满足条件： q 。l ：一凡 0 z 。+ 2 厶凡 。= 0 ， 其中用到厶+ = 0 如果f ( x ，y ) 是关于为y 的n 次齐次多项式，则( + ) 式 是3 n 一4 次齐次多项式，所以我们在验证条件( + ) 时，只要算y ( x ，y ) 的最高 次项用直角坐标计算较复杂，我们改用极坐标的方法设以。) = 岛z “，其 中。= p e 坩，系数c - n = p o e i o o 由z = p c o s0 ，y = p s i n0 ，得到 五= 厶c o s 0 - 鲁血，p ，矗= 厶s i n 0 + 鲁c 。s 8 ， 代入到条件得到 ( # 一j 旷7 ) ( f s i n 2 0 + 丘, 。c o s 2 0 ) + 学( 凡u c o s 2 0 - 丘y s i n2 0 ) - ( 】 由厶c 0 8 0 + 矗s i n 0 = 厶，两边对p 求导得到 t v v c 0 8 2 0 一 z v s i n2 0 1 = 一 p p ， 两沩对0 求导得蛰i ( s i n 2 口+ 厶y c o s 2 0 ) =| q ，| q c o s 0 + | z s i n 0| e 1 | 8 p 萨 条件( + ) 即 2 厶告( 一厶，) + ( 露一矿f g 、( f p o p p f 0 ) = 。( + + ) f ( z ) 的实部是f ( p ，p ) = p o p ”c o s ( n o + ) ，f ( p ，p ) 满足条件( + + ) ，计算可得 n 3 ( n 一1 ) p i p 3 “一4s i n ( 3 n o + 3 0 0 ) = 0 ， 只有礼：1 从而通过这种方法得到的调和函数只可能是一次函数，对应的 极小曲面是平面 1 5 极小子流形和c a l i b r a t i o n3 极小于流形和c a l i b r a t i o n 的关系 设m 是欧氏空间r 肼t 中的定向超曲面，把曲面m 的单位法向量移到 原点就得到高斯映射g ：m _ 伊我们知道在几= 2 ，m 是极小曲面的时 候，高斯映射是全纯的，对于它的值分布有许多深入的研究1 9 8 7 年，h f u j i m o t o 获得了最佳的结果t帮中非平面的完备极小曲面的g a u s s 映射取 不到的值至多是4 个不难知道，由例5 得到的完备超曲面的g a u s s 映射在 球面驴去掉两点以后是一一对应的欧氏空间中完备极小超曲面高斯映射 的值分布值得进一步的研究，是否例5 中的情形是最好的结果： 形中非 平面的完备极小曲面的g a u s s 映射取不到的值至多是2 个，几3 以后希望能够找到更多的满足可积条件的调和函数，也希望讨论欧氏空 间中其他极小子流形与c a l i b r a t i o n 的关系 极小子流形和c m i b r a t i o n 结论 本文证明了对于欧氏空间彤“中每一超曲面m 可以构造m 微分式f ， 而超曲面极小的条件恰是为闭形式，即西= 0 的条件这时f 是c a l i b r a t i o n ， 而m 是f 的积分子流形，从而证明了欧氏空间中的极小超曲面局部都可以 由c a l i b r a t i o n 决定反之，给定r ”1 上的c a l i b r a t i o nf ，如果它满足p r o b e n i u s 可积条件，则过每一点有 的积分子流形m 我们知道 的积分子流形在其 同调类中体积最小，自然欧氏空间中的极小图都是稳定的极小子流形 本文还证明了对于定义在欧氏空间中口上的调和函数，自然地可以定 义c a l i b r a t i o n ，我们找到某些使这样得到的c a l i b r a t i o n 满足f t o b e n i u s 条件的调 和函数，从而找到一个夹在两个超平面中的完备极小超曲面查文献未发现 这一极小超曲面对于定义在复平面上的多项式函数，通过这种方法得到的 调和函数只可能是一次函数，对应的极小曲面是平面 1 7 极小子流形和c a l i b r a t i o n 参考文献 参考文献 f o rl a w s o n sc o n e s z v i ab o m b i e r i2 、5 6 1 】【 2 】b e r g e rm ，d uc o t et h ec h e zp u ，a n n s c i e c o l en o r m j 】s u p ( 4 ) 5 ( 1 9 7 2 ) ，1 - 4 4 【3 c h e r n ss ，m i n i m a ls u b m a n i f o l d si nar e m a n n i a nm a n i f o l d a s h i i n g - s h e n c h e r ns e l e c t e dp a p e r s c ，v 0 1 4 ，n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 9 ，3 9 9 4 0 2 4 d i e r k e su ，h i l d e b r a n d ts ，k u s t e ra ，a n d w o h l r a bo m i n i m a ls u r f a c e m s p r i n g e r v e r l a g ，1 9 9 2 1 5 】d o u g l a sj ，m i n i m a ls u r f a c e o fh i g h e rt o p o l o g i c a ls t r u c t u r e j ，a n n ：m a t h ，1 9 3 9 ， 4 0 ：2 0 5 2 4 8 6 1 6 f e d e r e r h 】s o m e t h e o r e m so n i n t e g r a le u r r e n t s j l ，t r a n s a m e rm a t h s o c ：1 1 7 ( 1 9 6 5 ) ，4 3 6 7 7 g l u c kh ，m a c k e n z i ed a n dm o r g a n f ，v o l u m e - m i n i m i z i n gc y c l e si ng r a s s m a n n m a n i f o l d s j ，d u k em a t h j ，1 9 9 5 ，7 9 ：3 3 5 - 4 0 4 8 g l u c kh ，m o r g a nf a n d z i l l e rw c a l i b r a t e dg e o m e t i e si n g r a s s m a n ”a ”i f o l d 4 j ，c o m m e n t m a t h h e l v 6 4 ( 1 9 8 9 ) ，2 5 6 2 6 8 - 【9 j h a r v e yf r a n dl a w s o i lh b j r ，c a l i b r a t e dg e o m e t r i e s j a c t a m a t l l - 1 4 8 ( 1 9 8 2 ) ，4 7 - 1 5 7 【l o n i t s c h ej ，c c ，l e c t u r e s0 i lm i n i m a l s u r f a c e