（工程力学专业论文）连续体结构拓扑优化方法与应用.pdf

山东建筑大学硕士学位论文 摘要 连续体结构拓扑优化是结构优化领域中的热点问题之一。与尺寸优化和形状优化 相比，结构拓扑优化需要确定的参数更多，取得的经济效益更大，对工程设计人员更 具吸引力。连续体结构拓扑优化因为数学模型建立困难、设计变量较多，数值计算量 巨大而被认为是当前结构优化领域内的难点之一，对其研究具有非常重要的理论意义 和工程应用前景。双向渐进结构优化方法( 简称b e s o ) 具有算法简单、易与有限元分 析程序连接等优点，是目前结构拓扑优化比较有效的工具之一。本文以应力约束下连 续体结构为研究对象，对双向渐进结构优化方法与应用进行讨论。 针对拓扑优化中一些常见问题，提出了相应的改进措施。采用单元应力强度的均 匀化处理方法( 以单元每个节点的应力平均值作为单元的应力，计算应力强度，以此 作为衡量单元删除或添加的标准) ，避免常见的“棋盘格现象；经过几次优化以后， 对删除与添加单元进行标号，判断在几次优化中删除或添加单元是否一致，即寻优过 程中是否出现“振荡现象。若出现该现象，则通过调整参数避免“振荡”现象出现， 提高计算效率；对拓扑优化中出现的奇异结构问题，根据奇异的类型，采用忽略奇异 现象或恢复结构到奇异前的状态并调整优化参数的方法进行处理，保证采用b e s o 方 法拓扑优化结果的连续性。 传统双向渐进结构优化算法假定材料为各向同性，以v o nm i s e s 等效应力强度作为 优化删除准则，从结构中逐步删除等效应力强度较低的材料来优化结构。但是，许多 实际工程材料( 如混凝土、岩石和组合材料等脆性材料) 存在抗拉、压强度不等的现 象，本文在改进的b e s o 方法基础上提出了一种统一强度双向渐进结构优化方法。该 方法既可应用于各向同性材料，也可以应用于抗拉、压强度不等的材料。它通过选取 不同参数选用不同的优化准则进行拓扑优化，充分考虑了材料的特性，使拓扑优化结 果更贴近工程实际。 根据上面提出的改进措施，采用f o r t r a n 语言编制优化程序，以高性能的有限 元软件m s c m a r c 为平台，进行二次开发，完成在应力约束下，以二维和三维连续体 结构为研究对象的静力拓扑优化，表明本文方法的可行性和可靠性。整个拓扑优化过 程可以借助于该软件强大的前后处理功能和有限元计算功能，使建立有限元模型非常 方便，并且可以实时观察优化过程中模型的结构变化，有利于对b e s o 优化方法的研 究和分析，在拓扑优化结束后还可以容易地导入优化过程中模型每次的进化状态，并 山东建筑大学硕士学位论文 且能生成相关的应力强度等反映优化效果的曲线数据。 关键词：结构优化，拓扑优化，双向渐进结构优化方法，应力约束，连续体结构 山东建筑大学硕士学位论文 m e t h o da n da p p l i c a t i o na b o u tt o p o l o g yo p t i m i z a t i o no f c o n t i n u u ms t r u c t u r e l ij i n g ( e n g i n e e r i n gm e c h a n i c s ) d i r e c t e db yl ux i a o y a n g a b s t r a c t t o p o l o g yo p t i m i z a t i o no fc o n t i n u u ms t r u c t u r ei so n eo f h o tr e s e a r c ht o p i c si ns t r u c t u r e o p t i m i z a t i o n i tu s u a l l yn e e d st od e t e r m i n em a n y m o r ep a r a m e t e r st h a ns i z eo p t i m i z a t i o na n d s h a p eo p t i m i z a t i o n h o w e v e r , i tc a nb eo b t a i n e dm o r eb e n e f i ts ot h a ti ti sm o r e a t t r a c t i v ef o r d e s i g ne n g i n e e r s i ti sw e l lk n o w n t h a tt o p o l o g yo p t i m i z a t i o no fc o n t i n u u ms t r u c t u r ei so n e o ft h em a j o rc h a l l e n g e sb e c a u s eo fd i f f i c u l t yt oe s t a b l i s hag o o dg e o m e t r i cm o d a lw h i c h c o m p r i s i n gal a r g en u m b e ro fd e s i g nv a r i a b l e s ，a n dc o m p l e x i t yo fo p t i m i z a t i o na l g o r i t h m t h eb i - d i r e c t i o n a le v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o n ( b e s o ) m e t h o dh a st h ea d v a n t a g e s o ft h ee a s yc o m b i n a t i o nw i t hf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i sp r o g r a m t h es i m p l i c i t yo ft h e a l g o r i t h mh a sm a d ei to n eo fa ni n c r e a s i n g l yp o w e r f u ld e s i g nt o o l si nt o p o l o g yo p t i m i z a t i o n f o rc o n t i n u u ms t r u c t u r e t h i sp a p e rs t u d i e sm e t h o da n da p p l i c a t i o na b o u tt o p o l o g y o p t i m i z a t i o no fc o n t i n u u ms t r u c t u r ew i t hs t r e s sc o n s t r a i n t f o rt h ep r o b l e m sd u r i n gp r o c e s so ft o p o l o g yo p t i m i z a t i o n ，m o d i f i c a t i o n sh a v eb e e n p r o p o s e d t h eu n i f o r m i t y o fs t r e s si n t e n s i t yi su s e dt oo v e r c o m e “g r i d i r o np a t t e r n ” p h e n o m e n o n a f t e raf e wi t e r a t i o n so ft o p o l o g yo p t i m i z a t i o n ，m a r kn u m b e r so f d e l e t e da n d a d d e de l e m e n t sa n dj u d g ew h e t h e rt h e ya r ec o n s i s t e n to rn o t i ft h e ya l ec o n s i s t e n t ，t h a ti st o s a y , t h e r ei so s c i l l a t o r yo c c u r r e n c ed u r i n gp r o c e s so fo p t i m i z a t i o n ，a d j u s tp a r a m e t e r st oa v o i d t h i sp h e n o m e n o na n di n c r e a s ec o m p u t a t i o n a le f f i c i e n c y f o rt h ep r o b l e mo fs i n g u l a r s t r u c t u r e si no p t i m i z a t i o np r o c e s s ，t h es i n g u l a r i t yi so v e r c o m eb yc l a s s i f y i n gt h es i n g u l a r f o r m so ft h e i rm o d a l i t i e sa n di g n o r i n gs i n g u l a r i t yo rr e t u r n i n gt ot h en o n s i n g u l a rs t r u c t u r et o e n s u r et h ec o n t i n u i t yo fo p t i m i z a t i o nb ya d j u s t i n gt h eo p t i m i z a t i o np a r a m e t e r s t r a d i t i o n a le v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o nm e t h o db a s e so ni s o t r o p ym a t e r i a l sa n d u s e sv o nm i s e ss t r e s si n t e n s i t yt oj u d g ew h e t h e rd e m e n t ss h o u l db ed e l e t e do ra d d e d h o w e v e r ，m a n yk i n d so fe n g i n e e r i n gm a t e r i a l s ( e g c o n c r e t e ，r o c ka n dc o m p l e xm a t e r i a la n d 山东建筑大学硕士学位论文 s oo n ) h a v eu n e q u a lt e n s i l ea n dc o m p r e s s i v es t r e s s b a s e d0 1 1m o d i f i e db e s o m e t h o d ，t h i s p a p e rp r e s e n t sb i d i r e c t i o n a le v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a lt o p o l o g yo p t i m i z a t i o nm e t h o db a s e do n t h eu n i f i e ds t r e n g t hc r i t e r i o n c o n s i d e r i n gm a t e r i a lc h a r a c t e r i s t i c s ，t h i sm e t h o dc a l lb eu s e d f o ra l lk i n d so fm a t e r i a l sf r o ms e l e c t i n gd i f f e r e n tp a r a m e t e r s i t sr e s u l t si nt h i sp a p e ra r e m u c he a s i e rt oa p p r o a c hp r a c t i c a ls i t u a t i o n s t h em o d i f i c a t i o n sh a v eb e e ni m p l e m e n t e db ym e a n so ft h e p l a t f o r mo fh i g h p e r f o r m a n c ef i n i t ee l e m e n ta n a l y s e s ，m s c m a r es o f t w a r e t h es t a t i ct o p o l o g yo p t i m i z a t i o n p r o g r a m sf o rt w o - d i m e n s i o n a la n dt h r e e d i m e n s i o n a lo fc o n t i n u u ms t r u c t u r eh a v eb e e n d e v e l o p e da n dv e r i f i e dt h r o u g hal o to fn u m e r i c a le x a m p l e sf o rt h es t r u c t u r e sw i t ht h e c o n s t r a i n to fs t r e s s t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ep r e s e n to p t i m a lm o d e li s c o n s i d e r a b l yr o b u s ta n de f f i c i e n t t h es o f h n a r eh a st h ef u n c t i o n so fb u i l d i n gf e am o d e l e a s i l y , r e a l - t i m ev i s u a l i z a t i o no fo p t i m i z a t i o np r o g r e s s ，a n d c o n v e n i e n c et o e x a m i n i n g o p t i m i z a t i o nr e s u l t sd e p e n d i n go nt h es t r o n gp r e - a n dp o s t - p r o c e s s i n ga b i l i t yo fm a r c k e y w o r d s ：s t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o n ，t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n ，b i d i r e c t i o n a l e v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o nm e t h o d ，s t r e s sc o n s t r a i n t ，c o n t i n u u ms t r u c t u r e i v 原创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，论文中不合其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得山东建筑大学或其他教育机构的学位证书而 使用过的材料对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式标明本人承担本声明的法律责任 学位论文作者签名：耋晶 日期珈四：五。! 星 学位论文使用授权声明 本学位论文作者完全了解山东建筑大学有关保留，使用学位论文的规定， 即：山东建筑大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权山东建筑大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它手段保存、 汇编学位论文。 保密论文在解密后遵守此声明 学位论文作者签名： 导师签名： e l 期渔噬：五。! 星 日期幽：五：! 星 山东建筑大学硕士学位论文 1 1 背景及国内外研究进展 第1 章绪论 1 1 1 结构优化设计 结构优化设计( s t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o nd e s i g n ) ，是综合考虑各种约束条件，来达 到一个或几个设计目标的最优实现过程，又称为结构综合( s t r u c t u r a ls y n t h e s i s ) 。 迄今为止，工程结构设计可分为传统设计和优化设计。传统设计是设计工程师根 据自己的理论知识和丰富的工程设计经验经过不断地选择、试算、分析和校核，直至 达到设计要求为止。传统设计的这种重分析、重校核过程最多为二、三次，否则工作 量太大，难以承受。这种设计的一个主要缺点是难以找到材料的合理分布，因而不宜 做出比较理想的既经济又安全的设计方案。此外，在传统设计中，初始设计方案至关 重要，这对缺少设计经验的年轻设计师来说就比较困难。 优化设计是根据既定的结构类型、形式、工况、材料和规范所规定的各种约束条 件( 如强度、刚度、稳定性、频率以及结构构件许用的离散集等) ，提出优化的数学模 型( 设计变量、目标函数和约束条件) ，然后根据优化设计理论和方法求解优化模型， 即进行结构分析、优化设计、再分析、再优化、反复进行，直至收敛为止。简言之， 优化设计的过程大致是假设一分析一搜索一最优设计。只有这种设计才能使材料分布 达到合理的状态，从而使结构设计达到经济与安全要求。优化设计是设计概念与方法 的革命，它采用系统的、目的定向的和良好标准的过程与方法来代替传统的试验纠错 的手工方法。所以，优化设计是结构设计的新发展、新成就，具有重要的工程意义和 广阔的应用前景。 结构优化设计按难易层次分有截面( 或尺寸) 优化、形状优化、拓扑优化、布局 优化和类型优化【l 】。在给定结构的类型、材料、布局和外形几何的情况下，优化各个组 成构件的截面尺寸，使结构最轻或最经济，通常称为尺寸优化，它是结构优化设计中 的最低层次；如果再增加结构的几何外形的设计变量，优化又进入了一个较高的层次， 即结构的形状优化；如果在尺寸优化的基础上，再增加结构的布局形式，则优化达到 更高的层次，即结构的拓扑优化。布局优化与类型优化均是对以上三种优化的组合， 它们的层次也是最高的。显然，随着结构优化层次的提高，设计变量的维数越来越高， 其难度也会越来越大。以上提到的各个优化层次可以用图1 1 的形式来表达它们之问的 关系。其中，对于截面优化、形状优化和拓扑优化三个层次分别对应于三个不同的产 山东建筑大学硕士学位论文 品设计阶段，即概念设计、基本设计及详细设计三个阶段。 布局优化 i 截面优化一同时考虑局部约束和全局约束的情况下使目标函数最优 形状优化 l 坐标优化进行坐标优化的同时考虑截面变化影响进行寻优 i 截面优化一同时考虑局部约束和全局约束的情况下使目标函数最优 拓扑优化 i 删除或添加材料一按照一定的规则删除或添加材料进行寻优 结构优化设计，按设计变量性质分，有离散变量优化设计和连续变量优化设计。离 散变量结构优化设计是指在优化设计过程中，设计变量只能符合一定条件的离散值中取 值。在连续变量优化设计中，截面( 或尺寸) 优化已成熟；形状优化有一些论文发表， 但尚不成熟；拓扑优化的论文较少，布局优化的论文更少、更不成熟；类型优化几乎没 有。离散变量优化设计发展缓慢，截面( 或尺寸) 优化对于稍大规模的问题尚缺少有效 的方法。至于形状优化、拓扑优化和布局优化则少得多，而且不够成熟【l 】。 1 1 2 连续体结构拓扑优化 拓扑优化按照研究的结构对象可分为离散体结构拓扑优化和连续体结构拓扑优化 两大类。 离散结构拓扑优化的历史可以追溯到1 9 0 4 年由m i c h e l l 提出的桁架理论【2 】，m i c h e l l 的理论只能用丁单工况并依赖于选择适当的应变场。其后陆续提出了一些优化方法， 其中，最有代表性的是d o r a 、g o m o r y 和g r e e n b e r g 等提出的基结构方法( g r o u n d s t r u c t u r ea p p r o a c h ) 1 3 】。基结构方法克服了m i c h e l l 桁架理论的不适应性，将数值方法引 入结构优化领域，建立由结构节点、载荷作用点和支撑点组成的节点集合，集合中的 所有节点之间用杆件连接，形成所谓的基结构，以基结构作为初始设计，以杆件面积 作为设计变量，采用优化算法优化杆件面积。6 0 年代随着有限元技术的发展，开始数 值求解较复杂的结构优化问题，但是此时离散体拓扑优化处于初期发展阶段。 离散体拓扑优化发展至今，已比较成熟，国内外已有很多深入的研究和文献【l 7 1 。 近年来连续体结构拓扑优化理论得到了较快发展【8 。5 1 ，是结构优化领域研究的难点和热 点问题【1 6 - 2 0 l 。 连续体结构的拓扑优化问题，实质上是种0 1 离散变量的组合优化问题【9 2 1 l 。优 化的基本方法是将设计区域划分为有限单元，依据一定的算法删除部分区域，形成带 山东建筑大学硕士学位论文 孔的连续体，实现连续体的拓扑优化。连续体结构拓扑优化方法目前比较成熟的是均 匀化方法、变密度方法和变厚方法等。 均匀化方法是连续体结构拓扑优化中应用最广的方法，属材料描述方式。其基本 思想是引入微结构的单胞，通过优化计算确定其材料密度分布，并由此得出最优的拓 扑结构。目前均匀化方法已用于处理多工况的二维、三维连续体结构拓扑优化，热弹 性结构拓扑优化，考虑结构振动、屈曲问题的拓扑优化，复合材料设计等。程耿东与 刘书田研究了复合材料应力分析得均匀化方法；吴长春与袁捌2 3 1 研究了复合材料周 期性线弹性微结构拓扑优化设计问题。但目前的均匀化方法可求解的问题类型有限， 设计变量多，灵敏度计算复杂，优化后的结构常常含有多孔质材料。 变密度法是一种比较流行的力学建模方式，属材料( 物理) 描述方法。它与采用 尺寸变量相比，它更能反映拓扑优化的本质特征。通常，单元密度与弹性模量之间的 关系采用人为给出的幂函数规律。另外，在改进的变密度法基础上，研究出s i m p 法以 及能量法则等方法，提高了计算能力及应用水平。张东旭对平面弹性体问题的研刭2 4 1 ， 邓扬晨建立变密度法中密度与刚度关烈2 5 1 ，孟明等对于卧式千斤项墙板的拓扑优化【2 6 】 等等。 变厚度法也是较早采用的拓扑优化方法，属几何描述方式，其基本思想是以基结 构中单元厚度为拓扑设计变量，以结果中的厚度分布确定最优拓扑，是尺寸优化方法 的直接推广。其优点是方法简单，但不能用于三维连续体结构拓扑优化，一般用于处 理平而弹性体、受弯薄板、壳体结构的拓扑优化问题。王健对薄板结构的研刭2 7 1 ，t e n e k 和h a g i w a r a 对薄壳结构的研究，程耿东等基于变厚度法对于离散体和连续体在局部应 力约束下的强度拓扑优化设计进行研列2 4 1 ，取得了显著的成绩等。 此外，x i e 和s t e v e n 提出的渐进结构法【2 引，e s c h e n a u e r 提出的泡泡法【2 9 1 ，j o g 和 h a b e r 等人提出的“等周方法 ( p e r i m e t e rm e t h o d ) ；f l e u r y l 3 0 1 和b e c k e r 提出的基于离 散拓扑变量的对偶问题解法；r o z v a n y 和z h o u 提出的s i m p 方法等等也是有前途的求 解策略。b r a c k b i l l 和s a l t z m a n 3 】提出的自适应网格法也有一定的参考价值。 1 1 3 渐进结构优化方法 渐进结构优化方法( e v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o n ，简称e s o ) ，是x i e 和 s t e v e n 于】9 9 3 年提出，该方法通过逐步删除固定网格划分结构上的无效或低效的单元， 使结构逐渐趋于最优化1 3 2 1 。对于当前结构存在的单元，其材料编号非零，对于不存在 山东建筑大学硕士学位论文 的单元，其材料编号为零，当计算结构刚度矩阵特性时，不计材料编号为零的单元， 通过这种零与非零的模式实现结构拓扑优化。在优化迭代过程中，使用逐步增加的删 除率，有效地控制单元的数量，并使迭代步间的结构变化很小，从而实现从初始设计 结构不断演化、进化到最优结构。1 9 9 7 年，x i e 和s t e v e n 综合了自进化结构优化方法 提出以来的研究成果，出版了第一本系统介绍该方法的专著e v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o n ) ) p 引，e s o 法的提出在国际上引起很大的反响，尤其是专著出版以后，众 多学者对该方法产生了浓厚的兴趣，进行了大量的研究工作。 近几年，渐进结构优化方法取得了较大的发展，主要表现在以下四个方面：一是 不断完善了e s o 法的理论，其中主要有q u c r i n 提出的双方向进化优化方法 ( b i - d i r e c t i o n a le v o l u t i o n a r yo p t i m i z a t i o n ，简称b e s o ) 克服了单元删除后不能恢复的 缺陷【3 4 1 ，l i 等研究了抑制和处理“棋盘 现象的方法1 3 5 】，k i m 等研究了处理优化结果 边界的方法 3 6 1 ；二是扩展了e s o 法的应用范围，如l e n c u s 等提出了g r o u pe s o 法处 理布局优化问题1 3 7 1 ，l i 等把e s o 法应用到考虑热环境的优化问题【3 8 3 9 1 ，s t e v e n 等【加1 、 荣见华等1 4 i j 使用e s o 法解决组合结构优化问题，k i m 等把结构中的孔洞作为约束的一 种，提出了称为i n t e l l i g e n e n tc a v i t yc r e a t i o n ( i c c ) 的方法来控钳j ；f l 洞的产生f 4 2 1 ；三是 把e s o 法和其它的优化方法或手段结合起来，如其中有c h e n 等提出了结合形状优化 处理结构边界，而使用e s o 法产生孔洞的方法【4 3 1 ，y a n g 等在b e s o 法中结合了边界 周长控制技术( p e r i m e t e rc o n t r o lm e t h o d ) 1 4 4 】；四是在e s o 法上衍生出其它的优化理 论，主要有l i a n g 等提出了性能指标( p e r f o r m a n c ei n d e x ，简称p i ) 准则，作为优化算 法获得最优解时的终止条件，并发展了称为p e r f o r m a n c e b a s e do p t i m i z a t i o n 方法( p b o 法) 1 4 5 , 4 6 1 。 渐进结构优化方法相对其它的拓扑优化方法，其应用概念简单，可以直接以重量 为优化目标，算法通用性好，优化效率高。目前已经可以解决包括静力问题、动力问 题、线性及非线性问题、热问题等的结构优化问题。渐进结构优化方法还具有可以处 理尺寸优化问题、形状优化问题和布局优化问题等优点。但e s o 法还没有完善，仍然 存在许多不足，如计算时间较长，常常得到局部最优解而非全局最优解，并且缺乏较 强理论基础，处理大型、复杂结构能力不强，优化结果需要再处理等。此方法的关键 在于用一个合适的准则来评价每个单元对结构特定行为( 结构响应) 的贡献大小，以 删除一些贡献较小的单元。目前e s o 法还在蓬勃发展中，已经有不少学者开始尝试把 e s o 法应用到解决具有工程背景的结构优化问题中。 山东建筑大学硕士学位论文 1 】4 双方向渐进结构优化方法 19 9 7 年，q u e r i n 综合传统的e s o ( e v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o n ) 法和a e s o ( a d d i t i v ee v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o n ) 、法1 4 丌，提出了双方向渐进结构优化方 法( b i - d i r e e t i o n a le v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o n ，简称b e s o ) ，在优化迭代运算 过程中，实现了既可以删除单元也可恢复单元。 双方向渐进结构优化方法又称为双方向进化方法，是对e s o 法的重要改进，该方 法克服了传统e s o 法单元删除后不能恢复的缺陷，可以在材料“高效能 区域( 如材 料应力较高区域) 周围，添加单元。通过删除低应力单元，可以提高结构的平均应力 水平，而增加单元，则降低了最大应力单元的应力，也使结构的应力分布更均匀，所 以通过b e s o 法，可以获得应力分布比较均匀，而最大应力却较小的结构。b e s o 法 由于在对单元的处理方式上的完善，比传统e s o 法更容易获得全局最优解。 b e s o 的另一个优点是由于单元添加成为可能，设计者可以很自由地选择初始设计 结构( 必须满足一定的连接要求或规范) ，由此不仅大大缩短了优化运算时间，而且可 能获得超出经验的设计结果。b e s o 法研究的重点是如何合理地添加单元。 目前，在b e s o 法中添加单元使用的方法主要有以下三种：其一，构造高应力区 域周围待添加单元的位移函数，通过结构边界单元的节点位移，计算待添加单面的灵 敏度【4 8 】，这种方法应用比较简单，计算量小，但仅适用于较简单的平面单元( 如四节 点等参单元) ，且误差较大；其二，直接在结构高应力区域边界( 包括内、外边界) 周 围添加单元【4 9 。5 1 1 ，该方法的优点在于添加单元的选择方式比较简单，计算量小，且对 二维问题准确度比较高，但是对三维结构或复杂结构，由于边界附近可添加单元数目 太多，缺乏可靠的评估和选择方法；其三，最近发展的基于人工材料( a r t i f i c i a lm a t e r i a l ) 单元的添加方法【5 2 】。该方法把固定网格划分的结构单元分为三类：第一类是暂时保留 单元，它们组成最优拓扑的大体轮廓；第二类是暂时删除单元，其中一些形成下一步 迭代的保留单元或人工材料单元；第三类是人工材料单元，这些单元分布在结构孔洞 或边界周围，形成保留单元和删除单元之间的边界线或边界面，这类单元参与结构分 析和优化，在下一次迭代可能成为保留单元、删除单元或再次成为人工材料单元。人 工材料单元的材料编号为不同于保留单元材料编号的非零数。为减小由于增加人工材 料单元对保留结构在有限元分析时的影响，一般设置人工材料单元弹性模量 e ”= 1 0 - 4 毋；，吒为结构当前保留单元的总重量与整个网格区域充满材料时的重量比， 山东建筑大学硕士学位论文 由于e ”足够小，有限元分析结果的误差很小。通过使用重分析技术，计算人工材料单 元的灵敏度，然后把满足准则的人工材料单元转化为保留单元。该方法虽然比第二种 添加方法增加了计算量，但是通过人工材料单元的灵敏度计算，提高了添加单元的准 确度，并且容易适应各种单元和边界条件，通用性强。 1 2 研究目的及意义 目前，结构尺寸优化的理论和应用已经很成熟；结构形状优化理论和算法也基本 建立，待提高算法在应用中的稳定和效率问题；结构拓扑优化虽然存在描述及算法的 复杂性，但是提供了较大的经济效益，因而成为近年来国际上研究热点。结构拓扑优 化从研究对象上区分包括离散体结构拓扑优化和连续体结构拓扑优化两大类。相对于 连续体结构拓扑优化设计而言，离散结构拓扑优化较为复杂，计算量较大；从理论、 模型和算法上都还处于探索阶段。因此，选择连续体结构拓扑优化问题作为研究方向， 具有重要的价值。 自渐进结构优化法提出发展至今，它已经广泛应用十形状、拓扑优化等许多方面。 特别是在平面连续体结构中的应用，它已经取得了较大的成果。对于拓扑优化而言， 渐进结构方法在研究与应用过程中存在一些问题，诸如收敛于极小值点、网格依赖性、 结果出现“棋盘格式”等。针对这些问题，国内外的很多学者都提出了许多解决办法。 本论文讨论了拓扑优化中常见的“棋盘格”现象、振荡现象和优化模型奇异性问题， 并提出了相应的改进措施，使拓扑结果更易于接受。将本论文方法首先应用于二维连 续体结构证明其可行性及优化效果，然后在二维连续体应用的基础上将其拓展应用于 三维连续体结构。这样以来，缩短了拓扑优化结果与实际结构之间的距离，便于将方 法应用于较复杂的工程结构，更好地为设计人员提供选型服务。 1 3 主要研究内容 渐进结构优化方法是目前结构拓扑优化方法中的主要方法之一，该算法通用性好， 可以方便地和已有有限元程序连接，不仅可以解决结构拓扑优化问题，还可以同时实 现截面优化与形状优化。由于这些优点，该方法可以为实际的结构优化提供一个有效 的拓扑优化工具。 本文针对双向渐进结构优化方法存在的问题提出了改进，并在m s c m a r c 提供的 有限元分析功能基础上进行了拓扑优化方面的二次开发，希望将来能为工程人员在结 构的初始设计阶段提供一个拓扑优化的工具。本文的研究工作有以下几个方面： 山东建筑大学硕士学位论文 1 、对双向渐进结构优化算法进行了研究，本文提出一种均匀化处理方法尽量克服 了优化过程中常见的“棋盘格 现象，并讨论了方法涉及到的两个重要参数( 初始删 除率与进化率) 的取值问题。 2 、传统的渐进结构优化方法采用v o nm i s e s 应力强度作为衡量单元是否删除的标 准，而没有考虑到材料抗拉、压应力强度不等的特性。本文针对工程结构的受力特性 及其材料的力学性能，引入了基于统一强度准则的双方向渐进结构优化算法。 3 、在将改进后的双向渐进结构优化方法的应用拓展到空间问题上的基础上，本文 对工程构件进行拓扑优化，取得满意结果。 4 、为了开发实用的拓扑优化软件，根据本文方法进行了m s c m a r c 二次开发， 依靠m s c m a r c 强大的前后处理功能，使本文方法具有了建立模型简便，优化过程实 时可视化，查看优化结果方便直观等优点。 山东建筑大学硕士学位论文 第2 章渐进结构优化方法 自1 9 9 3 年x i e 和s t 州e n 提出渐进结构优化( e v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o n ， 简称e s o ) 方法以来，许多学者进行了深入的研究。q u e r i n 在传统的渐进结构优化方 法基础上发展了双向渐进结构优化方法( b i d i r e c t i o n a le v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o n ，简称b e s o ) ，优化准则从最初的应力准则扩展到频率等约束条件，优化 域也从二维扩展到三维。 本章讲述了渐进结构优化方法的基本原理、流程，推导了几种常用的敏感度准则， 研究了双向渐进结构优化方法存在的问题及改进方法。 2 1 渐进结构优化方法基本原理 一个理想的结构，其每一部分的材料应该接近于相同的安全水平，即充分的利用 各部分材料。渐进结构优化方法的基本原理就是根据这个概念得出：首先预先选取结 构设计域和初始域，给定结构所需满足的目标函数和约束条件，进行受力分析，计算 各部分材料对目标函数和约束条件的贡献度，根据其贡献度大小删除材料，循环该过 程，达到终止条件，最终得到的结构即为最佳拓扑形式。 在渐进结构优化方法实现过程中，它都是基于一个基本假定：逐步删除无效的材 料，剩下的结构朝着更优的方向进化。研究表明：在大多数条件下，这个基本假定是 适用的，但是，在一些极端情况下，这个假定可能不适用1 5 3 1 ，因此，不断扩展渐进结 构优化方法的适用性是一个关键的热点问题。大量算例表明，渐进结构方法能应用于 多层次优化领域，特别是在拓扑优化领域有很大的优势。 渐进结构优化方法有两个基本优点：容易理解和易于执行。渐进结构优化方法的 物理概念简单，容易被工程人员接受和理解，有利于实际应用。与其他和有限元结合 的方法不同，渐进结构优化方法在优化过程中不需要重新划分网格，因此，使有限元 分析过程简单化，较容易与现有商业有限元程序相结合。 传统的渐进结构优化方法存在一些问题，比如，“棋盘格式”问题、网格依赖性问 题、解的振荡性、优化模型的奇异性和边界光滑性等问题。本文对这些问题进行了研 究，将在后面章节中进一步阐述。 2 2 渐进结构优化方法基本步骤 假设当理想结构的应力比较均匀时，结构的材料或体积最小。在低应力单元周围 删除单元的指导思想下，建立渐进结构优化算法的基本步骤，如下： 山东建筑大学硕士学位论文 ( 1 ) 定义结构的最大的允许物理区域，并作为结构初始设计区域，给定初始删除率； ( 2 ) 采用有限元网格，离散结构； ( 3 ) 施加相关的荷载和约束条件，指定单元特性； ( 4 ) 进行结构线性静力有限元分析； ( 5 ) 计算每一个单元的敏感度。在渐进结构优化方法中，敏感度的定义就是单元是 否存在对所设定的目标函数的贡献度。以传统的v o nm i s e s 应力结构的目标为 例，敏感度就是单元的v o nm i s e s 应力，即： q ，。= 以”= 盯：+ 巧一q q + 3 弓 ( 2 1 ) ( 6 ) 根据整个结构所有单元的敏感度大小以及当前的迭代因子计算删除标准，检查 所有单元的敏感度，如果这个单元敏感度小于删除标准，那么该单元就是本次 迭代需要删除的单元。以传统的v o nm i s e s 应力的敏感度为例，删除标准如下 式所示： c t a , i = 嘲= 尺rx o 一v m ( 2 2 ) 式中，盯瀑是优化域内单元最大的v o nm i s e s 应力；飓是当前迭代步的 删除率。 当单元的敏感度q 。 o d d 时，则应保留该单元，否则就应删除该单元。 ( 7 ) 通过使用相同的删除率腿，重复执行步骤( 4 ) 一( 6 ) ，直到达到稳定状态，也就是 在当前迭代步已经不能进一步删除材料，然后按照下式，增加删除率。 飓+ l = 觚+ 积 ( 2 3 ) 式中，飓+ 。为增加后的删除率，即下一次迭代步中的删除率；e r 为进化 率。 ( 8 ) 重复执行步骤( 4 ) 一( 7 ) ，直到达到预定的目标( 性能指标最大或指定的应力限或 准则限) ，程序中止。以传统的v o nm i s e s 应力准则为例，假设预定目标为达 到指定应力限，中止条件为： 盯罴j r 墨。口一v i i i ( 2 4 ) 式中，艘未为预先设定的终止参数。 如图2 1 所示，给出了传统渐进结构优化方法的实现流程。 山东建筑大学硕士学位论文 图2 1 传统渐进结构优化方法流程图 2 3 几个常用敏感度计算公式 。 采用渐进结构优化方法进行拓扑优化时，敏感度是衡量单元贡献度的重要参数。 迄今为止，渐进结构优化方法已经发展了应力、刚度、位移、应变能、频率和热力学 等多种优化准则，本节介绍几种常用的敏感度。 2 3 1v o nm i s e s 应力敏感度 如上节所述，若优化目标是v o nm i s e s 应力结构，那么v o nm i s e s 应力结构的敏感 度如( 2 1 ) 式所示。 2 3 2 刚度敏感度 山东建筑大学硕士学位论文 刚度是许多结构( 如桥梁等) 在设计时主要考虑的因素之一。显然，不同位置的 单元对于结构刚度的影响是不同的，即每个单元是否存在对于结构总柔顺度的贡献度 是不同。单元的敏感度取决于结构的荷载和约束条件等。刚度敏感度的具体推导过程 如下所示。 在有限元系统中，静力方程表达为： 扰) = f ) ( 2 5 ) 式中，【k 】是系统的刚度矩阵， “) 是系统的总节点位移向量， f ) 是系统的节点 荷载向量。 系统的应变能定义如下： c = ( 1 2 ) f 7 ”) ( 2 6 ) 一般来说，系统总应变能是系统总体刚度的逆函数，可以作为系统总体刚度的评 价指标。考虑第f 个单元从有限元系统中移走，则因此产生的总体刚度变化为： 【a k i = k 】- 【k 】- 一h ( 2 7 ) 式中，【k 】是第j 个单元移走后的系统总体刚度矩阵，【k i 】是第f 个单元的刚度矩 阵。第f 个单元移走后的有限元方程为： ( 【k 】+ 【k 】) ( ”) + “) ) = ，) + ，) ( 2 8 ) 由( 2 8 ) 式减去( 2 5 ) 式，略去高阶项，得： a u ) = k 】- l ( ，) _ 【雠) ) ( 2 9 ) 由于第i 单元移走而产生的应变能变化，并略去高阶项为： c ) 吾 f ) r 脚) + 吾 舒) r ”) ( 2 1 0 ) 如果 世) = 0 ，将( 2 9 ) 式代入上式可以得到： c ) = 一了i ，) 7 时1 眦m = 吾rh ( 2 1 1 ) 式中， t ，7 ) 是第f 个单元的位移向量。 这样，通常情况下，定义第i 单元的刚度约束敏感度为： q 咄= 昙7k 小”7 ) ( 2 1 2 ) 山东建