（基础数学专业论文）各向异性及双参数非协调有限元方法研究.pdf

内容摘要 近年来，各向异性有限元方法己成为有限元领域的热点问题，陆续出现了许多有关 此方面的理论及应用研究成果，见【2 6 ，2 7 ，5 3 ，列，其中大部分工作主要是针对二阶或四 阶椭圆边值问题协调与非协调元的插值误差估计进行的目前，各向异性有限元方法的 主要挑战性工作有： ( 1 ) 由于在各向异性网格剖分下，b r a m b l e - h i l b e r t i j i 理【4 1 不能直接引用，因此插值 误差的估计无法按照传统的有限元误差估计技巧进行对于非协调有限元来说，相容误 差的估计是十分困难的，因为当网格剖分不再满足正则假设，拟一致假设或反假设时，相 容误差中有关边界项的估计，将出现的因子塌，当f 是单元的最长边时，该因子可能会 趋于无穷大，无法保证收敛性，需要探索新的途径和边界估计技巧 ( 2 ) 已有的一些单元是不具备各向异性特征【硎的，如t h a p e l 在【5 3 】中已证明，较 新的旋转q 1 元1 3 6 1 是不能用于各向异性网格的，并且举出了反例； ( 3 ) 对于混合元方法来说，插值算子在各向异性网格下的适定性，稳定性以及l b b 条 件( 混合有限元方法的关键) 等验证工作都有和大的难度 另外，超收敛研究也是有限元领域备受关注的问题之一，出现了许多高精度有限元 的研究，但是，基本上也是在正则网格剖分下讨论的，有关各向异性单元的超收敛性质的 研究则相对较少，且难度也较大，主要是因为后验插值算子的构造以及各向异性特征的 验证等都十分困难 另一方面如何构造高效的板单元的研究一直是有限元领域的热点和难点，由于”双 参数”有限元具有自由度小并能兼顾收敛性的特点，本文利用双参数有限元的思想构造 了两个可用于四阶板问题的单元( 一个是具有各向异性特征的1 2 参矩形元，另一个是三角 形九参数元1 本文主要系统研究两大类问题：一是选取几个典型的各向异性非协调元，如矩 形w i l s o n 元，三角形c a r e y 元，一类c r o u z e i x - l 胁v i a r t 型元，五节点元等，分别对位移障碍 下变分不等式问题，二阶椭圆边值问题，s t o k e s 问题和平面弹性问题做了迸一步深入探 讨：二是并利用双参数有限元法构造了8 自由度1 2 参矩形板元和三角形九参元，对矩形板 元我们进行了超收敛分析，对双参数三角形板元分析了其收敛性并给出了数值实验，结 果表明理论分析和实际计算是相吻合的 具体地讲，位移障碍下变分不等式问题的各向异性非协调有限元方法主要由两部分 组成： ( 1 ) 以两个著名的非协调有限元矩形w i l s o n 元【2 0 】和三角形c a r e y 元【9 】为例，研究位 移障碍下变分不等式问题的各向异性非协调有限元方法，通过引入新的技巧，得到了与 传统有限元方法相同的最优误差估计，这一部分中使用的方法对一类可分离出协调部分 和非协调部分，且通过i r o n s 分片检查的单元均成立： ( 2 ) 讨论了各向异性罔格下位移障碍下变分不等式问题的一类c r o u z e i x - r a v i a r t 型非 协调有限元( 特别是三角形元) 逼近，通过另外一种完全不同于( 1 ) 的新的误差估计技巧， 在自由边界长度有限及精确解的正则性假设条件下，得到了与【1 ，1 1 ，5 1 】相同的最优误差 估计本文的结果再次证实了一个重要结论即对于位移障碍下变分不等式的非协调有 限元方法的收敛性分析，网格剖分的正则性假设不是必要的，从而拓宽了有限元尤其是 非协调有限元的应用范围 其次本文又利用三角形c a r e y 元研究了二阶椭圆问题的收敛性及误差估计在已 有的相关文献中，大多数要求问题的解u 上，2 ( n ) 或t h 3 ( q ) ，1 4 l 、1 5 2 和【5 0 】针 对u h 4 ( n ) 时研究了协调线性三角形元的收敛性以【4 1 为基础，【4 9 】和【5 2 1 在同样条件 下对非协调有限元做了探讨上述文献均要求网格剖分满足正则假设或拟一致假设本 文利用不同于文献f 4 9 ，5 0 ，5 2 】的新的技巧和方法，在各向异性网格剖分和解的弱正则条 件下，得到了和他们同样的结果并且，本文中的结果对其他的一些非协调有限元，如各 向异性w i l s o n 元，各向异性类w i l s o n 元等也成立 再次，本文研究二阶椭圆问题和s t o k e s 问题的低阶元混合有限元方法对二阶问题， 构造了一个新的单元格式，当其精确解具有低正则性时，在不要求网格满足正则假设或拟 一致假设的条件下，我们得到了最优误差估计，与f 3 3 ) 相比，我们的证明方法较为简单； 对于s t o k e s 问题，研究五节点非协调矩形元对它的逼近，通过引入全新的估计方法，给出 了关于速度、压力的超逼近性质同时通过巧妙的构造了一个适当的插值后处理算 子，技巧性的导出了在各向异性网格下的超收敛结果，丰富了有限元( 特别是非协调有限 元) 方法的内容本文的结果同样适用于【3 6 ，4 8 】在正则网格下所讨论的的旋转q 1 元 接下来，本文研究了平面弹性问题，结合f 2 9 ，7 8 j 的思想，直接构造了一个新的可以 用于各向异性网格的矩形非协调元，利用其所具有的特殊性质，并通过引入辅助空问及 新颖的估计方法，在各向异性网格剖分下对纯位移平面弹性问题的l o c k i n g 现象进行了研 究，发现该元是l o c k i n g - f r e e 的，同时得到了最优能量范数和铲范数误差估计值得指出 的是由于这里的估计技巧非常特殊( 特别是关于相容误差的估计) ，完全不同于以往正 则假设下的非协调元误差分析，因而更具有理论意义和应用价值，从而拓宽了各向异性有 限元方法( 尤其是非协调元) 的应用范围 最后，利用双参数有限元法构造了8 自由度1 2 参矩形板元和三角形九参元： ( 1 ) 通过【4 7 】中的单元上的形函数空间修3 e 为p 2us p a n 一，矿) ，节点参数取为顶点 函数值与一阶偏导值，构造了一个新的8 自由度1 2 参矩形板元，利用单元的特殊构造和全 新的思路和技巧证明了在各向异性条件下证明了该单元的收敛阶也可以达到o ( h 2 ) 阶 同时，利用b r a m b l e - h i l b e r t 引理证明了该元有0 ( 2 ) 阶的超收敛性上述结论在目前相 关的文献中还未见报道： ( 2 ) 通过对m o r l e y 元的改进，构造了一个新的九参数三角形板元新单元的形函数空 间和实际节点参数分别同m o r l e y 元及z i e n k i e w i c z 元相同因此，新单元的总体自由度只 有m o r l e y ：i f ；的3 4 理论和数值实验结果表明，新单元形函数的外法向导数在单元间连续， 通过f - e - m - t e s t ，具有计算方便、收敛效果更好的优点，而且自由度选取对称，对任意三 角形剖分收敛，克服t z i e n k i e w i c z 元和广义协调元的缺陷同时，新单元对弯距的计算效 果比m o r l e y 元和z i e n k i e w i c z 元都要好不仅如此，本文最后对新单元的数值结果进行了外 推运算，其数值效果得到了很大的改善因此，该元是目前为止较为理想的有应用价值的 板单元 关键词： 各向异性非协调元，位移障碍变分不等式，二阶椭圆问题，s t o k e s f a 题，平 面弹性问题，双参数板元，最优误差估计，超逼近及超收敛，后处理技巧 a b s t r a c t r e c e n t l y , al o to fs t u d i e sh a v eb e e nf o c u s e do nt h ea n i s o t m p i ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ， a n dt h e r ea p p e a r sm a n yr e l a t i v ep a p e r s ( s e ec 2 6 ，2 7 ，5 3 ，5 4 1 ) h o w e v e r ，t h em a i na t t e n t i o n o ft h o s ew e r ep a i dt ot h es t u d yo fc o n f o r m i n gl a g r a n g ee l e m e n t sa n dt h ei n t e r p o l a t i o n e r r o ra n a l y s i so nt h es e c o n do r d e ro rf o u r t ho r d e re l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s a t p r e s e n t ，t h ec h a u e n g eo fa n i s o t r o p i cf i n i t ee l e m e n tm e t h o di s 鹤f o l l o w s ： ( 1 ) s i n c et h eb r a m b l e - h i l b e r tl e m m a 【4 】咖n o tb eu s e dd i r e c t l yo nt h ea n i s o t r o p i c m e s h e s ，s ot h ei n t e r p o l a t i o ne r r o rc a nn o tb ee s t i m a t e db yt h eu s eo ft h ec o n v e n t i o n a l f i n i t ee l e m e n tm e t h o d s f u r t h e r m o r e ，t h ec o n s i s t e n c ye r r o re s t i m a t ei st h ek 可o ft h e n o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s ，a n di tw i l lb e c o m ev e r yd i f f i c u l tt ob ed e a l tw i t h b e c a u s et h e r ew i l la p p e a ra f a c t o r 晶w h i c ht e n d st oo ow h e nt h ee s t i m a t ei sm a d e o n t h el o n g e rs i d e sfo ft h ee l e m e n tk ( 2 ) s o m ee l e m e n t sd i d n th a v ea n i s o t r o p y 【7 7 1 ，f o re x a m p l e ，i n 【5 3 】，t h a p e lp r o v e d t h a tt h er o t a t e d 口1e l e m e n t 3 6 c a l ln o tb eu s e do na n i s o t r o p i cm e s h e sb yg i v i n gac o u n t e r e x a m p l e ( 3 ) t h ep r o o fo ft h ew e u - p e s e dp r o p e r t y , s t a b i l i t ya n dt h el b bc o n d i t i o na r ev e r y d i f f i c u l tt od e a lw i t h i na d d i t i o n ，t h es t u d i e so ft h es u p e r c o n v e r g e n c ea n a l y s i so na n i s o t r o p i cm e s h e si s a n o t h e ro p e np r o b l e l n i ti sa l s ov e r yh a r dt od e a lw i t hs i n c et h ec o n s t r u c t i o no ft h ep 0 6 t i n t e r p o l a t i o no p e r a t o ra n dt h ep r o o fo ft h eu n i s o t r o p i ep r o p e r t ya r ec h a l l e n g e a b l e i nt h i sp a p e r ，w ef o c u so nt h et h es t u d yo fa n i s o t r o p i cn o n c o n f o r m i n ge l e m e n to ft h e v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e mw i t hd i s p l a c e m e n to b s t a c l e ，t h es e c o n do r d e re l l i p t i cp r o b - l e m ，s t o k e sp r o b l e m ，a n dt h ep l a n a re l a s t i c i t yp r o b l e m a n dr e c t a n g l ea n dt r i a n g l ep l a t e e l e m e n t sa r ec o n s t r u c t e dr e s p e c t i v e l yb yt a k i n ga d v a n t a g eo ft h ed o u b l es e tp a r a m e t e r m e t h o d s f o rt h ef i r s te l e m e n t ，t h es u p e r c o n v e r g e n c er e s u l ta r ep r o p o s e d ；a n df o rt h e s e c o n do n e ，w ed i s c u s si t sc o n v e r g e n c ea n dt h en u m e r i c a lr e s u l t sa r eg i v e nt od e m o n s t r a t e t h ev a u c l i t yo fo u rt h e o r e t i c a la n a l y s i s a tt h el a s tp a r to ft h ep a p e r ，t h ec o n s t r u c t i o no f t w od o u b l es e tp a r a m e t e re l e m e n t sa n dt h e i rc o n v e r g e n c ea r ed i s c u s s e d i nd e t a i l ，t h ea r r a n g e m e n to ft h ep a p e ri sa sf o l l o w s ： f i r s t l y , w ef i r s ts t u d yt h en o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n t ( w i l s o ne l e m e n t 2 0 a n d c a r e ye l e m e n t 9 1 ) a p p r o x i m a t i o nt ot h es e c o n do r d e rv a r i a t i o n a lo b s t a c l ep r o b l e mw i t h d i s p l a c e m e n to b s t a c l eo nt h ea n i s o t r o p i cm e s h e s b yu s i n gn o v e la p p r o a c h e s ，t h ec o n - v e r g e n c ea n a l y s i si ss ；i v e na n dt h eo p t i m a le r r o re s t i m a t e sa r eo b t a i n e d t h em e t h o d p r o l x m e dh e r e i ni sa l s ov a l i dt ot h eo t h e re l e m e n tw h i c hc a nb es e p a r a t e di n t oc o n f o r m i n g p a r ta n dn o n c o n f o r m i n gp a r t sa n dp a s st h ei r o n sp a t c ht e s t n e x t ，ae l l k q 8o fc r o u z e i x - r a v i a l tt y p en o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n ta p p r o x i m a t i o n sa r ec o n s i d e r e df o rs o l v i n gt h e a b o v ep r o b l e mo na n i s o t r o p i cm e s h e s t h ea p p r o a c h e sf o rt h i sk i n do fe l e m e n ti st o t a l l y d i f f e r e n tf r o mt h a to ft h ef o r m e r ，a n dt h ec o n v e r g e n c ea n a l y s i si sg l v e na n dt h eo p t i m a e r r o re s t i m a t e sa r eo b t a i n e du n d e rt h eh y p o t h e s i so ft h ef i n i t el e n g t ho ft h ef r e eb o u n d a r y s e c o n d l y , t h ec o n v e r g e n c eb e h a v i o ro f ac a r e yt r i a n g l en o n c o n f o r m i n ge l e m e n tf o rt h e s e c o n do r d e re l l i p t i cp r o b l e mw i t hl o w e s tr e g u h r i t yo na n i s o t r o p i cm e s h e sa l ed i s c u s s e d t h e r eh a v eb e e nal o to fs t u d i e st h i sa s p e c tw h e nt h ee x a c ts o l u t i o nu 日2 ( q ) o r u 驴( n ) 【4 l ，f 5 2 la n d 【5 0 s t u d i e dt h ec o n v e r g e n c eo fc o n f o r m i n gl i n e a rt r i a n g l ed e m e n t s w i t hm i n i m a lr e g l i l a n t ya s s u m p t i o n st 月4 ( q ) ，h e r et i st h es o l u t i o n so ft h es e c o n do r d e r d l i p t i cp r o b l e m s h o w e v e r ，t h e ki sa n o t h e rv i t a ld e f i c i e n c yo ft h ep r e v i o u ss t u d i e s ，i e ， t h e yr e l i e so nt h er e g u l a r i t ya s s u m p t i o no rq u a s i u n i f o r ma s s u m p t i o no nt h es u b d i v i s i o n o fm e s h e s b yu s i n gd i f f e r e n tt e c h n i q u e sf r o mt h a to f1 4 9 ，5 0 ，5 2 】，t h es a m er e s u l t s 鹪 t h o s eo f 【4 9 ，5 0 ，5 2 】a r eo b t a i n e do nt h ea n i s o t r o p i cm e s h e sw i t ht h em i n i m a l 刚枷t y a s s u m p t i o n t h i r d l y , w ed i s c l i s st h et h es e c o n do r d e re l l i p t i cp r o b l e m sa n ds t o k e sp r o b l e m f o r t h ef i r s to n e ，an e we l e m e n ti sc o n s t r u c t e da n dt h eo p t i m a le r r o re s t i m a t e sa l eo b t a i n e d u n d e rt h el o w e s tr e g u l a r i t yo ft h ee x a c ts o l u t i o n i na d d i t i o n ，t h ep r o o fo ft h i sp a p e r i sm u c he a s i e ri nc o m p a r i s o nw i t hc 3 3 】f o rt h es e c o n do n e ，w i t ht h el 增o ff i v en o d a l r e c t a n 9 1 1 l a re l e m e n t ，t h es u p e r e l o s er e s u l t so ft h ev e l o c i t ya n dt h ep r e s s u r ea r eo b t a i n e db y n o v e lt e c h n i q u e s ，a n df u r t h e r m o r e ，b yc o n s t r u c t i n ga p r o p e ri n t e r p o l a t i o np o e to p e r a t o r ， t h es u p e r c o n v e r g e n c ec a nb ed e d u c e do nt h ea n i s o t r o p i cm e s h e s t h em a i nr e s u l to ft h e s e c o n do n ei sa l s ov a l i dt ot h er o t a t e d0 1e l e m e n ti nm ，4 8 】o nr e g u l a rm e s h e s n e x t ，w es t u d yt h et h ep l a n a re l a s t i c i t yp r o b l e mw i t hp u r ed i s p l a c e m e n tb o u n d a r y c o n d i t i o nw i t ht h eu s eo fan e wa n h s o t r o p i cn o n c o n f o r m i n gr e c t a n g u l a rf i n i t ee l e m e n t w h i c hi sc o n s t r u c t e di nt h ep a p e r i ti sp r o v e dt h a tt h i se l e m e n ti sl o c l d n g - f r c ew h e n t h el n m 百c o n s t a n ta + o o b y1 1 8 eo ft h es p e c i a lp r o p e r t i e so ft h i se l e m e n t a n db y i n t r o d u c i n gt h ec o m p l e m e n t a r ys p a c ea n das e r i e so fn o v e lt e c h n i q u e s ，t h eo p t i m a le l i o r e s t i m a t e so ft h ee n e r g yn o r ma n dt h ep n o r ma l eo b t a i n e d t h u sw eg e tr i do ft h e v r e s t r i c t i o no fr e g u l a r i t ya s s u m p t i o n ，q u a s i - u n i f o r ma s s u m p t i o no rt h ei n v e r s ea s s u m p t i o n s o nt h em e s h e sr e q u i r e di nt h ec o n v e n t i o n a lf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa n a l y s i s a n de x t e n d t h ea p p l i c a b l es c o p eo ft h en o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n t s f i n a l l y , w ec o n s t r u c t1 2p a r a m e t e r sr e c t a n g u l a rp l a t ee l e m e n t ( b ym o d i f y i n gt h e s h a p ef u n c t i o ns p a c eo f 【4 7 】a s 恳u8 p 柚 一，矿) ) a n d9p a r a m e t e rt r i a n g l ep l a t ee l e - m e n t ( b ym o d i f y i n gm o r l e ye l e m e n t ) b yt r e eo ft h ed o u b l es e tp a r a m e t e rf i n i t ee l e m e n t m e t h o d s f o rt h ef i r s te l e m e n t ，w ec a np r o v et h a tt h ec o n s i s t e n c ye r r o rj 8o ( a 2 1o r d e r w h i c hc a nb eo b t a i n e do na n i s o t r o p i cm e s h e s f o rt h es e c o n do n e ，i t ss h a p ef u n c t i o n s p a c ea n dt h er e a ln o d ep a r a m e t e ri sa 8s a j n e 蠲t h o s eo fm o r l e ye l e m e n ta n dz i e n k i e w i c z e l e m e n t ，b u tt h et o t a ld e g r e e so ff r e e d o m si so n l yt h r e eq u a r t e r 6o ft h a to fm o r l e ye l - 锄t t h et h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dt h en u m e r i c a lt e s ts h o wt h a tt h ee l e m e n ti sv e r y e x c e l l e n tf o rt h er e a s o nt h a tt h eo u t e rn o r m a ld e r i v a t i v ei sc o n t i n u o u s ，d e g r e e so ff 珀g d o m i ss y m m e t r i c a l ，a n di ti sc o n v e r g e n tf o ra r b i t r a r yt r i a n g l es u b d i v i s i o n k e yw o r d s ： a n i s o t r o p i en o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n t ，v a r i a t i o n a lt n e q u a n t y w i t hd i s p l a c e m e n to b s t a c l e ，s e c o n do r d e r e l l i p t i cp r o b l e m ，s t o k ep r o b l e m ，p h a re l a s t i c i t y p r o b l e m , d o u b l es e tp a r a m e t e rp l a t ed e m e n t ，o p t i m a le r r o re s t i m a t e s ，s u p e r e l o s ea n d s u p e r c o n v e r g e n c e ，p o s t t r e a t m e n tt e c h n i q u e s - 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、抄袭等违 反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法 律后果，特此郑重声明 学位论文作者( 签名) ：王弱良 二零零七年四月 j i l 聃舌 有限元方法作为一种求解椭圆边值问题的数值方法，最早由r c o u r a n t 于1 9 4 3 年提 出，2 0 世纪5 0 年代后得到了逐步发展，到了2 0 世纪6 0 年代，由我国冯康教授和西方科学家 各自独立奠定了有限元方法的数学理论基础目前，有限元方法已成为是当前数学物理 及工程力学界数值计算方法中的主流方向 传统的有限元方法要求对区域q 的剖分满足正则性或拟一致性假设【l ，1 0 1 ，即要求剖 分满足豢sc , v k 以或黯sa l i t 一= m k 喊h k ，k 讯= 母 ( 其中 是区域的某 种剖分簇，h k , p k 分别是单元的最大直径和单元的最大内接球直径，c 是一个仅与区域 有关的常数) 直观上来解释，即单元不能无限地扁这一假定渗透到单元构造、理论分 析及应用的各个方面，成为单元剖分的基础性条件。然而，这一条件对有限元应用方面的 制约作用越来越显著，一方面，如果区域q 是是下面几种情况，如电机中的定子与转子之 间的缝隙；人体中关节和韧带的间隙；复合材料非常薄的粘合层等，此时若对区域采用正 则有限元求解这类问题时，剖分网格将非常密，由此产生的计算量将大得无法承受；另一 方面，有些问题( 如奇异摄动对流扩散反应方程) 的解可能会在区域的边界层或区域的拐 角处呈现各向异性特征。即真解仅仅沿某一方向变化剧烈，而在其它方向上变化较为平 缓为反映这一特征，在解变化剧烈的方向使用较小的网格，而在垂直方向上使用较大的 网格，通过在离散化的过程中反映这种各向异性，各向异性网格的优势也得到了体现，达 到既能降低自由度，又能取得最优误差估计的效果，因此各向异性有限元研究是目前有 限元领域备受国i 匀# 1 - 关注的前沿问题，也是一个亮点、热点和难点。 由于在各向异性剖分下，传统的s o b o l e v 插值理论不能直接利用，【2 9 1 给出了一个检 验单元能否应用于各向异性网格的标准，但是应用起来很不方便1 5 3 】据此用反例验证 了旋转q l 元不具有各向异性特征而不能用于各向异性网格同时，还构造了一个矩形 非协调元。但是，这个元却存在着两个严重缺陷：其形函数空同为 1 ，z ，玑矿l ，显然不 对称，只能用于特殊网格( 即单元的两个直角边必须平行于两坐标轴且长边必须放在 对应的互轴上 【7 7 】概括了f 2 9 】的结果并提出了一个使用方便的一般插值定理并将 其应用于若干问题的i 且g i a n g e 型协调元，w i l s o n 元，类w i l s o n 元等非协调元的收敛性研 究( 阻，8 8 ，9 3 ，9 6 ，9 7 】) 另一方面，有限元的超逼近性质和超收敛分析在实际工程计算中占有非常重要的地 位，一直是数值分析家们研究的热点问题之一见【6 0 ，6 q ) 我国的林群院士，陈传淼，朱 l 前言 起定，周爱辉，严宁宁，张书华等教授在此方面也取得了许多有中国特色的国际国内上具 领先水平的结果【7 9 1 ， 5 5 1 但几乎所有的结果都要求网格满足正则性条件和拟一致假设 有关在各向异性网格下的研究则较少涉及( 特别是非协调元的超逼近性质和整体超收 敛性分析等 众所周知，在构造有限元时，自由度和形函数空间应当匹配，一方面形函数在跨越 单元边界时要具有某种积分意义下的连续性同时又要求整体自由度尽量的少而在实 际应用中要同时兼顾这两个方面，往往是十分很困难的例如，z i e n k i e w i c z 元的自由度简 单，但只对三平行线剖分这种特殊网格才收敛；v e u b e k e 元的收敛性不受剖分形式的限 制，但自由度复杂，总体未知量多石钟慈院士提出的构造有限元的双参数法 1 4 1 恰好解 决了这一矛盾，并由此构造和分析了许多有价值的单元但是，如何利用双参数法的思想 来构造具有各向异性特征的有限元，却是一个尚未涉及的课题。 目前，各向异性有限元研究的主要挑战性工作有： ( 1 ) 由于在各向异性网格剖分下，b r a m b l e - h i l b e r t 弓i 理【4 1 不能直接引用，因此插值 误差的估计无法按照传统的有限元误差估计技巧进行对于非协调有限元来说，相容误 差的估计是十分困难的，因为当网格剖分不再满足正则假设，拟一致假设或反假设时，相 客误差中有关边界项的估计，将出现的因子篇，当f 是单元耳的最长边时，该因子可能会 趋于无穷大，无法保证收敛性，需要探索新的途径和边界估计技巧 ( 2 ) 已有的一些单元是不具备各向异性特征【7 7 】的，如- i h a p e l 在【5 3 】中己证明，较 新的旋转聃元【3 6 1 是不能用于各向异性网格的，并且举出了反例；对于混合元来说，插 值算子在各向异性网格下的适定性，稳定性以及l b b 条件( 混合有限元方法的关键) 等 验证工作都有和大的难度：在进行高精度或超收敛的估计过程中，后验插值算子的构造 以及各向异性特征的验证都十分困难： ( 3 ) 如何利用双参数有限元的思想构造可用于二阶和四阶板问题的各向异性有限 元，尤其是一般形状的各向异性三角形及四边形元( 协调及非协调元) 的开发与研究 本文主要系统研究两大类问题：一是选取几个典型的各向异性非协调元，如矩 形w i l s o n 元，三角形c a r e y 元，一类c r o u z e i x - r a v i a r t 型元，五节点元等，分别对位移障碍 下变分不等式问题，二阶椭圆边值问题，s t o k e s 问题和平面弹性问题做了进一步深入探 讨：二是并利用双参数有限元法构造了8 自由度1 2 参矩形板元和三角形九参元，对矩形板 元我们进行了超收敛分析，对双参数三角形板元分析了其收敛性分析并给出了数值实验， 结果表明理论分析和实际计算是相吻合的 本文的具体写作安排如下： 第一章介绍与本文相关问题的预备知识包括有限元方法的基本理论和知识，各向 2 前言 异性有限元和混合有限元方法简介 第二章主要有两大部分：首先，以两个著名的非协调有限元矩形w i l s o n 元【2 0 】和三 角形c a r e y 元f 9 1 为例，研究位移障碍下变分不等式问题的各向异性非协调有限元方法， 通过引入新的技巧得到了与传统有限元方法相同的最优误差估计，这一部分中使用的 方法对一类可分离出协调部分和非协调部分，且通过i r o n s j r ) 片检查的单元均成立；其次， 其次讨论了各向异性网格下位移障碍下变分不等式问题的一类c r o u z e i x - r a v i a r t 型非协 调有限元( 特别是三角形元) 逼近，通过另外一种完全不同于第一部分的新的误差估计技 巧，在自由边界长度有限及精确解的正则性假设条件下，得到了与【1 ，1 l ，5 1 】相同的最优 误差估计，填补了这方面的空白本文的结果再次证实了一个重要结论，即对于位移障碍 下变分不等式的非协调有限元方法的收敛性分析网格剖分的正则性假设不是必要的，从 而拓宽了有限元尤其是非协调有限元的应用范围 第三章利用三角形c a r e y ：元研究了二阶椭圆问题的收敛性及误差估计在已有 的相关文献中，大多数要求问题的解t 俨( q ) 或u h 3 ( q ) ，【4 1 、1 5 2 1 和【5 0 】针 对u h t ( n ) 时研究了协调线性三角形元的收敛性以【4 1 为基础，【4 9 1 和【5 2 】在同样条件 下对非协调有限元做了探讨上述文献均要求网格剖分满足正则假设或拟一致假设本 文利用不同于文献【4 9 ，5 0 ，5 2 】的新的技巧和方法，在各向异性网格剖分和解的弱正则条 件下，得到了和他们同样的结果并且，本文中的结果对其他的一些非协调有限元，如各 向异性w i l s o n 元各向异性类w i l s o n 元等也成立 第四章研究二阶椭圆问题和s t o k e s 问题的低阶元混合有限元方法对二阶问题，构 造了一个新的单元格式，当其精确解具有低正则性时，在不要求网格满足正则假设或拟一 致假设的条件下，我们得到了最优误差估计，与c 3 3 1 相比，我们的证明方法较为简单；对 于s t o k e s 问题，研究五节点元对它的逼近，通过引入全新的估计方法，给出了关于速度、 压力的超逼近性质同时，通过巧妙的构造了一个适当的插值后处理算子，技巧性的导出 了在各向异性网格下的超收敛结果，丰富了有限元( 特别是非协调有限元) 方法的内容本 文的结果同样适用于1 3 6 ，4 8 】在正则网格下所讨论的的旋转q 1 元 第五章研究了平面弹性问题，结合b 2 9 ，7 8 】的思想，直接构造了一个新的可以用于各 向异性网格的矩形非协调元，利用其所具有的特殊性质，并通过引入辅助空问及新颖的 估计方法，在各向异性网格剖分下对纯位移平面弹性问题的l o c k i n g 现象进行了研究，发 现该元是l o c k i n g - f r e e 的，同时得到了最优能量范数和驴范数误差估计值得指出的是由 于这里的估计技巧非常特殊( 特别是关于相容误差的估计) ，完全不同于以往正则假设 下的非协调元误差分析，因而更具有理论意义和应用价值，从而拓宽了各向异性有限元方 法( 尤其是非协调元) 的应用范围 3 前育 最后，利用双参数有限元法构造了8 自由度1 2 参矩形板元和三角形九参元：对矩形板 元我们进行了超收敛分析，对双参数三角形板元分析了其收敛性分析并给出了数值实验 第六章通过【4 7 】中的单元上的形函数空间修正为b u s p a 一，矿 ，节点参数取为项 点函数值与一阶偏导值，构造了个新的十二参矩形板元构造了8 自由度1 2 参矩形板元， 利用单元的特殊构造和全新的思路和技巧，证明了在各向异性条件下证明了该单元的收 敛阶也可以达到o ( 舻) 阶同时，利用b r a m b l e - h i l b e r t 引理证明了该元有o ( h 2 ) 阶的超收 敛性上述结论在目前相关的文献中还未见报道： 第七章通过对m o r l e y 元的改进，构造了一个新的九参数三角形板元新单元的形函 数空间和实际节点参数分别与m o r k y 元及z i e n i d e 丽元相同因此，新单元的总体自由度 只有m o r l e y ：元的3 4 理论和数值实验结果表明，新单元形函数的外法向导数在单元佃j 连 续，通过f - e - m - t e s t ，具有计算方便，收敛效果更好的优点，而且自由度选取对称，对任意 三角形削分收敛，克服了z i e n l d e w i c z 元和广义协调元的缺陷同时，新单元对弯距的计算 效