（基础数学专业论文）o（soq（2n1））经由uq（so（2n1））的jantzen途径实现.pdf

摘要 j a n t z e n 在 1 0 中通过r 一矩阵的方法给出了量子坐标环d ( s l 。( 2 ) ) 的定 义关系式，本文主要用j a n t z e n 的方法，由( s o ( 2 n + 1 ) ) 的自然表示理论，通 过r 一矩阵的方法实现o ( s d q ( 2 n + 1 ) ) o ( s q ( 2 n + 1 ) ) 的生成元与关系式为( 参见【l 】) 碟u m = 硪遗留，i ，n s = 1 ，2 ，2 n + 1 捌捌 或 露u ：“ 磁u 埘，i ，n s = 1 ，2 ，2 n + l _ 捌“ 其中 碟= 窟；= q 2 ( 氐，一钆以，毋。+ 0 2 一口2 ) e 0 一r ) ( 如，文。一磁) 通过( s d ( 2 n + 1 ) ) 的自然表示可以得到r 一矩阵：r = e 。o ，o p 若 能证明此r 一矩阵中碟与o ( s 嘎( 2 n + 1 ) ) 定义中的篇相等，则即可证 明p ( s 仉( 2 n + 1 ) ) 可以通过( s o ( 2 n + 1 ) ) 的自然表示的r 一矩阵实现 在本文中，关键为计算典范元0 。：c 2 “+ 1oc 2 ”1 + c “+ 1oc 2 “+ 1 的 一般表达式作者通过计算n = 2 ，3 时的特殊情形，归纳得出 e 。= 1 1 + ( 一。) 只，+ 1 ，一 弓，。+ 弓，1 t 。丘，一j 1 i 旬勘 + ( 1 一) ( 一1 ) 。q 2 u 1 ，j b ，+ b ，q 弓，一，；) ， + ( g 一g ) ( q + q _ 1 ) - 1 盼，j 啄，i 1 0 ，e 。作用在肘圆m 7 上关于此组基得到一个严格上三角矩阵 又e o = 1 l 为恒等作用，于是e 吖，m ，是可逆的 考虑映射，：a a 一舻： ，( a + ，p ) = q 一( ”，p ，( a ，p ) ， 9 ，( a ，p + 工，) = q 一( ”， ，( a ，p ) ，( a ，p a ，z 巾) 满足此性质的映射是存在的：选择a z 中的一组代表元a 1 ，a 2 ，凡 任意规定，( a 。知) 轳，并令 ，( 九+ 工，+ ) = q 一( t ，”7 ) 一( 址1 ，) 一( ”，一，( ，) ， ( 1 i ，j r ，7 z 西) 现在对于所有的有限维c ，一模m ，m 7 ，定义双射： ，( m m 7 ) = ，( a ，卢) m m ，( m 慨，m 7 ，a ，p a ) 并且定义映射尸：m m m o m 7 ，m ， m h m m 定理3 1 对所有有限维u 一模m ，m ，映射 e o fo p ：m 1 圆m _ m 因m 1 为u 一模同构 y 是一个有限维复向量空间，冗是y o y 上的一个线性变换，五= p o r ，其 中尸：y y _ y o v ， 6 一6 n ，口，6 矿令z 。0 = 1 ，2 ，一，) 是y 的 一组基，则存在一组复数月= 惫k ，使得 r ( 墨 q ) = r 驴z 。 z 。，五( 。 ) = 霹”z 。 mnm 记c ( 嵋) 为由嵋，i ，j = l ，2 ，一，生成的自由结合代数，令工( r ) 为由 瑰= ( 碟吐一霹嗾留) ，i ，j ，m ，n = 】，2 ， 剐 生成的双边理想记“r ) = c 呓) 及r ) ，则4 ( r ) 由吗， ，j = 1 ，2 ， 生成，其定义关系式为 碟“曼以= 磁“跏，i ，j ，m ，n = 1 ，2 ， 蝌“ 记u 为矩阵( 嵋) ，称为4 ( r ) 的基本矩阵 1 0 命题3 1 4 ( r ) 上存在一个唯一的双代数结构，满足 ( 呓) = u ：o 砖，( 嵋) = 如， ，j = 1 ，2 ，一， 当上面的兄一矩阵如下定义时 兄要= 窟；= 9 2 ( ，一如靠如。+ ( q 一q 2 ) e ( t r ) ( 岛，乱一磁) 其中七 o 时，e ( 七) = 1 ；o 时，e ( 七) = o ；硝= ，日= 毋棚一铆， 7 = 2 礼一t + 2 ；当t n + 1 时，n = 礼一i + 1 2 ；当i n + 1 时，胁= 一n ， 则有o ( s q ( 2 n + 1 ) ) 的定义： a ( 兄) u g u a = g u 。c 一1 u = ，) 其中a 为( 2 礼+ 1 ) ( 2 n + 1 ) 矩阵( 弓) 即d ( s q ( 2 n + 1 ) ) 的生成元与关系 式为： 或 碟衅“：= 雕牡；讲，i ，ns = 1 ，2 ，2 n + 1 “m 霹“：“ 五瑟“埘，i ，ns = l ，2 ，2 n + 1 捌 七j 1 1 第四章 关于嵋( s o ( 2 n + 1 ) ) 的自然表示的e 根据代数群的表示论知，要实现o ( 0 。( 2 州一1 ) ) ，只需考虑( s o ( 2 n + 1 ) ) 的 自然表示，不需要旋表示为了便于后面的证明用数学归纳法，我们将李代 数s o ( 2 n + 1 ) 的根系中的最短根记为n 1 以下我们将玩。，f 0 。，。分别简记为置，只，甄 ( s o ( 2 n + 1 ) ) 的自然表示的模空间为m = c 2 叶1 ，权向量为 q = ( o ，1 ，0 ) = 1 ，2 n + l - 其中最高权向量为e ， 相应于此自然表示，可取u 的生成元为 k 1 = d n d ：j ” f 1 = c ( 蜀附1 一g - 1 b 扎n + 2 ) ， f i = c ( e 乞+ l ，。一e 。+ 2 。+ 1 ) ， 西= d 。一1d 0 2 d 。“d ：；。l 蜀= e n i + 1 ，竹_ t + 2 一e k + ，n + t + 1 ， 只= f 一t + 2 p l 一五j + h l m + t 其中现= 口2 ，弓j ，c = ( q + q 一1 ) 1 2 ，嘞为第i 行j 列为1 ，其余元素为零 的矩阵 v1 i n 纸一州邑= q 2 岛，墨。一。e 产q 一2 e 。，岛= e ；， 昂；e z = e ，弓e 产o ，j n i ； r 一件l 岛= 一 e 。+ l ，b 岛= o ，j 几一i + l 1 2 j 厶一件1 e n + l = e n + l ， f 1 e n + 1 = c e n ，马e 。+ 1 = o ，j 1 ； f l e n + l = 一c g e 。+ 2 ，乃e 。+ 1 = 0 ，j 1 一件2 e 抽一l + 2 = 9 2 e 抽一件2 ，一l + 1 e 2 n t + 2 = g 一2 e 2 n 一+ 2 ， 坞e 2 n 一+ 2 = e 2 n 一 + 2 ，j 礼一 + l ，n 一+ 2 ； 上1 n 一件1 e 2 n 一件2 = 一毋，n q 一最，n e 2 。一件1 ，易e 2 n t + 2 = 0 ，j 礼一i + 1 f 竹一 + 2 e 2 竹一i + 2 = 一e 2 n 一件3 ，毋e 2 ”一+ 2 = 0 ，j 礼一i + 2 e 1 旦e 2 ，e 2 譬8 3 ，一1 乌，乌 e n + l 乌一q e n + 2 ，e n + 2 乌一e n + 3 ，e 2 n l 旦一e 2 n ，e 2 n 乌一e 2 n + 1 8 2 卅1 j 一8 2 n ，8 2 n 曼二；一e h “，e n + 3 旦一e n + 2 ，e n + 2 旦一c g 一1 e n + l ， e 。+ l 乌c e 。，e 。乌h 一) e 3 骘e 2 ) e 2 e 1 ( 2 ) 为了方便起见，以下我们分别将局，毋：日。，只。只。分别简记 为邑m “，只1 t 2 “ 由( 2 ) 式可知，作用在m 上非零的u + 中的元素只有( 不计系数) 置， 最十，巨廿 ，忍+ p “2 】2 ，目2 1 2h + j ，毋2 1 2 。，u 一中的元素八有r ， e 。q ，e + j 。，r q 。2 1 2 。，r2 1 2 l ，r 2 1 2 ；，l i + j n ，j 1 又 由于w t ( 局) = o ；，w t ( 只) = 一o ，于是在m 上作用非零的咐，吒只 有肛垂+ 及p = 2 口l + + 2 n ：，1 礼，对于其他p o ，均有时m = o ，m = o ，从而对于线性变换e = p o e p ：m m m 圆m ，只 需计算p 垂+ 及p = 2 0 1 + + 2 啦时的e 。，即若将0 中在m o m 上作 用为0 的项省略不写，则e 的表达式可简写为 o 。= 1 1 + e p + 0 2 时- 弛 “母+ t = 1 1 3 r1【rj、【即 定理4 1 关于( s o ( 2 n + 1 ) ) 的自然表示的e 。：m o m + m m 为 e 。 其中 l 。1 + ( 一i ) 限i + 1 ， 易，j + 乃，j 。置，j l 勺“ + ( 1 一d 幻) ( 一1 ) o 。q 2 u 。( 只，jo 目，j + 乃，。o 易， ) 】， + ( q 一1 一q ) ( q + g 一1 ) 一1 乏二【只 1 ，j o 马，一，1 1 ，i 1 i j “ + ( 一1 ) 件。一1 押一2 只，1 小jo 最，l l ，卅 + ( q 一q ) o + g 一1 ) 一1 ( 口一2 一q 4 0 一1 ) e ，1 ， o 匠， l ，1 ，一， e q ，十+ q t = 1 ( q 三1 一，) 限，件l ，j o 局， + 弓，。 鼠，j + ( 1 一魂，j ) ( 一1 ) q 2 u 一( 只，j 最，一+ 乃，o 弓，；) 1 i j 礼 e 2 d l + + 2 n ，+ n 件1 + 一十。j ( q 一q ) ( q + q - 1 ) _ 1 【只，一，l j 马，1 1 ，1 t + 毋，1 ，l ，j 圆且，l ，l ，j + ( 一1 ) 钾一1 9 2 4 却一2 ( 只， 1 ，一j 最，一，1 ，j + 乃， l l ，j 弓， 1 ，。) 1 i l ，故r 2 = o = j 乏嚣 故( 5 ) 得证 证明( 6 ) ：礤：镅， 一2 ，2 n + l ，k2 ，2 佗 显然，当+ f 2 + 2 或i 2 n + 1 时礤2 o 当= 2 ，一，礼时 r ( e 女。e 2 。一+ 2 ) = e 。氕e 2 。一k + 2 圆e ) = q 。e ( 8 n k + 2 。) =q 2 e 2 n k + 2 e + 口2 ( 一1 1 ( 口2 一q - 2 ) ( e 2 ”+ 1 e 1 ) 当路= n + 1 时 r ( e 。+ l 。e 。+ 1 ) = e 。氕e 。+ 1 。e n + ) = o ( 。n + l 8 n + 1 ) = 口2 e 2 n 一+ 2 e + q 抑一1 ( q 2 一q 一2 ) ( e h + 1o e 1 ) 当：他十2 ，一，2 n 时 r ( e k 。2 。一+ 2 ) = o 。氕e 2 。一女+ 2 。“) = 铲e ( 。加一女+ 2 圆8 。) ：口2 e 2 n k + 2 e k + 矿( 一2 ( q 2 一q 一2 ) ( e 2 n + 1o 8 1 ) 于是 程：+ ：= q 2 ( 一1 1 ( 矿一q 一2 ) ，k 5 2 ，一，礼， r 黠臻l ：q 2 ”1 ( q 2 一q 。) ， 魁：+ 2 = 矿( 。一1 1 ( 铲一q 一2 ) ，k = “+ 2 ，一，2 佗 由( 3 ) 式，当七+ ! 2 n + 2 或 2 n + l 时佗最；o - 蠢瑟2 = q 2 ( 川( q 2 一q 。) ，52 ，n ， 宠黯擤。= 俨。( q 2 一q 4 ) ， 花瑟2 = q 2 ( h ( q 2 一q 一2 ) ，= ”+ 2 ，劬 故( 6 ) 得证 证明( 7 ) ：磺r 1 。= 宠嚣+ 1 ”， 由于j = 2 ，2 n + 1 ，f = 2 ( 7 ) 得证 j = 2 ，2 n + l ，f = 2 ，2 礼 2 n ，故显然r 等+ 1 。= o = 衙扎 证明( 8 ) ：磷州= 群“， i ，f _ 2 ，2 n 由于i ，七，z = 2 ，2 n ，故显然r 管”“= o = 群“，( 8 ) 得证 综上，有 碟= 就，i ，j ，f _ 2 ，2 n 所以定理得证 参考文献 1 ja k l i 瑚i y k ；k s c h m u d g e n ，0 “o 扎t 札仃lg r o q 伊o n d 丁危e 打r e p r e s e 礼t o t i o n ， 1 9 9 7 ，( s p r i n g e r ) 2 h h a n d e r s e n ；p p o l o ；k 、v e n ，兄印r e s e 礼t t i o n so ，g 札n t mn 2 9 e 打o s 1 9 9 1 ，v j l 1 0 4 ，1 5 9 ，i n v e n t m a t h 3 】k e nab r o w n ；k e nr g o o d e 州，三e 矗“r e s 帆a f g e 6 r 口i cq “n ，硅u m 西叫p s ，b i r k h a r s e rv e r l a gb o s t o n ，b e r l i n 【4 lv c h a d ；n hx i ， f d 他o m i o f6 n s e so ，q 。n t i z e de n d 。嘶礼9n f 9 e 6 r o s ， i k c e n td e v e l o p m e n ti nq u a n t u m 砸n e 甜g e b r 船a n dr e l a t e dt o p i c s ( r d e u g h ，n c ，1 9 9 8 ) ，6 9 _ 8 1 c o n t e m p m a t h ，2 4 8 ，a m sp r o v 【5 ll d f 髂8 e e v ；n y u r e s h e t i k h i n ；l ，a 嗽h t a d j a ，q 伽n 缸z 口i 帆d ，三诧 西d t 巾so 几dl 钯n z g e 6 r o s ，i na l g e b r a i ca n a l y s i s ，1 9 8 8 ，v b l1 ，1 2 9 _ 1 3 9 ， a c a d e m i cp r e s s b o s t o n 6 j e h u m p h r e y s ，扎亡r o d 札d i d nt ol 钯a z g e 打n s n d 兄e p r e s e 扎t o “ t e o r 可，( g t m 9 ) ( 3 r dp r i n t i n g ) ，1 9 8 0 ，( s p r i n g e r ) 【7 】t h a y a s 王1 i ，q 讹礼t “md e ，叫m 。t i 帆0 ，e f n s s i c n fg r o t 巾s ，p u b i r i m s 1 9 9 2 ，v b l 2 8 ，5 8 1 ，k y o t ou i l i v 8 】t j h o d g e s ；t l e v a s s e u r ，p r 打m i e d e 。bo ，c ； s 上( 3 ) 】，1 9 9 3 ，v 0 1 1 5 6 5 8 1 6 0 5 ，c o m m m a t h p h y s 9 】t j h o d g e s ；t l e v a s s e u r ，p r 打n i 乱圯 d e o f so ，c ； s l ( 咒) j ，1 9 9 4 ，v b l 1 6 8 4 5 5 4 6 8 ，ja l g e b r a 1 0 】c j a n t z e n ，三e c 亡扎e r s 帆q 札n n 札mg r o “p s ，1 9 9 1 ，g s mv b l6 ，a m s 1 1 a j o s e p h ，o 扎九ep r i m en n dp r m 剞es 叠e d r no ， ea z 9 e 6 r od ， f “扎以 。礼so 佗nq u n 礼t 札mg r o “p 11 9 9 4 ，v 。1 1 6 9 ，4 4 l 一5 1 1 ，j a 1 9 e b r a 1 2 】a j o s e p h ，q u n 7 l t ? z zg r o t 妒n 他dt e i rp r i m i t i e ，d e o z s ，1 9 9 5 ，2 9 ， s p r i n g e rv b r l a eb e r l i n 【1 3 】k a s 8 e l ，q u n 凡t 札mg r 伽p s ，( g t m1 5 5 ) ，1 9 9 7 ，s p r i n g e r 【1 4 】g l u s z t i g ，j 礼t r 。d “c t i 吼t oq u o n t u lg r 。q 印s ，1 9 9 3 ，( p r o g r e s si n m a t h e m a t i c s1 l o ) ，b o s t o ne t c 【1 5 b p a r s h a l l ；j p w a i l g ，q u o n t u m 工i 几e r ( 俐p sm 训m o i r so ，a 彳s ， 1 9 9 1 ，v 0 l8 9 ，n 4 3 9 【1 6 】n y u r e s h e t i k l l i n ；l ，a t s k h t a d j a n ；k d f h s s e e v ，q “n 似“彳n i d no ，l 匏 g ，叫p s n dl 把f g e 打o s ，l w n i n f a dm a t h j 1 ( 1 9 9 0 ) ，1 9 3 _ 2 2 5 【17 】y a s s o i b e l m a n ，j r r e d u d m er 皇p r e s e n n t i o n sd ， ef 札扎d i o na z 9 e 6 r o o nt eq o n t t 肌g r o 眦ps u ( 礼) o n d s c u k r tg e f z s ，1 9 9 0 ，v b l 4 03 4 _ 3 8 ， s o v i e tm a t h d o l d f 1 8 jy a ，s s o i b e l i i l a n ，z h ea 幻e 6 r oo ，n 以i o 佗s 帆。欧m m dq “o 村u m g r o u po n d ，t sr e p r e s e 礼t n t o 扎，1 9 9 1 ，v b l 2 ，1 6 2 1 7 8 ，l e n i n g r a dm a t h j 【19 m 7 i h k e u c h j ，q t 正。礼t “m0 r t 危1 9 9 0 n n z 。礼ds 可7 n p z e 矗i cg r o u p ss n dt e i r e m 6 e d d 伽gi n 幻q 札凸n t mg l ，1 9 9 8 ，v b l 6 5 ，5 5 5 8 ，p r o c j a p a n a c a d s e r am a t h s c i 2 0 】m 工1 b k e u d l i ， 矿。t r i cb i n f g e 打n so n dq u n n t “ lg r o 让p s ，1 9 9 0 ，v 0 1 7 2 ， 2 3 2 2 5 1 i s r a e lj m a t h 2 1 l l v s k s m a n ；y a s s o i b e l m a n ，a f 9 e 6 r no ，f n 矗i d n s t 危eq u 口扎t m g r 优印s v ( 2 ) ，1 9 8 8 ，v 0 1 2 2 ，1 7 0 一1 8 1 ，