（基础数学专业论文）半线性双调和方程的分歧问题.pdf

摘要 本文主要研究以下两类齐次边值问题的整体分歧现象： i ( 一) 2 让= a o 扛) u + 6 ) + f ( a ，。，札) 在q 中 l “= 0 ，器= o 在a n 上 和 ， j ( ) 2 u = a ( 一u ) + 9 ( a ，u ，一扎) 在q 中 【u = 0 ，劣= 0 在a q 上， 其中q cr 凡是有界光滑区域，a r 是实数，a ，b ，f ，g 是它们各 自变元的已知非线性函数，一是沿a q 的单位外法向量。应用泛函 分析，拓扑度，s o b o l e v 空间理论以及r a b i n o w i t z 大范围分歧定 理，我们得到了如下有意义的结果，即上述两类问题的解集f ( a ，u ) 在解空间中构成的曲线在点( a t ，0 ) 发生分歧，其中a 。是相应于两 类问题的第一特征值。文章最后，我们给出了第二类问题在非线性 弹性力学中的一些应用。 关键词：l e r a y s c h a u d e r 度，r a b i n o w i t z 大范围分歧定理， 3 0 b o l e v 空间。 1 1 1 a b s t r a c t i nt h i st h e s i sw e s t u d yt h eg i o b a lb i f u r c a t i o np h e n o m e n a f o rt h ef o l l o w - i n gp r o b l e m s ： j ( 一) 2 “= a o ( 。) u + b ( z ) “+ f ( a ，z ，u ) i n q l n = 0 ，貉= 0 o na q a n d ， l ( 一) 2 扎= a ( 一u ) + 9 ( a ，一“) i nq i u = 0 ，券= 0 o n 勰， w h e r eqc 础i sab o u n d e da n ds m o o t hd o m a i n ，a ri sar e a ln u m b e r 、 a ，b ) f ，ga r er e s p e c t i v e l yn o n l i n e a rf u n c t i o n so ft h e i rv a r i a b l e s ，i st h eu n i t o u t w a r dn o r m a lo fa n b ya p p l y i n gt h e o r i e so ff u n c t i o n a la n a l y s i s t o p o l o g i c a ld e g r e e ，s o b o l e vs p a c e st o g e t h e rw i t hr a b i n o w i t z sg l o b a lb i f u r c a t i o n t h e o r e m ，w ef i n ds o m ei n t e r e s t i n gf a c t st h a tb o t ht h es o l u t i o n s ( a ，“) ) o f t h ea b o v ep r o b l e m sb i f u r c a t ef r o mt h ep o i n t ( a 1 ，o ) ，w h e r ea li sr e s p e c t i v e l y t h ef i r s te i g e n v a l u eo ft h ea b o v ep r o b l e m s f i a a l l y ，s o m ea p p l i c a t i o n so ft h e s e c o n dp r o b l e md e s c r i b e da b o v ei nn o n l i n e a re l a s t i cm e c h a n i c sa r ep r e s e n t e d k e y w o r d s ：l e r a y s c h a u d e rd e g r e e ，r a b i n o w i t z sg l o b a lb i f u r c a t i o n t h e o r e m ，s o b o l e vs p a c e s 1 v 致谢 借此论文完成之机，我要衷心感谢导师陈祖墀教授的悉心指 导。在我的研究生学习期间，陈老师一直给予我极大的帮助，鼓励 和关怀。在本文从选题到定稿的过程中，陈老师付出了大量的心 血，多次与作者讨论并提出修改意见。导师渊博的知识，严谨的治 学态度，达观向上的人生精神令我受益匪浅，终身难忘。 本文也要感谢非线性偏微分方程讨论班的帮助。在三年研究生 学习期间，我向讨论班上的同学学习了很多新知识，得到了很大帮 助。在此特别感谢已毕业的几位师兄，他们是钟金标，罗涛，刘兴 涛，和在读的几位同学，他( 她) 们是f a k h a r k a m r a n ，魏公明，邓 吴，陈志辉，黄祥嫡，朱陈伟，汪全珍，招燕燕，王先婷，罗珍。还 要感谢在科大生活的七年中所有关心爱护我的各位老师和同学，是 他们为我提供了一个良好的生活和学习的环境。 最后，我要感谢我的父母，感谢他们多年来对我细致入微的关 怀和教育，让我能够在科大安心完成七年的学业，他们为我的成长 付出了极大的心血。 第一章绪论 为了使读者能够比较轻松地阅读本文，我们首先来关注一些实际生活中 的现象。 日常生活中，我们经常会看到一些变化，这些变化有的缓慢，有的突然。 于是人们就用量变和质变来相应地刻画这些变化。举个例子，我们想象在一 块木板的中央放着一块重物，板的两端架在两个支点上。如果重物的质量a 比较小，那么板子会发生一定程度的形变，形变的大小依赖于a 的大小和木 板材质的属性( 例如刚性) 。这种状态在a 达到某一特定的数值前将维持稳 定，也就是说如果a 发生微小变化，那么板子的形变也会发生微小变化，如 果拿走重物，板子将恢复其原始形状。在此状态下发生的变化人们就称其为 量变。现在如果把a 的数值逐渐增大，那么可以想象，当a 刚好超过某个特 定的数值a o 时，木板将不再维持稳定状态而发生横向的撕裂。如果我们假 设木板的形状可以用某个方程的解来刻画，那么粗略地说，这个解在a a o 时存在但不唯一。结合本文主题，我们就称解 在a o 发生分歧。 为了让读者对本文中的分歧理论有一些比较全面和系统的了解和认识， 下面我们介绍一下分歧理论的起源及其发展历程。 关于分歧理论的起源，最早提出这种想法的是法国科学家h p o i n c a r d ， 在1 8 8 5 年的一篇论文中他提出了如下两个问题： ( 1 ) 设有均匀的流体物质在重力约束下绕固定轴以等角动量u 旋转，那 么当u 取不同的数值时，这个系统存在哪些可能的平衡状态； ( 2 ) 确定每种状态的稳定性或不稳定性。 已经知道：( a ) 如果u = 0 ，唯一可能的状态是球；( b ) 如果u 很小， 则存在一族旋转椭球帆( m a c l a u r i n 球) ，它们是稳定的；( c ) 在某个临界 值5 j 0 ，这个椭球族虽然继续存在但成为“不稳定的”，而一个新的平衡状态 族山( 有三个不等轴的椭球，也称为j a c o b i 椭球) 成为稳定的。p o i n c a r d 还发现，在更高的临界值5 d i 处，这些椭球( 对尬。有小的初始偏离) 又成为 不稳定的了。临近u z ，又出现非椭球的梨形平衡状态族兄( 对无又有小的 初始偏离) 。p o i n c a r d 希望由追溯兄随u 的变化继续这个论证，以证明 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文 第2 页 第一章绪论 月球是从地球“分裂”出来的，如下图所示 o - i m o 可陪的是c 在经历了很多论证之后) ，确定了r 是不稳定的，因而p o i n c a r d 对月球起源的论证被放弃了。但是p o i n c a r d 想法的数学内涵却有完全不同 的命运。p o i n c a r d 称椭球兀在u o 点从地分歧出来，梨形己在叭点 从山分歧出来。族 死) ， l ) ， 只 称作分歧，( 且，u o ) 和( l w ，) 称作歧点。稳定性是由形体的位能达到相对极小来确定的，p o i n c a r d 把从 ( 且乱。，u o ) 到( l ，叫) 稳定性发生变化称作稳定性改变。分歧概念精确的数 学表述将在第二章给出。 从数学方面考虑，分歧理论主要研究某些临界现象，粗略地说，它是研 究一类算子方程( x ， ) = 0 的零点集合在某个给定零点附近的结构。自从 分歧理论被提出后，众多学者对其进行了细致的整理和完善，形成了较为系 统全面的理论体系，并将其应用到了其他自然学科中，其中例子很多，我们 列举一些以示其应用之广泛性。 a ，天体力学中的约束三体问题中平衡位置附近的周期运动( e u l e r ， 1 7 7 2 ) ； b 非线性弹性力学中的屈曲现象( e u i e r ) ； cn a v i e r s t o k e s 方程的第二稳态流现象； d 紧复流形上复结构的分歧问题 在微分方程领域，分歧理论同样有着非常广泛的应用。例如常微分方程 中的s t u r m l i o u v i l l e 问题，偏微分方程中的椭圆方程问题，p l a p l a c e 问题，类p l a p l a c e 问题等等，关于这些应用，请读者参看 3 5 6 7 。说 到这里，我们不得不提一下研究这些微分方程问题的分歧现象所依赖的理论 基础，那就是1 9 7 1 年由p a u l 日r a b i n o w i t z 在1 1 中提出的关于如下形式 的算子方程 ，( 。，a ) 三z a a x + 9 ( 5 ，a ) = 0 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文第3 页 第一章绪论 的大范围分歧定理。此定理亦是本文的理论基石。关于这个定理的精确描 述，我们将在下一章给出。 本文将讨论以下两类问题的整体分歧现象： 在q 中 f 1 在0 q 上 和 ( - a ) 2 扎i 水舢) + g ( a , u , - a u ) 在q 中( 1 2 ) 【= 0 ，嚣= 0 在a q 上， 、 其中qc 黔是有界光滑区域，a 碾是实数，是沿a q 的单位外法 向量，a ，b ，g 是它们各自变元的已知非线性函数，我们将在第二章具体给 出它们满足的条件。我们将利用泛函分析，拓扑度，s o b o l e v 空间理论以及 r a b i n o w i t z 大范围分歧定理研究关于( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的整体分歧现象。 关于问题( 1 1 ) ，在文献【4 中，m s t a v r a k a k i s 讨论过类似问题， 不过其结果是在b ( x ) 兰0 的特殊情况下得到的，因此我们得到的结果具有 更加一般的性质。关于问题( 1 2 ) ，在文献【8 】中，h i l e 和y e h 讨论过其线 性化问题 j ( - a ) 2 “= a ( 一“)在q 中 【乱= 0 ，券= 0 在a q 上 的谱结构，不过未涉及此类问题的分歧问题。本文将得到关于此类问题的一 些有趣的分歧结果，谨以此为分歧理论添砖加瓦。 本文主要内容安排如下：第二章介绍分歧概念以及r a b i n o w i t z 大范围 分歧定理；第三章讨论( 1 1 ) 的整体分歧现象；第四章讨论( 12 ) 的整体分歧 现象；第五章给出一个非线性弹性力学中的实例；第六章总结全文，结束文 章。 + 茇矿 衅地 ，01 第二章基本概念及定理 为了使本文自成系统，我们在本章给出分歧的基本概念以及r a b i n o w i t z 大范围分歧定理。 定义2 1 考虑算子方程 f ( a ，x ) = 0 ，( a ，x ) rxx 其中x 是实b a n a c h 空间。点( a o ，。o ) r xx 称作算子方程，( a ，z ) = 0 的歧点，如果( 1 ) ( a o ，x 0 ) 位于通过( a o ，x o ) 的解曲线( a o ( e ) ，x 0 ( ) ) 上； ( b ) ( a o ，蜘) 在r x 的每一邻域都有j ( a ，x ) = 0 的与( 知( e ) ，x o ( ) ) 不同的 解。其中g r 为参数。 当( a o ，。o ) 是方程，( 入，。) = o 的歧点时，f ( a ，茹) = o 的解常常由通过 ( a o ，印) 的不同的连续曲线组成，这些曲线称作解的分枝。 大范围的连续分枝解指厂( a ，茁) = 0 的这样一条连续解曲线( a ( e ) ，z ( e ) ) ， 当o 0 时有忪( ) | | + 忙( ) i l - 0 3 。 下面我们给出著名的r a b i n o w i t z 大范围分歧定理，它是本文的理论基 础。需要指出的是，原始的大范围分歧定理是针对形如 ，( a ，茁) iz h a x r ( ，互) = 0 的算子方程而言的，而我们要用到的是文献 9 中t o l a n d 给出的此方程的 一个推广形式，即 f ( a ，z ) 三。a a x b x 一冗( a ，z ) = 0 ，( 2 1 】 其中a ，b ：x _ x 为全连续线性算子，r ：r x _ x 关于a ，x 连续，对 任意有界的a ，咒关于x 全连续，并且当忙| | 充分小时，r ( a ，z ) = o ( 1 l x l l ) 关于a a 一致成立，acr 为任意有界区间。 定理2 1 考虑如下( 2 1 ) 的线性化方程 x a a z b x = 0 4 ( 2 2 ) 2 0 0 1 年中国科学技术大学磙士学位论文第5 页 第= 章基本概念及定理 设a ，b r 不是( 2 2 ) 的特征值，即( a ，0 ) 和( 6 ，0 ) 不是( 2 ，1 ) 的歧点。进一 步假设对充分小的r 0 ， 奴( ，- a a b ，s ( o ，r ) ，o ) d k ( ，一b a b ，s ( o ，r ) ，o ) ， 其中氐为l e r a y s c h a u d e r 度，为单位算子，s ( o ，r ) 表示x 中以0 元素为圆心，r 为半径的球。令 g = ( a ，x ) t x f ，( a ，z ) = 0 ，z o ) 则g 中包含( 5 , 1 ，0 ) 的连续分支c 必满足下列性质之一； ( 1 ) c | 在r x 中无界； ( 2 ) c 包含奇数多个平凡点( 九，0 ) ( a - ，0 ) ，其中a l 为a 一( ，一日) 的 第一特征值， a 。为a _ 1 ( ，一b ) 的奇代数重数特征值。 证明证明见1 1 。 果 如果( 2 2 ) 的第一特征值a 的代数重数为l ，那么我们还有下面的结 定理2 2 设( 22 ) 的第一特征值a 。的代数重数为1 ，则c r 可以被分解 为两个连续子集c + ，c ，这里c + = 。x l 茁 o ) ，c 一= 一c + ，使得 对( a ，0 ) 的某个邻域，如果 ( a ，z ) c + ( c r 一) nn 并且( a ，z ) ( a 1 ，0 ) 那么( a ，工) = ( a ，0 _ y + z ) ，其中口 o ( o 0 。 ( 2 ) b ：融_ r 为光滑函数，并且对某个( 0 ，1 ) ，6 c 1 一( q ) ； 6 l “4 ( n ) n 工。( q ) ；对任意t n ，b ( x ) 0 ；c 2 圳i a ( n ) j 1 ，其中 c 为对应于嵌入f 暗( q ) l q 驴( q ) 的s o b o l e v 常数。 ( 3 ) ，：r 妒上培( n ) 斗r 为光滑函数；，( a ，x ，0 ) = 0 ，九( a ，x ，0 ) 0 对a a ，。q 一致成立；对任意u 0 ，f ( a ，z ，u ) 0 对a a ，x q 一 致成立；， l ”( q ) ，存在常数g 使得对任意“瑶( n ) 有l l l k o 。( n ) 茎 g ；存在常数k + 使得| ，( a ，z ，删k + 川对a a ，盘q 一致成立；当 l u l 充分小时，】f ( a ，x ，u ) l = o ( 1 1 ) 对a a ，z n 一致成立，其中ac r 为任意有界区间。 下一节我们将研究( 3 o1 ) 的线陛化问题及其第一特征值的性质。( 3 01 ) 的线性化过程通过求方程 右边项在u = 0 的导函数实现，由于验证比较直接，我们略之。 3 2 线性化问题及第一特征值 考虑如下( 3 0 。1 ) 的线性化问题 在q 中 眦1 1 在a q 上 首先我们定义两个双线性形式。对任意乱，v h 2 ( f 2 ) ，令 小，”) = 上巾) 伽如 脚) 5 上) 删出 n + o 茇矿 刨卸 ，-，、l 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文第9 页 第三章第一类问题的分岐结果32 线性化问题及第一特征值 由h s l d e r 不等式及( 3 18 ) 可知 口( ， ) j = 1 口( 。) u ud x | | 。f m 川d x 蚓i l 一酬l 。( q ) 蚓h n ) c 2 l 一( n ) 删瑶瑶( n ) 声( “，”) j = j 6 ( z ) 乱ud xj j n | b 1 川川d x js 2 l 。( n ) 慨n ) 俐驴( n ) c 2 | | 6 | | l 一( n ) 明( n ) 瑶( n ) 其中c 为对应于嵌入瑶( q ) l q 2 ( 蚴的s o b o l e v 常数。由于8 ，b l o 。( q ) ，因此q 和口在瑶( n ) 中有界。由r i e s z 表示定理我们可以按 如下方式定义两个有界线性算子a 和b 。对任意u ， 嘲( q ) ，定义 a ，b ：瑶( 哟_ 茸；( q ) 如下： a ( 珏，v ) = ( a u ， ) 卢( u ，。) = ( b u ， ) ， 从而( 32 1 ) 的弱解形式可以表示为下面等价的算子方程：对任意庐瑶( q ) ( ( ，一a a 日) u ，西) = 0 我们称a a + b 为( 3 , 21 ) 的解算予。下面的引理证明了a 和b 的紧性， 引理3 2 1 设。，b 满足3 1 中的条件( 1 ) ( 2 ) ，则a ，b 是自伴线性紧 算子。 证职1 由定义易见，a ，b 是自伴线性算予。下证紧性。我 f j 只证明a 的紧性，对b 的证明与4 完全类似，故略之。 2 设 “n ) 器1 为瑶) 中有界列，则对任意妒嘲) 及m ，扎 0 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 0 页 第三章第一类问题的分歧结果 3 2 线性化问题及第一特征值 由h s l d e r 不等式知 n ( u 。一u 。) 咖d x a i f 。一札。f ，i 咖ld x ( q ) i i t 。坼一钍。0 工2 f n ) i | 多8 三2 ( n ) ( 由( 3 1 8 ) 可知)c | lj l l l 。( n ) l i “m u n l i 。( n ) l l i l 瑶( n ) ， 其中c 为对应于嵌入瑶( q ) q q 三2 ( q ) 的s o b d e v 常数。从而 l i a u m a u n l l 瑶) s6 1 1 1 札m 一nj | l 。( n ) ， ( 3 2 2 ) 其中c 1 = c 1 a l l 一为不依赖于n 的常数。 由于瑶( q ) l l l 2 ( n ) 且 让。) 是1 为瑶) 中有界列，故 “。) 县。有 一子列，仍记为 u 。) 甚，它在l 2 ( n ) 中收敛从而 u 。) 器。为驴( q ) 中 的c a u c h y 列，再由( 3 2 2 ) 知 a “。) 墨1 为瑶( q ) 中的c a u c h y 列。又因为 瑶( q ) 为h i l b e r t 空间，所以 a u 。) 县。在瑶) 中收敛，即a ：瑶( q ) f 砾( n ) 为紧算子。证毕。 引理32 1 表明我们可以定义紧集( i a a b ) ( u ) 的l e r a y s c h a u d e r 度 d e g h o ( f 2 ) ( ，a a b ，s ，o ) ， ( 3 2 3 ) 其中uc 研 ( q ) 为包含0 元素的有界集合，s 为u 中以0 元素为圆心，r 为半径的球，且r 充分小使得8c cu 。由于0 s ，且对非( 3 2 1 ) 特征值 的a 而言，= 0 是方程 ( 1 a a b ) u = 0 的唯一解，因此对非( 3 2 1 ) 特征值的a 而言0 隹( i a a b ) ( o s ) 。从而 ( 3 2 3 ) 是定义合理的。下面我们证明本节的主要定理，它是使得大范围分歧 定理成立的一个关键因素。 定理3 2 1 d e g h g ( a ) ( i a + a b ，s ，0 ) = ( 一1 ) d e g n g ( a ) ( i a + a b ，s ，0 ) ，其中吖是( 3 2 ，1 ) 第一特征值a l 的代数重数，a 。和a + 不是( 3 2 1 ) 的特征值，a 2 是( 32 1 ) 的另一个大于a l 的特征值，它们满足a + a 1 a a ，。 o = 儿。 ( 2 ) 存在a 2 a 1 使得a 2 为( 3 2 i ) 的另一个特征值且a l 和 a 2 之间不存在( 3 2 1 ) 的特征值。 证明( 1 ) 设( a ，) r 瑶( n ) 为( 3 2 1 ) 的非平凡解，则由h s l d e r 不 等式知 硒2 厶俐2 出 = “( 2 u ) d z j n “fa u 2 d x + 上乩2 出 a l l n i l l o 。( n ) i l “i i i z ( n ) + j 1 6 l l l 。o ( n ) l l 乱l l i 。( n ) 冬c 2 ( n ) ( 刈。怯( n ) + l 一( n ) ) 因此 a 由53 1 中关于6 ( z ) 的假设条件 1 一c 2 恻k 叫n ) c 2 恻l l 叫n ) ( 2 ) 知上式右边大于0 ，因此如果令 1 c 2 l 叫n ) 2 c 2 恻l l 叫n ) 则a + 为所求。 ( 2 ) 首先，设u 瑶( q ) ，则从53 1 中关于b ( x ) 的假设条件( 2 ) 以及h s l d e r 不等式可知 f b 0 2d x 1 ，因此我们 设p 1 ，0 u 瑶) 使得 肛u = ( a 4 一a + ) ( ，一a + a b ) 一1 a u ， 则 “一( a + + ( a + 一a + ) 弘) a u b u = 0 由于肛 l ，因此a + + ( a + 一a + ) 芦( a + ，a + ) ，从而 a + + ( a + 一a + ) “c ( a ，b ) n ( a + ，a + ) 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 4 页 篁三兰篁三叁望矍竺垒竺竺墨塑兰垒竺些塑堡垒苎三兰丝竺 由于已知c ( a ，b ) n ( a + ，a 4 ) = a 1 ) ，因此 肛= ( a + 一a 。) ( a l a + ) 因为a + ，”，a 1 均固定，所以“是( a + 一a + ) ( ，一a 。4 一口) 一1 a 的唯一满足大 于1 的特征值，从而卢= 叩( “) 。 现在我们假设n 是使得下式成立的最小正整数 ，一( a 4 一a + ) ( ，一a , a b ) 1 a 】”u = 0 由于p = ( a + 一a + ) ( a 1 一a ，) ，因此 即 ( ，一a + a b ) ”( ，一a 1 a b ) ”= 0 。f 3 , 2 6 ) 如果n = l ，则显然 卢札= ( a + 一a + ) ( ，一a , a b ) 一1 a u 糕u = ( 卜a + ) ( ， 4 一b ) 。a “ ( a 1 一a ，) a u = ( ，一a 。a b ) 材， b u = a 1 a u 如果九2 ，令u t = 肛一( a + a + ) ( ，一a , a b ) 一1 a n t u ，i = 1 ，2 ， 显然u 1 0 。由于( ，一a + a b ) 与( ，一a 1 a b ) 可交换且a ，b 为线性 算子，从而由( 3 2 6 ) 可知 f 一a t a b ) u t = ( j a 1 a b ) z ”一1 ( ，一a 1 a b ) “一1 ( ，一a a b ) 一一1 ) = p “一1 ( j a , a b ) ( 一a , a b ) 一“( a 1 a b ) n 札 = 0 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 5 页 篁三兰篁三叁望壑竺坌兰竺墨 ! ! 兰竺兰些望兰圣堑三兰丝竺 再由a ，b 的自伴性知 ( ( j 一九a b ) u l ，们) = ( ( ，一a + a b ) “- ， 芦一( a + 一a + ) ( ，一a + a = ( ( j 一入+ a b ) u l ，【肛j 一( 入+ 一入+ ) ( f 一) 、+ a = ( 珏- ， 越( j a 。a 目) 一( a + 一a + ) a 铭2 ) = ( 1 ，p u 2 ( + p + a + 一a + ) a u 2 一b 札2 ) = ( u l ，# u 2 一 a 1 a u 2 一p b u 2 ) = p ( u 1 ，u 2 一k t a u 2 一b u 2 ) = 卢( ( ，a 1 a b ) l ，“2 ) = 0 b 1 b 1 1 卅一1 “) 1 州u 2 ) 丑u ( ( ，一a + a b ) u l ，u 1 ) = 0 ( 3 2 7 ) 由于a + 不是a 。( ，一b ) 的特征值，所以使( 3 2 7 ) 成立的“l 必须等于0 。 这是因为如果u 1 0 ，那么由内积定义可知 上l u - 1 2 d x = a + 上n ( z ) u 出+ 上6 ( 。) “ 出， 所以a + 是( 3 2 1 ) 的特征值，这显然与a + 不是( 3 2 1 ) 的特征值矛盾，因此 u 1 = o 。 总结上面的结果我们知道：如果 p ，一( a * - a + ) ( i - a + a - b ) _ 1 刎”乱= 0 ， 那么礼= 1 且( j a l a b ) u = 0 。进一步，如果( j a i a b ) = 0 ， 那么显然阻，一( a + 一a + ) ( ，一a + a b ) _ 1 a i u = 0 ，从而对任意正整数礼， j 一( a 一a + ) ( ，一a a 日) 一1 a 】“= 0 。因此有 p ，一( a + 一a 。) ( i a + a 目) 一1 a = t o 卵 ，一( a 4 一a + ) ( ，一a t a b ) 一1 a 耳 耳2 1 = q p j 一( a + 一a ；) ( 一a + a b ) 一1 a = 叩口一a 1 a b 】， 其中” f ) 表示算子，的零空间。 2 0 0 1 年 中国科学技术大学硕士学位论文第1 6 页 篓三兰叁三耋望矍竺窒些篁兰 ! ! ：! 竺兰些望兰垒篓三竺竺竺 另一方面，如果对某一正整数n 及0 乱瞒( q ) 有汀一a 1 4 _ 日) n u = 0 则( ，一a i a b ) 2 ”甜= o 。由a ，b 的自伴性知( ，一a 1 a b ) 为自伴算子， 因此 ( ( ，一a i a b ) 2 ”“，( ，一a 1 a b ) 2 n - 1 “) = ( ( ，a 1 a 一口) 2 4 u ，札) ：0 从而( ，一a 1 a b ) 2 1 = 0 。重复n 次以后我们发现( ，一a 1 a b ) u ：o 。进 一步，如果( ，a 1 a b ) ”一0 ，则对任意正整数礼，显然有( ，一a l a b ) 一“： 0 。因此 n i a 1 a b = 叩i ，一a l a b 结合前面的结果，我们有 卢= 叩【川= d i m n # i 一( a 8 一a + ) ( ，a , a b ) 一1 a 1 = d i m 叩 i a 1 a 矧 2 d i m n i a 1 a b = 1 从而 d e g h g ( a ) ( i 一( a + 一a + ) ( ，一a a 日) 一1 a ，s ，0 ) = 卜一1 ) 7 证毕。 在本节最后，我们来关注一下( 3 2 ，1 ) 第一特征值a 。的代数重数。 引理3 2 3 设“焉) 为( 3 。2 ，1 ) 对应于a l 0 的正特征函数， u 弼( q ) 也是( 3 ，2 1 ) 对应于某一特征值a 0 的正特征函数，则a ，：a ， 且 = c ，其中c 为常数。 证明在( 3 2 1 ) 的方程中将a 替换为a l ，两端乘以“然后在q 上积 分得 ， 上忪叫2 如2 h 正。( 。) 铲如+ 互6 ( 。) 舻出 ( 3 2 _ 8 ) 在( 3 2 1 ) 的方程中将a 替换为a ，两端乘以札2 ”然后在q 上积分得 垆攀掌一掣j 剖2 如。剐 以“甸铲出+ 上6 ( z ) 铲如- 一叫 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 7 页 第三章第一类问题的分歧结果5 3 3 整体分歧结果 ( 32 8 ) 减去( 3 2 9 ) 可得 刖缸 ) 、7 ) 一槲一掣f v 让一耕 如 。 n ( z ) “2 d x j n 由于a 1 为( 3 2 1 ) 的最小正特征值，因此a s ，又因为a ( x ) 0 所以 上a u - - 纠22 ( a 。v ) l v “驯2 卜 0 且在触上口= 0 ，从而在q 中口 0 。这是因为如 果在q 中一a v 茎0 ，则由由下调和函数的最大值原理可知 m a x 2 m a x 口= 0 再 8 n 这显然与 在q 中大于0 矛盾。由此可知在q 中 一2 a ” o v 从而 刖一划2 一掣l v 一石u v 峒如。 结合( 32 1 1 ) 可知 例一剿2 掣j v 乱一剐2 出= 。 因此 v u 一兰v 封= 0 且t 丢一兰材= 0 ，口e 。q ” 从而w = 优。再由( 3 2 1 0 ) 可知a 7 = a 1 。这说明a 。的代数重数为1 。证 毕。 3 3 整体分歧结果 本节我们首先讨论( 3 01 ) 中非线性部分的性质，然后利用r a b i n o w i t z 大范围分歧定理得到所需的结果。 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 8 页 叁三! 篁三叁望矍竺垒兰竺兰 ! ! ：! 兰竺垒竺竺兰 首先设( a ，u ) r 硪( q ) ，定义算子p ：豫瑶( q ) _ 瑶( q ) 如下： ( p ( a ，“) ，) = a 上a ( z ) u 如+ z6 ( 。) “西如+ 上，( a ，z ，u ) 咖出，v 瑶( q ) 【3 3 ，l 1 其中( ，) 表示瑶( q ) 中的内积，p 称为( 3 0 1 ) 的解算子。 引理3 3 1 算子p 是定义合理的。 证明固定 t t 瑶( q ) ，定义线性泛函 f ( ) = a 上( z ) “西出+ z6 ( z ) u 毋出+ z ，( a ，z ，u ) 咖出，v 西瑶( n ) 则由53 1 中的条件( 1 ) 一( 3 ) 及h s l d e r 不等式可知 i f ( ) i s a z h i u 卜1 咖l 如+ 上 b u 妒l 如+ 上1 ，h 庐i 如 sa l l a l l l 。( n ) l i “i i l 。( n i i i 曲i l ，( n ) + | | 6 | | l 。( n ) | | u | | l 。( n ) l i l k z ( n ) + l i f i l l 。( n ) | | 曲| | l z ( n ) s , x l l a l l l 。( n ) l i i i l 。( n ) l l 训j l 。( n ) + l 6 | | l 。( n ) l l uj | l 。( n ) l i 1 1 l 。( n ) + k + i l u l l 。( n ) l l 毋j | l 。( n c 2 叫嘛( n ) ( 刈口i i l 。+ l l b i i l 一【n ) 4 - k + ) 口o 因此f 是有界线性泛函。从而由r i e s z 表示定理可知存在元素p ( a ，u ) 瑶( n ) 使得( 3 3 1 ) 成立，从而p 是定义合理的。证毕。 下面我们定义非线性算子r ：r 瑶( q ) _ 瑶( q ) 如下： r ( a ，) = p ( a ，“) 一a a 札一b u ， 从而( 3 01 ) 的弱解形式等价于下面的算子方程 乱= a a u + b u + r ，“) 引理3 3 2r 关于a ，札连续，对任意有界的a ，r 关于“是紧的。 证明( 1 ) 设uc 础( q ) 为有界集合，则对任意札， u ，审瑶( q ) 以 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕4 - 学位论文 第1 9 页 篁三兰篁三耋望塑竺坌些竺墨 ! ! 兰苎竺窒兰! 丝 及a ，肛r 我们有 l ( 兄( a ，u ) 一r ( p ，w ) ，) | = l ( 冗( a ，“) 一r ( a ， ) ，) + ( n ( a ，”) 一只( p ，w ) ，咖) l = l 【，( ) 、，u ) 一，( ) 、，u ) 咖d x + 【，( a ，u ) 一，( 弘，目) 咖d x l j n js ! j ，( a ，。，n ) 一，( a ，z ，”) l - l jd 2 ：+ j f ( a ，z ，”) 一，( 弘，。，w ) - d z j n j j2 - 0 ，都存在6 l 0 ，使得当sd 1 时 ( 3 3 4 ) 因为1 片0 ( n ) 充分小蕴含1 u 1 充分小a _ e z q ，从而对上述的 0 ，必 存在d 2 0 ，使得当i 础( n ) sd 2 时，f 札i 以a ez q ，此时( 3 34 ) 对几乎处处的。q 成立。因此对( 3 3 4 ) 两边平方然后在q 上积分有 上l m ，刚斤出f 上舭。， 即 l i f i l l z ( n ) ser l u l t l 。( n ) 此时，结合( 3 , 3 3 ) 我们有 陋u ) ( n ) g l 。( n ) sc 2 f h 5 ( n ) ， 综上所述，对任意e 0 ，存在如 0 使得当她l i h 5 ( n ) 墨6 2 时，i i r ( ，镪) i i 片0 ( n ) c 2 | j 瑶( n ) ，此即当胁| | 瑶( n ) 充分小时，r ( a ，u ) = o ( i r u l j h g ( n ) ) 。证毕。 至此，我们的准备工作已经完成，下面给出本章的主