（基础数学专业论文）闭集格及闭集格对的范畴性质.pdf

闭集格及闭集格对的范畴性质 李海洋 摘要闭集格( 或分子生成格) 以完全分配格为特例但又不同于完全分配格， 其范围更广且具有良好的性质随着f u z z y 拓扑学研究的深入展开，闭集格在格与 拓扑的研究中扮演着越来越重要的角色本文主要研究闭集格范畴c l 和闭集格对 ( 即拓扑分子格和拟子空问等概念的推广) 范畴p a i r c l 的性质首先讨论了闭集格 的极小集刻划然后通过并半格的闭集格化这种方法，较为系统地研究了范畴c l 及范畴p a i r c l 的性质，给出了范畴c l 和范畴p a i r c l 的单态射、满态射、极端 单态射、极端满态射、截节、收缩、子对象、商对象、极端子对象、极端商对象等 特殊态射和特殊对象的具体刻划。并且研究了它们的等化子和余等化子、乘积和余 积、逆极限和定向极限的具体构造本论文的要点及主要内容如下： 一、闭集格的极小集刻划仿照完全分配格的极小集刻划的作法。在闭集格中 定义了乒- 极小集，得到了与完全分配格类似的一些结论t( 1 ) 完备格l 成为闭 集格的充分必要条件是工的每个元都有再极小集；( 2 ) 闭集格中的j r _ 极小集 都是下集；( 3 ) 互极小映射是保只并映射 二、闭集格范畴c l 的性质通过并半格的闭集格化这种方法，较为系统的讨 论了范畴c l 的性质，给出了单态射、满态射、极端单态射、极端满态射、截节、 收缩、子对象、商对象、极端子对象、极端商对象等特殊态射和对象的具体刻划 此外，还给出了范畴c l 中的等化子和余等化子、乘积和余积、逆极限和定向极限 的具体构造 三、闭集格对范畴p a i r c l 的性质讨论了范畴p a i r c l 的连续映射的性质， 给出了范畴p a i r c l 中的连续映射的等价刻划，并在以上获得的有关范畴c l 的 性质的基础上给出了范畴p a i r c l 单态射、满态射、极端单态射、极端满态射、截 节、收缩、子对象、商对象、极端子对象、极端商对象等特殊态射和对象的具体刻 划以及它p a i r c l 的乘积和余积的具体构造，证明了范畴p a i r c l 是c l 上的拓 扑范畴为进一步研究闭集格对的各种拓扑性质奠定了基础 关键词闭集格；闭集格对；闭集格化；单态射；极端单态射；满态射；极端 满态射；子对象；商对象；极端子对象；极端商对象；等化子；余等化子；乘积； 余积；逆极限；定向极限；拓扑范畴 t h ep r o p e r t i e so fc a t e g o r i e sc la n dp a i r c l l ih a i y a n g a b s t r a c t ：c l o s e d - s e tl a t t i c e ( o rb ec a l l e dm o l e c u l e l yg e n e r a t e dl a t t i c e ) d i f f e r s f r o mt h ec o m p l e t e l yd i s t r i b u t i v el a t t i c e ，w h i c hi sap a r t i c u l a re x a m p l eo fc l o s e d - s e t l a t t i c e ，a n di t sc o n c e p t i o ni s m o r ee x t e n s i v ea n di ta l s oh a sg o o dn a t u r e w i t h t h ed e e pd e v e l o p i n go ff u z z yt o p o l o g y ，c l o s e d s e tl a t t i c ep l a y sam o r ei m p o r t a n t r o l ei nt h es t u d yo fl a t t i c et h e o r ya n dt o p o l o g y i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d y t h ec a t e g o r i c a lp r o p e r t i e so fc a t e g o r i e sc la n dp a i r c l ( t h a ti sag e n e r a l i z a t i o n o ft h en o t i o n so ft o p o l o g i c a lm o l e c u l a rl a t t i c ea n dq u e s is u b s p a c e ) w ef i r s t l yd i s c u s sm i n i m a ls e t sc h a r a c t e r i z a t i o n so fc l o s e d - s e tl a t t i c e ，t h e ns y s t e m a t i c a l l ys t u d y t h ec a t e g o r i c a lp r o p e r t i e so fc a t e g o r i e sc la n dp a l r c lb yt h em e a n so ft h e j o i n s e m i l a t t i c e sc l o s e d s e t - l a t t i c e f i e s ，a n dt h ec o n s t r u c t i o n so f m o n o m o r p h i s m ，e p i m o r - p h i s m ，e x t r e m a lm o n o m o r p h i s m ，e x t r e m a le p i m o r p h i s m ，s e c t i o n ，r e t r a c t i o n ，s u b o b - j e c t ，q u o t i e n to b j e c t ，p r o d u c t ，c o - p r o d u c t ，e q u a l i z e r ，c o e q u a l i z e r ，i n v e r s el i m i t sa n d d i r e c tl i m i t si nt h ec a t e g o r i e sc la n dp a i r c la r eg i y e n t h em a i nc o n t e n to ft h i s p a p e r i sa sf o l l o w s ： 1 - m i n i m a ls e t sc h a r a c t e r i z a t i o n so fc l o s e d - s e tl a t t i c e f o l l o w i n gt h em e a n s o fm i n i m a ls e t sc h a r a c t e r i z a t i o n so ft h ec o m p l e t e l yd i s t r i b u t i v el a t t i c e ，w ed e f i n e ， m i n i m a ls e t si nt h ec l o s e d - s e tl a t t i c ea n dd r a ws o m ec o n c l u s i o n sw h i c ha r es i m i l a r t ot h ec o m p l e t e l yd i s t r i b u t i v el a t t i c e s ：( 1 ) c o m p l e t el a t t i c elb e c o m e sc l o s e d - s e t l a t t i c ei fa n d o n l yi fe v e r ye l m e n to flh a s 芦m i n i m a ls e t s ；( 2 ) ，m i n i m a ls e t so f c l o s e d s e tl a t t i c ea y ea l ll o w e rs e t ( 3 ) ，m i n i m a l - m a p p i n g p r e s e r v e s ，j o i n 2 t h ep r o p e r t i e so fc a t e g o r yc l w e s y s t e m a t i c a l l ys t u d yt h ec a t e g o r i c a l p r o p e r t i e so f c a t e g o r yc lb yt h e m e a n s o f t h e j o i n - s e m i l a t t i c e sd o s e d - s e t l a t t i c e f i e s ， a n dt h ec o n s t r u c t i o n so fm o n o m o r p h i s m ，e p i m o r p h i s m ，e x t r e m a lm o n o m o r p h i s m ， e x t r e m a le p i m o r p h i s m ，s e c t i o n ，r e t r a c t i o n ，s u b o b j e c t ，q u o t i e n to b j e c t ，p r o d u c t ，c o - p r o d u c t ，e q u a l i z e r ，c o e q u a l i z e r ，i n v e r s el i m i t sa n dd i r e c tl i m i t si nt h ec a t e g o r yc l a r eg i v e n 3 t h ep r o p e r t i e so fc a t e g o r yp a i r c l w ed i s c u s st h ec o n t i n u o u sm a p p i n g s p r o p e r t i e so fc a t e g o r yp a i r c l a n dt h ee q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o n so fc o n t i n u o u s 2 m a p p i n go fc a t e g o r yp a i r c la r eg i v e n w eg i v et h ec o n s t r u c t i o n so fm o n o i n o r - p h i s m ，e p i m o r p h i s m ，e x t r e m a lm o n o m o r p h i s m ，e x t r e m a le p i m o r p h i s m ，s e c t i o n ，r e - t r a c t i o n ，s u b o b j e c t ，q u o t i e n to b j e c t ，p r o d u c ta n dc o - p r o d u c to nt h eb a s i so fp r o p - e r t i e so fc a t e 9 0 r yc l ，a n dp r o v et h a tc a t e g o r yp a i r c li sat o p o l o g i c a lo v e rc l ， w h i mw i l ll a yt h ef o u n d a t i o nf o rf u r t h e rs t u d y i n go nt h et o p o l o g i c a lp r o p e r t i e so f p a i r so fc l o s e d - s e tl a t t i c e s k e y w o r d s ：c l o s e d - s e tl a t t i c e ；p a i ro f c l o s e d - - s e tl a t t i c e s ；c l o s e d - s e t - - l a t t i c e f i e s ； m o n o m o r p h i s m ；e x t r e m a lm o n o m o r p h i s m ；e p i m o r p h i s m ；e x t r e m a le p i m o r p h i s m ； s u b o b j e c t ；q u o t i e n to b j e c t ；e x t r e m a ls u b o b j e c t ；e x t r e m a lq u o t i e n to b j e c t ；p r o d u c t ；c o p r o d u c t ；e q u a l i z e r ；c o e q u a l i z e r ；i n v e r s el i m i t s ；d i r e c tl i m i t s ；t o p o l o g i c a l c a t e g o r y 3 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外。论文中不包含其他个人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学 位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中作了明确说明并表示谢意。 作者签名；圣递! 叠日期作者签名；伍递! 盘日期 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期问论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：铀 日期：! 竖! ? 前言 无论从序结构还是从拓扑学角度看，完全分配格都是一类极为重要和有用的 格到目前为止，完全分配格理论已比较成熟本文研究闭集格( 即它的余素元的全 体是它的并生成集的完备格) ，它也是一类重要而又有用的格这是因为每个闭集格 必与某个拓扑空间的闭集之格同构，因此闭集格引起了许多学者的兴趣【1 t2 一不 仅如此，闭集格之类以完全分配格的全体为真子类( 即每个完全分配格是闭集格。 但反之不真) ，因此在k 拓扑学( 或多值拓扑学【4 】) 研究中可将l 取成闭集格以 便考虑更为一般的情形【6 ，6 1 另外，拓扑分子格 7 l 和拟子空间【8 i 的概念也可以借 此推广为闭集格对的概念本论文主要研究闭集格的范畴方面的性质，即研究闭集 格范畴c l 和闭集格对范畴p a i r c l 中的一些特殊对象和特殊态射的构造，以及 范畴c l 中的等化子和余等化子，乘积和余积，逆极限和定向极限和闭集格对范畴 p a i r c l 的乘积和余积具体构造 本论文的结构和基本内容安排如下； 第一章预备知识。主要介绍格论，闭集格和范畴论等方面的一些基本概念 和结论 第二章研究闭集格的极小集刻划问题本章以完全分配格中的作法为蓝本， 在闭集格中定义了，极小集，得到了与完全分配格类似的一些结论例如，( 1 ) 完备格l 成为闭集格的个充分必要条件是的每一个元都有丁极小集；( 2 ) 闭集 格中的，极小集都是下集；( 3 ) ，极小映射是保芦并映射 第三章研究闭集格范畴c l 的性质本章通过并半格的闭集格化这种方法， 较为系统的讨论了范畴c l 的性质，给出了单态射，满态射、极端单态射、极端满 态射、截节、收缩等特殊态射的具体刻划极限理论是范畴论的重要组成部分，在 一些常见的具体范畴中已被深入地研究，例如拓扑空间范畴，a b e l 群范畴，交换环 范畴等，文【9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 】分别给出了分子格范畴中的乘积、极限和l o c a l e 与拓 扑分子格范畴中的逆极限定向极限是范畴论的极限理论中的特例，在一些具体范 畴中已经被研究( 如文【1 4 ，1 5 1 等) 本章讨论了范畴c l 中的等化子和余等化子， 乘积和余积，逆极限和定向极限的具体构造 第四章研究闭集格对范畴p a i r c l 的性质闭集格对是拓扑分子格和拟子 空间等概念的推广关于范畴p a l r c l 文【1 6 】做过一些研究并得到了一些有用的 结果本章首先讨论了范畴p a i r c l 的连续映射的性质。给出了范畴p a i r c l 中的 连续映射的等价刻划其次在范畴c l 的性质的基础上研究闭集格对范畴p a i r c l 的单态射、满态射、极端单态射、极端满态射、截节、收缩等特殊态射的具体刻划 以及闭集格对范畴p a i r c l 的乘积和余积为进一步研究各种闭集格对的各种拓扑 性质奠定了基础 2 第一章预备知识 本章简要介绍本文所需要的有关知识，包括格论，范畴论等方面的些基本概 念和结论 1 1 格与闭集格的基本概念和结论 本节给出了本文所需要的有关格论和闭集格的基本知识和基本结论所提及 的概念和命题参见文 1 ，1 6 ，1 7 ，i 8 定义1 1 1 设l 是集，是l 上的二元关系。若满足下列三个条件： ( 1 ) 自反性t 任取o l ，a a ( 2 ) 反对称性t 任取口，b l ，若口b ，b 口，则o = b ( 3 ) 传递性：任取o ，b ，c l ，若a b ，b c ，则口c 则称为l 上的偏序，并称( l ，) 为偏序集 定义1 1 2 设l 是偏序集，如果任取a ，b l ，a vb 与o ab 存在，则称工是 一个格；若l 关于任意并和任意交封闭，则称l 是一个完备格 定义1 1 3 设l 是完备格，称l 满足 ( 1 ) 第一无限分配律，若对任意z l ，s c l ，有茹a ( v 。s 8 ) = v 。s 0a 8 ) ( 2 ) 第二无限分配律，若对任意z l ，s c l ，有z v ( 。e s s ) = ，e s 0 v s ) 定义1 1 4 设l 是格，a l ( 1 ) a 叫素元，若对工的任意元$ 与y ，当za ysa 时有茹8 或y a ( 2 ) a 叫交既约元。若对l 的任意元霉与y 。当。a y = 口时有z = 。或y = 口 ( 3 ) 口叫余索元。若对工的任意元z 与y ，当a 。v y 时有a z 或b y ( 4 ) a 叫并既约元，若对三的任意元茹与y 。当茹v y = a 时有z = a 或y = 口 命题1 _ 1 5 设三是分配格，则 ( 1 ) o 是索元，当且仅当口是交既约元 ( 2 ) 是余索元，当且仅当a 是并既约元 定义1 1 6 设l 是完备格，c o p r ( l ) 是工的非0 余素元之集若对每个石l ， 存在玩cc o p r ( l ) 使得z = v 风，贝8 称l 是闭集格设l 是闭集格，6cl 对 在l 中取的任意交和有限并运算封闭，则称( 厶d ) 是闭集格对 定义1 1 7 设l 是完备格，若一4c 2 满足t 3 ( 1 ) l 的任意有限子集属于4 ( 2 ) 若五= ij j d a ( v i d ，则 j 霉i ，兀诞，五) 4 ( 3 ) 若x i 4 唧j ) ， s 印五li ，) 4 ，则u 五j t 易见：f l = n aia c 2 且a 满足以匕三条) 也满足以上三条若 i ，( v j 曩) = v ，兀。 ( ，正f u ) 成立( 其中 x d 是兄的任意子集，各 五) 如( i i ) 所记) ， 则称l 满足厂分配律 定义1 1 8 设l 是分配的完备格定义口司b 当且仅当b = v g ( 其中c ，) 时存在c 口使得o c 对每个霉l ，记壮。= 协ll 可qz ) 引理1 1 9 设l 是分配的完备格，则以下各条等价： ( 1 ) 1l 是闭集格； ( 2 ) l 与某拓扑空间e 的闭集之格f ( e ) 完备格同构； ( 3 ) l 与某个由集合组成的格交同构； ( 4 ) 工是，分配格； ( 5 ) z = v 坫2 ( v z 功，且当d q b 时存在m o o g r ( l ) 使得as m 墨b 引理1 1 1 0 设l 是闭集格，对任意o ，b l ，口司b 当且仅当存在m c o p r ( l ) 使得o m b 命题1 1 1 1 闭集格l 上二元关系司具有以下性质( v 0 ，b ，c ，d l ) ： ( 1 ) 若司b ，则n b ( 2 ) 若口sbqc d ，则口qd ，即q 具有传递性 ( 3 ) 若0 ，则0 q o ( 4 ) 若冬b ，且口c o p r ( l ) 或b c o p r ( l ) ，则口qb ，从而 霉c o 矿( l ) 1 凸) c 如li 筇司o ) ，进而司是逼近的 ( 5 ) 若o qb v c ，当且仅当1 7 , qb 或a qc ( 6 ) m 司m 当且仅当m c o g r ( 功 ( 7 ) q 是有插入关系 ( 8 ) 若m 兄，且a u p m c o p r ( l ) ，则m 有最大元，即s u p m m 证明( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 是显然成立的；( 5 ) 若n 司b v e ，则存在zeg 印”( 三) ，使 得口z b v c ，从而zsb 或g c ，进而。司b 或。司c ；反过来，若。司6 或口q c ， 由( 2 ) 知口q b v c ；( 6 ) ，( 7 ) 也是显然的；( 8 ) 设m ，气，且s u p m c o 掣r ( l ) ，令 m = s u p m ，则m g 印r ( 工) ，由( 4 ) 知m 司8 印m ，再由引理1 1 1 0 知存在n m ， 4 使得7 1 1 , 57 r l , ，易见m = n m 。即s u p m m 定义1 1 1 2 设l 是完备格，l ，b c l 如果口s u p b ，则称b 为。的覆 盖；如果a = s u p b ，则称曰为a 的恰当覆盖又，设b 与e 是三的任二子集， 如果对任意霉b 有y c 使得z sy ，贝i 称b 为g 的加细 定义1 1 1 3 设l 是完备格，口l ，bcl 如果 ( 1 ) 丑为应的恰当覆盖； ( 2 ) 日加细口的每个覆盖， 那么，称b 是a 的极小集 1 2 范畴论的基本概念和结论 本节给出本文所的范畴论方面的基本知识和基本结论所提及的概念和命题 参见文 1 9 ，2o 定义1 2 1 一个范畴是一个五元组c = ( p ，m ，d o r a ，c o d ，o ) 其中 ( 1 ) o 是一个类，其成员称为c 一对象 ( 2 ) m 是一个态射类，其成员称为c 一态射 ( 3 ) d o r n 和d 是由m 到d 的函数，其中d o m ( f ) 称为，的域，c o d ( f ) 称 为，的上域 ( 4 ) 。为一由d = 1 ( 1 ，g ) f ，雪州，d o m ( f ) = c o d ( g ) ) 到朋的函数。称为c 的结合律 使得以下条件满足 ( 1 ) 匹配条件t 若f o g 有定义，则d o r a ( f o g ) = d o m ( g ) 且c o d ( o g ) = c o d ( f ) ( 2 ) 结合条件；若，o 口和ho ，有定义，则h 。( ，og ) = ( h o ，) 。g ( 3 ) 单位元存在条件t 对任意的c 一对象a ，存在c 一态射e 使得d o m ( e 1 ： a = c o d ( e ) ，且 ( a ) 只要，oe 有定义，则，0e = f ( b ) 只要e o g 有定义，则e o g = g ( 4 ) 态射类小性条件；即对任意c - 对象( a ，b ) ，h o r n c ( a ，b ) = ，l ， 州，d o m ( f ) = a ，c o d ( ) = 研是一个集 设c 是给定的范畴。用o b ( c ) 记对象类，用m o r ( c ) 记态射类 5 定义1 2 2 设c = ( d ，m ，d o r a ，c o d ，o ) 是个范畴，则c 印= ( o ，m ，d o r a ，c o d ， ) 称为c 的对偶范畴，其中任取，g m o r ( c ) ，有，g = 9 0 ， 定义1 2 3c 一态射，：a 日称为c 中的单态射，如果对于任意c 一态 射h ，七使得，oh = ，ok ，均有h = k 对偶地，如果对于任意c 态射h ，k 使得 h o ，= k o ，均有h = k ，则称，是c 中的满态射 定义1 2 4c - 态射，：a b 称为c 中的截节或个c 截节。如果，有 左逆，即存在c - 态射9 使得9o ，= “对偶地，如果，有右逆，即存在c 一态 射g 使得，0 9 = b ，称，为c 中的收缩若，既是截节又是收缩，则称，是c 中 的个同构 定义1 2 5 一个c 态射b 称为极端满态射，若满足下列两个条件： ( 1 ) e 是满态射 ( 2 ) ( 极性条件) ：若e = m 。厶当；f 是单态射时，则m 是同构 x , t 侣t 地，个c 态射e 称为极端单态射，若满足下列两个条件： ( 1 ) e 是单态射 ( 2 ) ( 极性条件) ：若e = ，o m ，当，是满态射时，则m 是同构 定义1 2 6 设工g ：a b 是c 态射= 元组( e ，e ) 称为，g 在中的个等 化子，e o h ( c ) ，e ：e a 如果 ( 1 ) e ：e _ a 是c 态射 ( 2 ) ，0e = g o e ( 3 ) 对任意c 态射e 7 ：a 使得，oe = g 0 e 。则存在唯一的c 态射 百：占使得e t = e o 百即下图可换， e l 虿f 弋 e + 一呈a 对偶地，设， g ：a 口是c 态射二元组( e ，称为 9 在中的个余等 化子，g o b ( c ) ，e ：b g 如果 ( 1 ) e ：b g 是c 态射 ( 2 ) e o ，= e0 9 ( 3 ) 对任意c 态射g ：b 使得e o ，= e ，o 夕。刚存在唯一的c 态射 虿：c a 使得e = 百o e 6 定义1 2 7 设c 是范畴，：a 口是态射，若，是满射。则称b 为a 的 商对象；若，是单射，则称a 为b 的子对象 定义1 2 8 一族c 对象( a ) 蚶的c 乘积是个满足下列条件的二元组( n i ，a ， ( p i ) 迮办 ( 1 ) n 叫a 为一c 一对象 ( 2 ) 对任意j ，力：订拒r a i 白为一e 态射( 称为由i i i e f a 到4 的投 射) ( 3 ) 对任意二元组( g ，( ) 娜) ，其中c o b ( c ) ，对任意j i ，疗：c 山 是c 态射，存在唯一的c 态射h ：c n a ，使得对任意j i ，下图可换： 1 ( a i ) i ， l 丌j 山 对偶地可定义c 对象的余乘积 定义1 2 9 设，和c 是范畴，d ：，_ c 是函子，c 中= 元组( 厶( 屯) i o b ( 旬 如果满足 ( 1 ) 任取i o b c x ) ，如：l - - - - + d ( i ) 为c 中的态射 ( 2 ) 任取m m a r ( ) ：i j ，下图可换t 则称c 中二元组( l ，( k ) 讵o h ( 0 ) 是关于函子d 的自然源泉 定义1 2 1 0 设d ：，c 是函子。则关于d 的自然源泉( l ，( 址o h ( 旬称 为d 的一个极限，如果对于的任一自然源泉( 厶( ) 拒0 6 ( ，) ) ，存在唯一的c 态射 h ：三_ 工使得对于任一j o b f f ) ，下图可换： 7 蚴k 砌 氏 l d 0 ) 对偶地可定义余极限 定义1 2 1 1 设j 和c 是范畴，如果对任何函子d ：j c 有极限，则称范 畴c 是，一完备的如果对任何小范畴，c 是j 一完备的，则称范畴c 是完备的 定义1 2 1 2 ( 1 ) 一个下定向类是个半序类，若其中任意二元有下界 ( 2 ) 任一由下定向类到范畴c 的函子称为个c 中逆向系 ( 3 ) 若，是下定向的。d ：i c 为c 中逆向系，( 厶“) 州为d 的极限， 则称( l ，l i ) i ，为d 的逆极限 ( 4 ) c 称为有逆极限，如果对于任一下定向集，任一函子d ：i c 均有极 限 相应地，定义上定向类，c 中定向系，定向极限，有定向极限 8 第二章闭集格的极小集刻划 在完全分配格理论中，完备格l 成为完全分配格的个充分必要条件是l 的 每个元都有极小集另外，任何元都有极小集都是下集。且极小映射是保并映射 本章仿照完全分配格中的作法，在闭集格中定义了，极小集，得到了与完全分配 格中类似的一些结论z( 1 ) 完备格三成为闭集格的个充分必要条件是的每一个元 都有，极小集；( 2 ) 闭集格中的厂极小集都是下集；( 3 ) ，极小映射是保芦并映 射所提及的概念和命题参见文【2 1 ，2 2 】 定义2 1 设二是完备格，口l ，b 死，若8 ss u p b ，则称b 为a 的，覆 盖；若口= s u p b ，则称b 为。的恰当，覆盖 定义2 2 设l 是完备格，如果 ( 1 ) b 为d 的恰当，覆盖； ( 2 ) b 加细的每个尹覆盖； 则称b 为n 的尹极小集 定理2 3 设二是完备格，口l ，则。的若干个芦极小集之并仍是，极小 集，从而若a 有，极小集，则必有最大，极小集，记作声f ( 证明设 鼠li n 是口的一族，极小集，则对任意 i ，b i ，s u p b i = d 令b = u h b i ，由定义知b ，t ，且s u p b = v i e ，8 u p b i = 口，从而口为的恰当 芦覆盖任取a 的，覆益c ，对任意b b ，则存在i o j r 使得6 b 硒，由丑矗是 n 的，极小集知，存在c g 使得b c ，从而b 加细g ，故b 为。的，极小集 定理2 4 设l 是完备格，则工是闭集格的充分必要条件为l 的每个元素a 都有歹极小集，从而有最大的，极小集黟芦( 口) 。 证明必要性设a l 若a = 0 ，则由庐，气知是a 的最大的，极小集 若a 0 ，令8 = t 蜀ll f ，s u p x i 口，五兄) 因为 n ) b ，所以8 非空，其 中五= 司j 五， d 令m = 八e ，z j ( ) | ，兀叫五) ，从而m 危，再 由，分配律。8 u p m = v ，1 1 。 ( ，司荆) = ，( v j e z ，) = 坨1 ( 8 u p x i ) = 口， 则m 是。的恰当厂覆盖任取的，覆盖c ，则有而i 使得c x i 。设 z 记，z j ( ) 是m 的任一元，令= 研。巾“，则掣g 且z 掣，所以m 加细c 这就证明了盯是血的，极小集 充分性由引理1 1 9 知，只需证明l 满足，分配律设 五1i j ) c 氕，其 9 中置= 卫一i j 五，i n ，要证人，( 山g 一) = v t 1 7 。 ( i ：l ：i 巾) ) 设左边为 m ，右边为则显然有m n 下证m n 对任意i ，s u p x i = u 五。，m ， 且五咒，故蜀是m 的f 覆盖设触( m ) 是仇的最大，极小集对任意 z 声f ( m ) ，i i ，存在j = f ( i ) 使得= 戤巾) ( 其中，1 1 叫五) ，从而 。s e f 戤球) ，因此n 是艮( m ) 的个上界，而m 是肛( m ) 的上确界，故有 m 5 n 定义2 5 设l 是闭集格，对任意口l ，令触( n ) 与口相对应，则得一映射 p 芦：工2 ，称作l 上的，极小映射 定理2 6 设五是闭集格，则 ( 1 ) 对任意e 厶廖f ( a ) 是下集； ( 2 ) 声，：工2 l 是保，并映射，即对任意a = n iji j ) ，气，卢，( v 讵，口) = u 滔声尹( 口) 。 证明( 1 ) 设声f ( a ) 且茹! 令b = 芦芦( o ) i j 口) ，则b ，乇且 s u p b = n v 正= ，从而b 是口的恰当厂覆盖任取的，覆盖g ，由声芦( 加细 g 以及$ 掣肛( 。) 知b 也加细g ，所以b 是a 的，极小集，从而bc 触( d ) 因此o p f ( 凸) ，从而触( ) 是下集 ( 2 ) 对任意a = 毗l ej - ) ，c ，令= v e 口i ，b = u i ，卢声( 毗) ，只需证b 是的最大，极小集首先，由于卢芦( ，气， 口ii d ，己，故b ，毛，且 。叩b = s 叩( v 埏，触( 口) ) = v 蚶啦= 8 ，则日是口的恰当，覆盖任取口的，覆 盖e ，则c 也是口 的，覆盖，对任意6 b ，存在i o i 使得6 触( ) ，g 是 的芦覆盖。从而存在c g 使得bsc ，即日加细g ，因此且是。的，极小集 其次，设d 是凸的任意歹极小集，则d 加细口的芦覆盖b ，即对任意d d ，存 在6 b ，i i 使得d b 芦( 啦。) 由声，( 啦。) 是下集知d 声f ( ) cb ，这说明 d c b ，所以b 是口最大，极小集，故卢，( v i e i o ) = b = u 科卢芦眩) 定理2 7 设三是闭集格，对任意口厶口o o 掣r ( l ) 当且仅当触( 口) = 上8 证明一方面，若口c o p j r ( l ) ，则由引理1 1 1 1 ( 8 ) 知，对任意b ，乇，只 要8 印b = 就有b ，从而口触( d ) 又触( o ) 是下集，故土oc 触( ) 又 8 印肛( 由= 口，故触( n ) c 上因此艮( 曲= 上凸另一方面，若触( n ) = 上。，则上口 加细口的任恰当，覆盖g ，从而口的任恰当，覆盖g 都含有口，则口司口，从 而口g o ( 二) 1 0 定理2 8 设l 是闭集格，对任意a l ，b 是a 的，极小集，且b 为上定向 集，则。为余素元， 证明设a 的厂极小集b 为上定向集如果a 不是余素元，则存在b 和c ，使 得d = b yc 且d b ，a c 所以有8 ，t b 使得8 甚b ，t 基c 因为b 是上定向集， 所以存在r b 使得r 甚6 且r 基c 另一方面，由b vc a 以及b 是口的极小集 知，对于b 中的这个元r 应当有b r 或c r ，此为矛盾故a 必为余索元 注2 9 ( 1 ) 映射触：l 2 不必保，交如l 是菱形格，则显然是闭集 格取a = n ，6 ) 兄，但触( 口ab ) = 西，而触( 口) a 触( 6 ) = o ) ( 2 ) 在定义2 2 中。如果把性质( 1 ) ”b 是a 的恰当f 覆盖”改为”丑是a 的 恰当覆盖”，即日可以不是l 的，子集，则定理2 4 ，2 6 ，2 7 仍然成立 我们也可对偶地讨论，极大集，并可得到以下几个定理t 定理2 。1 0 设工是完备格，a l ，则。的若干个，极大集之并仍是，极大 集，从而若a 有，极大集，则必有最大，极大集，记作盼( o ) 定理2 1 1 设l 是完备格，则l 是闭集格的充分必要条件为l 的每个元素a 都有，极大集，从而有最大的，极大集叼- ( o ) 定理2 1 2 设l 是闭集格，对任意口l ，令a y ( a ) 与a 相对应，则得一映射 雌：l 2 l ，称作l 上的，极大映射并且 ( 1 ) 对任意a l ，a y ( s ) 是上集； ( 2 ) o l y ：l 2 是保，交并映射，即对任意a = 口ii ) 氕，a ，( h l ，0 4 ) = u i e ，呼( 口) 定理2 1 3 设工是闭集格，对任意a l ，口c o p r ( l ) 当且仅当a y ( a ) = t a 1 1 第三章闭集格c l 的范畴性质 闭集格以及闭集格间保任意并、保余索元的映射组成的范畴记作c l 闭集格 对的范畴记作p a l r c l ，它满足，：( l ，d ) 叩) 是p a t r c l 一态射( 或叫连续 c l - 态射) 当且仅当，：l - + t ，是c l 态射，且对每个6 ，7 ，有广( 砷6 成立， 其中，事：j l 是，的右伴随本章通过并半格的闭集格化这种方法，较为系统 的研究了范畴c l 的性质，给出了单态射、满态射、极端单态射、极端满态射、截 节、收缩等特殊态射的具体刻划研究了范畴c l 中的等子、余等子、乘积、余积、 逆极限、定肉极限、子对象和商对象等的构造，下一章我幻主要研究的p a l r c l 相 关范畴性质 3 1 并半格的闭集格化 在本节中我们给出通过并半格构造闭集格的方法，这种方法我们称之为并半 格的闭集格化 设( l ，) 为并半格，l = dln l 且o d 叨r ( l ) ) ，u 口= ( b o 且 b l ) ( 口工) ，8 = u 。e f 拈if 是l 的有限子集) ，l 为由( l ，) 中的满足( + ) 式的下集p 组成( 其中是l 中点式序在f 上的限制) ： ( ) 对每个口l ，如果b b 和。掣b 时有p 仁b 成立，那么a p 若l = 妒，则l = 奶，从而( l ，c ) 是闭集格 我们下面来讨论p 曲的情形 定理3 1 1 ( l ，c ) 为完备格，且对任意t 马) 强jcl 有e j e j = n j e j b 和 v ，。j 弓兰如扩f 对b 中每个不包含g 的口都有嗨，弓仁b 证明显然n j 马为p 中下集下证n j b 满足( + ) 式如果b 层且 口叠b 都有n 强j 马仁b ，那么马仁b ( 竹j ) ，从而口e j ，从而口n j e j 又 口为( 厶c ) 的最大元，从两( 三，c ) 是完备楂 再令( + ，) 式的右端为p 首先证p 为( l 。，) 中的下集，设b 口b ，需证 6 p ，即要证对8 中每个不包含b 的b 都有u j j 岛茌b 事实上，由b 莹b 可 证口gb ，从而由口p 可知协j 马仁b 又显然pc l 其次证尸满足( + ) 式即需要证如果b b 且口gb 都有p 仁b 成立，那 么。p 如若不然，由p 的定义存在b o 8 ，使得口窖b 但u 挺j 马cb o 又 由。隹b 有p 仁b o ，从而存在b p b o ，从而由p 的定义u 强j b 茌b o ，这与 u 俺j 弓c b o 矛盾 最后p 为各b 的上确界显然弓cp ，设q a 且0d 马，则qd 协，b 对任意o p ，由( 一) 式的定义对口中每个不包含口的b 都有屿j 巧茌b ，从而 q 芷b ，从而口q ，即p c q 定理3 1 2v t r r = l j t t r ，其中只l ，t 为有限集 证明我们以两个为例，即需证只v 岛= p l u b 事实上，设p l v 马，若 p i 且。乒 2 ，则存在b l ，b 2 8 使得伍窖b 1 但p 1cb 1 且口# b 2 但p 2 c b 2 ， 从而。窖玩u 口2 但只u 忍cb lu 曰2 ，这与n p lv 2 矛盾，从而口p l 或 岛，故左c 右又显然右3 左 定理3 1 3 令n = 扎oi l + ，则ncc o g r ( l ) 且为工的并生成集 证明首先我们有妙8 三0f t d 事实上，显然妙口为p 中的下集。若 。g u 口，则存在b o = u 口b 有。gb o ，但u ac b o ，因此u 口满足( ) 式其 次有u 凸c o g r ( l ) ( 口l ) 设灿n n