（基础数学专业论文）拓扑空间θ复形的若干性质.pdf

曲牟师范大学硕士学位论文 摘要 本文定义了一类特殊的拓扑空阔窖+ 复形，绘如了0 复形的銎及其性 质，有趣的是0 + 复形可以含有四点圈子图，在建立有限图与拓扑空间之间 的联系方蠢改进了前人的工作；本文还借助凋磅究了0 - 复形的拓扑性质， 得到了一些好的结果，其中关于0 复形的极小性质：一个0 - 复形是s 竹 一 空间，则它是k a t f t o v s “汹，此结果部分网答了d i k r a n j a n，g i u l i 提出 沟问题。 在0 + 复形的图中，我们得到了以下结果： 性裴4 。50 _ 复形熊霆g 是圈，赠g 必是偶圈 性质4 6 若g 是0 一复形世的图，则g 中四点组成的圈必是最小的圈 关于0 一复形的拓羚牲矮，结果鲣下： 定理4 2 定理4 3 定理4 4 0 - 复形k 是s 以) 闭的当且仅当对任意的中心滤子点“， l p l d ( p ，h ) = 2 辩一：1 1 ，- 1 。 0 - 复形k 是s 0 ) 一0 一闭的当置仅当对任意的棱滤子点9 ， i p p ( p ，9 ) = 2 凡一2 1 - 1 ， 若世露怒极小s 0 ) 一空间且口+ 一复形露也是极小s 白) 一空 间，则0 - 复形k 也是极小s 如) 一空间 定瑗4 50 - 复形怒极小s 0 ) 空间当且仅当 ( 1 ) v x k ，有a d 。_ = x ，其中m 是x 点的邻域滤子； ( 2 ) 回瀣p j d ( 曰，p ) - - ：t l = l 且露( o ) = l _ o ，其中国是体的棱 滤子p 是体的顶点； ( 3 ) 若l p d ( “，p ) = l l = a ，则| p d 0 - i ，p ) = 2 n - 2 i 2 其中王l 是体的棱滤予，p 是体的顶点 定理4 6 v 2 0 。复形( 世，r ) 是s 0 ) 一空问，则存在i 1 0 + - c o m p l e x ki s s 口- c l o s e d i f ff o re a c he d g e f i l t e r 习，p p ( p ，回) 2 2 n 一2 i 1 i fk ki sam i n i m a ls ( ，o s p a c ea n d0 一c o m p l e x j ei sa l s oam i n i m a ls ( 疗) 一s p a c e ，t h e n0 一c o m p l e xk i sa l s oam i n i m a ls ( 行) 一s p a c e 彳矿一c o m p l e xki s a m i n i m a ls ( 功- s p a c e i f f ( 1 ) v x k ，3 a d 矿m = ，w h e r em i sn e i g h b o r h o o df i l t e r o f x ； 3 一 曲申帅范人学硕f 学位论文 ( 2 ) 例纠d ( 回，p ) = 2 i = la n d 如( 回) = l = 。，w h e r e 。i s a e d g ef i l t e ro ft h r e ed i m e n s i o n a lb o d y ，pi saa p e xo f t h r e ed i m e n s i o n a lb o d y ； ( 3 ) 础p i d ( u ，p ) = 1 | - o ，t h e n l p l d ( x t ，p ) = 2 n - 2 i 2 t h e o r e m4 6 i f 矿- c o m p l e x ( k ，f ) i sas ( ，1 ) 一s p a c e ，t h e n t h e r ei sa t o p o l o g yf s u c ht h a t ( k ，f ) i ss ( 行) 一0 一c l o s e d ，w h e r e f f t h e o r e m4 7 a 矿一c o m p l e x ( k ，f ) i sak a t 蟊t o v s ( ，| ) s p a c e i f ( k ，f ) i sas ( n ) - c l o s e ds p a c e k e y w o r d s ：t h r e ed i m e n s i o n a lb o d y ；0 。一c o m p l e x ；g r a p h o f 0 一c o m p l e x ；c e n t r a l f i l t e r p o i n t ；e d g e f i l t e r p o i n t ； m i n i m a ls ( 玎) 一s p a c e - t 曲申师范大学硕p 学位论文 第一章引言和预备知识 1 1 引言 本文定义了一类特殊的拓扑空间一矿复形，给出了矿复形的图及其性 质，又有趣的是矿复形可以含有四点圈子图，在建立有限图与拓扑空间之 间的联系方面改进了前人的工作。本文还借助图研究了0 复形的拓扑性质， 得到了一些好的结果，其中关于矿复形的极小性质：一个矿复形是s ( 玎 一 空日j ，则它是k a t t o v s b ) 的，此结果部分回答了d i k r a n j a n，g i u l i 提出 的问题。 在第二章我们给出了矿一复形的概念后，为明晰此概念给出了六个具体 的例子，第三章给出了口_ 复形的图的定义，然后研究了矿一复形的图的一些 性质，最后在第五章讨论了矿一复形的拓扑性质 1 2 预备知识 在探讨矿一复形的拓扑性质时将涉及到许多概念，故我们将几个重要的 列举如下： 定义1 2 11 2 j拓扑空间( 工，f 1 的子集b 称为x 点的1 1 一邻域，如果存在 开集链c u 2c u oc b ，且满足：工u ，ec u + l ，其中扛l ，2 ，n - i 若 口还是开( 闭) 集就称口是x 点的n 一开( 闭) 邻域 定义1 2 2l j j 拓扑空间( x ，f ) 的子集m 的矿一闭包 略m 2 工：珀q 每个聆一闭邻域交m 非空 ，m 是矿一闭集如果m = 嘭m 定义1 2 3 1 1 l 苫是拓扑空问( x ，f ) 上的滤予，n c t r o ：c 孑 称为孑 的0 ”的接触集，记为以否 定义1 2 41 2 j 拓扑空间( x ，f ) 上的开覆盖u 称为s ( 聆) 一覆盖，如果对 x x ，存在u i l ，u 是x 点的疗一开邻域x 中的滤子称为s ( 聍卜滤子，如果 n d ，专= 耐毒 曲宁师范人学硕l 学位论文 定义1 2 5 【2 l 一个s ( 玎) 一空间称为k a t t o v s ( 甩) 的，如果它有一个粗 的极小s ( n ) 拓扑 定义1 2 6 【i 】如果( 肖，f ) 是s ( ，1 ) 一空间，且不存在f 7 f ，使得( x ，) 是 s ( 聆) 一空间，就称( x ，f ) 是极小s ( h ) 一空间 定义1 2 7 拓扑空闽( x ，f ) 称为h 闭空间，若对于x 的任意丌覆 盖, t l ，存在喁，使得u 民= x ， 定义1 2 8 【1 】 u 称为拓扑空间( x ，f ) 的正则开集，如果满足u ：i n t u 以正则丌集为基的拓扑空问( x ，r ) 称为为j 下则开的，记为t 若拓扑空间 ( x ，f ) 称为半正则的，如果f = _ 定义1 2 9 1 3 3 1 集合x 的一个子集族孑称为滤子，若满足 ( 1 )孑a ， ( 2 )孑具有有限交性质， ( 3 )若f 笤，且f 亡h ，则h 孑 定义1 2 1 0l l j 一个映射f ：x _ y 是0 一连续的，若对任意x ，在j r 中任意含，( x ) 的开集总存在x 中的含茗的开集矿满足厂( 矿) c 疗 曲 师范大学颀l 学位论文 第二章秒辜一复形的概念 本章中我们首先给出拓扑空日j 矿一复形的定义，然后为明晰0 一复形 的概念，我们给出以下几个例子 用表示最小的可数序数，q 表示最小的不可数序数，国：表示大于国的 最小基数s ( q ) 表示由所有小于或等于q 的序数组成的具有序拓扑的拓扑 空问， 令s ( q ) = s ( q ) 、 q ，其中i = 0 ，1 ，2 称s ( 嘞) s ( q ) s ( 哆) 的子空闻s ( ) s ( q ) s ( 呜) ( ，q ，鸭) 为不带顶点的体，记为丁( o ) 设p 仨一“，令r ) = r ( o u p l 如下定义7 1 ( 1 ) 上的拓扑：u 是一l j e e l - 集当且仅当： ( 1 ) u n r ( o ) 为丁( o ) 中丌集 ( 2 ) 若p u 时存在口 ， q ， 奶，使 ( 口，o o ) x ( ，皑) ( 伤) 亡u ； 称拓扑空间r ( 1 ) 为带顶点的体，称p 为一的顶点；无顶点的体与带顶点 的体统称为体，均记为r 称s ( 纨) s ( q ) 吐、( ，q ，呸) ，s ( ) q s ( 哆) 、( 嘞，q ，吐) ， o o s ( 0 1 ) x s ( o o ( ，q ，哆) 分别为体的面，s ( 嘞) q 仍， s ( 嘞) qx 吐与o o a h s ( 仍) 为体的棱 令i = i x t ， k = u t , ，其中i = 1 ，2 ，n ，在集合k 如下定义拓扑 f ：u t 当且仅当u n t , 是z 中的开集，若拓扑空问( 彭，f ) 中任意两个 体的交要么是空集，要么是一个顶点，要么是一条棱，要么是一个面， 则称拓扑空间f k ，f ) 为一个口。复形 4 例1 i 殳k ：u t , ，其中z = i x r ，f - l ，2 ，3 ，4 ；t 是不带顶点的体， 作等价关系如下： 曲申师范人学顾l 学位论文 l s ( ) s ( q ) 呸、( 嘞，a ) l ，奶) 一 2 1 x m o s ( q ) s ( ) 、( ，q ，) 一 2 1 s ( ) q s ( 吐) ( ，q ，哆) 一 4 s ( o ) o ) x s ( 劬) 哆、( ，嵋，0 3 2 ) ； 嘞s ( q ) s ( 吐) 、( ，皑，哆) ； s ( 嘞) q s ( 吐) ( ，铂，仍) ； 其它点自身等价 则k 一做成的商空间是一个0 一复形如图2 1 ： 图2 1 4 例2 设r 是不带顶点的体，令l = 丁，i = l ，2 ，3 ，4 ；在置= u l 上作 等价关系： 1 s ( ) q 哆一 2 ) s ( ) q 鲍； 2 嘞s ( q ) 吐一 3 x 嘞s ( q ) 吐； 3 s ( 嘞) q c 0 2 一 4 s ( ) q 吐； 4 s7 ( q ) 仍一 l 嘞s ( q ) 哆； 其它点自身等价 则k 一做成的商空间是一个0o 复形如图2 2 ： 图2 2 9 曲审师范大学硕卜学位论文 例3 设k = u 互，其中z = f r ，扛l 2 34 ；t 是不带顶点的体，作 j 2 t 等价关系如下： 1 ) s ( ) q s ( q ) 、( ，q ，呸) 一 2 s ( ) x q s ( q ) 、( 嘞，劬，伤) ； 2 x 0 2 0 s ( q ) s ( 毡) 、( ，q ，哆) 一 3 x o ) o s ( q ) s ( 哆) ( ，( - 0 1 ，毡) ： 3 s ( ) q s ( 鲍) ( ，q ，哆) 一 4 x s ( 国0 ) xc o l s ( 吐) 、( ，q ，哆) ； 其它点自身等价 则k 一做成的商空日j 是一个0 0 复形如图2 3 ： 图2 3 例4 设k = l 二j z ，i = 1 ，2 ，3 ，4 ；其中五与乃为带顶点的体， i p 为正的 顶点，扛2 ，3 ：墨与五不带顶点的体，作等价关系如下： 1 s ( ) x s ( q ) 吨、( ，q ，0 ) 2 ) 一 2 s ( ) s ( 铂) x q ( ，吼，q ) ； 2 x p 一 3 尸 ； 3 s ( 嘞) s ( 皑) 呸、( 绋，哪，哆) 一 4 s ( ) s ( q ) 0 ) 2 、( 嘞，劬，吐) ； 其它点自身等价 赌l k 一做成的商空间是一个口。复形如图2 4 ： 图2 4 - l o 曲审师范人学碗 学位论文 倒5 设置= | = ! z ，f = 1 ，2 ，3 ，4 ；互与五为带顶点的体， i p 为7 = 的 顶点 ， i = l ，2； 五 与 五不带顶点 的体 ， g ， s ( ) q s ( 吐) 、( ，铂，哆) ， j = 3 , 4 ；作等价关系如下： 1 x p 一 3 ) g ； 2 p 一 4 口； 3 ) s ( ) s ( q ) 哆( ，q ，吐) 一 4 s ( 铴) x s ( q ) 娩( 鳓，q ，哆) ； 其它点自身等价 则k 一做成的商空间不是一个0 。复形，因为在k 一中g 不是l ( j = 3 ，4 ) 的顶点如图2 5 ： 图2 5 例6 设r 是带顶点的体，p 为其顶点，令正= i x t ，扣l ，2 ，3 ，4 ；在 4 k = u z 上作等价关系： 扛l l s ( 鳓) q s ( 吡) 、( 嘞，q ，仍) 一 2 s ( 绋) q s ( 吐) 、( ，呸) ； 2 s ( q ) s ( 吐) 、( 鳓，q ，鸭) 一 3 ) s ( q ) s ( 吐) ( ，q ，0 ) 2 ) ； 3 s ( ) q s ( 咤) ( 嘞，q ，皱) 一 4 s ( ) q s ( 鸭) ( ，q ，) ； 1 x p 一 2 p 一 3 p 一 4 p ； 其它点自身等价 则k 一做成的商空b j 不是一个0 - 复形，这是由于相邻的两个体既交于一 曲阜师范人学碗b 学位论文 面又有一个公共顶点如图2 6 ： 图2 6 1 2 曲申帅范人学硕卜学位论文 第三章伊一复形的图 为形象、直观的描述口乞复形中顶点、棱滤子点、中心滤子点问的内在 关系，建立有限图和拓扑空间之| 日j 的联系，我们先给出p - 复形的图的有关 概念后，然后给出了口- 复形的图的一些性质 定义4 1 设r 是体，则称闭滤子 口，嘞) 。q 哆：口 嘞 、 x 【，q ) 哆： q 与 鳓q f 扎c 0 2 ) ：y o j ： 为t 的棱滤子点称丌滤 子 ( 口，) ( ，q ) ( ，缈2 ) ：口 嘞， 喝， 仍 为体的中心滤予点 若对v b 磐，v u u 有口n 疗o ，则称棱滤予点磐与中心滤子点u 是 关联的 若有p e 谢王i ，则称中心滤子点与顶点p 是关联的 定义4 2 设k 是一个目。复形，k 的图g 是指一个有序三元组 ( 矿( g ) ，e ( g ) ，纯) ，其中矿( g ) 是k 中的所有体上的棱滤子点，中心滤子点 及所有顶点组成的集合；e ( g ) 是不与矿( g ) 相交的边集；而纯是关联函数， 它使g 的每条边对应于g 的无序点对，而且满足与同一边相连的两点必须是 关联的 显然口- 复形足由有限个体组成，从而护- 复形k 的图g 是有限图，我 们不妨用符号“”表示棱滤子点，“o ”表示中心滤予点，“”表示项点， 可得所举的例子中例l 对应的图如图3 1 所示： 图3 1 曲审| l f l l 范人学碗t 学位论文 定义4 3 设g 是0 。复形的图，v v ( 6 ) ，点v 的度的叱( y ) 是指g 中 与v 关联的边的数目 定义4 4 矿一复形x 的图g 途径是指一个非空有限序列w = h v 2 吃， 称w 是从点v i 到的一条途径点h ，分别称为w 的起点和终点点 一。称为它的内部顶点w 中所含的边数称为途径的长，记为( 伽) 定义4 50 。复形足的图g 途径w 的边互不相同，则w 还称为0 - 复形 k 的图g 的迹；若w 的顶点也互不相同，则称w 为0 一复形k 的图g 的路： 若途径w 有正的长且起点与终点相同，则称途径是闭的；若一条闭迹的起点 和内部顶点互不相同则称它为口。复形髟的图g 的圈 性质4 1 设g 为0 l 复形k 的图，则对任意中心滤子点n ，有3 以( u ) 4 证明：分两种情况考虑： ( 1 ) 当k 中的体均不带顶点时，对任意中心滤子点u ，存在k e ，满足 v u 王i ，u 冠，此时仅有 毋。2 七 x 【口，嘞) q 吃：口 嘞 ， 孵：= i 【，q ) 呸： q ， 孵3 - - 一 七 嘞q 【凡0 2 ) ：r 0 j 2 - q l t 关联 故得反，( 1 1 ) = 3 ( 2 ) 当对中心滤子点王i 恰好处于带顶点的体时，此时u 除与国。、毋：、磐； 关联外，顶点p a d i 工，即p 与u 也关联此时破，似) = 4 性质4 2设g 为矿一复形足的图，g 为树，则任意两个中心滤子点均 有唯一途径连接 性质4 3设g 为矿一复形k 的图，g 为树，则g 的中心滤予点数目s 与棱滤子点数目万的关系为艿= 2 s + 1 或艿= 2 f 占+ 1 1 或艿= 3 8 证明：k = u z ，扛1 ，2 ，塌其中r 为体，分三种情况考虑 - i l 情形i 若髟中任意z 均带顶点p 且通过等价关系 f p 一 i + l x p 曲阜师范人学硕 学位论文 i = l ，2 ，胛+ l ；其它点自身等价而得到的商空间，显然k 是矿一复形这时每 个t 一体中心滤子点 f ，) ( 厉q ) ( y ，呸) ：口 ， q ， 叻 与三 个棱滤子点 砖 【口，) q 哆：口 绋 、 磅 【，q ) ： q 、 f 嵋i t ，她) ：， 哆 中任何一个相关联，这时j = 鲐 情形i i 若k 是仅通过棱滤子点粘合得到的p 。复形即 i x s ( ) q 吐一 ， ( 鳓) q 吐， f 嘞( q ) q 一 j 国o x s ( q ) 吡， 0 嘞qx s ( 吐) 一 j x a o q x s ( 哆) 其中，譬j , i = l ，2 ，n ；j = 1 ，2 ，中仅有一个成立，此时巧= 2 占+ 1 情形m若k 中既有棱滤子点粘合又有顶点的粘合，此时得到的矿一 复形的图g 中，有j = 2 笤+ 1 性质4 4 设i 为中心滤子点，瓤为棱滤子点或顶点 d ( h 。，甄) = 2 m + l ，d ( 。，王i i ) = 2 m ，d ( 瓤，翟) = 2 m 性质4 5 若矿一复形k 的图g 中的予图是圈，则它一定是偶圈 证明：设h 。王l l 是g 中圈上的任意两个中心滤子点，则d ( 量工。，u ，) = 2 m ， 但由两点位于同于圈上当且仅当有两条内部不相交的路所连，从而“，王j ，知 所处的圈必为偶圈 性质4 6 若g 是矿一复形k 的图，则四点组成的圈必是g 子图中最小 的圈 证明由性质4 6 知g 中圈均是偶圈，而四点组成的圈是4 一圈，则比四 点组成的阉更小的是2 一圈即圈中含两点且通过两条不交路相连，由矿一复 形的定义可知绝不会出现这种情况，故得四点组成的圈是矿一复形中最小的 圈 曲阜师范人学碗l 学位论文 第四章0 l 复形的拓扑性质 在文【1 l 】中借助t y c h o n o f f 板构造了一类特殊的拓扑空间一口复形，在 0 复形中研究了文f 1 1 中的三个问题，肯定回答了其中的两个问题并给出第 三个问题的充要条件，我们首先给出体的一些特殊性后，接着研究了口_ 复形 拓扑性质，其中关于矿复形的极小性质：一个0 复形是s ( n ) - 空f i ，则它 是k a t t o v s ( 玎) 的，此结果部分回答了d i k r a n j a n，g i u l i 提出的问题 引理4 1设r 是一个体，则r 的三条棱不可用丌集分离 证明：令爿= f ( 口，q ，) ：0 t r 0 ) 0 ，b = ( 嘞，声，哆) ：o 卢q ， c = f ( ，q ，) ：0 ，0 ) 2 知4 、曰、c 都为r 中闭集设u 是含彳的丌集， 对任意一点( 口，q ，吐) a 都存在序数 q 和序数乞 f 0 2 使 ( 口，t a ) ：0 s a q ，0 s cu 令s = s u p ，t = s u p t a 于是集合 【o ，o , 0 1 + ，c o t x t ，吐】c u ， 然而有点( 珊o ，s + l ，伤) b ，( 彩o ，q ，t + 1 ) c 从而u 与含b 的开 集相交，也与含c 开集相交故分别含4 与c 的两个丌集相交；分别含a 与c 的两个开集相交 对于闭集占和c ，可设cc - - g ，g 是刀二集只证gn 口彩即可任意 ，o ) 2 ) 可知( ，q ，) g ，从而存在q 、屈使 【q ，) 【屈，q ) 。c g 由于，吐) 卜伤，然而由q 嘞，属 t a t ，故有，成使 b ：b 。，峨) 【玩，铂) ! ! e 竺：坠亘 【q ，) 【屈，q ) 哆cu 【q ，) 【尼，q ) ， 【q ，) 【屈，q ) 哆t - u 【q ，) 【届，q ) b ，) 【屈，q ) 吐c g 即g n 占o 从而b 与c 不能用开集分离证毕 又 得 曲辛帅袍人学硕 学位论文 引理4 2役7 为不带顶点的体，则r 为局部紧的j 下则空日j 证明：由题意r 2 【o ，】x 【o ，q 】【o ，吐】( ，q ，哆) ，又f o ，嘞1 、【o ，铂】、 【o ，q 】都为紧士出淞鲥b 空间，我们可得【o ，q 】【o ，q 】【o ，q 】是正则空间 取任意( 口，局，) t ，显然( 口，压，) ( ，劬，( 0 2 ) ，从而在 【o , q n o ，q 】f o ，q j 中存在开集( 厂，使( 口，厉，) ( ，但( 嘞，皑，哆) 岳矿 由于u 、可为r 中含的开集和闭集，又万为紧h a u s s d o r f f 空间中的闭集 知可是紧的，从而r 为局部紧空间 引理4 3设r 为不带顶点的体，王i 为，上的极大开滤子，若耐i l = g ， 则有 ( 口，嘞) ( ，q ) ( 乃吐) ：口 鳓， 铂，厂 吐 c 证明：若结论不成立，一定存在口。，属s q ，s 吃使得存在 u u ，有 ( a o ，) ( 风，q ) ( ，吐) n ( ，= g ，从而得 ( ，) ( 岛，q ) ( ，吐) n u = a ， 故u c t ( a o ，】( 岛，q 】( ，呸】 由t ( a o ，嘞】( 岛，】( ，吧】是紧的得耐u 9 ，这与己知矛盾 证毕 引理4 4 设毋是体上的极大闭滤子，若耐臀= o ，则必有 k ，) q 呸：口 c 磐 或 嘞【，q ) x 呸： a h t - - 毋 或 嘞。qx r ，0 ) 2 ) ：r 哆 c 孵 证明：由孵是体上的极大闭滤子可得乃毋为【o ，】上的极大滤子，而 【o ，嘞】是紧的可知：存在聊【o ，】使聊n 而口：b 彩 网理可得 n n 厅2 曰：b e 孵 ，p e n 乃曰：b 曙 事实上，m = ，疗= q ，p = q 否则 j 啊 峨，1 2 且腩m 2 册，使肌【码，】且 【m ，啦】【o ，铂】 o ，哆】n b a ，v b e 磐 但是【，m 2 】【o ，q 】【o ，q 】是紧的，可得耐毋c o ，这与已知矛盾，进而 m = 嘞同理得r = q ，p = 吐 ( 1 ) - 若v b e 磐，有巧口，则得 【o ，q 】【o ，吐】n b 彩，v 曰毋： 曲申帅范丈学硕l 学位论文 若v b 孵有q # 2 b ，则得 【0 ，c o o o j , 4 0 ，鸭】n 曰a ，v b e ； 若v b e 够，有哎乃占，则得 【0 ，】【o ，q 】毡n b g ，v b e 孵； 这时结论显然成立 ( 2 ) 若j 口彩，有盛t t i b ，则得嘞4 0 ，q 】【o ，吐】n b = o ，v b e 磐： 若了召孵有qt t 2 b ，则得【o ，峨】。q 【o ，毡】n 曰= a ，毋； 若j b 磐有哆芒乃b ，则得【o ，】【o ，q 】。鸭n b = o ，v 口缈 而嘞巧豸，码万2 毋，哆乃磐，故得v b b 有 v t o o ， u o ，嘞) n 码缈o 即【，嘞) 【o ，q 】【o ，他】n b a ； v 吐， y o ，吐) n 乃孵a 即【o ，纨) 【o ，q 】【，哆】n 曰a ； 情形i 若存在哦 ，属 q ，冗 哆使 【瓯，) f 属，q ) 陟，仍) n b 囝，v b 毋 我们可得 b c r ( a o ，) ( 属，c o , ) ( 冗，q ) ，v b 孵 而r ( 瓯+ 1 ，) ( 属+ ，q ) x ( 冗+ 1 ，吡) ，v b e 孵是紧空问可得a d 磐a ，这 与题设矛盾 情形2 故对v f ， 若对v 嘞 嘞，v 孱 ，1 ，依次下去得矿 “ 1 ， ，。 ，且 矿，b ，由| 矿 i _ q ，l ”) 卜吐故对v q ，v ， 2 其中是体的棱滤子，p 是体的顶点 证明： ( i ) 先证必要性，若( k ，f ) 是曰- 复形且是极小s ( 栉) 一空间，首 先得( 1 ) 成立否则，若有y 略m 血弘贝i j ) ，崔略 x ，从而存在含j ，的开 集链 qc 呸c q ，巧匕q 十，f = 1 ，2 ，一一1 且满足 q n x o 即x 仨q 从而存在一个石的邻域u ，有 以n 谚= a ，这与j ，睥肛矛盾 其次得k 是半正则的空间否则存在( k ，f ) q 啪- a x 的开集玑，对x 的 任意开集n 满足： 曲宁帅范人学豌p 学位论文 加以岱u x 即f c t 但c f 知f ，是k 上较粗的拓扑这与( 足，f ) 是极小s 0 ) 一空间矛盾我们证得 k 是半正则的空b j 可推出( 2 ) 事实上，如果 回啾p i d p ，p ) = 2 i = l 且如( 囝) = 1 o ，其中9 是体的棱滤子，p 是体的顶 点，知存在棱滤子点回满足d ( 曰，p ) = 2 ，如( 9 ) = l ，从而得p ，回同在一 个体上在r 上对任意a o ，属 q ， 吼有 ( 嘞，嘞) ( 属，q ) ( ，哆) u p 为p 点的丌集设。为含p 的正则丌集即i n t o = 0 显然j 厅 嘞，痧 铂，尹 鸭 使 ( 舀，嘞) l ，q ( 尹，伤) c 0 2 i n t o 我们知道：i n t o c z ( n o ，嘞) ( 属，q ) ( ，啦) u p ，这是由于加f 石包括面上 的点故( k ，f ) 不是半正则的，矛盾即( 2 ) 成立 最后证( 3 ) 成立， 若i p i d ( i 工，p ) = l | _ a ，但l p l d ( ，p ) = 2 一2 i 2 矛盾，敌( k ，f ) 是极小s ( ”) 一空间证毕 定理4 6 设矿一复形( k ，r ) 是s ( ，z ) 一空间，则存在f f 使( k ，f ) 是 s ( n ) - o - 闭空间 i i e l 非! ：在矿一复形( 茁，f ) 中可设 r - 臀：够为x 中的任意棱滤子点且满足谢一臀= o 令p 是矿一复形( k ，f 1 中的顶点，定义拓扑f 如下：d f 当且仅当： ( 1 ) 邬隹d 时，d f ； 曲阜9 i l l 范人学硕l 学位论文 ( 2 ) 酆以d 日寸，v 磐r ，9 b 毋使脚u b c d 我们可得f f q q 正( x ，f ) 是s ( h ) 一口一闭的事实上若在( 置f ) 中存在一个闭 滤子贼满足略- 瓤= o ，即n 略，心：托 a 对顶点p ，存在含p 开集 链d lcd 2c c q _ l 且谚c q f - 1 ，2 ，n 一2 有 q ln 以= o ，v a 气弧 ( ) 而由于( 2 ) 当p 坼d 时，v 孵e r ，3 b 孵使。u 。b c d 得：存在含p 的一个 d 闭邻域嘎，存在某个心弧使收c 嚷中，即心n 嚷g 这与( ) 矛盾， 从而( x ，f ) 是s ( 厅) 一口一闭的证毕 定理 4 7 若0 。复形( k ，f ) 是s ( n ) 一空问，则0 。复形( 足，f ) 是 k a t a t o v s ( 仃) 的 证明；由定理4 7 知，存在f f 使( k ，f ) 是s ( 聆) 一o - 闭空问我们令 日2 p = 在( k ，f ) 存在棱滤子点磐满足耐磐= o ，口略毋= p ，显然h 的 势小于，分两种情况考虑：若胆d ，显然( 髟，t ) 为极小s ( n ) 空间若 h 彩，p 是护一复形中的顶点，定义拓扑l 如下：d r l 当且仅当 ( 1 ) - 当p 芒c o 田寸，d f ； ( 2 ) 卸以d 日寸，v 毋r ，3 b 缈使脚u b c d 其中缈r = 1 日a ：孵为k 中的任意棱滤子点且满足耐，。毋= g ；显然r 在 ( k ，q ) 中不存在闭滤子满足耐孵= a 但鸣磐= p ，由定理4 7 知 ( k , q ) 是s ( 疗) 一0 一空i 日j ，依次下去可得气使( k ，q ) 中不存在闭滤予毋满足 耐豸= o 但口略，彩= p ) ，则( k ，( q ) 。) 是半正则的s ( 玎) 一0 一闭空间，并且 不存在n 一跳跃点，由引理4 6 得( 世，h ) ，) 是极小s ( 聍) 一空间， 定理4 8 在口。复形( k ，f ) 中( k ，勺) 是五的当且仅当( k ，f ) 是s ( 3 ) 一空 间 证明：必要性由于秒。复形( k ，f ) 中( k ，白) 是疋的，对v x ，地y ，有 x u ，y e 矿且u n 矿；g ，其中u r e ，v e r o 从而我们得到：有u t - e t - u ，k c 巧c 矿凰( ，y e k ，可得j g 略 y ， 曲9 帅范人学碗t 学位论文 同理y 叠c 0 x ，( k ，r ) 是s ( 3 ) 空间 充分性由于0 一复形k 是由有限个体组成，故只有有限个顶点，从而只 有有限个非正则点( 由引理4 2 可知，在正则点处都是局部紧的，正则的) 设顶点集合s = a ，扔，岛 ，任意不同的两点v k ，下面分三种情 况讨论： ( i ) 当甜诺s ，v 正s 时，则“，v 均为( k ，f ) 中的正则点又因为( 足，f ) 是 s ( 3 ) 一空问，从而存在开集u ，v ，使得 u ，v v ，u f w = 矿且( u u v ) n s = 妒 所以u ，y 皆为( k ，f ) 中的口一开集，故u ，矿乃由u f q v = 庐可知，“，v 两 点在( k ，) 中s o ) 一分离 ( i i ) 当“萑s ，p s 时，设v = 只，由( 置，f ) 是s ( 3 ) - 空日】可知，存在b 点丌集以，u ，使得 n uc ec 呸，且玩n ( l ， u s 、 只 ) = 妒 由于 只 中的点皆为正则点，故u 2 同理存在“点的丌集矿，使得 v i q ( u 2 u s ) = 妒则v 巧由n 矿= 妒可知甜，v 两点在( 足，) 中s o ) 一分 离 ( i i i ) 当“s ，v s 时，可设却= 只，v = p j ，f _ ，由( k ，r ) 是s ( 3 ) 一空问 可知：存在只的开集u ，及，点的开集k ，一，满足： b u i c u l cu 2 ，p ，k c k c k 且 n ( k u s 只) ) = ，n ( 以u s p ， ) = 妒 从而，呸，n k = 妒，故“，v 两点在( k ，乃) 中s o ) 一分离 由( i ) ( i i ) ( i i i ) 可知，( k ，) 是s ( 1 ) 一分离的，即( 髟，) 是互空间 曲审师范人学硕l 学位论文 参考文献 【1 d i k r a n j a nd g i u l ie 荆胡一c l o s e d s p a c e s j t o p a p p l ，1 9 8 8 ， 2 8 ：5 9 7 4 【2 】王树泉江守礼- t - s ( n ) - e - 闭空间【j 】数学进展1 9 9 9 ，2 8 ( 3 ) ： 2 5 2 2 5 9 【3 】s h u q u a nw a n ga n ds h o u l ij i a n g c o u n t a b l ys ( 2 ) 一目一c l o s e ds p a c e sf a re a s t j m a t h s c i s p e c i a lv o l u m e ( 2 0 0 0 ) ，p a r ti l l ：1 3 3 - 1 3 8 【4 】m e b e r r i a n dr h s o r g e n g r e y , m i n i m a lr e g u l a rs p s c e s , p r o e a n l e r , m a t h s o e 1 4 ( 1 9 6 3 ) ：4 5 4 - 4 5 8 1 5 g t d f a r o ，g n o r d o , j r p o r t o ro n m i n i m a l - - s p a c e s c o m m e n t m a t h u n i v c a r o l i n e 4 4 , 4 ( 2 0 0 3 ) 7 2 7 - 7 4 0 【6 】王树泉因子可扩空间【，1 山东大学学报1 9 9 8 ，3 3 ( 0 ：2 6 2 9 【7 j m w o r r e l l a n dh h w i c k e c h a r a c t e r i z a t z o no fd e v e l o p a b l e t o p o l o g i c a l s p a c e s d j c a n d j m a t h ，1 9 6 5 ，1 7 ：8 2 0 - 8 3 0 f 8 】王树泉s ( n ) 一口一闭空间与乘积空间 j 】曲阜师范大学学报1 9 9 7 ， 2 3 ( 4 ) ：1 4 - 17 【9 】s t e p h e n s o nm r s o m eu n s o l v e dp r o b l e m sc o n c e r n i n gp - m i n i m a la n d p - c l o s e d s p a c e s