（基础数学专业论文）非自治动力系统拓扑熵的估计.pdf

j 。：一- 学位论文原创性声明 删删i l f f f i f f i ly 18 2 2 。嘈。j j i i j | i 本人所提交的学位论文非自治动力系统拓扑熵的估计，是在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和 集体，均已在文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 筹茹黧滞冈芸嚣赫瓮。 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在年解密后适用本授权书) 论文作者( 签名) ：等历爹阳 乙p k 年y 月 0 ，使得对任意的z ，y x ，有 d ( x ，y ) 0 ，使得对任意的z ，y x ，有 d ( x ，y ) 3 令d ( x ，y ) 2 所以 厶( z ，可) 2 晌m a x d ( ( z ) ，疗。( 秒) ) 与 d ：l ( z ，y ) = 。 0 ，则 ( ，o o ) - 讹勰 6 l i mh m s u p 元工e - - + o n - - 0 0 1 。gs n ( ，k ) ， d 妇m ( k ) 6 佗 其中k 为x 的任意紧子集 竹l 证明：只需证明对x a = 任意的紧子集kcuk 有 h d ( f a ，k ) 21 m 。a x 。h d ( a ，k ) 口 ( 1 ) 事实上，上式一旦成立，x 的任意紧子集k 能够被有限个球邻域b 1 ，既覆盖， 其中垅n m ( 最) 0 ，对每个死，取甄( n ，e ) ，满足 ( ，k ( 礼，e ) ) 21 m g a r x m ( ，o o ，坞) ， 5 磁 n s m 僦 一 k n s 则 所以 s n ( f l ，。，k ) m 8 n ( ，。，k ( n ，e ) ) 1 0 98 n ( ，e ，k ) l o gm + l o gs n ( ，k ( 扎，) ) 取唧叶o 。，使得 一l i m 1 ，。l o gs n j ( 1 御叫) = l i m 。一8 u p 丢1 0 9 s n ( f l 舯e ，r ) ， 并且，k ( ，) 不依赖于j ( 即对任意歹，有k d n j ，e ) = k ( 。) ) ，因此 s ( ，k ) s ( y l ，( 。) ) 取岛斗0 ，使得k ( 。) 为常数，记为k 。，则 从而( 1 ) 式成立 h d ( f l ，。，k )( 舢战) ，黑h d ( f 舢巧) 口 命题3 设( x ，吨) 是度量空间，i = 1 ，2 矗o o ：五- x 为一致连续映射序列如下 定义乘积空间( 墨x 2 ，d ) 上的度量： 则 d ( ( z l ，x 2 ) ，( y l ，y 2 ) ) = m a x d l ( x l ，y 1 ) ，d 2 ( z 2 ，驰) ) ，x l ，y a x i ，z 2 ，耽) 已 ( 矗丘。) h a 。( 矗) + 危d 2 ( 丘) 特别的，当一个空间为紧度量空间时，有 ( 矗咒) = h a ，( 矗) + 九d 2 ( 咒。) 证明：令kck ，i = 1 ，2 ，为紧子集f , i t k i 的( n ，) 一生成集则只足 为矗。咒o o 下k ，鲍的( n ，) 一生成集从而 6 ( 咒矗。，k 1 鲍) ( 矗。，t q ) ( 矗。，恐) 。 所以 l i r a s u p ，l o o 0 ，设置为矗。- f x x h 拘( n ，6 ) 一分离集，易为咒t k 2 的( n ，6 ) 一分离集，则毋 易为i i , o o 丘o 。t x l 鲍的( n ，6 ) 一分离集，所以 所以 s n ( 矗丘。，坑x a 恐) ( 丑。，6 ，x 1 ) s n ( 置。，正鲍) 1 i i n n s o p 丢l o gs ( f 1 。丘，x ，憨) l i m s u p 妄l o g s n ( 咒。，民x 1 ) s 。( 丘，瓦鲍) n - + o o 扎 。 1 杂密f 去l 。g s n ( 矗，6 ，x ，) +l i m s u p ：= 1l o g s n ( 置，正尬) n - - + 0 0 礼 7 令jo0 ，得： ( 矗。冠o 。，x 进而由( 4 ) 得 h a ，( y l ，x 1 ) + 九d 2 ( 疋o 。，鲍) ( 置丘。) h a ，( 咒。) + d 2 ( 蛙。) 由( 3 ) 和( 5 ) ，立即得到，当x 1 ，恐其中之一为紧度量空间时，有 8 ( 矗。x 丘) = 九d 。( 丘。) + d 2 ( 矗。) ( 5 ) 口 3 具有l i p s c h i t z 性的映射序列的拓扑熵 在本节，我们将针对l i p s c h i t z 映射序列进行讨论，给出其拓扑熵的上界 定义3 设( x ，d ) 为紧度量空间，6 ( ) 为x 的所有e 球覆盖的基数的最小值，则 驷) - 1 1 哿p 鬻 称为x 的球维数 由【6 】知，对具有有限球维数d ( x ) 的紧度量空间( x ，回上的l i p s c h i t z 映射厂而 言，其拓扑熵 ( ，) 满足： h ( y ) sd ( x ) m a x ( 1 ，l o gl ( f ) ) ， 其中l ( ，) = s 。u 劫p 掣为，的l i p s c h i t z 常数类似地，当系统为非自治动力 系统时，我们有如下结果： 定理1 设( x ，d ) 是具有有限球维数d ( x ) 的紧度量空间， ，是x 上的l 咖s 拍打z 连 续映射序列，则 九( 川d ( x ) m a x o l i i ns u p 寺1 0 9 ( l ( 舢， 其中工( ) 为 的l 枷如讹常数 证明：由l ( 五) 的定义，易见对任意i n ，有 d ( f i ( x ) ，五( 秒) ) 1 ，于是 n o o t = 1 l i ms u p l l 。gs ( i i ，。，e ) n - - + ，。驯i n s u 吲10 9 6 ( ( 垂跚) ) _ 1 e ) 令e _ 0 ，则得 h ( f l ，o o ) d ( 刚l i r a s u p 麦l o g ( l ( m 结合此不等式及上述假设，即得要证明的不等式 口 由于对微分流形来说，球维数等价于空间维数，并且对紧黎曼流形上的c 1 映 射，而言，l ( f ) = s u pi i 如州，从而由命题4 得到以下结论： 推论1 设m 是k 维紧黎曼流形， ，= 五) 瞿1 是m 上的c 1 映射序列，且满足 则 s u pl l 如五i i ， i e n ，x e m 危( b ) m a x 0 l i i n s u p 等善1 0 9m a xi i d z f i i n - c o o ，= 山c w 若将上述推论中对黎曼流形的“紧”的要求去掉，其余条件不变，我们仍可利 用命题2 得到相同的结论即 定理2 设m 是后维黎曼流形， ，o o = 五) 罂l 是m 上的c 1 映射序列，且满足 s u pl i 如五l i 0 ，取c = i j 一，则 扭1 ( r r n i ) 6 因此 令j0 ，则 由命题2 ，得到 (b)(4(1-_ai)b)仇：(ii。圹(了4bk ) m ( ，。，) ( 2 ) 仇= ( 1io i ) m ( 了) m r ( ，k ) m a x 。，l i i n n 叶s 。u pm 。e ；：。l 。gn ) 晰舯琊一 0 l i n 2 s u p 署1 哪) u o o ) m a x 0 i l j i n l + ls 。u p - - m e ：，l 。嘲 口 4 环面扩张自同态序列的拓扑熵的估计 设 ，= 五) 譬l 是( 置d ) 上的连续映射序列，如果满足：对任意的 0 ，都 存在6 o ，使得对任意的z ，y x ，i n ，有d ( x ，y ) 6 号d ( ( z ) ，五( y ) ) o 满足 7 ri b ( i ，d ：b ( z ：5 ) - - + b ( 丌( z ) ，j ) ( 6 ) 是一一映射若五，o o = 五) 墨。和 ，= 五) 罄，分别是戈和x 上的等度连续映射序 列，且满足对任意的i n ，7 r 五= 五7 r ，则 ( ，o 。) = ( ，o o ) 证明：若露是又的紧集，j | d i a m ( k ) 6 ，则丌( 露) 为x 上的紧集，且出n m ( 7 r ( 露) ) 6 x 上每个半径小于6 的紧集都具有上述形式，也就是说，若k 是x 上的紧集，并 且其半径小于6 ，则至少存在元中一个紧集露，满足露的半径小于6 ，且7 r ( 露) = k 因为对任意的i n ，五是等度连续的，所以存在( 0 ：占) ，满足 d ( e 刃 。1 + i m 。l i m n + s 。u p 一去l 。gm ( d 。( o ，2 e ，a l ，。) ) ( 1 0 ) 令是包含p 的原点d 的边长为2 9 的q 维方体，若e 是的( 礼，) 一分离集， 则u 以( z ，鼍，a 1 ，。) 是互不相交的并集，且 ，p 二 所以 故有 ud n ( z ，吾，a l , o o ) = u + 巩( z ，吾，a ，) ) c 托 x e e。xee 。 氏( ，) m ( 仉( o ，三，a l ，。) ) s2 n ( 口+ e ) n s ( a 1 ，s ，) l i ms u p 一元l o g m ( d ( 0 7 1 - 4 o o，量，a 1 ，) ) ，0 若k 是p 的任意紧子集，则存在q 满足kc ，所以 从而 舭，舯e ，k ) s ( 乱矿，) 驯r o s 。a p 一三l 。g 仇( 玩( o ，三a 一) h p ( a 1 ，) =s u pl i r as ( a l ，o o ，k ) ke _ 1 i m l i m s u p 一三l o g m ( d n ( o ，a 1 ，o 。) ) o o n _ + o o 扎 i = t ( 1 0 ) 及上式得到等式 p ( a 1 ，。) = 。l i 叶m 。1 i i n n 叶s u p 一去l 。gm ( d 。( o ，e ，a l ，。) ) 口 定理3 设a 1 ，是r 七- r 七上的等度连续线f t 自同构，并且对任意的i n ，i x i l ，j = l ，2 ，k 则 1 l l m s u p n + o 。 死 n 一1七 ff - r l ：一 i = 1j = l l o g i a i ( a 1 ，) 鲫i n s u 7 , - - 0 0 p 龛l 。g 人 ( 1 1 ) ，一 其中a 5 ，入：，入5 七是a 的特征值，i n a 1 1 是 研的最大特征值，i n 特别的，当后= 1 时，有 h ( a ，) = l i r a n + s 。u p 去 证明：设d 是瞅上的欧氏度量，由引理6 得 n l l o g j a t l - i = 1 d ( a 1 ，) = 。l i m 。1 i m n s u p 一1 n l o gm ( d n ( o ，a 1 ，) ) 注意到，对任意的线性映射a ：r 七一妒以及任意的b 卯e z 集合bc 舭，有m ( a ( b ) ) = l d e t a l m ( b ) ，所以 则 因此 n 一1 d n ( 0 a l ，。) = n i = 1 a i ( b d ( o ，) ) ca f n 一( b d ( o ，) ) m ( d n ( o ，a l ，) ) m ( a f 一1 ) ( 玩( o ，e ) ) ) i d e t a ；- ( n ) l m ( b d ( o ，) ) n 一1 兀l d e t a i = 1 1 n 一1k 兀n i = 1j = l m ( b d ( o ，e ) ) m ( b d ( o ，) ) 一元1 ，。g m ( 风( 。 。) ) 去，。g n 婴- 1 旦k 旧一去昭m ( 玩( 吣) ) 去l o g n - - 1 ki 定卜去l o g m ( 玩( o m i = 1j = l 1 5 所以 h ( a 1 ，) l i m s u p ：i l o g i a j l ( 1 2 ) n - 9 o o “， 注意到对任意的线性映射a ：瞅_ r 七，有l l a i i = a ( ，其中a ( 1 ) 是、j 。五亍的最大 特征向量所以对任意的z 舭，i i a x l i 人( 1 ) l l x l l ，因此 a - 1 ( b d ( o ，e ) ) ) b d ( o ，- f f 。两) 所以 训0 岛a 圆d 蹦0 商卜 从而 所以 一去l 。g m ( d 棚，e ，钆洲去l o g酗1 ) ) 南+ 丢b g 柏( 0 圳 = 罢眵+ 三一酬球n ( a ，) s 熙元k 芸n - 1l 。g a p 由( 1 2 ) ( 1 3 ) ，即得( 1 1 ) 由推论2 和定理3 ，我们得到以下结果： ( 1 3 ) 口 定理4 设a 1 ，= a 墨1 是俨上的等度连续满同态，五，= 五攉1 是破上相应 的线性自同构，若对任意的i n ，五的所有特征根的模都大于，则 h m s 。u p 元1 备n - - 1 ；k ，o sl a 引 ( 屯) h m s 。u p 元k 备n - 1 。g a 黪 其中a 5 ，a 纪，a 5 南是五的特征值，i n ，人：1 是 特别的，当k = 1 时，有 h ( a ，o o ) = l i i n s u p 去l o gmn o 。“，= 其中九是一维环面s 1 上的自同态a 的映射度 的最大特征值，i n 易知，对线性自同构系统，即由r 七上单一线性映射a 经过迭代产生的系统， 有 ( a ) = l o g a ( i ) i ， ( 1 4 ) i a ( t ) i l 其中a ( ，入( 知) 是a 的特征值，重根按重数计公式( 1 4 ) 的证明依赖于a 的j o r d a n 分 解 令m 为闭黎曼流形，是m 上的可微映射，对任意的z m ，沿z 的轨道的微 分序列自然地产生了一个非自治动力系统，由变分原理和r u e u e 不等式，能够得 到 w ) s u p 厶；对( 咖舡) 忡) ) 其中p 为，的不变测度，对0 ) 是正l y a p u n o v 指数，m i 0 ) 是它的重数 然而，基于本文考虑的非自治线性动力系统，我们只能得到可扩系统拓扑熵 的上下界，而不能得到一般系统拓扑熵的估计，这是由于映射序列的不变分解 和l y a p u n o v 指数在一般系统中不一定存在所造成的 参考文献 【1 】r a d l e r , a k o n h e i m ，m m c a n d r e w ，t o p l o g i c a le n t r o p y ，t r a n s a m e r m a t h s o c ，19 6 5 ，l1 4 ：3 0 9 319 【2 】r b o w e n ，e n t r o p yf o rg r o u pe n d o m o r p h i s m sa n dh o m o g e n u o u ss p a c e s , t r a n s a m e r m a t h s o t ：，1 9 7 1 ，1 5 3 ：4 0 1 4 1 4 【3 】e w a l t e r s ，a ni n t r o d u c t i o nt oe r g o d i ct h e o r y ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ，h e i d e l b e r g ， b e r l i n ，19 8 2 【4 】s k o l y a d aa n dl s n o h a ，t o p o l o g i c a le n t r o p yo fn o n a u t o n o m o u sd y n a m i c a ls y s t e m s ， r o n d a ma n dc o m p u d y n a m ，19 9 6 ，4 ( 2 ，3 ) ：2 0 5 2 2 3 【5 】s k o l y a d a ，m m i s i u r e w i c za n dl s o n h a , t o p o l o g i c a le n t r o p yo f n o n a u t o n o m o u sp i e c e w i s em o n o t o n ed y n a m i c a ls y s t e m so ni n t e r v a l f u n d m a t h ，1 9 9 9 ，1 6 0 ，1 6 0 - 1 8 1 【6 】a k a t o k ，b h a s s e l b l a t t j n t r o d u c t i o nt ot h em o d e r nt h e o r yo f d y n a m i c a ls y s t e m s ，n e w y o r k ：c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，19 9 5 【7 】z h a n gj i n l i a n ，z h uy u j u na n dh el i a nf a ，p r e i m o g ee n t r o p y f o rn o n a u t o n o m o u sd y n a m i c a ls y s t e m s ，a c t am a t h s i n i c a , 2 0 0 5 , 4 8 ( 4 ) ，6 9 3 7 0 2 【8 】z h uv u j u n ，z h a n gj i