（基础数学专业论文）半环中的粗糙集.pdf

摘要 粗糙集作为一种处理不精确、不确定与不完全数据的新的数学理论，最初 是由波兰数学家z p a w l a k 于1 9 8 2 年提出的现今，将粗糙集与代数结构、拓扑结 构、序结构不断整合，涌现出了新的富有生机的数学分支本文将籽l 糙集理论同 代数系统中的半环结合起来，通过上、下近似，研究了半环中的粗糙集 本文共分三章第一章，简要的介绍了粗糙集的研究概况及半环的基本知识 第二章，引进半环的粗糙左理想( 右理想，理想，双理想，拟理想) 的概念我们发 现，在半环中，一个左理想( 右理想，理想，双理想，拟理想) ，必定是粗糙左理想( 右 理想，理想，双理想，拟理想) 进一步，研究了半环中粗糙理想在给定运算( 如积，交 等) 下的封闭性同时，还讨论了粗糙理想在半环同态下的不变性第三章，把文 献 2 0 】中交换环的粗糙模糊理想的性质推广到了半坏中我们发现，半环的一个 左模糊理想( 右模糊理想，模糊理想) 必定是粗糙左模糊理想( 右模糊理想，模糊理 想) ，并且还研究了半环中的t l e v e l 模糊子集和t s t r o n gl e v e l 模糊子集另 外，讨论了半环中关于模糊同余的上、下近似 关键词 半环，同余关系，上、下近似，粗糙( 模糊) 理想，模糊同余 a b s t r a c t r o u g hs e t sa sad e a lw i t hi m p r e c i s e ，u n c e r t a i na n di n c o m p ! e t ed a t ao ft h e n e wm a t h e m a t i c a lt h e o r y , w e r ef i r s tc o n s i d e r e db yt h ep o l i s hm a t h e m a t i c i a n z p a w l a ki n1 9 8 2r a i s e d n o w a d a y s ，c o n n e c t e dr o u g hs t r u c t u r ew i t ha l g e - b r as t r u c t u r e ，t o p o l o g ys t r u c t u r ea n do r d e rs t r u c t u r e ，m a n yn e wp r o s p e r o u s m a t h e m a t i c sb r a n c h e sh a v ea p p e a r e d i nt h i sp a p e r ，c o n n e c t e dr o u g hs t r u c t u r e w i t ht h es e m i r i n g so fa l g e b r as t r u c t u r e ，u s i n gt h ec o n c e p t so fl o w e r ( u p p e r ) - a p p r o x i m a t i o n ，w ed i s c u s s e dt h er o u g hs e t si ns e m i r i n g t h ed i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，t h eb a c k g r o u n d ， t h ep r e s e n ts t a t eo fr o u g hs e t st h e o r ya n ds o m ef u n d a m e n t a lk n o w l e d g ea b o u t s e m i r i n g sa r es i m p l yi n t r o d u c e d i nc h a p t e rt w o ，w ei n t r o d u c e dt h ec o n c e p t so f r o u g hl e f ti d e a l ( r i g h ti d e a l ，i d e a l ? b i i d e a l ，q u a s i i d e a l ) i ns e m i r i n g s ，a n dt h e n h a v et h ec l u s i o n so ft h a tt h el e f ti d e a l ( r i g h ti d e a l ，i d e a l ，b i - i d e a l ，q u a s i i d e a l ) i s t h e r o u g hl e f ti d e a l ( r i g h ti d e a l ，i d e a l ，b i i d e a l ，q u a s i i d e a l ) i ns e m i r i n g s f u r t h e r ， w ed i s c u s s e dt h ec l o s e n e s so fr o u g hi d e a l su n d e rt h eg i v e no p e r a t i o n ss u c ha s p r o d u c t sa n di n t e r s e c t i o ne c t i ns e m i r i n g s a n dt h e n ，w ed i s c u s s e dt h ei n v a r i - a n c eo fr o u g hi d e a l su n d e rt h eh o m o m o r p h i s mi ns e m i r i n g s i nc h a p t e rt h r e e ， w ee x t e n d e dt h ep r o p e r t i e so fc o m m u t a t i v er i n g so nr o u g hf u z z yi d e a l st os e m i r - i n g s ，a n dt h e nw eh a v es o m ep r o p e r t i e so ft - l e v e lf u z z ys u b s e t sa n dt - s t r o n gl e v e l f u z z ys u b s e t si ns e m i r i n g s a tl a s t ，w ed i s c u s s e dt h el o w e r ( u p p e r ) 一a p p r o x i m a t i o n o ff u z z yc o n g r u e n c ei ns e m i r i n g s k e y w o r d s s e m l n n g s ，c o n g r u e n c e ，l o w e r ( u p p e r ) 一a p p r o x i m a t i o n ，r o u g h 【i u z z y ) i d e a l s ， 、 ，“、 f u z z yc o n g r u e n c e 1 l 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 霎差蓑妻凳萎妻茎亍霉主蚕：函二指导教师签名：燃 学位论文作者签名：逛缉塑刍指导教师签名：槛型! 至 细7 年舌月侈日哆年彤月f 厂日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：了艮向唱 叩年衫月 两北入学硕l j 学似论文 1 1引言 第一章绪论 半环概念最早是由d e d e k i n d 于1 8 9 4 年在代数数论的原著中提出的目前为 止，半环的理论已十分丰富，它的应用也非常广泛，不仅遍及数学的众多分支，例 如：组合学，泛函分析，拓扑学和欧氏几何等，而且在物理学，化学，天文，建筑，信息 与通讯，理论计算机科学乃至找矿等自然科学与技术领域里都有广泛和深入的 应用迄今为止，已有不少关于半环的理论和应用专著涌现，如 1 1 4 】等 本文研究半环中的粗糙集理论及模糊集理论，主要是从理论上把代半环同 粗糙集理论及模糊集理论联系起来下面我们简要的了解一下粗糙集理论和模 糊集理论的研究概况： 粗糙集( r o u g hs e t ) 理论是1 9 8 2 年由波兰学者z p a w l a k 提出的处理含糊和 不确定性问题的新型数学工具该理论是建立在分类机制基础上的，它将分类 理解为在特定空问上的等价关系，而等价关系构成了对该空问的划分经过近 些年的研究和发展，粗糙集已经从理论上同趋完善，且已经被证实在实践中是 非常有用的，其在信息系统分析、人工智能及应用、决策支持系统、知识与数 据发现、模式识别与分类、故障检测、过程控制等诸多领域都取得了成功的应 用 ( 1 ) 粗糙集的数学理论方面的研究 主要有粗糙集代数、粗糙集拓扑及其性质、粗糙逻辑等方面的研究在数 学理论方面的研究是粗糙集理论形成和发展的基础 在粗糙集理论研究中构造性方法和公理化方法已成为两种最基本的方法 其中构造性方法是从一个二元关系出发定义一对上下近似算子，由不同的二元 关系决定不同的近似算子，从而可以构造不同类型的粗糙集代数，如序列粗糙 集代数、对称传递粗糙集代数、p a w l a k 粗糙集代数等而公理化方法是通过 l 第一章绪论 定义满足不同的特定的公理系统的一对对偶近似算子来刻画不同类型的秆l 糙集 代数的：这种方法又称奉h 糙集代数方法 ( 2 ) 数据预处理机制的研究 在绝大多数情况下，同一个信息系统中既包含连续属性，又包含离散属 性粗糙集理论只能处理离散型数据，而不能直接处理连续属性，在实际应用中 必须先对连续属性值进行离散化处理，这一局限大大限制了粗糙集理论的应用 范围因此，将粗糙集理论拓展以能够处理连续属性，这既是粗糙集理论发展 的要求，也是实际应用的需要目前，对于连续属性的处理主要采用离散化的 方法，连续属性的离散化问题在粗糙集理论分析的其他环节之前，故它属于粗 糙集理论中的预处理问题之一数据预处理的另一个重要内容是对不完备信息 表的完备化目前主要通过各种途径来对信息表中的遗漏数据进行补齐 ( 3 ) 关于约简算法的研究 在粗糙集理论的各种应用中，属性约简算法具有重要意义，是知识发现的 重要课题，因而对属性约简算法的研究一直是粗糙集理论研究中的核心作用问 题之一根据粗糙集中的定义寻找属性的最小约简，会导致组合爆炸问题，已 被证明是一个n p h a r d 问题，因此需要研究更为有效的约简算法，而运用启发 信息来简化计算是最直接的思想目前最常采用的是基予启发方法找出一个最 优或次优约简，其中基于”属性重要性”思想的启发式算法得到了广泛的研究 ( 4 ) 粗糙集模型的扩展 p a w l a k 提出的经典的粗糙集模型在应用于数据分析时，会遇剑噪声、数 据缺失、大数据量、连续属性离散化等具体问题，造成了实际效果不是很理 想因此，p a w l a k 粗糙集模型的扩展一直是拳h 糙集理论研究的主流方向目前 主要有两种方法：构造性方法和代数( 公理化) 方法迄今为止，人们提出了许 多粗糙集模型的扩展模型，其中最典型的有可变精度粗糙集模型和相似模型 ( 5 ) 与其他处理不确定性问题的理论或方法之问的关系和互补 目前关于粗糙集理论与其他处理不确定性问题的理论或方法之间的关系的 研究，主要集中在与模糊数学、d s 证据理论、概率统计理论和信息论、神经 2 两北人学伪ii j 学位论文 网络等的相互渗透与补充这些研究表明粗糙集理论和它们都有交叉的部分， 不能够互相取代，反而需要相瓦补充融合，揭示它们之问内在的联系和本质的 区别是非常有意义的研究课题 粗糙集理论最初和主要的研究采用的是构造性方法在z p a w l a k 粗糙集模 型中，等价关系是关键和原始的概念然而，等价关系是一个过于严格的条件，其 限制了粗糙集模型的一些主要应用针对这个问题，文献 1 5 1 9 1 用非等价二元 关系推广了粗集近似算子，这一成果的出现，引起了学术界研究其它不同类型近 似算子的热潮另一方面用u 上的一个等价关系，在模糊关系理论下，引入上、 下近似，就得到了一个推广的概念，称为粗糙模糊集 2 0 2 2 】相反的，用模糊相似 关系代替等价关系，就得到模糊粗糙集 23 1 本文只研究粗糙模糊集的情形 目前，纯粹的数学理论与粗糙集理论结合起来进行的研究已有文章出现，并 不断的有新的数学概念出现，如“粗糙理想” 2 4 】，“睾h 糙群”【2 5 2 7 】等等我们认 为，随着粗糙结构与代数结构、拓扑结构、序结构的不断整合，必将涌现出新 的富有生机的数学分支 本文在目前粗糙代数方面所做工作的基础上，进一步研究了半环中的粗糙 理想以及粗糙模糊理想本文共分三章第一章是绪论，里面涉及到粗糙集理论 的研究概况以及以后几章中所涉及的定义及预备知识；第二章主要研究了半环 中关于同余关系下的粗糙理想：粗糙双( 拟) 理想以及粗糙理想在半环同态下的 不变性；第三章主要研究了半环中的模糊集关于同余关系的粗糙模糊理想以及 半环中关于模糊同余的上、下近似 1 2 预备知识 定义1 2 1 设s 是非空集合，若s 是装有两个二元运算“+ 和“ 的( 2 ，2 ) 型代数，且满足条件： ( 1 ) ( s ，+ ) 和( s ，) 是半群； 3 铭一章绪论 ( 2 ) ( vn ，b ，c s ) ( n + 6 ) c = a c + b e 和c ( a + b ) = c a + c b ， n ( s ，+ ，) 称为半环 半坏s 的任意两个非空子集a b ：记 a + b = n + b ：n a ，b b ) ； a b = a b ：a a ，b b ) ； n a 术b = a i b i ：n a ，b i b ，i = 1 ，2 ，钆 i = 1 定义1 2 2 设x 是非空集合，p 是x 上的二元关系， ( 1 ) 若对于任意的x x ，均有zpx ，则称p 具有反身性； ( 2 ) 若对于任意的x ，y x ，x p y 号y p x ，则称p 具有对称性； ( 3 ) 若对于任意的z ，y ，。x ，x p y ，y p z 令x p z ，则称p 具有传递性 定义1 2 3 设x 是非空集合，p 是x 上的二元关系，若p 具有反身性、对称 性、传递性，则p 称为x 上的等价关系设p 是半群( s ，) 上的等价关系，若对任 意z s ，( a ，b ) j 9 的可得 ( a x ，b x ) p ，( x a ，x b ) p ， n p 称为半群s 上的同余关系 设p 是半环( s ，+ ，) 上的等价关系，对任意x s ，( a ，b ) p 有 ( a + z ，b + x ) p ，( z + a ，x + b ) p ，( a x ，b x ) p ，( x a ，x b ) p ， 则称j d 是半环s 上的同余关系；用 n 】d 表示n 所在的p 同余类；即p 是半环s 上的同余 关系当且仅当p 既是s 的加法半群( s ，+ ) 上的同余关系，又是s 的乘法半群( s ，) 上 的同余关系 引理1 2 4 设p 是半环( s ，+ ，) 上的等价关系，则p 是半环s 的同余的充分必 要条件为v a ，b ，c ，d s ， ( a ，b ) p ，( c ，d ) p ( a + c ，b + d ) p ，( a c ，b d ) p 4 两北大学硕l j 学位论文 证明( 充分性) 若v a ，b ，c ，d s ，( a ，b ) p ，( c ，d ) p 号( a + c ，b + d ) p ，( a c ，b d ) p 取c = d 则( a + c ，b + c ) ep ，( a c 。b c ) j d 取a = 6 ：n ( a + c ，a + d ) p ，( a c ，a d ) p 即j f ，是半坏s 的同余 ( 必要性) 设p 是半环s 的同余，v a ，b ，c ，d s ，若( n ，b ) p ，( c ，d ) p ，我们 有( n + c ，b + c ) p ：( b + c ，b + d ) p ，( a c ，b c ) p ，( b c ，b d ) j d 根据p 的传递性则 有( n + c ，b + d ) p ，( a c ，b d ) p 引理1 2 5 设p 是半环s 上的同余，a ，b s ，则 【n 】p + 6 】p 陋+ 6 】p ，【o 】p 【6 】p n 6 】p 证明设：= x y 使得z n 】p ，y 6 】p ，n ( x ，a ) p ，( y ，b ) p 因为p 是半 环s 上的同余，则( z ，a b ) p ，即z = x y 【n 6 】p 从而证明了阔p h i p 至 a b p 类似的可证 n 】p + 【6 】p t 2 + 6 】p 由上述定理，我们引出完备同余的概念 定义1 2 6 设p 是半环s 上的同余，a ，b s ，若 n p + 【6 】p = o + 6 】p ， o 】p b l p = 0 6 】p ，则称p 是半环s 上的完备同余 定义1 2 7 1 6 1半环s 的一个非空子集a w q 做s 的子半环是指a + a a ，a a a 半环s 的一个非空子集a , q 做s 的左( 右) 理想是指a 是s 的子半 环，且s a a ( a s a ) ；如果a 既是s 的左理想，又是s 的右理想，则称a 是s 的 理想? 定义1 2 8 设s ，t 是半坏，映射妒：s _ t 称作是s n t 的同态是指若v a ，b s ，有 妒( n + b ) = 妒( o ) + 妒( 6 ) ，妒( n 6 ) = 妒( 口) 妒( 6 ) 如果映射妒是单映射，则称妒是s _ t 的单同态；如果映射妒是满映射，则 称妒是s _ 丁的满同态 本文未提到的有关半环及泛代数的概念，请参阅文献 2 8 3 0 】 5 第二章半环的辋l 挺删怨 第二章半环的粗糙理想 文献 2 l 】研究了半群的粗糙理想，首次提出了粗糙半群和卡h 糙理想的概 念本文引进半环的粗糙左理想( 右理想，理想，双理想，拟理想) 的概念我们发 现，在半环中，一个左理想( 右理想，理想，双理想，拟理想) ，必定是粗糙左理想( 右 理想，理想，双理想，拟理想) 进一步，研究了半环中粗糙理想在给定运算( 如积，交 等) 下的封闭性同时，还讨论了粗糙理想在半环同态下的不变性 2 1 预备知识 设p 是半环s 上的一个同余关系，ass ，a 囝，记 p 一( a ) = z s ：【z 】p a ) ；p 一( a ) = z s ：【z 】pna 历) 称p 一( a ) 和p 一( a ) 分别为a 关于p 的下近似和上近似，称p ( a ) = ( j d 一( a ) ，p 一( a ) ) 为a 在s 中的粗糙集 下面给出上、下近似在半环中的一些性质 定理2 1 1 设p 是半坏s 上的同余关系，a ，b 是s 上的非空子集，则 ( 1 ) p 一( a ) a p 一( a ) ； ( 2 ) p 一( aub ) = p 一( a ) u p 一( b ) ； ( 3 ) p 一( anb ) = p 一( a ) n p 一( b ) ； ( 4 ) a b 令l p 一( a ) 曼p 一( b ) ； ( 5 ) a b 专p 一( a ) j 9 一( b ) ； ( 6 ) p 一( anb ) p 一( a ) n p 一( b ) ； ( 7 ) p 一( aub ) 2p 一( 4 ) u p 一( b ) ； ( 8 ) p 一( s ) = s ，p 一( s ) = s 定理2 1 2 设p 是半环s 上的同余关系，a ，b 是s 上的非空子集，则 ( 1 ) p 一( a ) p 一( b ) cp 一( a 口) ； ( 2 ) 若p 完备时，p 一( a ) p 一( b ) p 一( a b ) 6 两北大学颀f ? 学位论文 2 2 半环的粗糙理想 首先给出半环的粗糙子半环及料糙理想的概念 定义2 2 1 【12 1 设p 是半环s 上的同余关系，a 是s 的非空子集，若p 一( a ) 是s 的 子半环，则称a 是s 的上粗子半环；若p 一( a ) 是s 的子半环，则称a 是s 的下粗子半 环；若a 既是s 的上卡r 子半环，又是s 的下粗子半环，则称a 是s 的粗糙子半环 定义2 2 2 【1 2 1 设p 是半环s 上的同余关系，a 是s 的非空子集，若p - ( a ) 是s 的 左理想( 右理想，理想) ，则称a 是s 的上粗左理想( 右理想，理想) ；若p 一( a ) 是s 的左 理想( 右理想，理想) ，则称a 是s 的下粗左理想( 右理想，理想) 若a 既是s 的上粗左 理想( 右理想，理想) ，又是s 的下粗左理想( 右理想，理想) ，则称a 是s 的粗糙左理 想( 右理想，理想) 定理2 2 3 【1 2 】设p 是半环s 上的同余关系，a 是s 的子半环，则 ( 1 ) a 是s 的上粗子半环； ( 2 ) 若p 完备且j d 一( a ) 非空，则a 是s 的下粗子半环 推论2 2 4 设p 是半环s 上的完备同余关系，a 是s 的子半环，若p 一( a ) 非 空，则a 是s 的拳r 糙子半环 定理2 2 5 设p 是半环s 上的同余关系，a 是s 的左理想( 右理想，理想) ，则 ( 1 ) a 是s 的上粗左理想( 右理想，理想) ； ( 2 ) 若p 完备且p 一( a ) 非空，则a 是s 的下粗左理想( 右理想，理想) 证明( 1 ) 若a 是s 的左理想，即a 是s 的子半环且s a a 由定 理2 2 3 知，p 一( a ) 是s 的子半环n s p 一( a ) = p 一( s ) p 一( a ) = p 一( s a ) 冬p 一( a ) 故p 一( a ) 是s 的左理想即a 是s 的上粗左理想同理可i i i ! a 是s 的上粗右理想( 理 想1 ( 2 ) 类似证明( 1 ) 推论2 2 6 设p 是半环s 上的完备同余关系，a 是s 的左理想( 右理想，理 想) ，若p 一( a ) 非空，则a 是s 的料糙左理想( 右理想，理想) 定理2 2 7 设p 是半环s 上的同余关系，a ，b 是s 的左理想( 右理想，理 7 第二幸平环的辑l 糙理想 想) ，且( s ，+ ) 是可换半群：则 ( 1 ) a + b 是s 的上粗左理想( 右理想理想) ； ( 2 ) 若p 完备r p 一( a + b ) 非空，n a + b 是s 的下耔 左理想( 右理想，理想) 证明( 1 ) 因为ab 是s 的左理想? r p a ，b 是s 的子半环，且s a 冬a ，s b b 又因为( s ，+ ) 是可换半群，故( a + b ) + ( a + b ) = ( a + a ) + ( b + b ) a + b 又s ( a + b ) = s a + s b 冬a + b 故4 + b 是s 的左理想根据定 理2 2 5 知，a + b 是s 的上粗左理想同理可证a + b 是s 的上粗右理想( 理想) ( 2 ) 类似证明( 1 ) 推论2 2 8 设p 是半环s 上的完备同余关系，a ，b 是s 的左理想( 右理想，理 想) ，且( s ，+ ) 是可换半群，若p 一( a + b ) 非空，则a + b 是s 的粗糙左理想( 右理 想，理想) 定理2 2 9 设p 是半环s 上的同余关系，a ，b 是s 的左理想( 右理想，理想) ，则 ( 1 ) a 木b 是s 的上粗左理想( 右理想，理想) ； ( 2 ) 若p 完备r p 一( a 水b ) 非空，则a 木b 是s 的下粗左理想( 右理想，理想) 几n 证明( 1 ) v a i b i ，o 簸a 木b ，i = 1 ，2 ，咒，因为a ，b 是s 的左理 i = li = 1 想，显然a i b i + n ：a 丰b y , n x s ，v o i a , b ，因为半坏满足乘法 i=l扛=l = l 住n 对加法的分配律，故z ( a i b i ) = ( z a i ) b i a 奉b ，从而a 木b 是s 的左理想根 = l i = 1 据定理2 2 5 知，a 木b 是s 的上粗左理想同理可i i e a 木b 是s 的上粗右理想( 理想) ( 2 ) 类似证明( 1 ) 推论2 2 1 0 设p 是半环s 上的完备同余关系，a ，b 是s 的左理想( 右理想，理 想) ，若p 一( a 术b ) 非空，n a 木b 是s 的粗糙左理想( 右理想，理想) 定理2 2 1 1 设p 是半环s 上的同余关系，a ，b 是s 的左理想( 右理想，理想) ，则 ( 1 ) anb 是s 的上粗左理想( 右理想，理想) ； ( 2 ) 若p 完备h _ p 一( anb ) 非空，则anb 是s 的下粗左理想( 右理想，理想) 证明( 1 ) 因为a ，b 是s 的左理想，即a ，b 是s 的子半环，且s aga ，s b 冬b 又因为( a n s ) + ( a n b ) a a b ，s ( a n b ) s a a s b a n b ，故a n b 是s 的 8 两北大学硕l j 学位论文 左理想根据定理2 2 5 知：anb 是s 的上粗左理想同理可证4n 日是s 的上粗右 理想( 理想) ( 2 ) 类似证明( 1 ) 推论2 2 1 2 设p 是半环s 上的同余关系，a ，b 是s 的左理想( 右理想，理 想) ，若p 一( anb ) 非空，则anb 是s 的粗糙左理想( 右理想，理想) 设p 是半环s 上的同余关系，a s 记 p 一( a ) p = x s p ：x a ) ，j 9 一( a ) p = x s p ：xn 4 d ) 这样，p 一( a ) p ，p 一( a ) p 作为商半环s i p 的子集有如下结果： 定理2 2 1 3 1 2 1 设p 是半环s 上的同余关系，a 是s 的子半环，则 ( 1 ) p 一( a ) p 是s p 的子半环； ( 2 ) 若p 一( a ) ，非空，则p 一( a ) p ；p a s i p 的子半环； 证明 ( 1 ) 因为a 是s 的子半环，则d p 一( a ) p v x ，y p 一( a ) p ，则x n a 0 ，y o a 仍，即存在a ，b s ，使得a x o a ，b y n a 显然，a b xy a + b x + y 因为a 是s 的予半环，故a b a ，a + b a 从而0 6 x y n a ，a + b ( x + y ) n a 即x y j d 一( a ) p ，x + y j d ( a ) p 故p 一( a ) p 是s p 的子半环 ( 2 ) v x ，y j d 一( a ) p ，则x a ，y a 因为a 是s 的子半坏，则x + y a+aga ，x y a aga 故x + y p 一( a ) p ，x y p 一( a ) p 即，一( a ) p 是s p 的子半坏 定理2 2 1 4 1 2 】 设p 是半环s 上的完备同余关系， ( 1 ) 若a 是s 的上粗理想，则p 一( a ) 肋是s p 的理想； ( 2 ) 若4 是s 的下粗理想，则p 一( a ) p 是s p 的理想 下面简单讨论一下半环的k 一理想的粗糙性质： 定义2 2 1 5 9 1设，是半环s 的理想，若v a i ，8 s ，8 + a i 兮s i ，则 称，是半环s 的七一理想 定义2 2 1 6 设p 是半环s 上的同余关系，a 是s 的非空子集，若p 一( a ) 9 第一：章半环的辑 糙理怂 是s 的k 一理想：则称a 是s 的上粗k 一理想；若p 一( a ) 是s 的后一理想则称a 是s 的下 粗后一理想 定理2 2 1 7 设p 是半环s t ：的同余关系，是半环s 的k 一理想，若p 一( j ) 非 空，则j 是s 的下粗后一理想 证明因为j 是半环s 的k 一理想，则j 是半环s 的理想：根据上面定理 知p 一( j ) 是s 的理想v s s 口j d 一( j ) ，若s + n p 一( ，) ，即 s + 司p i v s 【s 】p ，n 纠p ，因为p 是半环s 上的同余关系，则s 7 + n 7 【s + o 】p ，即s + n 7 i 又因为n p 一( ，) ，即 o p ，故n i 因为是半环s 的七一理 想：故s ，故【s 】p j 即s p 一( j ) 所以p 一( j ) 是s 的七一理想，即，是s 的下 粗忌一理想 注：当p 是半环s 上的同余关系，是半环s 的k 一理想时，不一定是s 的上 相允一理想 2 3 半环的粗糙双( 拟) 理想 在讨论了半环的单边理想的一些卡h 糙性质之后，下面讨论一下半环的双理 想、拟理想的粗糙性质 定义2 3 1 【7 】半环s 的一个非空子集a 称作是s 的双理想是指a 是s 的子半 环且a 木s 宰a a 定义2 3 2 7 1 半环s 的一个非空子集a 称作是s 的拟理想是指a 是s 的子半 环且a 木sns 宰a a 定义2 3 3 设p 是半环s 上的同余关系，a 是s 的非空子集，若p 一( a ) 是s 的双( 拟) 理想? 则称a 是s 的上粗双( 拟) 理想；若p 一( a ) 是s 的x x ( 拟) 理想，贝0 称a 是s 的下粗x x ( 拟) 理想若a 既是s 的上粗双( 拟) 理想，又是s 的下粗双( 拟) 理 想，则称a 是s 的粗糙双( 拟) 理想 在讨论半环的x x ( 拟) 理想的粗糙性质之前，我们先给出半环上，关于上、下 近似的一条重要的性质，这在后面的研究中起着至关重要的作用 1 0 两北人学硕i j 学位论文 定理2 3 4 设p 是半坏s 上的完备同余关系，a ，b 是s 上的非空子集，则 ( 1 ) p 一( a ) ：i cp 一( b ) p 一( a 木b ) ； ( 2 ) p 一( a ) 牢p 一( b ) p 一( a ：j cb ) ，l 证明( 1 ) v c p 一( a ) 枣p - ( b ) ，n c = a m b m ，( 其中n p 一( a ) ，b m t = 1 p 一( b ) ，i= 1 ，2 ，佗) ，即 【n 】pna g ，【6 】pi - 1b 历 则j q ，如s ，使得q a m p 且白a ，也e b i n p 且如b 显然 q 也a 木b i - - - - - 1 n竹n佗 又q 也 n 】p 6 彬】p = 【a p b m 】p = 【n 】p 从而 i = 1i = li - - - - 1t = 1 故 o 6 】p ma 牢b 乃 1 = 1 c = a p i b p i p 一( a 半b ) t = 1 ( 2 ) v c p 一( a ) 木p 一( b ) ，贝0 c = 1 ，2 ，n ) ，即陋】p n n 】p 6 】p a 术b = 1 他 a p i b p i ，( 其中n 历 i - - - - - 1 ga ， 】p b 从 即c p 一( a 木b ) p 一( a ) ，p 一( b ) ，l ，l o 6 历】p = n 6 】p = t = 1 定理2 3 5 设p 是半环s 上的完备同余关系，a 是s 的双理想，则 ( 1 ) a 是s 的上粗双理想； ( 2 ) 若p 一( a ) 非空，则a 是s 的下粗双理想 证明( 1 ) 若a 是s 的双理想，即a 半s 木asa 且a 是s 的子半环，故p 一( a ) 是s 的 子半环z p 一( a ) 掌s 木j d 一( a ) = j d 一( a ) 木p 一( s ) 木j d 一( a ) gp 一( a 术s 木a ) p 一( a ) 故p 一( a ) 是s 的双理想即a 是s 的上粗双理想 ( 2 ) 类似证明( 1 ) 1 1 体甜 而 第：章平环的 j i 糙理想 推论2 3 6 设p 是半坏s 上的完备同余关系，a 是s 的双理想若p 一( a ) 非 空：则a 是s 的粗糙双理想 定理2 3 7 设p 是半环s 上的完备同余关系，a 是s 的拟理想，则若p 一( a ) 非 空坝l j a 是s 的下粗拟理想 证明由定理2 3 4 及定理2 1 1 得p 一( a ) 木sns 木p 一( a ) = j d 一( a ) 丰p 一( s ) n p 一( s ) 掌p 一( a ) gp 一( a 木s ) np 一( s 幸a ) = p 一( a 爿csns 术a ) p 一( a ) ，这说 明p 一( a ) 是s 的拟理想，即a 是s 的下粗拟理想 因为两个拟理想的交还是拟理想，从而根据定理2 3 7 易得下面的定理 定理2 3 8 设p 是半环s 上的完备同余关系，a ，b 是s 的拟理想，若p 一( an b ) t e 空，则anb 是s 的下粗拟理想 推论2 3 9 设p 是半环s 上的完备同余关系，厶r 是s 的左，右理想，若p 一( ln r ) t i ；空，则己nr 是s 的下粗拟理想 证明由于半环的左理想( 右理想，理想) 是其拟理想，根据定n 2 3 7 易得 以上三个定理对于半环的上粗拟理想都不成立，那么，我们就要考虑在何时 成立昵? 因为拟理想都是双理想，双理想不一定是拟理想但是，当s 是正则半环 时，双理想是拟理想从而根据定理2 3 5 得到以下定理 定理2 3 1 0 设p 是正则半环s 上的完备同余关系，a 是s 的拟理想，则a 是s 的 上粗拟理想 推论2 3 1 1 设p 是币则半坏s 上的完备同余关系，a 是s 的拟理想，若p 一( a ) 非 空，则a 是s 的粗糙拟理想 同理，当s 是正则半环时，定理2 3 8 和推论2 3 9 对于上粗拟理想也成立 推论2 3 1 2 设p 是正则半环s 上的完备同余关系， ( 1 ) 若a ，b 是s 的拟理想，若p 一( anb ) t e 空，贝, i j anb 是s 的粗糙拟理想； ( 2 ) 若l ，冗是s 的左，右理想，若p 一( lnr ) 非空，则lnr 是s 的粗糙拟理想 以上讨论了半环上的各种粗糙理想，下面讨论一下半环上两个同余关于 上、下近似的关系把文献 2 4 1 的定理3 7 推广n y 半环上 12 两北大学硕i j 学位论文 设口，p 是半环s 上的二元关系a 和p 的积a p 定义如下： q p = ( n ，b ) s s ：j c s ，使得( 口，c ) q 虽( c ，b ) p ) 设q ，口是半环s 上的同余关系，则q p 是同余当且仪当q p = p a 定理2 3 1 3 设p ，入是半环s 上的同余关系且p 入= 入p ，若a 是s 的子半 环，则 p 一( a ) 事，一( a ) ( p a ) 一( a ) 竹 证明v c p 一( a ) 木入一( a ) ，则c = o i 6 i ，( 其中a t p 一( a ) ，b i 入一( a ) ，i = = l 1 ，2 ，佗) ，即存在耽，y i s 使得 x i 【a i pna ，y i 【6 i 】an a n 从而，一方面有翰a ，纨a ，因为a 是s 的子半环，所以x i y i a ；另一方 扛= 1 面，玩】p ，y i b i x ，最p ( x i ，a i ) p ，( y i ，b i ) a 因为p ，入是半环s 上的同余关 系，则 ( x i y i ，o i 犰) p ，( a i y i ，o i 魄) 入， 即( x i y i ，a i b i ) p a 又凶为p a 是半环s 上的同余，所以 咒7 l 从而兢玑【a i b i p i - - - - ii = l 综上所述， 即 c 】p ana 乃故 n c = a i b i ( p a ) 一( a ) 扛= 1 这就证明了p 一( a ) 木入一( a ) ( p 入) 一( a ) 2 4 粗糙理想的半环同态 定理2 4 1 设妒是半环s 1 到半环& 的满同态，j 9 2 是的同余，则 1 3 入 p 玩 口 n 汹 玑 z n 泓 an a p 玩 。 竹m 玑 z n m 第二章中环的 4 l 槌理想 ( 1 ) p l = ( u ，b ) s l s 1 ：( 9 ( n ) ，妒( 6 ) ) p 2 ) 是s 1 j = 的同余； ( 2 ) 若p 2 是完备的且是妒单的，则p 1 是完备的； ( 3 ) 妒( p f ( a ) ) ：= p i ( 妒( a ) ) ； ( 4 ) 妒( p l 一( a ) ) 垦p 2 一( 妒( a ) ) ； ( 5 ) 当垆是单的，则妒( p l 一( a ) ) = p 2 一( 垆( a ) ) 证明 ( 1 ) 设a ，b ) p l ，z s l ，则( 妒( n ) ，妒( 6 ) ) p 2 因为p 2 是& 的同 余，故( 妒( 口) + 妒( z ) ，妒( 6 ) + 妒( z ) ) p 2 ，( 妒( z ) + 妒( n ) ，妒( z ) + 妒( 6 ) ) p 2 ， ( 妒( 口) 妒( z ) ，妒( 6 ) 妒( z ) ) p 2 ，( 妒( z ) 妒( n ) ，妒( z ) 妒( 6 ) ) p 2 ，又因为妒是同态，则 上式为( 妒( n + z ) ，c p ( b + z ) ) p 2 ，( 妒( z + 口) ，妒( z + 6 ) ) p 2 ，( 妒( a z ) ，妒( 6 z ) ) p 2 ， ( 妒( z o ) ，妒( z 6 ) ) p 2 根据p 1 的定义，有( o + z ，b + x ) p l ，( z + a ，z + b ) p z ， ( a x ，b x ) p l ，( x a ，x b ) p 1 ( 2 ) 先证【n 】m 8 1 p 1 = a b ”显然只需证p 。嘲p ，2 【a b ”设z b b p 1 ， 则( z ，a b ) p 1 根据p 1 的定义，有( 妒( z ) ，c p ( a b ) ) p 2 即妒( z ) 陋( n 6 ) 】以= 妒( o ) 垆( 6 ) 】p 2 = 妒( o ) 】p 2 妒( 6 ) 】p 2 从而，| z ，y s 1 ，使得妒( z ) = 妒( z ) 妒( 可) = c p ( x y ) ( 其中妒 ) 妇( o ) 】p 2 ，妒( 可) 眙( 6 ) k ) 因为妒是单的及p l 的定义，有名= x y ( 其中z m y 6 】p ，) 即z 口】p ， 6 】”从而证明了【n 】p 。【6 】p ，2 【a b ” 故【n 】p ，【6 】p 。= 【a b ” 再证 n 】p ，+ 【6 】p 1 = a + 6 】”证明同上述的乘法证明 ( 3 ) 一方面，设y 妒( p f ( a ) ) ，则存在z 万( a ) ，使得妒( x ) = y 且m p lna 仍从而存在a k 】p 1n a ，则妒( o ) 妒( a ) ，( 妒( o ) ，妒( z ) ) p 2 所以【妒( z ) 】p 2n 妒( a ) 谚即可= 妒( z ) p i