（工程力学专业论文）含粘弹性阻尼结构的动力分析.pdf

摘要 本文研究了 含有粘弹性阻尼材料结构的运动方程， 文中的粘弹性材料具有指 数型松弛函数。 研究中 采用了 等效 粘性阻 尼方法， 用经典的二阶常微分 方程等价 地代替积分一 微分型运动方程，使得适用于粘性阻尼的程序和算法在粘弹性问 题 中得以 沿用。 研究内容包括粘弹性结构动力学有限元模型的建立; 多自 由度粘弹 性阻尼的等价;含粘弹性结构的动力特性及响应分析。 论文中作者分析了粘弹性结构动力学问 题的研究现状， 如粘弹性阻尼的松弛 函数表示， 积分一 微分型运动方程数值求解方法， 等价粘性阻尼模型等。 论文最主要的创新点在于: 从粘弹性材料积分型的运动方程出发， 建立了一 种在形式上与k - c - m系统相同的 等价运动方程， 将阻尼材料所表现的 粘弹性阻 尼等价成粘性阻尼， 从而可以 利用成熟的计算方法和商业化有限元分析程序进行 计算，使得粘弹性结构的动力学分析更加便利。 此外论文还包括如下的相关研究工作: 1 .从粘弹性材料的本构关系 b o l z m a n n 松弛型 积分公式出发， 推导出了 粘弹 性结构的动力学有限元模型。 2 . 利用现有的算法和程序对粘弹性结构进行了 复 特征值、 频域响应和时域响 应 的分析， 验证了等效方法在结构动力学主要分析领域的适用性. 3 . 对于实际 计算中 存在的某些问 题提出了 工程上的解决办 法。 关键字:粘弹性，粘性阻尼，振动，动力学，有限元 ab s t r a c t t h e e q u a t i o n o f m o t i o n o f a s t r i c t u r e w i th v i s c o - e l a s t i c d a m p in g m a t e r ia l s i s c o n c e rn e d . t h e d a m p i n g m a t e r i a l w i t h t h e e x p o n e n t i a l r e t a r d a t i o n f u n c t i o n i s v i s c o - e l a s t i c . t h e e q u i v a l e n t v i s c o u s d a m p i n g m e t h o d i s u s e d i n t h i s p a p e r . t h e c l a s s i c s e c o n d d i ff e re n t i a l f u n c t i o n c a n r e p l a c e t h e f u n c t i o n o f d i ff e r e n t i a l - i n t e g r a l e q u a t io n b e c a u s e o f t h e i r e q u i v a l e n c e . t h o s e p r o g r a m s a n d n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n m e t h o d s , w h i c h a r e c a t e r f o r t h e v i s c o u s d a m p i n g s y s t e m c a n b e e x t e n d e d t o t h e s y s t e m s w i t h v i s c o - e l a s t ic d a m p in g . t h e p a p e r s p e c i f ie s i n m o d e l i n g t h e d y n a m i c f i n i t e e l e m e n t m o d e l o f t h e v i s c o - e l a s t i c s t r u c t u r e , d e v e l o p i n g t h e e q u i v a l e n t v i s c o u s d a m p in g f u n c t i o n f o r t h e m u l t i p l e - d o f s y s t e m w i t h v i s c o - e l a s t i c d a m p i n g a n d a n a l y z i n g t h e d y n a m i c c h a r a c te r i s t i c s a n d r e s p o n s e s o f t h e s t r u c t u r e w i th v i s c o - e l a s t i c d a m p i n g . t h e a u t h o r a n a l y s e s t h e p re s e n t r e s e a r c h w o r k a b o u t t h e d y n a m i c p r o b l e m s w it h v i s c o - e l a s t i c s t r u c t u r e . t h e y c a n b e d e t a i l e d i n t h e re t a r d a t i o n f u n c t i o n s o f v i s c o - e l a s t i c d a m p i n g , t h e n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n m e t h o d s o f t h e f u n c t i o n o f d i ff e r e n t i a l - in t e g r a l e q u a ti o n a n d t h e e q u iv a l e n t v i s c o u s d a m p i n g m o d e l . t h e m a j o r i n n o v a t i o n o f t h i s p a p e r l i e s i n e s t a b l i s h i n g t h e e q u iv a l e n t v i s c o u s d a m p i n g f u n c t i o n o f t h e d i ff e re n t i a l - i n t e g r a l e q u a t i o n ; t h e e q u i v a l e n t f u n c t i o n i s e x a c t t h e k - c - m f o r m . d u r i n g t h i s p r o c e d u r e , t h e v i s c o - e l a s t ic d a m p in g c a n b e e q u i v a l e n t t o v i s c o u s d a m p i n g a n d i t w i l l b e c o n v e n i e n t f o r g e n e r a l n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n m e t h o d s a n d c o m m e r c i a l f e m p r o g r a m s t o e x t e n d t h e i r r a n g e o f p r o b l e m s o l v i n g . i n a d d i t i o n , o t h e r c o n c e rne d w o r k i n t h i s p a p e r i n c l u d e s : 1 . b a s e d o n t h e b o l z m a n n i n t e g r a l c o n s t i t u t iv e e q u a t i o n o f t h e v i s c o - e l a s t i c m a t e r ia l s , t h e d y n a m i c f e m m o d e l f o r t h e v i s c o - e l a s t i c s t ru c t u r e is e s t a b l i s h e d . 2 . b y a n a l y z i n g t h e c o m p l e x e i g e n v a l u e s , fr e q u e n c y a n d t r a n s i e n t r e s p o n s e r e s u l t s , t h e e q u i v a l e n t m e t h o d s a p p l i c a b i l i t y i n d y n a m i c m a j o r a n a l y s is fi e l d s c a n b e p r o v e d . 3 . t h e e n g i n e e r i n g m e t h o d i s s u g g e s t e d w h e n d e a l in g w i t h p r a c t i c a l p r o b le m s . k e y w o r d s : v i s c o - e l a s t i c i t y , v i s c o u s d a m p in g , v ib r a t i o n , d y n a m i c s , f e m t o 第一章 引言 由于材料科学的发展， 同 时具有粘性和弹性两种不同的力学行为的粘弹性材 料在工程中被大量应用。如:高分子聚合物材料、纤维复合材料、生物材料等， 它们在航空航天、土木工程、 地下工程、 海洋工程、 生物工程及材料工程等领域 都具有广泛的应用。 因此， 对于粘弹性材料力学特性的 研究具有一 i -分重要的意义 m 粘弹性材料的一个重要应用是作为阻尼材料。 它可以吸收能量， 通常表现出 有记忆特性，被广泛的应用于工程结构中的动力隔振。 在现代的空间技术不断向大型、 柔性和轻型的发展过程中， 由 于粘弹性材料 可以有效地抑制结构的高频振动， 它在航天复杂结构中作为隔振器的主要材料有 着广泛的应用价值。 粘弹性材料的应用， 也使得原有的空间结构的力学特性研究 更 趋 复 杂 2 1 在建 筑领域， 粘弹性材料的 应用也十分普遍， 例如在高层钢结构中 用粘弹性 阻 尼 器来 减少风振3 1 粘弹性材料的研究与复合材料的发 展也是密不可分的。 例如， 纤维增强聚合 物基复合材料等，由于其性能的不断优化提高，具有传统材料所不具备的优点， 在汽车制造工业中己成功地替代金属材料而跻身于结构材料的行业， 愈来愈多的 汽车零部件用复合材料来制造。 这类的复合材料， 一般都呈现明显的粘弹性行为。 因此，对 粘弹性材料的力学行为 作研究 是不可避免的 4 1 粘弹性材料的力学研究包括多个方面的内容，如应力一 应变关系，松弛函数 模型，运动方程及其计算方法等。 1 . 1积分一微分型粘弹性结构运动方程 由于粘弹性材料具有很强的时间、 温度和频率效应， 对于这类材料的理论分 析 和 定 量 计 算 都 非 常 困 难 11 含阻尼材料结构的刚度和阻尼因子往往与频率有关， 使得动力分析比弹性结 构更加困难。 粘弹性的本构特性通常可以用b o l t z m a n n 松弛型积分公式描述， 对 于 维 的 应 力 应 变 情 况 有 5 1 , 6 (t) = i g (t - z )s ( z ) d r( 1 . 1 ) 其中，0- ( t ) 和e ( t ) 分别是应力和 应变，g ( t ) 是松弛函 数。 对于松弛函数g ( t ) 有一个限制性条件，就是要使得如下的能量耗散率( the r a t e o f e n e r g y d i s s i p a t i o n ) 非负 16 1 d (t) 一 2 u (tf 宜 g (t- r)d(r)d r ( 1 . z ) 通过虚功原理推导可以 得到复合结构有限元模型的动力学方程， 它可以 化简 成如下形式: m a ( t) + c zi + j g ( ， 一 r ) 6 ( r ) d r + k u (t ) = f (t ) ( 1 . 3 ) 其中m、c和k分别为质量矩阵、粘性阻尼矩阵和弹性刚度矩阵， 1 , 2粘弹性材料的松弛函数 一直以来， 在各种文献中出现了多种不同的松弛函数， 典型的有m a x w e l l 模 型 17 1 . v o ig t 模 型 和 标 准 线 性 模 型 18 1 。 它 们 分 别 可 以 用 弹 簧 和 阻 尼 器 不 同 的 排 列 方式表示其力和位移的关系， 如图1 - 3 。 其中， v o i g t 模型也称k e l v i n 模型。 4t)助 图- 1 ma x w e l l 模型图一v o w 模型图 - 3标准线性模型 这三种典型的粘弹性模型的力和位移的关系分别为: m a x w e l l 模型:f+cf + ! f = c , zi 拼 v o i g t 模型:f = k ,“ 十 c ,z i 标 准 线 性 模 型 :厂 + 冬 f = 2 “ 十 导 (k , + 4 ) ri 凡 【凡 它们的松弛函数分别为: m a x w e l l 模型: 乌 g ( t ) 二 k e a h . ( t ) v o i g t 模型:g ( t ) = c ,s ( t ) + k , 风( t ) ( 1 .4 ) ( 1 . 5 ) ( 1 . 6 ) ( 1 . 7 ) ( 1 . 8 ) 标准线性模型: g (t)= k2(l+ k e ,)h ,(t), 其中 ，s ( t ) 为d ir a c 一 合 、一 合 、。 一 合 、号 、- 1 g3 。 一 奋 、一 奋 、香 、。 。2 g ,。 ( 2 . 1 3 ) o0000q 0 0 1-2 0 0 0 r.，1月.胜.esra.1.ileswe - v d 再对( 2 .5 ) 进行一次l a p l a c e 逆变换，于是粘弹性材料的 本构关系可以写成: a ( t ) = d . d e 一 丁 d (， 一 : ) e ( r )d r( 2 . 1 4 ) 2 . 2动力学有限元模型 由等式( 2 . 1 4 ) 的本构关系，可以 得到应力在虚应变上做功为: 工 s e a d 。 一 工 s e t f d ( 一 r )e (r )d r d o( 2 . 1 5 ) 将有限元插值公式 e ( t ) = b u ( t ) ( 2 . 1 6 ) 代入( 2 . 1 5 ) 得到: 工 s c ta d o = s u t 丁 k v,( 一 : )n (r )d r ( 2 . 1 7 ) 其中 其中 k(r) = 工 b t d (t)b d n ( 2 . 1 8 ) 根据虚位移原理，在外力f ( t ) 作用下的有限元平衡方程为: i k ( t 一 : )ii( r ) d r = f (t )( 2 . 1 9 ) 将d ( t ) 代表式( 2 . 1 1 ) 代入( 2 . 1 8 ) ，可以 得到如下的关系: k(t ) 一 k , + k , 卢一 1) e r , ( 2 . 2 0 ) .1翻幻 k , 二 k, , = b t d , b d q b t d b d n ( 2 . 2 1 ) 这样平衡方程( 2 . 1 9 ) 就可以 写成: k , + k ,(二 一 1)e一 7 u (r)d r 一 f (t) 扁 r , ( 2 . 2 2 ) 考虑在u ( 一 。 ) = 0 条件下，并且: 丁 k ,n ( r ) d r 一 k ,u ( t ) ( 2 . 2 3 ) 就可以把等式( 2 .2 2 ) 化简为: k ,u (t ) + 户一 1) k , r y i e 介 n ( r ) d r 一 f ( t) ( 2 . 2 4 ) 当 考虑动力学问 题时，由d a le m b e rt原理z 1 ，在外力上再补充惯性力 - m 试 0 和粘性阻尼力一 c u ， 就可以 导出 粘弹性材料结构的有限元运动方程: m u ( t ) + c n ( t ) +(丘一 1 ) k 介 j e 6 ( r ) d r + k ,u ( t ) 一 f ( t ) ( 2 . 2 5 ) 第三章 粘弹性材料的等价粘性阻尼方程 本章将上一章导出的 粘弹性结构的动力学方程在拟静态情况下， 构造等价的 粘性阻尼方程，并且用数学归纳法推广到n 个积分项的普遍情形。 具体地， 首先 从变型的标准线性粘弹性模型出发， 导出了单自由度的系统的等价粘性阻尼方 程， 然后推广到n个自由度n 个积分项的系统。 假设了 一 组带有待定状态变量和 参数的等价粘性阻尼的本构方程，利用与 原有含积分项本构关系的等价性条件， 求出待定的状态变量和参数。最后，利用d a le m b e rt原理，把等价方程推导到 动力问题。 3 . 1拟静态粘弹性问题的等价粘性阻尼模型 图- 4所示为标准线性粘弹性模型的变型的结构图，它可以看成是由 一 个 v o i g t 模型 和 一 个弹簧串 联构成的。 图- 4变型的标准线性粘弹性模型 它的松弛函数可以写成: g ( t ) = k k 2 s (t) + k , + k , k z e k+ kz, e k , + k , ( 3 . 1 ) 作为单自由度系统， k 其拟静态下的力和位移可以写成: ， k , 五 (, _ , ) k , + k , ii ( r ) d c +k , k , k , + k , u = f ( t )( 3 - 2 ) 已 tr. 如果引 进如图 - 4 所示的 位移变 量u , ， 作为 二自 由 度问 题， 其力和 位移可以 写 ( 3 . 3 ) 1气夕 f0 厂十j、几t 一一 、.1reej uul !了! 几.，ij 气-k 十 、.trlj .况，ul 产!、.l 0 0 0 - k , k , + k , 从以 上过程可以 看到， 等式( 3 .2 ) 与 等式( 3 . 3 ) 是完全等价的， 这样的 等价关系 就可以避免因积分计算所带来的困难。对于多自由度粘弹性系统的拟静态问题， 方程( 1 . 1 2 ) 中的惯性力一 m u ( t ) 可以 忽略，若只考虑单指数函数的松弛函数，即 n = 1 ，于是力和位移的关系为: f (t ) 一 c u + 1 ,u ,c ,e - , (- )6 ( r ) d r + k u ( t ) ( 3 .4 ) 其中u ( t ) e r “ 是位移向量，f ( t ) e r n 是外力向量，k ,e r n “ 是刚度矩阵 c e r n n ( r a n k ( c ) = n ) 是粘性阻尼矩阵，而g e -是指数型阻尼的松弛函数 c , e r “ 是 系 数矩 阵 对( 3 .4 ) 关于时间求导后得 i (t) 一 c ii + (k + f t,c ) 6 -p ,2c , j e - ,“ 一 ” ii( r )d r ( 3 . 5 ) 此处c ， 是 对称 矩阵， 并 且有: r a n k ( c l ) = r , - f 工 j ( u ) ( 3 . 1 0 ) 其中v , e r 是 引 进的 辅 助 变 量， k ,1 r= r x = x ， k ,2 e r x , ， k 2 2 e r n , v s r , 都 是 未知的 矩阵， 而且k , k 2 2 , v是对称矩阵。 从( 3 . 1 0 ) 的第一式可以 得到 v , = k -,2 ( f 一 c fi 一 k u )( 3 . 1 1 ) 其中k 几 = ( k 几 k ,a ) ， k 几 是k t2 的 广义 逆。 在下文中 发 现k ,2 可以 满 足列 满 秩条 件， 故 存在广义 逆矩阵， 而且k 2 : 也是 可 逆矩阵。 于是， 将 ( 3 . 1 1 ) 代入到 ( 3 . 1 0 ) 中 的第二式后，经整理后得 f + k ,2 k 丈 v k 几 f = ( k , ， 一 k , , k 盆 k 几 ) u + ( k ,2 k 盆 v k 几 k + c n + k ,2 k 丈 v k ,2 c d ( 3 . 1 2 ) 为了 使得等式( 3 . 1 2 ) 与( 3 .9 ) 等价， 必须满足以 下三个条件 k ., k ;, v k : 二 与 药 k ,， 一 k , k z z k u = k ( 3 . 1 3 ) ( 3 . 1 4 ) k ,2k -i v k ,2 k ,: 二 与k a u ,l ,u i ) ( 3 . 1 5 ) 由 ( 3 . 1 3 ) 可得 k2 2 二 从v( 3 . 1 6 ) 代入到( 3 . 1 5 ) 又可得 k = k + u ,t j e ,u t i( 3 . 1 7 ) 再将( 3 . 1 7 ) 和( 3 . 1 6 ) 代入到( 3 . 1 4 ) ，有 k ,z v - k ,z = ,u i u ii工 iu i i( 3 . 1 8 ) 因此只要取 v“y. , k ,z = k r2 1 二 一 p ,u l ,e 1 ( 3 . 1 4 ) 就能 使得( 3 . 1 g 成 立。易 见， 此时 ( 3 . 1 6 ) 变 成为 k 2 2 = a e i ( 3 . 2 0 ) 这样等式( 3 . 1 0 ) 就成为与等式( 3 .4 ) 等价的方程组，可以写成: c , ill + k ,u ,一 f(t)110 ( 3 . 2 1 ) 、.t、! uvl 丁飞 一一 私 k+ p ,ue , u i i - p ,e ,u l l - p i u i l 号 肠艺 , 厂月il - 鱿 门lesesesesj o艺 c0 resesesesesl - 叹 此处要指出的是，等式( 3 . 1 9 ) 的取法并不唯一， 但这对计算结果的并没有影 一般粘弹性问题的等价粘性阻尼模型 中。， 其响3. 对于一个积分项的多自由 度系统， 在上一节已得到了拟静态情况下的等价粘 性阻尼方程， 本节将利用数学归纳法加以 推导证明 对于带有多个积分项的系统的 等 价粘性阻 尼方 程。当， = 1 时， 作 者己 经导出了 等式 ( 3 .4 ) 等价于等式 ( 3 .2 1 ) 0 当n = k 时，对于拟静态下的粘弹性本构关系 f (i) 一 c * 十 1 k、一 ，一 ，u (r )d r + k u (t)( 3 . 2 2 ) 二 1 假设其等价于方程 叹u k + k k u , = 凡 ( 3 . 2 3 ) 其中: k + 艺, k;u ,;e ,u 石- p 2 u 2 e 2 - 1 - k u l k y k nun“ - if l u l l - r 2 e 2 u ii - au i l y- i 从 f , 0 0 召 2 石 2 - , k # k u kp k y- k - 凡 、lleewel、!es钾 f卫0几廿;.0 rl搜叮忿压.才，esesesesesl - 界 、卫十，!1子 uvl叽vk 0 e z 0 0 e *，一 “nu 00 o耳 c000 -一 ck 在( 3 .2 2 ) 中的c i ( t = 1 , 2 , . . . , k ) 都是对 称矩阵， 利用了 同c . 相同 的奇异 值分 解 ( 见 等式 ( 3 .7 ) ) ，记号也类似。 当n = k + 1 时，拟静态下的粘弹性本构关系为 f(，) = c 。 + 1 k+if(t) = c u + j y p ,c 一 卜 :)u (r )d r + k u (t)( 3 .2 4 ) 将上式改写成: f (t) = c 。 十 1 p ic ，一 卜 u (r )d r + k u (t) + j p k+lc k+，一，一 ，ii(r)d r (3 .2 5 ) 此处记 ， ，( ， ) = f (t ) 一 j p k + ic k + le 一 “ 一 )u (r ) d r ( 3 .2 6 ) 则方程( 3 .2 5 ) 可以写成 、 十 ，(:) 一 c 。 十 kj y eric 一 ，一 ，n (r )d r + k u (t)( 3 .2 7 ) 利用n = k 时方程( 3 .2 2 ) 和方程( 3 .2 3 ) 的 等价性， 就可以得到与( 3 .2 7 ) 等价的 方程为 c鱿+ 戈认- 凡( 3 .2 8 ) 其中 凡 f k + ( t ) 0 0 把方程( 3 .2 6 ) 的关系代入方程( 3 .2 8 ) ，可以 得到， c 叭 十 、 + ， i e y ,“ 一 “ 吹 +1 认 ( 约 d r 成从 一 凡( 3 .2 9 ) nnu。n 白. .决0。0 c fwe苦1.we.es.l 其中 根据c k + i 其中 叹+ i - u lk + l 熟 a u 孤 . 奇 异 值 分 解， 经 重 新 整 理 后 可以 得 到 e k + l = d e * 二 ，u t ( 3 . 3 0 ) 月.les.leseseseeesj 1几 + ikn”t:nu u 十.l - u 再次利用方程( 3 .4 ) 和方程( 3 .2 1 ) 的 等价关系， 就可以 得出方程( 3 .2 9 ) 的等价粘 性阻尼方程为: q+ a十 ， 十 凡+ l队+ i - 入+ 1 ( 3 . 3 1 ) 其中 k k+，一 k k + ju k+ju e k+i u t-ilk+ie k+l u t - f k + l u e k + l 八+ 1 名 k + l k + 艺p ;u i,e ;u 兀- f 2 u l2 f 2 - ) k + u l k + l e k + 00 一 l c iu 7- a tu i l - ,u 2 f , u 2 - p l u l l y l 从万 , 0 0 a l 公 2 - il k + i e k + l u i k + 1 00二u k + i # k + l 、十t一， 汀陌卜仪卜卜冈 一- 、!r 式0 千艺1 凡 、十!才 uvl、v*+ 1.! 侧 线 000-.乳 0耳。0 coo:0 1.1les月. - 卜.lesesesesj ， 卡 止 艺 叽 一- c.+ 根据归纳法原理，可以得出方程 f (t) 一 c u + 1 k c 一 ，一 ，u (r )d r + 二 (，) ( 3 .3 2 ) 等价于粘性阻尼方程 c . u . + ku . = f( 3 . 3 3 ) 其中 k + 艺p iu u e ru 乳 - a u i,t 、- p 2 u i2 e 2 一 八u， 艺 。 00 - f u, e ,u i i a e i - f h i z u 几。 0 户 2 1 2 - p t x八名 一一 戈 0 e 2 0 0 n八朋 o甄 c000 一- c 当 考虑到动力问 题时， 可以 根据d a l e m b e rt 原理， 把惯性力一 m试 0 加在外 力f 上， 这样粘弹性系统的运动方程( 1 . 1 2 ) 等价于 m. u . + c , u + k. u . = f ,( 3 . 3 4 ) 其，1 moo0 城 方程( 3 .3 4 ) 的形式与 粘性阻 尼系统的 运动方 程( 1 . 1 3 ) 是完全一致。 该方程与方 程( 1 . 1 2 ) 等价， 这样就可以 通过利用成熟的数值计算方法和商业有限元分析程序 来计算( 3 .3 4 ) ，从而求得方程( 1 . 1 2 ) 的解， 避免由 积分项带来的计算困难。 第四章 粘弹性系统的动力仿真 本章通过三个算例来验证等价方程的正确性， 以 及与现有算法和工程软件的 兼容性。 第 一 个算例是含有粘弹性元件的三自由 度离散系统; 第二个是粘弹性直 杆纵向振动的连续系统模型;另一个是粘弹性夹层梁的固有特性分析。 4 . 1含粘弹性元件的质量一弹簧系统 图 - 5 表示的 是一 个3 个自 由 度的 动力系 统， k , 是 t个纯弹性的 弹簧， k 2 ( r ) 和 k , ( t ) 是两个具有粘弹性阻尼的弹 簧。它 们的 松弛函数分别为k z ( t ) = 1 + 0 .5 e , k , ( t ) 其中 = 1 + 0 . 5 e z 。系 统的其 他参 数为:k , = m , = m 2 = m , = 势 计 犀娜 j2 扩 j3m, z mk, k20) k,(t) 图一 5含有粘弹性元件的动力系统 该系统的运动方程为: m u + 1 (,u ,c ,e a ,“ 一 ， + ,u 2 c ,e , (，一 ， ) u (z ) d z + k u = f( 4 . 1 ) 0 0 . 2 5 - 0 . 2 5 -0 . 2 5 0 . 2 5 4 . 1 . 1等价模型 此处的c . 和c 2 都是奇异阵。 首先， 根据奇异值分解可以 得到得到: - l / f i / f ip l 一 “ f i / f 0 尸，卫月.!卫.il -一 .月 c - l 4 2 i 0 .5 1 0 一 “ ,f u f i / f 一!l -一 2 c 因此利用等价方程( 3 . 3 4 ) ，方程( 4 . 1 ) 的等价粘性阻尼方程可以 写成: m, u z + u 2 u z + kz u z = 巩( 4 . 2 ) 其中 厂儿儿00 护十! 一- 式 lra一 ul姚妈vl性 了十!、一 - 队 门leseseseseseseseseseseseseses 、 0 n reseseseewe月weeseswel 一- 叽 0 城 -1 . 5 0 1 1 扼 1一万1一五1 1一扼1一扼 1550 一l 30书1一拒 以卜 ， 将分别从系统的固有特性、 瞬态位移响应和稳态位移响应三方面来对 两个公式的等价性进行讨论。 4 . 1 .2复特征值分析 ( c o m p l e x e i g e n v a l u e s ) 此 时， 考 虑 图 一 5 系 统 的自 由 振 动 情 形 ， 取f = o , u = u e . j = 了 万。 把 外 力和位移代入运动方程( 4 . 1 ) ，可以得到: ( k一 a o m+ 1 co f 2 c + 一 o) f 2 ! ( t ) +aj o) +, a , c , ) u 二 0 ( 4 . 3 ) 如果要存在非零的向量u . ，那么上式中系数矩阵的行列式应该为零，展刀 后可得: 4 o) 生 1 2 j 些- 3 6 d 生 7 2 j 些 + 8 5 w - 9 8 ico - 5 7 w + 1 8 j co + 8 _ 。 4 ( 加 + 1 ) ( j ro + 2 ) ( 4 .4 ) 固有频率可以通过上式来得到， 对于这个系统， 只有 3 个自由度， 可以 直 接 利 用 数 学 软 件m a t h e m a t ic a 4 .0 12 来 计 算 它 的 根 ， 记 为 : m ( n = 1 , 2 , . . . ， 8 ) . 对 于 等 价 方 程 ( 4 .2 ) ， 可以 通 过 利 用 有限 元 软 件m s c - n a s 1 r a n 12 4 1 来计 算固 有频率， 此时 只要 在软 件的 输入文 件中 输入 和1 1 就 可以了 。 为了 避免由 于质 量 矩阵的奇异性而导致的数值计算困难， 可以 在质量矩阵的零对角元位置添加了量 级为i x 1 0 - “ 的 小 质 量。 类 似的 方 法 大 质 量 法 2 5 1 ， 在n a s t r a n中 就 被 用 来 处理己 知 边界的问 题。由 此， 也 可以 得到固 有频率， 记为w , ( n = 1 , 2 , . . . , 8 ) . 另 外， 还 可以 运用 状 态空 间 法 2 6 1 来 求 解 等 价 方 程 ( 4 .2 ) 的 复 特征 值， 此处 记 为 w 2 . ( n = 1 . 2 ， 二， 8 ) 。 表格一 2含有粘弹性元件系统的复特征值比较 n ro i 0) 2 . - 2 . 0 7 3 1 5 + 0 . 1 6 3 5 6 6 1 2 . 0 7 3 1 5 +0 . 1 6 3 5 6 6 i 一 1 . 3 2 1 2 + 0 . 0 9 7 5 0 6 2 1 1 . 3 2 1 2 + 0 . 0 9 7 5 0 6 2 1 - 0 . 4 5 3 41 5 + 0 刃1 5 6 5 7 5 1 0 . 4 5 3 41 5 + 0 . 01 5 6 5 7 5 1 1 . 6 8 8 2 6 1 0 . 7 5 8 2 7 7 1 - 2 . 0 7 3 1 8 3 + 0 . 1 6 3 5 1 2 1 2 . 0 7 3 1 8 3 + 0 . 1 6 3 5 1 2 1 一 1 . 3 2 1 2 3 4 + 0 . 0 9 7 4 7 0 1 1 . 3 21 2 3 4 城】 刀9 7 4 7 0 1 - 0 . 4 5 3 4 2 6 + 0 . 0 1 5 6 5 0 1 0 . 4 5 3 4 2 6 十 0 . 0 1 5 6 5 0 1 1 . 6 8 9 3 8 1 i 0 . 7 5 8 3 6 2 8 1 - 2 .0 7 3 1 5 5 + 0 . 1 6 3 5 6 6 1 2 . 0 7 3 1 5 5 + 0 . 1 6 3 5 6 6 1 - 1 . 3 2 1 1 9 6 + 0 . 0 9 7 5 0 0 1 1 . 3 2 1 1 9 6 + 0 . 0 9 7 5 0 0 1 0 . 4 5 3 4 1 5 + 0 .0 1 5 6 5 7 5 1 0 . 4 5 3 4 1 5 + 0 . 0 1 5 6 5 7 5 1 1 . 6 8 8 2 6 3 1 0 . 7 5 8 2 7 7 3 1 以上的表中， 列出了三种不同的途径求解复特征值的结果， 单位是r a d / s 。 从 表中可以 看出， 后两者相对于前者的差异是非常小的， 差异还可能是由于数值误 差引起的。 4 . 1 .3稳态响 应分析 ( f r e q u e n c y r e s p o n s e ) 如果 考 虑 稳态响应， 假 设图 一 5 所示系 统中 的 质量 块m ， 上受到 简 谐外力 的 作 此时( 4 . 1 ) 中的外力向量可以写为: r= f= 。 ， 1 , 二 f 0 e 稳态响应的解记为: 认认认 u ( t ) 二 / 一 ( 4 .5 ) 把上式 代入方程( 4 . 1 、 可得 z ( m ) u = f ( 4 . 6 ) 其中 11豆、j oofo 厂1吸1 一一 f ， 2 c z ( 动 = k 一 w im 十 . j o f 2止 c , + j a a 十八 少刁 2 j t o 十u 2 从方程( 4 .6 ) 可以 很快得到 u = z - 1 佃) f( 4 . 7 ) 从中 可以 得到m ， 的 稳态响 应为 u , 二 ( 2 .2 5 w 一 1 1 .2 5 j a g ， 一 2 0 ro + i 5 j a + 刃 凡 _ w s a + 6 j w + 2 w - 5 1 i 一 ， 3 .2 5 w 0 一 1 2 4 .2 5 j a r + 1 3 0 .2 5 a ) - 9 6 .2 5 j . , 一 4 4 a + 1 5 j w + 4 ( 4 . 8 ) 对于等价方程，也可以假设类似的稳态响应的解为: ; 二u ,_. _ u 叹 ) 一 , e - = u - 签 ! t v z 1 ( 4 . 4 ) 得到类似的结果 ( j 二 之 一 ， ( 0 ) ) f ( 4 . 1 0 ) 其中 i ( co ) = k , 一 。 2 m 2 勺 2 、毛!、，!才 00兀00 厂1夕ij l- f 在计 算中 ， 为了 避免 矩 阵城 的 奇 异 所 带 来的 计 算困 难， 可以 同 样 在 它的 零 对角元上加上量级为1 x 1 0 的小质量。 图 一 6 为 m , 频 率 响 应 函 数 的 实 部 ， 其 中 实 线 为 r e u , / f . ) ， 圆 点 为 r e (认/ f j . 图- 7 为相应频率响应函数的虚部。 从中可以看到， 两种方法的计算结果非常吻合。 2译 i， 才， 扮 、 ， 、 一洁,. . . , . . 叭 ”.l 一今 ”一林， . 林卜 2 3 4 注卜月 图 - c p y t . 的 稳态 响 应 一实部比 较图 .; 0 .7 5 。 5 0. 2 5 0. 25 ?-. : . ， 一 一 - - -3-一 4 - 0. 7 5 图 - 7 m ， 的 稳态响 应 一虚部比 较图 4 . 1 .4瞬态响应分析 ( t r a n s i e n t d y n a m i c r e s p o n s e ) 以下考虑图一 5 所示系统在强迫振动下的瞬态响应情形。 一单 位外力在t = 0 时 突然 作用 在图 一 5中 的质 量 块m ; 上， 此时， 方程 ( 4 . 1 ) 中 的外力方程可以写为: f= 人= 0 , f ; = h . ( t ) 此处的h o ( t ) 是单 位阶跃函 数。 把方 程 ( 4 . 1 ) 经过l a p la c e 变化后变成: u (s ) 一 1 ( s zm + f s s s +户 , s c , + 卫 生s c 2 + k ) 一 ，f s +召, ( 4 . 1 1 ) 上式中，u ( s ) 是位移响 应函 数u ( t ) 的l a p l a c e 变换。因 此， 这样就可以 得到质量 块m ， 位移的l a p l a c e 变换形 式 为: u , ( s ) = ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( i . s s + 2 ) ( 1 . 5 s + 1 ) s ( s + 6 s + 2 0 s + 5 1 s + 9 3 .2 5 s + 1 2 4 .2 5 s + 1 3 0 .2 5 s + 9 6 .2 5 s + 4 4 s + 1 5 s + 4 ) ( 4 . 1 2 ) 取上 式的l a p l a c e 逆变换， 就可以 得到。 ， 的 位移响 应函 数u , ( 1 ) , 把它的 结果 在图_ g 种用实线表示。 对 于 等 价 方 程 ， 可 以 用n e w m a r k 2 1 1 方 法 求 得m ， 的 位 移 响 应， 在图 _ g 中 用 圆 点表示。 此外， 还 可以 通 过m s e n a s t r a n来 计 算 等 价 方 程 ( 4 .2 ) ， 从 而 得 到m ， 的 位 移响 应。同 样， 为了 避免 矩阵城 的奇异， 在它的 零对角元上加上量级为1 x 1 0 的小质量，计算结果在图一 8 中用 “ *”号表示。 八伙 八曰 一 ，|如千 ，|十， 图 一 8 m , 的 瞬 态响 应比 较 从以上三组计算结果的比 较中可以 看出， 对等价方程使用数值计算方法和使 用通用程序的结果都与解析解吻合。 4 .2一维粘弹性直杆( 连续系统)