（基础数学专业论文）量子态的可分性与形成纠缠度.pdf

摘要 本学位论文研究了量子态的可分性和形成纠缠度我们的主要强的是寻找判 定蠡子态可分的充分必要判据，并给出判刹混合态可分的一黧必要条件纯态的可 分性已经有缀好豹结鬃，然褥对混合态丽蠢，还没鸯一个可抒鲍方法确僚能判剐融 已知i 的任何一个量子态的纠缠性 利糠特辣酉群s u ( n ) 的生戏元，任意一个两体态都可以袋示成p a s = i o m o + 篙1 允。坛设i ( 丢j 一言n 硒为态纵茸在子系统s ( ) 中的b l 。血球表示， 其中( r l ，r 2 r 舻一1 ) 。1 为一个矗f 2 一l 维的向量，鲻宥朋j 一n 施0 成焱 对于强体掰x 缝鹣可分悫，p a b 又可黻表示残：纵口= 张l 费) 磷j t oi 卵) ( 庐尹1 通过定义对 磊的变换冗得到了一个新算乎7 r ( p a s ) ，我们证明 了变换后予系统8 ( 7 m ) 串态m 嚣的表零的b l o c h 翱耋耪摸不毙变换前扮大，郄 i 习| l 霄1 对m ：3 时，我们通过取出特殊的变换冗，由蚀( 肌日) 0 推如了 p p t 判据 然后我们考虑纠缠度盼闯题对两体纯态，y o nn e u m a n n 熵是一个很好的| q 缠 度对混合态而言，还没有一个合适的的纠缠度避几年，人们定义了许多纠缠度 量来剡画纠缠我们主要讨论形成纠缠度+ 在甄体羝维馕况下，w o o t t e r s 等证明了 形成纠缠度与c o n c r r u n c e 之间的单调关系我们稠用投影薄予只k 构造了s u ( n ) 的一组生成元，它们有类似于p a u l i 矩阵的性质然后利用w o o t t e r s 文章中的方 法，榴造了一个量予态的t i l d e 变换，并列蔼s u ( ) 生成元褥到了一个性质上类似 于口。的变换矩阵p ，从而定义了商维量子纯态的c o n c u r r e n c e 这个结果包含了 w o o t t e r s 的结果在定的条件下，由它锻容易得到两钵混合态豹c o n c u r r e h e e 的 僮从而得到了一个态可分的必要条件 关键词：量子纠缠，可分，密度矩阵，形成纠缠，c o n e u r r e n c e 。 a b s t r a c t w ei n v e s t i g a t es e p a r a b i l i t ya n de n t a n g l e m e n tm e a s u r ef o rq u a n t u ms t a t e s 0 1 1t h eo n eh a n d ：w ed e v o t et of i n dm e t h o d st oc h a r a c t e r i z es e p a r a b l es t a t e sa n d p r e s e n ts o m en e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rs e p a r a b i l i t yo fm i x e ds t a t e s f o rp u r es t a t e s t h es e p a r a b i l i t yi sq u i t ew e l lu n d e r s t o o d h o w e v e r ，f o rt h ec a s eo fm i x e ds t a t e s ， n os i n g l ep r a c t i c a lp r o c e d u r et h a tc a nb eg u a r a n t e e dt od e t e c tt h ee n t a n g l e m e n to f e v e r ys t a t e sh a sb e e nf o u n d u s i n gt h eg e n e r a t o ro fs u ( n ) ，a n yb i p a r t i t es t a t ec a nb er e p r e s e n t e db yp a b = ，。+ 警1 丸。m ，l e t ；( 刍，一窆n 柚b 。t h e b l o c h s p h e r er e p r e s e n t a t ；。o r p a bw h i c hi si nt h e 矾a b e y s t e ms ( h j l f ) ，w h e r e ( 7 1 t 您r j l f g 1 ) er m 2 1b eav e c t o r o f d i m m 2 1 t h e n w eg e t m 0 一n 尬0 f o rab i p a r t i t es e p a r a b l es t a t ep a b ，w h i c hi so fm n d i m e n s i o n ，i tc a l lb e w r i t t e ni nt h ef o l l o w i n gf o r m ：p li 孵) ( 坩i 背) ( 弹1 b yd e f i n i n gt h e t r a n s f o r m a t i o n7 o fm i ，w eg e tan e wo p e r a t o r m ( p 茸) w ep r o v e dt h a tt h e m o d u l a ro ft h eb l o e hv e c t o ri nt h es u b s y s t e ms ( u m ) o f p a bi sn om o r et h a nt h e m o d u l a ro ft h eo r i g i n a lb l o c hv e c t o r ，t h a ti s t 露1 f o rm = 3 ，w ee x t r a c tas p e c i a lt r a n s f o r m a t i o n 冗a n db yt h ec o n d i t i o n 1 r ( p a b ) 0w eg e tp p tc r i t e r i o n w ed i s c u s st h eq u e s t i o no fe n t a n g l e m e n tm e a s u r e f o rab i p a r t i t ep u r es t a t e ， ag o o dm e a s u r eo fe n t a n g l e m e n ti st h ev o nn e u m a n ne n t r o p y f o rm i x e ds t a t e s t h e r ei sn ou m q u ee n t a n g l e m e n tm e a s u r e i nr e c e n ty e a r s ，an u m b e ro fe n t a n g l e m e n tm e a s u r e st oq u a n t i f ye n t a n g l e m e n th a sb e e np r o p o s e dw e m a i n l yd i s c u s st h e e n t a n g l e m e n to ff o r m a t i o n u n d e rt h el o w e rd i m e n s i o nc o n d i t i o n w o o t t e r se t 酬 p r o v e dt h a tt h e r ei sam o n o t o n er e l a t i o nb e t w e e nt h ee n t a n g l e m e n to ff o r m a t i o n a n dc o n c u r r e n c ew ei n v e s t i g a t eag e n e r a t o ro ft h e s p e c i a lu n i t a r yg r o u ps u ( n 1 u s i n gt i mp r o j e c t o ro p e r a t o r s 弓 b yu s i n gt h e s eg e n e r a t o r s 。w eg e tt h eg e n e r a l i z e d p a n l im a t r i c e s t h e nw i t ht h em e t h o dg i v e nb yw o o t t e r s ，w ec o n s t r u c tat i l d et r a n s - f o r m a t i o no fap u r eq u a n t u ms t a t e ，a n ds t i l lb yu s i n gp a r to ft h e s eg e n e r a t o r s ，w e g e tam a t r i xp ，w h i c hi sm u c hl i k e 氏t h e nw ed e f i n et h eg e n e r a l i z e dc o n c u r r e n c e o fap u r es t a t e ，w h i c hi so fh i g h e rd i m e n s i o n t h r o u g hr o u t i n ec o m p u t a t i o na n d c o m p a r i s o n ，w ef i n dt h eg e n e r a l i z e dr 镕u l tc o n t e n d st h er e s u l t o fw b o t t e r s w i t h = 3a n do t h e rc o n d i t i o n s 。w ec a ne a s i l yg e tt h ev a l u eo ft h ec o n c u r r e n c eo fa m i x e db i p a r t i t es t a t e i m m e d i a t e l yw e g e tan e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h es e p a r a b i l i t y o fa 辆p a r t i t eq u a u t u ms t a t e b u tt h ec r i t e r i o ni sn o ts u f f i c i e n t k e yw o r d s ：q u a n t u me n t a n g l e m e n t ，s e p a r a b i h t y , d e n s i t ym a t r i x ，e n t a n g l e m e n to f f o r m a t i o n ，g e n e r a l i z e dc o n c u r r e n c e 首都师范大学仪论文原创性声明 本人郑熏声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过豹份晶成果，对本文豹研究傲出重要贡献豹个人和熊体，均黯在 文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：走协舭 日期劫艇霸? 嘲 首都师范大学位论文授权使用声艉 本人完全了鳃首都师范太学有关保留，使用学位论文的规定，学校脊毂保露学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位 论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书镭被查阅。有权将学位 论文的内容编入有关数据库进行检索霄粳将学位论文的标燧和摘要汇编出版保 密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名窟哦 日期洳“年妨鲫 1引言 量子信息论通常包括量子通讯和量子计算两个部分它是近1 0 年来量子理论 与信息科学相结合的产物，是一个刚刚兴起、十分广阔深远的新兴交叉学科它于 2 0 世纪7 0 年代诞生，2 0 世纪8 0 年代末期开始发展，现在仍然处于迅速发展的初 级阶段山1 。占潜在的应月 f 价值和重大的科学意义，正引起各方面越来越多的关注， 量子纠缠态在迅速发展的量子信息科学领域中的作用是非常关键的它在量 子信息科学的许多应用领域都起着根重要的作用，例如量子隐性传态i l l ，量子密 钥分配 2 1 ，量子纠错1 3 1 ，稠密编码1 4 】及量子计算1 5 l 等遗憾的是，到目前为止，人 们对于量子纠缠态的物理特点和数学结构都还没有很好地理解和掌握对于量子 态，总的来说有两大问题：是对于任意的量子态，怎样找到一个可操作的方法来 判断它是否可分( 或不纠缠) ；另一个就是定义一个合适的度量来区分纠缠态的纠 缠程度为了解决这两大问题，入们做出了很多的努力，已经取得了很多不错的结 果 我们主要研究了量子态的可分性和形成纠缠度对于一个给定的两体纯态，可 以很容易通过它的s c h m i d t 分解1 6 或者约化密度矩阵的秩来判断它是否纠缠然 而对于任意一个两体的态，还没有一个可操作的方法来保证能够判断它的纠缠性 人们做了很多的努力来研究混合态的可分性问题，取得了很大的进展我们将在文 章的第二部分来简单介绍一些已有的可分性判据：b e l l 不等式【2 4 】，p p t 判据1 2 5 】 约化判据1 2 7 1 ，控制判据1 2 。l ，矩阵重排判据1 3 q h o r o d e c k i 家族还在文献f 2 6 1 和 f 2 8 1 中证明了p p t 判据在2 2 和2 3 的情况下是一个充分必要判据在这些判 据之外，人们还从不同的角度对量子态的可分性进行了研究文献7 1 中，作者利用 p a u l i 矩阵将一个给定的一般的多体量子比特系统的纯态和可分态作比较，构造了 相关张量m “。t 。，很容易得出量子态可分的条件：m 小。；。= 0 ，对于混合态的情 形可以同样地构造吴在文献 3 2 】中把密度矩阵分块，并利用p a u l i 矩阵将其表示 出来，然后对第二个子系统作了具有特殊定义的变换，从而得到了一些可分性的必 要条件其中运算主要运用了推广的b l o c h 球表示s a l b e v e r i o 和费等在文献f 8 1 和【9 】9 中利用不变量以及矩阵张量积的分解对秩为2 的多体系统的量子态的可分 性进行了研究，得到了很好的结果 w o o t t e r s 等建立了c o n c u r r e n c e 和彤成纠缠度的关系，即在低维情况卜它们之 间是单调递增的，从而形成纠缠度的计算在很多情况尤其是低维的情形f 转化为 计算该量子态的c o n c u r r e n c e 由_ ：c o n c u r r e n c e 和形成纠缠度之间的关系，很多人 试图推广它的定义到高维复合篮子系统u h l m a n n 在文章【1 2 l 中认为t i l d e 变换是 一韩乎方为单经算子鹳反线性冀子，扶丽推广了c o n c u r l e n c e 的定义a l b e v e r i o 释 费在文章f 13 i 中利用局域幺芷交换下的不变量也得到了很好的推广虽然有了这 魑商维情形的推广定义，但是目前为止我们只能对于2 2 系统的量予态或者具有 很好对称性的迷囱态f 1 4 和w e r n e r 态f 1 5 进行计算w o o t t e r s 又在文章f 3 4 】中 利用p a u l i 矩阵构造了t i l d e 变换，然后对给定密度矩阵选择合适的分解、得到了计 算两个量子比特系统鬟予态的c o n c u r r e n c e 的简单计算公式+ 这个结果只与给定 密度矩阵的特征值有关，因丽非常筒港其中的关键还在予一个复对称的矩降总 可以进行理对角化【1 0 1 。对予离维域多体的馕形墓些量子态的形成纠缠度仍然与 c o n c u r r e n c e 有謦很好的单调关系，但是计算c o n c u r r e n c e 却变得困难。 我们乖畸用s u ( n ) 的一组生成元得列了离维情形的c o n c u r r e n c e 的个下界，并 篮说明在一定的条件下这也是个下确界 在文章豹第二部分，我 j 奔绍了一些黧要豹基本概念釉一些预备知识在第三 部分豹3 1 节，我们赍绍了s u ( n ) 的一终生成元，弗且说明了它们耜p a u l i 攮阵鸯 缀多援经的性质在3 2 繁，利用s u ( n ) 的这组生成蠢袭示两体m n 系统的鲎 子惫，并证甥了蠢予态瓣一个性质3 , 3 节中，通过构造对于关联向蠡的变换矩阵得 出爨子态纠缠的一个充分性判措最后我臂j 把结果维广到糯体高维以及多体情形 在3 , 4 节，仍然纛用逮些生成蠢，对于壤数犬予等予2 的蠢予纯态构造了个类似 于p a u l i 矩阵如的变按矩阵，从而得到了个对于离维蠹子纯悫的t i l d e 变换，我 们运用w o o t t e r s 的方法得到了对于高维爨子态的c o n c u r r e n c e ，从两得到了一个量 子态可分的必要性判据我们说明了这个蹙对于满足某些条俅的态可以作为它的 2 2 预备知识 我们首先介绍一些文中用到的基本概念，然盾筒萃介绍一些若知豹重要结论 2 。1态空间 任意一个独立的物理系统都掰以用一个有内积运算豹复向量空闯( h i l b e r t s p a c e ) 来描述，我们称它为态空间，记为s ( 州) 系统完全出态矢量描述h i l b e r t 空 间( “) 定义如下： a ) 它是一个复向囊空间，向蹩用符号l 母) 表示 b ) 两个囊孑杰作内积( 妒i 妒) 得到一个复数，且满足如 能屡 ( i ) ( 妒l 妨0 ，等号成立当且仅当l 妒) = 0 + ( 挪线性性：纠( o 妒1 ) + 6 如) ) ) = 口妒l 母1 ) + 6 和 啦) ( j i i ) 斜对称：( 叫妒) 一( 妒l 劝+ c ) 妒) 的模定义为：8 删= ( 妒i 妒) + 下西绘出一些常用豹符号及其数学意义。 记号 意义 ， 复数。豹复共轭 1 母) 向量，或者穆兔k e t ( 妒ii 妒) 的对偶囱爨。或者称为6 雌 妒l 妒)l 妒) 和l 妒) 的内积， l o l 妒)l 妒) 和i 妒) 的张量积 j 妒) i 妒)i 妒) 和l 母) 张量积的缩写 a 矩阵以的复共轭 a t 矩阵a 的转置 a f 矩阵a 的筵轭转置，a f 一( a 7 ) v i a l 妒)| 妒) 和a | 妒) 的内积 3 可蛆用一个森矢量描写熬状态称为缝态( p 娃r es t a t e ) + 例如耋子l 乏特集合态 2 “ = 哪) ， t = 1 其中l c ；1 2 = 1 翅采一个爨予系统是由诲多不同懿态矢i 母；) ，i = l ，2 ，n 描写 的予系统构成，每个子系统在该系统中以确定的概率出现，这个系统称为混合系综 ( m i x e de n s e m b l e s ) 棍合系统的状态称为溅台态( m i x e ds t a 国混合态可以用一个 矩阵来描述，我们称它为密度矩阵，定义为 p = 只| 哦) 呶l ， v 其中只2o ，只= 1 1 纯态和混合态有一个明屐差别设 卢= 只l 诹) ( 哦i i 出于p 是一个厩米算予，它具有正交归一驹宠备本征矢薰系l 妒n ) i 饥) 洲= 1 = 瓦；。， n p 2 = 只弓n l 讥) 泓胁) ( 咖i = 圩1 d 我们可以看到1 ￥扩仅仅对于纯悫才取1 ，对于混含态总是小于1 的 2 2 量子态的可分与纠缠 一个体纯念l 妒1 2 n ) 7 1 咒2 0 o7 n 是可分的，如果存在i 妒1 ) e h l ， 锄) e h 2 ，| 妒) 瓤，使褥 否则称为纠缠的 妒1 2n ) 一l 母1 ) 圆l 咖2 ) 圆圆l 妒) 4 对j 二混含态反如采系综中的所喜可能糍现豹纯杰都楚可分的，则称声是 对分的用密度矩阵的语富表达为：如果存在l 锯) ，j = 1 ，2 ，- ，和 只0 ，只一1 使褥 t p = 筑p ；。= 以1 、虢1 l 。 | 秽) ( 好 其中彦是穰予予系统豫的密度矩阵，羽称芦珂分，否剩称为纠缠的 2 3b l o c h 球 一个璧子比特系统豹密瘦瓶阵p 满髭：厄苯，垂定，逑为1 p 可以表成 p = ；e ，+ 气如+ 如+ r ；吒，一：1i l + r s 。 最露由歪定性，珂得劐 即 1 一如2 一”2 一r # 2 0 从而可以在一个量子比特的密度矩阵和半径为r 且满足1 的球体之间建立一 个一一对应这个球体称为b l o c h 球 简单的计算可得 t r p 2 ：学 我们知道对于纯态有n 矿= 1 ，此时i 司2 = 1 ，对于混合态n 矿 1 ，此时i f l 2 1 扶露b l o c h 球翁衰藤上热点代表了纯态，黼辨都鹩点刘鹫述了游台态 焉面我们可以剩用s u ( n ) 的生成元将量予杰的b l o c h 球表示推广 2 。4 几个纠缠度量 对于一个好的纠缠度量e ，需要满足如f 条件 ( 1 ) 对于可分态p ，e ( p ) = 0 5 、， y 静 一 一如 ( 2 ) 拒娥佬条件：掰体d 维系统的最大纠缠态的纠缀渲满足 露( 础) = l o g d ( 3 ) 在局域操作和经典通信( l o c c ) 卜_ 纠纲渡不增加 ；( h l o c c ( p ) ) e ( p ) ( 4 ) 连续性：郄当渺一d | 一0 时，e ( p ) 一f ( f ) 一0 。 ( 5 ) , - f ) m 性：e ( p ”) 一h e ( p ) ，户“表示n 个景予态p 的张量积 ( 6 ) 次霹加挫：e ( p 够口) 5e ( p ) + 蟊( 萨) ( 7 ) 凸性：戤a p + ( 1 一a ) 神a e ( p ) + ( 1 一a ) e ( ，其中0 a 1 雾实上，很多已有的纠缠度薰并不能满足以上所有的条件对于一个纠缠度量是否 必须满足所有豹条件仍然是一个未知数 下箍是几个常见的纠缠度量 相对熵纠缠度e r ( p ) ( r e l a t i v ee n t r o p yo fe n t a n g l e m e n t ) ：对于一个量子态 p ，相对熵纠缠度定义为 珞( p ) 2 舢i n e f p t r p ( 1 0 9 2p l 0 9 2p o ) 形成纠缠发差麓( ( e n t a n g l e m e n to ff o r m a t i o n ) ：对于一个混含惫p ，形成纠 缠度定义为 e f ( p ) = i n f 最e 瀚( 鲫， 其中e ( 矾) ( 蛾| ) ；s ( 1 彗l 魄) ( 魄| ) ，s ( p ) 一一t r p l 0 9 2 p 为y o nn e u m a n n 熵 纠缠消耗e c ( p ) ( e n t a n g l e m e n tc o s t ) ：这个纠缝度楚指为了近似地制备一个 给定的态p ，消耗2 个量子比特的最大纠缄态的最大个数配个保迹的 l o c c 搡作为母，记鳃数为韵最大鲻缝态对应的密度矩阵为母( 耳) ，即 圣( 吖) = 妒嘉) ( 妒壹l ， e c ( p ) ：2i n f r ：l i r a i n 。fd ( p 。“，霍( 母( 2 7 “) ) ) 】一o 6 其中d ( z ，) 为一个合适豹距离度量，一般取残迹范数( t r a c en o r m ) 现一( 国 还可以定义为 龇气= i n f ，。燎警， 其中n 倭 ) 表示要制务所需要使用的最大纠缠态i 圣 的数目，n 表示输 搬豹近似予给定态p 豹淼的数目 纠缠提纯e d ( p ) ( d i s t i l l a b l ee n t a n g l e m e n t ) ：对予给定的态p ，e d ( p ) 定义为 岛( 加 s u l o p v c 尝警， “p 一l ；。 嘎嚣 和n 挚豹意义同上详细的_ 解请参考文麸f r i o 】和f 2 l j 这些纠缠度鬣 之闻寅如下关系 如( 舔( 以踟搁 它们分别其有以下性质1 2 2 1 1 2 3 1 ： e f魄岛 连续性 ， 、 可加性 ， r i o q 热性 、 n o t 2 5已骞的几个可分性判据 jp e r e s - h o r o d e c k i 拳握( p p t 判据) 设p h a 鳓将p 的矩阵元用魔积基的形式表示 p m 。，一( m | 缸i p l n ) 0 | | ，) ， 其中m 和n ( 肛和p ) 对应第一( 第二) 个h i l b e r t 空间 定义：p 关于第一个子系统的部分转置为：溉，一p 。，类似地可定义对第 二个子系统的部分转置 p e r e s 判据1 2 5 j ：若p 可分，划它的部分转鹭p n 0 ， 2 约亿鲻据 7 ，在复台物理系统a 。和a 。中用密度矩降p a i a 。来描述淼，系统a l ( a 2 ) 的约化 密度矩阵定义为 p 。一n 几( p a 。a ：) ，( p a = t r a 。( p a 。a ) ) 其中t r 。( 酤 ，) 分剃为对系统以2 ( a t ) 的部分迹： ( t r a 。( 1 a t ) 啦i 圆| b x ) ( b 2 ) = 强( 6 1 ) 渤| ) | d 1 ) 啦| ) ， ( 瓣 ，( l a ，) 她 o 睁，) 钕论一弧( b ) 幅潆1 ) 如1 ) ， 其中 a 1 ) 积l a 2 是淼空闻a l 的态矢量， b 1 ) 和 阮) 是态空间a 2 的态矢量 约讫判据1 2 7 l ：若p 霹分，则p a o ，一p 0 且，0 船一p 0 。 ，控制判据 设。= 和l 过，辽) ，y = ( 毛玉，疋) ? 是两令d 维实矢鬃，满足 嚣i 是砖，y 建以 如果当= 1 ，2 ，d 一1 时，苟 ；当= d 时，等号成立，则称。被控 制，记为z 叫轳 把由密度矩阵p 的本征德按递减顺序排列丽成的矢蠹记为a ( p ) 控制判据1 2 0 i ：如果p b 对分，列蠢a a 丑) a ( 以) 辣a ( p a _ b ) ( 船) 成立 ( 逶过对a ( 纵) 和a ( p 疗) 添搬。可馕得它们豹维数与a 和 岔) 穗网) 矩晦羲摊刿据 对于一个矩终a 一( 舭f ) ，a 豹拉壹趣燕定义为： v e c ( a ) = ( 晓l l ，。一，a m l8 1 2 ，? 啦r 1 2 ，一，a l ，a m r n ) t 设z 一( 毛) 是m n 分块矩阵，簿一块粕都是一个n n 矩阵，z 的重撵定义 8 为如f 的一个t n 2x7 产矩阵 r ( z 、i z i v e c ( z , 1 ) v e c ( z , 。) r 矩阵p 蛇遮藏数定义为p 兹所有奇异值之秘；记据n ( p ) 或者疆 矩阵重摊判据1 3 0 1 ：设肌廿是m n 系统的密度矩阵如果p a 日可分，则纵b 豹薰捧短阵敞县= 冠( 以丑) 的迹藏数满足l i r ( p 口川l _ 9 3 量子态的可分性及形成纠缠度 在这一部分，我们主要引进了特殊酉群s u ( n ) 的一组生成元，然后利用它们 樽剜量子态可分或纠缠豹判掘，并且得到了c o n c u r r e n c e 的一个下界，它在定条 停卜等j ：该量子态的c o n c u r r e n c e 3 1 s u ( n ) 的一组生成元 因为密度矩阵是姬定的厄米算子，两一个独立的n 维h i l b e r t 空间h 上的厄 米算子总可以由单位算予，和s u ( n ) 的生成元表出。 我们j f i 用文章f l l 】牛豹方法给出这黪生成元 设只是一组投影算子： 弓* = | j ) ( 是| ， i 是托上线性愿米冀予的疆交本征态+ 我们用霭构遗2 1 个簿予： 睁恁蛾+ t 娟- t 柏，l l n - 1 吗= 弓k + ， 岛女= ( 岛女一羁蛙) ，1 j t 0 等价手p p t 判据而对于3 n 的系统，i 拇于我们不能保诚密度矩阵经过佗变换 螽的燕定霞，我们嚣能得封该条件不比p p t 刿据弱 定理4 在3 n 的系统中，1 r ( p a b ) 0 不比p p r 判据弱 1 4 磁以取 - t 一。t = 一( i0i ) 珏硒= ( ；| ；) 珏肠一( ；) ， 沁晤t ( 00 | ) 就一 k 一供三| ) 当元成 生 的 ls于赖藏篷彀的一兀角对 的苦他阵矩角对个 一 暇 明时 汪3 | 、l， o 0 o l 0 l o 0 、；， l 0 0 幅一o ，o o 。、 1 | | | 也 觚 | i l | ； 足 、ll，；f e o 0 i o 88 以o ，fj o o o 0 o o o 0 o o o o o 0 t o 0 o 0 o o o o 0 0 o o o l o 0 0 o o o l o o o o o 0 l o 0 o o 0 o 1 o o o o o 0 l o o 0 o 0 0 d 从弼 所以 由刁一 p a b 一，。眠十凡 舰 ； ( ) 一m l 一宰m 2m 3 + t m j a 矗一 如 毛+ m 1 一- 、4 3 - 一，2 u 纸一i m 7 m 5 一i r e s 蛭 坞 m 3 她 m 5 一觚 一胁 一飓 嘣啪，2 憾苗誊剖 3 4 形成纠缠度 口 对j ：2 2 的情形，w k w o o t t e r s 在文章 3 4 】q | 指出，对了：纯态i 妒) ，形成纠 缠度e ( 妒) 可以写成 层( 世) = ( g ( 妒) ) ， 、， 如 魑螈 洲 西一o + 十2 一 慨 慨 一 炳地蜗舰地狐坼 称c 为c o n c u r r e n c e ，定义为 其中 g ( 妒) = i ( 妒i 妒) i 妒) = o y l 币+ ) 旷( ： 函数定义为 叩卜t 1 + v i - z - 萨l 0 9 2 哑2 一t 1 - v f - c 2 l 0 9 2 竿 对j ：两个量子比特的混合态p ，定义 e ( p ) = 占( g ( p ) ) ，其中c ( p ) = m a x o ，a i a 2 一a 3 一九) ，扎是厄米矩阵 r ；v 劢帮万的按降序排列的非负本征值 有类似于p a u l i 矩阵5 u 的性质，我们把它们分别记为户1 ，息，息 肚0 i i，) 设i 妒) 是一个纯态，令 妒) = 毛o p i e 4 ) 在2 3 系统中的一组标准基f i ，j ) 下，i 妒) 可写成 23 l 妒) = a 0 i ，j ) 仁1j 2 t 2 3 其中。巧= l _ 通过简单的计算可得 i = lj = l c “妒) ) = l ( 妒i 妒) i = 2 1 ( o , n a 2 2 0 r 1 2 c y 2 1 ) + ( a 1 2 理2 3 一。t 3 n 钮) + ( o l l l 0 2 3 一“1 3 q 1 2 ) 1 7 、， 一 0 、， 0 1 0 0 0 o 0 0 0 ，lt _ z 岫k 中小叫叫 航。 胜卜 引 量! 虬 稚 产 i | | 捌卟叫吖 臀扰 柚叫 n f 对 饥k 如果把口1 3 和a 2 3 都取成0 ，我们发现这个定义和2x2 系统中的c o n c u r r e n c e 是完全一样的 对j j ：两体mxj v 系统中的纯态 聪用s u ( n ) 的生成元 吗女= t ( 岛 一) ，1 sj k 茎n 令p = 奶h 我们可良得到同样的结论 j , k 村 ) = 俐蓼) | = 2 1 ( 啦嘶一女) i jk m mn 设l 妒一a h 阮，矩阵 1 = 1 j = l f n 1 王 d 1 2 a l a ：i n z t 。8 。 秘m la m 2 口村 a 的所有二阶子式组成的矩阵为a 的第二次复台矩阵1 1 0 ，记为c 2 ( a ) 对于态 渺) ，如暴淹匙c 2 ( a ) 的每个元素都是同号豹，受l j 此辩 我们知邀柯西不等式 令所有b 。= l ，可得 g ( i 妒) ) 尊c ( j 妒) ) 1 8 。埘 m | | 妒 蜉 。 m 扫8 霹 ， 一 2 0 h ，一 丽一个 ，矩簿翕：盯( m 一1 ) n ( n 1 ) 个2 阶予式，从而我们可以把g 。( 1 妒) ) 和推广的c o n c u r r e l l c e 辩翻 g ( 1 妒) 一2 对比，可衡 瓣污蠢虿印。) 2 ( c ) 2 觚蕊我们得到了两体mxn 壤蛰予系统的c o n c u r r e n c e 的一个下界 定理5 ：设l 妒) 是薄体m x n 维鼙予系统豹纯森，如聚l 协可分，则c f l 妒) ) 一0 村n 证明：设i 妒) 一a 格i ，j 若i 妒) 可分，刘耀阵 8 l n o t 2 ： a m n 的所有二阶予式均炎零，第= 次复合矩薅岛( a ) 为罨矩辫默箍可褥 m ( i 妒) ) 一| ( 够l 谚| 一2 1 ( a 墙a j m 一诎m * ) = 0 i j = i m = l 利用w k 。w o o t t e r s 豹方法，对予两体混合态的情形，任意的个秩为n 的 鬻度矩簿反可以找蓟一缀矿豹对应予替零本征值i 的正交本征态h ) ，把它们正 规化使褥她l 哦) = a ：。对于p 的任意一缎分鳃) ，令 v = ( 1 1 ) l 砚) l 。) ) ，w = ( w 1 ) u 2 ) - t 甜。) ) 刚总可以找到一个话矩阵“使得 w = v 目， 从爵按照我 | 、j 定义的矩簿声 j 泓嘛) | = ( w v t 声v + w + ) 婷 1 9 j o 一 一 一 m 一 蚺 一妞 了帆 百 fi，n 蛳魄：蝴菩咖 ，j-iii1ll-，ft、 | 矗 m ：户是对称矩阵从面v t p y 4 也是对称的所以可以选择“，使得 i ( 哦i 西) i 一 t 如， 其中是厄米矩箨ri 了甄万的按降序捧列的非负本髹值按照w o o t t e r s 的 方法，我们可以得到对于混合态p 的c ( p ) 的值矸i 足的地方在于我们只是得到“ c o n c u r r e n c e 的一个下界 良上我们研究了s u ( n ) 的整生成元，并通过它们推广了两体高维詹子态的 一个性质利用对关联向量的变换得到了一个量予森可分的必要条件，并说明了它 对于3xn 的系统不比p p t 刿据弱最聪我们得到了离维情形的c 。n c u r r e n c e 的 一个下界，弗且计算了一类特殊的量子态的形成纠缠度 参考文献 1 1 lc h b e n n e t t ，g ，b r a a s a r d ：c c r d p e a u ，r j o z s 8 ，a p e r e sa n dw _ k w o o t - t e r s ，p a y s r e v l e t t ，7 0 ，1 8 9 5 ( 1 9 9 3 ) f 2 jc 。a f u c h s ，n g i s i n ，r b 。g r i f f i t h s ，c s n i ua n da p e r e s ，p h y s r e v 。a 5 6 ，1 1 6 3 ( 1 9 9 7 ) 【3 】a r c a l d e r b a n ka n dp s h o t ，p a y s r e v a5 4 ：1 0 9 8 - 1 1 0 5 ( 1 9 9 6 ) | 4 lc h b e n n e t ta n ds j w i e s n e r ，p h y s 。r e v l e t t 6 9 ，2 8 8 1 ( 1 9 9 2 ) 。 潮d 。p d i v i n c e r m o ，s c i e n c e2 7 0 ，2 s s ( i 的5 ) 【6 1 李承祖等，量子通镶鸟量子计馨，毽防科技大学出叛鼓，2 0 0 0 【7 】h y u k q a el e e ，s u n gd a h mo ha n dd o y e o la h n ，t h ee n t a n g l e m e n tc r i t e r i o no f m u l t i q u b i t s q u a n t - p h 0 5 0 6 1 2 7 8 】s ，a l h e v e r i o ，s 。m f e ia n dd g o s w a m i ，p h y s l e t t ，a2 8 6 9 1 ( 2 0 0 1 ) | 。ls m 。f e i ，x 嚣g a o ，x i w a n g ，z x w a n ga n dk w u ，p h y s l e t t a3 0 0 ， 5 5 9 ( 2 0 0 2 ，) 1 1 0 1r o g e ra h o r na n dc h a r l e sr j o h n s o n ，m a t f i xa n a l y s i s p u b l i s h e db yt h ep r e s s s y n d i c a t eo ft h eu n i v e r s i t yo fc a r a b r d g e ，1 9 8 5 【1 1 j j 。s c h l i e n za n dg m a h l e r ! p h y s r e v a ，4 3 9 6 ( 1 9 9 5 ) 【l 麓a u h l m a n n ，p h y s 巍e v af i 2 ，0 3 2 3 0 7 ( 2 0 0 0 ) ， 【1 3 】a l b e v e r i osa n ds 。m f e i ，j j to p t bq u a n l ；u m s e m i c l a s s o “p t b 3 ，2 2 3 ，( 2 0 0 1 ) + 1 1 4 ) b m 。t e r h a la n dk g 珏v o l l b r e c h t p h y s r e v l e t t 8 52 6 2 5 ( 2 0 0 0 ) 【l 壤k ，g 珏v o l l b r e c h ta n dr ，f w e r n e r p h y s r e v ，a6 4 ，0 4 2 3 1 5 ( 2 0 0 1 ) 【1 6 】h z h a oa n dz x 。w a n g ，c o m m u n t h e o r p a y s 4 2 ，5 2 9 ( 2 0 0 4 ) ， f l7 sk r y s z e w s k ia n d mz a c h c i a l ，a l t e r n a t i v er e p r e s e n t a t i o no fn nd e n s i t y m a t r i x q u a n t p h 0 6 0 2 0 6 5 2 1 1 8 1m k e y l ，p a y s r e p 3 6 9 ，n o 5 ，4 3 1 ( 2 0 0 2 ) 1 9