（基础数学专业论文）具有缩影☆和△▽图式流形.pdf

河南大学硕士学位论文 摘要 流形的发现是近代数学的一个重要进展1 9 7 4 年，j d m o r g a n 和 d p s u l l i v a n ，提出了z n 流形的概念，给出了k 价杯( k v a l e n c yb o c - k s t e i n ) 的定义1 9 9 4 年，刘亚星和李起升老师，给出了图式流形的定义并 且研究了相关的论题从此，越来越多的代数拓扑学家对这一领域产生兴 趣，并且获得了一系列有价值的成果 n 一1 维单形的一维骨架，可以转化为n 个顶点的无向图，称之为图 式流形的缩影如果指定了图式流形的缩影，图式流形的杯( 结点或圆周) 采用不同的覆盖映射，就可得到不同的图式流形计算所有的图式流形的同 胚类型的个数，并为每个同胚类指定代表元，这就是图式流形的拓扑分类 问题 文献 1 3 】中总结了图式流形拓扑分类的主要方法有以下5 种：1 扭转运 算；2 伴随矩阵；3 组合理论；4 机器计算；5 图论方法 本文对具有缩影贫和2 铲的图式流形的同胚分类进行了研究， 对于这两个特殊的图式流形，通过对其负边的分析，发现：对于外层边来 说，通过扭转运算，相交的负边总可以转化为不相交的的情况，这样就只 需对外层负边不相交的情况进行研究；对于内层边来说，当内层负边为奇数 时，通过扭转运算，内层只剩一个负边，当内层负边为偶数时，通过扭转 运算，内层全为正边，这样我们只需考虑内层有一个负边和没有负边两种情 况从而简化了计算过程 本文的结构如下： 第一章是为本文主要结果的证明做准备的，介绍了图式流形的基本概 念和结果，还对同胚、拓扑空间、流形等基本概念给出简要说明第二章给 出了定理a 的详细证明过程第三章给出了定理b 的详细证明过程 关键词：缩影，图式流形，负边，辐射边，同胚类个数，扭转运算 i 河南大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ed i s c o v e r yo fm a n i f o l di sam a j o ra d v a n c ei nm o d e r nm a t h e m a t i c - s i n1 9 7 4 ，i w m o r g a na n dd p s u l l i v a nd e m o n s t r a t e dt h ec o n c e p to fz n m a n i f o l d i n1 9 9 4 ，l i uy a x i n ga n dl iq i s h e n gd e m o n s t r a t e dt h ec o n c e p to f ag r a p h i k em a n i f o l da n dr e s e a r c h e dr e l a t e dt o p i c s f r o mt h e no n ，m o r ea n d m o r ea l g e b r a i ct o p o l o g i s t sb e c o m ei n t e r e s t e di nt h ef i e l d ，a n dh a v eo b t a i n e d as e q u e n c eo fi m p o r t a n ta c h i e v e m e n t s t h en - d i m e n s i o n a lf r a m e w o r ko f ( n - 1 ) 一d i m e n s i o n a ls i m p l e xc a nb et r a n s - f o r m e di n t oav e r t e xu n d i r e c t e dg r a p ho fn - v e r t e x ，c a l l e dt h ec o n t r a c t i o n o fg r a p h l i k em a n i f o l d i fw ed e s i g n a t et h ec o n t r a c t i o no fg r a p h l i k em a n i - f o l d ，b o c k s t e i n ( k n o to rc i r c u l a r ) o fg r a p h l i k em a n i f o l dc a nf o r md i f f e r e n t g r a p h l i k em a n i f o l db yu s i n gd i f f e r e n tc o v e r i n gm a p c a l c u l a t i n ga l lt h en u m - b e r so fh o m e o m o r p h i cc l a s s e so fg r a p h l i k em a n i f o l d ，a n dp r o v i d i n ga l lk i n d s o fr e p r e s e n t a t i v ee l e m e n t so fg r a p h l i k em a n i f o l d s ，a r ec a l l e dh o m e o m o r p h i c c l a s s i f i c a t i o no fg r a p h l i k em a n i f o l d s t h e r ea r em a n yr e s e a r c hm e t h o d so fg r a p h l i k em a n i f o l d h o m e o m o r p h i s m c l a s s i f i c a t i o n ，a n dt h e ya r em a i n l ya sf o l l o w s ： i t w i s to p e r a t i o n ； i i a d j o i n tm a t r i x ； i i i c o m b i n a t o r i a lt h e o r y ；i v m a c h i n ec o m p u t a t i o n ； v c o m b i n a t i o nm e t h o d t h ea u t h o ro ft h i sp a p e rb yr e a d i n gt h er e l a t e dt od o m c u m e n t sh a s r e s e a r c h e do nt h eh o m e m o r p h i s mc l a s so fg r a p h l i k em a n i f o l dw i t hc o n t r a c t i o n 缸d 拿 b yr e a d i n gs o m er e l a t e dd o m c u m e n t s a n dh a sf o u n do u t t h ef o l l o w i n gp o i n t s ： i f o ro u t e rs i d e s ，t h r o u g ht w i s to p e r a t i o n ，t h en e g a t i v es i d eo ft h e i n t e r s e c t i o nc a na l w a y sb et r a n s f o r m e di n t on o n - c r o s s i n gs i t u a t i o n t h u s ， w eo n l yr e q u i r et oc o n s i d e rn o n c r o s s i n go u t e rn e g a t i v es i d e s i i f o ri n n e rs i d e s ，w h e nt h en u m b e ro fi n n e rn e g a t i v ee d g e si s o d d ，a n dw ed oi tb yt w i s to p e r a t i o n ，t h e r eo n l yi so n en e g a t i v ee d g ei n i n n e rs i d e s w h e nt h en u m b e ro fi n n e rn e g a t i v ee d g e si s e v e n ，b yt w i s t o p e r a t i o n ，a l lt h ee d g e sa r ep o s i t i v ei ni n n e rs i d e s t h u s ，w es h o u l do n l y i i c o n s i d e rt w oc a s e s ：t h e r ei so n l yo n en e g a t i v ee d g eo rn o n - n e g a t i v ee d g em i n n e rs i d e t h u s ，w ec a z ls i m p l i f yt h ep r o c e s s o fc a l c u l a t l o n t b j st h e s i sc o n t a i n st h r e ec h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e r s i st op r e p a r ef o r t h ed r o o fo ft h em a i nr e s u l t so ft h ep a p e r ，a n di n t r o d u c e st h e b a s i cc o n c e p t s a n dr e s u l t so fg r 印h l n 【em a n i f o l d i na d d i t i o n ，t h i sc h a p t e r a l s og i v eo u ta b r i e fi n t r o d u c t i o no fh o m e o m o r p h i s m ，t o p o l o g i c a ls p a c e ，m a n i f o l d 。上。n e s e c o n dc h a p t e rg i v e sad e t a i l e dp r o c e s s o fc a l c u l a t i o na n dp r o o fo f i h e o r y a t h et h i r dc h a p t e rg i v e sa d e t a i l e dp r o c e s so fc a l c u l a t i o na n dp r o o to f t h e o r yb k e y w o r d s ： c o n t r a c t i 。n ：g r a p h l i k em a n i f o l d ；n e g a t i v ee d g 懿； r a d i o e d g e ；h o m e o m o r p h i s m c l a s sn u m b e r ；t w i s to p e r a t i o n i i i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南犬学提出硕士学位中请。本人郑重声明：所呈交的学位论文是 本人在导师的指导下独立完成的，对所研究的课题有新的见解。据我所知，除 文中特别加以说明、标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包括其他人为获得任何教育、科研机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 。j 。| 。瓴， 学位串裁：。学位窑毒；兰：互鍪蚤丝 _ p ，。f j ，j 一_ 3 。：i , i ? ij j j l 一：o 一? i 。i j j 。? ，砭 v 。么；7 ，。一一。孳! i 分2 0o c 年6 月h ，l ，日 。t 7 、i - ；i 。 ； 、留jj ：、 j j； ， ，、 o j 。一，。 j | t一? ?：，； t j o | | ，毒j ；一。：；，j ；? ，鬟：ji ，j7 ：一4 - l ： 影；：jl 。妻；鬈。；夕，；，：! ，7 ，；， f+ ，、； 。 一 ，。 “i ；：，关于学位论文著作权使用授权书多 io ，：- + | | j 。- 。o 7 f i 。i ? j 、jj ? 0 ，? ， | ，j二一，f 7 | 7 ，j j t 。一? _ | 二 + | ： 本人经河南大学审核批准授子硕士学位。作为学位论文的作者，本人完全 了解并同意河南大学有关保留、使用学位论文的要求，即河南大学有权向国家 图书馆、科研信息机构、数据收集机构和本校图书馆等提供学位论文( 甄质文 本和电子文本) 以供公众检索、查阅。本人授权河南大学出于宣扬、展览学校 学术发展和进行学术交流等目番勺。可以采取影印、缩印、扫描和拷贝等复制手 段保存、汇编学住论文( 纸质文本和电子文本) 。 ( 涉及保密内容的学位论文在解密后适用本授权书) 学位获得者( 学位论文作者) 釜名： 2 0 学位论文指导教师釜名： 2 0 侄丧敌 河南大学硕士学位论文 引言 流形的发现是近代数学的一个重要进展1 9 7 4 年，d m o r g a n 和 d p s u l l i v a n ，提出了z n 流形的概念，给出了k 价杯( 尼一v a l e n c yb o c k - s t e i n ) 的定义1 9 9 4 年，刘亚星和李起升老师，给出了图式流形的定义并且 研究了相关的论题籍此，许多作者对图式流形的拓扑分类进行了研究， 并且获得了一系列有价值的成果 n 一1 维单形的一维骨架，可以转化为n 个顶点的无向图，称之为图 式流形的缩影指定图式流形的缩影，若图式流形的杯( 结点或圆周) 采用 不同的覆盖映射，就可得到不同的图式流形计算所有的图式流形的同胚类 的个数，并为每个同胚类指定其代表元，这就是图式流形的拓扑分类问题 关于具有缩影因，钮等的拓扑分类问 题在文献 6 ，7 ，1 0 】等中已经解决一般的具有n + 1 个顶点的g m 的同胚类个数的计算公式，袁夫永老师已经用两种方法推出( 一种 方法在1 9 9 7 年国际组合数学学术会议上宣读；另一方法作为纪念国际数学 大师p e r d o s 教授的特约论文) 这类图式流形，其缩影是常见的棱锥体的 一维骨架的平面图另一类常见的立体图形是棱台体或棱柱体的一维骨架， 该骨架的缩影就是 计算公式 ，袁夫永老师也已用两种方法给出它的同胚类 图式流形同胚分类的研究方法有很多，主要有以下5 种： 1 扭转运算；2 伴随矩阵；3 组合方法；4 机器计算；5 图论 方法 本文作者通过对相关的文献资料进行阅读，结合以上5 种方法，特别是 受袁夫永老师和刘亚星老师的o ng r a p h l i k em a n i f o l d sw i t hc o n t r a c t i o n论文的启发，希望能对某一类特殊的图式流形的同胚类进 行计算，找出一个相对简便的方法，而后，在李起升导师的指导下，对具 有缩影和牟的图式流形进行研究通过对负边的分析，发 1 河南大学硕士学位论文 现：在这两类图式流形中，对于外层边来说，通过扭转运算，相交的负边 总可以转化为不相交的的情况，这样就只需对外层负边不相交的情况进行 研究；对于内层边来说，当内层负边为奇数时，通过扭转运算，内层只剩 一个负边，当内层负边为偶数时，通过扭转运算，内层全为正边，这样我们 只需考虑内层有一个负边和没有负边两种情况从而简化了计算过程 本文获得的主要结论如下： k 定理a 具有缩影为的图式流形有1 7 个同胚类 b 定理b 具有缩影为z 铲的图式流形有2 8 个同胚类 本文的结构如下： 第一章是为了本文主要结果的证明做准备的，介绍了图式流形的基本 概念和结果，并对同胚、拓扑空间、流形等基本概念给出简要说明。第二章 给出了定理a 的计算证明过程第三章给出了定理b 的计算证明过程 2 河南大学硕士学位论文 第一章预备知识 本章主要是为第二章，第三章的证明作准备的，介绍了一些相关的概念 和结果第一节对拓扑空间，同胚和流形等基本概念及性质作出简要说明， 是为了引出图式流形及其同胚变换：第二节介绍图式流形的概念和结果 1 1有关概念、定义及性质 拓扑空间是代数拓扑学研究的最基本的空间，下面给出其定义： 定义1 1 1设x 是一非空集合x 的一个子集族7 称为x 的 一个拓扑，如果它满足： ( 1 ) x ，仍都包含在7 _ 中； ( 2 ) 7 - 中任意多个成员的并集仍在7 中； ( 3 ) 7 - 中有限多个成员的交集仍在7 - 中 集合x 和它的一个拓扑7 i 一起称为一个拓扑空间，记作( x ，7 ) 映射的连续性是刻画拓扑变换( 同胚变换) 的关键概念，下面给出连续 映射的定义： 定义1 1 2设x 和y 是两个拓扑空间，：x y 如果y 中的每一个开集u 的原象f - 1 ( u ) 是x 中的一个开集，则称，是从x 到y 的一个连续映射，或简称映射，连续 定义1 1 3 设x 和y 是两个拓扑空间，如果f ：x y 是一个 一一映射，并且，和f - 1 ：y x 都是连续的，则称，是一个同胚 映射或同胚 定义1 1 4 设x 和y 是两个拓扑空间，如果存在一个同胚厂： x y ，则称拓扑空间x 与y 是同胚的，或称x 同胚于y 如同定义1 1 3 一样可得两个图形同胚的定义如下： 定义1 1 5 从图形m 到m 7 的一个一一对应厂，如果厂和，- 1 都连 续，就称厂为从m 到m 7 的一个拓扑变换，并称m 与m 7 是同胚的 在同胚意义下的变换称为同胚变换或拓扑变换，拓扑性质就是几何图 形在作拓扑变换时保持不变的性质 同胚关系基于以下明显事实： ( 自反性) 恒等映射i d ：x _ x 是同胚映射 ( 对称性) 如果，是同胚映射，则，- 1 也是同胚映射 3 河南大学硕士学位论文 ( 传递性) 如果f 是同胚映射，则，_ 1 也是同胚映射 故有下列命题1 1 6 ： 命题1 1 6 同胚关系是一个等价关系 拓扑学的主要问题，就是要判断给定的两个图形是否同胚，而且在可能 的时候，列举所有不同胚的图形 h a u s d o r f f 空间( 也称易空间) 是代数拓扑中的一类重要空间，它与流 形有着紧密的联系下面给出h a u s d o r f f 空间的定义： 定义1 1 7 设x 是一个拓扑空间如果x 中任何两个不相同的点 各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交，( 即如果z ，y x ，x y ，则点z 有一个开领域u ，点秒有一个开领域y ，使得unv = o ) ，则 称拓扑空间x 是一个h a u s d o r f f 空间或乃空间 流形的发现是近代数学的一个重要进展，也是数学研究的主要对象下 面给出其定义： 定义1 1 8 设m 是一个h a u s d o r f f 空间，若m 的每一点p 都有一 个开领域ucm ，使得u 和礼维欧氏空间形中的一个开子集是同胚的， 则称m 是一个竹维拓扑流形，简称为t i , 维流形 然后给出映射度的概念： 定义1 1 9 设i ：s n _ s n 仡1 ，诱导出 n ：( 伊) 一 风( 伊) 由于( 伊) 笺z 竹决定一个整数k ，使得v 0 f 凰( ) n ( q ) = k a ，称整数k 为厂的映射度，记作d e g ( f ) 4 河南大学硕士学位论文 1 2图式流形 在给出图式流形定义之前我们先给出k 价( k v a l e n c y ) 杯和微z 加 流形的概念 定义1 2 1 设x 是一个拓扑空间一个余维数为1 的子空间b 称为 x 的一个k 价( k v a l e n c y ) 杯，如果b 满足如下条件： 对于每个b b ，存在b 在b 中的一个开邻域u ，b 在x 中的一个 开邻域y ，以及一个映射p ：v u ，使得： ( 1 ) poi 是恒等映射，其中i ：u y 是含入映射； ( 2 ) 在一个同胚映射h 之下，y 同胚于uxf ，且使下列( 图1 ) 图 可交换，其中f 是尼一标架，0 f 是原点，。是映射钍一( u ，0 ) ，p o 是映射( u ，z ) _ u u f 七 图1同胚映射下的交换图 定义1 2 2 一个微z 扎流形是一个图：b 与e 土b ，且满足： ( 1 ) b 是一个拓扑空间，称为杯； ( 2 ) b 是一个拓扑空间，称为泛空间； ( 3 ) i ，j 是连续映射，分别称为含入映射和自然投射，复合映射j oi 等 于b 上的恒等映射 ( 4 ) 对任意的b b ，都存在一个b 的开邻域u ，t ( 6 ) 的开邻域y ， t ( u ) cv ，j ( y ) cu ，使得y 同胚于u f ，h 是同胚映射，使得 下列( 图2 ) 图可交换其中f 是k 标架，0 f 是原点，x d 是映射 u 一( u ，0 ) ，p o 是映射( 乱，z ) 一让，礼被称作这个微z n 流形的价 5 河南大学硕士学位论文 u x f k 图2 下面给出图式流形的概念： 定义1 2 3 一个图式流形是一个拓扑空间，由它的各个价的杯的并构 成 图式流形还可以理解为： 定义1 2 4 所谓图式流形即将一个图的每个顶点都换成流形，把每个 边都换成相应流形与单位闭区间的拓扑积 本文所提到的图式流形是将顶点都换成圆周，把每个边都换成管( s 1x j ) 管与圆周衔接时，映射度规定为+ 1 或一1 我们把原来的图称为该图 式流形的缩影把缩影为。厂的图式流形简记为g m ， 定义1 2 3 和1 2 4 给出了图式流形的概念，这些图式流形有无穷多个，而 且这些图式流形的同胚类也有很多，甚至有无限多个 除文献 2 外，所研究的图式流形直观上可以这样描述： 定义1 2 5 给定一个简单图g = ( ve ) ，将y 中的每一个顶点v 换成 一个圆周母( 称为结点) ，e 中每一条边e 换成一个圆柱面正= 碰 0 ，1 】 ( 称为管子) ；若e 的端点是v i 和口，则分别将圆柱面的2 个边界圆周匙xo ， 鲤xl 和2 个结点& 。，砩，用映射度为l 或一1 的连续映射来连接，得n - 个拓 扑空间m ，称该拓扑空间m 为以图g 为缩影的图式流形，或称为g 图式 流形 因圆柱面和2 个结点的连接方式很多，图式流形的结构很复杂，故很有 必要用严格的数学语言来刻画图式流形 图式流形的下述定义是文献【2 】的特殊情况： 6 河南大学硕士学位论文 定义1 2 6 给定一个图g = ( ve ) ，记x 是ly1 个圆周s 1 和le1 个圆柱面的不相交并( u 母) u ( u 正) ，其中lal 表示有限集合a 的 基数，i i 为拓扑空间的不交并，母= s 1 ，正= 瞿xi ，若x 上的等价关 系一满足下列2 个条件： ( 1 ) 正的内部诬x0 ，1 中的每个点的等价类是x 中单点集； ( 2 ) 若e 的端点是仇和u ，则正的边界爰x0 ，1 中的每个点的等价类 由同胚映射如：爱o 一；和g i j ：鲤1 一& ，确定，且当z 鲤 时，( z ，0 ) 一向( z ) ，( z ，1 ) 一g o ( z ) ；则称商拓扑空间x 一为g 图式流 形，圆周研为图式流形的结点( 或顶点) ，圆柱面疋= 鲤i 为图式流 形的管子( 或边) ，：诬x0 一岛i 为结点研处的粘附映射也称商 拓扑空间x 一为以g 为缩影的图式流形 注：在一个g 图式流形m 中，粘附映射厶：s l 0 一换成另 一个同胚映射，；f f ：匙x0 一瓯：就得到另一个g 图式流形m 故给 定一个简单图g = ( ve ) ，通常会有无穷多个g 图式流形 因同胚映射厂：伊一伊的映射度一定是l 或一1 ，故下面的命题 1 2 7 成立 命题1 2 7g 图式流形的粘附映射的映射度一定是1 或一1 定义1 2 8沿用定义1 2 6 的记号，设圆柱面鲤x 【0 ，1 】的边界圆周的 粘附映射分别为如和，其中e 的端点是k 和若d e fy , j d e fg i j = 一1 ，则称正为负边，或称k 和k 用负边连接；若d e f 向d e f = 1 ， 则称正为正边，或称和用正边连接 命题1 2 9设m 是g 图式流形，若将某一个结点母处的所有粘附 映射都成反向的同胚映射，其他的粘附映射不变，得到一个新的图式流形 m ，则m 和m 同胚 对于本文所论及的图式流形，由定义1 1 9 知，可规定每边的符号，正 号或负号取决于其两端的映射度的相同或相异 定义1 2 1 0沿用命题1 2 9 的记号，将m 变为m 的这一变换称为 图式流形的扭转变换 在文献f 2 1 中已经证明下面命题1 2 1 1 ： 命题1 2 1 1将某个定点( 圆) 改变方向，是一个同胚变形，且相当于 把该顶点( 圆) 相关联的所有边改变符号我们称此同胚变形为该顶点的扭 7 河南大学硕士学位论文 转运算 这就是著名的“扭转定理” 故：g 图式流形的扭转运算一定是同胚变换 下面给出图式流形的缩影的具体定义： 定义1 2 1 2 三维单形的一维骨架的图式流形设u 怎，掰是4 个圆周， 具有确定的方向，用六根圆管子把它们两两相接，记连接与的管子 为l 巧，两端到& 和岛的覆盖映射的映射度分别为讹和m ，厶，称 为正管子或负管子，由m i 和m f 同号或异号在上述的构造中，三维单 形的一维骨架也可以换成一个简单的无向图，称之为所得图式流形的缩影( c o n t r a c t i o n ) ，如无特殊说明，下文中图式流形都是指这种类型的流形 设m 是这样一个图式流形，r ：u ：，母一u 叁1 母是一个改变其中 一个圆周的定向，保持其它三个圆周定向的映射这样r 可以扩展为一个 m 到一个图式流形的同态，与定向不改变的的圆周的三条管子的符号都改 变可以用下图来表示： r j 这里，管子上的横线表示这个边是负边，这样的变换就是扭转运算 定理1 2 1 3 从同胚的角度说，缩影为 n 订i = 1 ，1 i j 4 有3 个等价类 证明：( 1 ) 所有边都为正的情况只有1 种； ( 2 ) 有一条边为负边的情况只有1 种； ( 3 ) 两条负边的情况有2 种； ( 4 ) 三条负边的情况有3 种； ( 5 ) 四条负边的情况有4 种； ( 6 ) 五条负边的情况有1 种； 8 的图式流形im i ji = 河南大学硕士学位论文 ( 7 ) 六条负边的情况有1 种； 所以一共有1 + 1 + 2 + 3 + 2 + 1 + 1 = 1 1 列举如下页： 4 1o1 l 9 河南大学硕士学位论文 扭转运算如下： ll 4 10 ， 二 所有的1 1 种情况可以转化为3 个同胚类： 1 望5 竺9 1 0 2 2 河南大学硕士学位论文 其代表元为： 2 竺3 垡7 竺8 竺1 0 4 竺6 掣1 1 若m 是一个图式流形，它所有的顶点( b o c k s t e i n s ) 都是圆周在 顶点处，与顶点相连的管子的映射度分别为他l ，死幽，扎如，把向量 ( 1 ，m 2 ，n 饥) 称为该顶点的关联向量 定理1 2 1 4 一个图式流形m 和m 同胚的充要条件是： ( 1 ) 存在一个m 和m 7 的顶点之间的一一对应：一y ：，使得顶点 y ：的关联向量( n m 礼，礼i ，。) 的分量被重新排序，这样n i i = n ：， 这里= 土1 ( 2 ) 令h 表示m 和m7 的顶点之间的同胚映射，把映射到y ： 记瓯= 士1 ，当h 保持定向的时候取1 ，当h 改变定向的时候取一1 如果有管子己蛳，脚连接顶点k 的映射度分别为几让，呦，有一个管子 l 他：。连接y ：到y ；，那么 5 i e i k s j e 歹i ：= 1 明详见文献2 1 研究图式流形的基本问题是计算同胚类个数的问题和实现计算所用的 方法问题对于这两个问题，许多代数拓扑工作者进行了卓有成效的工作， 取得了许多重要成果 本文作者将对具有缩影和牟的图式流形进行研究，并计算出 它们的同胚类个数 1 1 河南大学硕士学位论文 第二章具有缩影的图式流形 本章将证明本文的主要结果a 其中第一节证明推出了有关具有缩影 的图式流形的性质，第二节是在这些性质结论的基础上给出定理a 的 详细计算证明过程 2 0 1 具有缩影的图式流形的性质 在g m 中，如图3 所示，所有的边都可以分成两层： 内层 a b c d e 和外层a d 7 b e 7 c a 7 e c 7 a ，内层各边称内边，外层各边称外边 ( 也叫辐射边) 记a ，b 7 ，c ，d 7 ，e 7 为外顶点，a ，b ，c ，d ，e 为内顶点 c 7 图3 为将来应用起见，我们首先证明下述一系列引理： l 引理2 1 1 在g m m 中，内层的边要么全为正边要么只有一个负 边 证明：通过扭转运算，我们尽可能把内层的负边推到外层( 1 ) 如果当 d e 是负边，我们可以扭转d ，使d e 变成正边；如果c d 变成负边，我 们可以扭转c ，使c d 变成正边；以此类推，最后，如果a b 是负边，扭 转a ，使a b 变成正边；用这种方法，除了边a e 能成为正边或负边，内 层的其它四边全都是正边( 2 ) 如果d e ，c d 都是负边，则扭转d 即可使 d e ，c d 变成正边( 3 ) 如果d e ，c b 都是负边，则先扭转d ，使e d 变 成正边，c d 变成正边；这样c d ，c b 都变为负边，和( 2 ) 的情况相同，扭 转c ，内边全为正；( 4 ) 如果d e ，c d ，c b 都是负边，则先扭转d ，使 e d ，c d 都变成正边，只剩b p 是负边；和( 1 ) 的情况相同用这种方法， 1 2 河南大学硕士学位论文 我们归总结得出：当内层的负边数是奇数时，通过扭转运算，最后总能把内 边变为只有一条负边的情况；当内层负边为偶数时，通过扭转运算，最后总 能把所有内边全变为正边从而我们得出：内层要么全为正边要么只有一 个负边定理得证 由引理2 1 1 得：对于g m 贸，我们只需考虑两种情况即可：( 1 ) 内边全正：( 2 ) 内边有一负边 即等价于以下两种情况：( 1 ) a e 为正边；( 2 ) a 召为负边 引理2 1 2 在g m 窝中，如果有p 个负辐射边，那么它一定同 胚于( 1 0 一p ) 个负辐射边的情况这里的p 满足：1 p 1 0 ( p n ) 证明：因为当分别扭转4 ，b ，c ，d ，e 一次时，每一个负辐射边都将改 变它的符号如( 图一) 所示 例如：如果含有6 个负辐射边，通过扭转运算，使它同胚于1 0 6 = 4 个负辐射边的情况 再如：如果含有7 个负辐射边，通过扭转运算，使它同胚于1 0 7 = 3 个负辐射边的情况 由引理2 1 2 知，我们考虑0 - - 5 个负辐射边的情况即可 引理2 1 3 在g m 中，有公共外顶点的负辐射边等价于该顶 点处全为正边的情况 证明：因为当分别扭转a 7 ，b 7 ，c 7 ，d 7 ，f 一次时，每一个负辐射边都将 改变它的符号如( 图3 ) 所示 1 3 河南大学硕士学位论文 如： 推论2 1 4 在g m 贸中，任意两个负边相交或三个或四个负边 交与一点的话，对该顶点进行扭转运算负边数就会减少 由预备定理2 1 2 和推论2 1 4 知，我们只须考虑外辐射边不相交的情 况即可 ，o _ 引理2 1 5在g m 中，当a e 是负边时，如果两个图形关于 a e 对称，则它们同胚 证明：通过对内层的顶点进行扭转运算即可证之 如 算得： 1 4 河南大学硕士学位论文 故： 一 1 竺2 2 再如和一概一算得 故：3 笺4 该定理我们称为“对称运算”定理 1 5 4 河南大学硕士学位论文 28 2主要结果的证明 定理a从同胚的角度上说，具有缩影节亨的图式流形有1 7 个同胚 类 证明：( 一) 当a e 是正边时，只需考虑负辐射边的个数分别为0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 六种情况列举如下： 对每种情况进行扭转 1 0 1 6 6 。；，：。， _ 河南大学硕士学位论文 同胚类有： 5 竺7 6 竺8 9 竺1 0 1 2 竺1 1 故，当a e 为正边时共有8 个同胚类，其代表元为： ( 二) 当a e 是负边时，也只需考虑负辐射边的个数分别为0 ，1 种情 翔万| l 港由口- y 67 89 10 1 7 一， 2 河南大学硕士学位论文 1 8 河南大学硕士学位论文 对每种情况进行扭转和对称运算： 3 袋 蛾 戢 袋 l2 1 9 黄 恕 热 袋一 河南大学硕士学位论文 同胚类有 1 竺7 竺8 竺9 竺1 0 3 垒6 垡1 7 竺2 0 竺2 2 4 笺5 竺1 8 竺1 9 竺2 1 1 1 笺1 2 竺1 3 竺1 5 竺2 7 垡2 8 1 4 竺2 9 竺3 0 2 3 笺2 6 竺3 2 2 4 笺2 5 故，当a e 为负边时共有9 个同胚类，其代表元为： 综上所述，具有缩影为的图式流形有8 + 9 ：1 7 个同胚类 河南大学硕士学位论文 本章将证明本文的主要结果b 其中第一节证明推出了有关具有缩影 。9 z 铲的图式流形的性质，第二节是在这些性质结论的基础上给出定理b 的 详细计算证明过程 3 1 具有缩影窜的图式流形的性质 如图4 所示，所有的边可分成两层：内层a b c d e f 和外层a d 7 d b e 7 c f 7 d a 7 e b 7 f c 7 a ，内层各边称内边，外层各边称外边( 也叫辐射边) 记a 7 ，b 7 ，c 7 ，d 7 ，f 7 为外顶点，a ，b ，c ，d ，e ，f 为内顶点 d e 7 c 7 f 7 b 7 a 7 图4 如同引理2 1 1 ，引理2 1 2 ，引理3 1 1 ，引理2 1 3 ，推论2 1 4 ，引理2 1 5 的 证明一样，有下列结论： 引理3 1 1 在g m 窜中，内层的边要么全为正边要么只有一个负 边 由引理3 1 1 得：对于g m 内边全正；( 2 ) 内边有一负边 ，我们只需考虑两种情况即可( 1 ) 即等价于以下两种情况：( 1 ) a f 为正边：( 2 ) a f 为负边 引理3 1 2 在g m 窜中，如果有p 个负辐射边，那么它一定同胚 于( 1 2 一p ) 个负辐射边的情况这里的p 满足：1 p 1 2 ( p n ) 由引理3 1 2 知，我们考虑0 - - 6 个负辐射边的情况即可 2 1 河南大学硕士学位论文 a 引理3 1 3在g m 气产中，有公共外顶点的负辐射边等价于该顶 点处全为正边的情况 a 推论3 1 4在g m 氐产中，任意两个负边相交或三个或四个负边 交与一点的话，对该顶点进行扭转运算负边数就会减少 由引理3 1 2 和推论3 1 4 知，我们只需考虑外负辐射边并不相交的情 况即可 a 对于g m a 萨来说，“对称定理”仍然成立，即： a 引理3 1 5 在g m 厶i 萨中，当a f 是负边时，如果两个图形关于 a p 对称，则它们同胚 河南大学硕士学位论文 3 2 主要结果的证明 同胚类 证明：( 一) 当a f 是正边时：只需考虑负辐射边的个数分别为0 ，1 ， 2 ，3 ，4 ，5 ，6 七种情况列举如下： 窜窜孕窜 孕窜孕窜 孕窜孕冷 露 对每种情况进行扭转和对称运算： 窜5 孕拿 河南大学硕士学位论文 孕零李一窜 6 473 萨枣 1 0 9 1 4 1 2 同胚类有： 1 笺1 1 型2 0 2 竺9 竺1 5 3 竺7 型8 竺1 6 4 竺1 3 竺1 7 竺2 1 5 竺1 9 6 竺1 0 掣1 2 皇1 4 竺1 8 故，当a f 为正边时共有1 3 个同胚类，其代表元为： 窜孕孕窜窜 露窜冷窜孕 露露玲 河南大学硕士学位论文 ( 二) 当a f 是负边时，也只需考虑负辐射边的个数分别为o ，1 ，2 ，3 ， 4 ，5 ，6 七种情况列举如下： 孕窜孛冷窜 窜露窜孕露 窜窜窜拿孕 参窜冷串枣 窜窜露露露 鸯枣露冷冷 3 1 3 2 2 5 3 4 3 6 河南大学硕士学位论文 冷冷参枣冷孕 枣窜露枣窜鸯 冷枣窜孕枣玲 窜孕拿譬枣玲 孕串窜冷窜孕 窜孕枣 6 8 对每种情况进行扭转和对称运算： 2 6 河南大学硕士学位论文 2 7 孛孛3拿4拿6窜窜窜 河南大学硕士学位论文 河南大学硕士学位论文 枣母 窜一率 露一窜 磐枣 露一孕 露一孕 2 9 冷一窜 势窜 串一窜 孕一露 窜一窜 河南大学硕士学位论文 - 冷冷 - 冷孕 。冷冷 。枣鸯 奄李- 露鸯一 冷孕 河南大学硕士学位论文 5 7 5 4 5855 59 57 6 0 56 6l 5 46 2 5 3 666 46 7 同胚类有： 1 竺8 竺9 望1 0 垡1 1 竺1 2 3 兰7 笺2 3 竺2 7 竺3 0 掣3 2 4 垡6 垡1 4 型2 1 竺2 4 掣2 6 竺2 8 型3 1 竺4 4 垡5 1 5 竺2 5 竺2 9 1 3 竺1 6 笺2 2 笺4 3 竺5 2 1 5 笺1 9 笔4 5 竺4 8 1 7 垡2 0 型4 6 掣5 0 1 8 竺4 7 掣4 9 6 3 河南大学硕士学位论文 3 3 兰3 5 竺3 8 掣4 2 3 4 竺3 7 竺3 9 竺4 1 5 3 竺5 5 笺5 8 笺6 2 笺6 3 竺6 7 竺6 9 5 4 笺5 6 竺5 9 竺6 0 笺6 1 兰6 4 竺6 5 垡6 6 故，当a f 为负边时共有1 5 个同胚类，其代表元为： 串窜窜窜孕 窜窜窜露冷 孕孕窜冷串 综上所述，具有缩影为的图式流形有1 3 + 1 5 = 2 8 个同胚类 3 2 参考文献 1i w m o r g a n ，d p s u l l i v a n ，t h et r a n s e r v a l i t y c l a s sa n dl i n k i n gc y c l e s i ns u 憎e r yt h e o r y ，b yp m o n t e l ，a n no fm a t h ，1 9 7 4 ，9 9 ：4 6 3 - - 5 4 4 ，1 2 9 - 1 5 1 【2 】l i uy 扣m n g ，l iq i s h e n g ，g r a p h l i k em a n i f o l d s ，c h i n e s eq u a r t j m a t h ，1 9 9 4 ，9 ( 4 ) ：4 6 5 1 【3 】尤承业，基础拓扑学讲义， 北京大学出版社，1 9 9 7 【4 】熊金城，点集拓扑， 高等教育出版社，1 9 9 8 【5 y u a nf u - y o n g ，o n eh u n d r e da n de i g h t y n i n eh o m e o m o r p h i s mc l a s s e sd ， t h eg m ，c h i n e s eq u a r t j m a t h ，1 9 9 7 ，9 ( 3 ) ：7 5 8 6 【6 】l i ux i a o - z h e n ，g r a p h l i k em a n i f o l dw i t h c o n t r a c t i o n q u a r t j m a t h ，1 9 9 5 ，1 0 ( 1 ) ：1 0 3 1 1 0 【7 】y u a nf u y o n g ，t h eh o m c o m o r p h i s mc la s s i f i c a t i o n 巧g m 俚抖jv e r t i c e s ) ，c h i n e s eq u a r j 1 9 9 6 ，1 1 ( 2 ) ：6 0 一6 3 ，c h i n e s e 【8 】h un u - e h u n ，c h e ns h e n g - m i n ，g r a p h l i k em a n i f o l d st r e ea n dg mw i t h c o n t r a c t i o nl s k e l e t o no fs i m p l e x , c s s i c c 9 7c o l l e c t i o no fp a p e r s 【9 】9 g u ot u o - y i n g ，g r a p h l i k em a n i f o l d sw i t ht h