（基础数学专业论文）脉冲中立型泛函微分方程.pdf

摘要 本文讨论了脉冲中立型泛函微分方程，共分两章： 在第一章里，我们研究了可分b a n a c h 空间中的带有非局部条件的脉冲中立型泛 函微分方程； 杀阻( t ) 一9 ( t ，扎( t ) ) 】= a i u ( t ) 一g ( t ，u 0 ) ) + f ( t ，u ( t ) ) ，o e t j 一 t l ，t 2 ，一，t 。) u b u ( t - z ) = 心( 蝠) ) ，k = 1 ，2 ，m u ( 0 ) + h ( u ) = ， 其中a 为等度连续的强连续半群的无穷小生成元，利用s a d o v s k i i 不动点定理我们得 到了上述问题适度解的存在性，即定理3 1 在第二章中，我们利用s c h a e f e r 不动点定理讨论了序h i l b e r t 空间中的时变脉冲 中立型泛函微分方程： 面d ) 一m 则) 】_ 坤，) ，。e tezt ( ) y ( t + ) = ( 可0 一) ) ，t = n ( 可( t ) ) ，k = 1 ，2 ，m ， y ( o ) = y o ， 解的存在性，得到了定理2 1 ，这是此类问题在无穷维序h i l b e r t 空间中的推广 关键词： 非局部条件；等度连续；强连续半群；s a d o v s k i i 不动点定理；可分b a n a c h 空间；脉冲中立型泛函微分方程；适度解；时变；s c h a e f e r 不动点定理；序h i l b e r t 空 间 奎翼奎兰堡圭堂篁垒塞 塑曼， i i a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ed i s c u s st h ei m p u l s i v en e u t r a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i ti sc o n s i s t e do ft w oc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo ft h em i l ds o l u t i o n st ot h ei m p u l s i r en e u t r a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hn o n l o c a lc o n d i t o n s ： + f ( t ，札( c ) ) ，a e t j 一 t l ，t 2 ，- - ，t 。， i nas e p a r a b l eb a n a c hs p a c e ，w h e r eai st h ei n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ro fa ne q u i c o n t i n u o u ss t r o n g l yc o n t i n u o u ss e m i g r o u po fb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r st ( t ) w eg e tt h e t h e o r e m3 1 ，b yu s i n gt h es a d o v s k i i sf i x e d p o i n tt h e o r e m i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ed i s c u s st h ei m p u l s i v en e u t r a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hv a r i a b l et i m e s ： = ( t ，y ( f ) ) ，a e t zt ( g ( f ) ) t = ( f ( t ) ) ，k = 1 ，2 ，- ，m ， i na no r d e rh i l b e r ts p a c e af i x e d p o i n tt h e o r e md u et os c h a e f e ri su s e dt og e tt h ee x i s t e n c et h e o r e mo fs o l u t i o n s ，i e t h e o r e m2 1 ，w h i c hg e n e r a l i z e st h i sp r o b l e mi ni n f i n i t e d i m e n s i o n a lo r d e rh i l b e r ts p a c e s k e y w o r d s ：n o n l o c a lc o n d i t i o n s ；e q u i c o n t i o n u i t y ；s t r o n g l yc o n t i n u o u ss e m i g r o u p ；s a d o v s k i f i x e d p o i n tt h e o r e m ；s e p a r a b l eb a n a c hs p a c e s ；i m p u l s i v en e u t r a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ；m i l ds o l u t i o n ；v a r i a b l et i m e s ；s c h a e f e r sf i x e d p o i n tt h e o r e m ；o r d e rh i l b e r t s p a c e s 啪 m 吣互 幻 = = 掣 吖叫 ”卜扣蛾州 r “ 吖叫舢”卜刈)嘉咖蚋 ，r_j_j-i_l 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独仓性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示了谢意。 ：、关于学位论文使用授权的说明 签名：益盥嗍丛：! ! f 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文 的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档 的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借 阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南 大学研究生院办理 靼秘嗍 近：圭：垒 引言 脉冲微分方程理论在物理、生物医学以及经济领域有着重要的作用( 见【1 - 3 ) 近年来，人们逐渐开始了对脉冲泛函微分方程的研究，取得了许多结果( 见 4 7 】) 本 文主要研究的是非局部条件下的脉冲中立型泛函微分方程和时变脉冲中立型泛函微分 方程，共分两章 1 非局部条件下的脉冲中立型泛函微分方程 非局部问题是古典c a u c h y 问题的推广，在具体的物理问题，如热传导现象和少 量气体在透明试管中的扩散现象中有着更好的应用效果1 9 9 1 年l b y s z e w s k i 在文 献 8 中最早开始研究了如下形式的非局部问题； ix i ( t ) = a x ( t ) + f ( t ，。( t ) ) ，0 t t ， ( a ) lz ( o ) + g ( t l ，t p ，茁( t 1 ) ，- ，z ( t p ) ) = x o ， 其中0 t a t 2 t 。t 为固定的点利用半群和b a n a c h 不动点定理得到了 上述问题适度解、强解以及古典解的存在性和唯一性 近年来，对于非局部问题解的存在性、唯一性及稳定性得到了广泛研究( 见【9 1 2 1 ) 其中文献【1 2 】中研究了如下形式的中立型方程： 面a 扛o ) 一f o ，z ( h i o ) ) ) 】= a i x ( 一f o ，z ( h i o ”) 】+ g o ，口( h 2 0 ) ) ) ) o 。m ( b ) i 。( o ) + g ( z ) = z o x ， 其中a 是强连续半群的无穷小生成元，g ，g 分别满足l i p s c h i t z 条件，作者利用压缩 映射原理得到了上述问题解的存在性及正则性 但是，目前将非局部问题与脉冲问题相结合研究得到的结果并不多其中b e n c h o h r a m 等在文献 1 3 中研究了非稠定的脉冲发展微分包含积分解的存在性，文献 f 1 4 】中m g u o 等利用m 6 n c h 不动点定理研究了脉冲发展包含的可控性问题 本文在第一章中将问题( b ) 与脉冲问题相结合，讨论了如下形式的方程： l 羞一9 ( t ，u ( t ) ) 】_ a 一9 ( t , u ( t ) ) 】+ 邢，u ( t ) ) ，n - e t i ，一，t m ) ， 1u ( t ) = 厶( 让( 坛) ) ， k = 1 ，2 ，一，m ， 卜 iu ( 0 ) + ( 钍) = ， 适度解的存在性 为此我们首先定义如下的等度连续函数乘积空间 n = c ( j o ，e ) xc ( j 1 ，e ) x g ( 如，e ) 其中0 = t o t 1 0 对vt z vx ，y e g ( t ，z ) 一a ( t ，y ) i sd 31 茁一y 并且存在常数d 4 0 ，对vt j ，有1g ( t ，0 ) l sd 4 ( h 5 ) 常数l ：= m ( 1 + d 3 ) f + d 3 + m d 0 ，存在h 口l 1 ( z r + ) ，满足l ，( t ，札) i h q ( t ) ，对v ul q 和a e t j 成立 下面分别对“、，、 给出如下几个假设条件： ( h 1 ) n c 1 ( 日，r ) ，= l ，2 ，m ，对vz h 满足条件 0 n ( 。) - 7 h ( 。) 0 ，使得il k ( x ) 1 c k ，并且对vz h ( o ) z ，七= 1 ，2 ，一，m ( h 3 ) 映射g ：j h 斗日是非负的，并且关于第二个变元是连续且紧的存在常数 0 d 1 0 的无穷 小生成元区间j ：= 0 ，t 】，映射，g ：j e _ e ，厶：e _ e ，= 1 ，2 ，m 间断点满足：0 = t o t l t 。 t i n + l = t ，区间以= t 女，t k + 1 ，k = 0 ，1 ，m 定义连续函数乘积空间：q = g ( j o ，e ) c ( ，e ) e ( 厶，e ) ， 映射h ：q - - - + e ，f 为e 中一固定的元 由于受到某些实际物理问题的启发，1 9 9 1 年l b y s z e w s k i 在文献 8 中将古典 的c a u c h y 问题推广至下面的非局部问题： l 一( ) = a x ( t ) + ，( t ，。( f ) ) ，0 t z 【石( o ) + g ( t l ，t p ，x ( t 1 ) ，x ( t p ) ) = x o ， 其中0 t l t 2 0 ， 对v t 正vo ，y e 9 ( t ，z ) 一g ( t ，y ) i d 3i 。一yl ， 并且存在常数d 4 0 ，对vt j ，有ig ( t ，0 ) i d 4 ( h 5 ) 常数l ：= m ( 1 + d 3 ) l + d 3 + m d 0 ：d c u 垩1 尬，其中。院a m ( 舰) e ) 关于非紧k u r a t o w s k i 测度的详细内容可查阅文献【3 1 3主要结果 首先定义算子p 、q 算子尸：q _ q ， 对v “2 ( 乱o ，让，“m ) q ， p u = ( i o u o ，p 1 u 1 ，- 一，p 竹l u m ) ， 其中r ：g ( j k ，e ) 斗e ( 以，e ) = 0 ，1 ，m ， fp o u o ( t ) = t ( t ) 障一九( “) 一口( o ，一 ( u ) ) + o ( t ，u o ( t ) ) ，t j o l 1p k u k ( t ) = t ( t t k ) ( 让一l ( t i ) ) 一g ( t k ，i k ( u k l ( t i ) ) ) 【 + g ( t ，u k ( t ) ) ，t j k ，k = 1 ，2 ，m 奎童查堂堡圭兰竺丝塞 ：堑三塞：- 4 算子q ：q _ n ，对vu = ( “o ，u l ，) n ， q u = ( q o u o ，q l 钍l ，一，q m 仳m ) ， 其中q 女：g ( 以，e ) - 9 , g ( 以，e ) ， k = 0 ，1 ，仇， q k u t ( t ) = 丘t ( t s ) ，( s ，u k ( s ) ) d s 令g = p + q ，g = ( g o ，g 1 ， 其中g k = p k + q k ， k = 0 ，1 ， 显然，算子g 的不动点即为问题( 1 1 ) 的适度解 下面给出问题( 1 1 ) 的适度解的存在性结果： 定理3 1如果假设条件( h 1 ) 一( h 5 ) 成立 少存在一个适度解 证明：定理的证明分以下三步： 第一步t 算子p 在q 上是压缩的， ，g m ) m 则非局部问题( 1 1 ) 在区间j 上至 vu ，u q ，其中让= ( u o ，u 1 ，一，u m ) ，u = ( o ，郇1 ，- 一，u m ) ， | | p o u o p o v oi i c ( j o ，e ) = d t , a x t e j op o u o ( t ) 一p o , o ( t ) i sm 【l ( 札) 一 ( ) i + i9 ( 0 ，一h ( 钍) ) 一g ( o ，f 一 ( ”) ) i 】 + r n a x t j og ( t ，u o ( t ) ) 一9 ( t ，u 。( t ) ) j m k ( 1 + d 3 ) | | 一 | | n + d 3 “o 一 0 0 | i c ( s o ，e ) ( m k ( 1 + d 3 ) + d 3 ) i i 一v | | n l 1 lu u1 1 n ， | | p 七仳k p 七 i l c ( ，e ) = r t a x t e j , kp k u k ( t ) 一p k v ( t ) l m ii k ( u k 一1 ( t i ) ) 一厶( u 一，( t i ) ) l + ig ( t k ，i k ( u k l ( t i ) ) ) 一9 ( t k ，i k ( v 一i ( z i ) ) ) f 】+ ? n a x t j kg ( t ，牡k ( t ) ) 一9 ( t ，u 女( t ) ) m l ( 1 + 如) | | “女一1 一v k 一1i i c ( j k - l , e ) + d 3 | | u k 一巩i i c ( j ，e ) ( i 引( 1 + d 3 ) + d 3 ) | | u vi l n l f iu 一 i i n ， k = 1 ，2 ，m ， 所以 l ip 珏一p f l n ll lu v ， 由( h 5 ) 可知 p 在n 上是压缩的 第二步：算子q 是连续并且紧的， ( 1 ) 、q 是连续的 假设在n 中有u 。_ u ，m _ ) ， 其中 u 。= ( 皤，u p ，u 象) ，u = ( u 0 ，u 1 ) 一，u m ) ， 贝0 0 “2 一让 | f e ( ，e ) - 0 ， ( n 十。) ， 对v k 1 ，2 ，m ) ， ， | i 瓴u 2 一仉u k 岘棚) 2 m a t ( “一s ) ( ，( s ，u ) 一，( s ，让k ( s ) ) ) d s 曼m “1 ，( s ，u 2 ( s ) ) 一，( s 胁( s ) ) ld s d “ 由( h 3 ) ，利用l e b e s g u e 控制收敛定理可知，当n _ o o 时 i lq k u 2 一q b 钍女i i c ( ，e ) ml l ，( ，u 2 ( - ) ) 一，( ，札k ( ) ) 1 i l ，( ) _ + 0 所以有 f iq u n q u _ 0 ( 2 ) 、0 映n 中的有界集玩为等度连续集 其中b 口= u q l lu1 i n q ) ， 我们只需证明，对vk 1 ，2 ，m ) ，仉在 上是等度连续的 v 札b 口，u = ( u o ，u l ，u m ) ， vr l 0 时是等度连续的，及 ( t ( r 2 一s ) 一t ( r l s ) ) ，( s ，u k ( s ) ) i 2 m ( d 1 ( s ) q + d 2 ( s ) ) l 1 ( j ) 则对ve 0 ，存在d 0 使得 8 ) 一t ( r l s ) ) ，( s ，u ( s ) ) 如i ，r 1 一口 j ( t ( 亿一8 ) 一t ( r l s ) ) ，( s ，u k ( s ) ) d s o “ + i 。( t ( r 2 一s ) 一t ( r l s ) ) ，( s ，u k ( s ) ) d s ，r 1 一o ，r 】一6 j ( t ( r 2 一t 1 + 5 ) 一丁( d ) ) t ( r l s 一6 ) ，( s ，u k ( s ) ) d s + _ n j 7 1 6 ee 互+ 互 e 所以当r 2 _ + r i 时 iq k u k ( r 2 ) 一仉( n ) i _ 0 ( 3 ) 、对任意固定的t j ， q 钍( t ) ：u b q ) 在e 中是相对紧的 只需证，对vk 1 ，2 ，m ) ，集合 饥札k ( t ) ：u b 。) 在e 中相对紧的 由( h a ) ( a ) 及e 是可分b a n a c h 空间，利用引理2 1 可得 ，t q ( q k u k ( t ) ：u b q ) )= q ( ，jt ( 一s ) ，( s ，“ ( s ) ) d s ：j lu k1 f c ( 。e ) g ) ) j k r c 墨2f 口( 丁0 一s ) ，( s ，u k ( s ) ) d s ：i iu k1 1 。( ，e ) q ) d s ， 又由( h 3 ) ( 2 ) ，可知上式右端等于0 ， 即 q ( q k 札 ( t ) ：u b 口) ) = 0 所以 q u ( t ) ：“b q ) 在e 中是相对紧的 则由a r z e l a - a s c o l i 定理可知映射q 是紧的 第三步：存在q 中的有界闭球岛，使得g ：b q - b g ， 对任意的仳b 口，u = ( u o ，“一，u 。) ，l | u1 1 n sq ， 由( h 1 ) 、( h 3 ) ( 3 ) 、( h 4 ) 及( h 5 ) 可知 g o u of i c ( j o ，f ) = m a x t e j ofg o u o ( t ) f m | f h ( u ) l + lg ( o ，一 ( u ) ) i + r r t a x t j og ( t ，u o ( ) ) 一1 + 上mm ，咖( s ) ) i d s m ( 1 + d 3 ) ( i l + ih ( u ) 1 ) + d 3i | u ol i c ( j o ，e ) + ( 1 + m ) d 4 + m 瓜d 1 ( s ) ju 。( s ) i sm o + d 3 ) ( i f l + kj i + d 2 ( s ) ) d 5 u + jh ( o ) j ) + 如i1 1 0j c ( j o ，e ) + ( 1 + m ) d 44 - m | | d lj i l - ( j o ) lj 钍olj c , ( j o ，曰) + 彳0 如j i - ( 山) ( m k ( 1 + d 3 ) + d 3 + mi id 1i j l - ( 而) ) g + m ( 1 + d 3 ) ( if + jh ( 0 ) i ) + ( 1 + m ) d 4 + mi | 画j | l - ( 而) l g + m ( 1 + d 3 ) ( jfl + jh ( 0 ) 1 ) + ( 1 + m ) d 4 + m jd 2 j l - ( - 1 0 ) 由( h 2 ) 、( h 3 ) ( 3 ) 、( h 4 ) 及( h 5 ) 可知 g k u k | l g ( ，e ) = m a z t lg k u k ( t ) i m 1i k ( u k t ( 坛) ) + lg ( t k ， ( u k 一1 ( t i ) ) 1 】 + m 。嚣t lg o ，札k o ) ) l + 玎厂“lf ( 8 , u k ( s ) ) id s m ( 1 + d 3 ) 1i k ( u k l ( t i ) ) l + d ai lu ki i c ( j 。，鳓+ ( 1 + m ) d 4 + m ，“( d 。( s ) iu b ( s ) l + d 2 ( s ) ) d s i ( 1 + d 3 ) 【2lu k l ( t i ) i + i ( o ) | + d 3l lu ki i c ( j 。，g ) + ( 1 + m ) d 4 + ml iu ki i c ( j i ，e ) l id 1l | l - ( 以) + mj id 21 i l ( ) ( i ( 1 + d 3 ) l + d 3 + mi id l1 i l t ( ) ) g + m ( 1 + d 3 ) i i k ( o ) i + ( 1 + m ) d 4 + m | id 2i | l - ( 以) l q + i o + d 3 ) i 厶( o ) i + ( 1 + m ) d 4 + m1 id 2j 1 l ( ) k = 1 ，2 ，一，m ， 令 口= i 三_ f m n z 彳( 1 + d 3 ) ( 1 l + l ( o ) i ) + ( 1 + m ) d 4 + m1 1d 2l i l t ( 山) ，u ) ， 1 一d 、 其中u = m a z m o + d 3 ) 厶( o ) l + ( 1 + m ) d 4 + m f d jf l t ( ) ：k = l ，2 ，- 一，m 则有 ig u q ，v7 1 , b 9 ， 由引理2 2 可知，g 至少存在一个不动点，即为问题( 1 1 ) 的适度解 一 一 一 0 ，存在h 口l 1 ( 正r + ) ，满足if ( t ，u ) i h q ( t ) ，对v ul g 和 n e t j 成立 为了定义( 2 1 ) 的解，我们定义下面的函数空间： q = ：j - hy 除了有限个点t k 外是连续的，t k = ( g ( t k ) ) ，v ( t d ，g ( 坛) 存在， 并且有g ( 坛) = ! ，( “) ) 定义1 2 2 函数y q n u k o a c ( ( t k ，t k 十1 ) ，h ) ，( 0 n 兰m ) ，称为问题( 2 1 ) 的解，如果y 满足方程f l y ( t ) 一g ( t ，可( t ) 】= f ( t ，g ( t ) ) ， a e t j ，t 仉白( t ) ) ， = 1 ，2 ，m ，并且v ( t + ) = ( ( t ) ) ，t = ( ( t ) ) ，= 1 ，2 ，- 一，m ，且有v ( o ) = y o 本章的证明主要用到下面的引理： 引理1 2 3 ( 见 2 5 )设x 为线性赋范空间，映射f ：x 一x 是连续并且紧 的，集合f ( f ) = 扛xjz = a f ( x ) ，存在a ( 0 ，1 ) ) ，则或者集合f ( f ) 无界，或 者f 存在一不动点 下面给出几个假设条件： ( h 1 ) t k g 1 ( 日，r ) ，k = 1 ，2 ，m ，对vz h 满足条件 0 丁1 ( z ) - - 7 j 。( z ) 0 ，使得li k ( x ) l c k ，并且对v 。h 厶( x ) x ，k = 1 ，2 ，一，m ( h 3 ) 映射g ：jx 仃_ h 是非负的，并且关于第二个变元是连续且紧的存在常数 0 d 1 1 ，d 2 0 ，使得 g ( t ，u ) l d 1 u i - f d 2 ， a e t 正vu h ， 并且对于c ( z 灯) 中任一有界集b ，集合 t g ( t ，( t ) ) ：y b 是等度连续 的 ( h 4 ) 映射，：j x h - - + h 是紧的，并且存在一个连续的非减函数妒：f 0 ，0 0 ) 叶( 0 ，0 0 ) ， p l 1 ( 正r + ) ，使得 lf ( t ，札) i p ( t ) 妒( 1u ) ，a , e t j v 札日， 妒满足条件：铲斋= o 。 ( h 5 ) 对vt j ，vy n ，( ( g ( t ) 一g ( t ，( t ) ) ) ，f ( t ，( t ) ) ) 1 ，= 1 ，2 ，一，m 2 主要结果 定理2 1 若假设条件( h 1 ) 一( h 5 ) 成立，并且，是一个l l - c a r a t h 4 0 d o r y 函数， 则初值问题( 2 1 ) 在区间j 上至少存在一个解 证明：我们分三步完成定理的证明 第一步；首先在区间 0 ，t 】上考虑下面的问题： i 岳 口( ) 9 ( t ，( ) ) 】= ，( t ，g ( t ) ) ，。e 【。，t ，( 2 2 ) 【g ( o ) = y o ， 考虑算子n i ：c ( o ，引，h ) - g ( o ，丁1 ，h ) ，其中 n l y ( t ) = y o 一9 ( o ，y o ) + g ( t ，g ( t ) ) + n ，( 8 ，g ( s ) ) d s ，v t 【0 ，习， 显然1 的不动点即为问题( 2 2 ) 的解 下面证明算子1 是连续并且紧的： 1 、1 连续的： 设在g ( 【o ，明，日) 中有y 。_ y ，则有 i 钋。( t ) 一n l y ( t ) i ig ( t ，玑。( t ) ) g ( t ，( t ) ) i + ii ，( s ，。( s ) ) 一f ( s ，口( s ) ) id s ， 由( h 3 ) ，定义1 2 1 及l e b e s g u e 控制收敛定理可知，当n _ o 。时， i 一is ，i f f f 夕( ，( ) ) 一夕( ，暑，( 。) ) f i + f f ，( ，弧( ) ) 一，( ，( ) ) 忆f o ，卅_ o 2 、l 映g ( 【o ，t 】，日) 中的有界集蜀为g ( 【o ，t ，h ) 中的等度连续集 其中 b q = g e ( 0 ，t ，h ) ：l lgl l q ) vt a ，t 2 0 ，t 】，t l t 2 ，对vy b q ， 1 口( t 2 ) 一n 1 y ( t 1 ) is g ( t 2 ，g ( t 2 ) ) 一9 ( t l ，g ( t 1 ) ) l g ( t 2 ，笋( t 2 ) ) 一g ( t h 可( t 1 ) ) l + j f ： + j c ： f ( s ，g ( s ) ) l 出 ( s ) ld s ， 由( h 3 ) 及h g l 0 ，t 可知当t 2 一t l _ 0 时，上式右端_ 0 3 、下证对任意固定的t j ， y o 一可( o ，y o ) + g ( t ，g ( t ) ) + 詹，( s ，y ( s ) ) d s ：f b q ) 在 日中是相对紧的； 由( h 3 ) 只需证：集合 片，( i ( s ) ) 如：y b q ) 在h 中是相对紧的 假设0 = r o n r n r n + l = t 为区间 0 ，t 1 的任一分割， t e 旨竽巾删( 屯) ) a ：= t 莉 邝，z ) ：s ( o ，t ) ，l 岳j g 因为，是紧的，则集合a 是紧的， 则对每一y b 。，令上式n _ o 。，则有 ，t 上m ，( s ) ) 妊y 岛) c a 所以 詹，( 8 ，y ( s ) ) d s ：g b q 在胃中是相对紧的 所以由a r z e l a - a s c o l i 定理可知i 是紧的 4 、下证集合e ( 1 ) = 妇e ( o ，卅，h ) ：y = a i y ，0 a 1 ) 是有界的 v 掣( 1 ) ，暑= i 可，0 入 1 ，r 于vt f 0 ，t ，t 可( t ) = a f o g ( o ，珈) + g ( 2 ，g ( t ) ) + 上，( s ，g ( s ) ) d s ， 所以 。) l i 蜘l + 血l 珈i + 2 d 2 + d tl 管。) + o i ，扣，( s ) ) d s ( 1 + d - ) l 。l + 2 d 2 + d t ( ) i + f 0 2 p ( s ) 妒( ig ( s ) i ) d s 绯) i 击【( 1 + d 1 ) 4 - 2 d 2 4 - z 。吣) 删小) i ) d s ， i 已 ”( 。) 。南 ( h d 1 ) fy ol + 2 如+ op ( s ) 妒( 1 可( s 幽j ， 郇( o ) = 南 ( 1 + d 1 ) l 可o l + 2 如】， 且有l 可( t ) l 锄( ) ， 口俅) 高p ( 。) 妒( m ) 1 ) s 南p ( t ) 州) ) ，所以有： 潞冬两1 地 对其在( 0 ，t ) 上积分，则有： 艨赤打击f 帅冲 0 ，使得t i ，l ( t 1 ) = 0 ，且7 1 ，l ( t ) 0 ，vt 【0 ，t 1 ) 所以，由( h 1 ) 可知 n 1 ( t ) 0 ，vt 【0 ，t 1 ) ，七= 1 ，2 ，仇，则可l e t 】是问题( 2 1 ) 在 0 ，t l 】上的解 第二步：在 t l ，卅上考虑问题： i ：( 毫，( t ) 一g ( t ，掣( t ) ) 1 = ，( t ，掣( t ) ) ，e t ( - ，丁k( 2 3 ) lu ( t t ) = 1 1 ( l ( 1 ) ) ， 考虑算子2 ：c ( p 1 ，卅，日) 叶e ( p - ，? 】，日) ，其中 n 2 y ( t ) = ( 可1 0 1 ) ) 一目( l ， ( 可1 ( 1 ) ) ) + 9 ( t ，可( t ) ) + f ，( s ，可( s ) ) d s ，t t l ，r ， 显然2 的不动点即为问题( 2 3 ) 的解 同理可证飓是连续且紧的 由( h 2 ) ，利用第一步中相同的方法可证： 集合6 ( 2 ) = e ( 肛l ，卅，h ) ：y = ) , n 2 y ，o t l ，使r 2 ，2 ( t 2 ) = 0 ，且r 2 、2 ( t ) 0 ，vt ( t 1 ，t 2 ) 所以，由( h 1 ) 可知“2 ( t ) 0 ，vt ( t l ，t 2 ) ，k = 2 ，m 下证r l ，2 ( t ) 0 ，vt ( t l ，t 2 ) 若j ( t 1 ，t 2 ，使得r 1 2 ( i ) = 0 ， 令l i ( t ) = t 1 ( y 2 ( t ) 一g ( t ，啦( ) ) ) 一t ， 则有 三l ( ) = f i ( 抛( 5 ) 一9 ( i ，”2 ( s ) ) ) 一5 n ( 可2 ( 吾) ) 一i = 7 12 ( i ) = 0 ， 所以三l 在( t l ，t 1 上达到非负极大值 设厶在8 1 ( t l ，t 处达极大值 则有： l h ) = ( 一( 蜘。) 一9 ( 乩g 。( s - ) ) ) ，面d 姒s t ) 一咖，z ( s t ) ) ) 一1 = o 所以 矗( y 2 ( s 1 ) 一g ( s l ，( s 1 ) ) ) ，( s 1 ，v 2 ( s ) ) ) = 1 ， 与假设条件( h 4 ) 矛盾 所以有“2 ( t ) 0 ，vt ( t l ，t 2 ) ，v l ，2 ，m 这时 卿) ：幻，捷f 0 a l 【口2 ( t ) ，t ( t 1 ，吼 是问题( 2 1 ) 在【o ，t 2 上的解 第三步；同理可证下面的问题： f 爰阿( t ) 一9 。，( ) 】= ，( t ，( 曲) ，m & ( t m ，t 】，( 2 4 ) 【( 瑞) = k ( ( t 。) ) ， 有解，记为 则问题( 2 1 ) 的解存在，且可定义为： y ( t ) = y i ( t ) ，t 0 ，吼 9 2 ( t ) ，t ( t 1 ，t 2 】 枷( ) ，( 。，t 】 注；在舒空间中讨论问题( 2 1 ) 时，可选取锥p = 忙= ( z t ，。2 ，z 。) r “| 孔 o ，i = 1 ，2 ，n ) ，此时( h 3 ) 、( h 4 ) 中关于，9 的紧性条件自然成立，因此本章结 论是此类问题在无穷维序h i l b e r t 空间中的推广 致谢 在过去的两年里，我的导师薛星美老师在学习和科研中给了我许多的教诲和指 导本文也是在薛老师的悉心指导下完成的，从本文的选题，文献收集到论文的写作以 及最终定稿，无不倾注薛老师的心血和汗水在此，谨向薛老师致以最诚挚的感谢1 感谢东大数学系的悉心培养，在研究生期闻，数学系的领导和各位老师给了我诸 多帮助在此，谨向他们表示衷心的感谢1 感谢师姐王静、马红铝、张莉娜对我学习 及生活上的指导! 感谢同学葛静l 感谢所有支持和帮助过我的同学和朋友们l 最后，我还要感谢我的父母，他们给我生命和无私的爱，全力支持着我! 壅查查耋堡圭堂堡鎏耋 萋童塞墼 1 6 参考文献 【1 】v l a k s h m i k a n t h a m ，d d b a i n o va n dp s s i m e o n o v t h e o r y0 ，i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，s i n g a p o r e ：w o r l ds c i e n t i f i c ，1 9 8 9 【2 】d d b a i n o v ，p s s i n e o n o v s y s t e m sw i t hi m p u l s i v ee f f e c t c h i c h i s t e r ：e l l e sh o r w o o d ， 1 9 8 9 【3 a g o l d b e t e r ，y x l ia n dg d u p o n t p u l s a t i l es i g n a i l i n gi ni n t e r c e l l u l a rc o m m t n i c a t i o n ：e x p e r i m e n t a la n dt h e o r e t i c a la s p e c t s ，i nm a t h e m a t i c sa p p l i e d ob i o l o g ya n d m e d i c i n e w i n n i p e gc a n a d a ：w e r zp u b ，1 9 9 3 ：4 2 9 4 3 9 【4 】k a m o n t z ，t u r o ja n dz u b i k k o w a l b d i f f e r e n t i a la n dd i f f e r e n c ei n e q u a l i t i e sg e n c r a t e db ym i x e dp r o b l e m s ，o rh y p e r b o l i cf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi m p u l s e s a p p l m a t h c o m p u t ，1 9 9 6 ，8 0 ( 2 - 3 ) ：1 2 7 - 1 5 4 【5 】d y u j u n p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t h i m p u l s e s j m a t h a n a l a p p l ，1 9 9 7 ，2 1 0 ( 1 ) ：1 7 0 - 1 8 1 6 】l u oz h i g u o ，s h e nj i a n h u a s t a b i l i t yr e s u n si o ri m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t hi n f i n i t ed e l a y s j c o m p u t a p p l m a t h ，2 0 0 1 ，1 3 1 ( 1 2 ) ：5 5 6 4 【7 g u om e n g s h u ，x u ex i a o p i n ga n d l ir o n g l u i m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a li