（基础数学专业论文）随机泰勒级数的增长性与狄里克莱级数的值分布.pdf

摘要 本文研究随机t 对l o r 和d i r i c l l l e t 级数的增长性以及随机d i r i c h l e t 数的值分布性质。 对更一般的非同分布的随机变量序列及在更广泛的系数条件下，证明了单位圆内的随机 t a y l o r 级数兀0 ) 沿任一半径的增长级几乎必然( a s ) 为p ：证明了复平面上的随机 d i r i c h l e t 级数沿任一水平直线的增长级几乎必然为( a s ) p ；证明了右半平面上随机 d i r i c h l e t 级数厂0 ，曲沿任一水平半直线的增长级几乎必然( a s ) 为p ，并且几乎必然以 盯= 0 上的每一点为其p i c a r d 点等一些定理。丰富并完善了随机级数的理论成果。 关键词：非同分布随机变量序列；随机级数；增长级；值分布 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ea i ma tt h eg r o w t ho ft h er a n d o m t a y l o rs e r i e sa n d t h eg r o w t ha n dv a l u e d i s t r i b u t i o no fr a n d o md i r i c h l e ts e r i e s t h eg r o w t hf o rt h em o r eg e n e r a lr a n d o m t a y l o rs e r i e s f 。( z ) i n t h eu n i tc u r c l e ，w h o s eg r o w t ho r d e ri sa l m o s ts u r e l y ( a 且) o fpo r d e ri na n yr a d i u si s p r o v e d f u r t h e r m o r e ，u n d e r ab e t t e rc o n d i t i o no fc o e f f i c i e n t ，f o r g e n e r a ie n o u g h a n d n o n - e q u a l l y d i s t r i b u t e dr a n d o md i r i c h l e ts e r i e s i ( s ，) ，w e o b t a i nt h e s et h e o r e m sa sf o l l o w s i t sg r o w t ho r d e ri nc o m p l e xp l a n ei sa l m o s ts u r e l y ( a s ) o f p o r d e ri na n yl i n e ；i t sg r o w t h o r d e ri nt h er i g h t - h a l f p l a n ei sa l m o s ts u r e l y ( a s ) o fp o r d e ri na n yh o r i z o n t a lh a l fl i n ea n d a s e v e r yp o i mo n o - = 0i sap i c a r d o f f ( s ，劫t h e s e c o n c l u s i o n se n r i c ha n dp e r f e c t t h e o r e t i c a lr e s u 曲so f r a n d o ms e r i e s k e yw o r d s ：n o n - e q u a l l yd i s t r i b u t e dr a n d o mv a r i a b l es e r i e s ；r a n d o m s e r i e s ；g r o w t ho r d e r ； v a l u ed i s t r i b u t i o n 引言 t a y l o r 级数的系数与增长性之间的关系，是一个十分重要问题。v a l i r o n 、h i o n g 瞄n l a i 、余家荣等专家均进行过许多研究。对全平面上的t 匆l o r 级数，( z ) = 艺a z ” n = 0 ( z = ，e ”) 高宗升、孙道椿教授在文关于t a y l o r 级数的增长性( 系统科学与数学，1 9 9 4 ) 和关于t a y l o r 级数的正规增长性( 数学物理学报，1 9 9 7 ) 中对零级、有限正级以及无 穷级的情况做了详细的研究。陈特为、刘名生教授也先后研究过这方面的工作。对于单 位圆内的t a y l o r 级数的情形，虽有一些结果，如孙道椿教授的单位圆内零级t a y l o r 级 数( 数学杂志，1 9 9 9 ) ，但这方面的研究较少。本文将在更一般情形下，进一步研究随 机t a y l o r 级数的增长性问题。 通常随机d i r i c h l e t 级数研究的是同分布随机变量序列，而且是在系数条件矗面掣：0 下得出的级数增长性的性质。如1 9 7 8 年余家荣教授在随机狄里克莱级数的一些性质 一文中证明了d i r i c h l e t 级数在收敛半平面上的a s 增长性；1 9 9 0 年孙道椿、余家荣教授 也在 o n t h ed i s t r i b u t i o no f v a l u e so fr a n d o m d i r i c h l e ts e r i e s ( i i ) ) ) 一文中对半平面上 的随机d i r i c h l e t 级数的增长性和值分布性质也作了研究。后来，1 9 9 9 年孙道椿教授的半 平面上的随机d i r i c h l e t 级数给出了一个更宽的系数条件：l l m - o , 3 r e n + ，使满足x n 的一切x 有厂g ) n 的x 。使，b ) a 一六 定义3 设1 - 1 是一集合，a 是a 中某些子集的集合。如果a 具有下列性质： ( 1 ) q a ： ( 2 ) a 人j a c a ，其中a 。= a q ； ( 3 ) ) ：，c a j u 一。a ； n = l 那么a 称为q 中的一个盯一域，人中的元素称为q 中的可测集。连同“结构”人，集 q 构成一个可测空间，记作心，a ) ，连同p ，可测空间( q ，人) 构成一个概率空间心，a ，p ) ， 或简记作q q 中的元素国称为样本点人中的元素a 称为事件，p ( a ) 称为事件a 的概率。 如p 0 ) = 1 ，就说事件几乎必然发生的简单记作a _ s 发生 定义4 设z 。，z 2 i 工。是实( 或复) 随机变量，设口是m ( c ) 波莱尔域。如果任给m n ， 任取正整数一，n 2 ，片。玎，任取蜀，b 2 ，吃b ，总有 、 m ，、 p 扛。e b ，x 。：e 日：，肖。巩) = n 尸口。e b t l 就说随机变量x 。x ：，。是独立的。设无穷序列臼。 c a 。如果 爿。) 中任意有限个随机 变量是独立的，就说序列 以) 是独立的 定义5 给出q 的任一分翘d ，就得到关于x 的大和及小和考虑q 的所有分 戳，于是得到两个集合p 。 及扛。k 其中前一集合的任何元素大于或等于后一集合中任何 元素，从而 i n f s d ) s u p s d ( 1 1 ) 如果( 1 1 ) 中等式成立，就说x 白) 在q 上可积，记作x l l 心) ，并把等式两边的共同 值称为z ) 在q 上的积分，或者称为x 0 ) 的数学期望或期望，记作 e 口) = x ( 咖l 定义6 如果z 驴心) 0 o ) ，& p l x l 9 _ 心) ，那么e ( x 一) 称为x 的p 阶矩。如果 x l z 心l 那么x 称为二阶随机变量并且定义x 的方差为 r ( x ) = e 0 x e 暖】2 ) 定义7 设概率空间心，a ，p ) ，如果定义一个定义或关系，除掉一个测度为零的集n 外处处成立，就称为关于p 几乎必然成立，记作p 一日矗 随机变量序列嵌) 几乎必然收敛于某一随机变量孝当且仅当下列条件之一成立 p 【n 丫善一引s = 0 ( 对任一占 o ) ； p ( u 己。一纠占”呻o ( 对任一s o ，当n _ 。) ； p 【n 丫 。一己i 占”= 0 ( 对任一 o ) ； p b 矗+ ，一彘i s 斗o( 对任一占 0 ，当n 叶o 。) 定理2 t 9 i设d i r i c h l e t 级数 ，g ) = 妻卵却g ：盯坩；o 乃个佃) h = l 6 满足 面昙：d 及厩氅咀：o 那么 删在内凰掣将矧 对于d i r i c h l e t 级数的特殊情t a y l o r 级数也有此结果即结论中的九= h ，可得文【1 1 】 中的引理1 设d i r i c h l e t 级数 ，g ) = b e 一和，g = x + 砂) ， 其中0 = 气 如 矗个佃若 而刿：o 及丽! 业 0 ， 则对任意h a ，存在 b = b 啊，日) o , k = k ( h ，阮) ) n ，使得对任何复序列 6 。c ) 及任何p g k ，恒有 匿屯以白jp o ) b 窆m 2 吒2 引理3 州设忸。是概率空间q ，4 ，p ) 上有有限方差i x 。0 1 2 p d c o = 吒2 n 时，有l 以0 】 6 a 。，则对任 意子列协， 斗o 。，恒有 爱划酬= 甄吲 a s 从而得出了文【7 中的引理 引理2 1 7 】设扭。) 是概率空间 ，a ，尸) 上的独立随机变量序列，它们的数学期望 g ( x 。) = o ，且方差为e 0 z 。i2 ) = 瓯2 如果硼x 1 l o 。) = d 。一致有下界d 0 即v n n + 有 d 。d 0 ，且存在0 口 b 使得协n + 有0 a o ，k = k ，忸。) ) + ，使得对任何复数序列 6 。 及任何 p q k ，恒有 i r 黔瓦叫2 删减2 蛳n = q 设t a y l o r 级数 第二章 单位圆内随机t a y l o r 级数的增长性 ，o ) = 即” 满足条件 甄折习= 1 则( 2 1 ) 在1 2 1 1 内收敛于解析函数厂g ) 定义1 记厂( z ) 的最大模为 m p ，厂) = m a x ，( z 划z i - ， 1 l 栅 若，g ) = 吼= ”满足条件( 2 2 ) ，定义，( z ) 的增长级为 哂帮叩 ，斗l l i l l l 一r ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) 当p = 0 时，称( 2 1 ) 为零级t a y l o r 级数；当o 0 ，且存在0 口 ，使 f i n + ，有0 口 o ，k = x ( h ，忸。) ) n + 对任何复数序列 6 。 及任何 p q k ，恒有 陲以一。12 p 。动b 口2 耋川2 给定t a y l o r 级数( 2 1 ) ，设它满足条件( 2 2 ) ，我们考虑随机t a y l o r 级数 兀( z ) = x 。( c o ) z ”( 2 4 ) 其中阮0 ) 是定义在( q ，a ，p ) 上满足引理2 条件的一列随机变量由引理1 和引理2 ( 1 ) 知，对几乎必然的q ，( 2 4 ) 表示一个在h 。时，有叫” - i x 。0 】励， 由吖”l z 。白l 有 1 i l | i l i l | x 。( 洲+ l i l w a ) ， 从而 i n + k i - l n + l a 。z 。0 】+ l n + ( 口) ， 所以i n + i n + a 。卜1 1 1 + i n * ( n a ) - i n 2 _ i n + l n + l a 。以俐 ( 2 5 ) 由j 以白】廓，有 k 以】s 伽川， 从而 i n + a 。以0 l h + p + i n + k i + h + 行， 1 0 所以i n + l n + l a 。x ( c o 】i n + i n + f l + l n + l n + 川+ i n + i n + n + i n 3 ， ( 2 6 ) 由( 2 5 ) ，( 2 6 ) 式得 i n + i n + l a 。i i n + i n + n c t l n 2 i n + i n + i a x 。】i n + i n + + i n + i n + l d 。i + i n + i n + ”+ l n 3 所以而。! ! ：! ! ：! 垒墨塑j ：而坐：! ! ：幽 l n 月l n ” 上a s 证毕 口+ 1 定理2 随机t a y l o r 级数( 2 4 ) 满足定理1 条件，则任意吼0 , 2 ) ，任意脚q 0 矗l 有丽r竺尘型：户，即对几乎必然的国。q，厶g)沿任一半径arg：岛，：，l-lno- r 。、。 ”。ii 增长级都为口 证明m 于l a ( r e e o 】m ( ，厶( z ) ) ；根据定理1 ，只需p ( h ) = 0 ，其中 卟画掣 0 取忙。) ( o 巳 o t - 是, o 氐，有 画掣。矗)i h i n ( 1 - r 1 o 、7 所以，v h 、，j k ( o ，1 l 使得，眈，1 ) 有 兀= 良瓦桫i p 其中z = ，p 峨 显然 h f0 扫；国e h “( 1 一i m ，1 ) ( 2 7 ) 所以存在m 。n + ，使p ) o ，其中h = c o ；0 2 h k ( 1 1 ，1 ) ， 这样计( 1 1 m o ，1 ) ，v c o 日都有( 2 7 ) 式成立 根据引理2 得：驯，b 0 ，使 釉2 r2 ”去i r 静跏沙卜) 又因为v r ( 1 一l m o ，1 l v h l 艺q 以( 珈一1 s 陧以k n 卜e x p 咖- ，p 蔓k f l + 窆i x 。删 。x p 舡矿“l q x 。( 咖”l s i 以( 珈”i +以”r 1 蔓k il + 。删i e x p 咖。r “ l = ll n = oln = 0， 其中k = m a x l ，l a 。i ，l a 。b 因此v r ( 1 - 1 m 。，1 ) ，有 磊k i 户b ! a 一2 2- 足2 1 1 + 篓阻矧j 2 c x p 珈_ ，r ”p o m ) c e x p 珈_ p 。，、 所以 故v r ( 1 1 肌。，1 ) v n 刮口。p 拓e x p i 0 一r r 蚰 l 呐怿1 1 1 e x p ( 1 - ，p ，一) ， 不妨设c 1 ，有l n + l a 。i - l n + 石c + 1 ( 1 一r ) 9 一胛i n + r 取 个+ o o 时，令l 一，= n - v ( p 一知卅) ，贝0 h 制虬+ 拓+ 寿等州n s 故l i m 堕! ：纠兰旦二鱼 0 ，有 画业错r 型节 ，圳 一1 1 1 ( 1 一 其中m ( ，吼，占，兀) = m a d c 无( z 】；k i - r l ，i a 唱z 0 0 1 占 即对几乎必然的 0 9 ，厶g ”，在任一扇形区域h 1 ，l a r g z 一岛i 占内的增长级都为p 证明 v r ( o 以有 i 兀b 佩】m ( ，吼，占，厶) m ( ，兀) ， 不妨设k b 慨】e 时，有 s 业掣掣a s 一l n n 一，ll n n 一，l 一 故根据定理1 和定理2 便得本定理 本章取自文【1 1 】 端 第三章复平面上的随机d i r i c h l e t 级数的增长性 一引言 关于d i r i c h l e t 级数的系数与增长性的关系，是一个十分重要的问题大部分文献对此 问题的研究是在条件匦半 m 及面掣掣：一m 下进行研究的，如文 9 本章在文献 以九。 【4 】【5 】及【6 】的基础上，在较宽的系数条件下，讨论了更一般情形下的非同分布随机d i r i c h l e t 级数在复平面上的增长性，使随机d i r i c h l e t 级数在复平面上的增长性结果具有更一般的 意义 设d i r i c h l e t 级数 ，0 ) = e 却 ( 3 1 ) 其中s = o r + i t ，0 以个悯，盯，r r 满足条件 1 隘1 n l n n ：d 1 ”。i n 九 及旆刿；一。 九 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 则由级数横坐标收敛的v a l i r o n 公式，对于级数( 3 1 ) ，仃。= 吼= 盯。= 一m 且在整个 复平面上收敛于整函数，0 ) 定义1 记，o ) 的最大模为 m p ，) = m l p ，p + 打1 ；，e r ) ，朋p ，) = 删a o l e - 扣；n e + 若，g ) = p - a , s 满足( 3 2 ) 与( 3 3 ) ，定义，o ) 的增长级为 n = o 当p = 0 时，称( 3 1 ) 为零级d i r i c h l e t 级数；当0 p + 时，称( 3 1 ) 为 有限级d i r i c h l e t 级数；当p = 佃时，称( 3 1 ) 为无限级d i r i c h l e t 级数 引理1 对于d i r i c h l e t 级数( 3 1 ) ，若满足 l i r a l n l n n ：d 1 l i r a1= 口 0 ，且存在0 q k ，恒有 隆吒以o j 2 p o ) 肋z 圭h 1 2 1 n = gln = 口 给定d i r i c h l e t 级数( 3 1 ) ，设它满足条件( 3 2 ) 及( 3 3 ) ，我们考虑随机 d i r i c h l e t 级数 ，g ，国) = x 。啡山 ( 3 5 ) n - # 其中阮白) 是定义在心，a ，p ) 上，满足引理3 【7 l 的条件的一列随机变量，由引理3 7 1 ( 1 ) 知，对几乎必然的q ，( 3 5 ) 表示在复平面上收敛的d i r i c h l e t 级数 令 m p ，f ，) = s u p ，p + 打，国l ；f r ) 肌( 盯，厂，脚) = m a x a n 五0 淞一 。；”_ v + m p ，l 。，f ，m ) = s u p ，b + i t o , 1 ；汪f 。，f r m p ，f 。，厂，m ) = s u p ，p + 打。，弛| f 一“l ( 。) 时，有 詈i x l 鳓 于是， 詈i n 1 - l a 。x 。】n 6 k l 从而l n a - i n n + m l a 。i l n l o 。x 。白】l n n + l n b + l n i a 。i 对上式两边取上极限，由引理1 得 面生墨剑：面上址：一上 “九。i n a n旯n 1 1 3 a 。p 故根据引理2 p 1 得，对几乎必然的q ，厂o ，珊) 的级为p 证毕 定理2 设随机d i r i c h l e t 级数( 3 5 ) 满足定理1 的条件，则v f 。r 我们有v 国q 0 ) ，有 匦蛐掣邓 即对几乎必然的国q ，s ( s ，山) 在复平面内沿任一水平直线l 上的增长级都为p 其中 l = g + i t ；g 晨，= t 0 1 证明根据定理1 ，只需证明p 伍) = 0 ，其中 z 十厘型粤型c 一1 ， 取k 巳 o ，于是，v c o e 。，有 亘型生迎型 山一o o 使v , r q 山一m ，其中 e = 0 0 ；c oe e 、，仃 盯， 记盯= 盯，这样盯 0 ，使 舯2 e 砒4 订1l 瞽以1 2 p ) 又因为v 仃 d r r , v c o e 由( 3 6 ) 有 ( 3 6 ) ( 3 7 ) l 薹a 。一如k t - * ) | s i 堇以以如k t - + “1 + “p g o 一) s 置f l + 莹以如n 。x p g 一一- ) ( 3 8 ) ”ii 枷l、：=， 足= m a x 1 ，阱i a i | ，- ，l a 。b 从而 因此v c r 盯，由( 3 7 ) 、( 3 8 ) 有 釉2 e 也。古州t + 鼽】卜：训呐 1 7 融2 e 砒4 古p ( + 弘矧卜z 眇“) p 。动够e 坤z 渺训) 故v o - n 有 所以 k l e - 扣石e x p g 叫，一。) ) ( 其中c 为常数) l i l l 口。is l n 石+ p 一9 0 一“+ 五。盯 当。充分大时，令盯：兰一1 1 1 土，则 p c op 一晶 1 制弛4 - 6 + 士p6 0 一告p6 0 ( 1 n 无- l n 啊) ) _ 一一 对( 3 9 ) 式取上极限，并且由s 。的任意性，有 这与( 3 4 ) 矛盾，故定理得证 根据定理1 及定理2 可得 面! 啦! 兰一l 一! 九i n 以p 一6 0p ( 3 8 ) 推论设随机d i r i c h l e t 级数( 3 5 ) 满足定理1 的条件，贝l j v t 。r ，及任意正数 占( 石) 几乎必然( a s ) 有 面! ! ：! ! ：丝曼生：鱼! 尘：。 一j 即说明v f 。r ，对几乎必然的国q ，j ( s ，国) 在任何带形b = b = p + 打；盯尺，| f 一l s 中 的增长级为p 其中m p ，t 。，s f ) 见前面记号 本章取自文 1 2 第四章右半平面上的随机d i r i c h l e t 级数的值分布性质 本章在文献【4 】【5 及 6 的基础上，讨论了更一般情形下的非同分布随机d i r i c h l e t 级数 在右半平面上的值分布性质 设d i r i c h l e t 级数 f ( s ) p 却 ( 4 1 ) 其中s = o r + i t ，o o ) 若，g ) = p 一即满足( 4 2 ) 与( 4 3 ) ，定义厂0 ) 的增长级为 n - o 甄掣i l l = p一。 当p = 0 时，称( 4 1 ) 为零级d i r i c h l e t 级数；当0 o 即v ”+ ， 有d 。d 0 ，且存在0 a g k ，恒有 隆跏1 2 酬涮舛i 给定d i r i c h l e t 级数( 4 1 ) ，设它满足条件( 4 2 ) 及( 4 3 ) ，我们考虑随机 d i r i c h l e t 级数 f ( s ，国) = a x 。0 - n = 0 ( 4 5 其中忸。0 ) 是定义在心，a ，p ) 上满足引理2p 】条件的一列随机变量，由引理2n 】( 1 ) 知 对几乎必然的国q ，( 4 5 ) 表示在r e s = 盯 o 内收敛的d i r i c h l e t 级数 令 m p ，f ，) = s u p ，p + 打，o j ；tr )p o ) 如工由= 叫喊蚓e 却；n e n + m p ，t 。，f ，脚) = s u p 厂p + 抒。，弛f = r 。，f r p ，“，b ，m ) = s u p ，b + f f 。，m 斗p f 。i c s ，“e r p 0 ) p 0 ) b 0 ) 定理l 设随机d i r i c h l e t 级数( 4 5 ) 满足( 4 2 ) ，( 4 3 ) 以及引理2 的条件， 则对几乎必然( a s ) 的国q ，g ，) 的级为p 证明根据引理2 ( 1 ) 得，v 曲q a s ，3 ) + ，使当玎 ( 。) 时，有 詈阮例n b 聘 。 于是， 兰川i 以o 】一6 川 一方面由昙k l k 以】，有 l n + l a 。i 茎1 n + l 皑。蚓+ l n + 詈 从而i n + l n + l a 。l l n + l n + 昙一l n 2 l n + 1 n + l a 。x 。o 】 另一方面，k 以白】sn b l a 。l ， 从而i n + i n + l a x 。0 】l n + i n + a 。i + l n + i n + n + l n + i n + b + l n 3 所以 i n + 1 1 l + i i _ l n + i n + 三一i n 2 ( 1 n + l n + | a x 。俐 0 内沿任一水平半直线三上的增长级 都为p 其中三= o r + i t ；o r o , t = t 。) 证明根据定理l ，只需证明p 伍) = 0 ，其中 e = 扣甄业蔫掣c 4 取h x 0 巳 0 ，于是，v r o ，有 2 l 甄型尘掣c 尸强g 。飞) 口- + 0 一l n 盯 。、。 ” 所以v e n 。，j 氏( o ，1 ) 使o 仃 氏 蛾外静以桫。i e x p ( 1 i n = o “ ll 其中s = o r + i t o 显然 e n o0 如；e 氏，氏 0 ，其中 e = b ；，氏 肌。 这样v o 盯 0 ，使 。e i o 1 2 e 赳。击良跏p 降) 又因为v o 盯 屯，v e 有 良以妒惟叫胁训“柚卜 p - o k 确归e x 料 1 月t l1 月= ol、盯，：；，l 仃 k = m a x 1 ，| 口o | ，i a l | ，i a n - 1 l 因此v 0 盯 氏，有 瓤2 e _ 2 , 0 万1 州+ 弘例 2 e “。删盯岛私) 从而 鲥如足2 + x l x ：2e x p 2 丁1 够e 冲z ( 圹 故v 0 ) 4 6 ) 故 i n + l a 。i l n + 厄+ ( 1 盯) 一 一1 取n 充分大，令o - = 丸p - e 0 + l ，则 l a i i n + i n * 瓜寿希”川们 l 一。ww l a i 芝二鱼 o ，缸。k c ) 满足( 4 3 ) ，那 么对于( 4 1 ) 中的级数有 甄礼g 盹班。兮甄o l o g m ( c r , f ) = o o 证明由文【9 】中引理4 1 有v 占( o ，1 ) ，当盯 0 时，3 k 。 1 有 m p ，厂) m p ，) 墨0 h ( 1 一占p ，厂柳盯) 从而d l o g m ( 以) ! ：o l o g m ( o - , f ) 0 ，对几乎必然0 矗) 的q ，有 i f ( s ，】m p ，t 。，占，厂，国) 蔓m p ，厂，国) 所以 m p ，厂，印) m p ，t o ，s ， ) m p ，厂，脚) 从而 a l o g m ( f r ，f ，国) a l o g m ( c r ，f o ，国) c r l o g m ( a ，f ，脚) 由引理3 知 甄a l n m p ，f ，) = m 甄o h a m ( o - ，f ，c o ) = o o口 wd 叶+ u 所以l i r a 再c r l n + m ( c r ，t o ，占，珊) = 0 0 证毕 口- 州 引理5 【9 】设函数妒( z ) 在k i o ，i 一“l 占) 映成角域： 占z = z ；k i 1 ，l a r g z l f ) ，将其映射成半单位圆盘：岛= z ；i z l 1 ，l a r 9 2 i 务，再将其映 成单位圆日= 函；h 1 ) 而j = i o 。s l 佃分别与：= p “，o ；z = f ，0 以及“：士f ，一1 相对应 根据( 4 7 ) 及t a y l o r 展式通过计算我们有 ，一i i z l 2 咖= 警( 1 一i z 舭o o i z 阴o - i z l 一+ o ) 由“=一篇得“=一_(zz-=_1巧xz芗；+11，)二+j21f-硐(1-z) 从而l 一0 一“1 = 2 - 2 ( 1 - z ) - ( 1 - z x 1 + z ) ：= 2 - ( 1 - z x 。3 + z ) 2 - 2 ( 1 - z ) + o - z x i + z ) 2 - ( 1 - z x 。1 。- 。z 。) 所以2 2 ( 1 一“) + ( 1 一甜x l z ) 2 一( 1 z ) 2 = 2 一( 1 一z x 3 + z ) ( 4 8 ) 2 ( 1 一“) 一o - - z ) 2 = ( 1 一z x s + z ) 一0 一z ) 2 0 - u ) 2 一( 1 一z ) 2 j = 2 0 一z 弛+ z ) ( 4 9 ) 又因为i l u l 1 一l u l0 斗1 ) 1 1 一z i 1 一i z ( z 寸1 ) 1 2 一( 1 一z ) 2 l 寸2 ，1 1 + z i 专2( z 一1 ) 所以，当z _ 1 时，由( 4 9 ) 1 一i z i 3 ( 1 一帅 0 a r g z l j ，a l z l 1 ) 1 - l u i 2 0 一i z f ) 其中a 是小于i 并充分接近于1 的正数，d 是充分小的正数 通过上述变换，我们有 厂o ，印) = 厂2 g ，t o ) = f o ( z ，国) = ，( 4 0 ，国) 舍 m o p ，f 。，5 ，厂，国) = s u p f ( x + i t ) l ；x o ，卜“i o ) m 乜( ，) = s u p l ：o ( z ，国l ；h i a r g z i s ( o ， 1 ) 肘o ，国) = s u p q ：3 ( z ，】；吲r ，l a r g z 州2 j( o r 1 ) m “乜，国) = s u p ，( z , 国l ；i z l = r ， a r g z 彳) m o 心，) = s u p l ：4 o ，国枷i s j( 0 s 1 ) 从而有 吖p ，t o ，厂，) m o b f o ，b ，) m b ，国) t g g l 理4 及( 4 8 ) ，对于v 国e 1 ，几乎必然0 矗) r 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) 甄l i mo - i n + m p f 0 - - s , 1 0 + 。，c o ) = 甄( 1 - e - 4 ) l n + m 1 p ，f 0 一叫。+ s ，m ) = 甄( 1 一r ) l n + m 犯( r ，国) = 甄( 1 一g ) l n + m o ，c o ) = 佃 由于对任何充分小的正数，上式中的第一个上极限等于+ 0 0 ，考虑到s 平面与z 平面的 对应关系，就得到：对于e 。， ：i m - - 0 0 一r ) 1 i l + m 4 忸，国) = + m 0 矗) f l ：l ( 4 1 0 ) 式，当h s 时，相应的z 满足l a r g z i 占，a i z l 3 s - 2 ，由( 4 1 1 ) 式 当l “i s 时，相应的z 满足i z i a 时，有 m ( 4 ( 3 s 一2 ，) m ( 5 $ ，c o ) - - m ( 3 ) + 1 ) 2 ，) x j 于 o j e ，几乎必然0 出) 有 甄( 1 一s ) l n + m 4 o s 一2 ，m ) = 1 3 s 而- 1 - o ( 1 一o s 一2 ) ) l n + m o ( 3 s 一2 ，国) = 伸 鄹一s ) l n + m ( s + v 2 ，。) = 2 甄( 1 一( s + o 2 ) h 1 + m ( s + 1 2 ，0 ) ) = - f o o 所以，对于e ，有 耍茜( 1 一s ) 1 n + m 砷 ，) = + ( 口置) ( 4 1 2 ) 即v o e e t ( a 盘) ，函数，4 0 ，国) 在m 1 内解析且有( 4 1 2 ) 式成立，那么由引理5 ，( 4 0 ，国) 在川= 1 上必n - au 。，在它的任何邻域内，( 4 0 ，) 取任何复数值无穷多次，至多有一例 外值，即为，( 4 0 ，珊) 的一个h e a r d 点。由于( 4 7 ) 所作的均为保形映射，考虑到”平面 与s 平面的对应关系，所以“( z ) 的逆变换将“平面边界上的p i c a r d 点映到s 平面的边界 上，特别在虚轴的区间【f “一占) ，f ( f 0 + 占) 】上，因此，厂 ，珊) 必有p i c a r d 点，这与假设矛 盾，由于占的任意性，厂岱，国k j 以每一点i t ( t 为有理数) 为其p i c a r d 点，从而以仃：o 上 每一点为其p i c a r d 点。证毕 结论： 对于随机级数的增长性及值分布的研究，大多是同分布随机变量序列。而全文第二 至第四章的所有结论借助于模函数，研究的是非同分布的随机变量序列在更广泛的系数 条件下的一些结论，它们丰富并完善了随机级数的理论成果。今后考虑用型函数做相关 问题的研究。 参考文献 【1 】高宗升，孙道椿关于t a y l o r 级数的增长性 j 】系统科学与数学，1 9 9 4 ，1 4 ( 1 ) ，7 3 8 0 【2 】高宗升，孙道椿关于t a y l o r 级数的正规增长性【j 数学物理学报，1 9 9 7 ，1 7 ( 1 ) l l l 1 2 0 【3 】陈特为，张锡桐t a y l o r 级数的正规增长【j 】华南师范大学学报( 自然科学版) ，2 0 0 0 ( 1 ) ：1 8 2 2 【4 】余家荣随机狄里克莱级数的一些性质【j 数学学报，1 9 7 8 ，2 1 ( 2 ) ：9 7 1 1 8 【5 】5 s u n d a o c h u n ，y uj i a r