（基础数学专业论文）正则半群的性质和半群的单边同态.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文正则- 半群的性质和半群的单边同态i 正则+ 一半群的性质和半群的单边同态 摘要 本文研究正则+ 半群的性质和半群的单边同态及单边同余全文共分四 苛 第一节为引言 第二节研究正则+ - 半群的偏序关系及酉子集，给出自然偏序是相容的等 价条件，并讨论正则+ - 半群的酉子集的性质 第三节给出正则+ 一半群的子直积的构造利用这一构造定理，研究正则 + 一半群的b 酉覆盖同时讨论正则+ 一半群的织积最后研究正则+ 一半群的 半直积 第四节研究半群的单边同态和单边同余首先引入单边同态的概念，推广 了 1 6 】中若干个相应结果 关键词：正则+ 半群偏序酉子集子直积b 酉覆盖织积半 直积单边同态 塑垂塑兰塞童堡圭慧篁篁圭曼型：耋童竺竺堡墼兰墅竺苎些里查i i s o m ep r o p e r r i e so nr e g u l a 魏 + s e m i g r o u p sa n do n es i d e d h o m o m o r p h i s m s0 ns e m i g r o u p s a b s t r a c t t h i sp a p e r 呈8d e t e de x e l n s i v e l yt ot h ep r o p e r t i e so nr e g u l a r + 一s e m i 。 g r o u p sa n do n es i d e dh o m o m o r p h i s m so n8 e m i g r o u p s i tc o n t i a n sf o u rs e c 。 t i o n s + s e c t i o l lo n ei 8i n 七r o d u c t i o n l 珏s e c t i o n2 ，魏p a r t i 赫o f d e ro 拄ar e g u l a f + 一s e m i g r 。u pi sd e s e r i b e d ，a n d s o m es u 砺c i e n ta n dn e c e 8 8 甜yc o n d l t i o n sf o rt h en a t u r a lp a r t i a lo r d e rt ob e c o l 牲p a i a b l e a r eg l v e n ， 沁r t h e f r n o 转，h ep r o p e r i e so nat l b i t a f ys e to f & r e g u i a t + 一8 e m i g r o u pa r ed i s c u s s e d i ns e c t i o n3 ，ac o n s t r u c t i o no f 蔚ls u b d i r e c tp r o d u c t so fr e g u l a r 一s e m i g r o u p si so b t a i n e d a sa na p p l i c a t i o n ，四一u n i t a r yc o v e r sf o rr e g u l a r4 一s e m i g m u p si si n v e s t i g a t e d 蹦l e r m o r e ，t h es p i n p r o d u c t sa 糟d i s c u 8 8 e d i nt h e e n do ft h es e c t i o n ，t h es e n l i d 汁e c tp r o d u c t 8a r ed i 8 c u s s e d i ns e c t i o n4 ，ac o n c e p to fo n es i d e dh o m o m o r p h i s mi si n t r o d u c e d ，a n d s o m ee 黻r 档p o n d i n gf e s u l e 8a r ep r e s e n t e d k e y w o r d s ：r e g u l a r 卓s e m i g r o u pp a r t i 胡o r d e ru n i t a r ys e s u b d i r e 吐 p r o d u c t露- u n i t a r yc o v e rs p i n e dp r o d u c t s e m i d i r e c tp r o d u c to n es i d e d h o m o m o r p h i s m 曲阜师范大学硕士学位论文正则+ 一半群的性质和半墅的单边同态 l 1 引言 作为逆半群的推广，n o r d a h l 和s c h e i b l i c h 引入了正则- 半群的概念 半群s 称为正则+ 一半群【1 】，如果存在s 上的一元运算+ ：s _ s ，n o ，且 对s 的任意元n ，6 满足 ( 1 ) n 口+ = ； ( 2 ) ( o + ) + = o ； ( 3 ) ( 口6 ) + = 矿o + 正则- 半群的幂等元e 称为射影元，若e = e e ( s ) 表示s 的幂等元 集，f ( s ) 表示s 的射影元集 正则。半群的研究已成为半群代数理论的热点课题之一国内外许多学 者都曾涉猎这一课题i m a o k a 2 】刻画了正则+ 一半群的+ 一同余y a m a d a 【3 】 用尸一系刻画了正则+ - 半群、r a m a d a 4 】研究了正则+ - 半群的结构李勇华 5 】1 【6 l 研究了正则匕断面 偏序关系是研究半群的有效工具【7 】给出了逆半群的自然偏序令s 是 正则半群在s 上规定： o 6 = = ( j e ，e ( s ) ) a = e 6 = 6 ， 则墨称为s 的自然偏序【8 】! 刻画了一般半群的自然偏序，并给出了正则半 群的自然偏序的若干等价条件本文第二节在此基础上刻画正则半群的自 然偏序墨与偏序关系兰最后研究正则- 半群的酉子集 半群”称为s 与丁的子直积【9 ，如果( 1 ) ”同构于s t 的子半群h ； ( 2 ) 第一、二射影，1 ：h - s ，( s ，) 卜s 与 ：h _ t ，( s ，z ) 卜t 是满 同态m c a l i s t e r 和鼬i l l y 【9 】与p e t r i c h 和r e i l l y 【1 0 讨论了逆半群的子直 曲阜师范大学硕士学位论文正则+ 一半群的性质和半群的单边同态2 积 m i t s c h 【1 1 】研究了e 一反演半群的子直积郑恒武【1 2 】研究了丌_ 正则 半群的子直积本文第三节给出正则4 一半群的子直积的构造利用这一构造 定理，研究正则+ 一半群的b 酉覆盖，特别是其最大群同态象为给定群的情 形同时，给出正则+ 一半群到群上的酉满子同态的构造并讨论正则+ 半群 的织积 半直积的研究起源于上世纪6 0 年代，见n e u m e n 【1 3 设s 和t 均为幺半群，e 删( t ) 为t 的自同态半群，口：s _ e 佗d ( t ) ，s 卜 乜( s ) 为给定的半群同态若对任意s ，s 1 s ，t ，1 丁，规定t 。( 。) = 圪则 ( t t l ) 3 = t 5 t ，( t 3 ) 5z = t 5 5 t 在直积s t 上定义乘法t ( s ，t ) ( s l ，t 1 ) = ( s s l ，t 3 l 1 ) 则s 丁关于此乘法做成幺半群，幺元为( 1 ，1 ) ，称此幺半群为s 和r 的半 直积，记为s 。t n i c o 【1 4 研究了正则半群包括逆半群的半直积s a i t o 1 5 】研究了纯正半 群包括左( 右) 逆半群的半直积本文第三节讨论正则一半群的半直积 【1 6 第一章第五节给出了半群上单边同余的概念和半群同态基本定理 令p 是半群s 上的等价关系称p 是半群s 上的左同余，若 ( v s ，t ，o s ) ( s ，) p ：亭( n s ，o t ) j d 对偶地，有右同余的概念 本文第四节引入单边同态的概念，并推广 1 6 中若干相应结果最后研 究包含在所给定单边同余中的最大同余 未说明的符号与术语参见【1 ， 7 】， 1 6 】，【17 】 曲阜师堇盘堂塑兰位缝圭里则+ 半群的一胜质和半群的单边同态3 2正则4 一半群上的偏序关系及酉性质 2 1 引言 【7 给出了逆半群的自然偏序 【8 】刻画了一般半群的自然偏序，并给出 了正则半群的自然偏序的若干等价条件本节在此基础上刻画正则l 半群的 自然偏序s 与偏序关系5 最后研究正则一半群的酉子集 2 2 自然偏序与偏序关系三 自然镛序是研究半群的有效工具下面给出正则+ 一半群的自然偏序的一 些性质 定义2 2 1 1 8 】令s 是正则半群在s 上规定s ： n16 仁幸( j e ，e ( s ) ) n = e 6 = 6 ， 则称为s 的自然偏序 定义2 2 2 令s 是正则半群，a s ，p 是s 上的等价关系称a 关于 茎满足乒优化，若 ( v o ，6 ，c ) o 6 ，n c ，6 日c = 争6 = = c 定义2 2 。3 【1 9 令s 是正则一半群称s 是局部逆+ 一半群，若对于任 意e f ( s ) ，e s e 是s 的逆子半群 引理2 2 4 2 0 令s 是正则+ 一半群则s 尾局部逆+ 一半群乍净任意 e f ( s ) ，e s e 是s 的逆子半群， 据正则+ 一半群的定义易证下面的 据正则+ 半群的定义易证下面的 曲阜师范大学硕士学位论文正则一半群的性质和半群的筚边同志4 命灏2 2 5 令日是正则+ 一半群s 的子半群则h 是s 的越则4 一子半 群当爨仅当对任慧8 日，口+ 旦 引嫘2 2 6 若s 是藏则+ 一半群，则任意e f ( s ) ，e s e 是s 的正则。 子半群，且e 是e s e 的单位元 诫明任意e s e ，令茹= e 暑，e ，”s 显然衄= 茹一石e 又= 叼e e s e ，据命题2 2 5 ，e s 8 是s 的正则+ 一子半群。 播命题2 2 。5 易证下耐的 命灏2 。2 7 令s 是局鼯遵半群。若辩爨s 的正则+ 一子半瓣，慰眉u 是s 翡闭正粥一子半群 弓l 耀2 2 8f 3 】令s 是正刚+ 一半群则 ( 1 ) ff ( s ) nc 。i = 1f ( s ) n 宠。l 燃1 ； ( 2 ) ( f ( s j ) 2 冬e ( s ) ； ( 3 ) 任意e ，f ( s ) ，若e ，f ( s ) ，贝e ，= ，e 孽l 壤2 2 。9 【2 l 】令s 是正裂+ 一举嚣，更l | ( 1 ) e ( s ) 一( f ( s ) ) 2 ，凰任意e e ( s ) ，存在， 9 f ( 印，满足，冗e c 9 且e = ，g ( 2 ) 任意口s ，e f ( s ) ，o + e n f ( s ) 荸l 疆2 2 。1 8 令s 是遵囊+ 一半群菪s 戆- 纂擎( 7 孓幂擎) 戆，爨s 是逆半群 证甥是谜。幂单的情况。任意，歹f ( s ) ，受s 是一器单静， 知e ，一，e ，放e ，f 拶) 据引疆2 2 8 ，e ，= ，e 任意9 ，丸e ( 跚， 据引理2 2 9 ，存在e l ，8 2 ，2 毯f ( s ) ，满足9 = e l ， 一e 2 丘故 曲阜师范太学硕士学位论文正则+ 一半群的性质和半群的单边同态5 妫= e l 点8 2 磊= 8 2 是e l 磊= 姆。瑟疆s 是逆半嚣 定理2 2 1 1 令s 是正则+ 一半群贝0 下列条件簿价： ( 1 ) 自然偏序是右( 左) 相密的； ( 2 ) 鑫然偏序是相容的； ( 国s 戆弼郝遂一半群； ( 4 ) 凹( s ) 满足一优化和倪- 优化； ( 5 ) s 满足c 优化和他一优化i ( 6 ) 任慧e ，支g e s ) ，8 支e 擘= 扬一箩，； ( 7 ) 任意e ，譬f ( s ) ，8 ，e 窖= ，9 一窖， 证明( 1 ) 净( 2 ) 若n 抚则存在e ，脬( s ) ，n = e 6 = 6 ，故 o + = 6 矿一，护注意到e ，+ 凹( 回，从而o + 曼护又自然偏序是右相容 的，教对任意e & 有8 矿s 扩矿，即( ) 4 墨( c 妒。放两兰曲故囊然馕 痔是耱窑熬 ( 2 ) 号( 3 ) 据引理2 2 6 ，对任意e f ( s ) ，e & 怒s 的正则一子半群令 ，g e ( e s e ) 且，c9 则，曼e 由( 2 ) 知，9se 尊由，c9 知，g = ，又 9 e ，从而哪= 9 故，s9 对称地，擘，于是，= 擘因此e s e 怒c 一 幂单半群掇弓l 瑾2 。2 1 0 ，e s e 麓邂半群。据弓 理2 2 + 4 ，s 是局部逆+ 举秽。 ( 3 ) 等4 ) 若任意马，g 嚣( s ) 灌廷e ，e 尊强，句，粥，g e & 据定义2 2 + 3 ，e s e 是逆半群敞，= 9 因此e ( s ) 满足c 一优化同毽脬( s ) 满足冗- 优化 ( 4 ) ( 5 ) 。令珏，6 ，e s 飘满足8 6 ，吐e 履6 c 贝l j 存在e ， 嚣s ，6 = 8 8 = 。歹。获瑟 曲阜烽范大学硕士学位论文正刘4 一半群的挂蕨和半群的单边辨态6 ( 8 + 6 ) ( 口舂) = 8 + ( e a ) 盘( o ，) = 8 4 e d ，= 8 4 馥广= d 舀， 盘+ 矗= 8 + 拄娃+ 6 = ( 8 + 吐) ( 8 + 6 ) ， 吐4 6 = ( n + e ) o = ( n + e 口) ( n o ) = ( n + 6 ) ( o + 口) 掰此b 6 琶e ( s ) ，屈8 6 曼。 又6 = 8 ，= 8 8 8 ，= 鑫( 8 ) ，璺l 。避6 8 6 + 对称地。o c e ( s ) ，o c 矿，c c 矿c 从而o n n + 6 ，o 吐矿c ，且 矿6 c 壶( 4 ) 絮矿6 = 8 4 e 敬= 8 矿6 = 徽4 e = e 掰浚s 满楚。优袍 同理，s 满足咒- 优化， ) 号( 1 ) 令8 墨6 粥存在岛，f ( s ) ，窃一曲一6 ，对任意 c ，令 = c + 成+ 。贝46 c 封口= 6 ( c a ) 篇( 6 c 嚣e ) 6 ，( c u 癌) ( c 8 )= c ( 钞n c 钉) n = 删a ，( & 删e ) ( 敏搿e ) = 6 c ( 舡扣一6 c 耵8 ，敬6 e f 8 墨6 另外，d 删口= 6 ( ，脚n ) = ( n 删e ) 6 ，( ，c 口n ) ( ，删n ) 一，c ( 口n 删) o = ，。，( n c 口e ) ( 8 c e ) = 删e ，故o c o 6 置鑫。撇= 6 e ( ”穗铡) 吐= 如口( 黜”植) ，8 0 8 = e ( a 溯8 ) 西魏6 西口扛吐叉s 满 足c 优化，所以6 删n = o 铡n 从而n c = n c n c = 6 c ( u n c ) ，u n c e ) 因此 茎施拜涯疆了鑫然德穿是蠢襁窑鲍。 据定义2 。2 ，3 ，( 3 ) 奄( 6 ) ，( 7 ) 等价 下面考虑另外一种偏序关系 窀疆2 2 + 1 2 在正剩一半群s 上瓣定! ： 8 羔6 甘( 1 e ，f ( $ ) ，6 = 6 = 够 则! 是s 上的偏序关系 谥明对任意也s ，有枕= ( n 矿) o = 盘( 矿8 ) ，前。矿，n 4 0 f ( 固，故 o5o 曲阜师范拳学魈土学位论文正则+ 一半群的性质和半群的单边同态7 辩任意嚣，s ，蓉鑫曼，18 ，羹存在e ，芒f f s ) ，8 = e 6 ，6 一窈， 故8 = e 6 一( e 口) ，= a ，= 6 对任意a ，6 ，c s ，著n 蔓6 t61c ，则存襁e ，9 ， f ( s ) 使得 口= e 6 = 6 ，6 = 口c = 砒由n = 6 知n = 曲一e ( 9 c ) 又咖= 6 ，从丽 擘窿= 擘耵一v = 8 ，医l 琏：8 = 警8 = ( 寥e 窖) e 。另一方繇：惠8 = 够，知瘟一蔽歹 叉是= ，敬8 毳= 8 6 矗= e 6 = 穗嚣既8 = 8 盎= e ( 矗歹矗) 交窖窖，矗，五f ( s ， 知o ! c 放量是s 上的偏序关燕 推论2 2 1 3 令s 是正则+ 一半群则 ( 1 ) 若e f ( s ) ，e ( s ) ，粼e ! ， = = = e ，； 2 ) 令强j 葭e 嚣( s ，f s ) ，若e ! 支戴e f s ) 证明( 1 ) 若e f ( s ) ，露( s ) ，e 三| 厂，则存在口， f ( 固，e 一9 ，= ，危故e = e ，；，e 反之，显然， ( 2 ) 若e 冬，贝4 存在箩，蠡sf ( 固使得e 一露，= ，矗扶丽e 一，是= ，是；= 歹9 ，f ( s ) 。 由! 的宛义，易知下面的 命题2 2 1 4 令s 是正则+ 一半群若o ，6 s ，则。16 咎n + ! 扩 命题2 。2 1 5 令s 是正剃4 一半群则s 关予蔓满足c 优化移船傀 铯。 证明首先证明f 侮) 关于蔓满足- 优化和鼽优化 设任意e ， 9 f ( s ) ，e 芝，e 三9 ，且，c9 ，则，= e ，= ，e ，9 = 即= g e 故，譬e s e 据引理2 2 6 ，e s 是正则4 一半群又，c 旦，据孽 璎 2 2 ，8 ，歹= 譬藏媛s ) 关予! 滚延i 霞铯。凌瑾f f s ) 关于! 灌蹩踅铙 纯 曲阜师范太学硕士学位论文正则4 一半群的性质和半群的单边同态8 专或玩e s 显瀵跫8 蔓玩81c 盈鑫ce 翔存在，歹f ( s ) ，6 = e 8 = g ，扶褥( 口6 ) 凸6 ) = 垃+ ( e 瑾) ( o ，) = 口+ e o ，= = g 4 6 ，= 8 4 6 ，且( n + 6 ) + = b d = 口+ e n f ( s ) 故8 + 6 f ( s ) 又 o + 6 = n + 盘o + 6 = = ( + b ) ( 口6 ) 、n + 6 = ( e ) o = ( n + e n ) ( 口+ o ) = ( 6 ) ( o n ) ， 莰薅6 8 。又6 = 8 歹一8 8 + 8 ，= 8 矿嗡效各8 。 对称蛾，。c 取固，吐+ c 寰。+ n ，c c8 + e ，从搿。+ 口! 矿6 ，d 吐蔓秘4 c ，且 d + 6 cn + c 由f ( s ) 关于! 满足c 一优化，o = o + c 而6 = 口n 6 = 拙n + c c 即证明了s 凝于墨满足c - 优化同理可得s 关乎墨满足7 珏优化 命戆2 。2 。1 6 令s 是正戴+ 一举释。燹| 馕序蔓燕蠢左穰容的磐羹纹塞 ! 是疆窖懿， 证明据命题2 2 ，1 4 易证 命题2 2 1 7 令s 是正则+ 一举群则下列条件镣价： ( 1 j8 壤 ( 2 ) 口：= 口馥6 = 6 8 + 口； ( 3 ) 口o = 口+ 6 且n d + = 6 证明( 1 ) 辛( 2 ) 丘16 ，存农蠕，f ( s ) ，位一e 6 = 6 ，从而矿= 扩e = 歹扩救+ 6 8 渺e = 扩e ) e 妨= 8 垃+ 8 = 8 ，慧+ 6 = 6 ，驴6 = 狐4 8 6 = 酣8 ，因魏或一船4 6 = 6 酾4 ( 2 ) = ( 3 ) ，由o = n 4 6 ，知a 4 = n + o a + 6 = a + 6 ，又血= 6 n + a ，故n n 4 = ( 施+ 。) n + = 6 。+ ( 3 ) = 争( 1 ) 蠢8 + 8 = 口+ 6 ，垃8 = = 6 8 4 ，知8 8 8 一。+ 6 显8 口4 。= 融4 窿，g p 8 = 8 8 。鑫，聪裟：矗驻+ 8 藏8 三鑫。 曲阜师范大学硕士学位论文正则4 - 半群的性质和半群的草边同志g 易知在正则+ 一半群上蔓s 2 。3 藿子纂 命题2 3 1 令s 是f 一酉正则+ 一半群，e e ( s ) ，。s 则 1 ) e ，( 懿) + e ( s j = 净8 霆( s ) ； ( 2 ) e ，( 口e ) e ( s ) 净。e ( s ) 试朝若e ，( e 垃) 4 目( 固，刭矿，丘矿蟊( s ) 幽s 是娶酉静，翔 矿嚣( s ) 从而n e ( s ) 故( 1 ) 成立对偶的可得( 2 ) 鑫麓2 。3 2 麓粼一擎群s 魏誉予率释楚| s 懿歪羹| j 一子半辩， 谥明令a 是s 的曹予半群任意n a ，有a 一o + 。a ，即o = 8 妒8 ) a ，壹a 是左霍子集，寒矿8 a 又a 是右登予集，敌矿a 精 命题2 2 5 ，a 是s 的正则+ 一子半群 定臻2 。3 。3 皴影元挺秀定理) 令p 是正燕+ 一半群s 黪+ 一圈余，羞印蔻 彰p 的射影元，则存在e f ( s ) 满足p = e p 证骥若8 妒是彤p 的射影元，测( 嘲2 = 堪热( 8 力+ 一印，即辑2 舻，8 舶。， 故扩卢，因此n 肿矿取8 = 口矿弼可 令s 是正则- 半群。装f ( 固是s 的右( 荔曲酉子集，则称s 怒蠢篷! ) n 酉豹蒋s 溉是麓f 酉静，又是右尹。酉静，潮称s 怒f 酉静 命题2 3 4 令s 是正则+ 一半群。若s 是右( 左) f 一龋的，则s 是b 酉 懿遂半瓣。 证明令。s ，且e ，e 。f ( s ) 则( e n ) 一e n = 矿e f ( s ) 由s 是右 曩藿懿，麓矿f ( s ) ，瑟8 最固掰戳s 怒左乒甏瓣。教s 是曩舀 的 曲阜师范大学硕士学位论文正则+ 一半群的性质和半群的单王恕同态1 0 下迸曩s ) 是s 的子半群任意e ，f ( s ) ，则e ，e f ( 回由s 是f - 酉的知，e ，f ( s ) 据弓f 理2 2 8 得，e ，一，e 对任意g ， 扫( s ) ，则存在 e i ，五，e 2 ，矗f ( s ) ，有萝一e l ，丸一e 2 南弱蝣一e 1 e 2 矗= 旬矗e 1 = 姆。掰以s 是逆半器。 定义2 。3 器令s 是歪尉4 一半群，矿是s 上酶+ 一麓余若任意鑫s g f ( s ，8 艘号n f ( s ) ，则称p 为s 上的射影元缝+ 一阏余。 枯题2 。3 6 令s 是正则。一半器，p 是s 上鼹射影嚣缝一嗣余。赠s 是f - 酉的斟s p 是n 酉的 证明j 令o p 毫彰取幼，( 嘲( 吐力f ( 彤p ) 掇定理2 3 3 ，存在 e f ( s ) ，劬= e 户故( ( 口p ) = ( e o ) p f ( p ) 而p 是射影元纯+ 一同余， 放讹f ( 国由s 是“酉的，知口f ( s ) 所以n p f ( s 办故s p 是 左弘香翡。据鑫憨2 。3 ，彰芦是弘甏戆， 仁。令8 se f ( s ) ，8 。f ( $ 辩( e 盘) p f ( 彰赢郄( 喇a p ) f ( 影砧，由彰p 聚f 露鳇，知堪p f ( 彰办据定理2 3 。3 ，存在岁 f ( s ) ，o p = ，p 由p 是射影元纯+ 一同余，知。f ( 印，故s 是左p 酉的据命题2 3 4 ，s 是n 两的 曲阜师范大学硕士学位论文正则+ - 半群的性质和半群的单边同态1 1 3歪则4 一半群豹子盏积，织积和半盏积 3 1 引窗 m c a l i s 乞e r 帮r e i l l y ( 9 l 与p e t r i c h 和r 越i l y ( 1 0 】讨论了逆半群的子越积 m i t s c h 【l l 】戮究了e - 反演：学秘静予壹黎，郑僵武【1 2 l 硬究了7 f 一正烫l 誊癸豹 予壹积。零带绘出正鬻+ 一半群酶予裹积熬穆造聪麓这一穗逢定理，戮究嘏剿 半群的嚣一酉覆盖，特别是其激大群同态象为给寇群的情形同时，缭蹦正 则4 半群到群上的酉满子同态的构造并讨论正则4 一毕群的织积n i c 0 【14 】 研究了正则举群包括逆半群的半畿积s a i t of 1 5 研究了纯正半群包括发( 右) 逆半群的半藏积本节最后研究灏则。一半群的半囊积 3 2 孚赢积 令sz 是正则+ 一半群，妒：s _ 丁是同态称妒是+ 一同态f 2 l ，如果对 任意8 最( 窿妒) = 矿妒若在麓积s ? 上巍定( 8 ，秘= ( 。，6 ) ，剥s 与 戆壹羲是菠鲻+ 一半群歪刘+ 一举群戆一蘑态豫是藏粼+ 一半群，毽委粥+ 一睾 群翡芋半群洙必是正剜。一半群例如整数加半群( 五十) 的子半群( ，十) 不 是正则+ 一半释命题2 2 5 给出了正则+ 一半群的予毕群是正则+ 半群的个 充要条件 弓l 瑾3 。2 1 设：s _ r 为爱燕+ 一半群器一淹态，若，秀s 妒懿器簿 元射影主苗，粼存在e e 国( 裁e f ( 固) ，篌褥e 妒一歹 证明仿定理2 3 5 的证明易知 定义3 2 2 半群”称为半群s 与t 的子直积，如果 f 1 ) 霄游搪予s f 懿子半释好； 2 ) 第一、二射影矗：日_ s ( s ，) hs 与办：碍_ ? ，池曲一是 曲阜师范大学硕士学位论文正则+ 一半群的性质和半群的单边同态1 2 满同态 两个正则+ - 半群的子直织未必是正则+ 一半群如m i t s c h 的例子，令 s = t = ( z ，+ ) ，日为由 ( 1 ，1 ) ，( 一1 ，一3 ) ) 生成的s t 的子半群则日为 s 与丁的子直积，而日不是正则- 半群我们有 引理3 2 3 若正则+ 一半群日是半群s 与t 的子直积，则s ，t 都是正 则4 - 半群 证明对任意n 只由第一射影 是满同态，知存在( n ，6 ) h 由日 是正则+ 半群，知( n ，6 ) h 规定( a ，= ( 口，扩) 则由 ( ( o ，6 ) ) = ( d ，扩) = ( ( o ) ，( 6 ) + ) = ( o ，6 ) 知( o + ) + = o 由( o ，6 ) ( o ，6 ) + ( o ，6 ) = ( o n n ，6 矿6 ) = ( n ，6 ) ，知o o + 。= 口 由( ( o ，6 ) ( c ，d ) ) + = ( o c ，6 d ) + = ( ( n c ) 。，( 6 d ) + ) = ( c ，d ) + ( n ，6 ) + = ( c + d ，矿扩) ，知( ( n c ) + = c + 口4 因此s 是正则+ 一半群同理可证r 是正 则。- 半群 定义3 2 4 设s ，t 是正则+ 一半群映射妒：s _ p ( 丁) ( t 的幂集) 称 为s 到t 的满子同态，如果 ( 1 ) 对任意s s ，s 妒； ( 2 ) 对任意s l ，s 2 s ，( s 1 妒) ( s 2 ) 妒( s l s 2 ) 妒； ( 3 ) u 。s s 妒= t ； ( 4 ) 对任意5 s ，t ，若t s 妒，贝t + s 4 妒 ， 定理3 2 5 令s ，t 是正则4 一半群，妒是s 到丁的满子同态则 ( s ，t ，妒) = ( s ，f ) s t 忙s 妒) 为正则+ 一半群，且为s 与r 的子直 曲阜师范大学硕士学位论文正则+ 一半群的性质和半群的单边同态1 3 积；反之，任意其为s 与t 的子直积的正则一半群可以如此构造 证明令n = n ( s ，丁，妒) 据定义( 1 ) 得，n 痧据( 2 ) ，是s t 的 子半群据( 1 ) 与( 3 ) ，为s 与t 的子直积若( s ，t ) n ，则t s 妒由 ( 4 ) ，t s + 妒，从而( s + ，r ) n ，据命题2 2 5 ，n 是正则4 - 半群 反之，对任意正则+ - 半群日，且日是s 与t 的子直积定义映射妒： s _ p ( t ) ，s 卜0 t l ( s ，t ) ) 由于日是s 与丁的子直积，故射影 ：h _ s 为满同态，因此对任意s s 存在t t 使得( s ，t ) 日，从而 t s 妒，故( 1 ) 式成立由于日是s 与t 的子半群，故( 2 ) 式成立由于日 是s 与丁的子直积，敏射影，2 ：日_ s 为满同态，因此对任意t 丁存在 s s 使得0 ，t ) 日，即t s p 故( 3 ) 成立又日是正则一半群，故( 4 ) 成立综上。妒为s 到t 的一个满子同态易见，h = n ( s ，t ，妒) 3 3b 酉覆盖 m c a l i s t e r 和r e i l l y 9 给出了逆半群的e 一酉覆盖m i t s c h 【1 1 】研究了 e _ 反演半群的e 一酉，e 一反演覆盖下面我们考虑正则+ 一半群s 的e 一酉 覆盖 定义3 3 1 一个正则- 半群t 称为s 的一个e 酉覆盖，若t 为b 酉的，且存在t 到s 上的一个幂等元分离同态 定义3 3 2 令s 是正则一半群，g 为群s 到g 上的满子同态l p 称 为酉的，如果1 s 妒蕴涵s e ( s ) ，其中1 为群g 的单位元 定理3 3 3 令s 是正则+ 一半群若存在s 到群g 上的酉满子同态妒， 则( s ，g ，妒) 为s 的一个e 一酉正则+ 一覆盖， 证明令t = n ( s ，g ，妒) 据定理3 25 ，丁为正则+ 一半群若( s ，9 ) ( e ，1 ) ( e ，1 ) e ( t ) ( ，1 ) s g 卜e ( s ) ) ，则( s e ，9 ) e ( t ) ，从而9 = l 因此( 8 ，1 ) t 据t 的定义，1 s 妒由于妒为酉的，故s 肟( 司因此 b 譬) 萎f ) + 羧? 碧量x 藿静。 由于第一射影 ：t 叶s ，( 8 ，9 ) _ s 为满同态，且 为鞯等元分离 静。救f 为s 豹娶耍藏哭l j4 覆蕊， 下面我们考虑一种特殊的b 酉覆盖 寇义3 。3 。4 正爨+ 一睾群，髂为歪粼4 一举群s 酶遴过群g 豹娶嚣覆 盖，如果 ( 1 ) ，为_ s 戆主 吾覆盖； ( 2 ) t 加剑g ，其中d 为r 上的最小群同余 掇秘i 漱 l l l 推谂l 筑鼍褥 搴i 理3 3 5 b 酉正则+ 一半群s 上的最小群同余的核为s 的幂等元集 毯$ ， 宠理3 3 6 令s 是诫则+ 一半群，g 为群若存禚s 到g 的酉满子阿 态蛾魁= 玎溉g ，妒) 为s 戆邋避g 豹麟踅覆盖， 诫明据定璇3 3 3 ，t = n ( sg ，妒) 为s 的e _ 两正则覆盖下诋 于如然g 据定联3 ；2 5 t 为s 与g 的子壹积爨此g 为? 在射影办：? _ g ， ( 8 ，弗多下酌阍态像，从而影k e r 五垒g 国于g 为群，故k e r ，2 为f 上 的群同余，从而仃k e r 若( o ，尊) k e r ，2 ( 6 ， ) ，则( b ，口) ，2 = ( 6 ， ) 如，即 窑= 是鑫手f 秀歪燹| 4 一半葬，荧鼍，彩一渔嘲，存在( 茹，蓟 使得( 6 ，9 ) 扛，刘) = ( 妇，9 p ) f ( t ) se ( 丁) ( e ，1 ) r | e 疗( s ) ，飚 此妇f ( s ) ，黩9 v = 1 投( 妇，1 ) e ( t ) ，且9 1 = 封。及丽( 抛，1 ) 。 嚣，9 。) 眩孽j 据f 麓定义，l 扛8 ) 妒，据妒是嚣酶，茹8 e f s 】及 而( 茹o ，1 ) e f ) 注意到9 = 九，则( 妇，1 ) ( n ，9 ) 一( 6 ， ) ( z n ，1 ) 从耐 ，1 ) 6 z ，1 ) 8 ，萝) z 蕴，1 ) ( 妊，1 ) = = ( 。8 ，1 ) ( 锄，1 ) 6 ，是) ( 。8 ，1 ) 酝，1 ) 。建予 曲阜师范太学硕士学位论文正则一半群的性质和半群的单边同感1 5 7 怒西疆妥粥誓嚣，救t 是纯芷半鼗。从褥( 嚣理，1 ) ( 妇，1 ) 矧? ) 据1 2 双 定理3 1 ，( o ，剪) 口( 执 ) + 因此k e r 矗故仃= k e r 五从而叫盯竺g 定理3 。3 7 令s 是正则+ 一半群，g 为群若t 为难则一半群，映射 垂：to s 与：r _ g 为满+ 一同态，且满足k e r ( k e r 皿) k e r ( k e r 西) ，则 圣o 。雪为s 到g 上的酉满子同态；反之，s 强g 上静任意酉满子同态可 瑷魏魏构造。 证鹌令妒= 釜o 。量掰3 o 。量) = 穗潆孝圣= s ，敌妒秀s 蚕 尹( g ) 豹映射对任意s s ，由乎为溃的，教s 妒磊则3 2 。4 ( 1 ) 成立。又 量，m 为同态，故3 2 4 ( 2 ) 成立。对任意9 g ，由于m 为满的，故存在t t 使得t 霍= 9 令8 = 瑚则g s 妒敌3 2 4 ( 3 ) 成巍对任意9 s 妒，存在 t r 使得。一考蛋，9 一l 垂由予圣，鼙为。一霹态，瓣诧扩= 矿圣，旷= 矿霍， 扶嚣矿矿妒+ 数3 。2 。4 ，f 4 ) 戏立。所以妒强s 到g 土豹一个淡予慰态。 下淡妒势蓄懿令l s 妒簧l 存程使缮鼬= s ，t 霍= 1 垂手l 秀 g 的幂等元，据引理3 2 1 ，存在e e ( r ) ，使得e 蠕= t 田，即( e ，) k e i 皿，鼹此 k e r ( k e r ) 而k e r ( k e 蚀) k e r ( k e r 由) ，所以e k e r ( k e r 币) 故存在，凹( t ) 使褥，) e k e 面即糠= ，垂所以s = ，辔。从而3 f ( s ) 敬妒为酉的 反之，令妒为s 到g 上的任意酉满子同态据定理3 36 ，r = n ( s ，g ，妒) 秀s 通过g 的e 酉征掰4 一覆溢令 h tt 畸s 强k ：t _ g 分别为第一、二射影。撩定理3 3 6 的证明，k e r ，2 为r 上的最小群同佘据写i 理 3 3 5 ，r ( k e r 矗) 一置( 习显然e ( 习曼妊r ( k e r 五) ，霞就k e r ( 沁r 五) k e r ( k e r 五) 据她定壤毂妊要髅，妒l = 荭1 。五势s 劐g 的一个髫瀵予冠态易霓， h ( sg ，妒1 ) = ( 埙，t 如m 丁 = 丁因此对任意s s ，有s 妒1 = 妇 g | ( s ，g ) ( g ，妒1 ) ) = g g f ( s ，9 ) 丁) = s 妒故妒= 妒l = 疗1o ，2 曲阜师范太学硕士学位论文正则+ 一半辫的性质和半群的单边同态1 6 定理3 + 3 。8 羲? 为s 通过g 懿至1 _ 露正刚+ 一覆盖，则存在s 到g 上熬 酉满子同淼妒使得n ( sg ，妒) 为丁的同恣像，殿( s ，g ，妒) 为s 通过g 戆嚣一酉疆剥一覆盖进褥，若? 为s 与g 的予壹积，则? 型( sg ，妒) 。 证明设存在满同态辔：t 叶s 与m ：r 甘g 使得k e r 田为丁上 静激夺群阏余。据攀| 瑾3 3 ，b ( k e r 重) 一嚣；嚣嚣( 冬；【e r ( 妇西) ，敬 k e r ( k 盯皿) _ 薹k e i ( k e 西) 据定理3 3 7 ，妒一圣_ 1o 零为s 到g 上得酉满子 霹悫。据悫毽3 。3 6 ，珏( s ，g ，囝为s 遴过g 鹃蟊嚣蓬裂+ 一覆盖。令 口：r _ n ( s ，g ，妒) ，t 卜( 砸，t m ) 则口为同态若( s ，9 ) n ( 鼠g ，妒) ，则 雪s 妒，玖蘧存在? 袋褥s = 搪，孽一垂，因戴蝤= ( s ，彩放君为瀵霹 态若丁为s 与g 的予意积，据定理3 2 5 ，存在s 到g 上的一个满子同态 魄满足t = n ( sg ，妒1 ) 令是：? - s 与支：? _ g 分裂葱搭一、二魃 影。同上讨论一样，将垂换为 ，则p ：r 叶( s ，g ，i p ) ，t _ ( 蛹，t 皿) 为 潢阉态，令t l 霉= 如钨t l 投z 则t l 矗= 如五， l 啦= 2 m 。但e r 重为t 上 的最小群潲余，故凹m k e r ，2 从而# 1 ，2 = 岛，2 敌t l = t 2 闲此口为同 构。 3 4 织积 定义3 4 1 若s ，t 露提网的澎态像，且妒：| s - 掰，妒：，- 日是 满同态称y = h ( 甄妒) = ( 8 ，t ) s r f s 妒= 坤) 为s 与r 的关于 日，识妒的织积 引理3 4 2 半群s 与r 的织积y = h ( 日，妒，妒) 是s 与t 的予直积 证明对任意s s ，剿s 妒嚣，盎予审是蓟耳静满稀恣，尉存在 t t ，使得枷= s 妒，故( s ，t ) y 所以射影n 1 ：y _ s 是满射问理可得 辩影珏2 ：y _ 也是满辩敌y 是s 与r 酶予盏积+ 塑主塑薹查堂塑堂堡堡塞墨刖+ 一半群的性质和半群的单边同态1 7 定理3 4 3 若半群s ，丁的关于日，妒，妒的织积y 是正则半群，则 s ，t 都是正则+ 一半群反之，若只t 都是正则4 一半群，且日是正则- 半 群，妒，妒是一同态，则s 与丁的关于日，妒，妒的织积y 是正则+ 一半群 证明若织积y 是正则+ 一半群，据引理3 4 2 ，织积y 是s 与r 子直积， 据引理3 2 3 ，s ，t 都是正则+ 半群 反之，若s ，t 都是正则一半群，则s 丁是正则+ 一半群而y 是s 丁 的子半群，据命题2 2 5 ，只要证明对任意( s ，t ) ( s ，t ) + = ( 旷，扩) y 即 可，即证s 妒= 扩妒由于s 妒= 渺，且妒，妒为同态，故s 妒= r 妒 3 5 半直积 定义3 5 1 设s 和t 均为幺半群，e 删( t ) 为t 的自同态半群，q ： s - 勘d ( t ) ，s 卜口( s ) 为给定的半群同态如果任意s ，s ，s ，t ，1 t ，规 定t o ( s ) = 扩，则 ( 撕) 5 = 护氆( 护) “= 在直积s t 上定义乘法： ( s ，t ) ( s 1 ，1 ) = ( s 5 1 ，扩1 t 1 ) 则s t 关于此乘法做成幺半群，幺元为( 1 ，1 ) ，称此幺半群为s 和t 的 半直积，记为s 。丁 定理3 5 2 设s 和丁是幺半群，口：s _ e n d ( t ) ，s 时q ( s ) 是给定的 半群同态若半直积s 。丁为正则+ 半群，则 ( 1 ) s ，丁均为正则+ 一半群； ( 2 ) ( v s s ，v f 丁) t 5 5 丁； ( 3 ) ( v s ，s l s ，v t ，l t ) ( 妒1 ) + = ( t ：) r 矿 曲阜师范大学硕士学位论文正则+ 一半群的性质和半群的单边同态1 8 证明若s 。丁是正则+ - 半群，则对任意s ，s l s ，t ，t 1 丁，( s ，t ) ， ( s l ，t ) s 。z 存在( s ，矿s 。丁，满足( ( s ，f ) ) 4 = ( s ，z ) ，( s ，t ) ( s ，矿( s ，t ) = ( s ，t ) ，( ( s ，t ) ( s 1 ，1 ) ) + = ( 5 l ，t 1 ) 4 ( s ，t ) + 规定( s ，) + = ( s 车，r ) ，s + s ，r t 则 ( ( s ，t ) 。) 。= ( s ，t 4 ) + = ( ( s + ) + ，( t + ) + ) = ( s ，) ，且p ( s + ) + = s ，( t + ) + =