（基础数学专业论文）微分不等式理论与奇异摄动现象.pdf

福建师范大学傅仰耿硕士学位论文 福建师范大学学位论文使用授权声明 本人( 姓名)傅仰耿学号 2 0 0 5 6 4 2 专业基础数学所呈交的论文( 论文题目： 微分不等式理论与奇异摄动现象) 是我个人在导师指导下进行的 研究工作及取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果本人了 解福建师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交的学位论文并允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容；学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 学位论文作者签名啦鲤酞指导教师签名 签名日期 煦逐氢q a 。 3 7 碰 福建师范大学傅仰耿硕士学位论文 摘要 本文主要运用微分不等式的技巧( 或称为上下解方法) ，在一定条件下证明几类 非线性微分方程( 不带小参数) 解的存在性( 部分内容包括解的唯一性) ，在此基础上 研究带有小参数的几类奇异摄动边值问题，利用边界层函数法，构造了其高阶渐近 解并得到了解的一致有效估计；并研究了一类不满足n a g u m o 条件的微分系统边 值问题的微分不等式理论本文主要分为四章： 第一章，首先，介绍了奇异摄动理论的背景及前人的一些工作其次，给出上 下解的概念及n a g u m o 条件，同时给出了二阶微分不等式的基本结果，及后面会用 到的基本引理 第二章，利用上下解方法，研究一类具有转向点的三阶微分方程的边值问题的 解的存在唯一性，并构造其高阶渐近展开式，然后利用三阶微分不等式理论，计算 了解的高阶误差估计 第三章，利用上下解方法，研究一类二阶微分系统两点边值问题的微分不等式 理论，得到其存在唯一性定理；再利用l y a p u n o v 函数研究上述微分系统另一类边 值问题的微分不等式理论 第四章，利用微分不等式理论研究了一类二阶微分方程周期边值问题解的存在 唯一性，并在一定条件下将其延拓成微分方程的周期解，最后研究其奇异摄动现象 关键词：微分方程；微分系统；边值问题；n a g u m o 条件；奇异摄动；微分不等 式；转向点；高阶展开 福建师范大学傅仰耿硕士学位论文 jil= ：= = = = = = = i _ 目j - 目 ；_ = 目_ _ _ _ 目；_ = = 目_ _ _ i _ _ a b s t r a c t i nt h i sp a p e r b yt h et h e o r yo fd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e s ( u p p e ra n dl o w e r8 0 - l u t i o n sm e t h o d ) ，w es t u d yt h ee x i s t e n c e ( o ru n i q u e n e s s ) r e s u l t so fs o m ec l a s s e so f n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( w i t h o u ts m a l lp a r a m e t e r ) f u r t h e r m o r e ，w ea p p l y t h er e s u l t st os i n g u l a r l yp e r t u r b e db v p s ( b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rs h o r t ) w h i c h i n v o l v es m a l lp a r a m e t e r s b yt h em e t h o do fb o u n d a r y1 a y e rf u n c t i o n ，w ec o n s t r u c t t h eh i g h e ro r d e ra s y m p t o t i cs o l u t i o na n dg e tt h ee r r o re s t i m a t eb e t w e e na s y r n p - t o t i cs o l u t i o na n de x a c ts o l u t i o n w ea l s oc o n s i d e rt h ed i f f e r e n t i a li n e q u a l i t yo f t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fad i f f e r e n t i a ls y s t e mt h a td o e s n ta c c o r dw i t ht h e n a g u m oc o n d i t i o n t h i sp a p e ri sa r r a n g e df o l l o w i n g i nc h a p t e r1 ，f i r s t l y , w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fs i n g u l a r l yp e r t u r b a t i o n t h e o r ya n ds o m ei m p o r t a n tr e s u l t so ff o r m e rs c h o l a r sh a v es t u d i e d s e c o n d l y , t h e c o n c e p to fu p p e rs o l u t i o n ，l o w e rs o l u t i o na n dn a g u m oc o n d i t i o na r es h o w e d ，t w o p r i n c i p a lt h e o r e m so fs e c o n d - o r d e rd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t ya r ei n t r o d u c e d ，a n ds o m e p r i n c i p a ll e m m a l sa r ec i t e d ，w h i c hw i l lb eu t i l i z e di nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r s i nc h a p t e r2 ，b yu s i n gt h eu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sm e t h o d ，t h ee x i s t e n c e a n du n i q u e n e s so fac l a s so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rt h i r d - o r d e rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o nw i t hat u r n i n gp o i n th a v eb e e ns t u d i e d t h e nw ec o n s t r u c tt h eh i g h e ro r d e r a s y m p t o t i cs o l u t i o na n dg e tt h ee r r o re s t i m a t eo fa s y m p t o t i cs o l u t i o na n dp e r t u r b e d b yu s i n gt h ed i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e st h e o r y i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h et h e o r yo fd i f f e r e n t i a li n e q u a h t i e so fs o l u t i o n so fac l a s s o ft w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rs e c o n do r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a ls y s t e m b yt h eu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sm e t h o d ，a n dg e tt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f s o l u t i o n s t h e nu s i n gt h el y p a p u n o vf u n c t i o n ，w es t u d yt h ed i f f e r e n t i a lt h e o r yo f t h ed i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t ha n o t h e rb o u n d a r yc o n d i t i o n i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fac l a s so ft w o - p o i n t e d b o u d a r yv a l u ep r o b l e mf o rs e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nb yt h em e t h o do fd i f - f e r e n t i a li n e q u a l i t i e s t h e nu n d e rs o m ec o n d i t i o n s ，w ee x t e n dt h es o l u t i o nt ob e ap e r i o d i cs o l u t i o no ft h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n f i n a l l y , w ec o n s i d e rt h ep e r t u r b e d p h e n o m e n o n k e yw o r d s ：d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；d i f f e r e n t i a ls y s t e m ；b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ； i i 福建师范大学傅仰耿硕士学位论文 n a g u m oc o n d i t i o n ；s i n g u l a rp e r t u r b a t i o n ；d i f f e r e n t i a li n e q u a l i t y ；t u r n i n gp o i n t ； h i g h e r - o r d e re x p a n s i o n i i i 福建师范大学傅仰耿硬士学位论文 中文文摘 本文主要运用微分不等式的技巧( 或称为上下解方法) ，在一定条件下证明几类 非线性微分方程( 不带小参数) 解的存在性( 部分内容包括解的唯性) ，在此基础上 研究带有小参数的几类奇异摄动边值问题，利用边界层函数法，构造了其高阶渐近 解并得到了解的一致有效估计；并研究了一类不满足n a g u m o 条件的微分系统两 点边值问题的微分不等式理论本文主要分为五章( 注：每章里面所使用的假设甄 均是相互独立的) ： 第一章，给出上下解的概念及n a g u m o 条件，同时给出了二阶微分不等式的基 本结果，及后面会用到的基本引理 第二章，先研究更一般三阶微分方程的r o b n 两点边值问题 le 2 y 胛= g ( t ，y ，y 7 ，) ，b t c ，o11 、 iy l ( 6 ) 一p y ( 6 ) = a ，y ( c ) = b ，y l ( c ) + q y ( c ) = c 、 7 在适当条件下( 日；一日；) ，得到了如下结论。 定理2 1 1 若条件研，蟛成立，则边值问题( 2 1 1 ) 必存在解可( t ) c 3 6 ，c 】， 满足q ( t ) y ( t ) p ( t ) ，q 他) 可他) 卢) ，i 旷( t ) i n + ，t 【b ，c 】，这里+ 为一 与解y ( t ) 无关的正数 定理2 1 2 若条件日；一蟛成立，则边值问题( 2 1 1 ) 存在唯一解秒( t ) c 3 6 ，c 】， 满足满足口( t ) u ( t ) p ( t ) ，q 心) 耖俅) p 心) ，i 妙( 亡) i n + ，t 【6 ，c 】，这里 为一与解u ( t ) 无关的正数 再研究如下形式的三阶微分方程r o b i n 两点边值问题 i 2 朋= f ( t ，y ，y ，) y + 夕( t ，y ，y 7 ，e ) ，0 t a ， iy l ( o ，) 一p y ( o ，) = a ( e ) ，3 ，( n ，) = b ( ) ，y l ( o ，) + q y ( o ，e ) = c ) ( 2 0 1 ) 在适当条件下( h 1 一日6 ) ，得到了如下结论： 定理2 2 1 若条件日5 成立，则方程( 2 2 7 ) 有解：v 0 = a o e 一舭，v n = a n e 一研+ r - p j ( 丁) e 一伽7 ，( 丁o ) ；其中a o ，a n ( 佗= 1 ，2 ，) 均为任意常数，而却研( 7 ) e 1 ” 表示对应于解的若干项之和，每项均为7 的多项式聊( 丁) 与指数函数e - 3 的 乘积，这里j 为某些正整数 定理2 2 2 若上 一凰成立，则当充分小时，边值问题( 2 0 1 ) 有解y ( t ) c 3 【o ，o 】满足可 ，) = y k ( t ，) + 0 ( + 1 ) ，y 7 ，e ) = y v ( t ，) + 0 ( + 1 ) ，t 【0 ，口】 i v 福建师范大学傅仰耿硕士学位论文 第三章，考虑如下形式的二阶微分系统的边值问题 ! z = ，( t ，z ，z 7 ) ，口 。 6 ，( 3 o 1 ) ix ( a ) 一p i ( a ) = a ，x ( b ) + q x ( b ) = b 、 的解的存在唯性 当p q 都是正定对角矩阵时，得到如下结论： 定理3 1 1 若f ( t ，z ( t ) ，z 他) ) c 【o ，6 】x 舻x 舻，舻 且有界，则边值问题 ( 3 0 1 ) 存在解x ( t ) c 2 6 ，舻】 定理3 1 2 若存在函数q ( t ) = ( o t l ( 亡) ，o 。( t ) ) t ，z ( t ) = ( 卢1 ( t ) ，风( t ) ) t ， 其中a t ( t ) ，觑( t ) c 2 【a ，6 】，r 】，( 1 i 竹) 满足以下两个条件： 日l ：当t 【a ，b 】，q ( t ) 。s 卢( t ) ，l i 叫l n o ，l l y l i n o 时，有z 厅，( t ，z ，y ) 0 ，其 中0 为某个正常数，并且f ( t ，z ，y ) c 【n ，6 舒x 形，彤】 - 2 ：( 1 ) a t ( t ) s 屈( t ) ，t 【a ，6 ，( 1 i 礼) ( 2 ) q ( o ) 一a 口：( o ) a t 屈( 口) 一a 倒( o ) ，o r i ( b ) + qo 一7 b ) b i 屈( 6 ) + 俄觑( 6 ) ，( 1 i 礼) ( 3 ) 当兢 ) = a t ) ，q ( t ) x ( t ) 卢 ) ，玑 ) = a ： ) ，y j ( t ) n 时，有a ? ) ( ，z ( t ) ，耖( 亡) ) ；当z t ( ) = 屈 ) ， ) x ( t ) 卢 ) ，玑 ) = 属 ) ，y j ( t ) n 时， 有群( ) 五( ，z ( t ) ，可( t ) ) ，( 1 t ，歹n ) 这里n = 1 + 罂孵 0 ，i i p - 1 l i ( 后+ i i a i i ) ，i i q 。1 + i l s l l ) ，m 蚍愀帅，2 黝m ( 蚍懈) 胁 则边值问题( 3 0 1 ) 存在解z ( t ) 俨 【口，6 】，r ” ，且满足q ( t ) z ( t ) sp ( t ) ，峨( t ) l n ，t 【a ，6 】，1 i 佗 定理3 1 3 若定理3 1 2 的条件与凰都成立，则边值问题( 3 0 1 ) 存在唯一解 x ( t ) c 2 【o ，6 】，r “】，满足( t ) x ( t ) p ) ，且i z ：( t ) i n ，t 【a ，6 】，1 i 佗 定理3 1 4 对于边值问题 ! = m ，x ) x i m ，口 0 使得对一切u l ，z 【o ，b 】，有 丢夕( t ，u ，u ) 一( 詈) 2 c ( t ，兰) 方程z 7 = c ( t ，z ) 过z ( 下) = 0 的左边最大解r ( t ，r ，0 ) 满 足r ( t ，l 0 ) 口，o t 0 = m i n c y ，丽) ( 4 ) 方程u 7 = 9 ( t ，2 l ， ) 在【a ，6 】上存在左边最大解r l ( t ，b ，0 ) 和右边最小解 r 2 ( t ，o ，0 ) 则存在m 0 使得让( 幻m ， 让) m ，【o ，b 】 定理3 2 2 如果 ( 1 ) 存在夕( t ，u ，u ) c 眠6 】x r + x r ，r 一】，对于每一个( t ， 3 ) b ，6 】r ，g ( t ，乱，u ) 是缸的不增函数；v ( t ，z ) e 2 f 。，6 r n ，r + 】，满足当忪l l _ 。o 时，v ( t ，z ) _ o 。在【n ，6 上一致成立，且对任给的( 亡，z ，z 7 ) 【o ，6 】x 彤毋，有v j ( t ，z ) 夕( t ，v ( t ，z ) ，v 7 ( t ，z ) ) + a l l f ( t ，z ，z 7 ) 1 1 ，口 0 ，c r ( t ，z ，z 7 ) = t ( t ，士) + 2 v t z ( t ，z ) ) 。7 + k 。( ，z ) z 7 3 7 7 0 这里v ，( t ，2 1 7 ) = k ( t ，z ) + k ( t ，z ) z ，w 7 ( t ，z ) = t ( t ，z ) + 2 k 霉( t ，z ) ) z 7 + k 。 ，z ) z 7 茁7 + v x ( t ，z ) f ( t ，z ，z 7 ) ( 2 ) 边值问题3 0 1 的边界条件蕴含y 7 ( o ，$ ( 口) ) 0 ，v ，( 6 ，z ( 6 ) ) 0 ，v ( a ，z ( 口) ) a y 7 ( o ，z ( n ) ) ，其中o t 0 ( 3 ) 存在c ( t ，z ) c 6 】计，捌，且存在l 0 使得对一切u l ，t 【n ，b 】， 有丢9 ( 亡，让，u ) 一( ：) 22c ( t ，老) 方程z 7 = a ( t ，z ) 过名( 丁) = 0 的左边最大解r ( t ，l0 ) 满足r ( t ，丁，0 ) 口，q o = m i n o e ，采面) ( 4 ) 方程u 7 = g ( t ，2 l ，口) 在【o ，6 】上存在左边最大解r l ( t ，b ，0 ) 和右边最小解 r 2 ( t ，o ，0 ) 则边值问题( 3 0 1 ) 存在一个解满足z ( t ) c 2 f 【q ，6 ，舻 第四章，研究如下形式的二阶微分方程周期边值问题 旷= 弛，螂，) 0 t 6 j 一脚，b 】a ( ) ， 这里a ( 6 一a ) = m a x ( i o c ( a ) 一p ( 6 ) l ，i a ( 6 ) 一p ( 口) i ) 注：n a g u m o 条件的满足，保证了微分方程边值问题的解族的紧性 引理1 3 1 ( j a c k s o n ， 6 ，t 日7 3 】) 如果边值问题( 1 3 1 ) 具有下解a ( ) 与上解 p ( t ) jf ( t ，y ，y 7 ) 在【a ，h ix 陋( ) ，p ( t ) 】xr 上连续，2 - 关：5 - a ( t ) ，z ( t ) 满足n a g u m o 条件，则边值问题( 1 3 1 ) 有解y ( t ) c 2a ，6 ，满足q ( t ) y ( t ) p ( t ) ，l 可也) i n ， 这里是仅与a ( t ) ，z ( t ) 及n a g u m o 条件中a 有关的正常数 上、下解的概念定义1 3 1 可以被推广至二阶微分方程r o b i n 两点边值问题的 情况： 圹2 q l y aa p 2 y ( b ) + q 2 y ，( 6 ) ：b ( 1 3 2 ) i ) 一7 ) = ，) +，( 6 ) = 、7 这里p l ，p 2 0 ，q 1 ，q 2 0 定义1 3 3 如果函数a ( t ) ，卢( t ) c 2a ，b 】满足q ( t ) p ( t ) ，t 【a ，b ；p l a ( a ) 一 q l o r ( a ) a p l t 9 ( a ) 一口1 p ( 6 ) ，p 2 0 r ( b ) 一q 2 a ( b ) b p ：f l ( b ) 一q 2 p ( 6 ) ；并且当 t ( a ，6 】时，有a ( 舌) f i t ，乜 ) ，q 7 ) 】，( ) y t ，p 0 ) ，p 7 ( ) 】，则分男日称q ) ，z ( t ) 为边值问题( 1 3 2 ) 的下解与上解 4 第1 章绪论 引理1 3 2 卢鄙如果边值问题( 1 3 2 ) 具有下解乜( t ) 与上解p ( t ) i ( t ，y ，y ) 在 【a ，6 i 【q ( t ) ，p ( t ) r 上连续，且关于口( 亡) ，z ( t ) 满足n a g u m o 条件，则边值问题 ( 1 3 2 ) 有解y ( t ) c 2a ，6 j ，满足q ( t ) y ( t ) p ( t ) ，1 秒他) i n ，这里n 是仅与 q ( t ) ，z ( t ) 及n a g u m o 条件中入有关的正常数 注：关于具体的微分方程边值问题，例如三阶微分方程、周期边值问题，甚至 微分系统边值问题，上下解的方法一般都可以用，只需稍微做一点修改本文的大 部份工作也是基于这个基础上完成的下面给出后面要用到的两个基本引理： 引理i 3 3 ( a s c o l i a r z e l a 定理，【a o ) 设f = ，( t ) ，是定义在a t b 上的 一致有界且同等连续的函数族，i e y , f 中必可选取一个在a t b 上的一致收敛 的子序列 ( t ) ) ( n = l ，2 ，) 引理1 3 4 ( s c h a u d e r 不动点定理，【4 1 】) 设k 是b a n a c h 空间x 的一个有界 闭凸集，而t 是k 到其自身内的任一个全连续映象，则t 在k 至少有一个不动 点 5 福建师范大学傅仰耿硕士学位论文 第2 章一类三阶微分方程r o b i n 两点边值问 题及其奇异摄动 转向点问题是奇异摄动理论的一个十分重要的问题，在环境分析f 4 2 固体力学 【4 3 1 ，热科学，孤立波【4 5 】，以及材料化学【蚯】等物理与化学现象中广泛出现对于 这类问题，在所考虑的区域内，用传统的方法得到的渐近解在转向点的邻域上并不 成立 一直以来，关于具有转向点的三阶微分方程的边值问题，已有大量的研究工作 m 【4 9 】但从总体上看，缺乏对于一般情况下解的高阶渐近展开的研究，为此本章 将研究如下形式的带有转向点的三阶微分方程两点边值问题 j 2 可7 = ，( t ，可，可7 ，) 可+ 夕( ，y ，y 7 ，) ，0 0 ，q 0 都为常数，e 为 正的小参数这里先利用微分不等式的技巧，证明了在一定条件下边值问题( 2 0 1 ) 解的存在唯一性 2 1 三阶微分方程r o b i n 两点边值问题解的存在唯一性 二阶微分方程的微分不等式理论【7 l 可以推广到三阶的情形，文 9 】研究了的三 阶微分方程d i r i c h l e t 两点边值问题，文【5 0 】研究了三阶微分方程的非线性三点边 值问题的微分不等式理论，类似地对于更一般三阶微分方程的r o b i n 两点边值问题 j 2 可胛29 ( 亡，可，y 7 ，秒) ， 6 t ，l g ( t ，y ，y ，y ) i ( 矿1 ) ，( ，y ，可7 ，矿) d ，且有厅南d s 等筠p 俅) 一群马俅) ，其中入为一正常 数 定理2 1 1 若条件研，毋成立，则边值问题( 2 1 1 ) 必存在解y ( t ) c s b ，c j ， 满足a ( t ) v ( t ) p ( t ) ，q 心) y ) p 心) ，l 矿( ) i n + ，t 【b ，c 】，这里+ 为一 与解y ( t ) 无关的正数 证明： 取充分大的正数，使得南d s 署筠卢，( 亡) 一挺m 【b a ，x c 】口俅) ，i 俅) l ， i 卢心) l ，t 【b ，c 】 在q = 【b ，c 】r 3 上定义函数： lg ( t ，y ，y ，) ，y n a ( t ，y ，y 7 ，y ) = g ( t ，y ，y 7 ，可) ，一n y n lg ( t ，y ，y 7 ，- g ) ，y 即) g 4 ( t ，y ，y 7 ，y ) = a ( t ，y ，y 7 ，可) ，q 7 ( ) sy p ( t ) 【ig ( ，箩，a ) ，y ) + 止l + 业y t 。，y a ( ) ( t ，y ，y 7 ，y ) = g + ( t ，y ，y 7 ，可) ，f l ( t ) y a ) ig + ( 屯p ( t ) ，y 7 ，) ，y p ( t ) 显然，皿( t ，y ，y ，y ) 在q 上连续且有界 于是根据引理1 3 2 ，微分方程r o b i n 两点边值问题 iy 胛= 皿( 屯秒，y 7 ，) ，b 0 ，并有l y i ( t ) 一必( t ) l m ，t 【b ，c 】 故有且仅有下列两种情形： ( 1 ) 存在点t o 【b ，c ，使得可i ( t o ) 一必( t o ) = m ； ( 2 ) 存在点t o b ，c ，使得耖i ( t o ) 一必( t o ) = 一m 对于情形( 1 ) ，即m 是1 1 ( 亡) 一必( ) 在【b ，c 】上的最大值因而一方面有可? ( 亡o ) = 醚( t o ) ，y 一 ( t o ) 谬( t o ) ；但另一方面，由于在【b ，c 】上，1 秒i ( ) 一：( t ) i m ，从而 l y l ( t ) 一可2 ( t ) i i m i 、8 ) 一y ：( s ) l d s l m i c t l m ( c 一6 ) ，这样就有 可，7 ( t o ) 一可1 7 ( t o ) = g t o ，秒1 ( o ) ，可i ( t o ) ，可1 i i ( t o ) 】一g t o ，2 o ) ，y ；( t o ) ，耖i i t ，】 = 乳， t o ，叼，y ，( t o ) m + g v t o ，叩，y ，( 如) 】m ( t ) 一耽( t ) 】 m 【鲰， ，y ，y ，y ) 一1 9 可( ，y ，y 7 ，可) l ( c 一6 ) ) 0 介于夕1 ( t ) 与抛( t ) 之间，叩介于y i ( t ) 与必( t ) 之间这就与可1 7 ( t o ) 可( o ) 产 生矛盾 同理可证，情形( 2 ) 也会产生矛盾定理证明结束， 2 2 三阶微分方程r o b i n 两点边值问题的高阶渐近展开 对于边值问题( 2 0 1 ) ，首先作如下的假设： 8 第2 章一类三阶微分方程r o b i n 两点边值问题及其奇异摄动 h 1 ：退化问题 j 邢，让，o ) + 夕( t ，u ，u ，o ) = o( 2 2 1 ) iu ( o ) = b ( o ) ，u ( o ) + q u ( 口) = g ( o ) 、 有解u o ( t ) c 3 o ，叫 h 2 ：f ( t ，y ，y ，) ，g ( t ，y ，可7 ，) 在d 上关于其变量n + i 阶连续可微，且a ( e ) ，b ( e ) ，c ( ) c n + i 【o ，e o 】，其中d = _ ( t ，y ，y ，0 1 0 t a ，l y u o ( t ) i 6 ，i y 一u ：i ( ) i 6 ，0 e o ) ，为给定的正整数，6 ，o 均为适当小的正常数 由凰，可得a ( e ) = ”+ 0 ( + 1 ) ，b ( e ) = 6 。扩+ 0 ( + 1 ) ，c ( ) = 壹十o ( + 1 ) ，其中n n = 丽d a ( o i 。：o ，k 及c n 类似，特别地， a o = a ( o ) ，b o = b ( o ) ，c o = g ( 0 ) 在【0 ，0 】上构造边值问题( 2 0 1 ) 的阶渐近外解展开式，设其为u n ( t ) = u 。( t ) ，t 【0 ，o 】，要求满足： l 2 嘴= f ( t ，) 嘴+ 9 ( t ，e ) + d ( e + 1 、 1u n ( a , e ) ：苎址n + d ( 一1 ) v i n ( a ，) + 蚓吣) ：n 秽+ m 严2 ) l n = o n = o 将，( t ，e ) 在= 0 处按的幂展开，得厂( t ，) = 厶( t ) 眇+ o ( + - ) ，其中厶( t ) = 竺毯器笋翘l 。：o ，如y o ( t ) = f t ，u o ( t ) ，u ：( t ) ，o ，i x ( t ) = 5 i t ，u o ( ) ，u 6 ( t ) ，o u 1 ( t ) + 凡，i t ，u o ( t ) ，c o ( t ) ，o 】u i ( t ) + 丘辟，u o ( t ) ，u ) ( t ) ，o 】，相应地，夕( t ， u ，) 也有类似的展开式 将_ 厂( ，e ) ，g ( t ，u n ，) 及b ( 0 ，c ( ) 的展开式代入( 2 2 2 ) 并比较两 端同次幂系数可得： i ，( ，u ， i t 7 ，o ) u + g ( t ，u ，u ，0 ) = 0 【u ( o ) = b ( o ) ，, i t i ( o ) + q u ( n ) = g ( o ) im ，u o ，u 3 ，o ) u 嚣+ 【丘小，t o ，u 6 ，o ) u ；+ g u ，( t ， t o ，u ：，o ) 】u 乞 + 【凡( ，u o ，u ；，o ) u ：十跏( t ，u o ，u j ，o ) 】u n = q n ( 2 2 3 ) l t t n ( o ) = b 。，u 乞( o ) + g u z ( o ) = 福建师范大学傅仰耿硕士学位论文 由假设日l 知，退化问题( 2 2 1 ) 分别存在解u o ( t ) c 3 【o ，0 】，关于u 。( t ) 近一 步作如下假设： 玩：问题( 2 2 3 ) 可逐步地确定出解u 。( t ) c 3 o ，凸】( n = 1 ，2 ，) 现构造边值问题( 2 0 1 ) 的高阶近似内解渐近展开式，设为： = 2 ( 7 - ) 扩，其中7 = ；，t 【0 ，0 l 则边值问题( 2 0 1 ) 的阶合成渐近解为； y = u n - t - v n ，t 0 ，a 】 要求满足： ， 卜2 嘴= 弛，埔，磁，) 瑙+ g ( t ，昂，e ) - t - d ( + 1 ) ，t 0 ，o 】 1 磁( o ，) 一p l r t l i n ，e ) ：na n e n + 0 ( e n + i ) ( 2 2 4 ) i 磁( o ，) 一p l - 、v ，e ) = n + ) 、7 并且v 。，u 二一o ( 7 - 一o o ) ，具有关于丁的负指数型特征，即i 口n i ，i u ：l p e “7 ，七 0 ，p 0 将y n = + 代入式( 2 2 。4 ) 可得： f 1 祭= e - 2 f ( e r ，y ，玲，) 簪+ 【，( 眠y ，玲，e ) 一 i 他丁，妇，) 嘴+ g ( e t ，y ，e ) 一g ( e v ，u n ，e ) 】+ d ( + 1 ) ， nu 抛) 眇一 nu 和) 扩n 学e n _ p n p-4-p掣扩： ( 2 2 5 ) 1 u 乞( o ) 眇一u ：( o ) 扩坐擎坚堡：；笋扩= 瞄2 6 in = 0n = 0n = 0n = 0 l o 。扩+ o ( “) 比较( 2 2 5 ) 两端的同次幂系数可得： 嚣参馘2 绷h “渊忍2 qi 掣= p 一1 堂铲+ p 一1 u 一乱：( o ) 一p 一1 口t ， = 1 ，2 ，) 卜“7 4 4 ：f ( o ，y ，y 7 ，) = ( 0 ，y ，y 7 ，) = 0 ，其中i y u o ( 0 ) i 正f y 一礼：( o ) i 6 ，0 e o ，这里正o 均为充分小的正常数 考虑在f 0 ，口】上将f ( t ，y ，k ，) 在= 0 处按e 的幂展开得；f ( e t ，y ，璐，) = 昱r ( 丁) 矿+ 0 ( 6 + 1 ) ，其中f n ( 丁) = 击丝坐苌擎龃k ：o ，显然有昂( 丁) = f 0 ，u o ( o ) ，札；( o ) ，o 】_ 0 ，乃= o f ( 6 t , y 砸n , y d , e ) 萨o = o - ， o ，u o ( o ) ，u ：( o ) ，o + k u g ( o ) + 1 ( o ) 】矗 o ，u o ( o ) ，嵋( o ) ，0 】+ 7 一u ：( o ) + 乱；( o ) 4 - 叱( 丁) 】矗， o ，u o ( o ) ，也j ( o ) ，0 】+ 五 o ，u o ( o ) ，”：( o ) ，0 】= 0 ，一般地r ( 7 ) 可以表示为若干项之和，每一项均为丁的多项式与若干个 v o ，v l ，v n l ，u j ，u i ，吒一l 的乘积 1 0 第2 章一类三阶微分方程r o b i n 两点边值问题及其奇异摄动 类似地，将g ( e r ，埔，璐，) ，f ( e r ，y ，璐，5 ) 一，( 丁，u n ，) ，9 ( e 丁，y ，y k ，砂一 g ( c t ，) 作相应的展开，特别地，后二项展开式中项的系数具有f ( t ，h ，玲，e ) 的展开式的特点，即第一项的系数为零，其余项均可表示为若干项之和，每一项均 为丁的多项式与若干个v o ，v l ，v n 一1 ，v o ，u i ，嵋一1 的乘积之和，再将，嘴 中的变量t 替换以t = 7 - 且按e 的幂展开，然后代入式( 2 2 5 ) ，并比较两端的同 次幂系数，可得； u 9 7 ( 7 ) 2g u 【o ，u 。( o ) ，u ：i ( o ) ，o 】u j ( 7 - ( 2 2 7 ) 【碟( 丁) = g u “o ，u o ( o ) ，u ；( o ) ，o u 二( 丁) + 厶 、7 并且当7 - _ ( t = a ) 时，有u ( 下) _ 0 这里厶( 礼= 1 ，2 ，) 为若干项之和， 每一项均为下的多项式与若干个忱，u ：，v t ( i = 0 ，1 ，2 ，佗一1 ) 的乘积 h 5 ：g u ， o ，u o ( o ) ，乱：( o ) ，0 】- 仇2 ，m 0 定理2 2 1 若条件风成立，则方程( 2 2 7 ) 有解：v 0 = a o e 一，u 。= a n e