（基础数学专业论文）保对称阵moorepenrose逆的线性算子.pdf

中文摘要 中文摘要 因为广义逆矩阵在许多领域中有着广泛的应用，如微分和积分方程、统计学、 控制论最优化等，所以自上个世纪中期以来，矩阵广义逆就成为一个非常重要的 研究领域至今仍然是一个非常活跃的研究分支另一个矩阵论中活跃的领域是线 性保持问题，它是刻画矩阵集之间保不变量的线性算子的 肘o d r e p e n r e 逆 作为一种重要的广义逆，本文正是将特征2 的域上对称矩阵m r e p e w 8 逆 作为不变量进行研究的 设f 足特征为2 的域，n 兰2 是任意的正整数记a k ( f ) 和晶( f ) 分别为 域f 上n n 全矩阵空间和n n 对称矩阵空间，相关文献已经表明：关于特征2 的域上对称矩阵m r e p e n r e 逆( 简记m 一_ p 逆) 的线性保持问题仍然是一 个公开问题本文即以此为出发点进行研究做保持问题的一个常用的技巧是把新 的问题归结到一个已知不变量的保持问豚上，例如幂等、秩1 保持等等，由于矩阵 材一p 逆的特殊性及复杂性，在域f 的特征为2 的条件下，将其类似于其他广义 逆保持问题一样归结到幂等保持比较困难所以本文采取寻找一些特殊矩阵的方法 直接进行研究 第2 章中。首先刻画了晶( f ) 到惦。( f ) 的保矩阵m p 逆的线性算子形式， 再通过限制映射的像到品( f ) 中得到r ( f ) 到r ( f ) 的保矩阵m p 逆的线性 算子形式；运用扩展技术，改进并推广了 厶( f ) 到 矗( f ) 的保矩阵m p 逆的 线性算子形式 关键词：域；特征；m p 逆；线性算子i 对称矩阵空间 黑龙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t a st h eg e n e r a l i z e di n v e r s e so fam a t r 呔h a 耽w i d ea p p l i c a t i o n si nm a i l ya r e a s s u c ha s 础e r e n t 瑚a n di n t e g m le q u a t i o i l s ，s t a t i s t i c s ：o p t i m a lt h e o r y c o n t r o lt h e o r y a n de t c ，i th 船b e c o m eo n eo ft h ei m p o r t a n ts t u d 如n g 丘e l d si nt h ew o r l ds j n c et h e m i d d l eo f t h el 髂tc e n t l l r ) la 0 t h e ro ft h ev e r ya c t i v er e s e a r c ha r e a si m a t r i xt h e o r y i st h es t u d y0 fl i n e a rp r e s e n ，e rp r o b k m 8 ，w h i c hc o n c e r nt h ec l a 8 s m c a t i o no fm a p s o nm a t r i c e so r0 p e r a t o r st h 8 tp r e s e r v ec e r t 缸ns p e c i a lp r o p e r t i e s t h e l a i np u r p o s e o ft h i sp 印e ri st oi v e s t i g a t et h el i n e a rm 印sp r e s e r v i n gm o o r e 一尸e n r 0 5 ei r m r s e s o fm a t r i c 岛o s y m m e t r i cm a t r i xs p a c eo 僧r6 e l d so fc h a r a c t e r i s t i c2 s u p p o s ef i saf i e l do fc h 缸a c t e r i s t i c2 l e tnb ea n 甜b i t r a r yp o s i t i v ei n t e g e r 8 谢t h ”2 w jd e n o t eb y 矗( f ) a n dr ( f ) t h e 印a c eo fn nf u um a t r i c e 8 a n dt h e 印a c eo fn ns y m m e t r i cm a t r i c e 8o v e rf ，r e s p e c t i v e l y s o m er e l a t e d r e f e r e n c e sh 狮s h a w l lt h 8 tt h ep r e s e r v l p r o b l e ma b o u tm o 卵e p e n r d s e ( i ns h o r t o f 肘。一尸) i n v e r s e 8o ft h es y l i 】m e t r i cm a t r i c e si ss t i l la nu n s 0 1 v e dp r o b l e m ，t h e r e f o r e is t u d yt h i sp r o b l e mi nt h ep a p e r o eo fl m p o r t a n tt e c h n i ( 1 u e si nt h e8 t u d yo f p r e s e r 、，e rp r o b l e d 雌扛t or e d u c en e wp r e 8 e r v e rp r o b l e m st 0t h ek n o w t lo i l e s ，s u c l l 晒i d e m p o t e n c e ，r a n ko n ep r e s e r v e ra n ds oo n i nt e r l so ft h ep a r t i c u l a r i 毋a n d c o m p l i c a t i o n0 fm pi n v e r 瞄o fm a 七r i c e s ，r e d u c i n gt h el i n e a ro p e r a t o r sp r e s e r 、r i g 彳一pi n v e r s 曙o fm a t r i 。e st ot h ei d 哪p o t e n tp r 既e r v e r ，s i r i l i l a rt oo t h e rg e n e r a l i z e d i r 眦r s e s ，i si m p r a c t i c a le 嵋ni fu n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h ec h a r t e r i s t i co ff i s2 ， 8 0is t u d yt h ep r o b l e mb y ：；e 甜c h i n gp a r t i c u i a rm a t r i c e 8d i r e c t l yi nt h i sp a p e r i i lt h ec h a p t e r2 ，t h el i n e a rm a p sf r o mr ( f ) t o 厶( f ) p r e s e r v i n gm p i n v e r s 皤o fm a t r i c e sa r ec h 舡a c t e r i 捌，8 j 1 dt h e r e b yt h el i n e a rm a p sf r o m 晶( f ) t 0 & ( f ) p r 船e i n gm pi n v e r s 器o fm a t r i o 篇a r ec h a r a c t e r i z e db yr e t r i c t i n gt h e r a i l g eo fi m a g eo fm 印st o 冀( f ) a sa n 印p l i c a t i o n ，t h ef o r m so ft h el i n e 舡m a p s 打0 m 慨( f ) t o 豫( f ) p r e s e i n g ，一pi n v e r s e so fm a t r i c 郫a r eg i 、，e n k e ) 哪d r d s ：丘e l d ；c h 船a c t e r i s t i c ；m 一尸i i m r s e ；h n e a rm a p ；t h es p a c eo fs y 衄e t r i c m a t r i c 一i i 黑龙江大学硕+ 学位论文 f c f v l 、f t ( ) ，c ) ， 层f d t 出u g ( 1 ，) ，4 t 4 r 凸n 七t a + 段 配。( f ) 矿 r ( f ) g 厶( f ) t 。( f ) 雪。( f ) i l ，叫 符号说明 “j ) 位置为l ，其余位置为。的矩阵 矩阵最，+ 易。vz j 叫mj 。) 月j 一3 = 4 ，一 靠( f ) “a ，b ，g ) 月+ = a ，b + = g ，( a + g b ) + = ( a 十g 一1 c ) 黑龙江大学硕十学位论文 独创性声明 本人声明所里交的学位论文足本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他入已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得黑龙江大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料 学位论文作者签名 赫携 签字日期：瑚年s 月? j 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解黑龙江大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人 授权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编本学位论文 学位论文作者签名 嘲够 导师签名噶每尧 签字日期；埘g 年f 月弓j 日 签字日期；腑r 月3 j 日 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： 电话 邮编 第l 章绪论 第1 章绪论 1 1 一种特殊的广义逆矩阵一矩阵m p 逆的介绍 矩阵足现代自然科学、工程技术以及社会科学许多领域中的一个不可缺少的重 要工具广义逆矩阵是二十世纪矩阵理论中的一项极为重要的新发现，是线性代数 中的一个重要方面。 人们在解线性方程组a x = 6 的过程中发现：当a 是非奇异方阵，其唯一解 可表示为x = 一“6 ，但是在肖是奇异方阵或是长方阵而方程组是相容时，一的通 常意义下的逆矩阵不存在；这促使人们将矩阵的逆的概念加以推广，适当地定义a 的某种较广意义下的逆矩阵b ，使得线性方程组a x = 6 的某个解可以同样地表示 为x = b 6 矩阵的广义逆的概念被人们提出来，且要求具有以下性质； ( 1 ) 对于比非奇异阵更广泛的一类矩阵来说这种广义逆是存在的， ( 2 ) 具有通常逆矩阵的一些性质， ( 3 ) 当a 为非奇异阵时，这种广义逆还原到通常的逆矩阵 eh m 0 0 r e 是公认的研究广义逆矩阵的第一人1 9 2 0 年，在文献【1 】中他首先 提出矩阵的广义逆定义，并在文献【2 中用投影矩阵定义了矩阵唯一的广义逆 a x = p a ，x a = p x 但在此后3 0 多年里，广义逆矩阵很少为人们所注惹到了1 9 5 0 年后，一些学者开 始注意到广义逆矩阵的最小= 乘性质，广义逆矩阵研究再次被人们所注意但这时 期的研究工作缺少一般性，零散而不系统直至1 9 5 5 年r p e n m s e 在文献【3 】中用 ( 1 - 1 ) 一( 1 4 ) 四个矩阵方程的唯一解x ( 记作a + ) 给出了与m o o r c 的广义逆矩阵的 定义等价的简洁而实用的新定义之后情况才开始发生变化，广义逆矩阵理论与应用 的研究进入了一个新的时期，一些相关结果可见文献 4 卜f l o i _ 半个多世纪以来，在众多理论与应用科学领域，例如微分方程、数理统计、数值 代数、最优化理论现代控制论，电网络分析、系统理论、数学规划，等等，广义逆 矩阵都扮演着不可或缺的角色，这大大推动了广义逆矩阵的理论与应用的研究，使 得这一学科现已成为矩阵论的个重要分支对于非奇异阵来说，无论出于什么研 究目的，逆矩阵的定义是唯一的；而对于广义逆来说，对于不同的目的有不同的定 义 a x a = 4( 1 1 ) 黑龙江大学硕十学位论文 x a x = x ( 以x ) = j 4 x ( x a ) = x a a x = x a ( 1 2 ) ( 13 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) a 。= a ( 抖1 ) x ( 16 ) 广义逆的类型有很多，对于( 1 1 ) 一( 1 ，6 ) 六个矩阵方程，同时满足( 1 1 ) 一( 1 4 ) 的 x 称为a 的m 一尸逆，满足( 1 1 ) 一( 1 4 ) 中( i ) 0 ) 的x 称为a 的“，) 一 逆；如 1 ) 逆， 1 ，2 ) 逆， 1 ，3 ) 逆等，同时满足( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 5 ) 的x 称为a 的群 逆，同肘糖足( 1 2 ) ( 1 5 ) ( 1 ，6 ) 的x 称为 的d r o z m 一逆( 简记d 一逆) 等，同时还 有许多人们根据不同目的定义的广义逆，这里就不一一加以介绍了矩阵的m p 逆作为一种特殊的广义逆，需要同时满足四个矩阵方程，所以对矩阵m p 逆的 研究较为复杂本文即将其作为不变量进行研究 1 2 “线性保持问题”的研究 设f 是域，v 是f 上的短阵空间，常常被取作 厶( f ) ，& ( f ) 等。如果一 个映射，：矿一同时满足( 1 ) 和( 2 ) ： ( 1 ) ，( 一+ 门) = ，( 4 ) + ，( b ) ，v a ，口y ； ( 2 ) ，。( a 4 ) = a ，( a ) ，v a ua f 则称，是缌陛映射或缌眭算子特别地，当y = 时，也称，为线性变换当， 只满足上面的( 1 ) 时，称，是加法映射或加法算子；刻划从y 到w 的保持某些函 数、子集、关系，变换等不变量的线性或加法映射的结构的问题称为线性或加法保 持阐题 1 8 9 7 年n o b e n l u s 的1 1 1 】和k a n t o r 的【1 2 】是关于线性保持问题的最早文章， 之后一些研究线性保持问题的文章陆续出现，特别是近三十年，线性保持问题已成 为国际上矩阵沦领域中的热门研究课题之一线性保持问题在众多领域中具有应用 背景，许多学者做了大量的研究工作，因此产生了许多关于线性保持问题的文献 1 9 8 9 年曹重光教授在黑龙江大学自然科学学报上发表“局部环上矩阵模的保幂等 自同态 1 3 】 一文，引发了国内线性保持问题的研究，出现了一大批成果，参见文 献f 1 4 ，l5 1 等， 第1 童绪论 线性保持问蘑主要概括为以下四个类型：保持函数、保持子集，保持关系及保持 变换关于保持函数的一些结果可见文献【1 1 ，1 6 1 等关于保持子集是指设cy ， y 上的线性算子，满足，( w ) 彬相关文章有f 1 7 ，1 8 】等关于保持关系的线性 问题，在文献1 1 9 ，2 0 j 中研究了保交换的线性算子， ，一_ 尸逆的保持问题也属于 保持关系方面的问题关于保持变换的文章有c h a n 等分别在文献 2 1 】和【2 2 】中考 虑了保幂及保矩阵伴随的线性算子的问胚 加法保持问题是线性保持问题的推广。加法保持问题的研究是一个崭新的领 域，也可类似干线性保持问题的分类将其分成保持函数、保持子集、保持关系及保 持变换四个主要类型加法保持问胚可追溯至1 9 9 1 年，mo m l a d i e 和p s e m r l 发 表的文献( 2 3 1 些相关的结果可见文献 2 4 l 3 2 加法保持问题的研究是一个崭 薪的领域，选择新的更加有意义，有背景的不变量，寻我各种不变量保持的内在联 系，寻找更有效的般化的处理方法以及特殊技巧等等都是尚待研究的课题 1 3 t 矩阵广义逆保持问题”的研究 对于两个矩阵集合v ，若有算子，满足，：y w ，当x 为a 的某一广义 逆时，均有，( x ) 是，( a ) 的相应广义逆，我们称，是保持矩阵这一广义逆的 把各种广义逆作为不变量的保持闫题一直都是一些研究者感兴趣的问题，见文 献f 2 4 卜( 2 7 j ，f 3 3 j 4 2 】及 4 5 卜f 4 9 文献( 3 8 j f 4o j 垒面地刻画了l 靠( f ) 到n 厶( f ) 的保矩阵m p 逆的线性算子的形式文献1 2 4 】和 2 5 1 分别考虑了岛( f ) 到冀( f ) 和 矗( f ) 到 矗( f ) 的保矩阵m 一尸逆的加法映射文献【2 6 】考虑了不同矩阵集 合之间的保矩阵m p 逆的加法映射的形式；而【2 4 卜【2 6 】仅在c h f 2 条件下进 行保矩阵m p 逆的研究对于对称矩阵，【2 5 ，2 6 】研究了特征不为2 时的m p 逆保持问题；i 4 3 ，4 4 】研究了特征不为2 时的逆保持问题；文献f 3 3 ，3 6 ，4 6 ，4 7 】对于 特征为2 的主理想整环上的 l 一逆和群逆保持进行了刻画；文献f 4 1 ，4 2 ，4 8 ，4 97 刻画丁特征2 的域上群逆，幂等保持的映射形式 特征2 的域上对称矩阵保持m p 逆的线性算子是什么形式哪? 这是本文考 虑的主要问题虽然文献3 3 ，3 4 j 巳经在其它广义逆保持问厨研究中使用将算子归 结为幂等保持算子的方法，但这一方法对于域的特征2 的条件下 f p 逆的保持 研究并不奏效本文采取直接研究矩阵m p 逆保持算子的办法首先刻画了晶( f ) 到 “( f ) 的保矩阵m 一尸逆的线性算子的形式，从而刻画了晶( f ) 到晶( f ) 的 保矩阵m p 逆的线性算子的形式，应用s ( f ) 到s ( f ) 保矩阵一p 遂的线 黑龙江大学硕十学位论文 性算子的形式；运用扩展技术，最终给出了特征2 的域上a 奴( f ) 到 ，n ( f ) 的保矩 阵m 一尸逆的线性算子的完整形式，改进并推广了 3 9 的结果 1 4 本章小结 在本章中，简要的介绍了矩阵m p 逆的定义及重要历史发展，线性保持问 题的发展及现状以及关于矩阵广义逆的保持问题的定义及发展趋势等 第瞳特征2 的域上保对称阵m p 逆的线性算子 第2 章特征2 的域上保对称阵m p 逆的 线性算子 本章中f 表示特征为2 的域，表示保持矩阵m p 的线性算子，l 表示 全体保持矩阵m p 逆的线性算子构成集合，r 表示l 中保矩阵m p 逆的可 逆线性算子的集合 2 1 & ( f ) 到品( f ) 的保矩阵m p 逆的线性算子 本节我们要首先刻画最( f ) 到 厶( f ) 的保矩阵m p 逆的线性算子的形式， 然后再通过限制映射的像到最( f ) 中，得到晶( f ) 到晶( f ) 的保矩阵m p 逆的 线性算子形式，为此先介绍下面几个引理 尸a 尸一1 = ，。= ( 善孝要墨) 引理2 2 设q l ，啦，口3 ，口4 为f 中四个不同的元素，若有a + 缸b + 酲g + 蠢d = d ( ：1 ，2 ，3 ，4 ) 对a ，b ，g ，d m j ( f ) 成立，则a = b = g = d = 0 证明设 = 。圩) ，b = ( ，) ，g = ( ) ，d = ( 南) 坛。( f ) 由 + 弧b + 程g + 程d = o ( = l ，2 ，3 ，4 ) 可得到： 口l l + 吼“l + g c l l + 爵d “= o t r ，r r t ，- j + q l b + 西。甜+ 井南= o ( 2 1 ) o 。+ q 1 6 m + 酊c 。+ q 如。= o 一5 一 墨垄堡查兰堡兰堡丝茎 ( 2 1 ) 至( 2 4 ) 相当于： n 1 1 + q 2 6 1 1 + 孝c l l + 醴d l l = o o 巧+ 啦幻+ 程c 玎+ 醴d 玎= o 。+ q 2 k 。+ q ；。+ 旌d 。= o 0 1 1 + 9 4 6 1 1 + 矗c l l + 贡血l = o + 驰+ 靠+ 南= o 。+ 吼6 n 。+ 馥c 。+ 酲如。= o 有解： x = ( ，奶) 7 ，j 【1 ，n 1 再由 d 1 p l l 仡 1 p 3 1 m = ( 劬一q 1 ) l s l 0 由引理 f 22 1 1 ，( 历1 ) ，( 岛z ) = ，( 易2 ) ，( e 1 1 ) = 0 左乘r 右乘f 守1 后，将( 22 1 ) 带入计算后得到。= o ，b = o ，g = o ，d 为任意 的( 一1 ) ( 一1 ) 非零阵令存在p l g l 加一1 ) ( f ) ，p 1 d 只- 1 = f 1 1 ，取 马= ( 1r ) r 卅吲( 1 可，) 得到： b ，( e 1 1 ) 耳1 = e 1 l ，p 2 ，( e 2 2 ) 只- 1 = 易2 类似考虑，( 最”) ，( r 。) ，可知存在p g k ( f ) ，使得 p ，( b 。) p = 最。v t f l ，n 引理( 2 4 ) 证毕 p ，( ) 尸一= 铡+ 岛+ 琢 ( 2 2 6 ) 尸，c 。圩，p = ( 嚣：髫；) 。卯， 黑龙江大学硕十学位论文 m 嘴1 = 卜疆卜。， 第2 章特征2 的域上保对称阵m p 逆的线性算子 删牡旧 口伽 0 l i 。抽 吒1q n 叠+ 吒1 嚷n i l 口嚣o o吒1 + 口磊1 q k 1 o 云1 嚎1 口玎 o 曝 n 讷 m k o ( 23 4 ) 比较( j ，k ) 位置元素得到n i l o 认= 呜k ，即“讯“幻= 叼得到n “射，三者间关 系取0 1 2 ，+ 岫。，就可以表示所有的了取p 0 = 出。口( 1 ，1 2 ，0 1 。) ，p 一1 = n = r n ，则 ，( 1 ) = p 1 p 一1 下面证明p 尸= 口厶由于任意a 晶( f ) 均有； ( ，( a ) ，( a ) + ) = ，( a ) ，( 4 ) + 从而得到 尸p 4 a + = a a + 尸+ p ( 2 3 5 ) 取l = 玩，得到p | p = 击a 口( p l ，m ) 下面分两种情况讨论p 1 = 陬 ( 1 ) 若f 中存在z o ，且l + 矿z 0 ，即矿z 1 ；取 a = z 岛+ d j + 旷1 易j 以+ 譬f ( 1 + z z ) ( 1 + ( z + z ) 一1 ) j - 2 ( z 置 + d 玎+ ( t ) 一2 易j ) 则有： 4 ，4 + = ( 1 + z z + ) 一1 ( 1 + ( 矿z ) 一1 ) 一1 ( ( 1 + z r ) + ( z + ( ) 一1 ) f 2 3 6 ) 十( z 一1 + z ) 弓。+ ( i + ( z 。j 一1 ) 炀j ) 、 、j 、，。，。一 、j，jiiil = 黑龙江大学硕十学位论文 将( 2 3 6 ) 带人( 2 3 5 ) 计算得到戤= 胁，因为i ，j 是任意选取的，得到 p l p = n i 。 ( 2 ) 若对f 中一切t o ，均有矿z = 1 取p = 扫“) ，p = ( 西：) f ，孚跏 p 尸= 出钾( p 1 黝 p 孰m 上式仅考虑对角线位置由z = 1 易知。当”为偶数，p 1 一- = h = 0 ，p + 尸= c ) 与】p 可逆矛盾；当n 为奇数时，p i r = m = l ，p p = ，所以无论( 1 ) ，( 2 ) 中哪种情况， p p = 8 i 。 定理( 2 6 ) 证毕 推论2 7 设f f 2 ，f 4 ，若，口且，：( f ) 一岛( f ) ，则存在可逆矩阵 p 以及n ，6 f ，使，( a ) = p a p 一1 ，v 4 s ( f ) j 其中p + p = n 矗，尸丁p = 占厶， 证明 推论前半部分，由定理( 2 6 ) 可知下面证明j d 7 p = & & 由于 ，( 以) 之p a p 一1 s 札( f ) ，( a ) t = ，( ) 知t ( p 丁) 一1 月尸t = p 4 尸一1( 23 7 ) ( 23 7 ) 左乘尸了1 右乘p 得到； a p 了1 尸= 尸7 尸a ( 23 8 ) 由于a 的任意性。由( 2 3 8 ) 知。存在6 f ，使p 7 p = 6 ，n 推论( 27 ) 证毕 2 2 。( f ) 上的保矩阵m 尸逆的线性算子 引理2 8 设，为嘛( f ) 上的保矩阵 ，一p 逆的线性算子，则如下条件等 价： 第2 章特征2 的域【：保对称阵m p 逆的线性算子 ( 1 ) 厂= o i ( 2 ) 存在z 【l ，札 使得，( 最。) = d j ( 3 ) 存在t j 1 ，叫，使得，( e d ) = d 证明当，：o 时，可知，( 置i ) ；o ，v f 1 ，叫由( 1 ) 易知( 2 ) 成立 取任意z o ，( z 甄z ) + = z “局k 可以得到 ，( 。：e 觚) + = z 一1 ，( e ) + ，讥，l f 1 ，嘲 对于z j ，取z 0 ，1 ，由 ( 日；+ z e ；) + = ( 1 + 。z ) 1 ( 最，+ 石+ 马。) 和，为坛；( f ) 上的保矩阵m p 逆的线性算子，可得 ，( 日t + z ) + = ( 1 + z + z ) 1 厂( & t + z 吗：) 再由，( e t l + m 岛) + = ( 1 + z z ) 。，( 邑；+ z + 易：) 和，( 巨) = c ) 有式子； ，( _ e i ) + = ( 1 + z z ) 一1 ，( z 马。) 即 z 一1 ，( 弓。) ：= z ( 1 + z + 。) 一1 ，( 易。) 由z o ，石一1 。( 1 + 茁+ z ) 一1 ，贝4 ，( 易t ) = 0 又因为，( 岛i ) + = ，( 蜀；) ，得到，( 蜀) = d 由( 2 ) 易诞( 3 成立 当，( ) = 0 时，因为，( 局，) + = ，( ) 得到：，( 马t ) = 0 又因为 ( 既+ e o + 马；) + = ( + 玛t + 马】) 和，的性质可知： ，( 最；+ 最，+ 马，) + = ，( ( 最t + 置，+ 易，) + ) = ，( 岛+ 易。+ 易，) 又，足线性的和，( 历。) = ，( ) = d 可得： ，( 既) + = ，( 马，) 即 l e 函 t 蜀| 1 f ( e t 0 = f t e 小 一1 3 黑龙江大学硕十学位论文 f i e l a f t e 小 t e a = t e 3 0 由引理( 2 4 ) 中，( 最，) ，( 马，) = ，( 日；) ，( 易j ) = o 得 ，( e ，) = c ) ，( ) = d 类似( 2 ) 得到( 3 ) 的方法得到： ，( 且* ) = ，( 易) = 0 ，v 【1 ，r t 】 当z 或j 时，由，( 且r ) = o 或，( 马女) ：0 ，重复上面的步骤可得： ，( 玩k ) = o 同理，( 及1 ) = d ：可以推出，( 吸t ) = o ，v 女。f 1 1 ，玎 ，则，= o 即( 3 ) 可证( 1 ) 成 立 引理( 2 8 ) 证毕 下面给出 厶( f ) 上的保矩阵m p 逆的线性算子的形式 定理2 9 设f f z ，f t ，为 靠( f ) 上的保矩阵m p 逆的线性算子，则r 为下列形式之一： ( 1 ) ，= 0 j ( 2 ) 存在p g “( f ) ，n f 使，( ) = j 口a p 一， 靠( f ) ，其中p t p = o k i ( 3 ) 存在p g l 。( f ) ，口f 使，( a ) = 尸a 了1 尸，v a 帆( f ) ，其中p + p = o 厶 证明由引理( 28 ) 的证明可以得到( 1 ) 下面在，o 的情况下证明( 2 ) ，( 3 ) 当t 3 时，取互不相等的z ，j ，【1 17 1 ，又有 ( e “+ q e ，) + = n k + q 1 马。= 既k ，= 马。 由，p 知 ，( 玩k + 口e 。) + = ，( 取k + g “) ，( 砜) + = ，( 夙k ) ，( 玩) + = ，( 马t ) 令 a = i e k 心，b = t e l 3 1 ，c = t e j t ) 第2 章特征2 的域上保对称阵m p 逆的线性算子 由引理( 2 3 ) 得到 ，( 玩女) 2 ，( 岛) 十，( 岛) ，( ) 2 = 0 ，( 既e ) ，( 岛) ，( 鼠i ) = d 再从引理( 2 4 ) 知：存在p l g l 。( f ) 使得 p l f l e k 0 p i l = e t k 删骈1 = ) a 妒= 勘 ，。妒皆 - ( o 2 ( 2 3 9 ) ( 24 0 ) ( 2 4 1 ) ( 24 2 ) ( 24 3 ) ( 24 4 ) ( 24 5 ) ( 2 4 6 ) 黑龙江大学硕十学位论文 或 尸1 ，( ) 耳1 = 或 易 当n ，( 岛) 斤1 = 。岛时，在n 3 时，取= 最，+ 马，+ 既k + d 。+ d 谴+ 口酊， ，+ = ，由，( ) 3 = ，( ) 得到旗= 越；。) 8 轻) ；在n = 2 时， 由，( ) 。2 ) 3 = ，( _ ) 1 2 ) 得到n j 2 ) n 鬟1 ) = 1 类似定理( 2 6 ) 的方法可将系数变为 1 当p l ，( 日，) 斤1 = n 妒局。时，也可将系数变为1 于是存在尸g l 。( f ) 使 尸，( e ：) p 。= b 。同时，( ) 的形式为( 24 7 ) 之一： p ，( 岛) j p 一1 = e j ，p ，( 岛) p 一1 = 局；( 24 7 ) 由定理( 2 6 ) 知t尸，( d o ) 尸_ 1 = d o ，即 p 0 e t 3 、p t = e q ，p f i e | a p l = e n 或 p 0 e 4 如p t = e n ，p i e i 0 p 一1 = e q 由于 ( 黾+ 岛+ 魄) + = 既+ 马，j 一晶， ( 日。+ 历，+ 及：) + = r ：+ + 置 得到 ，( 忍t + + 忍k ) + = ，( 毋，+ 马，+ 邑，) ，( 局 + 马；+ 最 ) + = ，( b + 岛+ 最女) 若 p 0 e t 3 、p 一1 = e q ；p 0 e t 心p 一1 = e m 由( 2 4 8 ) 左乘p 一1 右乘p 得到： e 氓七e b = e 札+ e ”+ e h 由( 24 9 ) 左乘p _ 1 右乘p 得到： 臃，+ 吗k = 忍；+ 吗。+ 取 则得到 p t e t i 、p 。l = e i j ；p l e t 砖p 一1 = & k 一1 6 一 ( 24 8 ) ( 2 4 9 ) 第2 章特征2 的域上保对称阵m p 逆的线性算干 于屉厂作用于同一行上的基底得到的形式是类似的。同理可知： ，作用同一列上 的基底得到的形式也类似于是p ，( 岛) p _ 1 = 时，我们得到定理中( 2 ) 的形 式再取p ，( ) p “= 马，类似于( 2 ) 的证明我们就可以得到( 3 ) p p 的形式类 似定理( 2 ，7 ) 的证明 定理( 29 ) 证毕 黑龙江大学硕十学位论文 结论 本文主要研究对称矩阵集合之间的 ，一，) 逆线性保持问题矩阵的m 一i _ ) 逆 作为一种特殊的广义逆矩阵本身较其他广义逆复杂由于其应用是较广泛的，所以 以其作为不变量的保持问题是有着实际意义和理论价值的 本篇论文足在域f 的特征为2 ，且f 不为f 2 ，f 。条件下完成的，而且在整个 论证推理中，这两个条件足必不可少的，在f 为f ：，f 4 的条件下的证明方法将会 有很大区别，难度也许会增加 本文在第2 章中首先刻画了s 。( f ) 到s 九( f ) 的保矩阵m j p 逆的可逆线性映 射形式；从而通过限制映射的像，到r ( f ) 中得到r ( f ) 到s n ( f ) 的保矩阵 ，一d 逆的可逆线性映射最后通过扩展s 。( f ) 上的保矩阵m p 逆的可逆绕陛欧射的 结果，改进并推广了 厶( f ) 到 矗( f ) 的保矩阵m p 逆的线性映射的形式 由于c f = 2 的域上对称矩阵m 一尸逆的刻画与其他的广义逆不同：因为在 域f 的特征为2 的条件下，无法将所研究的问题最终归结为保幂等算子，所以本 文采取寻找一些特殊矩阵直接计算的方法来刻画保矩阵m 一_ p 逆的算子 下面足几个与本文相关的公开问题， 1 本文刻画了s ( f ) 上的保矩阵m p 逆的可逆线性映射。而关于& ( f ) 上 的保矩阵 ，一| ；) 逆的线性映射去掉“菲退化”条件的情形仍未解决； 2 本文刻画了叉( f ) 上的保矩阵 ，一p 逆的可逆线性映射，而关于不同对称 矩阵集合之间m p 的保持问题仍然是公开问题； 3 本文是在f f 2 ，f 4 情况下，刻画蜀( f ) 上的保矩阵n ，一p 逆的可逆线 性映射；当f = f z ，f 。时，关于最( f ) 上的矩阵m p 逆的保持问题还未解决 另外，值得指出的是最近有关保持问题的研究很大程度上开始倾向于t 1 块矩阵空间之问的保持问题，参见文献f 5 0 1 ； 2 去掉对映射或算子的限制，例如去掉“线睦或加法条件”、“去掉双射单 射、满射条件”等，或者直接刻画一些矩阵空问和子集上的乘法映射、同构和同态 映射，例如约当同态、半群同态等，参见文献【5 l 】一 5 6 】； 3 ，对域的限制尽量减少或把问题扩展到环上，参见文献【5 7 ； 4 寻找一些新的更加具有实际意义不变量，例如李积、约当积等，参见文献 5 8 ，5 9 ，6 叫 当然若能在上述条件下把问题做到不同矩阵集合之间将足很有意义的 参考文献 参考文献 1 】e ，h m o o r e o nt h er e c i p r o c a lo ft h eg e n e r a ld g e b r 缸cm a t r i x ( a b s t r a c t ) 【j 1 b u i ia m e r m a t h s o c i e t y l1 9 2 0 ，2 6 ：3 9 4 3 9 5 2 】e hm o o r e g e n e r a la n a l y s i s 【m 】p h i l a d e p h i a ：a m e r i c a np h i l o s o p h i c a ls o c i e t y 1 9 3 5 f 3 】r ，p c n r o s c ag c n e r a l i z e di n w r s ef o rm a t r i c e s ( j i p r o c c a m b r i d g eh i l o ss o c 1 9 5 5 5 1 ：4 0 6 4 1 3 ， 4 】mp d r a z i n p r e u d oi n v e r s e si na s s o c i a t i v er i n g sa n ds e m i g r o u p s 【j 】 a m e r m a f h m o n 啦i y ，1 9 5 6 ，6 5 ：5 0 6 5 1 4 5 】v l o v s n a g y ，d l p o w e r sar e l a t j o nb e t w nt h em o o r e p e n r o s e 虮dc o m m u t i n gr e c i p r o c a li n v e r s e s ms i a mj a p p lm a t h ，1 9 7 3 ，2 4 ：4 4 4 9 6 】g ，l c h e n ，gm l i u ，y f x u e p e r t u r b a t l o na n a l y s i so fg e n e r a l i z e db o t t - d u 毋n i n v e r s eo fk z e r om a t r i c e s i j l i n e a ra n dmu l t i l i n e 8 ra l g e b r a ，2 0 0 3 ，5 1 ( 1 ) ：1 1 2 0 1 7 sz h a n g ac h a f a c t e r i z a t i o na n dd e t e r m i n b n t 越f o u m u l af o rt h eg e n e r a l i z e d i n v e r s c l 笋：a n dl t s 印p l i c a t i o n s j a p p lm a t h c o m p u t ，2 0 0 5 ，1 2 5 ：2 6 1 2 6 9 8 】cr r 且o ，sk m i t r a g e n e r 出i z e di n v e r s eo fm a t r i c e sa n di t sa p p l i c a t i o n s f m 】 w i l e y ，n e w 、b l k ，1 9 7 1 9 】王松桂，杨振海，广义逆矩阵及其应用 m 】北京工业大学出版社，北京，1 9 9 6 1 0 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a tp r e s e r v ep a i r so fm a t r i c e sw h i c hs a t i s f ye x t r e m c r a n kp r o p e r t i