（基础数学专业论文）曲面等距嵌入的若干有关问题.pdf

摘要 本文首先将给出带平面边界的一类凸曲面的非无穷小刚性这个结果表明如 果带平面边界的凸旋转曲面的g a u s s 映照像覆盖了某个半球，这曲面对于保持平 面边界的无穷小等距形变来说可能是非无穷小刚的。在此基础上，给出一个非无 穷小刚且非整体刚的例子。 其次，我们讨论一类退化椭圆方程的解的正则性：解的解析性的证明。然后 将其应用到一个几何问题中。 最后，对a l e x a n d r o f f 正环面在三维欧氏空间中的实现作了初步的讨论，给 出阶段性的成果。 关键词：带平面边界的凸曲面，无穷小刚性，整体刚性，退化椭圆方程，正 则性，解析性，a l e x a n d r o f f 正环面，等距嵌入。 a b s t r a c t i nt h ef i r s tp a r to ft h ep r e s e n tp a p e rt h ei n f i n i t e s i m a ln o n r i g i d i t yo fac l a s so f c o n v e xs u r f a c e sw i t hp l a n a rb o u n d a r y ，i sg i v e n t h i sr e s u l ts h o w st h a ti ft h ei m a g e o ft h eg a u s sm a po fa ne v o l u t i o nc o n v e xs u r f a c ew i t hp l a n a rb o u n d a r yc o v e r ss o m e h e m i s p h e r e ，s u c has u r f a c em a y b eb eo fi n f i n i t e s i m a ln o n r i g i d i t yf o rt h ei s o m e t r i c i n f i n i t e s i m a ld e f o r m a t i o no fp l a n a rb o u n d a r y m e a n w h i l ew ep r e s e n tak i n do f c o n v e xs u r f a c e sw h i c ha r eo fi n f i n i t e s i m a l l yn o n r i g i d i t ya n dg l o b a ln o n r i g i d i t y s e c o n d ，t h ea n a l y t i c i t yo fs o l u t i o nt oac l a s so fd e g e n e r a t ee l l i p t i ce q u a t i o ni s o b t a i n e d a n ds o m ea p p l i c a t i o ni nag e o m e t r i cp r o b l e mi sp r e s e n t e d f i n a l l y , w e d i s c u s st h er e a l i z a t i o no fa l e x a n d r o f f sp o s i t i v ea n n u l ei n t or 3a n da t t a i ns o m e e l e m e n t a r yr e s u l t s k e y w o r d s ：c o n v e xs u r f a c ew i t hp l a n a rb o u n d a r y ，i n f i n i t e s i m a lr i g i d i t y ， 斟o b a lr i g i d i t y ，d e g e n e r a t ee l l i p t i ce q u a t i o n ，r e g u l a r i t y , a n a l y t i c i t y ，a l e x a n d r o f f s p o s i t i v ea n n u l e ，i s o m e t r i ce m b e d d i n g 1 i 第一章综述 1 1 历史背景 微分几何一开始研究平面和三维空间中的曲线和空间中的曲面。逐渐地，研 究对象变得越来越深入。r i e m a n n i a n 流形的概念，即带正定度量结构的抽象流 形，由r i e m a n n 在1 8 6 8 年的就职演讲中提出。自然的问题是一个r i e m a n n i a n 流形是否是某个欧氏空间的具有诱导度量的子流形。即 对于( m “，g ) 是否| ：m “卜r q ，使得扩( 危) = g 这儿h 是标准度量 如果西是嵌入，则称是等距嵌入；如果浸入，则称西是等距浸入合起 来称为n 维流形在q 维欧氏空间中的实现，这在微分几何中有着基本的重要性。 除了等距嵌入的存在性问题外，另外一个重要的问题就是等距嵌入的唯一 性，即整体刚性它们之间的关系类似于偏微分方程中解的存在性与唯一性之间 的关系 定义1 1 1 我们说一个r 3 中的曲面尹是整体刚的：如果另外一张曲面r ，与f 之间存在一个等距映照，则r 是，的刚体运动或反射r 或刚体运动加反射j 。同 时我们称r ，与尹相互对合。 在上述定义中映照一般要加上一定的正则性。 第三个是无穷小刚性。这在求解等距嵌入问题时所遇到的线性化问题有着非 常重要的作用。 本文重点放在二维曲面在r 3 中的上述有关问题，下面我们将简单地回顾在 这个领域的一些重要发展。 在【1 2 】中w e y l 提出了所谓的w e y l 问题：即正曲率的球面在r 3 中的等距 嵌入，他建议使用连续性方法，并给出了开的部分的证明在 1 3 】中l e w y 完成 了解析情形的闭的部分a l e x a n d r o f f 1 4 1 用凸多面体的办法讨论了类似的问题 n i r e n b e r g 和p o g o r e l o v 分别在 1 5 1 6 】独立地证明了光滑的情形。在 1 7 1 8 】中 g u a n , l i 和h o n g - z u i l y 独立地推广到非负情形其唯一性的结果首先由c o h e n v o s s e n 2 】得到，h e r g l o t z 1 9 】给出了一个非常简单的证明b l a s c h k e 7 】证明了闭 凸曲面的无穷小刚性 第一个关于双曲平面在r 3 中的实现的整体结果是由h i l b e r t 2 0 】得到的，他 证明了双曲平面没有在印中的等距浸入如果r 足够大。e f i m o v 在文 2 l 】 中推广了他的结果：将条件放宽至k 一a ，这儿a 是一正常数上述关于负 曲率曲面的结果都是否定的h o n g 于1 9 9 3 年在 2 2 l 给出下列存在性定理：单 连通光滑( m 2 ，g ) ，k o ， ：k = a 丌 ( 1 ) 在a a 的任一分支上 k = 0 ，d k 0( 1 1 2 ) 且 ik g d s = 2 丌, i e x pc ：- i l sk g d s = 。( s ) 平行地，就局部等距嵌入问题而言，相应的结果见【2 3 2 4 2 6 h 2 7 【2 8 】【3 1 。 1 2 主要结果 在本文的第二章，我们研究一类带平面边界的凸曲面的无穷小刚性对于带 边曲面尹，如果没有对边界上的形变的限制，通常它不是无穷小刚的( a l e x a n d r o f f 正环面是个例外) 记该平面的法向量为云，f 是其形变矢量 ( f ，后) = 0 在尹的边界上 ( 1 2 1 ) 假设石是给定的光滑凸旋转曲面的旋转轴的单位矢量，循着c o h n v o s s e n 的思路 7 1 ，能被表示如下形式 ：f = 让e + s ( u ) d ( ) u n ，6 这j l a 0 b ，( 1 2 2 ) s c 。a ，6 ) ，s ”( u ) 0 1 0 定义了类似于f i c h e r a 数的特征数d 。( = 1 ，2 ) d l = i 几止。( 互1 。1 l d z = 仇氐( 6 l - 秒1 ) 定义1 - 2 1 我们说在p 点具有l 2 ( 日1 ) 一亚椭圆性，如果对任一p 的邻域， 0 ) ，都存在p 的另一邻域，o 。( p ) co ( p ) 使得当u l 2 ( 日1 ) ( 0 ( p ) ) 且l u c 。( o ( p ) ) ，u c 。( o ( p ) ) 文 2 9 3 0 】应用微局部分析得到如下结果： 定理如果d 3 ( d 2 ) 0 ，则算子l 具有驴( 日1 ) 一亚椭圆性 对于严格椭圆型微分方程，b e r n s t e i n 3 2 1 和m o r r e y n i r e n b e r g 1 1 1 证明了如 果所有数据解析，则方程的解也是解析的。证明见 1 l 】，本文将上述结果推广至蜕 型线为特征的方程 定理c 对方程( 1 2 7 ) 如果系数和，都是解析的，且d 2 0 ，则方程在日。( g ) 中的解也解析 3 复旦大学博士学位论文 作为上述两个定理的应用，我们证明了以下的矢量场微分方程 扩抒= q ( 1 2 8 ) 这儿f 是定义在t = s 1 0 ，1 上的r 3 中的一张c r 。( c “) 曲面，其诱导度量 口= d 产满足a l e x a n d r o f f 的假设，q = q 。，d u 2 d u j 是一e o 。( e “) 二阶对称张量。 以下用到的聪是c h r i s t o f i e l 符号。 令o 1 = s 1 o ) ，o * 2 = s 2 ( 1 ) 定理d 如果对j = 1 ，2 r1 7 允南( o i 蚴一0 2 q “孙j k l i q 2 蹦= 0 ( 1 2 9 ) 记 叫( p ) _ 鬈而2 ( o t q 2 i - - 岛q i t + f 袅q l k - f 姚2 这儿p ，p o 吖。 互o i f f g i k ( q l k u 2 - - q 2 k u i ) 侥f + i 1 训俩2 地) = 。 ( 1 2 1 0 ) ( 1 2 1 1 ) 这儿= ( 1 ，地) 是8 t 的单位外法向则( 1 2 8 ) 存在的解f c ”( g r “) ，且在 相差尹的一个刚体运动下是唯一的 这是解决在r 3 中实现a l e x a n d r o f f e 环面的第一步，本文的第五章我们将给 出有关a l e x a n d r o f f 的正环面的一些初步结果。 4 第二章一类带平面边界的凸曲面的无穷小刚性 2 1 导言 令f 是在r 3 中一张光滑闭曲面的位置矢量，磊是其形变，i e ，r 3 中 一族曲面使得而= f ，那么我们说厩产生f 的一阶形变，如果诱导度量g c = ( d 最，d 磊) = d 产+ 0 ( 2 ) 。因此， ， 杀( 妩，妩) = o 在扛0 ( 2 1 1 ) 设在t = 0 ，f = ( 盟d t ) ( 2 1 1 ) 等价于 ( d f d e ) = 0( 2 1 2 ) 我们称f 无穷小形变矢量，或简称为形变矢量。显然，尹的任一刚体运动，f = 彳尹+ 宜，这儿互和宜为任意常矢量，总是( 2 1 2 ) 的解，我们称这样的解为平 凡解。如果( 2 1 2 ) 没有非平凡解，曲面f 被称作无穷小刚的。 对于带边曲面尹，如果没有对边界上的形变的限制，通常它不是无穷小刚的。 因此我们需要加上一些条件： b ( 而= 0 在珀q 边界( 21 3 ) 由尹的刚体运动生成( 2 1 3 ) 的解依然被称作平凡解。如果边值问题( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 没有非平凡解，依然被称作无穷小刚曲面据作者所知，对于无穷小形变的一 般的限制( 2 1 3 ) ，已知的结果非常少，除了对凸映照 6 】。所谓的凸映照，就是 一张带平面边界的凸曲面，从此曲面到平面的投影是一一映照。记该平面的法向 量为， 6 】证明了这样的带边凸映照 ( f ，女) = o 在，的边界上( 2 1 4 ) 是无穷小刚的注意到任何凸映照的g a u s s 映照像都被包含在半球内。这篇论文 的目的是研究一般带平面边界的凸旋转曲面的无穷z l , n ) j 性。这些研究与正圆盘在 r 3 中的等距嵌入密切相关这篇文章的研究结果表明如果g a u s s 映照像覆盖了 某个半球，在( 2 1 4 ) 之下，这张带平面边界的凸旋转曲面有可能是非无穷小刚 的因此这个结果告诉我们当我们处理正圆盘在r 3 中的等距嵌入时，如果边界 上的测地血率并不总是非负，连续性方法将遇到困难，具体细节参见 4 ，【6 】假设 i 是给定的光滑凸旋转曲面旋转轴的单位矢量，循着c o h n v o s s e n 的思路 7 】， 能被表示如下形式 e ：尹= u k + s ( u ) a ( ) i , a ，6 】这j l a 0 b ， ( 2 1 5 ) 5 复旦大学博士学位论文 s c 。( 口，6 ) ，s ”( u ) o 和s ，( 0 ) = 0 s ( o ) = s ( b ) = 0( 2 1 6 ) 这儿口是的大圆( 这正好是u = 0 对应的v 一曲线) 的弧长参数，同时 云上万( u ) 和 a ( u ) f = f ( ) l = 1( 2 1 7 ) 对每一个u ( a ，b ) ，设 。+ = 以“，v ) l a u “ )( 2 1 8 ) 这篇论文讨论的是在( 2 1 4 ) 下，即在平面u = u + 上保持边界不变的形变之下 。的无穷小刚性，我们有 。 定理2 1 1 有一个具有极限点0 的非空可数集a = 让l ，啦，) c ( 0 ，b ) ，使得 如果仳$ a ，则e 。是非无穷小刚的 关于特殊情形= s 2 的一个结果洪家兴曾在一个会议上报告，见 4 此定 理是它的推广 2 2 基本方程 这一节的目标是导出与( 2 1 2 ) 等价的方程 首先由( 2 1 2 ) 可得 吒元= 0 元己+ 瓦元= 0 元元= 0 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 假设形变矢量场f ( u ， ) = a 云+ 廊+ ，y 酽下面我们将导出a ，卢和，y 满足的方程 组从 元= 膏+ s a 和焉= s 酽，( 2 2 4 ) 元= o 。k4 - 风万+ 讹甜( 2 2 5 ) 以及 元= q 。云+ ( 风一，y ) d + ( 卢+ ) ( 2 2 6 ) 为了得到( 2 2 6 ) 用到了( 2 1 7 ) 和( u ) = 一矗( ) 把( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 代入 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ，这样得到 6 复旦大学博士学位论文 7 o 。+ s 尻= 0 o z 。+ s 7 ( 风一7 ) + s 仉。= 0 卢+ 7 。= 0 分别对( 2 2 7 ) 和( 2 2 8 ) 求关于u 和的导数 o 。+ s 尻。= 0 o t 。+ s ”( 风一，y ) + s ( 风。一讥) + s + s 。= 0 对( 2 2 9 ) 求关于 的导数： 风+ - y 。= 0 f 22 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 ，9 ) ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) 在把( 2 2 1 2 ) 代入( 2 2 1 0 和( 2 2 1 1 ) 后消掉卢，再从( 2 2 1 0 ) 中减去( 2 2 1 1 ) 我 们有 s ”( 舶。+ 7 ) 一s 。= 0 将( 2 2 1 2 ) 代入( 2 2 8 ) ，我们有 乜。一s ( 。+ - 7 ) + s m 。= 0 ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) 注意边界条件：( f ，石) = 0 等价于o = 0 ，因此在“= “+ 时= 0 ，也就是 s ( 。+ - 7 ) 一s t u = 0 当u = “ 为了使最终的解f ( u ，口) = n 云+ 卢a + 1 甜光滑，1 应当满足 把1 用f o u r i e r 级数表示为 ，y ( o ，u ) = 0 o o 7 ( 札，”) = e ”( 珏) t = 一 这里砂一。= 币。那么( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) 被归结为 s ”( m 2 1 ) 妒。+ s 妒名= 0a 一! 宁西2 这儿嘲 = 1 ，2 如( 2 3 1 ) 和( 2 3 1 ) 所述 我们回到如下情形： 砂。= 皿l 并寻找符合要求的“+ 有 c ， ；= - k i + ( s ，) 2 】2 由g a u s s 方程，我们 ( 2 3 4 ) 1 0 复旦大学博士学位论文 因此( 2 2 1 8 ) 表明 币篇= ( m 2 1 ) k 1 + ( s ) 2 2 妒。，i t ( o ，b )( 2 3 5 ) 考虑这样的事实：在u = a 附近妒。 0 ，妒二 0 ，当u a 妒篇 0 。进一步，对 所有u ( a ，b ) 妒。，和砂篇皆为正通过反证法我们就能证明对所有“( a ，b ) 妒二 0 如果存在某a 0 ，因此在( a ，u 1 妒。 0 。由( 2 3 5 ) 我们有坛( u 1 ) 0 。这就 与u - 的定义矛盾接下来我们来找i t * 设 ( u ) = s ( m 2 1 ) 妒。+ s 妒-( 2 36 ) 注意到当乱 0 ，这是因为当u 0 ，当u a ，6 ) 时 s ( u ) 0 。对( 2 3 6 y 微分得到 危( “) = s ”( m 2 1 ) 妒m + s ( m 2 一1 ) 砂二+ s 妒：+ s 妒二( 2 3 7 ) 把( 2 2 1 8 ) 代入( 2 3 7 ) ，我们有当u o ，( u ) = m 2 s 7 妒名 o ( 2 3 2 0 ) 由轨的定义以及引理2 3 1 ，立即推出 蜘一y m = 2 ( 扁一m ) 心一n ) 【1 + o ( u o ) 0 当u n 和在a 附近( 2 ：3 2 1 ) 对( 2 3 2 j ) 积分以及( 2 3 2 2 ) ，我们有 ( 札) y m ( u ) 当u a 和南 m( 2 3 2 2 ) 注意h m ( u ) = s 妒麓【罟+ 1 】。由h ( u 。) = 0 可得詈g 。( 珏。) + 1 = 0 。这表明由 ( 2 3 2 3 ) 菩m ( 让。) + 1 詈。( “。) + 1 = o ( 2 3 2 3 ) 于是b ( 让。) 0 ( u ) 0 因此定理2 3 2 证明完毕 完成定理的证明只需证明 存在不依赖于m 的常数c 使0 c k ，则。非无穷小刚 令f = ( u + a ) + ( s + 卢) o + v a 7 ，这儿q = 一2 号产( s 妒+ ( m 2 1 ) s 妒) ， j 臼= m s i n m 口妒和，y = c o s m y 砂，那么 吒= ( 1 一m s i n m r s 妒) + ( 8 7 + ms i n m y 妒) o + c o s m y 砂a 磊= 一c o s m y ( s 妒+ ( r n 2 1 ) s 妒) + ( m 2 1 ) c o s m v c a + 8 a 这儿妒是下面的n e u m a n n 问题的解 1 5 嚣 啪哕 复旦大学博士学位论文 这儿 那么 令0 是i 的形变矢量， 3 2 基本方程 0 = + r a 十c a f = c m ”+ s i n n m ” n = o + o 。 q = q n , 1 c o s 扎m u + q n , 2s i n n m n = o + o o ( = c o s , t 7 , ”+ s i n n m ” 0 。= 已k + r u a + ( u o 矗= n = o 吼= n = 0 0 ，1c o s ；q d z v + 器2s i nn m v 砣，1c o s 2 m v + 瞻2s i n n m u + o o 矗= o 1c 。s n m ”+ o 2 s i n 扎m ” n = 0 ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 0 。= 矗+ ( 吼一( ) o + ( 厶+ q ) 口( 3 2 3 ) + o o 已= n m ( p 2 c o st , t n 一s i n n m ) n = o + o o 吼一( = ( n m t 坤一p 1 ) c o s , i t 0 一( p 2 + n m 矿1 ) s i n 扎m u n = o + o 。 o + 叩= ( 几m p 2 + 矿1 ) c 。s n m ”一( 几m p ”一矿2 ) s i n n m ” n = o 由凡既= 0 推出， ( 1 一ms i n m v s 妒) 矗+ ( s + m s i n m y 妒) 吼+ c o sm y 妒矗= 0 因此当礼22 一m s 妒器，2 + m e 坨，2 + 妒口，1 + 2 器一1 ，1 + 2 s 嚏一1 ，1 + m s 7 妒器一2 t 2 一m e 醒一2 ，2 + 妒0 2 ，1 = 0( 3 2 4 ) 1 6 复旦大学博士学位论文 m 8 7 妒7 器r l , ，1 一m 妒7 啦，1 + 妒7 q ，2 + 2 器一1 ，2 + 2 s 7 磁一1 ，2 一m s 妒器一2 ，1 + m 妒7 7 ”2 ，1 + 0 - 2 ，2 = 0 ( 3 2 5 ) 由凡0 。+ p 。= 0 推出 ( 1 一ms i n m s 砂7 ) 已+ ( s 7 + ms i n m 砂，) ( 吼一 ) + c o s m 砂( 0 + q ) + ( m 2 1 ) c o s m v q 。+ s 丘一c o s m v ( s o + ( m 2 1 ) s 妒) 矗= 0 因此 一( s 母+ ( m 2 1 ) s 妒) 船一2 ，1 + ( r n 2 1 ) 妒嘘一2 一一( n 一2 ) m 2 s 妒“一2 ，1 + 妒( ( 礼一2 ) m 2 - t - 1 ) 矿一2 ，1 + 妒m ( n 一1 ) ( “一2 2 + 2 ( “一1 2 ( n 一1 ) m + s ( ( n 一1 ) m r l “一1 ，2 一( “一1 ，1 ) + s 0 - 1 , 1 ) ) 一( s 妒+ ( m 2 1 ) s 妒) 器1 + ( m 2 1 ) 妒噱，1 + 几m 2 s 妒“，1 一妒( n m 2 1 ) 矿1 + 1 】 ，m ( n 一1 ) e “ 2 = 0 ( 3 2 6 ) 一( s 妒7 + ( m 2 1 ) s 砂) 器一2 ，2 + ( m 2 1 ) 妒q ：一2 一( 扎一2 ) m 2 s 妒“一2 ，2 + 妒( ( n 一2 ) m 2 + 1 ) 矿一2 ，2 一妒m ( 1 + n ) “一2 1 + 2 ( 一靠一1 ( 竹一x ) m s ( ( n 一1 ) m q ：一l 一( “一1 ，2 ) + s 0 1 ，2 ) 一( s 妒+ ( m 2 1 ) s 妒) 器2 + ( m 2 1 ) 妒惦，2 + 礼m 2 s 砂f “，_ 一妒( n m 2 1 ) 矿，2 一妒m ( n 一1 ) e “一2 1 = o ( 3 2 7 ) 因为吒钆= 0 ，我们有 c o s m y ( s , + ( m 2 一i ) s 7 妒) 矗( m 2 1 ) c o s m 口妒( 7 h 一( ) 一s ( 6 + r ) = 0 因此 一2 s ( ( n 一1 ) m ( “一1 ，2 + 矿一1 ，1 ) + n m ( s 妒+ ( m 2 1 ) s 7 妒) “，2 + ( 竹一2 ) m ( s 妒7 + ( m 2 1 ) 8 妒) f “一2 ，2 一( m 2 1 ) ( 仃m 矿一2 ，2 一( “一2 ，1 ) 7 一( m 2 1 ) ( 礼m 矿，2 一( “，1 ) = 0( 3 2 8 ) 2 s ( ( n 一1 ) m “一1 ，1 一r “一1 ，2 ) 一n m ( 8 币+ 妒( m 2 1 ) s 妒) f “t 1 一( 礼一2 ) m ( s 妒+ ( m 2 1 ) s 妒) f “一2 ，1 + 妒( m 2 1 ) ( 几m 矿，1 + ( “，2 ) + ( m 2 一1 ) ( 一2 ) m 矿- 2 ，1 + p _ 2 ，2 ) = 0( 3 2 9 ) 通过解方程组( 3 2 4 ) 一( 3 2 9 ) ，我们能得到关于p - ，叩”，- ，r ，- ，i = 1 ，2 的递推式 其边界条件为 p 4 ( u 。) = p 。( o ) = 0 r n , 1 ( n ) = p 4 ( o ) = 0 ( 3 2 1 0 ) ( 3 2 1 1 ) 1 7 夏旦大学博士学但论又 令“，i = 矿，。= p j = 0 ，n 2 ，i = 1 ，2 ，我们令这样的0 = 0 1 ，也就是说我们 把0 可改写为0 = 0 l + 0 2 引理3 2 1 存在0 1 使得抒d 口1 0 ，那么抒d 0 2 0 ，从而0 2 0 引理3 21 的证明放在本章的末尾。这样的0 不是毋d o = 0 的平凡解： c kxi c k ( ( 扎+ a ) 后+ ( s + 卢) o + 3 a 7 ) 一e 砂c o s m v a + e p + m 妒s i n m v ) a ( 3 21 2 ) 3 3 定理的证明 考虑( 3 2 4 ) ，( 3 2 7 ) ，( 3 2 8 ) 的齐次问题 一ms ，咖器，2 + m e 嵋2 + 0 1 = 0 ( 3 3 1 ) 一( s 1 】，+ ( m 2 1 ) s 妒) ：2 + ( m 2 一1 ) # j r ：2 + n m 2 s 妒7 “，2 一砂( 扎，n 2 + 1 ) r “一一1 】 7 m ( 1 + n ) ( “，1 = 0( 3 3 2 ) 黼( s 妒- i - ( m 2 1 ) s 妒) “，2 一( m 2 1 ) 妒( 礼m 矿，2 一( “1 ) = 0 ( 3 3 3 ) 边界条件p ，2 = 0 在世= 。考虑( 3 2 5 ) ，( 3 2 6 ) ，( 3 2 9 ) 的齐次问题 m s 妒器，1 一m e 坨1 + 妒7 嚣2 = 0 ( 3 3 4 ) 一( s 妒+ ( m 2 1 ) s 妒) 嚣，14 - ( m 2 1 ) 妒吃，1 + n m 2 8 妒“，1 一妒( n m 2 + 1 ) r ”，1 + 妒m ( z + n ) 1 因为矿2 c 2 ， 故珥n 五2 = ( k 1 ) ( u u m ) 2 2 + d ( ( u ? m ) 一1 ) c o 所以k 一2 0 将( 3 3 1 3 ) 中的l 替换为k ，我们有 n 8 一f m 2 1 1 3 + m s ( m 2 1 ) s 6 3 ( k - - l ) m s ( n ( n m - t - m ) m ( s ) 2 ( t r 2 _ 2 - - i ) 2 ) - - 2 m 2 ( s t ) 2 ( m 4 - - i ) 从上述表达式容易看出 引理3 3 2 对任一( 2 ) 以及对所有的自然数n ， 限3 i s ) 的解有如下估计 e i c ( m ) 2 1 设对任一k 2 ，e 不是( 3 3 1 3 ) 的解，若在u = 札。上哺，2 = 矿，2 = 0 可推 出”“，2 三0 由于在u = 钍。，0 1 1 = 0 ，所以6 1 镌2 + 铆“，2 = 0 ，同时 ( m 2 一1 ) 妒砣，2 一( 1 + 2 n m 2 + n 2 m 2 ) 妒矿7 2 = o 在= “。 令= 2 1 ) s ，砂= 一e s ，我们有 这儿 ( m 2 1 ) s 砣，2 + ( 1 + 2 n m 2 + 竹2 ，n 2 ) ( ，炉一1 ) s 矿2 = 0 a ( n ，e ) 碇，2 + 6 ( 礼，) 矿，2 = 0 o ( n ，e ) = ( 礼( m 2 1 ) 8 7 s e + ( m 2 1 ) 3 一( m 2 1 ) s 7 e 一2 m 2 一( m 2 1 ) ( m 2 1 ) 2 ( s ) 4 ；2 ) 6 ( 礼，e ) = 2 n m 2 一( m 2 1 ) 2 s ”s 一( 4 n 2 m 2 + n 2 m + 3 n m 2 ) ( m 2 一1 ) 2 m 2 一( m 2 一1 ) ( s ) 4 e 2 + ( 2 竹2 m 2 + n 2 m ) ( m 2 1 ) 2 一( m 2 1 ) s ( s ) 2 s e 2 复旦大学博士学位论文 若两个边界条件等价，则( 3 3 1 2 ) 的任一非平凡解都是符合要求如果两个条件不 等价，则有在仳= “。上碾，2 = 矿，2 = 0 ，如果同时对任意k22 ，e 不是( 3 3 1 3 ) 的解，则方程( 3 3 1 2 ) 只有平凡解矿，2 = 0 。等价性意味着 f ( n ，e ) = o ( n ) e 2 + 6 ( 礼) e + c ( 礼) = 0( 3 3 1 4 ) 这几 o ( n ) = 2 ( 礼2 仃；2 一1 ) ( ”t 2 1 ) 3 一( m 2 1 ) m 2 ( s ，) 5 + ( 2 n 2 m 2 + 礼2 m ) ( m 2 1 ) 2 一( m 2 一1 ) 2 s ”( 一) 2 s 2 一( 4 n 2 m 2 + n 2 m + 3 n m 2 ) ( m 2 1 ) 2 m 2 一( m 2 1 ) 2 ( s ) 4 s b ( n ) = ( 1 一n 2 m 2 ) ( n ( m 2 1 ) 2 ( s ) 2 s + ( m 2 1 ) 4 一( m 2 1 ) ( s ) 2 ) c ( n ) = 2 r i m 2 一( m 2 一1 ) 3 8 ”s 2 对( 3 3 4 ) 一( 3 3 6 ) 作类似的讨论，可以得到另外一个关于e 的一元二次代数方程， 以及仅与m 有关的常数我们不加区别依然记为f ( n ，e ) = 0 与c k 从引理 3 3 1 ，3 3 2 可得 引理3 3 3 如果对任一几 2 ，e 不是f ( n ，e ) = 0 的解，且h g ，p o 叫一 ( s s 6 ) 只有平凡鳋 引理3 2 1 的证明由够d o = 0 ，可得 2 器一m s 妒，2 + 2 s v o + m 妒记，2 + g 1 ，1 = 0( 3 3 1 5 ) 一2 s 7 p + 2 0 ，口2 2 0 f i i ) a ：g + ug u o ，记o = gn t = o ) ，g 一= g n0 o ) ，o g + = o u z t ，o g 一= z o u e t ，一t = g n 忙t ) ， e r ：g n t = t ) ，这儿t 是二个正常数。【1 0 】定义了类似于f i c h e r a 数的特征 数硖 = 1 ，2 ) d l = 饥，e 。( ；。；1 “1 ) d 2 = 伽，e 。1 一；o ；1 ) o 注记4 1 1 d 。b = 1 ，2 ) 的符号在如下的坐标变换下不变： z = 。，y2 危( z ，t ) t ， 这儿h ( x ，t ) 是光滑的非零函数 注记4 1 2 如果当t = 0 ，b 1 ；。；1 = 0 ，则经过一个奇异的自变数变换：22 t 方程心1 j ) 在新的坐标下变成一个非蜕化椭圆方程 考虑边值问题p ( q = 1 ，2 ) t 1 的边值空间： 丌1 ：ul ，= o ，p l 一t = u t l e t = 0( 4 1 2 ) t 2 的边值空间： 7 r 2 ：u f e t = 0 ( 4 1 3 ) 1 0 证明了这样的b v p s 具有f r e d h o l m 性， 【2 9 【3 0 】证明了l 2 一亚椭圆 性，所用的工具是微局部分析我们将证明如下定理 定理4 1 1 对方程似j ，如果系数和，都是解析的，且见 0 ，则方程在 h 1 ( g + ) 中的解也是解析的 复旦大学博士学位鱼塞 4 2从h 1 一亚椭圆性到l 2 一亚椭圆性 定理4 2 1 如果d 3 ( d 2 ) 0 ，则算子l 具有l 2 ( 日1 ) 亚椭圆性，这儿 d 3 i n 盎。( 6 1 一弘3 1 1 )( 4 2 1 ) 证明：在 1 0 h 1 一亚椭圆性已经被证明，仅需证明l 2 一亚椭圆性令妒= r u 一6 t d 。因为u