（基础数学专业论文）等离子物理中包络方程的奇异性摄动问题.pdf

摘要 本文分四章：第一章为引言；第二章研究非线性等离子波动方程的c a u c h y 问题的局部 解和整体解的存在性和唯性；并利用凸性方法证明此问题解的爆破第三章研究l 肌 收敛于极限方程n l s 第四章讨论初值无界的情况具体情况如下： 在第二章中，我们研究非线性等离子波动方程 击砰已一2 泡耽一玩= “l 既1 2 ) 玩， ( o f l ) 【蜀眩t 2 0 ) ( 矽) ，岛蜀( 为t 2o ) “( 妒) 的局部解的存在唯一性，其中日( 毛t = o ) ，晚e ，( z ，t = 0 ) 为已知的初始函数，上式方程组 中第一个方程筒记为( n l w “，) 为此，我们先研究对应线性方程的c a u c h y 问题 壶砰既一2 弛玩一瓦= “t ) ， ( o 2 ) 1 o ( 。，t = o ) h 8 ( 冗”) ，o t e 。( x ，t = 0 ) 嚣5 1 ( 冗“) 在证明了( 0 2 ) 的解的存在唯性后，利用压缩映射原理，得到非线性问题局部解的存在 唯一性，并用凸性引理得到( 0 1 ) 的解在有限时刻爆破的充分条件，其主要结果如下t 定理2 1 令玩伊( 舻) ，e 1 日8 1 ( 彤) ，则存在 0 ，使得具有初值乜( o ) = e o 和 国既( o ) = e 1 的方程n l w , 存在唯一解既c ( 【0 ，列；h 。) ，魂玩e ( 【o ，矧；俨一1 ) ，辞玩 g ( 【o ，t o ；h 。一2 ) ，而且 i e 。i i 驴( o ，妒) 有界，此界既依赖于t o ，又依赖于i i e o l l 伊和坚訾盟 定理2 2 假设非线性项满足 ( i u ( 1 他) f ( u 小( 0 ) = 譬一怒葛= 竽 则( 1 0 ) e ( o ) s0 ，卢= 一e ( o ) ，t t 品瑞幕， ( 2 0 ) e ( o ) 0 ，卢= 0 ，t ，t 0 f l = 0 ，t h e n t h e r ee x i s t st _ t 3 时方程( 工u 0 ) 击碑既一2 i o t e “，一日= 州既1 2 ) 日z 舻，t 0 的 解的性质当山一十o 。，( l 矸0 ) 极限方程为一2 i o t e a e = 川e1 2 ) e ，z 舻，t20 ，此方 程简记为n l s 并研究( n l w 。) ，( n l s ) 解的关系 本文将用到如下记号和结论。文中f 或符号亩表示对z 进行f o u r i e r 变换日5 表 示r 上的s o b o l e v 空间，它的范数定义为 | l u l l 日，= i i ( i 一霹) “| 1 = l i ( 1 + i 引2 ) 也m l 2 ( r ) 表示通常的铲空间， l 。= l i t , 1 1 引理1 1 假设u 日8 n l o o ，口日3 n l ”，c ( 置) ，七= 【s 】+ 1 ，0 o ，卢 0 ，a 0 ，b 0 且是常数若 h 7 ( o ) 丢【a 日( o ) + ( a 2 + a b ) h 2 ( o ) + 警】， 则h ( t ) + 0 0 ，( t + t s t + ) 其中r = h f 0 1 正【0 日7 ( o ) 2 2 a h ( o ) h ，( o ) 一b h ( o ) 2 一番县h ( o ) 】 由于文中运算需要，我们要引入与n l w , 线性部分有关的算子，用s g ( t ) e o 表示 的解用剐( t ) e l 表示 的解用s ( t ) e o 表示 篙o t e - 挈2 i o t e - 一。 意1 誓扎 - 2 l o r 驴e - 嘲a e = 0 ， 的解其中算子s g ( t ) ，s f j ( t ) e 1 ，s ( t ) e o 为f o u r i e r 乘子 ( 0 6 ) ( o 7 ) ( o 8 ) 删难，= 号另军葛笋e , , , 2 0 - 一l 气羞孚荔筝e u 2 ( 1 + 一邝埘 删功= 坐墨磊铲 f ( s ( t ) ) ) = e - - 2 2 ( 0 1 0 ) ( o 1 1 ) f 表示对。舻的f o u r i e r 变换由此，昆满足( 三) 当且仅当满足积分方程z 死 现= s 8 ，( t ) 玩( 。) + s ；f ，( t ) o r e s ( o ) + u 2z 2 础。一s ) 州日1 2 ) 既( 8 冲 及e 满足( n l s ) 当且仅当e 满足( j t ) 昱( ) = s ( t ) e ( 。) + ；f o ts ( t s ) ，( 1 昱1 2 ) 昱( s ) d s 2 第二章局部解和整体解的存在性及有限时刻解的爆破 2 1 局部c a u c h y 问题 在这一节我们利用压缩映射原理证明问题( 1 ) 局部解的存在性与惟一性 定理2 1 令e o 日3 ( 肜) ，e l h ”1 ( 形) ，则存在t o 0 ，使得具有初值风( o ) = e o 和 魂既( o ) = e 1 的方程l 矾存在唯一解已c ( 【o ，乃】；伊) ，a 玩c ( i o ，】；日5 1 ) ，a 玩 e ( 【o t o ；n ”2 ) ，而且0 b i l p ( 0 t o 妒) 有界，此界既依赖于t o ，又依赖于i i e o l l 。和j | 墨警! 引理2 1 若k t r 幻+ 1 粤，则死映如为 证明设蜀，k 7 ，c 表示表示可改变的正常效，由( 6 ) ( 7 ) 得 i i f ( s i ；，( t ) ) 0 护 i i f ( 钟( t ) ) i i l i ll l f ( 彤( t ) ) l l l 一 刮若筹焉雾硝l - 同丽+ 笺番孽等e i u 2 ( 1 + 厕丽护 s 型笔熊萨列， ，2 ：一 一舻 l 十瞎j 2 护 2 万万丽1 1 ， l 引瓦南= 瓦锄 2 顽再1 鳍1 下证算子掣( ) ，彤( 力有界 即证剐( t ) 是日5 一日8 有界算子，也是日”1 一日8 的有界算子础( t ) 是伊一日8 有界 算子 i i 础( t ) e i i h = 1 1 ( 1 一) f ( 彤( ) ) e o l ：= 1 1 ( 1 + i 1 2 ) f ( s ；，( t ) ) 雪0 l 。 s；1 、1 + j 引2 ) 啻0 工2 ；1 e o h ( 2 1 ) ( 2 ，2 ) 同时 i l s ( t ) e l l u -= 1 1 ( 1 + 悖| 2 ) f ( 钟( t ) ) 雪0 驴= 1 1 ( 1 + 悖1 2 ) 2 手( 1 + i f l 2 ) f ( 钟( ) ) 雪i i 弘 g - 1 1 ( 1 + 俺1 2 ) 2 亩8 l ：= c l i e l l 日，一- ( 2 3 ) i i s 3 ( t ) e i i h 一= i i ( x + i 1 2 ) 争f ( 础( t ) ) 雪i i l z 1 1 ( 1 + i 1 2 ) 亩i l l 。= i i e l l 日( 2 4 ) 为证定理2 1 ，我们要用到不动点定理，我们首先引入下列泛函 死# 剐o ) e o + s r i ( t ) e l + w 2 上并( t s ) f ( i e l 2 ) e o ) d s - ( 2 5 ) 3 则 而 又 故 i i t j l l l , o ，t ；h ) i i 剐( t ) e d l l , o ，t ；h - ) 4 - i i 础1 1 ( t ) e 1i i l ( o ，r ；1 - 1 。) + 0 2j ：凹( t s ) ，( 1 e 1 2 ) e ( s ) d sj “o ，r ；h ，) s | | e j i i h 。+ l l e l i i ( 。一1 ) + j ；0 。2 研8 一s ) f ( i e l 2 ) e ( s ) d s | f l ( o ，t ；h ) l t d s si i e o l l + c l i e , i i h ( 。一1 ) + j jjj y ( i e l 2 ) e ( 8 ) i i l ( o ，t ；j = r 。) l l d s ( 2 6 ) i i ( i e l 2 ) e ( s ) 0 l o ，；日t ) = j j 列e 1 2 ) 露( s ) i 伊 = e s u p ，i i f ( i e l 2 ) e 扣) l l l c o , r ；h 。) o l t l l f ( i e l 2 ) 昱( s ) l ： c i i f ( i e l 2 ) i i l = i i e i i 们，+ i t e i i l 一( 舻) 0 铲i e l 2 i l l 。( 舻) 】 $ - - 1 二l i p “( 衅) i i l = i i e 舻) 1 i i f ( i e l 2 ) f | p= e s u pf i ( i e i 2 ) “k e s s s u pf i e l l 缸= g l l e l l 压 1 1 0 s i e l 2 i 庐：i i 伊( e e ) 2 i i l 2 ：| | s - - 1 ( i ) 伊e 伊一面i l l 。曼s - 1 f f ) 1 1 0 。e 伊一t 霹忆： j = oj = o c i i e i i l ：i i e i i l 一+ i i e i i l 一0 面0 驴1 = c l i e i i l z0 吾l 一 i i 户+ 1 ( i e l 2 z p = e s ss u pi i f - i + 1 ( i e i ：2 ) i t e 8 8s u pt l e i p 一2 0 一f ) = t l e i l 2 p o - - 2 d o ， 片”o ，f ” i i i e l 2 f f 主。 = e s s s i 旦川e 1 2 旷= e 8 88 u pi i t e l l t v = m e 盈 + 1 ( i e l 2 ) i l l 一i i i e l 2 i 睦。k i i e i i 器了2( 2 7 ) 所以 i i f ( l e l 2 ) e ( s ) l l 描sk t l e ( s ) i t , 。i i e ( s ) l ! i 笛+ i i e ( 8 ) i i l = f l e ( s ) 护1 i 秀( 8 ) i i l xi i e ( 8 ) i i 嚣2 1 = k i t l e ( 8 ) i i h i i e ( s ) l l 强+ i i e ( 8 ) i i 络i i e ( s ) i i l , k i i e ( s ) i i h - i i e ( s ) l l 磐sk i i e ( s ) i i 弦1 所以 ( 2 6 ) si f e o f j + 詈| | 局h h 一- + 眉t f f e | 嚣专；，l 日叮 w 、 令 r = 2 ( 1 l e o l l h 。+ - i i e ll l h 。一x ) ， 4 看 k t r 2 a + 1 r 2 时，则死映b r 为b 凡 下证死是压缩映射； 证明：考虑b a n a c h 空间 x ( t ) = j o e ( 【0 ，邪；h 5 ) n c l ( 1 0 ，t i ；h 8 1 ) ) 定义范数 l i e u l l x ( r ) = 鼢( e 一0 日+ 0 a 上乙0 = r 卜- ) 取 r = 2 ( 1 l e o i i n * + c i f e , i j = r 一) ， b a = 庐l ”( 1 0 ，刀，日8 ) i 炒i l 一( 0 ，咒甘) sr ) ，t 0 显然，b h 是x ( t ) i - _ $ j 有界闭凸子集 设e ，f b r ，则对于e ，f ，有t i = 死e ，矗= 巧f 0 “一u i i l 一( 0 ，t ；日) i i s ( t ) ( e o 一目) + 5 r ( t ) ( 已一f a ) i i l = ( o ，t ；h ) + ，2 露ij s ：c t 一8 ) ( f ( 1 e 1 2 ) 刀一f ( i f l 2 ) f ) i i 工( o 。t ；日。) d s 0 e f i i l ( o ，t ；。) + 2j ；i i ( f ( i e 2 ) e f ( f t 2 ) f ) i i l ( o ，t ；h 。) d s 由 i i ( f ( r e l 2 ) e i ( i f l 2 ) f ) i i l 一( o ，t ；h ) = e s ss u pi i ( ：( i e l 2 ) e 一( i f l 2 ) f ) l l n 0 0 ，p = 0 ，t + t o ，r 0 待定 故 i i 玩嵫2 h ( t ) ， 日印) = ( 玩，a l 昆) + 玩，玩) + 2 姣t + r ) = a e ( e 。，岛e 。) + 2 、伊、伊o + r ) ， 日”0 ) = i i e 。1 1 2 + ( 砰e 。，置。) + 2 p ， 【日，( t ) 】2 = 【觑，侥日) + 2 卯卯( t + r ) 】2 = 0 e 一0 各l i a 置川玉+ 2 - 2 v - 5 v r # ( t + r ) i i e u i i l 。l i 侥皿川l 。+ 4 p 卢o + r ) 2 0 上o | | 玉0 侥皿一l l 色+ f 4 p 1 1 玩1 1 2 + 卢o + 下) 2 0 晚上0 0 2 】+ 4 卢卢( 亡+ r ) 2 = 洲日嵫( 2 忪既嵫+ 即) + f l ( t + r ) 2 + 慨玩嵫) j 1 1 日l l l z ( 2 0a 现i i 玉+ 8 卢) 十卢( t 十r ) 2 ( 8 p + 2 f l a e 川2 。) = 2 ( 1 l o , e d l 各+ 4 f 1 ) i i e , , , 1 1 2 。+ 卢0 + r ) 2 】 = 日( t ) 【2 i i a 最川色+ 8 明 8 故 h t t ( t ) h ( t ) 一似+ 1 ) ( 日，( t ) ) 2 2h ( 0 h i l ( t ) 一( 1 + n ) ( 2j f 岛e 。0 色+ 8 p ) 】 = 日( t ) 【一( 1 + 2 q ) 1 1 0 , e dj 2 ： + ( 昆，巩) 一2 ( 3 + 4 0 ) 研 = 日( f ) 【一( 1 十2 n ) ( u 2 。( o ) 一u 2 i l v e 。i i 2 + u 2ff ( i e 。1 2 ) d x ) + w 2j ，( i j 0 1 2 ) 1 1 0 1 2 2 u 2 l m ( o t e 。，玩) 一u 2 i i v e 。1 1 2 2 ( 3 + 4 0 ) 纠 - ( 1 + 2 a ) h ( t ) w 2 e 。( o ) + u 2 h ( t ) 2 0 l | v 最。0 2 + h ( t ) w 2 r ( ，( i 最，1 2 ) i e ，1 2 - ( 1 + 2 n ) f ( i 置。1 2 ) ) d z 一2 w 2 h ( t ) l m c o t e 。，1 0 ) 一2 ( 4 + 8 a ) p h ( t ) = n ( o i - ( 1 + 2 n ) 1 8 1 + u 2e c ，】+ 2 w 2 0 日( t ) 0 v 最川2 + u 2 h ( t ) ，( f ( j 最，1 2 ) l e v i 2 - ( 1 + 2 a ) f ( i e 。, 1 2 ) ) 如一缸2 h ( t ) i m ( o t e 。，既) - ( 1 + 2 a ) h ( t ) 8 b + ，2 。( o ) 】一2 0 ；2 h ( t ) i m ( o t e , , , ，噩。) - ( 1 + 2 a ) n ( t ) 8 3 + “产e 。( o ) 】一日( t ) 最。8 2 一孔( o ) 】 = 一( 1 + 2 a ) h ( t ) 8 3 十u 2 e 。一塾；g 基堕】一2 w 4 hc o i i e , , , 1 1 2 一( 1 + 2 a ) h ( t ) 8 3 + 2 。( 0 ) 一垒生l + 业2 c t1 1 2 w 4 日0 ) 2 = - 8 ( 1 + 2 ) 日( t ) 咿+ 譬c 【( o ) 一岩黜】- 2 w 4 h ( t ) 2 ( 2 8 ) 记s ( o ) = 譬。( o ) 一等等磐= 譬。( o ) 一号鬈磐= q ( o ) 下面分情况解微分不等式 ( 1 ) e ( 0 ) 0 ，卢= 一e ( o ) h ”( t ) 三，( 力一( 口+ 1 ) ( h ，( t ) ) 22 4 “4 h ( 力， 令 h ( t ) = h o ( t ) ，( t ) = 一a h o 一1 ( t ) 日( t ) ， ，( t ) = ( 1 + a ) a h 一( n + 2 ) ( t ) 【日( t ) 】2 一a h 一( 。+ 1 ) ( t ) f ，( t ) = 一a h 一( 。+ 2 ) ( t ) 忙( t ) 日 ) 一( a + 1 ) ( 日，( t ) ) 2 】 a 月一( d + 2 j ) 4 x 4 刀口( t ) = 4 0 “j 4 h o ( t ) ；4 e x 4 危( t ) 故 ”( t ) 一4 n u 4 h ( t ) 0 9 所以 ( ( t ) 一2 w 2 舡h ( t ) ) 7 + 2 w 2 、伍( ( t ) 7 2 w 2 v - d h ( t ) ) 0 ， 两边同乘以e 2 v - a t ，得 e 如产 盈( ) 一2 2 v 乞矗( ) ) i ，s0 ， ( 两边对t 从0 到t 积分) 即 所以 即是 所以 我们希望 时， e 知2 、虱( ( t ) 一2 w 2 v - d h ( t ) ) ( o ) 一2 u 2 面 ( o ) e 一知。v 位( ，( t ) 一2 ( ，2 、孤( t ) ) e - 舢2 、7 萄( ( o ) 一2 w 2 v 石h ( o ) ) 【e 一钆产 面 ( t ) 】e - - 4 w 2 瓦( ( 0 ) 一2 w 2 孤( o ) ) e 彬吼蛏盟铲f 1 _ e 山锕( 0 ) h ( = 日1 ( ”塑孚挚【e 舻偷一e 一舻偷】+ 邶) e 舻向 日”( t ) = h ( t ) ，o ( t 露) i i e 0 0 ，( t + 露) 故只须解 h ( o ) - 。2 j v 。伍h ( o ) i 一2 倔一e 一搿届】十 ( o ) e 舻饲：o w v a 。 j 、”，。一” 上式两端同乘以e - - 2 w 2 v - a t ，整理得 所以 型毫掣f l 订“2 q 州o ) ：o 缸2 、，伍 ”。”7 一” h ( o ) - 2 w 。，2 v 一 五h ( o ) 。一舻面：型! 1 2 翌迮塑2 缸2 扣 。 钆2 、厄 1 0 所以 所以 石= 而ih 器糍= 1 1 。一( q + u 2 v 伍) l l e o l l 2 - 4 - 宝l l e l l l 2 2 d 0 ) a 一“，2 、_ e ( o ) 7 2 4 埘2 、伍 ( u 2 、伍一。川e b l | 2 一e ( o ) 丁2 u 2 、压+ 2 e ( 0 ) n g n 蒜糕 t 日”( ) 2 h l i r a 瑶 ( o ) 2 o ， 即一l i r a 写i i e u i l 2 2 + 。 ( 2 ) e ( 0 ) 0 ，p = 0 ， ( 2 8 ) = = 净日”( t ) 日( t ) 一( n + 1 ) 【日7 ( t ) 1 2 一2 ( i + a ) q ( o ) h ( t ) 一4 u 4 日2 ( t ) 令 则 其中 证明；令 则 成= 2 ( 1 + o ) 0 ( o ) ，b = 4 ， 即p ：压而再磐， 。， t h t t + 玩1 1 2 一。 r 5 面丽篡禹伍i q 日7 ( o ) 2 一b 日2 ( o ) 一翌；鬟产】 毋( ) = 日一o ( t ) ，t 0 ， ( t ) = 一q 日一( n + 1 ) ( t ) 日( t ) ， ( t ) 一a b c ( t ) = 一。日一( 。+ 2 ) ( t ) f 日( t ) 日”( t ) 一( 1 + o ) 日( t ) ( 日7 ( t ) ) 2 + b h 2 ( t ) 】 sn 风日一( 1 + 。) ( t ) n 胁日半( 2 1 0 ) 由假设( 2 9 ) 知 矿( o ) = 一n 口1 + 8 ( o ) 日7 ( o ) 0 令 矿= s u p t l $ ( r ) 0 由( t ) 的连续性知 邪) 0 ，有 牵国咖( o ) 一o ) 2 一a b 2 护( o ) 一；嚣币f o ) 2 + 1 。】1 2 t = h 一( 1 + 。( o ) 日( o ) 一、伍【。月。( o ) 2 一b 2 h 2 ( o ) 一 卺h ( o ) 】1 2 p 所以对某个( 印= o ，嚣( o ) ，( o ) 代入初值，有 o t = r = i l e o l l 2 2 v 伍 一a 3 q ( o ) i l e o l l 2 2 。2 q ( 0 ) e o i l 2 刈吲h 扣圳2 ) 2 】 + 。删岛1 1 2 + 扣e l 惝2 一如4 i j 局旧一缸4 l l 马怫1 2 ， 其中。同时满足分母大于0 和a 大于0 所以j i e i i 。在t 趋于o o ，要证成立 1 2 2 3 次临界状态下解的整体存在性 定理2 3 若，满足 i i ( i e l 2 ) i k l ej 缸，仃n 2 ，e o h 8 ( r ”) e 1 t t 8 1 ( 只“) 则u 冗分大时，具有初值l 司题玩( 0 ) = e o ，a 玩( o ) = e t 的n l 0 存在整体解玩且 1 0 工o 。( 0 ，- i - o o ；t t 8 ) 证明在工w 0 两边乘以瓦，并积分 击群蜀- 瓦一2 l 侥蜀瓦一f a e , , 瓦= f ( i e 。, 1 2 ) 盼1 2 取实部 击觑砰玩瓦+ 2 j m 魂玩瓦+ f l v e 。, 1 2 一f y ( 1 e 。 2 ) l 玩1 2 = o 由 2 砰玩瓦= 侥俐2 2 1 0 t e , , 1 2 ， 得 去辞i 既1 2 一击i 侥玩1 2 i + 2 l m f o , e , 瓦+ j f l v 玩1 2 一f f ( i s , 1 2 ) l e v i 2 = o 又由q 0 ，钆代入得 孬1u t 2 l 岛1 2 一( 击r l 鼠玩1 2 i + 门v 已1 2 一f ( i s 。t 2 ) ) + 2 f l w d 2 一f f ( i e 。1 2 ) ) 一2 ( f i e 。, 1 2 一击j 瓦侥日) + 弘2 门b 1 2 一f l c i e 。1 2 ) l 玩1 2 = o 即 刍辞盼1 2 一缸2 钆一钆+ 弘2 f i e , 1 2 + 2 i v 既1 2 = f i ( i e 。, 1 2 ) l e v i 2 + r e ( 1 e v i 2 ) ( 2 1 1 ) 又由 f ( i e l 2 ) sk i e i “ ， 得 ，( t ) k ， i f ( 删= iz 。m ) 打i - f 2 i f ( r ) j d r ，。r 。= k 南t i - t - o i f ( i f ( r a d r 忙南护，z ) i = i 上，( r ) 打i r ，o2 k r b1 5 = r 苦z 1 如， 故 i f ( i e , , , 1 2 ) is 南l e v i 2 2 由( 2 1 1 ) 得 由钟j i 玩1 2 一知2 仉一钆+ 知2 f i 玩1 2 + 2 f i v 日1 2 墨f 州日蚓玩1 2 + f f ( i e 。1 2 ) = fk i e 。, 1 2 + 幻+ fg 而1l e v i 2 + 孙 = k 2 1 + + 。afl 玩1 2 + 幻 = k 带。2 a + 2 2 sk i i v e , e i i 翟i i s , , , l l 驴( 2 - “) 叶2 ( 2 1 2 ) 式右端利用y o u n g 不等式得 ( 2 1 2 ) k e 0 2 0 i + 耳g ( e ) i i e 。i i l ( 2 ：- ”) 4 + 矽 令 n a p = z ，p = 磊2 ，；+ 歹1 = ， 得 o 2 2 - - n o 击霹，l 已1 2 2 吼一+ 缸2 f i l l 2 + ( 2 一k e ) l l v 既嵫s k ，i i e 。i i 参+ 2 令 2 一k e = 0 ， 得 2 2 面 得 孬1 吨_ l 钆1 2 一2 钆一。+ 2 峨1 2 k 川玩。参 在f o ，旬存在局部解，且 i i 曲i i l * c 0 ，t ；月) r = 4 1 1 e o l l ，u _ + o o 0 最一0 i ? i i 晟。| h a 兰i i e o l l 一 1 4 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 令0 2 ，我们取u 充分大，使得在f 0 ，司上，k 7 1 1 玩t l ：2 - - 尹4 u j 2 - q ， ( 2 1 5 ) 可保证 0 既0 爹4 a ；u 2 一目2 啬；2 ( 2 1 6 ) ( 2 1 4 ) 得 去砰阮f 2 一幻2 钆一缸十知2 i 瓦 2 s o 蜀| 1 2 ： 得 去辞j 厂i 既1 2 一知2 钆一钆+ j 厂1 日1 2s o 得 i 玩1 2 + 2 i 既f 2 缸4 钆+ 2 ( 2 1 7 ) 令 吲2 硼 上式即为 + 4 ” 钆4 轧+ 缸2 “ 先求方程 + 弘4 y = 4 w 4 仉- i - 2 w 2 屯 的解其相应的齐次方程的特征方程为 a 2 + 2 = 0 a = 士 b 2 得到齐次方程的一个基本解组 妒1 ( t ) = c 0 8 、2 t ，妒2 ( t ) = s i n 、锄2 t 故齐次方程的通解为： 即 叉 得 y = c 1 妒1 ( t ) + c 2 p ) ， 吲2 = c - 妒( t ) + c 2 忱( t ) 爹( o ) = ，f d ( o ) = 2 i r e e z 磊 c 。= l l e o l 。，晚= 孚蚴氤 1 5 所求方程的解为： f l e v i 2 = f l e o l 2 c o s 画2 t + 乎s r e e - 瓦s i n 山2 t + _ r 缫涮鞫端黼伯) d s = s i e o l 2 c 0 8 豇2 t + 乎- r | r e 历e o s i n 、豇2 t + t s i d - 2 0 s ) d s = s l e o l 2 c 0 8 画2 t + 乎j - & e it 瓦8 i n 、- 2 w 2 t + 堑警笼净丝c o s 西2 ( t s ) 临 = ，i 砀1 2c o s 山2 t + 乎f r e e l 磊s i n v - 2 u 2 t + 2 钆+ 钆一( 2 钆+ e ，) c o s 西2 t = 2 钆+ o + ，i 岛1 2 2 钆一e l ，c 0 8 西2 t + 2f r e e l 玩s i n 西2 t 故所求不等式的解为： 门玩1 2 s2 钆+ 钆+ i 砀1 2 2 q 。一钆c o s 佤2 t + 丕兄e e t 瓦s m ( 知2 t 在【0 ，旬上，u ，m 时 鱼o j 2 一o ，等j f 船b 玩一o 故 _ r l e 。ps2 q 。+ f i e o l 2 + 2 q 。 = f l e o l 2 + 4 钆 i 一一4f i m ( - e 。，侥玩) f l e o l 2 i + 4 f i 既1 2 ( o ) = 5 ，i e o l 2 i + 4 s l 也i 2 ，i 蜀阼 只要( 2 1 6 ) 式中日存在，上式就成立 所以u 充分大时， i i 既1 1 2 。( o , t ；l 2 ) 5 j 岛j 2 由( i i ) 中知 i v 昆i ，击协玩1 2 受控制于【i ( o ) 证明：在n l w , ，两边f g 乘以a a t e , , , ， 1 饼已，a 嚣) 一2 i ( o t e 。，最毋) 一( 日，绫蜀) = ( 列昆j 2 ) 乜，侥已) ， 万1 ( 辞邑，印己) 一2 i ( a 玩，a 玩) 一( a o e c ，日) = ( 侥既，f ( i e 5f1 0 w e , 1 2 + i 玩阳一c l i 玩i i 缸) 一c l l s o l l 翟 取o c 研1 ，得 0 , v e 。1 2 + fl a e 。, 1 2 朋。( o ) + c l i e o l i ： 故 也受到控制 击f1 0 w e o , 1 2 ，f l a e 。1 2 1 7 第三章l u 0 的收敛性 3 1 现的收敛性 定理3 1 令，时，点 ；，e o h 5 ( 舻) ，五甲，五中h s _ 1 ( 舻) ，使得日，五 在工2 ( 酽) 中有界，且在l 2 ( r ，1 ) 中占d ”1 掣一o p o 。) ，击d ”1 砰一o p o o ) ， 则若u 充分大时，存在仅依赖于l i e o l l 的时间乃，使得具有初值既( o ) = e 孑，a 玩( o ) = 占r + 沙强睹。，( a r ) 的n l w a , 的解现在【0 ，丑】上存在，且具有初值e ( o ) = e o 的 ( n l s ) 的解e 在【0 ，列上也存在 证明( 存在性) 由定理1 知 其中 即 所以 所以 而 m a x ( w l ，屹) ，得