（基础数学专业论文）能表为一个整数和四个素数立方和的整数分布.pdf

原创性声明 m l i iilli i i i i i1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 l 、t17 9 3 9 91 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：至睡日期：兰呈! 里! 堕：箩 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：至盟导师签期：p f d 1 ) f 哆 目录 中文摘要5 英文摘要i 符号说明i i i 第一章绪论1 第二章定理1 1 的证明3 第三章引理1 1 的证明6 第四章一些引理1 3 ，参考文献1 9 致谢2 1 co n t e n t s c h i n e s ea b s t r a c t 。5 a b s t r a c t 。i n o t a t i o n s i i i c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n ，1 c h a p t e r2 p r o o fo ft h e o r e m1 1 3 c h a p t e r3 p r o o fo fl e m m a2 1 6 c h a p t e r4 s o m el e m m a s 1 3 b i b l i o g r a p h y 1 9 a c k n o w l e d g e m e n t 2 1 山东大学硕士学位论文 能表为一个整数和四个素数立方和的整数分布 王民安 ( 山东大学数学学院，山东，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 在加性数论中，人们经常研究将一个正整数表示成素数幂之和的可能性华林一 哥德巴赫研究的是将满足一定同余条件的正整数用素数幂表示的问题著名的哥德 巴赫猜想和三素数定理【l 】就是华林哥德巴赫问题线性情况下的特例众所周知， 华林一哥德巴赫问题的一般性方法是h a r d y 和l i t t l c w o o d 的圆法结合v i n o g r a d o v 素数上的指数和的估计1 9 6 5 年以前的结果已经总结于华罗庚堆垒素数论一书 中自那以后，特别是近些年，圆法，筛法和指数和的新思想不断地被运用到华林一哥 德巴赫问题中，并得到了很多显著的成果 另一方面，研究在适当限制条件下的对垒素数问题也吸引了大量的数学工作者 人们猜想所有充分大的满足一定同余条件的正整数是四个素数的立方和但是，这 么强的一个结果人们还不能够证明这一方向最好的结论足由华 2 】于1 9 3 8 年所证 明的： 每一个充分大的整数是9 个素数的立方和； 适合于集合仉= n 1 ：住0 ，4 - 2 ( m o d9 ) ) 的整数是5 个素数的立方和，即有： n = 衍+ p ；+ 馥+ 旌+ 建 ( 0 1 ) 更精确的，记e ( n ) 表示那些不能写为( o 1 ) 式的整数的个数，其中n 吼且 不超过n 那么华的第二个结论毒明 e ( n ) n l o g n ， 其中，a 0 是任意的 借助圆法和其他方法，我们可以对这一结果进行改进其中，任【3 】做出了如下 的改进： e ( n ) n 1 5 2 1 5 3 5 山东大学硕士学位论文 为了得到这样的结果，必须处理更大的主区间在1 9 9 8 年，刘和展【4 】找到了 一种新的方法来扩大华林一哥德巴赫问题的主区间正是这种技巧，研究者可以忽 略s i e g e l 零的影响，避免d e u r i n g - h e i l b r o n n 现象，更好地研究堆垒素数问题 在这篇文章里，将应用刘和展的扩大主区问的思想，研究这一问题的推广在 华 2 】的文章里，每一个满足一定条件的充分大的奇整数是5 个素数的立方和，我们 将其中的一个索变数变为整变数，研究表一个充分大的整数为一个整数和四个素数 立方和的整数分布问题，即若t t m ，就有 礼= m + 霞+ 砖+ 旌+ 建 其中t i t l 是一个正整数 本文的结果如下： 定理若e ( n ) 如上所述，则有 e ( n ) n 1 4 1 5 关键词：圆法；奇异级数；华林哥德巴赫问题 6 一 山东大学硕士学位论文 o nr e p r e s e n t a t i o no fi n t e g e r sb s u m so fac u b ea n df o u rc u b e so p r i m e s m i n a nw a n g ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y ) a b s t r a c t i nt h ea d d i t i v ct h e o r yo fp r i m en u m b e r s ，o n es t u d i e st h er e p r e s e n t a t i o no fp o s i t i v e i n t e g e r sb yp o w e r so fp r i m e s t h ew a r i n g - g o l d b a c hp r o b l e m s e e k st or e p r e s e n tp o s i t i v e i n t e g e r ss a t i s f y i n gn e c e s s a r yc o n g r u e n c ec o n d i t i o n sb yp o w e r so fp r i m e s t h et e r n a r y a n db i n a r yg o l d b a c hp r o b l e m s 1 】a r ej u s tl i n e re x a m p l e so ft h ew a r i n g - g o l d b a c hp r o b - l e m t h ec i r c l em e t h o do fh a r d ya n dl i t t l e w o o di nc o m b i n a t i o nw i t ht h ee s t i m a t e s o fv i i , o g r a d o vf o re x p o n e n t i a ls u n l so v e rp r i m e sg i v e sa l la f f i r m a t i v ca n s w e xt ot h e g e n e r a lw a r i n g - g o l d b a c hp r o b l e m ，a n dt h er e s u l t sb e f o r e1 9 6 5w a ss u m m a r i z e di n h u a sb o o k a d d i t i v et h e o r yo np r i m e sn u m b e r s ”a f t e rt h a t e s p e c i a l l yi nr e s e n t y e a s ，n e wi d e a si nt h ec i r c l em e t h o d ，s i e v e s ，a n de x p o n e n t i a ls u m sa r ei n c o r p o r a t e d i n t ot h ew a r i n g - g o l d b a c hp r o b l e m ，a n dh e n c eg i v er e m a r k a b l ea d v a n c e o nt h eo t h e rh a n d ，t h ea d d i t i v et h e o r yo fp r i m en u m b e r sw i t hc e r t a i nc o n d i t i o n s a p p e a l st om a n yr e s e a r c h e r st os t u d y i ti sc o n j e c t u r e dt h a ta l ls u f f i c i e n t l yl a r g ei n t e g e r s s a t i s f y i n gs o m en e c e s s a r yc o n g r u e n c ec o n d i t i o n sa r es u m s o ff o u rc u b e so fp r i m e s s u c h as t r o n gr e s u l ti so u to fr e a c ha tp r e s e n t t h eb e s tr e s u l ti nt h i sd i r e c t i o ni sd u et o h u a 2 】a n dd a t e sb a c kt o1 9 3 8 ： a l ls u f f i c i e n t l yl a r g ei n t e g e r sa r es u m so fn i n ec u b e so fp r i m e s ； a l m o s ta l li n t e g e r sni nt h es e t r e p r e s e n t e da ss u m so ff i v ec u b e s 吼= 佗1 ：n 0 ，4 - 2 ( m o d9 ) 】c a nb e o fp r i m e s ，i e n = p i + p ；+ p ；+ p 3 + 露 1 ( o 1 ) y f 山东大学硕士学位论文 t ob em o r ep r e c i s e ，l e te ( n ) d e n o t et h en u m b e ro fi n t e g e r s 礼吼n o te x c e e d i n g nw h i c hc a n n o tb ew r i t t e na st h ef o r m u l a ( 0 1 ) m e n t i o n e da b o v e t h e nh u a ss e c o n d r e s u l ta c t u a l l ys t a t e st h a t e ( n ) n l o g n ， w h e r ea 0i sa r b i t r a r y w i t ht h eh e l po fc i r c l em e t h o d ，w ec a ng e ta d v a n c e dr e s u l tf o rt h i sq u e s t i o n a n d r e n 3 g a v et h ef o l l o w i n gr e s u l t ： e ( n ) n 1 5 2 1 5 3 t og e tar e s u l t o ft h i ss t r e n g t h ，w eh a v et od e a lw i t hr a t h e rl a r g em a j o ra r c s i n 1 9 9 8 ，l i ua n dz h a n 4 】f o u n dan e wa p p r o a c ht ot r e a tt h ee n l a r g e dm a j o ra r c si nt h e w a r i n g - g l o d b a c hp r o b l e m ，i nw h i c ht h ep o s s i b l ee x i s t e n c eo ft h es i e g e lz e r od o e sn o t h a v eas p e c i a li n f l u e n c e ，a n dh e n c et h ed e u r i n g - h e i l b r o n np h e n o m e n o nc a nb ea v o i d e d i n t h i sp a p e r ，w i t ht h eh c l po fc i r c l em e t h o d ，w es t u d yt h eg e n e r a l i z a t i o no ft h e p r o b l e m h u ai n 【2 】p r o v e dt h a te v e r ys u f f i c i e n t l yl a r g ei n t e g e rs a t i s f y i n gn e c e s s a r y c o n d i t i o n si st h es u n l so ff i v ec u b e so fp r i m e s w er e p l a c eap r i m ew i t hai n t e g e r ， s t u d y i n gt h er e p r e s e n t a t i o no fi n t e g e r sb ys u m so fac u b ea n df o u rc u b e so fp r i m e s ， t h a ti s ，i f 礼吼，t h e n n = m ；+ 硝+ p 3 + 旌+ p ； w h e r er n li sap o s i t i v ei n t e g e r w es h a l lp r o v et h ef o l l o w i n gt h e o r e m t h e o r e mi fe ( n ) i sa sa b o v e ，t h e n e ( n ) n 1 4 1 5 k e y w o r d s ： c i r c l cm e t h o d ；s i n g u l a rs e r i e s ；w a r i n g - g o l d b a e hp r o b l e m 山东大学硕士学位论文 p s ，耽，p n m e s m l ，m 2 ，i n t e g e r s n r r c m e ( z ) 妒( n ) a ( n ) d ( n ) l a r g ei n t e g e r l o g r 0 足任意的 运用圆法的思想，任f 6 把上述结果改进为e ( n ) n 1 6 9 1 7 0 ，进而又由任和削7 】改 进为e ( n ) n 1 2 7 1 1 2 9 0 ，而后任和曾( 8 】又得到了e ( n ) n 1 7 1 8 的新结果 在这篇文章里，我们将应用刘和展 4 】的扩大主区间的思想来研究华的表自然数 为素数幂的问题在华的问题( 1 1 ) 中，将其中的一个素变量改为整变量，即对问题 t t = m i + p ；+ 建+ 旌+ 磋 ( 1 3 ) 其中m - 是一个正整数主要结论如下s 定理1 1 若e ( n ) 如上所述，则有 e ( n ) n 1 4 1 5 1 山东大学硕士学位论文 证明定理1 1 主要利用圆法我们需要克服两个问题：主区间和余区间的处理 首先，给出有关主区间的估计，这主要用到奇异级数的知识确定主区间的主项 和余项，这里我们用到了很多刘 9 】的结论 其次，余区间的处理，我们用华 1 0 1 的一些结论来处理 2 第二章定理1 1 的证明 为了证明定理1 1 ，根据圆法，对于充分大的正整数和正实数g - ，定义 p ：斋一拓，q ：嚣1 3 托 并且令u = ( 可n ，i 1 一 由d i r i c h e l t 有理逼近定理，任意o 【专，1 + 专】都可以表示成 ( 2 1 ) 。= 詈+ 入，面1 ， ( 2 2 ) g g v 且整数a ，q ，满足1 sg q ，( ，q ) = 1 妍( o ，q ) 是q 满足( 2 2 ) 的集合，定义主 区间妍和余区间m 如下： 弧= 。m 鱼妍( n 翮，m = 虿1 1 i - ，l + 专 觋 ( 2 3 ) a po = 。 。o 详细一点，主区间觋是如下小区间的集合 r n 1a11 【q 一一q q ，百+ 丽j 由2 p q ，可知吼( o ，q ) 足互不相交的 定! ； 如下指数和 令 t ( n ) = e ( m 3 “) ， m 一【， s ( q ) = s ( q ，【，) = a ( m ) e ( m 3 a ) ， m u r ( n ) = ( 1 0 9 p 2 ) ( 1 0 9 p 3 ) ( 1 0 9 p 4 ) ( 1 0 9 p s ) ， ，l = m + p ；+ p + p ：+ p 2 ”1 一c ，p 2 ，p 5 一u 3 山东大学硕士学位论文 由t 和s 的定义，可得 r ( n ) = ls 4 ( q ) t ( a ) e ( 一n q ) d 口 根据主区间和余区间的思想，我们又有 ( 2 4 ) r c r 。，= + 专s 4 c 。，丁c q ，e c n 。，d q = 厶+ 上冲q 刖e c 一叫池 仁5 ， 对于主区闯上的处理，我们有 引理2 1对所有的正整数n ，且满足2 n n ，则有 s 4 ( q ) t ( 口) e ( 一n a ) d a = 6 ( 礼) ，( n ) + o ( 喜2l a ) ， ( 2 6 ) ，妍 其中 j ( n ) = ( 仇，m z m s m 4 m s ) ，( 2 7 ) n = m 1 + t t n 2 + ，m l 曼3 + t r n 5 4 + m 5 且满足u 2 j ( 礼) u 2 ，而奇异级数6 ( ) 如( 3 1 2 ) 定义，且满足6 ( ) 1 那么定理1 1 就是引理2 1 的直接结果 定理1 1 的证明从( 2 5 ) 式开始定理的证明主区间的部分已经由引理2 1 给 出为了处理余区间上的积分，注意到每一个可以表示为( 2 2 ) 式的a = q + a m ， 满足p u ，则由w e y l 【1 1 不等式中的引理2 4 可 得t ( a ) u 9 1 0 托若尸 q u ，则由文章【1 1 】里的引理6 1 6 3 可得 t ( a ) u 1 托百1 + 可1 + 丙q ) 1 4 u 1 押( 刍+ 秒1 + 丙u ，1 4 u 9 1 0 托 因此可以得到 i i 婴l r ( o ) i u g l l 0 ( 2 8 ) o m 由华 1 0 的引理， z 1i s ( 刮8 m 咿5 ( 2 9 ) 山东大学硕士学位论文 因此，由式( 2 8 ) 和( 2 9 ) ，根据b e s s e l 不等式，我们有 州乏i f , 2 m a xe t 1 2 0 1 i s a q 删 忿埘 经过一个标准的讨论，由式( 2 1 1 ) 知对所有的扎9 tn ( n 2 ，n 】但至多有 o ( 1 v 1 4 1 5 + 黯) 个例外外，都有 n 2 3 一 因此，由( 2 5 ) 式和引理2 1 ，对这些非例外的钆有 7 ( n ) = 6 ( 咒) j ( n ) + o ( ；l a ) ， 所以这些几可以写为( 1 3 ) 式，令f ( ) 表示上面那些例外的n 的个数则 f ( n ) u 6 + 4 5 + 拈n 一4 3 + 2 5 n 1 4 1 5 因此定理( 1 1 ) 就可以由e ( n ) = f ( ) 得到 j 2 0 5 口 第三章引理2 1 的证明 对一个d i r i c h l c t 特征xm o dq ，定义 c 比。，= 塾咖( 等) ， 同时记c ( q ，a ) = c ( x o ，o ) 再定义下式 乳问= 塞e ( 孚) 对q = a q + a 9 a ( q ，o ) ，我们有 跗) = 跏川= 砉e ( 警) 三a ( 咄( a m 3 ) + 。( 功 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 在上述关于m 的求和中引入d i r i c h l e t 特征，则s ( o ) 可以写为 鼬) = 掣互舢呐+ x 篆。掣医x ( p ) e ( p 3 a ) l o g p - - j x 帕， 3 ， 这里氏等于1 或0 ，分别当x 为主特征或非主特征时 在上式中，记皿( x ，入，u ) 表示第二个求和号中的最后一项，即有 于是有 这里 皿( x ，入，u ) = x p ) e p 3 a ) i o g p - 奴e ( m 3 入) ( 3 4 ) p【，rn【， s ( q ) = 岛( a ，u ) + 岛( a ，u ) ， 剐) = 等三啪m 3 ) ， y q ，二二了， 川= 、，。掣岷a 观 m o r t 叮 6 ( 3 5 ) ( 3 6 ) 山东大学硕士学位论文 对t ( a ) ，应用v a u g h a n 1 1 中的定理4 1 ，可得 于是我们有 t ( a ) s ( 口，a ) g s 4 ( q ) t ( q ) e ( 一n a ) d a j 觋 f r 一o g 茎p ( 口a ，q = ) ：ll o n 、 e l 百j 厂南s a ( a ) j 一南 e ( 加b 3 ) + d ( 口 + e ) s ( q ，a ) 口 ( 3 7 ) e c a m 3 ，+ 。c g ；+ 5 ， e c n a ，d a 五o + 4 1 1 1 + 6 1 1 2 + 4 1 1 a + 1 4 + 2 04 - 4 1 2 1 + 6 1 2 24 - 4 2 3 + 1 2 4 这里，1 i 2 ，0 歹4 是由s ( q ) 的( 3 3 ) 式的4 次方与t ( a ) 的( 3 4 ) 式相乘得 到的 其中，这些岛，1 i 2 ，0 j 4 的表达式分别为 i l j = 叮 = q s p 茄兰1 q f f 一一 q s 尸【茄二l 霹( a ，u ) ，o n 、 e l 百j s ( q ，a ) g i 丽1 s t j ( k j u lk ，一南 e ( a m 3 ) ) e ( - n a ) d a ， ( 3 8 ) ，n u e ( 一警) - 专, - 4 ，中嘲扣m 嘲m ? ( 3 9 ) 在这1 0 个式子中，第一项，1 0 产生主项，其他9 项都产生余项下面将给出关 于厶。的计算，其他9 项我们将对最复杂的一项给出计算，其余的情况类似，故略去 相应的过程 i l o = q ff ：jt 0 q s 尸( 。a ，们= ；ll q ff j ：_ ，j 二一 q s p ( 。a ，q = ) - ll l a r t 、 e l i f 碉1 吼u 1 ( ，一赤 e ( 一警) 庄( 帮 s ( q ，a ) g s ( q ，a ) 口 e ( a m 3 ) 小呐) 4 ( e ( 一警) 以 e c a m 3 ，) 5 e c 一仃a ，d 入， 7 e ( - n a ) d a s ( q ，a ) g e c a m 3 ，) e c n 入，d a e c 入m 3 ，) 5 e c n a ，d a 一 一 一 力堕北 。亲 秽 。而 上孵 厂，一 d 一油竺沁b 一妒 秽 山东大学硕士学位论文 其中 跏，g ) = 喜e ( 一詈) ，0 ) 嘶) ( 3 1 0 ) ( 口，q ) = l 由【1 2 中的引理8 8 ，我们有 因此我们得到 l o = = + 三m m 3 ) = 序舻) d x + 0 ( 1 ) = j 1 ， u ( 。2 v ) s 可一2 3 e ( 入y ) d y + o ( 1 ) 去m 飞2 ( a m ) + o ( 1 ) om 。 蕃粼鹰( 三三m 一； 丢3 善渊鹰瞻m 一5 忽妒4 ( 口) 口，一南急 。隐粼鹰i 三m 一 将积分区间扩大到【- ， ，我们有 e c 入m ，+ 。c 1 ，) 5 e c n a ，d a ；e c a m ，) 5 e c n a ，d a l e ( a m ) 垂l 以1 ； 厶。= 刍薹粼厶瞧m 龟c 训) 5 e ( - 酬d a + + 口尸 g s p 型，v 4 ( q ) q l 三m 一 刿t p 4 ( q ) q 厂- 南礤 三m + 8 l e ( a m ) 5 d 入) 一- ；e ( a m ) 4 d 入、 + d d 山东大学硕士学位论文 卜回分别对1 1 ，| f 2 ，i s 绀出布目厦目可，f 舁 = 嘉善粼厶瞧仇也c 概，) u e ( - 酬姒 ：磊1刿(mam：m3m,ms)一33 5 q 厶 p _ 【p 4 ( q ) q 。1 + 鲁讥 = 6 m ) ，m ) f 3 1 1 1 其中，奇异级数6 ( n ) 1 满足 6 ( 啦砸，g ) ，砸，q ) = 粼， (3-12)p口 、17 这里，由于妒( q ) q ，所以有 她邮帮， 上式的右边情况可以参考任 3 中的引理4 3 对，( n ) ，由相关的多重计算就可得到 吾j ( n ) = ( m l m 2 m 3 m 4 m 5 ) 一；詈 ( 3 1 3 ) n = “l + r t t 2 + 。+ r n 5 m n 三m 龟( 圳m i n ( 盹赢ii ) ，m l “i 于是有 厶：。睡涮l 三仇一一e 2c 训 e 妒4 ( q ) 韭qk 又志卜 n 一訾( p q ) 4 n 一号n 4 一e ，( 3 1 4 ) 9 山东大学硕士学位论文 和 f。 如= 0 i 口p 蕃粼如 ：3 ) je ( 一 ，丙r su 一一j - 一 r 1 s p f + f o t _ 一 r 4 _ px 1r o o dr lx 4r o o dr 4q p 0 l q b ( n ，q ，x l x o ，x 4 x o ：x o ) ( o ) 妒4 ( ( f ) g f l q q i 皿( x l x o ，a ，) l i m ( x 4 x o ，a ，u ) i d a j 一、| q q b ( 几：q ：x 1 ，x 4 ) q n = 1 ( d ，口) = l q 口= 1 ( 4 ，q ) = 1 ，凸n 、 e l 一百 c ( x 1 ，n ) c ( x 2 ，o ) c ( x 3 ，n ) c ( x 4 ，a ) s ( q ，a ) e ( 一詈) c ( 删妒( 删c ( 舭) c ( x o , a ) 1 0 ( 3 1 7 ) ，丽 。而 厂一 d km 一国 ，l一4 b 一妒 妒 = 山东大学硕士学位论文 其中x 0 是模g 的主特征，7 o = 【r t ，r 2 ，7 - 3 ，t 4 ，+ 足对所有的原特征求和对于q 只( g ，p ) = 1 ，则$ ( x z x o ，入，u ) = 皿( x f ，入，) ，( f = 2 ，4 ) 以及皿( x l x o ，a ，u ) = 皿( x l ，a ，u ) ，其中，x 1 是原特征由( 3 4 ) 和引理4 3 ，可以得到 4 u 一j 工一一- 一 n s 尸r 4 尸x 1r o o dr 1 x 。三心，= m 刈川雪c x 2 , a , u ，i ”i 皿( 入，u ) i d a j q s p r o i q u l 。i 争8 一j 。j b ( n ，g ，x i x o ，尬x o ，x o x o ) 妒4 ( q ) q r 1 s 尸r 5 s px 1m o dr lx 4 m o dr 4 f l r o q j 一、h n q 皿( x 1 ，入，u ) l l 皿( x 4 ，a ，g ) l d a 在最后一个积分中，把i 皿( x l ：入，c 厂) i 及i 皿( x 2 ，a ，u ) i 拿到积分之外，剩下的利用柯西 不等式，可以得到 1 1 4 阳稚m 沙a x 。q ? 入，u ) r l s px 1r o o dr l + i a i i s n l a x 晚q i 皿( x 2 ，a ，u ) r z _ p x 2m o dr 2 心s px a m o dr 3+ ， 一1 。，r n a q qi 皿c x 。，a ，u ，j 2 d a ) 1 7 2 x 4 m o dt 4 。 f l r 4 q i i ，一1 r a q皿c x 4 ，入，u ，1 2 d a ) 1 7 2 ( 3 1 8 ) 现在，我们就可以用迭代法处理关于r 4 ，r 1 和首先用引理4 5 处理( 3 1 8 ) 关于r 4 的 求和因为r o = 【r 1 ，r 4 】= ( r l ，】，心】，我们有 盱1 ，r 2 ，他】，r 4 】_ 吾押 r 4 _ p = k ( r l ，r 2 ，r 3 ) 代x ( 3 1 8 ) ，则关于r 3 求和 x 4l l l o dr 4 成m w 汗d a ) 1 2 r l , r 2 ，r 3 一差托u 一1 2 l 。 旷气。沙驴5 x 。r o o d r o o dr 3 ( 篡r 3 s px 3 ，3 ” = u 一1 2 l 。k ( 【r l ，r 2 】) r l ，r 2 】_ 如u 一1 l 。， 1 1 i 皿( x 4 ，a ，u ) 1 2 d a 1 1 2 一 憎 山东大学硕士学位论文 这里我们再次用了引理4 5 接着对r 2 进行求和，我们有 u - x r 您一。m 1 a x 哪i v ( x 2 ，a ，【，) r 2 px 2r o o dr 2 。一 ：u 一1 l c j ( r 1 ) r f 扣酽， 这里用到了引理4 4 把这个估计再放到( 3 1 8 ) 中，我们就得到了，1 4 的最后估计 凡i 瞪写n - 三+ 穗m 1 r a x 。q i v ( x 1 a g ) i r l s px 1m o dr l ：u l c l ，( 1 ) u 2 l a j v 百2l 一 ， ( 3 1 9 ) 在最后一步中用到了引理4 6 由( 3 1 6 ) 和( 3 1 9 ) 的结论，我们就证明了引理2 1 1 2 口 义 第四章一些引理 这里，我们重新给出一些相关内容的定义设x 是模g 的d i r i c h l e t 特征，我们定 c ( x ，。) = 三q _ ( m ) e ( 孚) ， 同时记c ( q ，a ) = c ( x o ，o ) 对是模q 的d i r i c h l e t 特征，j = 1 ，4 ，定义 且 b ( n ，q ，x l ，x 27 x 3 ，x 4 j x o ) = 善qe ( 一警) c ( 删c ( 洲。职x 4 ，n ) 嘶) ( 4 1 ) b ( n ，q ) = b ( 仃，g ，x o ，x o ，x o ，x o ) ( 4 2 ) 乳卅= m 壹= le ( 竿) = 塞x o e ( 孚) 并令 6 ( ) _ ；- t - ( ”粼 ( 4 3 ) 引理4 1 ( v a nd e rc o r p u t )如果，( z ) 是【a ，6 】上可导的实函数，7 ( z ) 是单调 函数且满足i ，仕1 l 6 0 6 1 那么 e ( ，) = 6 酊+ 。( 1 + 羔) a n b 。“、7 证明 参见文献【1 3 1 ，引理2 3 口 山东大学硕士学位论文 引理4 2 则 证明 如果i o t i 互1 ，1 y z ，若记 死( z ，y ，q ) = n 1 + 圭e ( 礼口) ， z n x + y 死( z ，y ，( 1 ) z 石1 m i n ( y ， 利用a b e l 求和公式及如下基本估计式 引理3 2 容易得证 i q | - 1 ) e ( n q ) m i n ( y ，川。1 ) ， x n x + 置， 口 引理4 3设勋是模0 的原特征，其中j = 1 ，5 ，x o 是模q 的主特征，r o = 【r l 一，吧】，那么 口s # r o l q b ( n ，q ，x l x o ，x o ) ( 2 ，) ( o x 3 ，x o x 4 ，x o x 5 ) 妒4 ( 口) g r 0 一扣1 。g c z 证明注意到妒( g ) q ，引理的证明参见文献【9 】中的引理6 3 定义 和 口( a )= e ( a m 3 ) ， m u 皿( x ，a ，u ) = x ( p ) e ( p 3 a ) l o g p - - 氏e ( 仇3 a ) ， p一mlr 其中，如果x 是主特征，那么奴= 1 ；否则奴= 0 定义 和 ，( 夕) = 囟，r r 吾托 r s j )x i n o d 7 鼬)-”一托x，+i,i(x,a,u)12dar 2p j 一【， 由囟，r 】( 9 ，7 ) = g r ，则 如一扣x m o dr + ( 成柚川涸肼川阳a ) 5 驴一托等 矽u 1 2 善 9 卅母中2 9 书6 万u 1 2 莓矿6 r _ 1 2 托 夕一；+ e 7 ( 9 ) dpd 1 7 u 1 2 p l 2 + e 9 一+ s u 一 9 一扣u ， q 1 2 上面的计算中用到了( 2 1 ) 中关于p 和q 的定义 g 山东大学硕士学位论文 由 ( 成m 川阳a ) 5 ( ，：c i 面c x ，a ，u ，i 。+ j 皿c x ，a ，一毒c x ，a ，r ，i z ，d a ) 5 噱陬柚川同a ) i + ( 畿陬m 疆柚阳a 广 则定理的证明等价于证明如下事实，对r p ， 驴一托x ，弋成陬肼川同入) 吾9 书旷密，汪 利用g a l l a g h e r 1 4 中引理1 ，我们得到 成陬肼驯d a ( 南) 2 仁i ( a ( m ) x ( m ) 一氏) 1 2 d v m 3 v + r q ( 4 1 4 ) ( 南) 2 仁f 。 r n 3 _ v - i - 懒c 小奴恤 心 u y x 2ux y u 一2 r q ， 那么( 4 1 5 ) 式中最后一个求和项可以写为 ( a ( m ) ) ( ( 仇) 一氏) y m x 在估计( 4 1 7 ) 之前，首先注意到，对任意0 卢1 有 x 卢一y 卢x 卢一1 u 一2 r q u 卢一3 r q 对r 1 的情形，( 4 1 7 ) 的估计为 x y u 一2 q ， ( 4 1 6 ) ( 4 1 7 ) ( 4 1 8 ) 山东大学硕士学位论文 它对( 4 1 3 ) 式的估计为 9 书5 ( 专舻秽2 夕书” 这是可以接受的 对r21 ，此时在( 4 1 7 ) 中有x x o ，因此奴= 0 用h e a t h - b r o w n 恒等式进 行求和，应用p e r r o n 求和式，对 t ：= u 知( 4 1 7 ) 是一个有o ( l 1 0 ) 项的式子的线性组合，其中每一项都有下面的形式 盯( u ；m ) ：= i if 一，f ( 三+ i t ? x x 1 2 + i t _ y 1 2 + i t - d t + o ( l 2 ) ， 这里m ，f ( s ，x ) 都如刘【9 】第五章中的相关定义容易得知 可xtl2+it_yll2+it=。，班托札 l 2 + i y 根据( 4 1 8 ) ? 这个积分可以简单估计为 x m 一y 1 2 n q w 一耽 另一方面，我们又有平凡的估计 x 1 2 + i t y i 2 + i ex 、 2u 1 f 2 可再万一可可 把上述2 个上界估计放到一起，得到 等筹芋蛐( 黑，箐) 弋匠矿舢ni 、面，可厂 取瓦= 堡餐翌，我们得到 巾；m ，器缸瓦) 卜 + 洲2 l ) 肾 1 7 山东大学硕士学位论文 j 簟陬删2 d 入一帮( t 2一l r q w 1 ，i i s t i 二f + 丽u 4 l ez 肾( l 5 ti f ( 知x ) 黔+ 面铲肾l 厶 tl 互州x 夕i 雨夕 u 3 l c - + 硒研。 i = = 面式子中最后一项对f 4 1 3 1 式的估计为 枷eg - 3 2 + x e 可u 3 2 l c 夕r rym o dr 因此( 4 1 3 ) 式的左边又可写为 一3 z + 。竺! ：! 墨墨： p q g - 3 2 托u 一1 2 l 。 u - 1 l c m a x ，e 、r g ，r ，- - 3 2 + e x e m 。d ，z i 曼ll f ( 三+ 乱，x ) l d t + 酉u 2 l c 帮三k 卅。3 2 托x ，厶 m 曼ti f ( 三+ 纸x ) l 嵩 + 9 3 2 托u 一1 2 l 6 囟川- 3 2 + 5 量ef ) 卜夕_ 3 2 托吡c ， 这里要求r p 和0 正瓦；以及 ”，- 3 2 + s e f 懒) i 出9 叫2 牝鲁慨z 2 。， 这里要求r p 和正 t 2 u 关于( 4 1 9 ) 和( 4 2 0 ) 两式的估计可以采取与引理4 4 的证明中相关部分的证明 一样的方法，将在下面以引理的形式给出，故略去相关的证明于足引理4 5 得证口 引理4 7 ( l i u - l i u - z h a n )若f ( 8 x ) 如上所述，且a 1 是任意的那么对任 意1 r x 2 和0 0 是一个与a 无姜的绝对常数而蕴涵在中的常数依鞠干a 的值 参考文献 【1 v i n o g r a d o v ，i m ，r e p r e s e n t a t i o no la no d dn u m b e ra st h es u mo ft h r e ep r i m e s ，d o k l a k a d n a u ks s s r ，1 5 ( 1 9 3 7 ) ，2 9 1 2 9 4 【2 】