（天体物理专业论文）宇宙弦圈及其相关问题的研究.pdf

论文题目：宇宙弦圈及其相关问题的研究 学科专业：天体物理 学位申请人：敖犀晨 指导老师：李新洲 摘要 根据人统一理论，早期宇宙在其相变过程中会有拓扑缺陷形成，按维数可分 为：畴壁，宇宙弦，单极子和纹理四种。其中宇宙弦被认为是宇宙形成大尺度结 构的种子，而备受关注。宇宙弦根据不同的边界条件又被分为无限长弦和闭合弦 圈两类。对于宇宙弦的各种研究中关于宇宙弦和弦圈演化的研究一直就是其中的 重点。1 9 9 8 年科学家发现了宇宙的加速膨胀，并提出了带有暗能量组分的新型 宇宙学模型。那么在这种新型的暗能量宇宙学中弦圈的演化会有什么不同吗? 这 就是本文研究的动机。 我们对标准人爆炸宇宙学模型中的弦圈方程进行了数值求解，发现不论其初 始半径的大小，所有弦罔最终一律进入收缩相。然而，在我们以同样的方式对暗 能量宇宙学模型做数值求解时，我们却发现对于那些初始半径足够火的弦圈，它 们最终进入的不是收缩相而是一个膨胀相，收缩还是膨胀是由初始半径决定的。 而且我们还发现对于各种不同的暗能量模型，态方程参数越小弦圈就越容易发生 膨胀。接着我们研究了各种态方程参数下弦圈收缩相和膨胀相的临界状态，发现 对于现时的宇宙理论上我们仍可以观测到宇宙弦圈。最后我们解析的讨论了在暗 能量宇宙中我们能观测到宇宙弦圈的最后时刻以及弦圈开始进入极速膨胀相的 时刻。 关键词：宇宙弦暗能量宇宙学常数标度因子 论文类型：理论研究 t i t l e ： t h er e s e a r c ho fc o s m i cs t i r n gl o o p m a j o r ：a s t m p h y s i c s a p p u c a n t ：a ox i - c h e n s u p e r v i s o r ：l ix i n z h o u a b s t r a c t f r o mm eg u tt h e o r y ，w ek n o wt l l a ts o m et o p o l o 舀c a ld e f e c t s ，s u c h 嬲d o m a i n w a l l s ，c o s m i cs t r i n g s ，m o n o p o l e sa n dt e x t u r 骼，m i 曲th a v eb e e nf 0 册e da tt h cp h a s e t r a n s i t i o ni nt h ev e 拶e a r l yh i s t o r yo ft h eu n i v e r s e a n dt h ec o s m i cs t r i n g sa r eo f 孕e a t i n t e r e s t ，w h i c _ ha r em o u g h tt ob em es e e d st h a t1 e dt ot h ef o r m a t i o no ft h e l a r g e - s c a l es n l l c t u r e sw eo b s e et o d a y c o s m i cs t r i n g sc 锄b ec l a s s i f i e db yt h e b o u i l d a r yc o n d i t i o ni n t 0 押oc a t e g o r i e s ：i n f i n i t el o n gs t r i n 笋a i l dd o s e d1 0 0 p s 1 1 1 e s t u d yo ft h ee v o l u t i o no fc o s m i cs t r i n g si so fm eg r e a t e s ts i 印i f i c a l l c ei nm ec 0 s m i c s t r i n gm e 0 1 9 9 8a s t r o n o m e r sf o u n dt h a tm eu n i v e r s ei sn o to n l ye x p a n d i n g ，i “s a c c e l e r a t i n g t h e r e f o r e ， s c i e n t i s t s p r o p o s e d an o v e lc o s m o l o 舀c a lm o d e lw h i c h c o n t a i n san e wc o m p o s i t i o n ，d a r ke n e r 阱s o ，h o wd oc o s m i cs t r i n 黟e v o l v ei nt h e d a r ke n e r g yu n i v e r s ei sab i gp r o b l 锄t o d a ya n da l s oi st h em o t i v a t i o no ft l l i st h e s i s w es o l v e d l es t r i n g1 0 0 pe q u a t i o ni nt h es t a i l d a r dc o s m o l o g yb yn 啪舐c a l m e t l l o d s ，锄df o u l l dn om a t t e rw h a tt l l ei n i t i a lr a d i u si st 1 1 el o o pw i l lc o l l a p s et 0 a p o i n t ，f i n a l l y a n dw ed i dt l l es 锄ea p p r o a c hm es t r i n gl o o pi nn l e 锄【哪y c o s m 0 1 0 9 y h o w e v e r w ed i s c 0 v e r e dt l l a ti ft l l ei l l i t i a lm d i u si sl a 曙ee n o u g h ，m el o o p 诵l le x p a n di n 孤a c c c l e r a t i n gw a y e v e f l t u a l l y f u n l l e m o r e ，w ef b u i l dw h e t h e rn l e 1 0 0 pw i u 唧a n do rc 0 1 1 a p s ef i n a l l yd 印e n d so nt 1 1 ei m a lr a d i l l s 锄dm e l e s ss t a t e e q u a t i o np a r 锄酏e rw w i l l1 e a dl o o p st ob e c o m et h ee x p 锄d i n gs t a t ee a d i e r 锄de 2 l s i 既 m l dt l l 饥，、阳s t u d i e dt l l e1 0 0 p s c r i t i c a ls t a t eb 曲 ，e e nc o l l a p s i n gs t a t e 锄de x p 锄d i n g 曲曩t ea t 吐比b a c k g m u r l do fd i 保嗽l ts t a t ee q u a t i o np 瑚曲昌r s 跚df 0 u n d l a tw ea r e a ：b l et 0o b s e et l l ec o s m i cs t r i n g1 0 0 p st o d a y f i n a l l y w ed i s c 惦s e d l et i i i l ew 【l e n t i 地w ec a no b s e r v em el 嬲tc o s m i cs t r i n gl o o p ，锄dw h e nl o o p sw i l le n t 日i n _ t om e e 】国。鼬e l yr a p i de x p 趾蛐s t a t c 1 ( e yw o r d s ：c o s m i cs t r i n g ，d a r ke i 】詹玛y c o s m o l o 舀c a lc o n s t 锄t ，s c a l ef a c t o r t h e s i sb ，p e ：m e o r c t i c a lr e s e a r c h 上海师范人学硕十学位论文论文独创性声明 学位论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究 成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表 示了谢意。 激作者虢墉江 日期：山嘈年5 月刀日 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学壤孽坚 保留逸交铥文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布译文塑瓮登璧孽 芬呙容，可以采用影印、缩印或其它手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 做作者签名擐压粤跏年5 月d 7 日 导师签名名斟倦名角： 年 月日 i ：海师范人学学位论文 第一章钉i 扑缺陷 第1 章拓扑缺陷 1 1 引言 这几年来，宇南学和粒子物理的交叉领域发展的很快。潜心于统一场论研究 的粒了物理学家们希望能在更高的能量标度下检验臼己的理论，而具有极高温度 和密度的早期宇宙就是一个性能良好的天然实验室。与此同时，宇宙学家们则在 追溯早期宇宙中导致现在观测结果的那些原因。 早期宇宙留给我们的痕迹并不多，但我们仍能通过一些观测现象来验证我们 现有的物理理论。如果我们现在那些关于统一场论和热大爆炸宇南学的理论是正 确的话，那么宇宙在其诞生之后的极短的时间内必会经历一系列的相变。这与我 们大家相对熟悉的凝聚态物理中的相变一样，这些相变会导致各种不同的拓扑缺 陷形成，按维数可分为畴壁、弦、单极子还有纹理。大多情况下，这些拓扑缺陷 都具有稳定的拓扑性质，这也使得我们在现时的宇宙中仍有可能观测到这些米自 宇宙早期的信息。 在这些缺陷中，畴壁和单极了都会导致不可接受的物理结果，因此被认为是 是灾难性的 1 2 ，而宇宙弦则没有遇到这些问题，性质良好。宇宙弦可以分为 开放的和闭合两种，闭合的宇宙弦又被称为宇宙弦圈。这两种宇宙弦又共同构成 了宇宙弦网络( c o s m i cs t r i n gn e t w o r k ) ，被认为是宇宙大尺度结构的种子 3 4 ，可以被用于解释星系和星系团形成，所以受到人们的广泛关注。对于现 在的观测水平来说，宇宙弦有着明显的观测效应，相对易于发现，这就使得人们 可以通过观测来检验其理论。即将发射的普朗克( p 1 a n c k ) 卫星以及l i g 0 和其 他引力波探测器都试着去寻找宇宙弦存在的证据，试图通过这些证据更好的了解 早期宇宙。 第一章新i 扑缺陷：海j i | j 范人学学位论文 本文就主要介绍了：什么是拓扑缺陷，什么是宇宙弦和宇宙弦圈，它们的形 成和演化等问题：并着重研究了在有暗能量情况下宇南弦圈的演化过程。 1 2 拓扑缺陷 如果一个系统的真空解4 i 具有系统木身所具有的对称性，那么以该真空态为 摹态的物理体系也一定不具有系统的对称性，所以我们称该系统发牛了对称性的 臼发破缺( s s b ) 。与凝聚态物理一样，宇宙学中的白发破缺的对称性是可以在高 温下恢复的。所以我们现在所看到的宇宵中那些被破坏了的对称性在早期宇宙是 存在的。早期宇宙，温度急剧下降，经历了一系列相变，这使得许多物理场发生 了对称性的自发破缺，从而导致了其真空流形上出现了各种非平庸的同伦群， 7 r ，。( 彳) ，也同时导致了这些物理场上产生了一些相应的特殊结构。因为这种 结构是拓扑稳定的，所以定名为拓扑缺陷或拓扑孤立了( t o p o l o g i c a ls o l i t o n ) 。 根据维数我们可以将这些缺陷分为：畴壁，宇宙弦，单檄子和纹理。其中畴壁相 对应的是离散对称性的破缺，其他三种相对应则是连续对称性。卜商就具体介绍 一下这几类拓扑缺陷。 1 2 1 畴壁( d 伽a i nw a l l ) 畴壁一般出现在系统发生离散对称性破缺的时候。该对称性被破坏后，真空 流形m 被分割为一些相互不连通的但具有不同拓扑结构的若干分支。畴壁就产生 在这些不同分支空间区域的边界上面。会发生离散对称性破缺而产生畴壁通常是 一些具有特殊势的标量场。双阱势的最简单戈德斯坦( g 0 1 d s t o n e ) 标量场就是 一个典型的磊对称性破缺的模型。拉格朗日密度为： 2 = 壶壤扩一丢( 扩一，7 2 ) 2 。 ( 1 2 1 ) 其中a ，竹为两个常数，且a 俨。该拉格朗日密度在历变换下保持不变，所以该 系统具有易对称性。再看其真空解，如果卵2 0 ，系统的真空解为粕= 0 ，保持 。当入 0 时系统才是稳定的 2 l ：海师范人学学位论文第尊| f 对 缺陷 了对称性：而如果，j 2 i ) ，该系统真空解为：咖j = 士7 7 ，真空解并4 i 满足磊对称 性，所以分别以这两个真空态为基态构造的拉格朗日密度都不再满足磊对称性， 因此对称性就发生了所谓的白发破缺。 从( 卜2 1 ) 式可以得到咖的运动方程： 雾一州舡= 【1 ( 1 2 _ 2 ) 这里我们考虑边界条件为：当x 趋向于o c 时，f 7 l 应该趋向于两个真空解；且又因 为要满足正则性，所以要求x 在经过。的时候，p 也同时穿越0 值，我们可以得 到g 0 1 d s t o n e 场的一个稳定的解析解，该解被称为纽折解( k i n k ) ，如图卜2 ， z ) = 吁t a l l l i ( ( a 2 ) 1 2 ，7 z ) 。 ( 1 2 3 ) 由图卜3 可以清楚的看出，当x 趋向于o c 时，9 趋向于叩，当x 趋向于一时9 趋 向于一7 7 ，这些无穷远处的点就对应着模型的两个真空解，( ) = 土”。而在x = o 附 近由一破到，7 的那个纽折部分就被称为是畴壁，由它联系着两个不同毋值的分支。 中问南一个二维的畴壁连接起米。显然，畴壁的曲率半径要比它的厚度大的多。 畴壁的厚度约为： 6 一( 瓠7 7 ) 。 ( 卜2 4 ) 畴壁中心的能量密度约为a 卵4 ，那么表而的能量密度约为仃一彬一佤7 3 。根据标 量场的能动张量定义式： = q 。多以一跏2 ， ( 1 2 5 ) 图l - 1 双阱势场图卜2 畴壁 + + 3 第一章射i 扑缺陷i ：海| | i i j 范人学学位论文 我们可以得到畴壁的能动张量： 聪= 扣1 【j 幽( ( a 2 朐7 j ) 】( 1 i a g ( 1 m1 1 ) 。 由上述方程我们可以得到畴壁表面能量的精确表达式： 仃= 啦一攀俯。 西 图卜3 纽折解( k i n k ) 1 2 2 弦( s t r i n g ) 连续对称性的破缺同样也可以产生拓扑缺陷。弦形成于系统轴对称或柱对称 发生破缺时，一般出现在于非单连通的或者说是有洞的真空流形m 上。从拓扑上 来说就是其真空流形坻具有非平庸的同伦群， r l ( 讹) ，。我们以最简单的u ( 1 ) 整体弦作为例子。在具有墨西哥草帽势的g o l d s t o n e 模型中，其拉格朗口密度为： 1 2 一( 讧。巧) ( 咖) 一言入( 如一矿) 2 ， ( 1 2 8 ) 其中西为一个复标量场，为了保持系统的稳定性，与前面一样令入 0 。可以明显 看出该拉格朗日密度在u ( 1 ) 整体变换下是对称的， ( 茁) 争e i a 妒( $ ) 。 ( 1 2 9 ) 系统的运动方程为： 、 纯扩咖+ 害驴( 郝一矿) = o 。 二 当叩2 o 时，系统的真空解为毋) = o ，不发生对称性破缺。而当，7 2 o 时，系统 4 、j 、j h v i - ， 一 一 2 2 一 一 l 1，l，l i ：海师范人学学位论文第一章| i 扑缺陷 真空解变为( ) = ，c 埘，其中1 9 为相位细，是个可取任意值的常数。这些退化的真 空态构成了一个真空流形，即复平面上的一个圆周，= ”。对该真空态做u ( 1 ) 整体变换， ( 咖) = 7 p 毋+ ( 妒) = 沁+ 一) 。 变换后的真空期望值并不等于变换前的，所以以这些真空态为基态构造的拉格朗 日量1 i 再具有整体u ( 1 ) 对称性，因此也就会发生对称性的破缺。而实际情况往 往不是一个常数真空解那么简单。根据方程( 卜2 1 0 ) 我们可以找到的一个稳定 的轴对称的a n s 乱z ： 6 ( r ) = ”f “口，( ，) 。 ( 1 2 一l1 ) 其中r 为真实物理时空中x y 平面卜的极坐标半径，p 为x y 平面卜的极角，n 为弦的绕数，而，( ，) 的数值解的图像为图卜5 。从图t l - 可以看出当，一。c 时， g o l d s t o n e 场趋向于其真空解，所以，( 。) = l ； 当，_ 0 时，一0 ，满足 连续性的要求。对于该a n s a t z ，时空中每点的g 0 1 d s t o n e 场的相位等于该点在 时空坐标中的极角，所以又被称为涡旋场相，如图卜6 。从图卜7 a ) 中，我们可 以看出西随时空分布的一个示意图。 g o l d s t o n e 场在x y 平而上的能量密度为： 图卜4 墨西哥草帽势 簟这是一个理想情况下的螂a 乜，是个理想化的模型，实际的g o i d i t 0 鹏场要比这个复杂的多。 第一章舸i 扑缺陷 ：海5 l i | j 范人学学位论文 = 护+ lv9 1 2 + v ( 纠。 通过数值计算我们可以得到它的示意图：图卜7 b ) ，从中我们看到在原点附近有 着很高的能量密度，而在半径很大的区域则趋向于0 。我们把图卜7 a ) 和b ) 中 原点附近这种特殊的结构称为该平面卜的涡旋( v o r t e x ) 结构。如果把x y 平面 拓展到全空问，由于连续性，这种平面上的结构必会形成一种新的全空问中的线 性结构，我们称为拓扑缺陷中的弦。 同样可以从拓扑卜来考虑这个问题，即如果系统的真空流形1 i 是单连通的， 或者说真空流形具有非平席的同伦群7 r i ( m ) ，这时就会出现拓扑缺陷巾的弦。 这里首先得介绍一些基本的拓扑概念。假设在一个流形m 上有若干条通过流形中 仃一同定点：r 。产的闭合曲线，这些曲线可以看成是从参数空间s 一到该流形上的 映射，并称流形m 卜的那些闭合曲线为s 1 在m 卜的像或路径。如果这些闭合曲线 能通过不离开m 的连续的变形相互转换，那么称这些映射互为同伦等价类 ( h o m o t o p yc l a s s ) 。而一个流形上各种不同的等价类在给定乘法规则后可以共 同构成个基本群( f u n d a m e n t a lg r o u p ) 零，记为丌l ( 甜) ，其群元就是每。利- 的等 价类。如果我们把前面的一维闭合圆周s 1 推广到更高维n ，就可以得到了更高阶 的同伦群，并记为( m ) ，n 称为阶数。这时m 上的像也相应的变成了n 维的。 f ( r ) 图l sf i r 随r 的分布 曲称z o 为基点 o s 为一维的闭合圆周 曲也称为第一阶同伦群 6 8 芝廷丝 、t 产7 、 - 7 ， 、i ，- ， ，7 i 、 ，t 彳i s _ ，i fl 、“、 ， ， 、 ， ，膏、 圉1 - 6 搠的涡旋场相 海| f i i j 范人学学位论文 第一章拼i 扑缺陷 白 图卜_ a ) c _ 场在x y 甲面上的分加jb ) 能量密度在x y 甲面上的分川j 这里流形是g o l d s t o n e 模型的真空流形 忆，为复平面上的。个圆周：川= 。我 们同样可以将。4 个闭合圆周s 1 映射到该真空流形上，l o = 西【s ( s 1 ) 。其中d 表示 。1 在a 矗? 上的像，是流形上的一条闭合路径；s 表示s 1 到时空的映射，为真实时 空中的一条闭合曲线，不同的映射s 对应不同的时空曲线；曲则是时空闭合曲线 到真空流形的映射，其映射方式是固定的，即表示时空点上的场的相位。流形批 上的各种。等价类可以构成a 亿的基本群，并把其中包含基点本身的那类称为单 位元。因为上。为闭合路径，所以沿五d 绕行一周，相位的变化必为2 n 7 r ，n 为整数， 所以我们可以用整数加法群来表征7 r l ( 讹) 。不同的n 的值就代表4 i 同的等价类， 其中n = o 为单位元。如果时空中有一条l = 5 t ( s 1 ) ，如图卜8a ) ，它所对应的口 4 i 属。丁单位元等价类，即耳l ( a ，( ? ) 中有非单位元的群元，玎1 ( a ，亿) ，那么就意 图卜8a ) 真实时空中的闭合曲线与穿越它的弦 b ) a ) 图中l 对应的真空流形中的路径己矗 第一章射i 扑缺陷海| f i i j 范人学学位论文 味着必有弦穿过了这条时空曲线l 。环绕弦的闭合曲线和1 i 环绕弦的闭合曲线在 拓扑上必定属于不同的同伦等价类。这正是弦的最大特征，也是定名为拓扑缺陷 的原因。如果真空流形有其他阶数的非平庸同伦群，则会m 现其他维数的拓扑缺 陷。 关于弦的形成、演化和观测等具体内容会在后面章节给出。 1 2 3 单极子( m 0 n o p 0 1 e ) 如果把1 2 2 中的真空流形从一维圆周推广到二维球面，我们便可以得到 一种新的点状的拓扑缺陷，称之为单极子。与弦一样，从拓扑卜来说意味着真空 流形地，具有非平席的同伦群，只不过这里的阶数不同，弛( 。l ， ，) 广。最简单 的模型为th o o f t p 0 1 y a k o v 单极子，拉格朗日量为： 影= 壶谚。矿一三p p l ，一言( 矿一 7 2 ) 2 ， ( 1 2 1 3 ) 其中 f 0 嚣吼a ：一以。4 ；一e ，撕4 j ：， d ，扩= 4 。矿一e e n k a ：扩。 这里西为一个三分量的场，= 1 2 3 为群指标，且a 仍为大于。的常数。与弦一 样，当7 产o 时，真空期望值为：雠= o 、a ；= l j ，不存在对称破缺：当矿 o 时， 真空期望值为：销= 咿一，原来的s o ( 3 ) 对称性会被破坏而变成为扩( 1 ) 对称性。 而这个u ( 1 ) 就是电磁理论中的规范群。通过h i g g s 机制，s o ( 3 ) 的3 个玻色子中 2 个获得了质量：执= e 2 矿，并存在一个h i g g s 标量粒子，质量为帆= a 矿。 th o o f t 和p 0 1 y a k o v 首先给出了这个场的一个球对称的稳定的解 5 6 ， 因为场相像刺猬，所以被称为“刺猬”a n s 狐z ，如图卜9 ： 。与弦不同，弦是万l ( 射) ，单极子是7 r 2 ( m ) 。 8 i ：海师范人学学位论文第一章拓扑缺陷 矿= ”卅) ! ， ( 1 2 1 5 ) 群= 一【i k ( ，) p 吕， a ；= 。 ( 1 - 2 1 6 ) 考虑其在无穷远处逼近于真空态，要求r o 。时，扩_ 磷l 、_ n _ r 州6 三，所以 0 b ( o o ) = 1 ? ( ) = o ， ( 1 2 1 7 ) 且又由于系统的正则性( r e g u l a r i t y ) ，要求r - 0 时，扩小_ ( ) ，所以 ，l l = ij ( i j ) ；l 。 ( 卜2 1 8 ) 根据以卜的定解条件我们可以得到数值解，如图卜l o 。 根据哈密顿密度的定义，对于一个稳定的场其能量是由势能以及场的空间梯 度这两部分贡献组成的。通过数值计算，可以发现在半径较小的区域有着较高的 能量密度，而当半径较大时，能量密度趋向丁0 。综合卜面的几点，我们发现在 发牛自发对称性破缺后原点附近的区域，l - 出现了。种特殊的球对称结构，在那里 h i g g s 场和矢量场都趋向丁o ，并且用着较高的能量密度。我们把这种特殊的点 状结构称为单极子。 类比前面的弦，我们同样可以从拓扑性质上来讨论。在th o o f t p 0 1 y a k o v 单 极子模型中，真空流形为二维球面妒妒= 矿。我们可以将此流形与参数空间s 2 建 立映射，并把这种映射称为第二阶同伦群，记为7 r 2 ( ) 。如果时空中存在一个 图l - 9 单极子的刺猬相( h e d g e h o g ) 9 第一亭钉i 扑缺陷：海| f i i j 范人学学位论文 闭合曲面，它对应的真空流形卜的像一i 能通过连续形变收缩全基点的， 砸( a 以，) j ，那么就意味着时空曲面的内部有巾极子的存在。巾极子就是这么 一种特殊的结构：时空q j 包含它的闭合曲面和不包含它的闭合曲面对应的真空流 形中的像在拓扑卜属于不同的同伦等价类。 图卜l oh ( r ) 和k ( r ) 沿半径r 的分布 1 2 4 纹理( t e 工t u r e ) 如果再把真空流形的维数扩大到3 维球面，那么我们可以得到最后一种拓扑缺 陷，即，纹理。相对于前面的弦和单极子，纹理具有非平庸的第三阶( t h e3 州) 同伦群，7 r 3 ( m ) 。描述纹理最简单的方法要从1 维和2 维非奇异的孤子( s 0 1 i t o n ) 开始，它们分别可用同伦群7 r l ( 彳) 和霄2 ( m ) 的群元来进行分类。我们首先考虑一 个具有墨西哥草帽势( 见图卜4 ) 的复标量场爹( z 。) 。前面已经讨论过，该模型 的真空流形是一个圆周，所以具有非平庸的同伦群，7 r l ( m ) ，。现在假定有这 么条直线x ，场咖在z _ 士o o 时取向于同一个值。这样的边界条件导致了该直线 与圆周拓扑等价，并且场也可以具有非平庸的绕数。我们把这样的真空流形对应 的拓扑缺陷称为l 维纹理。三重态场西可以以同样的方式构成2 维纹理，假设有 1 0 i ：海咖l j 范人学学位论文 第一章钉i 扑缺陷 一个，r 面，扩场在其无穷远处具有同样的边界条件，这样构造了个与2 维球面 拓扑等价的真空流彤。类似的，我们可以推广到三维，这样我们就构造了等价于 三维球面的真空流形，如果从s 3 到该真空流形( m ) 的同伦群是非平庸的，即 7 r 3 ( m ) ，那么就有了三维纹理。 1 4 l 卜l l a ) 与l 维网周打i 扑等价的l 维纹理 b ) 与2 维球面拓扑等价的2 维纹理 1 2 5 拓扑缺陷的分类 通过上面的讨论，我们可以很明显的发现真空流形的拓扑性质赢接决定着在 某一个具体的对称性破缺下，拓扑缺陷是否存在。如果真空流形为离散的点，对 应着离散对称性破缺产生的畴壁；如果真空流形为一个圆周，那么就对应着轴对 拓扑缺陷维数分类 畴壁 2 铂( m ) 弦 l 7 r l ( m ) 单极子 0 丌2 ( m ) 纹理他( m ) 表卜l拓扑缺陷分类表 第一章射i 扑缺陷 i ：海| | i | j 范人学学位论文 称性破缺产生的弦；如果真空流形为一个二维球面s 2 ，那么对应着s 对称性破 缺产牛的单极子。我们可以根据根据同伦群理论崩同伦群的阶数给真空流彤进行 分类。所以我们最终可以通过真空流形的4 、= 同的非平庸的同伦群对拓扑缺陷进行 分类。 1 3 宇宙学相变 在热学和凝聚态物理中相变可分为两类。第一类( 或一级) 相变：相变过程 中体积和熵发生突变，或者说，吉布斯函数的一阶偏微分在相变前后连续变化， 伴有相变潜能释放或吸收。第二类( 或二级) 相变：相变过程中体积和熵不发生 变化，但是比热容、膨胀系数和压缩率发生突变，或者说，在相变前后吉稚斯函 数的一阶偏微分连续而二阶偏微分不连续，此过程不伴随有能量变化。由于早期 宇宙的温度很高，我们必须考虑温度对系统的影响，所以要用高温有效势( f i n i t e t e m p e r a t u r ee f f e c t i v ep o t e n t i a l ) 米代替原米的拉格朗日密度中的势场芎，而 这个有效势场是温度的函数，因此势场会随着温度变化而变化。开始阶段温度极 高，有效势场的最小值直位于= o ，而当温度降到某+ 临界温度以下时，最 小值的位置使不再是= o ，系统出现了非。的真空态，由此系统就发生了相变。 根据模型的具体形式的不同，可以按照凝聚态物理的分类标准把相变分为一级和 级这两类。 1 3 1 二级相变 这里我们以前面1 2 2 中考虑的最简单g 0 1 d s t o n e 模型为例子。该模型在 高温下的有效势能为： ( 多，丁) = m 2 ( r ) 钟+ 扣1 4 ( 1 夸1 ) 其中 。前几章给的势场可以看成是温度为。的时候系统的势场。 1 2 i ：海师范人学学位论文 第一章拓扑缺陷 系统的临界温度为： 川锕) = 龛( p “矿) ， ( 1 寸2 ) t = 怕7 ， ( 卜3 3 ) 如果丁z ，有效质量的平方项2 ( y ) 大于等于o ，系统的真空态为( 咖) = o ，冈 此对称性没有被破坏。相反，如果丁 z ， t 2 ( 7 ) l 的弦会衰变成n 条 绕数为1 的弦。当n = 1 的时候，p 和q 的数值图像为，图2 2a ) 。从该图中可 以看m ，当p 一。g 时，) ( ) _ 1 ) 。( ( 力- l ，所以标量场在无穷远处趋向于其真 图2 一l 三维空间中的n i e l s e n - o l e s e n 涡旋线 ：海l l i l j 范人学学位论文 第二章字甫弦 窄态，a p - 掣：当，_ 。时，两个场都趋向于。，这满足连续性要求。 通过上面数值计算的结果我们可以得到这个系统的哈密顿能量密度在x y 平面 卜的分布图像，如图2 2b ) 彤= | ( v 吨w + 譬州小 弓前面的整体弦类似，系统在小半径的区域内出现了一种能量不处于最小值的特 殊结构。这就是a b e l i a n h i g g s 模型中的u ( 1 ) 局部弦。由此我们也可以得到弦 的单位长度能量，即弦在x y 平面上的场的总能量。 p = 护= z 知z 办删砌帕c 鼽 其中岁= ( 筹) ! = 刍，而( j 则是随，i 缓慢变化的函数。而当慨= a ，声= l 时，矢：晕= 场。1 和标量场0 的运动方程退耦，此时可( p ) = l ，所以，= 2 万叩2 。 而关于弦的粗细则是用康普顿波长( c 咖p t o nw a v e l e n g t h ) 来描述的： r s 蟾1 = 【娲) ， 7 ，射f 1 = f 雁刁) 。 图2 2a ) p q 在x _ y 平面上沿半径的分布b ) 能量密度沿半径的分布 2 l 第二章宁甫弦 海! j i i j 范人学学位论文 图2 3分别为n i e l s e n o l e s e n 弦巾的h i g g s 场，规范场和哈密帧密度狂x y 平而上的分布 2 2 弦的形成 在热大爆炸宇宙学中，宇宙起始于一个温度异常高的状态。随着它白身的膨 胀，温度随之急剧下降，并经历了一系列重要的相变。前面的1 3 中介绍了这 些相变的发生以及分类方式，而这里则介绍了他们发生的时期，按时间排序为： 1 ) 大统一相变( t h eg u tt r a n s i t i o n ) ：发生于7 一l 旷3 二一7 1 一删5 ，“相 变前，除引力外的其他三种相互作用是统一的。当宇宙温度低于此温度时， 相变发生，对称性也即发生了破缺，gos j ( 3 ) s 吲2 ) 职1 ) 。 2 ) 弱电才 j 变( e l e c t r o w e a kt r a n s i t i o n ) ：发生于z 一1 【) 一1 一，丁一1 0 3 g e v 。在 此相变过程中，s ( 3 ) s f ，i ( 2 ) 以1 ) - + 飘；) ( 1 ) ，分离了电磁作用和 弱作用。 3 ) 夸克一强子相变( t h eq u a r k h a d r o nt r a n s i t i o n ) ：发生于t 一1 ( ) 一6 s 一1 g y 。此相变过程中，最主要的是发生了夸克禁闭。当温度低于此温度 时，夸克就被禁闭在强子中不再单独出现了。 产生宇宙弦的相变过程主要发生在大统一和弱电相变时期，与之对应的弦分别被 称为大统一弦( g u ts t r i n g s ) 和弱电弦( e 1 e c t r o w e a ks t r i n g s ) ，其中大统一 弦被认为是产生大尺度结构的种子。而发生在这两时期的相变过程同样也分为第 一类相变和第二类相变两种。 ， i ：海师范人学学位论文 第二卒宁宙弦 对于第一类相变，系统是通过“气泡成核”方式来实现整个相变过程。如前 面1 3 2 所说的，当温度降到某一临界值一下以后，原先处于= l j 的真真空 态变为了弧真空态，而位于例f 】的点变成了真真空态。这时原本处于弧真空态 的时空中的某些区域通过隧道效应穿越势争到达真真空态。而这些达到真真空态 的区域就看作亚真空态中的“气泡”。这些气泡，带有各种刁i 同的相位，对应着 系统的真真空流彤中的各种真空态。而具体带有什么相位是由相变时的随机热扰 动决定的，所以大于相干长度的两个区域在选择相位时是相对独立的。随着相变 的继续，这些气泡不断膨胀，直至最后融合在一起。当三个或三个以上的气泡碰 在一起的时候，会出现一些公用的的线性边界。如果绕线性边界一周，其相位变 化为2 n ，那么称该公用线性边界为宇宙弦，n 为绕数。 对于第二类柏变，并不存在业真空态，所以当柏变开始时，时空中每一处的 h i g g s 场都开始离开不稳定的= o ，转而去选择此时稳定的真空态 川= 毒( 砰一p ) 1 力。与第一类相变一样，每一个区域具体选择哪一个真空态取 v u 决于当时该处的热扰动。所以如果两个区域相隔小于相干长度，那么他们应该处 于相同的相位，而当相隔大于相干长度时，他们的相位选取是相对独立的。当宇 宙温度低于g i n z b u r g e 温度时，砒g g s 场的相位被冻结，不能再通过热扰动相互 转换。这时以及之后的h i g g s 场就可以看成是有许多个尺度为白1 1 的区域组成， 不同的区域带有各自独立的相位。这些区域相互接触，形成许多线性的公用边界， 与前面的第一类相变一样，如果绕其一周，场相位变化为2 t ，7 r ，则证明该边界为 宇宙弦。 由于连续性的要求，宇宙弦只能以开放的无限长弦和闭合的弦圈这两种形式 存在。v a c h a s p a t i 和v i l e l l k i n 在一个立方体模型中数值模拟了弦的形成，发现 初始时期有8 0 的弦是以无限长弦的形式存在的，而另外的2 0 9 的弦是以弦圈形 式存在。这些初始状态并不那么重要，弦最终的状态主要取决于中间的演化过程。 所以研究弦、弦圈和弦网络如何演化是宇宙弦研究中极为重要的一个部分。 这里的n 为大于o 的正整数 1 1 宇宙在g i 毗b l l r g e 温度时的相干长度。 2 3 第二章宇甫弦：海l i i j 范人学学位论文 图2 4宇宙弦的形成 2 3 宇宙弦的观测 任何科学假设最终都需要经过实验或观测的验证，宇宙弦理论也不例外。对 于宇宙弦的观测现在丰要采取的方式是寻找其引力作川产牛的观测效应和研究 其在c m b 卜留+ 卜的痕迹。 如前面所介绍的，弦白身具有能量，那么它必定就会产生引力效应。我们可 以通过这些效应反过米研究弦。无限长直弦所产生的时空结构是局部平坦而整体 上不平坦的。这与锥面一样，面上是平坦的，但整体并不是，因为在顶点附近不 是平坦的。既然是一个类锥面的时空，我们就可以定义其亏损角( d e f i c i t a n g l e ) ：8 丌g ，约化后为5 ，2 ( g 弘l o 一6 ) 。对于大统一弦来说g 弘一l o ，所以其 亏损角一般为几秒。 图2 5 是宇宙弦的锥形时空结构的一个截而图。由图中我们可以看到位于q 处的一个点光源发射的两束发散的光在经过引力透镜后变成了两束平行光进入 2 4 观测者 图2 5宇宙弦周围的锥形时空 ：海帅范人学学位沦文第二章宁宙弦 观测者的视线。所以对r 丁在宇宙弦背后的单个天体，我们可能可以看到两个像。 又因为宇宙弦的结构是线性