（基础数学专业论文）关于逻辑代数与系统的若干问题研究.pdf

关于逻辑代数与系统的若干问题研究 刘敏 摘要模糊系统控制的理论和技术已经取得了举世公认的成功，作为模糊控制 理论基础的模糊推理与模糊逻辑也日益受到关注。在模糊推理的发展过程中，曾先 后涌现出多种命题逻辑系统，为了解决这些命题演算系统的完备性，又产生了相应 的“语义代数”。在众多的命题逻辑系统中，l u k a s i e w i c z 、g j d e f 、p r o d u c t 与 口这四种有着明显的优点，即存在 0 ，1 上的三角模+ 与它们赋值格【o ，1 上的语 义蕴涵算子一构成伴随对其中前三种系统对应的三角模是连续的，p h a j e k 便 针对这三种连续的三角模所对应的蕴涵算子而提出了b l 代数，并建立了相应的 b a s i c l o g i c 系统。之后，吴洪博教授又针对完备性解决的较好的l u k a s i e w i c z 系 统和口系统提出了b l + 系统。b a s i cl o g i c 系统、b l + 系统都是建立在剩余格 及f u z z y 蕴涵代数之上的。那么，它们之间究竟有什么样的区别与联系? 本文针 对这一问题展开了讨论。 本文便从研究建立在剩余格之上的各种逻辑代数的性质入手，研究了各种逻 辑代数，以及与其相应的逻辑系统之间的关系。主要成果有：一、对剩余格的性质 做了进一步的研究，在此基础上提出了预线性剩余格的概念，并证明了预线性剩余 格相应于全序剩余格的完备性二、在预线性剩余格的基础上建立了p l 系统，并 证明了其完备性。三、证明了预线性剩余格是b l 代数与b 代数的基础，p l + 系统是b a s i cl o g i c 系统与b l 4 系统的基础。从而得到了预线性剩余格是m v 代 数、疡代数、g 一代数与n 一代数的公共基础；p l + 系统是l u k a s i e w i c z 系统、 g s d e l 系统、p r o d u c t 系统及r 系统的公共基础的结论。四、给出了m y 代数、 凰代数的若干简化定义，提出了弱格蕴涵代数的概念，并证明了其与b 凰代数的 等价性 下面介绍本文的结构及主要内容： 第一章预备知识对文章中将要用到的有剩余格，b l 代数，b 风代数的 基本概念和基本性质作一个简要的叙述，并研究了剩余格f u z z y 蕴涵代数之间的 关系；。 第二章提出预线性剩余格的概念，并证明其关于全序剩余格的完备性。 第三章在预线性剩余格的基础上建立了p l + 系统，并证明了其完备性。 i 第四章证明了预线性剩余格是b l 代数与b r 0 代数的基础，p 口系统是 b a s i cl o g i c 系统与b l + 系统的基础。 第五章给出了m v 代数、岛的若干简化定义，提出了弱格蕴涵代数，并证 明了其与b 凰代数的等价性。 关键词预线性剩余格；b l 代数；b 代数；p p 系统；弱格蕴涵代数 i i t h er e s e a r c ha b o u ts o m el o g i ca l g e b r a sa n ds y s t e m s a b s t r a c t ：t h et h e o r i e sa n dt e c h n o l o g i e so ff u z z ys y s t e m sc o n t r o lh a v e a c h i e v e dt h ew o r l d f a m o u ss u c c e s s t h e nf u z z yi n f e r e n c ea n df u z z yl o g i ca st h e k e m e lo ft h et h e o r i e so ff u z z ys y s t e mc o n t r o lh a v eb e e nc o n c e r n e dm o r ea n dm o r e i nt h ed e v e l o p m e n tp r o c e s so ff u z z yi n f e r e n c e ，m a n yp r o p o s i t i o n a ll o g i cs y s t e m s h a v ea p p e a r a m o n gn u m e r o u sp r o p o s i t i o n a ll o g i cs y s t e m s ，l u k a s i e w i c z 、g o d e l 、 p r o d u c ta n dl + h a v eo b v i o u s l ym e r i t s ，w h i c ha r ee x i s tt r i a n g l en o r m 十i n 0 ，1 w i t h t h es e m a n t i ci m p l i c a t i o no p e r a t o r _ c o n s t r u c ta d j o i n tp a i r s 7 n l ep r e c e d i n gt h r e e s y s t e m sc o r r e s p o n d e n c et r i a n g l en o r m sa r ec o n t i n u e s p e t r eh a j e kh a v ep r o p o s e d b la l g e b r ab a s e do nt h et h r e ec o n t i n u e st r i a n g l en o r m sa n dc o n s t r u c tb a s i cl o g i c s y s t e m sc o r r e s p o n d i n g l y a f t e r w a r d s p r o f e s s o rh o n g - b ow up r o p o s e db l + s y s t e m t h a ta r ed i r e c t e da tl u k a s i e w i c zs y s t e ma n dl + s y s t e mw h i c hc o m p l e t e n e s sa r eb e t t e r r e s o l v e d b o t hb a s i cl o g i cs y s t e ma n db l + s y s t e ma r eb a s e do nr e s i d u a t e dl a t t i c e s a n df u z z yi m p l i c a t i o na l g e b r a s t h e n ，w h a td i f f e r e n c e sa n dc o n n e c t i o nt h e ym a k e ? w h e t h e rc a nb eu n i t e d ? t h em a i np o i n to ft h ec o n t e x ti si t t h ec o n t e x ts t a r t e df r o mt h ep r o p e r t i e so ft h el o g i ca l g e b r aw h i c hb a s e do n r e s i d u a t e dl a t t i c ，s t u d i e dt h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e na l lk i n do fl o g i ca l g e b r a sa n d i t sc o r r e s p o n d i n gl o g i cs y s t e m s t h em a i nr e s u l t so ft h et e x ta r e ： f i r s t ，i td o m o r er e s e a r c ho nt h ep r o p e r t i e so fr e s i d u a t e dl a t t i c e s ，a n dp r o p o s e dt h ec o n c e p to f p r e l i n e a r i t y r e s i d u a t e dl a t t i c e ，t h e np r o v e dt h ec o m p l e t e n e s so fp r e l i n e a r i t yr e s i d u a t e dl a t t i c et h a tc o r r e s p o n dt ot h eo r d e r dr e s i d u a t el a t t i c e s e c o n d ，t h ec o n t e x t c o n s t r u c t e dt h ep l + s y s t e mw h i c hb a s e do np r e l i n e a r i t yr e s i d u a t e dl a t t i c e a n d p r o v e di tc o m p l e t e n e s s t h i r d ，p r o v e dp r e l i n e a r i t yr e s i d u a t e dl a t t i c ei st h eb a s i s o fb l a l g e b r aa n db 一a l g e b r a ，a n dp l + s y s t e mi st h eb a s i so fb l s y s t e ma n d b 风一s y s t e m t h e np r e l i n e a r i t yr e s i d u a t e dl a t t i c ei st h ec o m m o nb a s i so fm v a l g e b r a 、岛一a l g e b r a 、g a l g e b r aa n d1 1 一a l g e b r a ，a n d 尸口s y s t e mi st h ec o m m o n b a s i so fl u k a s i e w i c zs y s t e m 、g 6 d e ls y s t e m 、p r o d u c ts y s t e ma n dl + s y s t e m f m l r t h ，g a v es o m es i m p l i f i e dd e f i n i t i o no fm y a l g e b r aa n d 岛一a l g e b r a ，a n dp r o - i i i p o s e dt h ec o n c e p to fw e a kl a t t i ci m p l i c a t i o n - a l g e b r a ，a n dp r o v e dt h ee q u i v a l e n c e o fw e a kl a t t i ci m p l i c a t i o n - a l g e b r aa j l ( 1b 风一a l g e b r a t h ec o n s t r u c t i o na n dt h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e ra r ea , sf o l l o w s ： c h a p t e r1 p r e l i m i n a r yk n o w l e d g e i nt h i sc h a p t e r ，w em a k ead e p i c t i o nf o r b a s i ck n o w l e d g eo fa n db a s i cp r o p e r t i e so fr e s i d u a t e d - l a t t i c e 、f u z z yi m p l i c a t i o n - a l g e b r a 、b l - a l g e b r aa n db r o a l g e b r a w h i c hw o u l db eu s e di nt h ef o l l o w i n gc h a p - t e r s a n dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nr e s i d u a t e d - l a t t i c ea n df u z z yi m p l i c a t i o n - a l g e b r a h a v eb e e i ls t u d i e d c h a p t e r2 t h ec o n c e p to fp r e l i n e a r i t yr e s i d u a t e dl a t t i c e h a v eb e e np r o - p o s e d ，a n di t sc o m p l e t e n e s sw h i c hc o r r e s p o n d t oo r d e r e dr e s i d u a t e dl a t t i c eh a v e b e e np r o v e d c h a p t e r3 e r e c tt h ep l 4s y s t e mb a s e do i lp r e l i n e a r i t yr e s i d u a t e dl a t t i c e ，a n d p r o v e di t sc o m p l e t e n e s s c h a p t e r4 p r o v e dt h a tp r d i n e a r i t yr e s i d u a t , e dl a t t i c ei s t h eb a s i so fb l - a l g e b r aa n db r o a l g e b r a a n dp l + s y s t e mi s t h eb a s i so fb l s y s t e ma n db 风一 s y s t e m c h a p t e r5 g i v e ss o m es i m p l i f i e rd e f i n i t i o no fm v - a l g e b r aa n dr o a l g e b r a ， a n dp r o p o s e dt h ec o n c e p to fw e a kl a t t i ci m p l i c a t i o n a l g e b r a ，a n dp r o v e dt h ee q u i v a l e n c eo fw e a kl a t t i ch n p l i c a t i o n a l g e b r aa n db 风一a l g e b r a k e y w o r d s ：p r e l i n e a r i t yr e s i d u a t e d - l a t t i c e ；b l - a l g e b r a ；b r o a l g e b r a ；p r o p o s i t i o n a l c a l c u l u ss y s t e mp l + ；w e a kl a t t i ci m p l i c a t i o n a l g e b r a ， i v 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 前言 人工智能是近3 0 年多来计算机科学的一个重要的研究领域，受到各个方面科 学家的广泛重视，其中模糊控制方法被用于工业过程的控制以及新型家电产品的开 发，取得了很大的成功然而模糊逻辑的理论远不完善，模糊推理的方法还没有严 格的逻辑基础，这表现于多年来模糊逻辑与模糊推理一直未能很好地结合上，这种 状况既限制了模糊逻辑的进一步发展，又不可避免地会受到怀疑与批评 近年来，对模糊逻辑与模糊推理进行结合研究方面已取得了一些有意义的成 果，众多的模糊代数与模糊系统被建立，在这众多的命题逻辑系统中，l u k a s i e w i c z 、 g s d e l 、p r o d u c t 与p 这四种有着明显的优点，即存在【o ，1 】上的三角模 与 它们赋值格【0 ，1 】上的语义蕴涵算子一构成伴随对其中前三种系统对应的三 角模是连续的，p h a j e k 便针对这三种连续的三角模所对应的蕴涵算子而提出了 b l 代数，并建立了相应的b a s i c l o g i c 系统之后，吴洪博教授又针对完备性解 决的较好的l u k a s i e w i c z 系统和三系统提出了b l 系统，口扁代数那么b l 代数与b r 0 代数之间，b a s i cl o g i c 系统与b l + 系统之间又存在区别与联系呢? 本文针对这一问题展开了讨论现代模糊逻辑理论中，剩余格是适用性较强的一种 代数系统，也是公认的最重要的代数结构之一，且已成为模糊逻辑中相当理想的代 数框架但是，剩余格还没有被很好的用来分析逻辑代数，本文就是从剩余格的角 度出发，探讨b l 代数与b 风代数之间的关系在对剩余格的性质进行了分析， 并进一步加强之后，引入了预线性剩余格的概念，证明了预线性剩余格在满足性质 扛一0 ) 一0 = z 时与b 风代数等价，在满足条件z a y = z 扛一y ) 时即为b l 代数，因此预线性剩余格是b l 代数和b 扁代数的基础，从而也是著名的逻辑代 数m v 代数、代数，g 代数与代数的基础随后。我们相应于预线性剩余 格我们建立了命题演算系统p l ，证明了p l 系统相应于全序剩余格的完备性 并且通过研究p l 系统与b a s i c l o g i c ，b l 系统之间的关系，证明了p p 系统 是l u k a s i e w i c z 、g s d e l ，p r o d u c t 与口系统的公共基础这一结论的得出有利 于我们研究这些逻辑系统的共性，也能为模糊推理的应用领域提供更多更好的数学 模型 此外，本文还对m v 代数、风代数的性质做了深步研究m v 代数、代数 分别是l u k a s i e w i c z 与凰蕴涵算子的代数抽象，同时它们又是口与l u k a s i e w i c z 逻辑系统完备性得以解决的中介近年来，关于m v 代数、风代数的研究已经取 得了不少的成果【5 1 包括格蕴涵代数、b 凰代数的提出，但是也存在一些不足， 例如；虽然m v 代数现在已有多种等价定义，从蕴涵角度给出的m v 代数的定义 大都较复杂。例如格蕴涵代数要求建立在带有是逆序对合对应有界格上，满足7 条 运算性质而本文所给出的g l m v 代数只需要建立在有界偏序集上，满足三条 运算性质2 一m v 代数则是从l u k a s i e w i c z 命题演算系统四条公理的形式特征 出发的，它脱离了偏序集的框架，除了要满足蕴涵运算的六条运算性质外不做其它 要求。本文基于对m v 代数与代数之间关系的研究，去掉了格蕴涵代数的定义 中风代数所不满足的条件0 一y ) 一y = ( y z ) 一z ，提出了弱格蕴涵代数的 概念，并对它的性质作了一些初步分析，证明了它与基础代数是等价的。进一 步阐明了m v 代数与风代数之间的关系，并证明了弱格蕴涵代数是正则f u z z y 蕴涵代数利用弱格蕴涵代数与b 瑞代数的等价性，给出了岛代数的一种新的简 化定义这一定义去掉了原定义对逆序对合对应t 运算、分配性的要求，并减少了 定义中要求的运算性质数量 2 第一章预备知识 1 1 剩余格、f u z z y 蕴涵代数的概念和部分性质 定义1 1 1 1 1 j 。m 叫剩余格，若 ( 1 ) m 是一个有泛界0 , 1 的有界格； ( 2 ) 肘上有伴随对( 屯一) ； ( 3 ) ( m ， ) 是以m 上最大元1 为单位的交换半群 命题l 1 1 【1 】。设m 是剩余格，则v a ，6 ，c m ，有； ( p 1 ) 是不减的，即当o b 时，n c b c ， ( p 2 ) 一关于第一变量不增，关于第二变量不减， ( p 3 ) a b c 当且仅当b v ( p 4 ) o b = 1 当且仅当n b ( p 5 ) a 一( b c ) = b 一( a c ) ( p 6 ) a _ b s 口 c b c 。 ( 尸7 ) 8 一n = 1 ( p 8 ) 1 一a = 1 ( p 9 ) a $ b n a b ( p 1 0 ) b c s ( o b ) 一( a c ) ( p 1 1 ) ( a b ) 一( b c ) 一( n c ) = 1 【注l 在偏序集m 上有伴随对( ，一) 的定义即为在偏序集m 上有性质 ( p 1 ) 、( p 2 ) ，( p 3 ) 成立1 1 1 。这里把它们罗列出来是为了引用的方便 定义1 1 2 1 2 1 ：个( 2 , 0 ) 型代数( m ，一，0 ) 称为f ，代数，如果v a ，6 ，c m ， 有 ( f 1 ) n 一( b c ) = b 一( a c ) ， ( f 2 ) ( a 一一( b c ) 一( a c ) = 1 ， ( f 3 ) d t o = 1 ， ( f 4 ) 若a b = b o = 1 ，则a = b ， ( f 5 ) o n = 1 ， 其中1 = 0 0 3 命题1 1 2 ；剩余格是f j 代数 证明：设m 是剩余格，则由性质( p 5 ) 、( p 1 1 ) 、( p 7 ) 知( f 1 ) 、( f 2 ) 、 ( f 3 ) 成立由性质( p 4 ) 结合偏序集的自反性、反对称性可知( f 4 ) 成立由0 是 m 的最小元结合性质( p 4 ) 可知( f 5 ) 成立 【注】文 3 】在f ，代数中定义了关系如下ta b 当且仅当d b = 1 ， 证明了这种关系是m 上的一种偏序关系，本文称之为蕴涵偏序关系再由( f 5 ) 及 性质a 一1 = n 一( 0 0 ) = 0 一( a 一0 ) = 1 可知f j 代数以0 ，l 为泛界的，因 此f j 代数是有界偏序集 现在不妨把几代数要求的条件再加强一些，让f ，代数建立在格上，并且有 运算 使得( ，一) 构成伴随对，则有如下事实成立r 命题1 1 3 ：按蕴涵偏序构成格的代数( 尬一，o ) ，若存在运算 与一运 算构成伴随对，则与剩余格等价 证明；由定义1 1 1 及命题1 1 1 可知剩余格是满足本定理中条件的f ，代 数下证满足本定理条件的f ，代数是剩余格t 由【注l 中说明知f ，代数是以 0 ，1 为泛界的偏序集，当f ，代数按蕴涵偏序构成格，便成为0 ，1 为泛界的有 界格，即( 1 1 ) 成立由本定理的要求知( 1 2 ) 成立，现证( 1 3k ( i ) a * b c 当且仅当o b c ，口b _ c 当且仅当口_ ( 6 _ c ) = 1 , a _ ( b _ c ) = 1 当且仅当b 一( 口一c ) = 1 , b 一( d c ) = 1 当且仅当b n c ，b 口一c 当且 仅当b $ a sc ，由此可知口 b = b n ，交换性成立( i i ) 又o 1 = 1 a t 当 且仅当1 a t ，1 o t 当且仅当a t = 1 ，a t = 1 当且仅当o t ， 因此n 1 = 1 a = o ，从而1 是单位元( 饿) v t m ，( n 6 ) c t 当 且仅当a $ b c _ t 。n b c _ t 当且仅当b a c _ t ，b dsc _ t 当且仅当b o _ ( c _ t ) ，b a _ ( c _ t ) 当且仅当b c _ ( n _ t ) ， b c _ ( a _ t ) 当且仅当b $ c a _ t ，b c a _ t 当且仅当a ( b c ) t ， 因此( o $ c = n + ( b ，c ) ，结合性成立从而( 尬+ ) 是以m 的最大元1 为单 位元的交换半群综上，可知本定理成立 1 2b l 代数，b r o 代数的概念和部分性质 定义1 2 1 1 4 1 。有界格( 厶v ，a ， ，一，0 ，1 ) 叫b l 代数，若下列条件成立： 4 ( i ) ( l ，+ ，1 ) 是以1 为单位的交换半群 ( i i ) ( ，一) 是l 上的伴随对 ( i i i ) 8 a b = d _ b ) ( i v ) ( d _ 6 ) v ( b _ a ) = 1 定义1 2 2 nt 设m 是( ，v ，一) 型代数，如果： ( i ) m 上有偏序使( m ，) 成为有界分配格，且v 是关于序而言 的上确界运算； ( i i ) t 是关于序而言的逆序对合对应； ( 砸) v a ，b ，c m ，以下条件成立； b r o c l ：a b = _ o ，b c 2 ：1 - o = o ，n _ + d = l ， b r o c 3 ：b - c ( a - 6 ) _ ( a _ c ) ，b r o c 4 ：口_ ( b _ c ) = b - ( o _ c ) ， b r o c 5 ：a _ b v c = ( a _ v ( o _ c ) ，d _ b a c = ( o _ 砷a ( n _ c ) 这里1 是m 中的最大元，并记0 = 1 1 , 那么称m 为b 风代数 那么，b l 代数与b 风代数是不同的，这由下面的伪子可以看出 例1 2 1 ：取m 为玛单位区间1 1 】，令a = 0 7 , b = 0 6 ，则有a a b = 0 6 ，a , c a b ) = 0 4 ，因此( 定义1 2 1 i i i ) 在岛代数中不成立，从而也在b 岛代数中不成立 由此可见男岛代数不是b l 代数，同样，b l 代数也不是曰风代数 例1 2 2 ：取n 代数1 4 1 ，令a = 0 7 ，则( a 一0 ) 一0 = 0 0 = 1 ，( a 一0 ) 一 0 8 而在b 岛代数中( a 一0 ) 一0 = 口是成立的，因此代数不是8 疡代数， 而代数又是特殊的b l 代数 4 1 ，所以b l 代数不是b 岛代数 5 第二章预线性剩余格 2 1 预线性剩余格的概念和基本性质 定义2 1 1 。x 叫预线性剩余格。若 ( i ) m 是一个有泛界0 , 1 的有界格； ( i i ) m 上有伴随对( ，- 0 ； ( i i i ) ( m ，) 是以肘上最大元1 为单位的交换半群 ( i v ) ( a 一v ( b 一8 ) = 1 参见文献【1 】剩余格的定义可知 命题2 1 1t 满足预线性( a 一6 ) v ( b a ) = 1 的剩余格即为预线性剩余格 【注】预线性的说法来自文献【5 】。之所以称之为预线性是因为在全序剩余格 中( a b ) v ( b a ) = 1 是自然成立的 预线性剩余格是剩余格，当然满足剩余格的所有性质，因此预线性剩余格满足 命题1 1 1 中的各条性质此外，预线性剩余格还满足如下的各条性质 命题2 1 2 。设m 是预线性剩余格，则v a ，6 c m ，有t ( p 1 2 ) n ( a _ b ) a ab ( p 1 3 ) ( a vb ) c = ( a c ) v ( b c ) ( p 1 4 ) 如一6 ) 一缸( b 一一口是 口，的上界 ( p 1 5 ) 口vb = ( ( d 一6 ) 一a ( ( 6 一a ) 一a ) 证明t ( p 1 2 ) 由n b 一b 结合( p 3 ) 可知n $ ( a b ) b ，同理由 a _ b s1 = a _ n 可知a ( a b ) a ，综上可知o ( o _ a a b ( p 1 3 ) 由( p 1 ) 结合n a a b 可知a , c ( a v b ) + c 同理有b * c ( a v b ) c ， 因此( n ，c ) v ( b tc ) ( a v b ) + c ；反过来，由+ b ( o c ) v ( 6 + c ) 结合( p 3 ) 可知 a c 一( a * c ) v ( 6 c ) ，同理有b sc 一( c ) v ( 6 c ) ，因此a v b c 一( n c ) v p c ) ， 再次运甩( p 3 ) 便有n vb $ c ( n c ) v ( b $ c ) ，综上有a vb c = ( a $ c ) v ( b c ) ( p 1 4 ) 由( p 5 ) ，( p 7 ) 有。一【( o 一一6 】= ( o b ) 一( o 一= 1 ，再由 ( p 4 ) 可知o ( o 一6 ) 一b ，又由( p 5 ) 有b 一【( n 一6 ) 一6 】= ( o 一一( b 一 6 ) = ( n 一一1 = 1 ，再运用( p 4 ) 可知b ( d b ) 一b ，因此( a b ) 一b 是 吼6 ) 的上界，同理可证( b 一曲一。也是 o 6 ) 的上界 6 ( p 1 5 ) 一方面，由( p 1 4 ) 可知n v b ( ( d 一6 ) 一a ( ( 6 一d ) 一n ) ；另 一方面，注意1 是x 的单位元结合( p 1 2 ) 、( p 1 3 ) 【p 1 4 ) 有( ( n 一的一 b ) ( ( 6 一a ) 一a ) = 【( o b ) 一b ) a ( ( 6 一o ) 一n ) 】+ 【( o 一v ( b o ) 】= 【( ( ( d b ) 一6 ) a ( p a ) 一n ) ) + ( n 一6 ) 】v 【( ( ( n 一6 ) 一6 ) a ( ( 6 一a ) 一o ) ) ( b n ) 】 ( 口一b ) 一6 ) ( o 一纠v 【( p o ) 一口) ( b o ) 】b vo = a v6 ；因此 o vb = ( ( 8 6 ) 一6 ) a ( ( 6 - + a ) 一a ) 【注l 由( p 1 5 ) 可知v 运算是可用a 与一算子表示的，由( p 7 ) 可用 o 一0 表示1 ，因此我们可以说预线性剩余格是( $ ，a ，一，o ) 型代数 2 2 预线性剩余格上的m p 滤子 定义2 2 1 。设m 是预线性剩余格，f m ( t ) 如果1 f ，且f 对m p 运算封闭，即当d ，a b f 时b f ，则称 f 为m p 滤子 ( i i ) 如果f 为m p 滤子，且当a v b f 时n f 或b f ，则称f 为素 滤子 引理2 2 1 ，设m 是预线性剩余格，则v a ，b ，c m ，有。 ( p 1 6 ) o 一( b _ n = l ， ( p 1 7 ) a _ ( b _ a a6 ) = 1 证明：( p 1 6 ) 由a b a b 和( p 3 ) 有osb a b ，再运用( p 3 ) 有 1 o b a + b ，运用( p 3 ) 有1 o 一( b o $ 6 ) ，因为1 是m 的最大元，因此 _ ( b a b ) = 1 ( p 1 7 ) 由( p 9 ) 有a b n a b ，运用( 尸3 ) 可得口b _ oab ，继而 1 asb a ab ，再运用( p 3 ) 有1sa 一( b a a6 ) ，又因为1 是m 的最大元， 因此a 一( b a ab ) = 1 命题2 2 2 t 设m 是预线性剩余格，f m ( i ) f 是m p 滤子当且仅当f o ，f 是上集，即当n e b a 时b f ， 且f 对于 运算封闭+ ( i i ) m p 滤：f - x 寸交运算a 运算封闭，且包含l ，从而是通常意义下的滤子 7 ( 饿) m p 滤子f 是素滤当且仅当对m 中任两元口，b 有。一b f 或 6 _ a f 证明。( i ) 设f 是m p 滤子，则由1 f 知f o ，又设o 只b o ，则由 n _ 6 = 1 f 知b f ，所以f 是上集再设口，b f 则由a 一( 6 一n b ) = 1 ， 即得a b f ，即f 对 运算封闭反过来，设f 0 ，由f 为上集知l f ， 设a ，口一b f ，则n ( 口_ 6 ) 只由( ，一) 是伴随对和一b a _ b 知 8 ( o 一6 ) b ，所以由f 为上集知b f 从而f 为m p 滤子( i i ) 由( 尸9 ) 知 a + b a a6 ，所以由m p 滤子f 为上集知以及对+ 运算封闭知f 也对a 封闭 ( 税 ) 设f 是素滤子由预线性知( 一6 ) vp o ) = 1 f ，所以由素滤 子的定义知( a b f 或6 一n f 反过来，设f 是m p 滤子，且对x 中任 两元a ，b 有a b f 或6 一口f 如果a vb f ，则由f 为上集及( p 1 4 ) 知 ( n b ) 一6 f ( b o ) 一a f 所以若口一b f 则b f 若6 一o f ，则 a p 可见f 是素滤子 引理2 2 3 ：设m 是预线性剩余格，则v 0 ，b ，c m ，有t ( p 1 8 ) ( o v 2 = n 2 v6 2 ，这里2 = o n ( p 1 9 ) ( a 一6 r = a n 一扩= ( ( n 一6 ) v ( b o ) p = p = 1 ，这里 矿= g + 鸟共n 个a 连乘 n 证明：( p 1 8 冼证a * b n 2 v , 2 ；由( p 6 ) 有o _ b a , b _ 6 2 a * b - 舻v 6 2 ， 同理b a 曼o t6 一n 2v6 2 ，再结合预线性( a 一6 ) v ( b a ) = 1 便可得到 o b n 2 v6 2 = l ，再运用( 尸4 ) 就有o 6 a 2 v6 2 继而又( p 1 3 ) 有( a v 6 ) 2 = ( a v6 ) v6 ) = ( a n ) v ( n b ) v ( 6 n ) v ( 6 6 ) = ( o 们v ( n 2 v6 2 ) = 0 2 v6 2 ( p 1 9 ) 用归纳法，当n = 1 时，由预线性当然有( a 一6 ) v ( b 一) = 1 ，当 n = 2 s 时，由( p 1 8 ) 有( a 一6 ) 2 v ( b o ) 2 = ( ( n b ) v ( b o ) 2 = 1 2 = l ； 假设当n 詹( 这里七2 ) 时，性质成立，则当n = 七+ 1 时，运用预线性、单 位元性质、( p 1 1 ) 以及格上v 算子的交换律、结合律有( 口一b ) + ( b n ) = 【( o 一 6 ) t ( b o ) 】+ 【( n b ) v ( b n ) 】= 【( o 一+ ( b n ) 】t 【缸一6 ) v ( b 一) 】= 【( 口一6 ) 1 ( b o ) 】v 【( 6 一n ) 1 ( a 一6 ) 】【( n 一6 ) 1 1 】v 【( 6 一n ) 1 1 】= ( n 一6 ) 七十1 v ( 6 一o ) 七+ l ，即( o - b ) ( b _ o ) ( 口_ + 6 ) 1 v p _ n ) 知+ 1 ； 因此( i i , 一6 ) 1v ( 6 一n ) 1 = 【( n 一6 ) 1v ( 6 一o ) 1 】v 【( 一b ) ( b 一 8 o ) 】= 【 一b ) 1v ( b n ) 1 】v 【( 托一b ) + ( b 一曲) + ( ( o b ) v ( b 一) b 1 】= 【 一6 ) 1v ( b o ) 1 】v 【( ( 0 一t ( b n ) ) ，( a 一6 ) b 1v ( b n ) b 1 】= 【 一6 ) 1v ( b 一口) 1 】v 【( ( 口一矿+ 缸一) v ( ( 6 一+ ( b 一口) ) 】= 【( n b ) k + l v ( 一6 ) ( o 一6 ) ) 】v 【( 6 一n ) k + l v ( p n ) ( 6 一d ) ) 】= ( 口一6 ) ( ( 一 b ) v ( b n ) ) 】v 【( 6 一) + ( ( 口一v ( b o ) ) 】= 【一 1 】v 【( 6 一n ) 1 】= ( 口一6 ) v ( b n ) = ( ( o 一v ( b 一口) ) = 1 = 1 命题2 2 4 。设m 是预线性剩余格，口f o 1 则x 中有素滤子f 使 o f 证明。以，表示m 中全体不含口的m p 滤子之集因为t 1 是m p 滤子 且 1 ) 所以，非空，按包含序c 构成个偏序集，设 只卜n 是，中 的链，则易证u 最ii d 是m 尸滤子且为这个链的上界所以有z o r n 引理知 ，中有一个极大元p p 就是，中不含n 的素滤子 事实上，若不然，则m 中有元6 c 使b c 与c b 都不属于p 做毋，足 如下， 毋= 扛xi 动p ，3 n n 使y ( b c p z 兄= 缸x l 劫p ，孤使y ( c 一妒z ) 则毋，乃都是上集且都关于$ 运算封闭，从而都是m p 滤子，且分别包含 1 $ ( b c ) = b c 和l ( c 一= c b 因而目与咒都真包含f 以下只需 证。隹日或。隹易今反设o 日且a 易，则有玑，y 2 f ，n l ，锄n 使 o y l ( b _ c ) ，n y l ( b _ c ) ”( 2 2 1 ) 令y = 1 a ! j 2 ，则y f 令n = m a x h i ，他) ，则( b _ c ) “( b c ) ”，( c 一 6 ) “。( c 一6 ) ”再由( p 1 9 ) 和( 2 2 1 ) 式得 口y l ( b _ c ) ”1 v 耽 ( b _ c ) ”y ( b _ c p v y ( b 一c r = y ( ( 6 _ c ) “v ( b c ) ”) = y 1 = y 从而由y f 知o f 矛盾 2 3 预线性剩余格的完备性定理 9 现在我们来建立关于预线性剩余格的代数完备性定理 命题2 3 1t 设m 是预线性剩余格，f 是m 中的m p 滤子在m 上定义 二元关系乍如下： a fb 当且仅当d _ b f 且b _ o e 则( ) 乍是m 上关于，a 与一的同余关系，且商代数m f = m 一f = n 】fi o f l 是预线性剩余格，其中的偏序由下式确定； 同f 【6 】f 当且仅当。一b f( 2 3 1 ) ( i i ) 若f 是素滤子，则m f 是全序的预线性剩余格，也就是全序剩余格 证明；( t ) 容易证明一f 是m 上的等价关系，又，设a fb ，c fd ，则 b _ b f ，c _ d f ，由( p 6 ) 知d _ b a c _ b * c ，c _ d b * c _ d c 结合f 为上集可知口 c _ b * c 只b * c _ d * c 只再运用( p