（基础数学专业论文）关于逆半群的半格.pdf

独创声明 x 5 9 8 4 0 2 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或 证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：酹、4 乓葵 签字日期：2 0 0 4 年乒月z e 日 撇缸旁 ) 签字日期：z 。4 年严月匆知 关于逆半群的半格 陈兆英 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文，我们利用一族逆半群上的同余和同余对刻画其半格上的同余和同余对， 并给出含幺逆半群半格上的正规同余对族的格与其标准同余对的格之间的同构关 系讨论了逆半群& 的半格上的自然偏序关系与备乳上的自然偏序关系之间的 关系具体内容下： 第一章给出引言和预备知识 在第二章，本文引入了容许同余族，标准同余对，正规同余对族的概念首先 利用一族含幺逆半群上的同余对刻画了其半格上的同余对，并给出了含幺逆半群半 格上的正规同余对族的格与其标准同余对的格之间的同构关系然后，给出了这族 含幺逆半群上的同余格的直积的子格与其半格上的同余格的子格的同构关系主要 结论如下： 定理2 1 1 0 设s = ( y ；& ) 为含幺逆半群的半格 ( 。，) ) 。y 为s 的 一个正规同余对族，( ，r ) 定义如下： 则( n ，r ) 为s 的一同余对，且 p ( n ，) = ( o ，b ) s s l n ，b s 卢，( o 一1 0 1 q 芦，b - t b 1 n 口) t d 口，a b 一1 v 。口) p ( n ，) i s 。= p 【。，) 定理2 1 。1 4 令s = ( ，；晶) 为含幺逆半群岛，o y 的半格，设4 为s 的所有 正规同余对族构成的集合，8 为s 的所有标准同余对构成的集合，在g 和4 上分 别定义关系s 如下； ( l ，n ) s ( n 2 ，q ) 骨1 2 ，n 髓 3 砖 曲k， 阮 mu 甜小 = 唧 ，j e s g s 目 f， e = f ( n ，) ) n e ys ( 啦，t ) ) 。e y 仁 v o e 虬蜕，t 则( b ，s ) 和( a ，s ) 为完备格，并且疗和4 格同构 定理2 2 6 设含幺逆半群的半格s = ( y ；咒) ，并且对任意的a ，卢y ) & 口 & 1 月，定义映射妒：c c l ，( m ) 。y _ p ，其中p 为由 m ) 。e y 诱导的s 上的同 余，则映射妒为含幺逆半群炙的半格的容许同余格c 到s 上f 司余子格i 的格同 构映射 在第三章，首先，讨论了逆半群& 的半格上的自然偏序关系与各上的自 然偏序关系之间的关系及一系列的相关问题其次，给出含幺逆半群岛的半格为 晶y ) ( 必要时添加零) 的次直积，然后，把非含幺逆半群的半格转化为含幺逆半 群的半格，得出逆半群的半格上的商半群为其相应的逆半群的半格的充要条件，最 后，利用一族逆半群上的某些同余( 如群同余等) 刻画了其半格上的相应的同余 主要结论如下： 定理3 3 2 设s = ( y ；& ) 为含幺逆半群似y ) 的半格，p 。为鼠上的半 格同余。如果 m ) 。y 为s 的容许同余族，则由 儿h y 诱导的s 上的同余p 为 半格同余且p = 6 ，若目。为& ，o t y 上的最小半格同余，则q = ur a ： y ( o ，b ) 卵 = = j o y ，a ，b s 。，( o ，b ) 叼。 为s 上的最小半格同余，且q f 品= ，s , 为品 y ) 关于y 的半格 第四章主要讨论非含幺逆半群& 的半格的同余对和同余与各& 的同余对和 同余的关系，并利用一族逆半群上的群同余刻画了逆半群的半格上的群同余主要 结论如下： 定理4 2 4 设s = ( y ；品) 为逆半群& 的半格， 加) 。y 为s 的左正规容许 同余族，定义s 上的关系p ： ( o ，b ) p ，b 咒，b 昂 = 争j z 品，7 s 口p ，( a x ，b x ) p 7 ， 则下列结论成立： 1 ) p 为s 上的同余且p l s o = p a ， 2 ) k e r p = uk e r p a ， 3 ) ( e ，f ) t r p ，e e a ，e 8 = = 争b x e 0 ，7 o 卢，( e 。，茁) t r p l 关键词：半群的半格，容许同余族，正规同余对族，标准同余对。左正规 容许同余族，容许同余格，半群的半格对应的半格同余 分类号： 0 1 5 2 7 4 o nas e m i l a t t i c eo fi n v e r s es e m i g r o u p s c h e nz h a o y i n g s c i e n c ei n s t i t u t eo f m a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ec h a r a c t e r i z et h e c o n g r u e n c e sa n dc o n g r u e n c ep a i r so nas e m i 1 a t t i c eo fi n v e r s es e m i g r o u p sb yt h ec o n g r u e n c e sa n dc o n g r u e n c e p a i r so nt h o s ei n v e r s e s e m i g r o u p s ，a n dc o n s t r u c ta ni s o m o r p h i s mb e t w e e nt h el a t t i c e4 ，af a m i l yo fa l lt h e n o r m a lc o n g r u e n c ep a i r so nas e m i l a t t i c eo fi n v e r s em o n o i d s ，a n dt h el a t t i c e8 ，a l lt h e s t a n d a r dc o n g r u e n c ep a i r so nt h es e m i l a t t i c eo fi n v e r s em o n o i d s w ed i s c u s st h er e l a t i o n s b e t w e e nan a t u r a lp a r t i a lo r d e ro nas e m i l a t t i c eo fi n v e r s es e m i g r o u p sa n dt h a to n e v e r y i n v e r s es e m i g r o u p t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w i nc h a p t e r1 ，w e g i v et h ei n t r o d u c t i o na n dp r e l i m i n a r i e s i nc h a p t e r2 ，w ec h a r a c t e r i z et h ec o n g r u e n c ep a i r so nas e m i l a t r i c eo fi n v e r s e m o n o i d s b y t h e c o n g r u e n c e sp a i r so nt h o s ei n v e r s em o n o i d s a n dc o n s t r u c ta n i s o m o r p h i s m b e t w e e nt h el a t t i c e4 ，af a m i l yo fa l lt h en o r m a lc o n g r u e n c ep a i r so nas e m i l a t t i c eo f i n v e r s em o n o i d s ，a n dt h el a t t i c e 占，a l lt h es t a n d a r d c o n g r u e n c ep a i r s o nt h es e m i l a t t i c eo f i n v e r s em o n o i d s f i n a l l y , w ep r o v et h a tas u b l a t t i c eo ft h ed i r e c tp r o d u c to ft h el a t t i c e s o fc o n g r u e n c e so nt h o s ei n v e r s em o n o i d si si s o m o r p h i ct oas u b l a t t i c eo ft h el a t t i c eo f c o n g r u e n c e so nt h es e m i l a t t i c eo fi n v e r s em o n o i d s t h e o r e m2 1 1 0l e ts = ( y ；& ) h eas e m i l a t t i c eo fi n v e r s em o n o i d s ，a n d ( d ，) ) 口y ，af a m i l yo fa l lt h en o r m a lc o n g r u e n c ep a i r so fs ，( ，r ) i sd e f i n e db y ： n = u 8 a e y r = ( e ，f ) 西l e 玩，e 鳓，( e 1 卵，1 。口) 却) t h e n ( n ，下) i sac o n g r u e n c e p a i ro f s ，a n d p ( n r ) = “o ，6 ) s 占j o ，b 助，( a - l a l a 卢，b - i b l o a ) t 卢，a b 一1 口口) ，p ( n ，r ) i s o = p ( ，a ，f h ) t h e o r e m2 1 1 4l e ts = ( y ；) b eas e m i l a t t i c eo fi n v e r s em o n o i d s ，a ，as e to f a 1t h en o r m a lc o n g r u e n c ep a i r so f s ，a n d8 ，as e to fa j t h es t a n d a r dc o n g r u e n c ep a i r s 5 o fs ，w ed e f i n ear e l a t i o n o na a n d8a sf o l l o w s ： ( l ，7 1 ) ( 2 ，乃) 甘n 1 n 2 ，7 1 他， ( ( 帆，) ) 。y ( 蜕，) ) 。e y 错v 醒， t h e n ( 8 ，) a n d ( 4 ，) a r eb o t hc o m p l e t el a t t i c e s ，m o r e o v e r ，t h e r ei sal a t t i c ei s o m o r p h i s mb e t w e e na a n d 层 t h e o r e m2 2 6l e ts = ( y ；品) b eas e m i l a t t i c eo f i n v e r s em o n o i d s 品，f o r e v e r y o ，卢y & 卢& 1 卢d e f i n eam a p 驴：c 斗c 1 ，( p q ) d y 卜寸p ，w h e r epi st h e c o n g r u e n c eo ns i n d u c e db y ( p n ) n y t h e nl pi sa ni s o m o r p h i s mf r o mc ，t h el a t t i c eo f a d m i s s i b l ec o n g r u e n c e so nt h es e m i l a t t i c eo f & ，t o 1 ，t h es u b l a t t i c eo f c o n g r u e n c e so n s i nc h a p t e r 3 ，f i r s t l y , w ed i s c u s san a t u r a lp a r t i a lo r d e ro n & a n d o nas e m i l a t t i c eo f i n v e r s es e m i g r o u p ss n ，w eo b t a i nt h a tas e m i l a t t i c eo fi n v e r s em o n o i d s i sa s u b d i r e e t p r o d u c t w i t h az e r oa d j o i n e dp o s s i b l y s e c o n d l y , w ea d j o i na ni d e n t i t yt oa ni n v e r s e s e m i g r o u p a n dm a k ei ta ni n v e r s em o n o i d ，a n d g e t a n e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r a q u o t i e n ts e m i g r o u po fas e m i l a t t i c eo fi n v e r s es e m i g r o u p st ob eas e m i l a t t i c eo fq u o t i e n t i n v e r s es e m i g r o u p s f i n a l l y , w ec h a r a c t e r i z et h eg r o u pc o n g r u e n c eo nas e m i l a t t i c eo f i n v e r s es e m i g r o u p sb yt h eg r o u pc o n g r u e n c eo ne a c hi n v e r s e s e m i g r o u p t h e o r e m3 3 2l e ts = ( y ；r ) b eas e m i l a t t i c eo fi n v e r s em o n o i d s & ，p ni s a s e m i l a t t i c ec o n g r u e n c eo n i f 如) 。yi saf a m i l yo fa d m i s s i b l ec o n g r u e n c e so f s ， t h e npi n d u c e db y ( p 口 。e yi sas e m i l a t t i c ec o n g r u e n c eo n s ，a n dp 。正i f 日ni sal e a s t s e m i l a t t i c ec o n g r u e n c eo ns d ，a y ，t h e n 叩= u 叼o ： n y ( a ，b ) 目 = 争j n y i a ，b s 二，( n ，b ) i s a l e a s ts e m i l a t t i c e c o n g r u e n c e o n s ，a n d 叼j s 台= 叩d ，s 叩i s as e m i l a t t i c e y o f s 叩口( d y ) i nc h a p t e r4 ，w ec h a r a c t e r i z ec o n g r u e n c ep a i r sa n d c o n g r u e n c e s o nas e m i l a t t i c eo f i n v e r s es e m i g r o u p s & b yt h o s ei n v e r s es e m i g r o u p s ，w i t h o u ti d e n t i t i e s ，a n dc h a r a c t e r i z e g r o u pc o n g r u e n c eo nas e m i l a t t i c eo fi n v e r s es e r n i g r o u p sb yg r o u pc o n g r u e n c e so nt h o s e i n v e r s es e m i g r o u p s t h e o r e m4 2 4l e t s = ( y ；& ) b e as e m i l a t t i c eo f i n v e r s es e m i g r o u p s & ， 几) a y i saf a m i l yo fl e f tn o r m a la d m i s s i b l ec o n g r u e n c e so fs ，ar e l a t i o npo ns i sd e f i n e db y ( 口，b ) p ，a & ，b 岛车= 争j z s ，7 q 卢，( a t , ，b x ) p 7 1 ) p i s ac o n g r u e l l | c eo n sa n dp l s 。p o ， 2 ) k e r p = uk e r p a ， 3 ) ( e ，) t r p ，e e o ，e 匆 = 争j z e ；，y o 卢，( e x ，z ) t r p 7 k e y w o r d s ：s e m i l a t t i c eo fs e m i g r o u p s ，f a m i l yo f a d m i s s i b l ec o n g r u e n c e s ，f a m i l yo f n o r m a lc o n g e r u e n c ep a i r s ，s t a n d a r dc o n g r u e n c ep a i r s ，l a t t i c eo fa d m i s s i b l ec o n g r u e n c e s ， s e m i l a t t i c ec o n g r u e n c ec o r r e s p o n d i n gt oas e m i l a t t i c eo fi n v e r s es e m i g r o u p s lf a m i l yo f l e f t n o r m a la d m i s s i b l ec o n g r u e n c ep a i r s c 】a s s i f l c a t i o n ：0 1 5 2 7 7 第一章引言及预备知识 1 1引言 半群的结构作为多种半群的构造已受到广泛重视，c l i f f o r da n dp r e s t o n 等人 已对半群的半格作了比较深刻的研究，半群的半格理论逐渐趋于系统化逆半群作 为一类重要的半群，其理论已比较成熟和完善本文主要讨论逆半群的半格上的同 余和同余对及其结构 半群的半格是构造半群的重要方法，c l i f f o r d 早在1 9 4 1 年提到了强半格结构， 并且得到了一些重要结果1 9 5 1 年，w a g n e r 首先引进了逆半群的概念，即逆半 群是正则的且其幂等元可交换在1 9 5 2 年，l i b e r 又给出了其等价的定义，即逆半 群是每个元都有唯一逆元的半群而对于逆半群上的同余，首先是由p r e s t o n 描述 的在同余格的研究中，r e i l l ya n ds c h e i b l i c h 起到了重要作用，逆半群的一些重要 理论正是在各种特殊同余的基础上建立起来的p r e s t o n 明确定义了”逆半群的半 格”，c l i f f o r da n dp r e s t o n 得到了”逆半群的半格仍是逆半群”的结论我的师姐申 冉利用结构同态这一重要纽带研究了半群的强半格上的同余，并对逆半群的强半格 作了较为详细的研究 有关半群的半格的理论已有很大发展，本文以上述重要结果为起点，研究了逆 半群又的半格上的同余和同余对与各晶上的同余和同余对的关系并且讨论了 逆半群的半格的结构，如自然偏序关系等，得到了逆半群半格上的自然偏序关系与 各& 的相互关系及逆半群半格上的同余与自然偏序关系之间的关系同时引入了 一些必要的概念，如容许同余族，正规同余对族，标准同余对等本文还专门讨论 了逆半群& 的半格上的各种同余即利用各& 上的同余刻划画这族逆半群半格 上的同余 1 2预备知识 本文将利用一族逆半群上的同余和同余对来刻划其半格上的同余和同余对并 对逆半群半格的结构作一些研究 8 为了以下应用的方便，先介绍下面的概念和引理： 半群是含一个二元运算且满足结合律的集合半群s 的非空子集t 为s 的子 半群，如果o ，b t ，则a b t 若对偏序集合( x ，) ，任意a ，b x ，都存在最大下 界口 b ，则称( x ，) 为下半格若x 的任一非空子集y ， ：y y ) 存在，则称 ( x ，s ) 为完全下半格类似可对最小上界ovb ，v 妇：y y ) 定义上半格和完全上 半格若( x ，) 既是( 完全) 上半格又是( 完全) 下半格，则称为( 完全) 格若半群 中的元。满足a 2 = a ，则称a 为幂等元若半群中每个元都是幂等元，则称为带 一个交换的带称为半格若对半群s 中的元a ，存在a s 满足a a a = a ，n n 一= n 7 ， 则称1 7 , 为。的逆元；a 的逆元的集合记作y ( o ) 若正则半群s 中的每个元都有唯 一的逆元则称为逆半群在逆半群s 上可定义自然偏序关系：n b 仁= 3 e 点0 ， 使a = b e s 的子集合日的闭包被定义为玩，= s s ：( 3 h h ) h s ) 半群s 到半群t 的映射妒称为同态，如果对所有的o ，b s ，有( n 妒) ( 6 妒) = ( n 6 ) 妒 定义1 2 1 1 2 一个半群s 称为半群岛的半格y ，如果存在满同态咖：s _ y i 使得v 0 y ，& = q 庐 定义1 2 2 【19 j 设 。a 为一族半群，卡氏积n & 关于乘法为直积，取定 卢a ，即：ns o 斗品，( o 。) 。aho 口是射影同态若s 同构于兀& 的子半群 t 且丁= & ，a 则称s 为 晶 。a 的次直积 引理1 2 3 【8 】逆半群的半格仍为逆半群 引理1 2 4 1 8 】设a ；， i 为两两不交的逆半群，置，i i 为a 的幂等元集。 令s = u a ：i n ，e = u ( 五：i j 则占为a i ，i i 的半格当且仅当最，i i 的 半格 半群s 上的一个等价关系一为s 上的左同余，如果对任意的x i 凸，b s ，a a b 得 到x a a x b ；右同余可对偶地定义既是左同余又是右同余则称为( 双侧) 同余半群 s 上的同余为包含序：一l 如果对任意。，b s a a b 则有a r b 这个关系在交( n ) 运算下是封闭的，最小元为恒等关系，最大元为泛关系，因此构成完全格，称为半 群s 的同余格 定义1 2 5 1 1 9 1 设y 为半格，v 口y s a 为半群，当q 卢时，n = 0 ， 令s = u & ，且适合以下条件； 1 ) 对a ，卢1 i , 口卢，存在同态如，口：& _ 品， 2 ) 如果a 卢1 ，则咖。，月咖，1 = 札，1 ， 9 3 ) 如，o = l 品，v a y 对讹e & ，v 6 品，定义o b = ( n 札，。口) ( b 如，。口) ，则( 最r ) 成为半群，称为半群& 关于y 的强半格，记作 y ；& ；九口 引理1 2 6 n 设_ x 为一个偏序集，若x 有最大元且x 的任意非空子集合都 有最大下界，则x 是一个完备格 引理1 2 7 【4 】若曲是格c 到格c 的保序的同构映射，则是一个格同构 1 0 第二章逆半群的半格的同余对和同余及相关问题 本章首先利用一族含幺逆半群的同余对刻画了其半格的同余对，并给出了逆 半群半格的正规同余对族的格与其标准同余对的格之间的同构关系然后给出了这 族含幺逆半群上的同余格的直积的子格与其半格上的同余子格的同构关系 5 2 1 逆半群的半格的同余对和同余 定义2 1 1 设s = ( y ；s o ) 为逆半群晶的半格，对s 上的同余6 ： ( a ，b ) 6 寻| ney a ，b s o 显然s 5 皇y ，称5 为半格( y ；& ) 对应的半格同余 本节以下主要探讨逆半群咒上的同余对和同余与s 上的同余和同余之间的关 系 众所周知，逆半群上的任一同余由一个同余对唯一确定阻下面我们将通过每 个含幺逆半群的同余对来刻划其半格的同余对下面的术语和名词来自文献 3 设s 为逆半群s 的幂等元集合记作毋如果s 是逆半群( ney ) 的半 格，记岛n 咒为玩对s 上的同余p ，定义p 的核和迹分别为 k e r p = a sla p e ，存在某个eeb ) ， t r p = p l e s s 的一个子集称为满的，如果毋耳；它是自共轭的，如果对任意的s s ，都 有s - 1 k s k s 的一个满的自共轭逆子半群称为s 的正规子半群 西上的一个同余r 称为正规的，如果对e ，e s 和任意的s s ，由e r ，推出 8 - - 1 e srs 一1 ，s ( k ，r ) 称为s 的同余对，如果k 是s 的正规子半群，且r 是e s 上的正规同 余，并满足： ( i ) e k ，e t a 一1 a 号a k ( 。s ，e e s ) ， ( i i ) k k 弓k k 一1 r 一1 b 在这样的条件下，定义s 上的关系p f ，) 如下： ( 口，b ) p ( k t ) = 孛a - i a r b 一1 b ，a b 一1 ek ( 2 1 ) 则有 引理2 1 2 3 1 设s 为逆半群如果( ，f ) s 的同余对，则p ( 耳，1 是满足k e r p = k 且t r p = r 的s 上的唯一同余p 反过来，如果p 是s 上的同余，则( k e r p ，t r p ) 是 s 的同余对且p f i 。m ，p ) = p 下面刻划画s = ( y ；) 上的同余和同余对 设s 为逆半群的半格y ，且每个逆半群均含有幺元，记为l 。，由引理 1 2 3 n 知，s 仍是逆半群 定义2 1 。3 设s = ( y ；) 为含幺逆半群的半格，p 。为s o ，口y 上的同 余称( 阢) 。r 为s 的容许同余族，如果( 阢 。r 满足以下条件： v ae k n ，b ， ( 1 ) ( 口，b ) p a = = = 争v p k ( 口1 卢，b - 1 卢) p 。口， ( 2 ) j 卢y i ( a l 口，b - l 口) p 叩哥( a ，b ) p 。 如果s = y = u a ) ，则显然s 为含幺逆半群 a 的半格，且p 。为缸 上的 平凡同余，o y 显然，f 儿) 。y 为s 的容许同余族 特别的，y ，若p 。为矗上的泛同余，则显然t p 。) 。y 为s 的容许同余 族 下面的例子说明非平凡的容许同余族是存在的 例2 1 4 设半格y = 8 ，研，口s 卢令= f o ，岛f ，1 。，口) ，昂= 协1 口) 令 s = u 岛，在s 上定义乘法”如下： 1 2 0ef 1 口 a g 1 8 0o 0 000o0 e0e0ee0e f00fffof 1 a 0ef 1 。 af 1 n a0efa 1 a 0a g 000f0 gg 1 d 0ef l a a g 】d 通过验证知，& ，& 均为含幺逆半群s 满足结合律因此s 为半群且为 和品的半格设p a = f 1 。，o ， ， e ，o ) ) ，耶= “g ，1 p ”易证p 0 为& 上的同余 并且 m ，卯，为s 的容许同余族事实上，由s 中乘法的定义知，1 口为5 1 的单位 元因此有 ( 1 0 ，n ) p a = = = 争( 1 n l 卢，o - l 卢) 户a 卢 ( 1 。，) p z 哥( 1 a 1 b ，1 b ) 脚 ( n ，f ) p a = = 争( n l 口，1 口) p n 口 ( e ，0 ) p a 争( e l 口，0 1 口) p a # ( 9 ，l 口) p d ，口a 为9 1 n = ，1 口1 。= 1 。，又( 1 n ，) p n ，e p ( g 1 n ，1 0 1 a ) p 叩 另一方面 ( g - 1 。，1 口1 d ) m 口 0 ，1 4 ) p b ( ，- 1 口，l n 1 p ) p 。p ：= = ( ，1 0 ) p a ( ，l 口，口l 芦) p 。芦= = ( ，吐) p 。 ( o - 1 口，1 n 1 口) p o 口：= = = ( o ，1 n ) p 。 ( e l 口，0 1 口) p a p = = 孛( e ，0 ) 几 ( 1 。，0 ) g 儿号( 1 n 1 b ，0 1 口) 掣p 叩 ( ，0 ) g p n = = 孛( ，1 口，0 1 口) 掣p a z ( a ，0 ) p n = = 争( n l 口，0 l 口) p n 口 这样， m ，邪) 满足定义2 1 3 中的条件，因此 几，助) 为s 的容许同余族 反过来，并非s = ( y ；& ) 的任一同余族 儿) a s y 都是容许的 例2 1 5 设半格y = p ) ，a 卢，岛为非平凡含幺逆半群，岛为含幺逆半 群，且n 岛= 0 令s = 鼠u ，定义s 中的乘法”， 设n & ，b 嘞，a b = b o = 1 口其中和昂中的乘法保持不变则s 为半 群且为和昂的半格设p 。为& 上的恒等同余，舶为品上的泛同余，则对 v a ，b ，8 b ，有( a 1 8 ，b 1 b ) 几口，但( d ，b ) g p 。 令s = ( y ；) 为含幺逆半群的半格，由引理1 2 4 n 知，毋为e o ，o y 的半格 定义2 1 6 设s = ( 】，；) 为含幺逆半群& 的半格，( r 0 ，) 为& ，o y 的 同余对，v 口y ，如果满足： ( 1 ) 口：= y 口a ，a 1 口n b ， ( 2 ) o 品，j p s a ，a l 卢啬肆a ， ( 3 ) f 。y 为风的容许同余族 则称 ( n a ，) ) 。e y 为s 的正规同余对族 s = ( y ；晁) 的正规同余对族是存在的 在例2 1 4 中，令j = s o ，亿= “o ，e ) ， 1 。) ，n z = 昂，邛= “9 ，1 口) ) 易知 ( 0 ，) ，( 0 ，印) 分别为& ，劫的同余对，容易验证它们满足定义2 1 6 的条件因 此 ( 、，) ，( n b ，印) 为s 的正规同余对族 反过来，并非s = ( y ；) 的任一同余对族都是正规的 例2 1 7 设半格y = ( o ，卢) ，o t 卢，& 为至少含有一个异于1 。的幂等元的逆 半群。昂为含幺逆半群，且& n 岛= o 令s = & u 品，定义s 中的乘法” = 设a & ，b s z ，a b = b a = 培其中& 和函中的乘法保持不变则s 为半群且 为和昂的半格令n o = 昂，t a = ，= 昂，审= 印毋则( ，) ，( 帕，印) 分别为& 和昂的同余对并且v e ，既，e ，( e 1 口，l 口) r z ，但( e ，) 彰 由定义2 1 3 ， ，印) 不是占的容许同余族，据定义2 1 6 ， ( ；，) ，( 坼，印) 不是 s 的正规同余对族 1 4 定义2 1 8 设s = ( y ；& ) 为含幺逆半群岛的半格，( ，r ) 为s 的同余对， 并且满足： ( 1 ) o & n n 爿耶a ，o l 虚n ， ( 2 ) a ，j 卢s o ，a ，1 b n 爿a n ， ( 3 ) 设e e o ，f e b ，贝0 ( e ，f ) er = = ： ( e ，1 。口，1 。口) r ， ( 4 ) p f 现 。e y 为毋的容许同余族 则称( ，r ) 为s 的标准同余对 显然，( s ，e s e s ) 为半格( y ；) 的标准同余对下面的例子说明非平凡的 标准同余对是存在的 例2 1 9 设半格y = n ，厨，d 卢& = f e ，1 。) ，昂= ，1 口，o ) ，在s = 鼠u 劫 上定义乘法如下 通过验证s 满足结合律因此s 为半格和品的半格n = s ，令r = “e ，1 。，1 口) ， o ) 容易验证( ，r ) 为s 的标准同余对 反过来，并非s = ( y ；s n ) 的任一同余对都是标准的 在例2 1 4 中，令n = 0 ，e ，f ，l a l 9 ，1 口) ，r = “9 ) ， o ，e ，l 。，1 口，则易知( ，r ) 为占的同余对因为g l 。= f ，1 口- 1 。= 】。，( ，1 。) 一但( g ，1 口) gr ，所以( r ) 不 满足定义2 1 8 ( 3 ) 这样，( ，r ) 不是s 的标准同余对 下面我们将证明s 的所有正规同余对族构成的集合4 与s 的所有标准同余对 构成的集合8 之间存在一一对应，并且这个一一对应是一个完备格同构首先，我 们来证明以下的引理和定理 定理2 1 1 0 设s = ( 】，；& ) 为含幺逆半群的半格， ( k ，) ) 。，为s 的 一个正规同余对族，( ，r ) 定义如下： n = u 心 d y 1 5 瓣 r = ( e ，) e sx e s l e k ，e 匆，( e 1 。卢，- 1 。芦) t h 卢) 则( ，r ) 为s 的一同余对，且 p ( ，) = ( ( d ，b ) s x s a 5 0 ，b 昂，( a - 1 口1 n 声，6 1 6 1 n 芦) r j 咿，a b 一1 卢) ，日m ，】i s o = 所。，) 证明设a ，b n ，则存在a ，卢f n 帆，b j 由定义2 1 6 ( 1 ) ，1 。口，b l 。口 妇。由于 锄为艮，的子半群，所以o tb = a b 1 筇= ( a - l 。p ) ( 6 l 卵) 口， 即为子半群 对任意的e e s ，则j o e e e 0 帆n ，故珞得为满的 显然，如果a n ，则n - i 所以是逆子半群 设n n ，z s 则存在a ，卢y 使得口帆，z 函，且x - 1 a 2 9 = z _ 1 0 z l 。口= x - 1 0 - 1 。卢。l d 卢= l a 卢z 一1 a l 。卢。1 卢= ( z 1 。卢) 一1 ( o 1 0 卢) ( 嚣1 。卢) ，由定义2 1 6 ( 1 ) ，o 1 。卢 妇由于口口为& 口的白共轭子半群，所以( 。1 。口) 一1 ( 口1 。口) ( 1 。口) 帆口即 o - 1 0 正玉n 故是s 的自共轭子半群，因而是正规子半群 显然r 是自反的和对称的设( e ，) r ，( ，9 ) r ，e 玩，如，9 日则 ( e - 1 。口，- 1 。口) 口，( ，1 所。91 口7 ) 印7 由定义2 ，1 6 ( 3 ) ， ) 。y 为风的容 许同余族，根据定义2 1 3 ( 2 ) ，( e l 。口1 卸7 ，1 。口1 郇7 ) 龟所，由幂等元可换和定义 2 1 6 ( 3 ) ，( e l 。肿，1 。口，) r 。肋，同理( ，1 。口t ，g l a e l ) 丁n 所，由f 1 的传递性知， ( e l 。所，g l 。，t ) 7 嘶，由定义2 , 1 3 ( 1 ) ，( e 1 。所l 针，g 1 卵t 1 。1 ) 口，再由幂等 元可换和定义2 1 3 ( 2 ) 知，( e - l 。，g 1 。7 ) 1 ，所以( e ，g ) r 即r 是传递的，因 此r 是e 0 上的等价关系 设( e ，) t ，e 风，场忱只设。s 由( e ，) r 得，( e - 1 筇，- 1 叩) 口，由定义2 1 3 ( 1 ) ，( e l 。口1 n 肌，1 卵1 。口1 ) 口7 ，由幂等元可换和定义2 1 3 ( 2 ) ， ( e - 1 。口1 ，- 1 。口7 ) 口t ，由于p 7 为j 0 口1 上的正规同余，因此( ( 。1 卵1 ) _ 1 ( e ，1 。口1 ) ( z l o 肋) ，( z - 1 。口7 ) - 1 ( ，1 。口，) 扛1 叩t ) ) 所i e ，扣- 1 e $ 1 筇t ，x - 1 如1 0 聊) 口，由 r 的定义，( x - 1 e z ，t - i ，z ) r 因此，f 为毋上的正规同余 设n e n ，( e ，d _ 口) r ，若o ，e 昂则o e n s 妇= 心口，由( e ，a - 1 0 ) r 得，( e 1 。p ，a - i o - 1 。口) r 印即( e 1 。口，( o 1 筇) - 1 ( 口l 。口) ) 口由于( 口，r 口口) 为 口的同余对，据( i ) ，口1 。口 b 由定义2 1 6 ，o n 另一方面，设o n ， 若口，a y ，由( ，亿) 为& 的同余对得，( n 一1 0 ，a o _ 1 ) r 从而( 1 t ) 1 6 为s 的同余对 由( 2 1 ) 式及和r 的定义 p ( n ，1 = ( n ，b ) s s f n 6 1 n ，( o 一1 ，6 1 6 ) 下，o - 5 么，6 s b ) = ( n ，b ) s s l a 一1 0 1 n 卢，b - t b l n 口) e7 b 卢，a b 一1 o 口) 且p ( n ，r ) i s 。= p ( 1 v o ，) 证毕 定义2 1 1 1 令s = ( y ；乳) 为含幺逆半群，a y 的半格，设 ( 眠，) ) 。y 为s 的正规同余对族由如上构造的同余对( ，r ) 称为由 ( 。，) 。y 诱导的s