（基础数学专业论文）分裂定理与ricci孤立子的基本群.pdf

摘要 摘要 1 9 8 2 年，h a m i l t o n 发表了第一篇关于r i c c i 流的文章。此后，r i c c i 流的方法得 到了广泛流传和迅速发展，成为几何研究的强有力的工具2 0 0 3 年，p e r e l m a n 取得 重大进展他沿着h a m i l t o n 的纲领，运用p d c c i 流的方法证明了著名的p o i n c a l r 劬青 测，以及更广泛的t h u r s t o n 的几何化猜测 于上世纪8 0 年代初引进的b a k r y - i 主m e r y 张量是r i c c i 张量的推广事实上， 当势函数是常值时，它们是一回事随后b a k r y - i m e r y 张量在许多领域获得了应 用一些p d c c i 曲率的拓扑与几何的性质也被推广到了b a k r y - e m e r yr i c c i 曲率 的情形 本文主要研究了收缩及稳定r i c c i 孤立子的拓扑性质和一类具有非负b a k r y - i m e r yr i c c i 曲率的完备黎曼流形的几何性质 首先，我们对h a m i l t o n 的r i c c i 流及r i c c i 孤立子的定义进行了回顾，知道 作为r i c c i 流演化方程的不动点的r i c c i 孤立子是e i n s t e i n 流形的推广，并介绍 了r i c c i 流及r i c c i 孤立子的一些基本性质。同时，我们也讨论了b a k r y - l 主m e r y r i c c i 曲率的有关内容 其次，我们对近来对关于收缩及稳定r i c c i 孤立子的基本群的研究成果进行 了介绍，主要包括了 1 5 】【2 0 、【2 9 三篇文章的结果作者改正了 2 0 】中的一处 疏漏，并将其方法应用到了非负b a k r y - e m e r yr i c c i 曲率的情形，得到了以下结 果： 定理a 设m 是礼维完备黎曼流形，具有非负b a k r y - l 主m e r yr i c c i 曲率，而 且其势函数有界，那么m 的基本群的任意有限生成子群日具有多项式增长，更 准确地，日的增长函数( s ) c o n s t a n t 8 n 最后，我们回顾了c h e e g e r g r o m o l l 分裂定理，介绍了 1 4 】、 2 2 】中对该定理 的推广的结果我们运用 1 4 、 2 2 的方法得到了新的结果： 定理b 设m 是完备、非紧的连通黎曼流形，具有紧致的极小的边界o m ， 具有非负b a k r y - e m e r yr i c c i 曲率，若其势函数在流形上一致有上界且在边界上 沿内法向非减，则o m 是连通的，m 具有一个等距分裂o m 0 ，+ o 。) ，势函数 在每个1 卉x 0 ，+ ) 上是常值的。 学科分类号：5 3 c 2 0 关键词：r i c c i 孤立子；b a k r y - e 7m e r yr i c c i 曲率；基本群；分裂定理 a b s t r a c t a b s t r a c t i i i n1 9 8 2 ，h a m i l t o np u b l i s h e dt h ef i r s tp a p e ro nt h er i c c if l o w i nt h ep a s t t w od e c a d e s ，t h er i c c if l o wm e t h o dh a sg o ti t sg r e a ta n dr a p i dd e v e l o p m e n ta n d b e c o m ea ne f f i c i e n tt o o lo fg r e a tp o w e ri nt h er e s e a r c ho ng e o m e t r ya n dt o p o l o g y i n2 0 0 3 ，p e r e l m a na c h i e v e ds i g n i f i c a n tp r o g r e s s f o l l o w i n gh a m i l t o n sp r o g r a m ， u s i n gt h er i c c if l o wm e t h o d ，p e r e l m a np r o v e dt h ef a m o u sp o i n c a r 6c o n j e c t u r e ， a n de v e nt h eg e n e r a l i z e dg e o m e t r i z a t i o nc o n j e c t u r eo ft h u r s t o n t h eb a k r y - i i m e r yt e n s o r ，i n t r o d u c e di nt h ee a r l y8 0 so ft h el a s tc e n t u r y , i sag e n e r a l i z a t i o no ft h ec a n o n i c a lr i c c it e n s o r ，w h e r et h ep o t e n t i a lf u n c t i o ni s c o n s t a n t t h eb a k r y - e m e r yt e n s o ro c c u r sn a t u r a l l yi nm a n yd i f f e r e n ts u b j e c t s a l s o ，m a n yt o p o l o g i c a la n dg e o m e t r i cp r o p e r t i e so fr i c c ic u r v a t u r eh a v eb e e n e x t e n d e dt ot h es e t t i n go fb a k r y - e m e r yr i c c ic u r v a t u r e t h i st h e s i sm a i n l yf o c u s e so nt o p o l o g i c a lp r o p e r t i e so fs h r i n k i n ga n ds t e a d y r i c c is o l i t o n sa n dg e o m e t r i cp r o p e r t i e so fn o n n e g a t i v e l yb a k r y - e m e r yr i c c ic u r v e d c o m p l e t er i e m a n n i a nm a n i f o l d sw i t hb o u n d a r y f i r s t ，w er e c a l lt h ed e f i n i t i o no fh a m i l t o n sr i c c if l o w a n dr i c c is o l i t o n r i c c is o l i t o n ，a st h ef i x e dp o i n to ft h ee v o l u t i o ne q u a t i o no ft h er i c c if l o w ，i sa g e n e r a l i z a t i o no fe i n s t e i nm a n i f o l d t h e n ，w ed i s c u s st o p i c sr e l a t e dt ot h eb a k r y - e m e r yr i c c ic u r v a t u r e s e c o n d l y , w ei n t r o d u c es o m er e s e a r c ha c h i e v e m e n to nt o p o l o g i c a lp r o p e r t i e s o fs h r i n k i n ga n ds t e a d yr i c c is o l i t o n s ，f u n d a m e n t a lg r o u p si np a r t i c u l a r ，w h i c h a r et h em a i nr e s u l t so f 1 5 ，【2 0 】a n d 2 9 t h ea u t h o rc o r r e c to n ed e f e c ti n 2 0 】 a n dt h e na p p l y i n gt h es a m em e t h o dt on o n - n e g a t i v e l yb a k r y - e m e r yr i c c ic u r v e d r i e m a n n i a nm a n i f o l d s ，p r o v et h ef o l l o w i n g ： t h e o r e ma l e t ( m ，g ) b ea nn d i m e n s i o n a lr i e m a n n i a nm a n i f o l dw i t hn o n - n e g a t i v eb a k r y _ 丘m e r yr i c c ic u r v a t u r e s u p p o s ei t sp o t e n t i a lf u n c t i o ni sb o u n d e d b ys o m ep o s i t i v ec o n s t a n t ，t h e na n yf i n i t e l yg e n e r a t e ds u b g r o u ph o ft h ef u n d a - m e n t a lg r o u po fmh a sp o l y n o m i a lg r o w t h 。m o r ep r e c i s e l y , t h eg r o w t hf u n c t i o n o fhs a t i s f i e s 咖( s ) sc o n s t a n t s n f i n a l l y , w er e c a l lt h ec h e e g e r - g r o m o l ls p l i t t i n gt h e o r e m ，a n di n t r o d u c es o m e g e n e r a l i z a t i o n so b t a i n e di n 1 4 】a n d 2 2 t h e n ，b a s e do nt h ei d e a si nt h ep r e v i o u s a b s t r a c ti i i p a p e r s ，w ep r o v et h ef o l l o w i n g ： t h e o r e mb l e t ( m ，g ) b eac o m p l e t ec o n n e c t e dr i e m a n n i a nm a n i f o l dw i t h s m o o t hb o u n d a r yo m s u p p o s et h eb o u n d a r yi sm i n i m a l ，c o m p a c tb u tmi s n o n - c o m p a c t w ea s s u m em h a sn o n - n e g a t i v eb a k r y - e m e r yr i c c ic u r v a t u r ea n d i t sp o t e n t i a lf u n c t i o ni sb o u n d e da b o v eu n i f o r m l yo nm s u p p o s et h ep o t e n t i a l f u n c t i o ni sn o n - d e c r e a s i n ga l o n gt h ei n n e rn o r m a ld i r e c t i o no nt h eb o u n d a r y t h e n o mi sc o n n e c t e da n dmi st h ei s o m e t r i cp r o d u c to fo m 【0 ，+ ) f u r t h e r m o r e ， t h ep o t e n t i a lf u n c t i o ni sc o n s t a n to ne a c h p ) 0 ，+ ) m a t h e m a t i c a ls u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ， k e yw o r d s ：r i c c is o l i t o n ；b a k r y - e m e r y s p l i t t i n gt h e o r e m 2 0 0 0 ：5 3 c 2 0 r i c c ic u r v a t u r e ；f u n d a m e n t a lg r o u p ； 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 本授权书。 学位论文作者签名： 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 栖考 乃e 1 年解密后适用 月 r ： - 土 年。一 在 q l 上 密 。 一 果 们 一 保 7 一 于 7 于 一 属 - 文 j 论 一 位 ， 一 学 - - k - 1 4 本 i ， 意u 同 师 一 r l 一 教 导 一 巴驴 一 时 一 经 一 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：哟鲁 弦彳年r 肌弓日 c h a p t e r1 i n tr o d u c ti o n 1 1r i c c if l o wa n dr i c c is o l i t o n s i ti sa ni m p o r t a n ta n d i n t e r e s t i n gp r o b l e mi nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r yt h a tt of i n da c a n o n i c a lm e t r i co nag i v e nm a n i f o l d a l s o ，t h ee x i s t e n c eo fac a n o n i c a lm e t r i c o f t e nh a sp r o f o u n di m p l i c a t i o n so ft h et o p o l o g i c a lp r o p e r t i e s ag o o de x a m p l ei s t h ec l a s s i c a lu n i f o r m i z a t i o nt h e o r e mi nt w o - d i m e n s i o nw h i c hn o to n l ys h o w s t h a t e v e r yc o m p a c ts u r f a c eh a sac a n o n i c a lg e o m e t r i cs t r u c t u r e ( am e t r i co fc o n s t a n t c u r v a t u r e ) ，b u ta l s op r o v i d e sac o m p l e t et o p o l o g i c a lc l a s s i f i c a t i o nf o rc o m p a c t s u r f a c e s h o wt of o r m u l a t ea n d g e n e r a l i z et h et w o - d i m e n s i o n a lr e s u l tt oh i g h e rd i m e n s i o n a lc a s eb e c o m e so n eo ft h em o s ts i g n i f i c a n ta n d c h a l l e n g i n gt o p i c si nm o d - e r nm a t h e m a t i c s i n1 9 7 7 ，t h u r s t o nf o r m u l a t e da g e o m e t r i z a t i o nc o n j e c t u r ef o r t h r e e - d i m e n s i o n a lm a n i f o l d s r o u g h l ys p e a k i n g ，i ts t a t e st h a ta n yc l o s e dt h r e e - d i m e n s i o n a lm a n i f o l dc a nb ec a n o n i c a l l yd e c o m p o s e di n t op i e c e si ns u c ha w a y t h a te a c ha d m i t sac a n o n i c a lg e o m e t r i cs t r u c t u r e h e n c e t h ef a m o u sp o i n c a r 6 c o n j e c t u r e ，w h i c hs t a t e st h a tac l o s e dt h r e e - d i m e n s i o n a lm a n i f o l dw i t ht r i v i a l f u n d a m e n t a lg r o u pi sn e c e s s a r i l yh o m e o m o r p h i ct os 3 ，b e c o m e sas p e c i a lc u s eo f t h u r s t o n sg e o m e t r i z a t i o nc o n j e c t u r e m a n ym a t h e m a t i c i a n sh a v ec o n t r i b u t e d t ot h eu n d e r s t a n d i n go ft h u r s t o n sg e o m e t r i z a t i o nc o n j e c t u r ei nt h ep a s tt h i r t y y e a r s t h em o s ts i g n i f i c a n tc o n t r i b u t i o nf o rg e o m e t r yo nt h r e e - d i m e n s i o n a lm a n i f o l d si sd u et or h a m i l t o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n i n1 9 8 2 ，h a m i l t o n 1 7 i n t r o d u c e dt h er i c c if l o w 爰m ) = 一2 r i c ( 9 ) 2 ( 1 1 ) t os t u d yc o m p a c tt h r e e - d i m e n s i o n a lm a n i f o l d sw i t hp o s i t i v er i c c ic u r v a t u r e t h e r i c c if l o we q u a t i o n ，a san a t u r a la n a l o g u eo ft h eh e a te q u a t i o nf o rm e t r i c s ，h a sa s o l u t i o na tl e a s tf o ras h o r tt i m eo na n yc o m p a c tm a n i f o l do fa n yd i m e n s i o n sf o r a n yi n i t i a lv a l u eo ft h em e t r i ca tt = 0 c o n s e q u e n t l y ，t h ec u r v a t u r et e n s o r se v o l v e b yas y s t e mad i f f u s i o ne q u a t i o n sw h i c h t e n d st od i s t r i b u t et h ec u r v a t u r eu n i f o r m l y o v e rt h em a n i f o l d t h u s ，o n ee x p e c t st h a tt h ei n i t i a lm e t r i cs h o u l db ei m p r o v e d a n de v o l v et oac a n o n i c a lm e t r i c ，w h i c hw o u l dl e a dt oab e t t e ru n d e r s t a n d i n go f t h et o p o l o g yo ft h eu n d e r l y i n gm a n i f o l d i n 17 ，b yt h em e t h o do fr i c c if l o w ， h a m i l t o np r o v e dt h a tac l o s e dt h r e e - d i m e n s i o n a lm a n i f o l dw i t hp o s i t i v er i c c i c u r v a t u r ei sd i f f e o m o r p h i ct oas p h e r i c a ls p a c ef o r m a n di nt h ef o l l o w i n gt w o d e c a d e s ，h ep r o v e dm a n yr e m a r k a b l ea n ds i g n i f i c a n tr e s u l t sf o rt h er i c c if l o w ， a n dl a i dt h ef o u n d a t i o nf o rt h ep r o g r a mt oa p p r o a c ht h ep o i n c a r 6c o n j e c t u r ea n d t h u r s t o n sg e o m e t r i z a t i o nc o n j e c t u r ev i at h er i c c if l o w i nt h ef a l lo f2 0 0 2a n d t h es p r i n go f2 0 0 3 ，p e r e l m a nb r o u g h ti nf r e s hn e wi d e a st of i g u r eo u ts i g n i f i c a n t s t e p st oo v e r c o m et h em a i no b s t a c l e st h a tr e m a i n e di nh a m i l t o n sp r o g r a m ，a n d t h e r e b ys o l v e dt h ec o n j e c t u r e s 7 】 b a s i c a l l y , r i c c if l o we q u a t i o ni san o n l i n e a rd e g e n e r a t e dh e a tt y p ee q u a t i o n i te v o l v e st h er i e m a n n i a nm e t r i c sa l o n gt h ed i r e c t i o no ft h er i c c it e n s o r c o n s i d e rt h er i c c if l o we q u a t i o n ( 1 1 ) o nac l o s e ds m o o t hm a n i f o l dm t h e nt h e d i f f e o m o r p h i s mg r o u pd i f f ( m ) g i v e st h ew h o l es y m m e t r yg r o u po ft h i se q u a t i o n 【1 0 a n da f t e rf i x i n go n eg a u g e ( d e t u r c k st r i c k 【1 2 】) ，t h ee q u a t i o ni se q u i v a l e n t t oas t r i c t l yp a r a b o l i cn o n l i n e a re q u a t i o na n dt h e nt h es h o r tt i m ee x i s t e n c eo ft h e s o l u t i o nt ot h er i c c if l o we q u a t i o n ( 1 1 ) f o l l o w s a sf o rt h el o n gt i m eb e h a v i o r ， h a m i l t o np r o v e di n 17 t h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m1 1 1 l e t ( m ，g ) b eac l o s e dr i e m a n n i a nm a n i f o l d , 0 t + s u c ht h a te q u a t i o nn 砂w i t hi n i t i a lv a l u eg ( o ) t h e nt h e r ei sat i m e = g o h a sau n i q u e c h a p t e r1 斟t r o d u c t i o n3 s o l u t i o no nt h et i m ei n t e r v a l 0 ，t ) i ft + ，t h e nt h ec u r v a t u r eb l o w u p sa t t i m ez t h e g a m eo fr i c c if l o w ，s ot os p e a k ，i st oc o n t r o lg e o m e t r i cq u a n t i t i e sa s s o c i a t e d t ot h em e t r i ca si te v o l v e s l e t sn o wm o v et ot h ev o l u m ef o r m 舡( w ea s s u m e t h a tmi so r i e n t e d ) i ng e n e r a l ，b y ( 1 1 ) ，w eh a v e - - d # - - - 冗d 肛，( 1 2 ) w h e r eri st h es c a l a rc u r v a t u r e t h i si se a s i l ys e e nf r o mt h el o c a lc o o r d i n a t e f o r m u l a 毗=1 八d x n i nap o s i t i v e l yo r i e n t e dl o c a lc o o r d i n a t es y s t e m ) a n dt h ef o r m u l af o rt h e v a r i a t i o no fad e t e r m i n a n to fam a t r i xa ( t ) 面d1 0 9d e 以= ( a - 1 ) 巧旦d t a 巧， ( 1 3 ) w h e r el o gd e n o t e st h en a t u r a ll o g a r i t h m w ec a ns e et h i sf r o mt h es t a n d a r d d e f i n i t i o n d e t a = 8 i g n ( a ) a 1 邮) a 叫咖 w h e r et h es u m m a t i o ni so v e ra l lp e r m u t a t i o n s 盯o f 1 ，2 ，礼) d i f f e r e n t i a t i n g t h i sf o r m u l a ，w eg e t 爰d e t a = 班d _ a 巧s i g n ( 彬州1 ) 一碥碥， o j 2 1 盯：口【2 ) 5 j w h e r ea i 仃( t ) m e a n st oo m i tt h i sf a c t o ra n dt h es e c o n ds u m m a t i o ni so v e ra l l p e r m u t a t i o n s 仃s u c ht h a t 盯( i ) = j e q u a t i o n ( 1 3 ) n o wf o l l o w sf r o mc r a m e r s r u l e ： ( ) 巧= 南s i g n ( 口) 钆( 1 ) 蕊碥 盯：盯【o j 2 j n o t et h a tb y ( 1 2 ) ，v o l ( g ) 圭。批e v o l v e sb y d v o l ( 鲍) ) 一厶r m c h a p t e r1 斟t r o d u c t i o n 4 s i n c et h i si sn o tz e r oi ng e n e r a l ，w em o d i f yt h er i c c if l o we q u a t i o nt om a k et h e v o l u m ec o n s t a n t i np a r t i c u l a r ，w ed e f i n et h en o r m a l i z e dr i c c if l o wb y 蚤t j = - 2 + 2 酗。 ( 1 4 ) w h e r e 于= v o l 厶。a 如i st h ea v e r a g es c a l a rc u r v a t u r e a g a i nb y ( 1 2 ) w e h a v e d v o l ( 雪( 亡) ) = o u n d e rt h en o r m a l i z e dr i c c if l o w g i v e nas o l u t i o n 夕( 亡) ，t 0 ，t ) ，o ft h er i c c i f l o w ，t h em e t r i c s 亘( 亡) 圭c ( 亡) 9 ( t ) ， c ( 亡) 圭e x p ( 昙f 。r ( 丁) 吼敢亡) 圭o 。c ( 丁) d 丁， a r eas o l u t i o no ft h en o r m a l i z e dr i c c if l o ww i t h 参( 0 ) = 夕( o ) t h e r e f o r e ，s o l u t i o n so f t h en o r m a l i z e dr i c c if l o wd i f f e rf r o ms o l u t i o n so ft h er i c c if l o wo n l yb yr e s c a l i n g s i ns p a c ea n dt i m e a n di n 17 ，h a m i l t o np r o v e dt h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m1 1 2 l e t 似3 ，g o ) b eac l o s e dr i e m a n n i a n3 - m a n i f o l dw i t hp o s i t i v e r i c c ic u r v a t u r e t h e nt h e r ee x i s t sau n i q u es o l u t i o ng ( t ) o ft h en o r m a l i z e dr i c c i f l o ww i t hg ( o ) = g o 如ra l lt 0 f u r t h e r m o r e ，a 8t 一。，t h em e t r i c sg ( t ) c o n v e r g ee x p o n e n t i a l l yf a s ti ne v e r yc m n o r mt oac o 。m e t r i c 夕o ow i t hc o n s t a n t p o s i t i v es e c t i o n a lc u r v a t u r e r e m a r k1 1 3 i ti sn a t u r a lt os t u d ys p e c i a la n di n t u i t i v es o l u t i o n st ot h er i c c i f l o w i nf a c t ，t h e r ei so n l yas m a l lc l a s so fg e n u i n ef i x e dp o i n t so ft h er i c c if l o w a r i e m a n n i a nm a n i f o l d ( m 付，g ) i saf i x e dp o i n to ft h eu n n o r m a l i z e dr i c c if l o w ( 1 1 ) i fa n do n l yi ft h em e t r i cgi sr i c c if l a t ac o m p a c tm a n i f o l d ( m n ，9 ) i saf i x e d p o i n to ft h en o r m a l i z e dr i c c if l o w ( 1 4 ) i fa n do n l yi fi t sa v e r a g es c a l a rc u r v a t u r e i sc o n s t a n tr 三ca n d r i c = 二夕， 佗 h e n c ei fa n do n l yi fgi sa ne i n s t e i nm e t r i c t h e r ei sh o w e v e ral a r g e rc l a s so f s o l u t i o n sw h i c hm a yb er e g a r d e da sg e n e r a l i z e df i x e dp o i n t s t h e s ea r ec a l l e d r i c a js o l i t o n so rs e l f - s i m i l a rs o l u t i o n s 5 r e c a l lt h a tar i e m a n n i a nm e t r i c9 t ji se i n s t e i ni fi t sr i c c it e n s o rr j = 9 t j f o rs o m ec o n s t a n ta as m o o t hn - d i m e n s i o n a lm a n i f o l dm n w i t ha ne i n s t e i n m e t r i cgi sa ne i n s t e i nm a n i f o l d r i c c is o l i t o n s ，i n t r o d u c e db yh a m i l t o n ，a r e n a t u r a lg e n e r a l i z a t i o n so fe i n s t e i nm e t r i c s d e f i n i t i o n1 1 4 ac o m p l e t er i e m a n n i a nm e 饥c o nos m o o t hm a n i f o l dm 佗 诂c a l l e dnr i c c is o l t i o ni ft h e r ee x i s tav e c t o rf i e l dv = ( v ) a n dnc o n s t a n t 入 s u c ht h a tt h er i c c it e n s o r o ft h em e t r i c9 l js a t i s f i e dt h ee q u a t i o n 2 嘞+ v i 巧+ b k = 2 a 助 ( 1 5 ) m o r e o v e 5qv i st h eg r a d i e n tv e c t o rf i e l do a f u n c t i o n o nm t h e nu ) eh a v e 嘎 g r a d i e n tr i c c is o l i t o n ，s a t i s f y i n gt h ee q u a t i o n r + 飞固 f = 2 a g i j ( 1 6 ) f o ra=0t h er i c c is o l i t o ni ss t e a d y ，如ra 0 s h r i n k i n g t h ef u n c t i o nfi sc a l l e dap o t e n t i a lf u n c t i o no ft h er i c c is o l i t o n s i n c ev i v j + 飞一产v g i ji st h el i ed e r i v a t i v eo ft h em e t r i cg i nt h ed i r e c t i o n o fv ，w ec a na l s ow r i t et h er i c c is o l i t o ne q u a t i o n ( 1 5 ) a n d1 6 ) a s a n d r e s p e c t i v e l y r i c + 互1 c y g = a g r i c + h e s s ( f ) = a g ( 1 7 ) ( 1 8 ) l e m m a 1 1 5 ( f 6 ，1 8 1 ) l e tg i jb eoc o m p l e t eg r a d i e n tr i e c is o l i t o nw i t hp o t e n t i a l f u n c t i o nf t h e nw eh a v e r + i v f l 2 2 a f = c o 下s o m ec o n s t a n tc h e r erd e n o t e st h es c a l a rc u r v a t u r e p r o 西l e t 夕巧b eac o m p l e t eg r a d i e n tr i c c is o l i t o no nam a n i f o l