（基础数学专业论文）奇异黎曼度量下光滑函数芽的右有限决定性及其判定.pdf

摘要 众所周知，分类问题一直是数学中最基本也是最重要问题。由于原点处光滑函数芽所 形成的空间厶是无限维实向量空间，对函数芽进行分类，一个基本想法是将无限维简化 为有限维来处理因此人们自然会猜想：对足够好的，e 。，通过取导网，有可能于它 的某一t 匆1 0 r 多项式右等价。这样一来，对函数芽进行分类可归结为由多项式组成的有 限维向量空间中的分类问题。这项工作前人已经得到了很好的结果。 不仅如此， l a u r e n t i up a u n e s c u 以及0 1 l l dma b d e r r a h m a n e 等学者研究了加权条件 下k u o 的”充分性的刻画和判定。受其启发，本文用奇点理论的方法研究了奇异黎曼度 量下右等价的有限决定性。给出了奇异黎曼度量下右等价有限决定性的充分条件 本文通过一个控制函数构造出一奇异黎曼度量，从而有一满足右等价的向量场，利 用m a t h e r 的经典命题得到奇异黎曼度量下右等价有限决定性的充分条件，推广了原有结 果。 关键词：光滑函数芽；形变；冗等价；奇异黎曼度量 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的棚f 究成果。据我所知，除了文ip 特别加以标注和致谢的地方外，论文小不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或 其他教育机构的学位或证书而使用过的材判。与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：盘虱l 丛日期 瑚s f 碣 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复 印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它 复制手段保存，汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：硬1 4 麴一指导教师签名 日期：趔：! 翘日期 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：篷盘兰叠彗i 也 通讯地址：一 电话 自5 编 蝉 仞拙硝 趔争凹 引言 奇点理沦是处在分析、微分拓扑、微分几何交换代数与李群“及微分方程等数学学科 交汇处的一门学问，直到2 0 吐纪5 0 年代，奇点理论作为一门独立的数学分支登上数学 舞台，至今已得到蓬勃发展并在诸多领域有着广泛的应用，如振荡积分、动力系统、几 何光学与波动光学。 近年来很多学者在不同方面做了很多工作，如i z u n 1 y a ，裴东河，s a n o ，t a k e u c h i 等在 微分几何方而的研究，见卧f 5 】；孙伟志等关于奇点理论在物理光学的应用方面的研究， 见 6 = 以及奇点理论在偏微分方程中的应用的研究，见n 随着现代科学的发展，由于解决实际物理问题的需要以及完善数学理论的需要，研究 函数或映射在某种等价关系下的性质及分类是有意义的工作将经典奇点理论与新问题 相结合，使这一学科更具生命力 有限决定性理论与形变及开折理论是奇点理论研究中经常使用的基本工具，凼此研究 这类问题也一随是奇点理论中一个比较热门的课题。有关有限决定性的基本内容可参见 8 ，i 口】， 1 0 】，【1 1 】。有关形变和开折的基本内容可参见 8 】， 10 ， 1 2 7 ，f 1 3 】在 对有限决定性的研究中，最具有研究意义的等价关系是通过右等价群，左等价群，左右 等价群以及接触等价群作用在光滑映射芽环上所给出的。j ，nm m h e r 就上述等价群作用 在光滑映射芽环上给出了映射芽有限决定性的c 。c 理论的充分必要条件。他的系列论文 为映射芽的有限决定性理论的深入发展奠定了理论基础，使之成为奇点理论中十分活跃 的研究专题。很多人不仅在这方面作了大量的工作，而h 越来越多的人开始研究相对情 况以及加权情况下的有限决定性的理 仑。 p a d of e r r e i r ad as i l p o n oj 缸n i n r 和c j l h e r t 0n a n c l s c ol o i b d 研究了相对函数芽的相 对有限决定性p a u l of e r r e i r ad as i l v ap 0 r t 。j 吐n l o r 又进一步研究了相对函数芽的相对 稳定性1 1 引r a d m i l ab u l a j j d l ，j o s ea n t 。n l og o 1 e z 和l e 衄k u s h n e r 研究了光滑相对性质【州 后来， g o _ oi s h l i ( a 眦作出了重要的相对横截定理【川b r a s i it e 坩al e m e 和l e 6 t lk u s l l e r 讨论了在某些代数子集上的相对有限奂定性以及无限决定性【v g r “d j e a n 还讨论了 讨论了在某些代数子集上的相对有限决定性以及无限决定性v g r “d j e a n 还讨论了 1 1 一些定义和记号 设u 为r ”中开集，z 元实值函数，： ，一兄叫做无穷次可微的，如蛆必甜謦玎 萎0 ； j = ，ji “靶r 瓣毯篓滁蒜，穆手皂。嘉剐癸鹫烈型掣静斟鲁争 型掣 影囊”鼎婴： 鏊掣i ；毒* 朗秆船“ 女鬻- 篝鲤鍪蔷拦* 埔嚆萼；生w 篓i 罄明驰i 纛黼犍终l 塞一需嚣辨鞲；冀鹾奄埋氇珙善霎勰! 商豁赛w 鼗茭霎；肇一萋多i ；羹一强冤礤丽箕! 黪荒裂 型籍及说明其几何本质来一般化k u i p e r k u o 定理；1 9 9 9 年邹 建成等人使用了 奇点理论的方法对奇异黎曼度量之下分支问题进行了拓扑性质的研究，给出了分支问题 中的c o 接触等价的一个判别条件推广了前人的结果；2 0 0 5 年o u l dma b d e r r a h m a n e 侧 重考虑了牛顿滤子下映射芽”充分性的进一步刻画。 本文进一步发展加权条件下的理论，研究奇异黎曼度量下光滑函数芽的咒有限决定性 及其判定。通过一个控制函数构造出一奇异黎曼度量，从而有一满足右等价的向量场， 利用m a t h e r 的经典命题得到奇异黎曼度量下右等价有限决定性的充分条件，推广了原有 结果 x 设，晶依t 匆l o r 公式，将，在点o r ”处作t a y l o r 展开，得 m h ( u ) + 蚓郴，掣+ e ( z ) 其中余项e ( 。) 川1 。，晶在岛川中的像叫做，的r 一导网，记为，( ，) 或 ，由上式值，j ，可表示为，在点o 舻处的r 阶t a y l o r 多项式。因此。中二函 数芽，和9 具有相同的r 一导网，当且仅当，与9 以及它们的阶数直到r 的所有相应的 偏导数在点o r “的值均相等。 将商代数岛川1 记为j 7 ( r “，r ) ，简记为靠。根据珊l o r 公式，巧标准的同构于 次数不大于r 的n 元多项式代数。在这一多项式代数中的乘法是将两个次数不大于r 的 n 元多项式按通常的方式相乘后舍去次数大于r 的所有各项。靠还叫做r “上的g “函 数在o 口处的r 一导网组成的代数。显然 厶m 矿1 竺兄陋1 ，z 。 ( z 1 ，z 。) 7 + 1 其中r 陋1 ，z 。 表示钆，z 。多项式环，( 虮，、) ”1 表示由肌，z 。生成的理想 ( z l ，z 。) 的( r + 1 ) 次幂。 商空间m ：m 1 可以标准的等同于n 元r 次齐次多项式所成的实向量空间。 类似的我们可以定义e o 。映射芽。g 。映射芽，：( 兄”，o ) 一钟指的是c o 。可微映 射g ：u 一钟的一个等价类，这里为点o r 7 。的开邻域。等价关系一规定如下： ( 9 ：矿) 一舻( h ：v ) 一彤 = 争存在点o 酽的开邻域，c uny ，使得 9 l = l 。 等价类，所含的任意成员g 叫做，的一个代表。 定义1 2 g 。映射芽( r ”，z ) 一( 兄”，f ) 叫做微分同胚芽( 或e 。可逆芽) ，如果 它的一个代表$ ：一月n ( u 为。酽的开邻域) 满足下列条件： ( 1 ) 函( 茁) = 9 ( 2 ) $ 是从包含点的开集wcu 到( w ) 上的( c ”) 微分同胚。 我们将所有的微分同胚芽：( 胛，o ) 一( 冗“，o ) 组成之集记为工。，用映射芽的复合作 为群运算，容易验证工。形成一个群。考虑群k 在环厶上的作用。设，：( r “，o ) 一r 为c 。函数芽，西：( 肜，o ) 一( 舒，o ) 为可逆芽，将从右边与，复合得，o ，这意味着 对，的源空间r “旖行一e 。局部坐标变换啦因此群k 在晶上的作用品l 。一岛 定义为 4 ( ，币) ，。曲 设，9 厶若存在l 。，使得g = ，。p ，则，和9 叫做同构的或依m a t h e r 的说 法，和g 是右等价的，记为，勖。令 l ，= ，。l l 。) 称它是在群上。的作用下经过，的一条轨道。，岛表 示，和9 位于群的同一条轨道中。 定义13 设，厶，晶中由，的一阶偏导数罴( i = 1 ，2 ， ，哪生成的理想记为 j ( ，) ， w h 差器s 。 叫做，的j a c o b i 理想。 定义1 4 设，：( 彤，o ) 一r 为g 。函数芽，为非负整数。如果e 。中与，具有 相同k 一导网的芽9 皆右等价于，则说，关于群“是k 一决定的，如果为某一有限 正整数，则称，是有限决定的， 定义l5设，矗是n 个变量z l ，z 。的函数芽。如果兄r “( 坐标为t ，z l ，z 。) 上的g ”函数在原点处的芽f ：( r 舻，o ) 一r 满足条件f 0 ( z ) = f ( o ，z ) = ，( z ) ，那么f 叫做，的单参数形变。 ，厶的两个单参数形变f 和g 是同构的，如果存在微分同胚芽 圣：( r r “，o ) 呻( r 冗”，o ) ，使得 ( 1 ) 壬( ，z ) = ( ，妒( t ，z ) ) ，蛋( o ，z ) = ( o ，z ) ， ( 2 ) g = f 。圣。 令”：r _ r “一冗为标准投影，则”。壬= ”，因此说西是一个r _ 水平保持的微分同 胚芽，而西( o ，z ) = ( oz ) 说明壬在纤维( o r ”上的限制是一个恒同映射芽。 ，晶的单参数形变f 叫做平凡的，如果它同构于常值形变( ，z ) 一，( z ) 。 类似的，我们可以定义，的p 参数形变，设，。是n 个变量乩，z 。的函数芽如 果钟r “( 坐标为t l ，如，z 1 ，z 。) 上的c 。函数在原点处的芽f ：( 彤兄”o ) 一r 满足条件f 0 ( z ) = f ( o ，z ) = ，( z ) ，那么f 叫做，的p 参数形变。 ，厶的两个p 参数形变f 和g 是同构的，如果存在微分同胚芽 中：( 伊冗”，o ) 一( 舻兄“，o ) ，使得 ( i ) 西( ，z ) = 0 ，妒o ，z ) ) ，壬( o ，z ) = ( o ，z ) ， 2 奇异黎曼度量下右有限决定性 p 。r c e upb 与b r o w npn 及孙伟志利用k u o 的方法给出了判别分支问题中接触等价 的条件。而p a u n e s c ul 利用奇异黎曼度量推广了k u 。的有关结果。在本文中，我们把 p 。u n 。ul 的思想用到右有限决定中，建立起了奇异黎曼度量下右有限决定的概念，并 给出了判别该问题的一个条件。当把奇异黎曼度量转换为通常的欧氏度量时，我们的结 果适用于通常的结果。 约定称有理数组u = ( u ，u 。) 为且”中坐标变量粕的权，即u ( ) = 岫，1 至 i 墨n u 。q 且大于o 。 定义2 1设a ：r n r ，如果对任一t ( o ，。) 我们有a ( t z ) = 一n ( z ) 其中a 在t 上的作用定义为z = ，t 。n z 。) 则称函数“：彤一r 为d 次u 一形。 容易得到，对任意 e ( 1 ，n ) ，有塞( t 蛳) = d _ “差( z 。) 。 我们令a ：旦( p 是一个正实数) ，现在我们引入一个控制函数( 一种范数) 1 p ；p ( 。) ：( 壹。? 巩) 面 硅然它是个1 次u 一形。 这样利用这个控制函数我们可以构造如下奇异黎曼度量。 定义2 2在彤上定义奇异黎曼度量( 也就是在r “ o ) 上的黎曼度量) 为如下双 线性形式； = 一q _ o ，z “- 甄，至n 那么与这个黎曼度量相关的梯度和模分别记为 g 删u ，= 薹扩差一矗， 7 ( 2 ) 惭圳= 耋( 瑟) 2 其训扩去忆= 1 ，l i 茎n 下面我们给出该度量下关于理想的一些记法： m = ( 1 z l ，n z 。) 。 m 2 ，= ( 1 钆，n z 。) p 。 w ) _ ( 1 鼍”器“ 定义2 3 设，晶若对任一。中满足下列等式的芽g ( 其中d 是一个正实数) ( 1 )f 一9 = o ( 户1 ， 要一要：。( p 。) 如；a 孔 、 皆右等价于，则称，是关于p 右d 一决定的。 注2 1 ( 1 ) 如果d 3 奇异黎曼度量下右有限决定性的判定 定理3 l设，厶，若m 2 。 m ”山( ，) 则，是关于p 右d 一决定的。 定理( 31 ) 的证明需要下列命题及引理。 命题3l 对于定义在( r 舻， o ，l 】 o ) ) 上的每一个光滑向量场芽 x = 熹+ 耋础，z ，鑫， 其中，甄( t ，z ) = o ( t ( 只，【o 1 】) ，z = l ，n ) 。通过积分向量场x 可得到( r ”，o ) 上的微分同胚芽，即k 的一元。 命题3 2，厶的单参数形变f 是平凡的当且仅当存在( 月r ”，o ) 上的向量场芽 使得 x = 晏+ 耋础，z ，鑫 x f = 0 证明，的单参数形变f 是平凡的，则存在西l “，使得 对t 求导，得 其中x m 番十坠- 等鑫 f ( 西( t ，z ) ) = ，( z ) x of = 0 = 一 通过积分向量场x 便得到西l ，并且有x m = x 。条件爿f = o 说 明f 在x 的每一条轨道上为常值， 9 等叭。( 筹“毒阱， 说明存在置m 卅lc m 。+ l ( 江1 ，几) ，使得 今x n i o ，1 】 筹一薹胪差 番+ 毫置。) 去，可见条件( d ) 和( e ，) 被满足。按照前面约定，对任意 ，已构造了符合条件( d ) 和( 的的向量场芽x ，因而f n 是平凡的。根据上面的 分析，定理得证。 1 2 结论 通过上一节的证明我们可以看出在奇异黎曼度量下有限决定性被推广，但是本文只 给出了充分条件，如果给出合理的切空间我们可以得到充分必要条件。而且还可以考虑 在牛顿滤子下重新构造奇异黎曼度量以擅对奇点理论的其他结果加以推广。这将是我今 后的研究a 向 后的研究方向 1 3 参考文献 1 】i z u m i y as ，p e id o “g h e ，s a n oth o r o s p h e r l c a l8 u r h c e so f r v e smh y p e r b o l i cs p a c e j 】p n b lm a t h d e b r e c e n ，2 0 0 4 ，6 4 ( 1 2 ) ：l 一1 3 2 】i z u m i y as p e id o n g h e ，m a r i ad e lc a r m e nr d m e r of u s t e ru m b i l i c i yo fs p a c e h k es u b m a n i f 0 1 ( 1 s 。f m i n k o w s k ls p a c e 【j 】p r o f e e d i n g so fr a ls o c i e t yo fe d i n h l r g h ，2 0 0 4 ，1 3 4 ( a ) ：3 7 5 3 8 7 3 】i z u i y as ，p e i 丁) o n 曲e ，s a n ot e ta le v o i u t e so f h y p e r b o l j cp 1 a n ec u r v e s j 1 a c t am a t h 州i a t l c as i l l i c a ， e “g l l s hs e r i e s 2 0 0 4 ，2 0 ( 3 ) ：5 4 3 5 j 0 【4 】i z u m i y as ，t a k 竹l f h ing e n e r i cp r o p e r t i e s 。f h e l i c e sa n db e r t r a n d 叫r v e s 【j j o u r n a lo fg r n e l r y 2 0 0 2 ，7 4 ：9 7 1 u 9 【5 i z u m i y as ，t a k e u c h lns i “g u l a r i t i e so fr u l e ds u r f a c e si nr 3 【j 】m a t l lp r o cc a n l bs o c ，2 0 0 1 ，1 3 0 ( 1 ) ： 1 一l l 【6j s m l i z ns h a d 0 w so f m 删n gs u r i a c e s mh o k k a i d um a t l l e n l a t j o u r n a l 1 9 9 6 ，2 j ( 2 ) ：伽7 _ 4 3l 7 】i z u n l i y as ，s u nw e i 2 h is i n g u l a r i t i e so fs o l u t i o ns u r 鼠c e sf o rq u a s i l i e a rf i r s t o r d e rp a r t i a le q u a c i o n s f j jg 珊e a ed e d i c a a ，1 9 9 7 ，6 4 ：3 3 l 一3 4 l 8 b r j c k e rt h ，l a n d e rld i 胁c n t i a b l cg c r m sa n dc a t a s t r o p h e s m c a l b n d g e ：c m n b r i d 卵u n i v e r s i t ) t p r e s s 1 9 7 59 2 1 0 3 1 2 0 一1 2 7 9 m a t h e rjs t a b i l i 时0 fg m a p p i “g s ：i i i 丘n i t e l yd e t e r m i n e dm a p g e r m s 【j p u bm a 咖ihes ，1 9 6 8 3 5 ：1 2 0 一l 2 7 1 0 w a s s e r m a n i lgs t a b i l i t yo fu n f o l d i “g s m 1b e r l i h e i d e l b e r g ：s p r i n g e 卜v e r l a g 1 9 7 03 5 5 3 ，5 4 - 8 3 1 l 】z h a gg u o b i n ，s u uw e j z l l i t h er e a lp a r to fd e c o i r l p o s i t i o no fap o l y n o m i a la n di t sd t e r m i n a 。y k o d a im a t hj ，1 9 9 4 ，1 7 ( 3 ) 4 3 8 4 4 1 1 2 】a r n o l dvi ，g u s e i t 卜z a d csm ，v a r c h e u k 0a ns i “g u l a n t i e so fd i 能r e n t l a b l em a p s ( t ) m _ b o s t o n ： b i r k h iu s e r 1 9 8 j 1 4 5 1 5 6 1 3 孙伟志，金应龙可微映射芽的a v e r s “形变与横截m 东北师大学报，1 9 9 8 ( 2 ) ：4 7 口4 p a