（基础数学专业论文）几乎prüfer整环的研究.pdf

几乎p r i i f e r 整环的研究 基础数学专业 研究生周霞指导教师王芳责 本文主要对几乎p r f i f e r 整环的基本性质和理论进行了研究首先，对几 乎p r i i f e r 整环的理想和环扩张的情况进行了讨论，得到了r 是几乎p r i i f e r 整环当且 仅当对 ，b ，c s ，有a n ( b + c ) = ( a n b ) + ( a n g ) ，当且仅当对a ，b ，g s ， 有a ( b n c ) = a b f l a c ，当且仅当对a ，b 只有+ b ) f l b ) = a b 等一 系列的等价刻画，其中s = l a 是r 的理想且对某个正整数n ，f 啦，r f 0 ， i = 1 ，2 ，a = ( 霹) ) ) ；也证明了若兄是几乎p r i i f e r 整环，t 是同 勺扩环，m 是t 的 非零素理想，贝o r m a r 7 k 是一个根扩张其次，刻画了几乎p r i i f e r 整环多项式环 的维数和分式环给出了若j r 是几乎p r f i f e r 整环，贝i j d i m r x ，x 1 = d i m 冗+ n 及设r 是整环，若r ( x ) 形( x ) 是根扩张，则r 是几乎p r d f e r 整环当且仅当r ( x ) 是 几乎p r i i f e r 整环同时还讨论了几乎p r f i f e r 整环与几类整环之间的关系最后研究 了几乎p r i i f e r 整环的反向极限，证明了几乎赋值整环的反向极限是几乎赋值整环 几乎p r i i f e r 整环的反向极限在r i d i n g 假设的条件下是几乎p r i i f e r 整环，但在一般情况 下。则给出了例子说明几乎p r i f e r 整环的反向极限未必是几乎p i 谢h 整环 关键词：可逆理想根扩张反向极限几乎赋值整环几乎p r i f e r 整 环 第i 页，共4 2 页 c h a r a c t e r i z a t i o n so na l m o s tp r f i f e rd o m a i n s b n s i cm a t h e m a t i o s p o s t g r a d u a t e ：z h o ux i as u p e r v i s o r ：w a n gf a n g g u i i nt h i sp a p e r t h eb a s i cc h a r a c t e ma n dt h e o r i e so fa l m o s tp r f i f e rd o r a a i l 培 a r es t u d i e d f i r s t l y , w ed i s c l l q st h ei d e a l sa n de x t e n s i o nr i n g so fa l m o s tp r f i f e r d o m a i n s i ti ss h o w e dt h a tri 8a na l m o s tp r f i f e rd o r a a i ni fa n do n l yi ff o r a ，b ，c s ，a n ( 且+ q = ( a n b ) + ( a n 回，i f a n do n l y i f f b r a ，b ，c s ， a ( b n q = a b n a c ，i f a n do n l yi f f o ra ，b s ，( a + b ) ( a n b ) = a b ， w h e r e s = a i a i s a n i d e a lo f 只a n d f o rs o m e p o s i t i v e i n t e g e r n ， o i ) 只一 o ) ， i = 1 ，2 ，a = ( 卵) ) ) w e a l s op r o v et h a ti fri sa na l m o s tp r i i f e rd o m a i n ， ti sa no v e r r i n go fr ，mi sa n o n z e r op r i m ei d e a lo f t ，t h e nr m n r 砌i sa r o o te x t e n s i o n s e c o n d l y , t h ed i m e n s i o n sa n df r a c t i o n a lr i n g so fp o l y n o m i a lr i n g s a b o u ta l m o s tp r i f e rd o m a i n sa x ec h a r a c t e r i z e d i ti ss h o w e dt h a ti f 兄i sa nm m o s t p r i i f e rd o m a i n ，t h e nd i m r x l ，矗1 = d i m r + ，i a n dl e t 兄b ead o m a i n ，i f r ( 脚砰( 刚i sar o o te x t e n s i o n ，t h e nr i sa na l m o s tp r i f e rd o m a i ni fa n do n l y i fr 俩) i s 姐a l m o s tp r i i f e rd o m a i n b e s i d e s ，t h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e na l m o s t p f i i f e rd o r a a i n sa n ds e v e r a lo t h e rd o r a a i n sa r ei n v e s t i g a t e d f i n a l l y , t h ei n v e r s e l i m i t so fa l m o s tp r i i f e rd o m a i n sb a es t u d i e d i ti sp r o v e dt h a tt h ei n v e r s el i m i to f a l m o s tv a l u a t i o nd o m a i ni sa na l m o s tv a l u a t i o nd o m a i n a n dt h ei n v e r s el i m i to f a l m o s tp r i i f e rd o m a i ni sa l la l m o s tp r f i f e rd o m a i nu n d e rt h er i d i n ga s s u m p t i o n i ng e n e r a lc s t e s ，a ne x a m p l eo ft h ei n v e r s el i m i to fa l m o s tp l - f i f e rd o m a i nt h a ti s n o taa l m o s tp r i i f e rd o m a i ni sp r e s e n t e d k e vw o r d s ：i n v e r t i b l ei d e a l ；r o o te x t e n s i o n ；i n v e r s el i m i t ；a l m o s tv a l u a - t i o nd o m a i n ；a l m o s tp f i l l e rd o m a i n 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 诣蓣 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师王芳基煎授指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何 其他个人或集体己经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位论文的部分使用权，即：i ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印 刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索；2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位 论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 论文作者签名：习瘦 冲f 年r 月7 - 日 月j j 舌 在交换环理论中，整环是一类很重要的环而每个有限生成理想是可逆 理想的p r f i f e r 整环又是整环中一类非常特殊的整环，它在代数数论，解析函数 论同调代数和乘法理想理论的研究中起着重要的作用p d i f e r 整环最早见 诸于1 9 3 2 年h p r i i f e r 的文献 1 和1 9 3 6 年w k r u n 的文献【2 】中，随后，许多学者相 继对p r f i f e r 整环进行了大量的研究1 9 7 2 年，r g i l m e r 就在文【3 l 中对p r i l f e r 整环 的基本性质作了系统的讨论，给出了p r f i f e r 整环经典的4 0 条等价刻画1 9 9 6 年， m f o n t a n a 等又在文【4 】中对p r f i f e r 整环的其它性质作了研究可见，对p r i i f e r 整环 性质的进一步挖掘是有意义的，但是要对p r f i f e r 整环的性质作进一步的讨论，除 了从其自身入手进行研究外，还可以从与其相关的其它整环类入手，比如本文所 研究的p r i i f e r 整环的推广类 1 9 6 7 年，u s t o r c h 首先在文【5 1 中介绍了几乎因子的k r u l l 整环，即尼黾k r u l l 整 环，且对o ，b r 一 o ，存在某个正整数使得a r n b r 是主理想1 9 8 5 年， m z a f r u l l a h 在文【6 1 中开始了几乎因子理论的研究，在该文中着重介绍了几乎公 因子整环，即对口，b r 一 o ) ，存在某个正整数码使得a r n b r 是主理想，随 后许多学者对几乎公因子整环进行了大量的研究，可参见( n 一 1 0 d 1 9 9 1 年， d d a n d e r s o n 和m z a f r u l l a h 在文f 1 1 1 中研究了几乎b 6 z o u t 整环，即对n ，b r 一 o ) ，存在某个正整数码使得( 矿，扩) 是主理想；同时在该文中引入了几乎p r i i f e r 整 环的概念，即对a ，b r 一 0 ，存在某个正整数q 使得( 矿，扩) 是可逆理想显 然由几乎p r i i f e r 整环的定义可知，p r i i f e r 整环是几乎p r f i f e r 整环，而在【1 l 】中已 证明了只有整闭或报闭的几乎p r f i f e r 整环才是p r f i f e r 整环，故几乎p r i i f e r 整环不 是p r i i f e r 整环于是几乎p r i i f e r 整环的概念推广了p r i i f e r 整环我们知道，1 9 9 4 年， d d a n d e r s o n 等在文【1 2 】中进一步对几乎b s z o u t 整环进行了研究，但让人遗憾的 是，除了2 0 0 4 年a m i m o u n i 在文【1 3 】中对几乎p r f i f e r 整环有少量的研究外，至今几 乎没有更多学者来关注几乎p r f i f e r 整环，对几乎p r f i f e r 整环作_ 系统的研究 众所周知赋值整环在对p r f i f e r 整环的研究中起着重要的作用，而且局部 的p r i i f e r 整环就是赋值整环因此，d d a n d e r s o n 和m z a h l d l a h 在文【1 1 1 中为了 第1 页，共4 2 页 前言 给出几乎p r f i f e r 整环类似p r i i f e r 整环的刻画，提出了几乎赋值整环的概念即 对a ，b 冗一 0 ，存在某个正整数n ，使得a n i b n 或铲i 矿从而本文在第一章 第一部分首先对几乎赋值整环进行了刻画，得到了在几乎赋值整环中，素理 想是全序的，但是在一般情况下，理想不是全序的，只有那些由元素的n 次 幂所生成的理想才是全序的，其中n 是某个正整数由于理想算术和环扩 张理论是p r i i f e r 整环的焦点，因此在第一章第二，三部分对几乎p r i i f e r 整环中 的理想和环扩张的性质进行了讨论，得到了兄是几乎p r f i f e r 整环，当且仅当 对a ，b ，c 只有a n ( b + = ( a n b ) + ( a n 回，当且仅当对a ，b ，c s ， 有a ( b n g ) = a b n a c ，当且仅当对a ，b s ，有+ b ) 似n b ) = a b 等一 系列的等价刻画，其中s = a i a 是尉 勺理想且对某个正整数n ，似 r 一 o ) ， i = 1 ，2 ，a = ( f 口? ” 也证明了若只是几乎p r i i f e r 整环，t 是周 q 扩环， m 是t 的非零素理想，则r m n r 2 k 是根扩张同时定义了上几乎p r f i f e r 整环， 研究了上几乎p r i i f e r 整环的性质，给出一个例子说明上几乎p r i i f e r 整环未必是几 乎p r f i f e r 整环 大家知道，当r 是n o e t h e r 整环与p r i i f e r 整环时，均有| r 是稳定的强孓整环，从 而有d i r e r x 1 ，x j = d i m r + n 这就促使笔者去考虑，若r 是几乎p r i i f e r 整 环，是否有r 是稳定的强s _ 整环，这一问题在本文第二章的第一部分进行了研 究并且得到了肯定的答案在文f 3 】中，r g i l m e r 证明了若兄是p r i i f e r 整环当且仅 当r ( 柳是p r i i f e r 整环类似地，本文在第二章的第二部分证明了只有当整环月满 足n ( x ) 屠x ) 是根扩张的条件时，才有尼黾几乎p r i i f e r 整环当且仅当兄( x ) 是 几乎p r f i f e r 整环最后，讨论了几乎p r i i f e r 整环与几类整环之间的关系，得到了 若只是几乎p r i i f e r 整环，则r 是i _ 整环，从而是g o i n g d o w n - 整环，也是t r e e d - 整环， 并且给出一个例子说明若r 是i 整环，则r 未必是几乎p r i i f e r 整环 d e d o b b s 和m f o n t a n a 在文【1 4 】中讨论了局部的p r i i f e r 整环( 即赋值整环) 的 反向极限是局部的p r f i f e r 整环，在非局部的情况下，通过在f i n d i n g 假设的条 件下，才有p r i i f e r 整环的反向极限是p r i i f e r 整环因此，第三章主要讨论几 乎p r i i f e r 整环的反向极限第三章第二部分证明了几乎赋值整环的反向极限 是几乎赋值整环，几乎p r i i f e r 整环在r i d i n g 假设的条件下仍是几乎p r i i f e r 整环 第三章第三部分给出例子说明几乎p r f i f e r 整环的反向极限未必是几乎p r i i f e r 整 b a n y u n z f s i n a c o m 第2 页洪一1 2 页毕业论文 前言 环，并在第二部分的基础上减弱r i d i n g f b ! j 设的条件，得到了若( 厶，妒。m ) 是反 向系统，( a ：，妒：。) 是( a n ，m ) 的相伴反向系统。a n 是几乎p r 证f e r 整环，则是 几乎p 础r 整环第三章第四部分是对d e d o b b s 和m f o n t a n a 茗e 文【l4 】的注 记2 4 ( b ) 的问题的一个回答 b a n y u n z f s i n a c o m 第3 页，共4 2 页阜业论文 第一章几乎p r i i f e r 整环 本章恒设尼黾有单位元的交换整环彤是r 的商域设a 是的冗一子模，若 存在d r 使得d 兄，则称a 是r 的分式理想若a 是r 的分式理想，a - 1 = 扛k x a r 仍是r 的分式理想分式理想 可逆指的是存在兄的一个分式 理想b ，使得a b = r 设a ，b 是r 的两个理想，记( a ：b ) = r r i r b a ) ， 若a ，b 是r 的两个分式理想，记：b i = r k l r b a 文中用砰表示整环r 在其商域中的整闭包，若r c = r ，则称r 为整闭整环 设r i 黾整环，t 是r 的扩环，称r 丁是根扩张指的是：对任意t ，存在某个正 整数n ，使得矿兄如果对任意的z k ，扩兄其中n 是某个正整数，可以推 出1 1 7 r ，则称r 是根闭的显然，若尼黾整闭的，则r 黾根闭的 1 1 几乎赋值整环 d d a n d e r s o n 和m z a f r u u a h 在文【1 1 】中为了刻画几乎p r i i f e r 整环，提出了几 乎赋值环的概念因此为了更好的研究几乎p r i i f e r 整环，首先在本节对几乎赋值 环的基本性质进行了讨论 “n 定义1 1 1 ”1 设口，b r t o ) ，存在某个正整数n ，使得矿i 扩或铲i 矿，则 称r 是几乎赋值环 1 1 引理1 1 2 ”设兄是一个整环，是同 勺商域，则r 是一个几乎赋值环当且仅 当对任意z k ，存在某个正整数仇使得矿r 或z “r 定理1 1 3 下列陈述等价： ( 1 ) r 是整闭的几乎赋值环 ( 2 ) r 是根闭的几乎赋值环 ( 3 ) r 是一个赋值环 证明 ( 1 ) 兮( 2 ) 显然，因为整闭意味着根闭 ( 2 ) 号( 3 ) 设z k ，由于冠黾一个几乎赋值环，则对某个正整数n ，有x n 碱z 一“r 而兄是根闭的，则z r 或z 一1 j r ，所以忌邑一个赋值环 第4 页，共4 7 页 第一章几乎p r f i f e r 整环 ( 3 ) 辛( 1 ) 显然 命题1 1 4 设r 是一个几乎赋值环，p 是| r 的一个素理想，则r p 也是一个几 乎赋值环 证明对任意瓦，5 r p ，其中d ，b r ，但口，b 譬p ，由于尼黾一个几乎赋值 环，故存在一个正整数n ，有矿i 扩或扩妒，从而万l 而或而i 石- ，所以r p 是一个几 乎赋值环 命题1 1 5 设尼黾一个几乎赋值环，p ，q 是r 的任意两个素理想，则p 与q 可 比，即s p e c ( r ) 是全序的 证明若p 垡q ，取z p q ，对每个q ，有；k 若对某个正整 数n ，有嚣r ，则矿，”兄q ，故z q ，即p q ，矛盾从而有雾gr ，则 有筹r ，所以可推出矿x r ，而旷矿rcp ，因为p 是素理想，且! ，r ， 故y p ，所以q c p 定理1 1 6 对整环冗，下列陈述等价： ( 1 ) 若z k ，则对某个正整数，l ，矿r 或z “r ，i i p r 是一个几乎赋值环 ( 2 ) 若“) k 一 o ) ， = 1 ，2 ，则对某个正整数n ，( a ”i ) 是全序的 ( 3 )若 皿) ， 幻) k f o ) ，i ，j = 1 ，2 ，则对某个正整数 ( 霹) ) 与( 蜂) ) 是可比的 ( 4 ) 若 0 i ) r 一 o ，i = 1 ，2 ，则对某个正整数n ，( 嵋) 是全序的 ( 5 ) 若“) ， b ) 冗一 o ) ，i ，j = 1 ，2 ，则对某个正整数n ， ( 曰) ) 与( f 笞) ) 是可比的 证明( 1 ) 辛( 3 ) 令a = ( 霹) ) ，b = ( 僻) ) ，若a 譬b ，取霹a b ，对每 个哆b ，有嚣k 但筹g r ，由( 1 ) 知，若r ，从而哆嵋兄，故b a ( 3 ) 净( 2 ) 显然 ( 2 ) 净( 1 ) 令z = 詈k 一 o ) ，其中n t 吩，p 谚若护窜兄，即筹g 冗，从 而哼r g 曰| r ，故卵冗哼r ，所以z “= 筹兄 ( 3 ) 号( 5 ) 号( 4 ) 显然 ( 4 ) 净( 2 ) 令啦= k b i ，其中女k ，6 i r 一 o ，显然( 畔) 是全序的 b a n y m a z f 蚴n a c o m第5 页，共4 2 页毕业论文 第一章几乎p r f i f e r 整环 推论1 1 7 设r 是一个几乎赋值环，毗r 一 0 ，i = 1 ，5 ，则对某个正 整数n ，( 嵋，四) 是主理想 证明令i = ( 四，霹) ，由于r 是一个几乎赋值环，由定理1 1 6 知，( 曰) 圣l 是全序的，故存在一个正整数k ，其中l 女5 ，使得每个( 四) ( a 。n ) ，因 此，= ( d 2 ) ，所以，是一个主理想 注1 i 8 ( 1 ) 由命题1 1 5 和定理1 1 6 知，在一个几乎赋值环r 中，月的任意 两个非素理想的理想不可比，但是，若冗的理想是由r 中一些元素的t 1 次幂所生成 的，其中n 是某个正整数，则r 中具有如此形式的理想是可比的 ( 2 ) 由推论1 1 7 可知，几乎赋值环r 中任意一个有限生成理想不一定是主理 想，但是若矧拘有限生成理想是由r 中的有限个元素的n 次幂所生成，其中n 是某 个正整数，则它一定就是主理想 下面的推论需要一个熟知的事实，设a = ( 啦 ) 是可逆理想，其中啦 r 一( o l ，i = 1 ，2 ，则对某个正整数n a “= ( a n ) 推论1 1 9 设兄是一个几乎赋值环，是刷 勺任意两个可逆理想，若j 垡正 则对某个正整数n ，有p ，n 证明若i 垡j ，取z i 一 对每个j ，有：k 若对某个正整数n ， 有等r ，则矿y r ，由于，j 均为可逆理想，故p ，矛盾故有箬r ， 所以可推出y n 矿r 于是有j ，i p 命题1 1 1 0 设j 是几乎赋值环尉搀一个非零的可逆理想，则p = n i ：k 兰 1 ，2 3 l 是一个准素理想 证明设，f l ，础p ，且窖p ，故对k 0 有zgi 由于冗是一 个几乎赋值环，则由推论1 1 9 知，存在某个正整数仉使得( ，p ( z ) “，从而 有，( x n y “) = ( z p p - l p 一佃( z ) ”，”，其中m 0 ，故旷p ，所 以矿p ，因此p 是同 勺一个准素理想 称r 为一个几乎主理想整环是指：对任意一个非空集 啦) 冗一 o ，存在某 个正整数n ，使得( 霹) ) 是主理想见【1 1 】 b a n y u n z f o s i n a c o m 篇1 6 l i 共4 2 页毕业论文 第一章几乎p r n f e r 整环 命题1 1 1 1 设r 是一个n o e t h e r 环且也是一个几乎赋值环，则尼黾一个几乎 主理想整环 证明由于兄是n o e t h e r 环，故蚓均每个理想是有限生成的，设o i ，口 r 一 o ) ，而r 又是一个几乎赋值环，则对某个正整数n ，由推i e l 1 7 知， ( 嵋，露) 是主理想，所以r 是一个几乎主理想整环 1 2 几乎p r i i f e r 整环 定义1 2 11 1 q 设口，6 r 一 o ) ，存在某个正整数n ，使得( 口n ，扩) 是可逆理想， 则称尼黾几乎p r n f e r 整环 1 1 _ 引理1 2 2 一尼黾一个几乎赋值环当且仅当r 是一个局部的几乎b 6 t 整 环 命题1 2 3 设r 是个整环，则下述条件等价： ( 1 ) r 是一个几乎p r f i f e r 整环 ( 2 ) o , 1 ，口j r 一 o ) ，对某个正整数鸭( 嵋，n n ) 是可逆理想 ( 3 ) a l ，d 耳一 o ) ，对某个正整数，i ，( 四，霹) 是可逆理想 ( 4 ) 对剐 勺任意素理想p ，耶是一个几乎赋值环 ( 5 ) 对兄的任意极大理想m ，r m 是一个几乎赋值环 证明( 1 ) 铮( 2 ) 参见 1a ，i , e m m a4 3 】 ( 2 ) = ( 3 ) 令啦= 尝k 一( o ，其中，n r ，i = 1 ，s ， 则( 四，四) = ( 嚣，等) = 可( ( r 2 “6 1 ) “，h r 一，“) n ) ， 由( 2 ) 知，( ( r 2 r 1 6 1 ) “，( n 一- “) 4 ) 是可逆理想，故( 四，叼) 是可逆理 想 ( 3 ) = ( 2 ) 显然 ( 1 ) 辛( 4 ) 由于冗是一个几乎p r f i f e r 整环，设尸是r 的任意一个素理想 则r p 是一个局部的几乎p r i i f e r 整环，从而r p 是一个局部的几乎b 包叽t 整环 所以r p 是一个几乎赋值环 b a n y a m z f a i n a e o m第7 页共4 2 页 毕业论文 第一章几乎p 内f e r 整环 ( 4 ) 辛( 5 ) 显然 ( 5 ) 辛( 1 ) 参见 1 1 ，t h e o r e m5 3 】 理想 可消是指：对r 的任意两个理想8 ，c ，由a 8 = a c 可推出 = b 推论1 2 4 设r 是一个几乎p r f f f e r 整环，0 1 ，口i r 一 o ，则对某个正整 数n ( o ? ，) 是可消理想 证明由于剐黾一个几乎p r i i f e r 整环，故对某个正整数n ，( 嵋，) 是 可逆理想令a = ( o ? ，d ：) ，设b ，c 是兄任意两个理想，使得a b = a c ， 则a 一1 a b = a a c ，有b = c ，所以( o ，o ：) 是可消理想 定理1 2 5 设s = l a 黾r 的理想且对某个正整数n ， 皿) r 一 o ，i = 1 2 ，a = ( n ? ) ) ) ，p = j 4 i a 是兄的有限生成理想且对某个正整数f l ，0 4 尺一 o ) ，i = 1 ，2 ，s ，a = ( 四，o ：) ，则下述条件等价： ( 1 ) r 是一个几乎p r i i f e r 整环 ( 2 ) 对任意a ，日，c s ，a n ( 口+ 回= ( a n b ) + ( a n c ) ( 3 ) 对任意a ，b ，c 驴，a c l ( b + c ) = ( a n b ) + ( a n c ) ( 4 ) 对任意a ，b ，g s ，a ( b f l g ) = a b n a c ( 5 ) 对任意a ，b ，c s ，a ( b n c ) = a b n a o ( 6 ) 对任意a ，b s ，( a + b ) n b ) = a b ( 7 ) 对任意a ，b s + ，( a + b ) n b ) = a b ( 8 ) 如果a ，b s 且c ，则( ( a + b ) ：c ) = ( a ：回+ ( b ：c ) ( 9 ) 如果a ，口，c s ，则( ( a + b ) ：c ) = ( a ：q + ( b ：c ) ( 1 0 ) 如果a ，b s ，则( a ：b ) + ( b ：a ) = r ( 1 1 ) 对任意z ，f r 一 o ) 和某个正整数，l ，( ( 矿) ：( 旷) ) + ( ( 旷) ：( 矿) ) = r ( 1 2 ) 如果a ，b s 且g s ，则( c ：( a n b ) ) = ( g ：a ) + ( c ：b ) ( 1 3 ) 如果a ，b ，c p ，则( c ：( a n b ) ) = ( c ：a ) + ( c ：b ) 证明设 厶 e 是兄的极大理想集，则对r 的每个理想矿，有= nu r 地尉 勺任意两个理想仉和沈相等等价于巩= 巩r 帆 妒： a b a 叫八l n 2 阁 s i n a c o m 第8 页，共4 2 页 毕业论文 第一章几乎p r i i f e r 整环 u u r 机是从s 到r 帆的非零理想集f = a r 帆ia 兄慨是兄帆的理想且对 某个正整数n ， 以) r 一( o ，i = 1 ，2 。，a _ r 地= ( n ? ”r 帆) 的一个映 射由f 3 ，t h e o r e m4 3 】知，褓持+ 和运算，另由【3 ，t h e o r e m4 4 女f l ，褓持n 运 算，且也给出了如果是有限生成的，则( ( 巩：u 2 ) ) = ( 庐( 仉) ：咖( 如) ) 在证 明( 1 ) 与( 1 1 ) 之间的等价性时，设r 是一个局部环 ( 1 ) 兮( 2 ) 由于r 是一个几乎赋值环，故可设b g ，从而a n ( b + e ) = a n g = 似f l b ) + ( a n 回 i ( 2 ) 辱( 3 ) 显然 ( 3 ) - - ( 1 1 ) 设z ，r 一 o ) ，则对某个正整数n ，有矿( 护) f l ( c e f “) + 旷) = ( z ”) n ( 矿一旷) + ( z “) n c y “) ，因此扩= ( 矿一矿) c + t ，其中c 旷( 矿) ，t ( z 4 ) n ( 旷) ，从而c ( ( 矿) ：( 旷) ) 又z “( 1 一c ) = t - c ( 旷) ( 旷) ，故1 一c ( ( z “) ： ( ，“) ) ，于是有1 ( ( z “) ：( 旷) ) + ( ( 旷) ：( z ”) ) ，所以冗= ( ( 矿) ：( 旷) ) + ( ( 旷) ：( z “) ) ( 1 1 ) 兮( 1 ) 设m 是r 的一个极大理想，只需证明尼黾一个几乎赋值环，由 于( 1 1 ) 成立，即( ( z ”) ：( 旷) ) + ( ( 旷) ：( z “) ) = r ，从而( ( 矿) ：( 旷) ) 与( ( ，“) ：( 矿) ) 不 会同时包含于m ，不妨设( ( z “) ：( 旷) ) 垡m ，则( ( 矿) ：何”) ) 包含一个单位，从 而( 矿) ( 矿) ，故r 是一个几乎赋值环 ( 1 ) = ( 4 ) 同样由于兄是一个几乎赋值环，可设b g ，则b n c = b ，那 a a ( b f l a = a b = a b n a c ( 4 ) 号( 5 ) 显然 ( 5 ) 辛( 7 ) 显然( a + b ) ( a n b ) a b 成立而a b b ( a + b ) f l a ( a + b ) = ( + b ) ( a f l b ) ，所以( a + b ) ( a f l b ) = a b ( 7 ) 辛( 1 ) 设，f r 一 o ) ，对某个正整数n ，有( r 矿+ j 玢“) ( r 矿f l 勘”) = ( z “矿) ，但z “旷是可逆的，故r 矿+ r 旷( 即( 矿，矿) ) 是可逆的，从而尼黾一个几 乎p f f f f e r 整环 ( 1 ) 辛( 6 ) 同样由于兄是一个几乎赋值环，可设 b ，则+ b ) n b ) = a b ( 6 ) 辛( 7 ) 显然 ( 1 ) 辛( 8 ) 可设a b ，则( + b ) ：q = ( b ：q = ( a ：q + ( b ：q ( 8 ) 净( 9 ) 显然 b a n y u n z f s i n a c 0 1 第9 页共4 2 页 毕韭论文 第一章几乎p r i i f e r 整环 ( 9 ) 寺( 1 1 ) 因为r = ( ( 扩，旷) ：( y “，矿) ) = ( ( z “) ：( 矿，y n ) ) + ( ( 矿) ： ( z “，“) ) = ( ( z ”) ：( 掣“) ) + ( ( 矿) ：( z “) ) ( 1 ) 净( 1 0 ) 由于r 是一个几乎赋值环，月，b p ，有a b 或b a ， 故( a ：b ) = r 或( b ：a ) = r 若( a ：b ) = r ，则( 4 ：b ) + ( b ：a ) = r ( 1 0 】辛( 1 1 ) 显然 - f 证( x 2 ) 与( 1 3 ) 的等价性，不需设尼黾局部环 ( 1 ) 冷( 1 2 ) 显然有( g ：a ) + ( c ：b ) ( c ：( a n b ) ) 反之，对 任意a a ，有( e ：( a n b ) ) r 地( e r 机：( a n b ) r m ，) = ( c r 帆： ( a r 帆nb r 胁) ) ，因为是一个几乎赋值环，不妨设a r 地b r ，从而 有( c r m ：( a r 慨n b r m ) ) = ( c r m ，：a r 慨) = ( g ：a j z 峨) 十( c r 机： b r f ) = ( c ：b ) r m 。+ ( c ： ) 兄1 i ，、= ( ( g ：a ) + ( c ：b ) ) r m ，故( c ： ( a n b ) ) ( c ：a ) + ( c ：口) ，所以( e ：( a n b ) ) = ( c ：a ) + ( c ：b ) ( 1 2 ) 辛( 1 3 ) 显然 ( 1 3 ) 辛( 1 1 ) r = ( ( ( z ”) f l ( 矿) ) ：( ( 矿) n ( ! ，“) ) ) = ( ( 矿) ：( ( 矿) n ( 旷) ) ) + ( ( y n ) ：( ( 矿) n ( 旷) ) ) = ( ( 矿) ：( 旷) ) + ( ( “) ：( 矿) ) ， 注1 2 6 ( 1 ) 若r 是一个几乎p t i i f e r 整环，f = a l a 是r 的分式理想 且对某个正整数竹， 啦 k 一 o ，i = 1 ，2 ，a = ( ( a ? 1 ) ， 若a ，b ，c f ，则定理1 2 5 中的( 2 ) ，( 4 ) ，( 6 ) 亦成立，因为可以把a ，日，c 写 作a = d - a i , b = d - “b 1 ，c = d - “a ，其中d 兄，a l ，岛，a 只n 是某 个正整数，则有a n ( b + c ) = d - “a 1e l ( b 1 + g ) d “= ( a l n ( b 1 + a ) ) d “= ( ( a lnb 1 ) + ( a ln 白) ) d ”= ( a 1nb 1 ) d 一”+ ( a lno ) 才1 = ( a i d 一“nb t d - “) + ( a i d - “n c a d - “) = ( a n b ) + ( a n d ) ( 2 ) 在定理1 - 2 5 中，( 2 ) 营( 3 ) ，( 4 ) 营( 5 ) ，( 6 ) 甘( 7 ) ，( 8 ) 甘( 9 ) ，( 1 2 冷( 1 a ) 的 等价性对于任何由一些元素的n 次幂所生成的理想的环刷电成立，其中n 是 某个正整数比如( 7 ) 辛( 6 ) ，显然+ b ) ( a f lb ) a b ，只需证a 且( a + b ) ( a n b ) ，对任意z a b ，圣= 四姆，则f a 1 b l ，其中a l = ( 四，q ：) ， b 1 = ( 叼，圮) ，若( 7 ) 成立，有z ( a 1 + b 1 ) ( a 1 n b x ) ( a + b ) ( a n b ) ，所 以( a + b ) ( a n b ) = a b b a n y t m z 国s i n a m第1 0 页，共4 2 页 毕业论文 第一章几乎p r f l f e r 整环 定理1 2 7 设r 是一个几乎p r i i f e r 整环，f 同注记1 2 6 ，p = l a 是蚓j 勺有 限生成的分式理想且对某个正整数n ，a k 一 o ) ，i = 1 ，2 ，s ，a = ( 四，一，o ? ) ( 1 ) 若a ，b p ，则a n b 是有限生成的，且似n b ) - 1 = a _ 1 + b 一 ( 2 ) 若g f ，b p ，则【g ：b l = c b ( 3 ) 若 l ，a 。f ，c f ，则【a i ：q = 限：q ( 4 ) 若a f ，b ，g p ，则阻：b f l c l = 【a ：明+ ：c 1 证明( 1 ) 由注1 2 6 ，( a n b ) ( a + b ) = a b ，而a b = ( d ，o ：) ( 叼， ) = ( ( a l b l ) “，饥) “) p ，由于矗是一个几 乎p r i i f e r 整环，故a b 是可逆的，于是a n b 也是可逆的，从而a n b 是有限生成 的，且( 月n b ) 一1 = ( a + b ) a 一1 b 一1 = a 一1 + b 一1 ( 2 ) 显然有c b - 1 f ：引，而b 眵：b 】c ，由于b f ，故b 是可逆的， 于是p ：b 】c b ，所以【c ：b 】= c b ( 3 ) 由( 2 ) 知，【a i ：c l = ( a d c - 1 = a i c - 1 = h ：c 】 ( 4 ) 由( 1 ) 与( 2 ) 知，【a ：b r l q = a ( b c l 回一1 = a ( b 一1 + c 一1 ) = 【a ： 剀+ a ：c 1 注1 2 8 ( 1 ) 在定理1 2 5 中，对任意z ，k 一 o ) ，条件( 1 1 ) 不成立，例如 取兄= z 则( ( 击) ：( 1 ) ) + ( ( 1 ) ：( 嘉) ) = ( 刍) + ( 2 “) r ( 2 ) 在定理1 2 5 中，条件( 4 ) 对任意可逆理想a 总是成立的，即对有单位元的 整环兄，a b ，g 是司 臼理想，若a 可逆，贝u a ( bn 回= a bna c 事实上，如果a 可 逆，( b ) a 是兄的商环的r 一子模集，则由【3 ，7p r a c t i e e1 7 】可知，a ( n 毋) = na 毋 下面给出例子来说明几乎p n s f e r 整环不必是p n i f e r 整环 例1 2 9 ( 1 ) 设冠t = z + 2 n z i ，其中i = ，= i ，则对口+ 觇z i l ，因为2 t i i 伊) ， j 是一个奇数，有( 口+ 抗) 妒r ，而z 嘲是一个p r i i f e r 整环，忍z 嘲是一个根扩 张，由f 1 1 ，t h e o r e m4 6 】知，r 是一个几乎p r i i f e r 整环，但是c h a r 风= 0 ，对t l 1 ， r 不是整闭的，从而由【1 1 ，t h e o r e m4 7 】知，不是一个p r i 融整环 b 卸y 山也飑s i n a c o i i i第1 1 页，共4 2 页阜韭论文 第一章几乎p r i i f e r 整环 ( 2 ) 设m 是一个不含平方因数的非零整数，m 兰5 ( r o o d s ) ，则z 【、，伺不是整 闭的，但是( z 历) 。= z + 【( 1 + 、鬲) 2 】z 是一个p r i i f e r 整环，且由f 1 1 ，t h e o r e m 4 1 7 缸i ，对每个。( z v 俪- ) 。，有z 3 z e - 示- ，故f l ：l 1 l ，c o r o l l a r y4 ，8 】知，z 【侗是 一个几乎p r i i f e r 整环，但z 【同不整闭，故冽同不是p