（基础数学专业论文）多复变数的零伦全纯映照.pdf

河南大学硕士学位论文 摘要 星形映照与螺形映照是多复变几何函数论中两个重要的映照类，它们共同的几 何特征是其像域中任意一点到原点的直线或螺线完全落在该像域中，本文从同伦的 观点出发来对具有这种几何特征的映照类进行了研究 全文共分三章，在本文的第一章，我们简要地介绍了本文所常用到的一些记号 及基本概念，定义和定理在第二章，我们引入了零伦全纯映照的概念，研究了有 界凸圆型域上的零伦全纯映照的性质，并得出了有界凸圆型域上零伦全纯映照的判 别方法在第三章，我们引入了复b a n a c h 空间的零伦全纯映照的概念，研究了复 b a n a c h 空间单位球上的零伦全纯映照的性质，并得出了复b a n a c h 空间单位球上零 伦全纯映照的判别方法 本文所建立的主要定理是与星形映照或螺形映照中已知的定理相对应的通过 本文的工作，我们对多复变函数论中具有上述几何特征的映照类有了进一步的认识 关键词：零伦全纯映照，星形映照，螺形映照，有界凸圆型域 河南大学硕士学位论文 a b s t r a c t s t a r l i k em a p p i n g sa n ds p i r a l - l i k em a p p i n g sa r et w oo ft h em o s ti m p o r t a n tm a p p i n g s i ng e o m e t r i cf u n c t i o nt h e o r yo fs e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s t h e i rs a a - 2 1 eg e o m e t r i cc h a r a c t e r - i z a t i o ni st h a tt h ed o s e dl i n es e g m e n to rs p i r a lj o i n i n ge a c hp o i n ti nt h e i ri m a g ed o m a i n s t oz e r ol i e se n t i r e l yi nt h e i ri m a g ed o m a i n s i nt h i st h e s i s ，w es t u d yt h em a p p i n g sh a v i n g t h ea b o v eg e o m e t r i cc h a r a c t e r i z a t i o nf r o mt h ev i e wo fh o m o t o p y t h ew h o l et h e s i sc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c eb r i e f l y s o i n en o t a t i o n s , b a s i cc o n c e p t s , d e f i n i t i o n sa n dt h e o r e m su s e dn s u 丑l yi nt h i st h e s i s i n c h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fn u l l - h o m o t o p i ch o l o m o r p h i cm a p p i n g s ，a n ds t u d y t h ep r o p e r t i e so fn u l l - h o m o t o p i ch o l o m o r p h i em a p p i n g so nt h eb o u n d e dc o n v e xc i r c u l a r d o m a i n si nc n m o r e o v e r ，w eo b t a i nt h ec r i t e r i af o rn u l l - h o m o t o p i ch o l o m o r p h i cm a p p i n g s o nt h eb o u n d e dc o n v e xc i r c u l a rd o m a i n si n 俨i nc h a p t e r3 w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no f n u l l - h o m o t o p i ch o l o m o r p h i em a p p i n g s i nb a n a c hs p a c e s ，a n ds t u d yt h ep r o p e r t i e so fn u l l - h o m o t o p i ch o l o m o r p h l co nt h eu n i tb a l li nc o m p l e xb a n a c hs p a c e s m o r e o v e r ，w eo b t a i n t h ec r i t e r i af o rn u l l h o m o t o p i ch o l o m o r p h i cm a p p i n g so nt h eu n i tb a l li nc o m p l e xb a n a c h s p a c e s t h ep r i n c i p a lt h e o r e m sa r er e l a t i v et ot h ek n o w nt h e o r e m so fs t a r l i k em a p p i n g sa n d s p i r a l - l i k em a p p i n g st h a th a v et h ea b o v eg e o m e t r i cc h a r a c t e r i z a t i o ni ng e o m e t r i cf u n c t i o n t h e o r yo fs e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s k e y w o r d s ：n u l l - h o m o t o p i ch o l o m o r p h i em a p p i n g s ，s t a r l i k em a p p i n g s ，s p i r a l - l i k em a p - p i n g s ，t h eb o u n d e d c o n v e xc i r c u l a rd o m a i n s i i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南大学提出硕士学位中请。本人郑重声明：所呈交的学位论文是 末人在导师酌指导下独立完成的，对所研究的课题有新的见解。据我所知，除 文中特别加蹦说明、标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过酌研究成果，也不包括_ 苒他人为获得任何教育、科研机构的学位或证书而 段保存、汇编学位论文( 纸质交本和电子文本) 。 ( 涉厦保密肉睿的擎f _ 至论文在解密后适用本授权书) 学位获得者( 学位论文作者) 釜名：拯 兰翅 2 0d 7 年6 月7 日 擘住论克指导教师签名：堂0 芷：温量茎萏 作 全 家 文 校 手 第一章预备知识 本章我们将给出全文中将要用到的一些常用的符号及基本概念，定义和定理 l 1 引言 多复变函数论是研究复空间王i 与m 间的全纯映照，：i l + 9 t 当王工c 是一 个域时，就是单复变函数论单复变函数论经过几百年的发展已经成为一门相当成 熟与深刻的理论，特别是对多值函数的研究，导致黎曼曲面的概念，这是一般的流 形概念的起源当n c m ( m 1 ) 是一个域时，多复变作为一门独立的方向得到研 究与发展，是从二十世纪初开始的当时p o i n c a r e 和h a r t o g s 等人发现多复变中有 与单复变有本质区别的若干现象，而在此前，人们似乎认为多复变不过是单复变的 平凡推广多复变函数论研究的重点，正是研究这些单复变函数论不可能有的性质 多复变函数论是研究多个复变量的学科，是研究高维的 单复变函数论是复分析中的一个重要组成部分，其历史源远流长，它的根源 可追溯到著名的r i e m a n n 映照定理，在上个世纪相当长的一段时间内，有不少 科学家，如：p k o e b e ，l b i e b e r b a c h ，c l o e w n e r ，g m g o l u z i n ，p ，l d u r e n ，c ，p i m m e r e n k e ， h g n m s k y ，m s s h i f f e r 和l ，d e b r a n g e s 等，为单复变函数论的发展做出了重大的贡 献，从而使它的内容非常丰富和完善，获得的结论也十分优美和深刻 如何将单复变几何函数论中众多的结果推广到多复变数中去? 最早考虑这件事 情的数学家也许是h c ”t a n 1 1 9 3 3 年，他指出：即使象“单位圆盘上全纯单叶函数 的展开式的系数的模是有界的”这样的基本结果，在多复变数也是不成立的但是 在多复变数全纯映照的展开式中，同一阶的系数，不再是一个，而是很多个有没有 这种可能：对一个系数来讲，其模不再有界，而对一些系数加以适当的组合之后，其 模却可望有界f i t z g e r l d 的反例却否定了这一点，也就是说，不论将这些系数进行组 合，其模均可无界，这个反例十分信服地告诉我们，如果将单复变几何函数论中的 一些结果，推广到多复变数空间中去，而又指望得到一些正面结果的话，光有双全 纯映照的条件是不够的，必须加上其他的一些限制h ，c a f t a n 还指出，相应的增长定 】 河南大学硕士学位论文 理及掩盖定理等，若只要求映照是双全纯的，这在多复变中也是不成立的但他指 望多复变数的双全纯映照的偏差定理有可能成立，其实很早以前就有人知道，这是 不可能的，那么应该加上哪些限制来企图得到一些正面的结果? h ，c a f t a n 建议考虑 双全纯映照的子族，如凸映照和星形映照等一些特殊的映照类，人们经过5 0 年的努 力，直到1 9 8 8 年，才由龚升教授，c h f i t z g e r a l d 教授和r w b a r n a r d 教授三人率先 在多复变函数论的研究上取得了重大突破尔后，国内外不少学者，如t ，j s u f f r i d g e 。 王世坤，余其煌，郑学安，刘太顺，i g r a h a m ，h h a m a d a 和g k o l l r 等，在龚升教授的 直接带领或指导下，做了大量的后续研究工作，获得了一批可喜的研究成果，从而 极大地丰富了多复变几何函数论的内容为了总结成果，继续向前，并为后者铺路， 龚升教授几次将一些重要的成果撰写成下面的专著陆续出版，如【2 4 】【5 6 等 由于全纯函数是石方程( c a u c h y - r i e m a n n 方程) 的解，函数论的本质是分析的， 而多复变赖以定义的空间是多维的，要弄清结构不可能不与几何和拓扑发生联系 我们已经知道许多星形映照及其子族或扩充子族的许多有意义的结果，其中星形映 照和螺形映照是多复变函数论中两个重要的映照类，他们共同的几何特征是从其像 域中任意一点到原点的直线或螺线完全落在该像域中，在7 j 中崔艳艳研究了c n 中 单位球上零伦全纯映照的性质并给出了其上零伦全纯映照的判别方法在本文中， 第二章我们从同伦的观点出发研究c n 中有界凸圆型域上的零伦全纯映照，并给出 其上零伦全纯映照的判别方法在本文第三章我们研究了复b a n a c h 空间单位球上 的零伦全纯映照，并给出其上零伦全纯映照的判别方法 1 2 定义及记号 为了叙述方便起见，我们首先给出全文最常用的一些符号及基本概念 在全文中，我们用c 表示复平面，u 表示c 中的单位圆盘，即u = z c ：i 。i 0 为半径的球是指 b ( a ，力= ( z 1 ，- 一，) ：l 一勺i 2 0 ：；n ) ( 参 阅，当q 是有界星形圆型域时，p ( 。) 定义为距离函数( 参阅【9 】) ， 定义1 2 2 设q 是c n 中的域，：n + c 是定义在n 上的一个复值函数如 果对于每一点o n ，存在多圆柱p ( a ，p ) cn 和幂级数( z n ) 4 ，使得 化) = c n ( z - a ) 。， 在p ( a ，p ) 中成立，则称，为q 中的全纯函数用日( n ) 记n 上全体全纯函数所成 的集 定义1 2 3 设q 是c n 中包含原点的域，h ( f 1 ) 表示从q 到c n 的全纯映照的 全体，( z ) = ( ，l ( z ) ，厶( 。) ) 日( q ) ，如果f ( 0 ) = 0 ，乃( o ) = j ，其中乃z ) 是，的 j a c o b i 矩阵，则映照，称为正规化的 定义1 2 4 设x ，y 是复b a n a c h 空间，_ d 是复b m m e h 空间x 中的开集，： d y 在d 上全纯： 若，一1 在 = f ( d ) 上存在且为全纯映照，则，称为d 上的双全纯映照； 若对于每个y ，( d ) ，存在y 的邻域y 使得厂1 在y 上存在且全纯，则称， 为d 上的局部双全纯映照 定义1 2 5 设x ，y 是复b a n a c h 空间，n 是x 中的一个域，令，日( n ，y ) ， z o n ，如果，在q 上是双全纯，且f ( n ) 是关于f ( z o ) 的一个星形域( 即对所有的 z q 和t 0 ，1 1 有( 1 一t ) f ( z o ) + t f ( z ) f ( f 1 ) 成立) ，则，在n 上关于z 0 是星形映 照 我们通常用“星形”来表示“关于原点是星形的” 定义1 2 6 设x ，y 是复b a n a c h 空间，q 是x 中的一个域，令，：q y 是一个全纯映照，如果，在q 上是双全纯的，且f ( n ) 是y 中的一个凸域( 即对于 z ，w f l t 【o ，l 】，有( 1 一t ) ，( z ) + t f ( w ) f ( f 1 ) 成立) ，则称，在n 上是凸的 定义1 2 7 设f ：b c “是b 上正规化单叶映照，令线性算子a l ( c ”，c “) 使得m ( a ) 0 其中m ( a ) = m i n r e ( a ( z ) ，z ) ：i i z l i = 1 ) ，如果对所有的t 0 有 。一m ，( b ) ，( b ) ，则称，是相对于a 的螺形映照，其中e 一“：萎( - - 。1 ，) k t k a k k = 0 “： 4 河南大学硕士学位论文 若对某个a ( 一，) ，a = e 一妇j ，则得到h a m a d a 和k o h r 1 0 研究的一类映 照，称为。型螺形映照，这是螺形映照在多变量定义下的最直接的推广 在本文下面的讨论中，规定q 都是包含原点的域 1 3本文所用的一些定理 在本文的证明过程中，主要用到了一些以下已知的定理： 定理1 3 1 1 1 1 】若q 为有界凸圆型域，设f h ( n ) 是正规化双全纯映照， 若对任意t t = 1 0 ，1 1 ，任意z q ，有t f ( z ) ，( n ) ，则f 是q 上的星形映照， 定理1 3 2 1 1 2 】若q c “为有界凸圆型域，其m i n k o w s h i 泛函p ( z ) 除去一个 低维流形外，具有一阶连续偏导数，设，嚣( q ) 为正规化双全纯映照，y ( o ) = 0 ，则 ，是q 上的星形映照的充要条件是：觑 筹1 ( z ) ，( z ) ) 0 定理1 3 3 若q c n 为有界凸圆型域，日( q ) 是一个正规化双全纯映 照，a m 7 ( 其中m 见上一节定义) ，若对于所有的t 20 及z n 有e - t a y ( z ) f ( n ) 成立，则，是q 上相对于a 的一个螺形映照 定理1 3 a 1 3 若q c ，l 为有界凸圆型域，其m i n k o w s h i 泛函p ( z ) 除去一个 低维流形外，具有一阶连续偏导数，令a l ( c l c n ) 使得m ( a ) 0 ，其中m ( a ) = m i n 船 豢a z ) ：p ( z ) = 1 ) ，令，：n c ”是正规化局部双全纯映照，则，是相对 于a 的螺形映照的充要条件是m 万o p 。，_ 1 ( z ) a ，( z ) ) 0 ，其中z q 定理1 3 ，5 1 1 4 ，1 5 ，1 6 1 若x ，y 为两个复b a n a c h 空间，b x 为x 中的单位球 若，：b l ，是b 上的正规化局部双全纯映照，且f ( o ) = 0 ，则f 是b 上星形映 照的充要条件是 r e t z ( ( d f ( x ) ) - 1 ，( z ) ) ) 0 5 第二章有界凸圆型域上的零伦全纯映照 星形映照与螺形映照是多复变函数论中两个重要的映照类，他们共同的几何特 征是其像域中任一点到原点的直线或螺线完全落在该像域中，本文从同伦的观点出 发来讨论具有这种几何特征的映照 在拓扑学中，同伦是映射间的连续变形，设x 和y 都是拓扑空间，记c ( x ，y ) 是x 到y 的所有连续映照的集合，设f ，g c ( x ，y ) ，所谓，与g 同伦，就是指 ，可以“连续地”变为g ，这意味着在每一时刻t t ，( t = 0 ，1 】) 有一连续映射 h t c ( x ，l ，) ，h o = f ，h 1 = g ，并且也对t 有连续地依赖关系，即 设，g c ( x ，y ) ，如果有连续映射日：x t y ，使得对于任意的z x ， 有日( z ，0 ) = ，( z ) ，日( ，1 ) = 9 ( z ) ，则称，与g 同伦，记作：，2g ：x + y ，或简记 为：，= g ，称h 是连接，与g 的一个同伦，记作日：f 2g ( 或，墨g ) 由上述定义出发我们首先给出解析同伦的定义 定义2 1 1 设n 1 ，q 2 是c ”中的两个域，称映照族 皿k t ，t = 0 ，1 】， 日t ( z ) = h ( z ，t ) ：f h t q 2 为从q 1 到q 2 的一个解析同伦，如果h ( z ，t ) 关于z 全纯，关于t 是c ”的 定义2 1 2 设，( z ) ，g ( z ) 是从o l 到q 2 的两个映照，称，与9 解析同伦，如果 存在一个解析同伦 h ( z ，t ) ：f h t q 2 ， 使得 h ( z ，0 ) = ，( z ) ，日( z ，1 ) = g ( z ) 记为，= hg ，h 称为连接，和g 的一个解析同伦 本文又引入了零伦全纯映照的概念 6 河南大学硕士学位论文 定义2 1 3 设f ( z ) 日( q ) ，称，是零伦的，如果f ( n ) 上的恒等映照i 解析同 伦于f ( n ) 上的零映照，即存在 - ( w ，t ) ：f ( n ) t f ( n ) 使得h ( w ，0 ) = o ，- ( w ，1 ) = w 从几何上讲，是零伦的即相当于对f ( n ) 中任一点，( z ) ，连接，( z ) 与零点的光 滑曲线日( ，( z ) ，t ) 完全落在f ( n ) 之中 本章将从上述定义出发，研究c f l 中有界凸圆型域。上的零伦全纯映照的性质， 并得出有界凸圆型域q 上的零伦全纯映照的判别方法 2 2 主要定理 在给出本章的主要定理之前，首先给出几个引理( 以下记t = 【o ，1 j ) ： 引理2 2 1 ( s c h w a r z 型引理) 【17 】若q 是有界凸圆型域，p ( z ) 为其m i n k o w - 8 h i 泛函，如果f ：f 2 + n 是全纯映照，f ( o ) = 0 ，则 引理2 2 2 若n c n 为有界凸圆型域，其m i n k o w s h i 泛函p ( z ) 除去一个低维 流形外，具有一阶连续偏导数如果映照”( z ，t ) ：n t n 满足：”( z ，t ) 关于z 全 纯，关于t 可微，且有：v ( o ，t ) = o ，口( 毛0 ) = z ，则除去一个低维流形外，有 r e t 瓦o p 努b v , z ，o ) ) o ( 2 2 1 ) 蕃，耋：篓，? 示“毛。在t = 。点的右导数，此处z = 。1 ，向) ，哦塞= 证明：任意固定点z q ，则域a = 代c “：p 任) p ( z ) ) 为凸域，这可证明如 下：若f 1 ，如a 则p ( 学) ( p ( f 1 ) + p ) ) p ( z ) ，即豇笋a ，所以a 为凸 又因为p ( 口( 毛t ) ) sp 0 ) ，所以v ( z ，t ) a 7 河南大学硕士学位论文 则 且p ( 。) 为实函数，望为域a 在边界点：的法向量 a 名 由凸域的几何性质，知 酬瓦a p 出一) r e 裳z r e ；! 塞( z ，。) ) = r e 。o ；p 。l 。i m 。+ 1 1 1 学) = l i r a + 1 - t r e a r 。矽a p ( 2 ，t ) 一瓦o p z ) o ( 2 2 2 ) 即证得( 2 2 1 ) 式成立 引理2 2 3 若n 为有界凸圆型域，其m i m k o w s h i 泛函p ( z ) 除去一个低维 流形外，具有一阶连续偏导数，h ( a ) 为双全纯映照，( o ) = 0 ，又设 f ( z ，t ) ：n t ，( q ) ， 为解析同伦，并且f ( z ，0 ) = ，( z ) ，f ( o ，t ) = 0 ，则 r e s i o 如p 。r ，- 1 ( ：) 面o f ( z ，o ) ) o ( 2 2 3 ) 其中州钆恤，塞= ( 老，静 证明：由于对任意t t ，有f ( z ，t ) ，( q ) ，因此可以定义映照 u ( z ，：n t ，q 如下 v ( z ，t ) = f - 1 ( f ( z ，t ) ) ， 则 v ( o ，t ) = f - 1 ( f ( o ，t ) ) = 厂1 ( o ) = 0 ， v ( z ，0 ) = f - 1 ( f ( 2 ，0 ) ) = f - 1 ( ，( z ) ) = a 又因为f ( 。，) 为解析同伦，由定义2 1 1 知y ( z ，t ) 关于2 全纯，关于t 是g ” 的由题意知：，日( q ) 为双全纯映照，则v ( z ，t ) 也关于z 全纯，关于t 是可微的则 v ( z ，满足引理2 2 2 的条件 8 河南大学硕士学位论文 酬塞宝( z ，o ) ) o ，z 叫 成立，则，关于h 是零伦的，即，( q ) 中连接，( z ) 与0 点的光滑曲线日( ，( z ) ，t ) 完 全落在，) 2 _ e p 其中z = ( 钆，) 7 q ，塞= ( 鲁，老) 证明：设r ( 0 ，1 ) ，只须证在r 1 2 上，关于h 是零伦的，由定理中的已知条件 及定义2 1 3 ，则只须证h ( f ( r z ) ，t ) f ( r o ) 即可 反证法：假设日( ，( r z ) ，t ) ，( r q ) ，则由已知条件知：存在z a ( r q ) ，使得连接 s ( z ) 与0 点的光滑曲线日( ，( z ) ，t ) ，t t = o 1 】有一部分位于7 i ：万之中，于是 存在6 ( 0 ，1 ) ，使得开曲线段 日( ，( z ) ，t ) ) j t 。lc ，( n ) 7 丽，令 z ( t ) = ，一1 ( h ( ，( z ) ，1 一t ) ) ，0 0 因此p ( z ( t ) ) 在0 t 1 6 上不是减函数 而另一方面，将z ( t ) 在t = 0 附近展开得 z ( t ) = 4 0 ) + ( 0 m + o ( t ) ， 又z ( o ) = z ，由，( z ( t ) ) = 日( ，( z ) ，1 一t ) 知 帕( 0 ) 矽( 0 ) = 箸( m ) f 1 圳一o ， 】2 河南大学硕士学位论文 即) = 丐k ) 豢( m ) , l - t 地：。 = 一j ) - k ) 等( 他) 1 1 ) 定义 p ( z ) = 丐1 ( z ) 百o h ( m ) ，1 ) ， 则由已知条件知：r e 笔p ( z ) ) o ，且有z ( t ) = z - - p ( z 弦+ 。( t ) ，于是 = 比) 一2 船 塞p ( 拼， 则有 百o p ( z ( t ) = 一2 觑 o z ( z ) ) + 科疣 、。7 。、。7 。 当t 充分小时，由前面的假设可知 掣- _ 2 m 塑o z p 。) 0 与( 2 2 1 0 ) 式矛盾，因此假设不成立，则( 2 2 8 ) 式成立，即( 2 2 7 ) 式成立 又由( 2 2 6 ) 式知，当t 充分小时，有 1 0 p ( z r ( t ) = 一2 r e 瓦o p p ( z ) ) o 河南大学硕士学位论文 即p ( z ( 甥在= 0 附近是严格减函数，这与上面所证p ( z ( t ) ) 在0 0 满足 r e i 。d o z p t ，- 1 ( z ) a 化) ，o 则，是q 上相对于a 的螺形映照其中z = ( z - ，) 7 q ，笔= ( 差，老) 证明：取 re a i n t wt ( 0 ，1 】，f ( n ) h ( w ，t ) = ， l 0t = 0 则日，0 ) = 0 ，日，1 ) = w ， 且有 o 优h 、w ，1 ) = 舭， 则 丽0i 瓦o h ( ，1 ) 怯。= a 又因为a 为正规矩阵，且其特征值皿九 0 ，则a + a + 正定又 裳- - - n ( s ( z ) ，t ) i e ，= a f ( z ) ， 由已知j k 镑丐1 ( z ) a ，( z ) ) 0 可知 酬裳丐k ) 筹( ，( 巩1 ) ) 0 ， 且对于任意t o 【0 ，1 ) 有 h ( w ，t o t ) = 一1 n ( 铆) = 日( 日，t o ) ，t ) ， 1 6 河南大学硕士学位论文 成立，则 日( ，t ) ：f ( a ) t + c “， 满足定理2 2 4 的条件，因此有，关于日是零伦的，即，( n ) 中连接，( z ) 与0 点的 光滑曲线日( ，( z ) ，t ) 完全落在y ( n ) 之中，则 日，t ) = e a i n t t c a ) 也即，是q 上相对于a 的螺形映照 1 7 第三章复b a n a c h 空间单位球上的零伦全纯映照 3 1 引言 设x 和y 是两个b a n a c h 空间，研= 仁x ：l i 。0 0 其中z b ， 证明：因为，关于h 是零伦的，则由定义3 1 3 可知 h ( y ，t ) ：，( b ) t + ，( b ) ， 满足：日( 玑o ) = 0 ，h ( v ，1 ) = y 定义：f ( t ) = 日( ，( z ) ，1 一t ) ( t z z b ) 则 f ( x ，0 ) 一日( ， ) ，1 ) = ， ) ，f ( o ，t ) = h ( o ，1 一t ) = 0 ， 贝j j ：f ( x ，t ) 满足引理3 2 3 的条件，由此可知 屁 疋( ( d ，( ) ) 瓦o f ( z ，o ) ) ) o ( 3 2 4 ) 由f ( x ，t ) = 日( ，0 ) ，1 一t ) 知 面o f o ) = 一等( m ) , 1 - t 地= 0 = 一o hf ( 圳， 代入( 3 2 4 ) 式可得 觑吲( 明训。1 箸( m ) ) ) o 从而得证， 定理3 2 2 设( x ) ：b y 是正规化双全纯映照，日( 弘t ) ：f ( b ) t y 为 解析同伦，且满足： ( 1 ) h ( y ，o ) = o ，日臼，1 ) = 驺h ( o ，t ) = 0 ( 2 ) a + a + 是正定的，其中记 ( ) = 等( 玑1 ) ，a = d h ( 0 ) 河南大学硕士学位论文 ( 3 ) 对任意t o i o ，1 ) ，y ，( 口) ，当h ( y ，t o ) ，( 占) ，有h ( y ，t o t ) = 日( 日( 玑t o ) ，t ) ( o t 1 ) 如果 觑仉( ( d m ) ) 一1 o u f ( z ) ，1 ) ) ) o ， 其中z b 成立，则，关于日是零伦的，即，( b ) 中连接，( z ) 与0 点的光滑曲线 日( ，( z ) ，t ) 完全落在f ( b ) 之中 证明：设r ( 0 ，1 ) ，只须证在r b 上f 关于h 是零伦的，由定理中的已知条件 及定义3 1 3 ，则只须证日( ，( m ) ，t ) ，( r b ) 即可 反证法：假设h ( f ( r x ) ，t ) f ( r b ) ，则由己知条件知：存在z a ( r b ) ，使得连接 ( x ) 与0 点的光滑曲线日( ，( z ) ，t ) ，t t = 【0 ，1 有一部分位于八7 i 面之中，于是 存在6 ( o ，1 ) ，使得开曲线段 日( ，( 。) ，t ) ) 5 t 。1c ，( q ) 7 丽，令 z 0 ) = f - 1 ( 日( ，( z ) ，1 一t ) ) ，0 0 因此忙( t ) | l 在0 t 1 一d 上不是减函数 而另一方面，将z ( t ) 在t = 0 附近展开得 。( t ) = z ( 0 ) + ( o 弘+ o ( t ) 义z ( o ) ：= z ，田，( z 【) = h ( ，【z ) ，1 一t ) 女口 d r ( 坤愀牡笔( ，( 。) , l - t ) w ( 艄o ) = 一等( 他) 1 ) ， 川0 ) = _ ( d m ) ) - 1 警吐1 ) 定义 p ( 垆d r ( 矿1 豢( m ”) ， 河南大学硕士学位论文 贝u 田亡：天口象仟l 口：风t 2 ；归( z ) ) j20 ， 且z ( t ) = z p ( z ) t + o ( t ) 于是 j i x c t ) l i = 【i z l l 一2 冗e 已扫( z ) ) 托+ o ( t ) ， 则 业0剑：一2船m(p(z)+o(t)t 。l z 、，、”，j 、。，。 当t 充分小时，剑凳型：一2 已扫( 。) ) ) o 可o i x ( t ) l l 0 ， 对z 0 ，取c 中圆盘 11 d ( o ，高) = 代c ： 0 与( 3 2 1 0 ) 式矛盾，因此假设不成立，则( 3 2 8 ) 式成立，即( 3 2 7 ) 式成立 又由( 3 2 6 ) 式知：当t 充分小时，剑爱掣= 一2 m ( b 。，( z ) ) ) o ， 即0z ( t ) i i 在t = 0 附近是严格减函数，这与上面所证