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河北工业大学硕士学位论文 b r u s s e l a t o r 方程混沌控制与同步问题的研究 摘要 非线性动力学系统中混沌控制与同步的研究近年来引起了人们极 大的关注本文主要研究具有强迫项b r u s s e l a o r 方程混沌控制与同步 阍题，其主要的工作概括为如下几个方面； 1 应用非线性反馈控制技术，给出了具有强迫的b r u s s e l a t o r 方程 全局同步及全局自适应同步的充分条件 2 应用微分方程的不变原理，得到了具有强迫的b r u s s e l a t o r 方程 基于参数识别下同步的一些新的充分条件。 3 应用动力系统的脉冲控制技术，获得了具有不同强迫项b r u s 。 s e l a t o r 方程脉冲同步的充分条件。 上述方法进一步发展了已有的理论结果和技术，并且更加简单和 实用。数值模拟结果表明本文所提出方法的有效性和实用性。 本文的理论结果对于实际的工程设计和应用具有重要的理论意义 和参考价值。 关键词：混沌控制与同步， 非线性反馈控制，自适应控制，参数 识别，脉冲控制，b r u s s e l a t o r 方程 曼：! ! ! ! ! 壁! ：竖望鎏墼型芝旦生塑望盟堑壅 r e s e a r c ho nc h a o sc o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o n o fb r u s s e l a t o r s a b s t r a c t c h a o sc o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o ni nn o n l i n e a rd y n a m i c sh a v ea t t r a c t e d i n c r e a s e i n g l yi n t e r e s tr e c e n t l y t h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h es t u d yo fc h a o s c o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o no ff o r c e db r n s s e l a t o r s t h em a i ni s s u e so ft h e t h e s i sa r ea d d r e s s e da sf o l l o w s ： 1 b yu s i n gt h en o n l i n e a rf e e d b a c kc o n t r o lt e c h n i q u e ，s o m en e ws u f f l _ c i e n tc o n d i t i o n so fg l o b a ls y n c h r o n i z a t i o na n da d a p t i v es y n c h r o n i z a t i o no f b r u s s e l a t o r sa r ed e r i v e d 2 b yu s i n gt h ei n v a r i a z l c ep r i n c i p l eo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s o m es u f f i c i e n tc r i t e r i o n so fa d a p t i v es y n c h r o n i z a t i o no ft w od i f f e r e n tf o r c e db r u s s e - l a t o r sa r eg i v e nb a s e do np a r a m e t e r si d e n t i f i c a t i o n 3 b yu s i n gi m p u l s i v ec o n t r o lt e c h n i q u eo fn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m s ， s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fi m p u l s i v es y n c h r o n i z a t i o no ff o r c e db r u s s e l a t o r sa r e o b t a i n e d i t i ss h o w nt h a tt i l ea p p r o a c h e sd e v e l o p e dh a v ef n r t h e re x t e n d e dt h e i d e a sa n dt e c h n i q u e sp r e s e n t e di nt h el i t e r a t u r e ，a n dt h e ya r ea l s os i m p l e t oi m p l e m e n t p u r t h e r r a o r e t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nd e m o n s t r a t e st h e e f f e c t i v e n e s sa n df e a s i b i l i wo ft h ep r o p o s e dt e c h n i q u e i ti sb e l i e v e dt h a tt h e s er e s u l t sh a v ei m p o r t a n ts i g n i f i c a t i o n sa n dp r a c t i c a lv a l u e sf o rt h i sk i n do fe n g i n e e r i n gd e s i g na n da p p l i c a t i o n s k e yw o r d s ： c h a o sc o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o n n o n l i n e a rf e e d b a c kc o n t r o l ，a d a p t i v ec o n t r o l ，p a r a m e t e r si d e n t i f i c a t i o n ，i m p u l s i v ec o n t r o l f o r e e db r u s s e l a t o r s 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作所取得的成 果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任何他人创作的、已公 开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人 和集体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：独磷隰撕箩舌、7 关于学位论文版权使用授权的说明 本人完垒了解藏就玉业大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。同意如下各项内 容：按照学校要袋撵燮攀位论文的印劂本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷本和 电子版，并采用影印、编却、扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索 以及提供本学位论烹叠絮或者部分的阅览服务：学校有权按有关规定向国家有关部门或者 机构送交论文的复翻转鞲氇予版；在不以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的 部分或全部内容用于攀洙话动。 ( 僳粥的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：弦辫日期： d 口 、，7 导师签名： 吼堂_ ，7 河北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 i - i 引言 随着自然科学和技术的发展，涌现出了一些横跨各种学科的新领域，非线性科学就是其 中之一。非线性科学研究各门科学中有关非线性的共性问题，它是2 0 世纪科学发展史上光 辉的一页，被誉为2 0 世纪自然科学三大革命之一“。非线性科学的研究不仅具有重大的 科学意义，而且具有广泛的应用前景。这门学科几乎涉及自然科学、社会科学等各个领域， 并且在不断改变人们对现实世界的许多传统看法 一般来说，非线性科学的主体包括：混沌、分岔、分形、孤立子和复杂性。系统各部分 之间的非线性相互作用形成复杂性，比如一个由确定性的非线性演化方程所描述的系统，当 系统受到扰动时，由于在对初值的敏感性的反复作用下形成了系统的复杂结构，另一方面对 初值敏感依赖而又在有限范围内运动，这样就使那些初始状态和速度充分接近的轨道会以 指数速度分离开来，由于轨道自己不能相交，所以这些轨道只能在有限的空间内缠绕往复而 形成非常复杂的形状，这就是混沌。著名物理学家福特( j p o r d ) q 曾指出：混沌的发现是 2 0 世纪物理学的第三次革命混沌现象的理论与实验研究成为二十多年来非线性科学研究 的主要方向当前如何把混沌科学发展为一门应用技术并应用混沌研究的成果为人类服务 已成为2 】世纪非线性科学发展所面临的巨大挑战 率文第一章介绍了混沌的起源、发展历史与趋势，混沌的基本概念，并简述了控制混沌 同步的各种方法 第二章通过引入一个重要的坐标变换，应用非线性反馈控制方法使具有强迫项b r u s s e - a t , o r 方程达到全局渐近同步，其次通过自适应控制技术，使当驱动、响应系统的强迫项参 数不一致时，达到同步，并用数值模拟证实所获得结果的正确性。 第二j 章讨论了一类非线性系统基于参数识别的自适应同步问题，相对于已有的结果，我 们给出的控制器简单而且实用然后应用到研究具有不同参数的b r t t s s e l a t o r 方程的同步问 题，j = 给f ；数值模拟加以验证 第四章根据非线性动力系统的实用稳定性，应用脉冲控制技术研究了一个一般系统的 同步问题，目的是解决具有不同强迫项b r u s s e l a t o r 方程的脉冲同步问题，计算机模拟证实 所获结果的l e 确性。 曼：! ! ! ! ! ! ! ! ：z 鎏堡韭莲型兰垦耋哩鲤塾堑塞 1 2 混沌的形成及发展历史 由于牛顿以来决定论占统治地位，许多现象被认为是随机因素而忽略了，因此在一百多 年的时间里科学家与混沌失之交臂。直刘1 9 世圮末i b l n c 缸e 在研究t i a m i l t o n 最统时发 现r 混沌，p o i n c a r e 在由微分方程确定的积分曲线中创立了微分方程的定性理论随 后l y a p a n o 、建克了稳定性的数学理论，l y a p u n o v 基于力学中的最小能量原理给出了寻 找l y a 讲l i l 0 y 蟠数束确定系境稳定性和不稳定性的方法，l y a p u n o v 指教能定量表示线性 二方程的解在相牢h 3 的各个方向酌增长或衰减速率b i r k h a f f 在p o l u c a r e 之后也对动力 系统理论作出了重要贡献，他给出了现代动力系统的抽象概念，1 9 3 5 年他研究丁不变流形 横截相交的进步结果。1 9 3 7 年前弥联的安德罗诺夫和庞特里难金提出了常微分方程结构 稳定性概念1 9 4 2 年德国数学家h o p f 将结构稳定性的理论推广到了任意高维的微分方程 扣去日本人上天脘亮( y o s h i s u k eu e d a ) 是第一个通过讦算机进行数值计算发现混沌现象 的人，他用计算机对如下形式的方程进行研究 一m i 一1 u 2 l u + t ，3 一b c o s l j t 职， = 021 = 08 b = 0 3 第一次在计算机上观察到丁混沌图形 混淹学磷竞有两个重大突破 11 9 6 1 年k a m 定理( k o l m o g o r o va r n o l da r i dm o s e r ) 研究了环面上的保守系统中 的近可积系统在一一定条件下会产生随机的、不町预测的行为 1 9 5 4 年，科尔莫戈浩夫f k o l m o g o r c v ) 揭示了近可积哈密顿系统与相应的可树系臻z 侧的咒系，后来由阿诺穆( a r n o l d ) 和莫泽( m o s e r ) 严格证咀并改进称为k a m 定理陟 k a 【定理的条件包括四个方面：导致不可积的扰动充分小、哈密顿函数廿解析、系统 f ：退化和相应的可积系统离开共振一定距离，其中h 解析和非退化条件可以适当减弱+ 在 遭砦条件f ，多数非共振环面不消失，仅有轻微变形，因此在受扰动系统辐空间中仍然存在 不变环面，它们被相轨迹稠密的充满环面的独立频率数目等于系统的自由度数。 2 发生于耗散系统，1 9 6 3 年i ial o r e n z 提出著名的l o r e n z 模型，它是第一个啦详 细研究的可产生混沌的系统 细研究的呵产生混沌的系统 ( 12 )0们z 一 扩膨 ，怔 一 可 肿州 | i i i f l o 封； ，、i 河北工业大学硬士学位论文 图1 - 2l o r e n z 吸引子( 1 2 ) 的混沌行为( 口= 1 0 ，p = 2 8 、口= 8 3 ) f i g1 2 c h a o t i cb e h a v i o ro fl o r e n za t t r a c t o r ( 12 ) = 1 0 ，p = 2 8 、口= 8 3 ) l o r e n z 揭示了一系列混沌运动的基本特征，比如确定性、非周期性、对初值敏感依赖性及 长期行为的不可预测性等 1 9 6 5 年美国数学家s s m a l e 在研究可微分自同胚的动力性状时构造出s m a l e 马蹄， 后来证明d f f i n g 方程( 1 9 1 8 ) 、v a nd e rp o l 方程( 1 9 2 7 ) 等都存在马蹄。 2 0 世纪7 0 年代初开始，混沌学研究终于在多个学科领域同时展开，形成了世界性研 究的热潮1 9 7 1 年，d r u e l l e 和f t a k e n s 发表论文论湍流的本质，在学术界第一个 提出用混沌来描述湍流形成机理的新观点。1 9 7 5 年李天岩和y o r k e 发表了周期三意味 着混沌的论文，这是一个关于混沌的数学定理：l i y o r k e 定理，他们率先引入“混沌” ( c h a o s 卜一词，为这一新兴研究领域确立了一个中心概念。1 9 7 6 年r m a y 首先揭示了描述 动物种群繁衍的l o g i s t i c 模型中，通过倍周期分岔达到混沌的道路m j f e i g e n b a u m 对 m a y 的虫口方程进行了详细的研究，发现通向混沌的过程中具有普适性，并碍到了普适常 数。1 9 7 6 年m h e n o n 通过对l o r e n z 方程的简化得到h e n o n 二维映射，证明了如此简单 的平面映射也能产生混沌运动，并发现奇怪吸引子分形学刨始人b ，m a n d e i b r o t 的工作为 混沌探索者描绘相空间轨道提供了理想的工具，并发现反映混沌行为的奇怪吸引子具有分数 维 到了2 0 世纪9 0 年代初，随着混沌动力学理论的日益完善及应用上的发展，一个新的 思想又涌现出来，这就是漏沌的控制与同步1 9 8 9 年胡伯勒( a h u b l e r ) 4 j 在他发表的一篇 文章中首次提出混沌可以被控制的现象次年奥特( e o t t ) 、格里波基( g g r e b o g i ) 和约克 ( j y o r k e ) 提出控制混沌的思想，并基于混沌轨道是由无穷多不稳定周期轨道构成的基本性 质，提出了一一种参数微扰法控制混沌运动的具体实拖办法，即现在称之为的o g y 方法。随 后的十多年中，有关混沌控制的研究得到了蓬勃发展。这期间人们提出各式各样控制混沌的 方法及其理论，并在自然科学的实际领域内的实验和应用中得到证实近年来，这一研究方 向的理论和实验以及应用上的工作进展异常迅猛几乎与研究控制混沌工作起步的同时，母 0 罗尔( t m c a r r o l l ) 和佩卡拉( l m p e c o r a ) 提出在混沌信号驱动下，两条不同初值的混沌 轨道可以同步化的现象，有关这方面的情况，我们将在后文介绍。 1 3 混沌的定义 到目前为止，混沌一词还没有个公认的普遍适用的数学定义，常见的有如下几种 6 1 ： 1 1 9 7 5 年，李天岩和y o r k e 给出了混沌的数学定义，即：l i - y o r k e 定义。 定义1 1 设连续自映射，：一c 兄，是r 中一个子空间。如果存在不可数 集合sc ，满足： ( i ) s 不包含周期点 ( i i ) 任给x l ，x 2 s ( x 1 x 2 ) ，有 t 魄s u p l ( x 1 ) 一，。( 恐) | 0 ， 恕i n f l f ( x l ) 一，。) f = 0 - 这里，。( ) = ，( ，( ，( ) ) ) 表示t 重函数关系。 ( i i i ) 任给x i s 及，的任意周期点p 1 有 熙s u p j 。( x 1 ) 一，。( p ) o - 则称，在s 上是混沌的 条件( i i ) 中两个极限说明子集中的点x 1 ，x 2 s 相当分散而又相当集中；第三个极限 说明子集不会趋近任意周期点l i y o r k e 定义的缺陷在于集合s 的勒贝格测度有可能为 零。 2 1 9 8 5 年美国数学家狄万尼( r o b e r tl d e b a n e y ) 从拓扑的角度给出了一个更为全面 的定义设( x ，p ) 是一个度量空间，连续映射，是x 上的一个映射 定义1 2 ，：x x 是拓扑传递的，如果对任何两个开集u ，vcx 存在自然数k 使得，2 ( z ) n v 0 。 定义1 3 ，：x x 是对初僚敏感依犊的，如果存在6 0 ，对于任何z x 与f 的一个邻域口，存在y b 和自然数k 使得p ( ，2 ( z ) ，妇) ) 6 狄万尼给出的混沌定义如下； 定义1 4 ，：x x 称为x 上的混沌，如果 ( i ) f 是拓扑传递的； ( i i ) f 的周期点在x 中稠密； ( i i i ) f 具有对初值条件的敏感依赖性。 4 条件( i ) 表示系统是不可分解的，即混沌系统不能分解成两个子系统的和；( i j ) 说明没 有周期点的系统都不是狄万尼混沌的； ( i i i ) 说明系统是不可预测的条件( i ) 和( i i ) 蕴含 条件( i i i ) 。 1 4 混沌的识别判据 如何判断一个系统是否处于混沌运动状态是非线性科学研究的重要问题之，主要有 两种方法：1 数值方法，2 解析方法 数值方法主要有： ( 1 ) l y a , p u n o v 指数 表示相空间邻近轨道的平均指数发散率的定量化指数。设，：r 一+ r 是连续可微函 数，对于任何x o r 称 ( z o ) = 甄触d ，i k ) ( x o ) 1 1 为，在点。o 处的l y a p u n o v 指数n 维系统在相空间中每一条轨道都有n 个l y a p u n o v 指数，若系统的最大l y a p u n o v 指数大于0 ，则对应混沌运动 ( 2 ) 分数维 从分形几何的观点，几何体的特征可用维数来表示，平凡吸引子的维数是整数，而混沌 吸引子的维数是分数维 ( 3 ) 功率谱 功率谱反映运动在频率上的分布情况功率谱分析法可有效地判断系统的运动性质与 混沌运动对应的功率谱的特征是出现宽带连续谱。 ( 4 ) 从熵( e n t r o p y ) 的角度，包括信息熵、测度熵、拓扑熵等来度量，一般认为熵大二j ： 0 是混沌运动的一个特征。 解析方法主要包括m e l n i k o v 方法和s h i l n i k o v 方法用m e l n i k o v 方法和s h i l n i k o v 方法可以判定系统是否具有s m a l e 马蹄变换下的混沌m e l n i k o v 方法的核心思想是把所 讨论的系统归结为一个二维映射系统，然后推导该二维映射存在横截同宿点的数学条件，从 而证明映射具有s m a l e 马蹄意义下的混沌性质s h i l n i k o v 方法与m e l n i k o v 方法不同的 是它不是去证明横截同宿点的存在性，而是通过估计来证明这个映射存在s m a | e 马蹄变换 下的混沌 l - 5 混沌同步的各种方法 1 5 1 同步的发展与分类 b r u s s e l a t o r 方程混沌控制与同步问题的研究 自从p e c o r a 和c a r r o l l 首先提出混沌同步的概念并成功应用到电路中后，混沌同步 成了非线性科学中的热门话题随着研究的不断深入，人们发现它在保密通信和震荡发生器 等领域有着巨大的应用前景，于是在很多领域引起了广泛的重视，提出了各种控制同步的方 法，取得了一定的成就 混沌同步可以分为完全同步 t l 、相同步r 8 】、滞后同步【9 】和广义同步 a o 等。 考虑两个非线性的混沌系统如下川： = f ( t ，x ) ( 1 3 ) 9 = 9 ( t ，y ) 十u ( t ，z ，y ) ， ( 1 4 ) 其中，。，y 彤，f ，g c 【r + 舻，r ”】，c 7 【| r + r “r “，r ” ，r 1 ，z ( t ) ，( t ) 分别是它们的解，“( t ，。，y ) 为控制向量令e ( t ) = v ( t ) 一z ( t ) 称为误差向量，系统( 13 ) 稚为驱动系统，( 1 4 ) 称为响应系统。 定义1 若有 l i r l 21 i x ( t ) 一( 圳= 0 ， 称系统( 1 4 ) 和( 1 3 ) 的轨道在t 一。时达到完全同步。 定义2 若有 恕怕奴一，n 毋, l l 2 0 ， 其中九，九分别对应两系统解对应的相角，n m z + ，称系统( 1 4 ) 和( 1 3 ) 的轨道在 一。时达到相同步。 定义3 若存在正常数t ，使得下式成立： l i r a1 1 。，( ) 一( t ) i i = 0 ， 其中z ，( t ) = x ( t r ) ，称系统( 1 4 ) 和( 1 3 ) 的轨道在一。时达到滞后同步。 定义4 若存在一微分同胚h ：足。一彤，使得 恕l i b ( z ( ) ) 一9 p ) i t 2 0 ， 称系统( 1 4 ) 和( 1 3 ) 的轨道在t 一。时达到广义同步。 本文主要考虑完全同步 1 5 2 混沌同步的方法 要实现两个混沌系统的同步，需选择合适的控翩器，这是实现两个混沌系统同步的一个 相当重要的问题因为从实际的角度来看，所设计的控制器应比原系统简单，否则对原系 6 河北工业大学硬士学位论文 统改变太多，因此在控制器的设计上，应尽可能设计简单而且符合实际的控制器。目前人们 已经提出了很多控制同步的方法，其中主要的几种方法是： 1 反馈控制方法( f e e d b a c kc o n t r 0 1 ) 反馈控制方法 1 1 , 1 2 】是最基本最常用的一种控制方法，这种同步方法的原理是通过反 馈差信号k ( y z ) 的调节作用，其中k = d i a g ( k l 、k 2 一，k ) ，响应系统( 14 ) 的演化轨 道逐渐靠近驱动系统( 1 3 ) 的目标轨道，直至达到重合。 2 自适应控制方法( a d a p t i v ec o n t r 0 1 ) 自适应控制方法能自动地、适时地调节系统本身控制率的参数，以适应外界环境变化、 系统本身参数变化及外界干扰等的影响，达到系统运行在其所期望的指标下的最优状态。自 适应控制方法是解决具有一定程度不确定性系统的控制、同步闻题实际中很多系统是不可 能完全确定的，因此自适应控制方法应用范围是很广的1 1 3 - 1 6 l 。 考虑如下两个混沌系统： j ：一f ( 。，p ) 0 = f ( v p 7 ) 十n ( 15 ) ( 16 ) 其中z ，9 r “分别是系统( 1 5 ) 和受控系统( 1 6 ) 的状态变量，是控制项叫做主控制率 ( m a i nc o n t r o l l a w ) ，p ，p ，是系统参数，假定未知参数p 固定，p 7 未定，令6 = p ，p 。 二 我们的目标是找到合适的主控制率“和参数修正律( a d a p t a t i o nl a w ) 6 ，使得 成立，其中5 为6 的估计数 l i m 。恬一z i l 2o 3 脉冲控制方法( i m p u l s i v ec o n t r 0 1 ) 脉冲控制方法是基于脉冲微分动力系统理论的一种控制方法 1 7 1 ，与连续的控制方法相 比，其特点是更易于应用到实际中因此脉i 中控制方法的应用范围是很广泛的，甚至有时候 只能用脉冲控制才能达到目的，比如银行为了调节金融市场的货币供应不可能天天调整利 息近年来，脉冲控制方法引起了人们极大的兴趣 1 8 - 2 s 1 4 积极( 主动) 控制方法( a c t i v ec o n t r 0 1 ) 积极控制方法是控制效果很显著的一种方法，但其有一个明显的局限性，即：在该方法 中，控制项非常复杂，抵消了原系统中的非线性项，从而相应的误差动力系统是线性的，这 7 b r u s s e l a t o r 方程蔼沌控制与同步问题的研究 样很容易控制误差系统【2 9 ，3 叫，但无法应用到实际中去 5 反步设计方法( b a c k s t e p p i n gc o a t r 0 1 ) 近年来，以科克托维奇( k o k o t o v i c ) 及其合作者发展起来的反步法引起了有关学者的 高度重视 3 1 , 3 2 j 这种方法通过逐步修正算法设计控制器，实现系统的全局调节或跟踪，是 一种由前向后递推的设计方法它适用于可状态线性化或滑参数反馈不确定性系统，可以方 便的用符号代数软件来实现反步法作为一种新的设计方法，尚需开展系统的理论与实际应 用研究工作l “j 。 混沌同步方法还包括鲁棒同步、驱动一响应同步及耦合同步等，这里不再一一叙述。 8 河北工业大学硕士学位沧文 第二章b r u s s e l a t o r 方程的非线性反馈控制同步 2 - 1 预备知识 设微分方程 = f ( t ，z ) x ( t o ) = z o z 形， ( 2 1 ) 满足解的存在唯一性定理条件，其解x ( t ) = x ( t ，t o ，护) 的存在区闻是( 一0 0 、十。) ，目 ，( t ，0 ) = 0 。 定义2 1 若对任意给定的 0 ，都能找到6 = 6 ( e ，t o ) ，使得当i i l j t o 十t 时，有峥( t ，t o ，一) | | o ( y ( r ) 0 表示初始物质浓度 b r u s s e l a t o r 方程( 2 2 ) 是由a t u r i n g 在1 9 5 2 年首先发现的f 洲，后来由i p r i g o g i n e 和 l e f e v e r 等进行了系统的研究，他们指出b r u s s e l a t o r 方程是摧述生物化学震荡的最简尊且 最基本的数学模型，并证明了当b 1 + j 4 2 时，方程( 2 2 ) 存在稳定的极限环。文献【3 7 1 中得出极限环是唯一的，并得出当b 1 + a 2 时不存在极限环： 定理当b 1 + j 4 2 时( 2 2 ) 有唯一的极限环，它是全局轨道渐进稳定的；当 口s1 + a 2 时( 2 2 ) 没有闭轨，只有唯一的全局渐进稳定的奇点m ( a ，b a ) 已有的研究结果表明f 3 6 】：对系统( 2 2 ) 加上一个分段常值控制函数可以控制极限环的 大小。 t o m i t a 和k a i 3 9 】首先对( 2 2 ) 加上一个非自治的周期强迫项。c o s “ t ，得到强迫 b r u s s e l a t o r 方程如下： j 2 a 一旧+ 1 ) x + x 2 y 十。c o s t ，( 2 3 ) ij ，：b x x 2 y 、 其中o l 和u 分别是外加强迫项的振幅和频率( 2 3 ) 呈现丰富的动力学行为，见圈2 2 。 文献 4 0 】研究了系统( 2 3 ) 的相图随n 和u 的变化情况许爱国等p l j 研究了外加第二驱 动对振子系统混沌运动的控制影响 1 0 塑些三些盔芏堡：! 兰垡丝茎 圈2 一l 没有强迫项b r u s s e l a t o r 方程( 22 ) 具有参数a = 04 b = l2 时 有一个稳定的极艰环 f i g2 1 t h es t a b l el i m i tc y c l eo fb r u s s e l a t o r ( 2 w i t ht h ep a r a a ：a e t e r s a = 04 b = l ，2 图2 - 2 具有强迫项b r u s s d a t o r 方程( 23 ) 具有参数a = 0 4 b = l2 = o0 6 u = 08 5 的混沌轨道 f i g2 2 t h ec h a o t i ct r a j e c t o r yo ff o r c e db r u s s e l a t o r ( 2 3 ) w i t ht h e p a r a z n e t e r s a 一0 4 ，b = 1 ，2 ，= o0 6 ，u = 0 8 5 2 3 强迫b r u s s e l a t o r 方程的非线性反馈同步与自适应同步 2 3 1b r u s s e l a t o r 方程的反馈同步 对系统( 2 3 ) 作变换。1 篙x + 一掣l = y ，我们得到： k 篡已x 1 - 。，2 毒三嚣。 f 24 ) 【1 望：坚! 坐堕立堡塑鎏苎型兰塑芝塑璧塑堑塞，。 f i g 2 3 t h ec h a o t i cb e h a v i o ro fc o n t r o l l e db r u s s e l a t o ra f t e rt r a n s f o r m a t i o n w i t ht h ep a r a m e t e r sa = 0 4 ，b = 1 2 ，= o 0 6 ，u = o 8 5 我们假设( 2 , 4 ) 为驱动系统，其相应的受控响应系统为： 卜2 鲥一( x 2 - y 2 ) + c r c o s w t + u l ( 氓( 2 同 ly 2 = b ( x 2 y 2 ) 一( 。2 一2 ) 2 y 2 十u 2 0 ) “。 其中u ( t ) = u ( z l ，z 2 ，y l ，y 2 ) = ( 2 1 ( t ) ，u 2 ( t ) ) 1 。为设计的控制器，系统( 2 5 ) 与系统( 2 4 ) 作差得误差动力系统为： f ：! b 8 。( ：e ! 三? ! 。y k l ( x , + 。一y l 一。，。一勺，一e y ( x 2 一。，。十。，c z e ， 【j = z e ) 一 + 。2 一 一口2 ) ( e z 一勺) 一 一9 2 ) 2 十u 2 ( t ) 、 其中e = 。2 一x l ，e g = 抛一y l 为同步误差于是有下面的定理： 定理2 1 如果选择控制器u ( t ) = ( “1 ( t ) ，u 2 ( t ) ) 1 为： 。u 。l ( t ，) ：= k l e x , k 2 e v + 。+ 。一。，。一勺，一。；。 c z ， 【“2 ) = + 口1 ( 2 z l + e z e ) ( 一勺) 一2 9 e z ”。 在如下条件下； 焉旷酬”砰 江s ， 驱动系统( 2 4 ) 与响应系统( 2 5 ) 达到全局渐近同步 证明：取l y a p u n o v 函数为： y = 矿( ，e ，) 5i ( e ：+ e ；) ， 河北工业大学硕士学位论文 它沿着误差系统( 2 6 ) 的全导数为 矿= 一( 1 一k 1 ) e ：+ ( 1 十b ) e 。勺一( b 一尥) e ；一2 可 e ；一( z 2 一”2 ) 2 一； 一e t p e ， 其中e = ( 岛，e，p = l一k 1一 ( 1 + b 1 显然，p 正定当且仅当( 28)y)t 其中8 = 扣8 ，p 2 j 一( 1 + l b )b ”- k 2 。i 。显然i p 正定当且仅当忙踟 成立，从而有矿负定，因此有误差系统( 2 6 ) 零解全局渐进稳定，进而响应系统( 2 5 ) 与驱 动系统( 2 4 ) 达到全局渐近同步 注意到系统( 2 4 ) 是一个关于z ，y 的三次系统，而我们加的控制器( 27 ) 是二二次的，因 此是合理的 我们给出如下数值模拟：取a = 0 4 ，b = 1 2 ，n = 0 0 6 ，“= o 8 5 ，k j = 0 5 ，2 = 一1 3 图2 - 4 表明在控制( 27 ) 下，受控的强迫b r u s s e l a t o r 方程( 2 5 ) 与相应的驱动 b r u s s e l a t o r 方程( 2 4 ) 分别取初值( l ( o ) ，l ( o ) ) = ( 1 ，1 ) 和( x 2 ( o ) ，y 2 ( o ) ) = ( 3 ，4 ) 时随 时间t 变化的同步误差 图2 4 受控的强迫b r u s s e l a t o r 方程( 2 5 ) 与相应的驱动系统( 2 4 ) 在控制( 2 7 ) 下随时问t 变化的同步误差 f i g 2 - 4s y n c h r o n i z a t i o ne r r o ro ff o r c e db r u s s e l a t o r su n d e r t h en o n , n e a rc o n t r o l l e r ( 2 7 1 2 3 2b r u s s e l a t o r 方撩的自适应同步 由图2 1 和2 2 可以看出，外加周期强迫项( 1 c o s w t 对b r u s s e l a t o r 方程的动力学行 为有很大影响，现在我们考虑当0 = 不同时的两个不同b r u s s e l a t o r 方程的自适应同步。 1 3 b r u s s e l a t o r 方程混沌控制与同步问题的研究 驱动系统仍为( 2 4 ) ，响应系统中的参数用画表示如下 受控响应系统( 2 9 ) 与驱动系统( 2 4 ) 之间的误差动力系统为 e，x：=bey。-。e一。+，*一co，s，w。t。+，+ul。(。t)一,驵 其中d = 画一。令5 = 5 一s ，其中5 为6 的估计值，于是有如下定理 定理2 2 如果控制器u ( t ) = ( 1 ( t ) ，2 t 2 ( ) ) 7 及参数修正律选择为 ( 29 ) f 2 1 0 1 f u 1 ( t ) = k l e z 一5 c o s w t ， “2 ) = k 2 e v + y l ( 2 x l + 一e f ) ( 一e 可) 一2 可 ， ( 2 1 1 ) 【d = 7 e z c o s w t ，1 0 v = v ( e x le y ，5 ) = 扣2 + e ；十挪， 啦。+ e ，毛一；砧 一( 1 一k 1 ) e ：一( 1 + b ) 。e 口一( b k 2 ) e ；一2 e ；一( z 2 一口2 ) 2 e ； ( 占一占) 。u t 一三5 3 一y e t p e 由定理2 1 的证明，定理2 2 结论成立 下面的数值模拟表明以上提出控制方案的有效性。取参数a = 0 4 ，b = 1 2 ，n = 0 5 ，u = o 8 5 ，控制器中取k 1 ：= 0 5 ，k 2 = 一1 3 7 = 1 5 ，取a = 5 ，5 ( o ) = 2 图2 5 表明：在控制( 2 1 1 ) 下，受拉的强迫b r u s s e l a t o r 方程( 2 9 ) 与驱动强迫b r u s s e l a t o r 方 程( 2 4 ) 分别取初值( z 1 ( o ) ，1 ( o ) ) = ( 1 ，1 ) 和( x 2 ( o ) ，v 2 ( o ) ) = ( 3 ，4 ) 时隧时间t 变化的自 适应同步误差 1 4 毗托 如 c a r + ， 驰 一 一 驰 忱 一 一扛 a b | | = 屯 ，l 河北工业大学硕士学位论文 i r 一印 ：_ | v 7 八八八“ ， 1 _ 扩古2 。l 0 嘉一 r 盎一一j 0 图2 - 5 受控的强迫b r u s s e l a t o r 方程( 2 9 ) 与驱动强迫b r u s s e l a t o r 方程( 2 4 ) 在控制( 2 1 1 ) 下随时问t 变化的自适应同步误差， f i g2 5a d a p t i v es y n c h r o n i z a t i o ne r r o ro fb r u s s e l a t o r s1 r u d e rt h em a i n c o n t r o ll a wa n dt h ea d a p t e dl a w ( 21 1 ) b r u s s e l a t o r 方程混沌控制与同步问题的研究 第三章基于参数识别下b r u s s e l a t o r 方程的自适应同步 3 1 弓l 言 关于混沌同步问题的研究，很多的研究都集中在某一确定的系统上，然而在实际的工程 改计中，许多系统是不确定的，即系统的参数预先并不确切知道，需要进行识别。文献1 4 3 1 中作者把线性反馈控制和自适应控制相结合，根据微分方程不变原理，研究了基于参数识别 下一类系统的自适应同步问题本章通过构造一个新的l y a p u n o v 函数，进一步发展了这种 方法和技术，给出了更为筒单而又实用的控制器及参数修正率，同时对系统的未知参数能够 更快地进行识别。我们将获得的结果应用到具有强迫顼b r u s s e l a t o r 方程的同步。数值模拟 结果表明，同步误差及参数识别的收敛速度比用文献f 4 3 1 中的方法快得多 3 2一类具有不同参数激励系统间的同步 我们考虑如下的混沌系统t i = f ( t ，z ，p ) ，( 3 1 ) 其中z = ( x l ，现，。) t r “为状态变量，f ( t 、z ，p ) = ( f l ( t ，。，p ) ，r 。( t ，z ，p ) ) 1 且 m 鼠( p ) = q ( t ，z ) + p i 3 f i j ( t ，z ) i = 1 川2，n( 3 2 ) ，= 1 这里， c ；( t ，z ) 和a j ( t ) 为某一非线性连续涵数，p 一( 黝) n ”t uc 彤。为 系统未知参数，u 为一有界集对f ( t ，。，p ) 我们给出以下假设：对y p u 和1 一 ( z 1 ，x 2 ，x n ) t ，z o = ( x o ，x o ，z ：) 7 r “，存在一个常数f 0 ，使得 r ，。，p ) 一只( t ，z o ，p ) ls2 “? x i z j z ? l z = 1 ，2 ，、n ( 3 3 ) 即f z ，p ) 的每一个分量r ( t ，$ ，p ) 满足一致l i p s c h i t z 条件，f 称为一致l i p s c h i t z 常 数注意到当o f t o x j ( i ，j = 1 ，2 ，n ) 有界时，条件( 3 3 ) 即可满足 我们称( 3 1 ) 为驱动系统，相应的受控响应系统为 口= f ( t ，y ，q ) + u ( ，z ，y ) ， ( 3 4 ) 其中y = ( 口l ，y 2 ，一，骱) 7 为响应系统的状态变量，结构形式与z 一致，相应参数是不同 的：q = ( ) 。i = 1 ，2 ，n ，j = 1 ，2 ，一，m 。受控响应系统( 3 4 ) 与驱动系统( 3 1 ) 闯的误差动力学系统为： 6 = f ( t ，y ，q ) 一f ( t z ，p ) + u ( t ，z ，9 ) ， ( 35 ) 1 6 其中e = ( e l ，e 2 ，) t ，q ( t ) = 瓣( t ) 一。( t ) 为系统( 3 4 ) 与( 3 1 ) 之闻误差系统的同步 误差 定理3 。1 如果反馈控捌嚣取为t “0 ，z ，口) = e ( p 一。) =