（工程力学专业论文）粘弹性柱体问题的对偶体系研究.pdf

粘弹性柱体问题的对偶体系研究 摘要 本论文以工程中结构模型的应力松弛现象和蠕变现象为研究背景，对粘弹 性力学柱体问题进行研究。研究工作得到了国家自然科学基金( 1 9 9 7 2 0 1 4 ) 的 资助。论文通过研究，建立了粘弹性柱体问题的哈密顿基本理论体系，即对偶 体系。在辛体系下建立了一种辛本征解直接方法，将粘弹性力学求解方法和思 路上升到一个新的平台。 论文采用理论与计算相结合的研究方法，通过拉普拉斯变换将粘弹性力学 问题归结为相空间的基本问题，进一步在相空间中引入辛体系。在辛系统中， 问题被化为系列本征解问题。借助于现代辛数学等工具，如辛正交关系和展开 原理等对问题进行求解。采用解析、半解析方法等来解决粘弹性柱体问题。在 实行上述研究目的和方法时，首先讨论粘弹性力学的本构关系，提出一种微分 形式的三维基本本构方程( k e l v i n 型，m a x w e l l 型和三体型) 。引入对偶变量， 进一步建立使问题化为在以混合变量组成的全状态辛空问中的控制正则方程和 初边条件。研究了问题在时域和相空间中的变换关系和求解方法。将问题归结 为零本征值本征解和非零本征值本征解问题。利用对应原理，经过反变换得到 粘弹性力学解答。从而形成一套求解粘弹性力学的方法。 在得到粘弹性柱体问题的零本征值和非零本征值解析解的基础上，作为特 例讨论了粘弹性柱体单向拉伸问题的k e l v i n 模型的蠕变现象以及m a x w e l l 模型 的应力松弛现象。数值算例表明，所得到的应变及应力变化曲线较好的吻合了 粘弹性材料的性质，验证了模型的合理性以及解答的正确性。同时也说明了该 方法的有效性。 本文仅就粘弹性柱体问题的对偶体系进行了研究，而对整个粘弹性力学问 题的哈密顿体系方法只是一个开始。无疑为其它问题求解提供了一条途径。 关键词：粘弹 生：柱体；哈密顿体系 粘弹性柱体问题的对偶体系研究 a b s t r a c t t h er e s e a r c hb a c k g r o u n di sb a s e do nc r e e pa n ds t r e s sr e l a x a t i o np h e n o m e n o ni n e n g i n e e r i n gs t r u c t u r e st h ep r o b l e mi sf o c u s e do n v i s c o e l a s t i cc y l i n d e r si nt h i sp a p e r t h ew o r ki s s u p p o r t e db y t h en a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc ，h i n a n 9 9 7 2 0 1 4 ) a h a m i l t o n i a ns y s t e m ，t h ed u a l i t ys y s t e m ，o f t h ev i s c o e l a s t i ct h e o r yi s e s t a b l i s h e di n c y l i n d e r s v i at h e i n v e s t i g a t i o n i nt h es y s t e m a t i cs y s t e m ，ad i r e c t m e t h o ds o l u t i o nf o rs y m p l e c t i ce i g e n v a l u ep r o b l e m si sp u tf o r w a r dt h es y m p l e c t i c m e t h o du p d a t e dt h es o l v i n gs y s t e mo ft h ev i s c o e l a s t i c i t vt oan e w p l a t f o r m ， b ym e a n so f t h et h e o r ya n dt h ec o m p u t a t i o n a lm e t h o d sa n dv i at h el a p l a c i a n t r a n s f o r m t h ev i s c o e l a s t i cp r o b l e mc a nb ec o m ed o w nt of u n d a m e n t a lp r o b l e m s u n d e rt h ep h a s es p a c e t h e nh a m i l t o n i a ns y s t e mi si n t r o d u c e di n t ot h es p a c et h e p r o b l e m sa r ec h a n g e di n t o as e r i e so fs y m p l e c t i ce i g e n v a l u ep r o b l e m su n d e rt h e d u a l i t ys y s t e m i tc a nb es o l v e db yt h em o d e r nc a n o n i c a lm a t h e m a t i ct o o l s ，f o r e x a m p l e ，a d j o i n ts y m p l e c t i co r t h o n o r m a l i t ya n dt h ee x p a n s i o nt h e o r e me t c t h e p r o b l e mo fv i s c o e l a s t i cc y l i n d e r sc a r lb es o l v e db yu s i n gt h ea n a l y t i c a la n ds e m i a n a l y t i c a lm e t h o df o rt h i sa i m t h ef i r s ts t e pi st od i s c u s sc o n s t i t u t i v er e l a t i o n so f v i s c o e l a s t i c i t y a n dt h e n b r i n g f o r w a r dad i f i e r e n t i a lf o r mf o rt h r e cd i m e n s i o n s v i s c o e l a s t i cc o n s t i t u t i v er e l a t i o n s ( k e l v i nm o d e l m a x w e l lm o d e la n dt h r e e 1 e v e l s t r u c t u r em o d e l ) b yi n t r o d u c i n gd u a lv a r i a b l e s ，t h ed u a lg o v e r n i n ge q u a t i o n sa n d b o u n d a r yc o n d i t i o n s ，w h i c ha r ec o m p o s e db ym i x e dv a r i a b l e su n d e rw h o l es t a t e s p a c e a r e o b t a i n e dt h e n 、t h e s o l v i n g m e t h o di ss t u d i e db e s i d e st h et r a n s f o r m r e l a t i o n s h i p o ft h e p r o b l e mb e t w e e nt h e t i m e s p a c e a n dt h e p h a s es p a c e t h e f u n d a m e n t a ip r o b l e m sa r eb o i l e dt oz e r oe i g e n v a l u es o l u t i o n sa n da l lt h e i rj o r d a n n o r m a lf o r ma n dn o n z e r o e i g e n v a l u es o l u t i o n s u s i n g e l a s t i c v i s c o e l a s t i c c o 兀e s p o n d e n c e ，t h ev i s c o e l a s t i cs o l u t i o n sa r eo b t a i n e db yi n v e r s i o no fl a p l a c i a n t r a n s f o r i l l t b u san e w s y s t e m a t i cs o l v i n gm e t h o d f o rv i s c o e l a s t i c i t yi se s t a b l i s h e d b a s e do nt h ez e r oe i g e n v a l u es o l u t i o n sa n dn o n z e r oe i g e n v a l u es o l u t i o n so ft h e p r o b l e mo fv i s c o e l a s t i cc y l i n d e r s ，a sp a r t i c u l a re x a m p l e ，k e l v i nm o d e l sc r e e pa n d m a x w e l lm o d e l ss t r e s st e l a x a t i o na r es t u d i e df o rt h e s i m p l e e x t e n s i o nt h e n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h em o d e li sr e a s o n a b l e w h i c hi si na g r e e m e n tw i t h v i s c o e l a s t i cc h a r a c t e r i s t i c s a n dt h em e t h o di se m c i e n t t h es y m p l e c t i cs y s t e mo ft h ev i s c o e l a s t i cc y l i n d e r si sd i s c u s s e di nt h i sp a p e r o n l y f o rw h o l ev i s c o e l a s t i cp r o b l e m s ，t h eh a m i l t o n i a ns y s t e ms h o u l db er e s e a r c h e d f i t r t h e rh o w e v e rt h em e t h o dp r o v i d e san e w w a vf o ro t h e rv i s c o e l a s t i cp r o b l e m s k e y w o r d s ：v is c o e i a s t i c i t y ：c y i in d e r ：h a m ii t o n i a ns y s t e m ，2 粘弹性柱体问题的对偶体系研究 1 前言 1 1 课题的理论意义和应用价值 现代新材料、新结构的应用，使得历来在经典材料力学、流体力学中所不 考虑的物质性质，尤其是材料的粘弹性性质受到越来越大的重视，而且已经得 到一些数学公式并被用于实际问题。随着生产的发展，工程实践的广度和深度 都不断加强，我们常常会遇到处理结构材料在极端条件( 高温、高压、高速) 下工作的力学问题，例如某些结构和装置发生的严重脆断、倒塌事故的分析等 等。但是这些事故不是发生在加载瞬时，而是在经历了一段时间后突然发生的 ( 与材料的蠕变特性有关) ，我们称之为“延迟断裂”。正因为其“延迟性”和 “突发性”的特点，犹如疲劳破坏一样，使人们很难预防。蠕变和松弛现象有 时也使某些结构和装置不能正常工作。因此研究材料的“时间效应”，尤其是高 温蠕变特性、粘弹性断裂理论便成为航空、宇航工程、造船工业和其他一些工 程中所十分关注的问题。 一切固体都会或多或少地流变。在一定的条件下，沥青、饴糖、玻璃、冰 川、岩石和地壳均发生流动与变形。在有关的条件中，最重要的是时间与温度。 在常温、小变形情况下，多数金属为线弹性体，但即使在这种情况下，乐器的 金属簧片的振动甚至在真空中也会很快衰减，说明材料并非完全h o o k e 体，材 料内部存在粘滞阻力。真实材料或多或少地存在“蠕变”、“松弛”、“迟滞”等 现象。任何固体都具有一定的流动性，例如大地在缓慢地流动、比萨斜塔斜度 在逐渐增加，古老教堂的大窗玻璃变得上薄而下厚，等等。反之，流体也都具 有一定的粘滞性( 不流动性) ，如石油在管道中的流动，血液在血管内的流动等 都受到一定的粘滞阻力。虽然多数金属材料在常温和小应变时表现为弹性，但 在振动问题中，或高温条件下的构件，往往需要考虑其粘弹性行为。在研究受 高速冲击的金属构件时，则需建立其它的力学模型，如粘塑性和粘弹塑性模型 或高温高压下固体的流体动力模型。这说明受载与使用条件对于材料性能有重 要的影响。因此材料流变持性或粘弹性特性的研究具有普遍的意义。 粘弹性力学是在应用力学和材料科学之间新近发展起来的边缘学科，也是 流变学的重要组成部分。近年来，在聚合物一复合材料科学、岩土地质力学、 生物力学和建筑材料科学中，粘弹性力学得到了越来越多的应用。第二次世界 大战后，尤其是六十年代以来，聚合物材料己成为重要的工程材料，目前其体 积产量已超过了钢铁。聚合物材料的广泛应用促进了有关力学性态和结构分析 方法的研究。生物材料往往有明显的粘弹性。著名生物力学专家冯元桢指出， 几乎所有的生物固体都是粘弹性的，只不过有的弹性较强，有的粘性较强，在 程度上有所差别。因此，生物医学工程方面的许多专著和论文集都有关于生 粘弹性柱体问题的对偶体系研究 物体的粘弹性能论述。岩土力学、地质力学、地震预报、生物力学等的蓬勃发 展也给予粘弹性理论以极大的刺激和推动。应用粘弹性理论，研究这类材料及 其在结构中的力学行为，有着重要的理论意义和实用价值。 1 2 国内外研究概况及发展趋势 粘弹性理论大多是近期发展起来的，但基本的线性理论和等温场的理论推导 早就存在相当长的一段时间了，早期的贡献者有：m a x w e l l ，k e l v i n 和v o i g t 。 b o l t z m a n n 在1 8 7 4 年首先提供了各向同性粘弹性三维理论的论述，v o t e r r a 则 在1 9 0 9 年得到了各向异性固体的可类比的形式【2 】。 材料的粘弹性分线性和非线性两大类。若材料性能表现为线弹性和理想粘性 特性的组合，则称为线性粘弹性。如果以h o o k e 体( 线弹性) 和牛顿流体( 理想 粘性) 为两端来构成材料谱系，则介于这两者之间的均属线性粘弹性 2 。本文所 作的工作是基于线性粘弹性假设的。 在粘弹性力学的研究中，起先多采用较为简单的m a x w e l l 模型、k e l v i n 模 型和三体模型等为基本粘弹性模型。而这些简单的模型并不能充分反映粘弹性材 料的特性，之后学者们又提出了各种本构模型，如k e l v i n 链和广义m a x w e l l 模 型”l 。某些简单问题可以运用对应原理根据相应的弹性力学解求得其粘弹性力学 问题的解析解。复杂的问题得不到解析解，只能求其数值反演。求解方法上则是 采用位移法或力法讨论运动方程、本构方程和边界条件。这种方法多在单变量情 况下进行。从数学体系的角度来看，一类变量的求解属拉格朗日体系的方法，因 此必然导致高阶偏微分方程，以至于分离变量法等有效的方法未能对此实施，结 果是长期以来半逆法求解这个环节未能突破。由于粘弹性问题本构关系的复杂 性，单变量情况下对问题的求解有一定的局限性，使得用这种方法一般难以求得 封闭解。因此，需要一种新的理论方法加以解决。目前大量的研究工作放在粘弹 性问题的数值计算上，行之有效的数值求解方法一直为人们所密切关注h 卜【5 】。 在数值方法上学者们已经注意到半解析计算格式和混合元等技术，努力提高计算 精度和计算效率。数值计算己经在此方面起了很大的作用。然而，在处理复杂的 混合边界问题时单变量方法是很困难的，并且数值计算中满足了辛结构才能保证 守恒性，进一步能提高精度和效率。 弹性力学是力学专业继理论力学、材料力学之后的第一门专业基础，对于学 粘弹性柱体问题的对偶体系研究 者和科学工作者的专业基础与思维，以及独立工作能力意义很大。弹性力学也是 近代工程技术发展的最重要的力学基础之一。因而对弹性力学的进一步研究受到 众多力学工作者的重视，在历史上有一大批著名数学力学家在该领域工作，其成 果电永垂力学发展史册。 弹性力学发展史一般被划分为四个时期。其初期( 1 6 6 0 1 8 2 0 ) 的特征是结 合工程以实验探索为主，如虎克定律，还有材料力学等。1 8 2 1 年1 8 5 5 年是 弹性力学基本理论与方程体系建立时期，包括各向异性的弹性性质等。至此， 弹性力学己成为在指定边界条件下求解其偏微分方程组的数学问题。弹性力学 的第三时期是大发展时期，以s a i n t v e n a n t 的半逆法与局部性原理为其发轫， 找到丁大量的现有的解。并且出现了大批实用理论与方法，如r a y l e i g h r i t z ， g a l e r k i n 等，广泛用于工程中各方面这个时期以t i m o s h e n k o 的系列著作为 其总结性的成果。 弹性力学的第四个时期是以非线性及向有限元发展为其标志的。其代表性 的推进如v o nk a r m a n ，钱学森的薄壳非线性稳定性，钱伟长的薄壳理论h r 及胡海昌一鹫津变分原理等等。平面问题复变函数法及各向异性弹性力学也是 其有特色的发展。塑性力学、土壤力学、断裂力学、振动与稳定理论等都是在 弹性力学基础上发展出来的重大力学分支。尤其是在计算机出现后，以弹性力 学为基础而催生出的有限元，更是以席卷之势渗透到了各个学科。 弹性力学既有如此重大而广泛的推动，但其核心部分，经典弹性力学的发 展却似乎到了举步维艰的境地。哈密顿体系在弹性力学中的应用的研究打破了 这个局面，将弹性力学的求解提高到新的平台，重新焕发了其青春。 弹性力学基本方程很明确，问题在于其求解。在各类数学物理偏微分方程 巾，弹性力学是其最复杂的问题之一。以t i m o s h e n k o 的弹性力学来看，其求 解以半逆法为主。半逆法即某种凑合法，它依赖于具体问题而缺乏一般性。打 破这类传统求解体系，使弹性力学求解体系代换，其意义并不限于弹性力学本 身，对于工程力学体系以至于数学物理方法及它对其它学科的辐射都是很有意 义的。 在应用力学体系中还有控制论这一大支柱。虽然，自动控制早己成为独立 的一级大学科了。控制论当然也受到了计算技术的冲击，其涵义从某种方面来 说也许更为深刻，即出现了现代控制论。现代控制论并不只是在原有理论体系 上加以延伸而已，而是使控制论的基本理论体系也发生了根本性的更迭。即其 粘弹性柱体问题的对偶体系研究 基本理论体系发生了换代，上升到了新的平台。应用力学也可由此汲取到有用 的经验。 控制论既已按自身的规律，发生了体系换代，在理论体系上似乎离应用力 学更遥远了，然而情况并非如此。现已证明，现代控制论的数学问题与结构力 学一类问题是对应地互相模拟的。这意味着力学可以从控制论方面借鉴到 其成功的经验。 从数学角度看，模拟关系是建筑在哈密顿体系理论基础上的。既然现代控 制论以哈密顿体系、状态空间法为基础，已发展出整套新理论体系，则应用力 学也理应有哈密顿体系理论应用的前景。 弹性力学求解的基本体系历来的解析求解方法都是在一类变量的范围之 内进行的，或者是应力函数( 力法) ，或者是位移法；只有扁壳理论用了混合 法。从数学体系的角度来看，一类变量的求解属拉格朗日体系的方法，因此必 然导致高阶偏微分方程，以至于分离变量法等有效的方法未能对此实施，结果 使长期以来半逆法求解这个环节未能突破。 由于一般问题的偏微分方程组多且复杂，传统的分离变量法无法运用，人 们不得不想尽各种方法。在t i m o s h e n k o 的著作中求解著名的s a i n t v e n a n t 问题 的解形成了半逆法，不得不对变形作出适当的假定然后求解并验证该假定是恰 当的。由此成为弹性理论的经典解答。这种方法在弹性力学中一直采用至今， 半逆解法是一种凑合法，如弹性柱体两端的边界条件只好静力等价地满足称为 s a i n t v e n a n t 原理。它只能找到某些解，却无法说明是否还有并如何找到其他解， 并且不能求解有端部局部效应的问题，因而只能归结为s a i n t v e n a n t 原理的范 围。在引入了哈密顿体系后，此类问题得到了很好的解决【6 h ”。 事实e ，弹性力学方程也可以导向哈密顿体系的。在借鉴了现代控制论的 数学问题与结构力学一类问题模拟关系，钟万勰等在这个领域作了大量工作 1 8 h 9 1 。将哈密顿体系引入到弹性力学中，采用了本征解展开方法，问题化为哈 密顿算子矩阵求解问题。将原变量及其对偶变量组成的状态空间引入弹性力 学，弹性柱体的s a i n t v e n a n t 问题就导出了新的一套基本方程，而在这套方程 中分离变量法就可顺利地实施了。过去自s a i n t v e n a n t 以来一大套半逆法的凑 合解，现在在新的体系中大多可以用直接法求解出来；而过去因端部条件方面 的困难，故只能用s a i n t v e n a n t 原理粗略地覆盖的部分，现在也可以通过直接 方法解出来。这套求解体系着重通过理性的推导，有上一步必定有下一步这样 逐步地进展下去，可以使读者便于理解，可以免除凑合法的因惑。钟万勰和徐 粘弹性柱体问题的对偶体系研究 新生等将哈密顿体系应用到弹性曲梁问题f 1 。徐新生等又得到了弹性回转体问 题很好的解析解1 1 “。s t e e l e 和k i ml 乜建立了混合变分原理方法，讨论了弹 性动力问题，在静力问题与哈密顿体系相关【1 ”。钟万勰讨论了哈密顿体系下的 辛共轭正交和归一及展开定理i 】”，为讨论此类问题提供了有力的工具。 这些工作的研究成果对粘弹性力学问题是一个启示。辛系统引入到粘弹性力 学，采用展开等手段，不仅能在理论方面给出一个崭新的求解问题的思路，而且 可在数值计算方面利用辛守恒性和辛结构特征建立一套有效的计算方法。这种方 法以全状态向量( 混合向量) 为标志更能符合与适应计算机的发展趋势。 1 3 本文主要工作 奉论文的创新之处在于以原变量及其对偶变量( 混合变量) 为问题的基本 变量，代替传统的单一变量方法；将辛系统引入到粘弹性力学中，在辛几何空 问中研究正则问题，开阔粘弹性力学问题的求解思路。使求解体系上从传统的 欧几里德几何形态进入到辛几何的形态。使粘弹性力学问题解题方法和思路出 现一个新的面貌。 主要工作如下： 1 ) 推导了粘弹性柱体k e l v i n 模型、m a x w e l l 模型以及三体固体模型的三维 本构关系。讨沦粘弹性力学基本控制方程、本构方程和初边条件在时域、 频域和相空间中的变换形式，然后引入对偶变量使问题化为在以混合变 量组成的全状态辛空间中得到解决。 2 ) 证明了相空间下的辛几何正交关系。 3 ) 利用对应原理，经过反变换得到粘弹性力学解答。从而形成一套求解粘 弹性力学的方法。 4 ) 在得到粘弹性柱体问题的零本征值和非零本征值解析解的基础上，讨论 了粘弹性柱体单向拉伸问题的k e l v i n 模型的蠕变现象以及m a x w e l l 模 型的应力松弛现象。数值算例表明，所得到的应变及应力变化曲线较好 的吻合了粘弹性材料的性质，验证了模型的合理性以及解答的正确性。 本文仅就粘弹性柱体问题的对偶体系进行了研究，而对整个粘弹性力学问 题的哈密顿体系方法只是个开始。但这无疑为其它闯题求解提供了一条途径。 粘弹性柱体问题的对偶体系研究 2 粘弹性力学理论 2 1 粘弹性力学基本概念 粘弹性力学是研究粘弹性物体由于受外力作用或由于温度改变等原因而发 生应力、形变和位移的科学。粘弹性表现为介于弹性固体和粘性液体之间的所 有性质，具体来说就是材料性质对时间和温度有强烈的依赖性。粘弹性体的形 变不仅和当时作用的外力大小有关，而且和温度的改变、力的作用时间以及加 载历史都有关系。因此粘弹性可以定义为某些材料在一定温度范围内和一定加 载条件下呈现的兼具粘性和弹性效应的特性。粘弹性力学就是要在充分反映材 料的粘弹性特性的前提下，建立各应力和形变分量的本构关系，从而解决粘弹 性物体的应力祁形变分析问题。应引起注意的是，塑性理论和粘弹性理论的根 本区别在于，塑性理论与加载和卸载过程中所经历的时间长短无关，而粘弹性 理论则有特定的时间和速率的依赖关系。 粘弹性材料随时问而变化的变形过程，表现出下列四个主要特点： 1 ) 蠕变：在持续不变的加载下变形会逐渐增加； 2 ) 应力松弛：在持续不变的应变下应力会逐渐减弱； 3 ) 迟滞：材料的应变响应滞后于应力，致使一个加载过程中的应力应变曲 线形成迟滞回线，迟滞回线下的面积代表一个加载过程的能量损失； 4 ) 应变率敏感：反映材料力学性质的一些物理量，如杨式模量、剪切模量、 泊松比等，一般与应变速率( 或时间) 有关。 粘弹性材料可以想象成一个“谱”，在这个“谱”的最右端是经典粘性流体， 而在最左端是弹性固体。许多实际材料则展示出介于粘性和弹性两种极端情况 之间的力学性质，这种粘弹性性质可以由粘性性质和弹性性质按某种相对比例 组合出来。任何一种具体材料到底处于粘弹性材料“谱”的何种位置除依赖于 材料本身条件外还依赖于工作条件，如温度、加载速率等。例如，钢材在一般 条件下是固体，但在高速撞击下与流体无异。s i l l yp u t t y ( 一种类似于橡皮泥的 材料) 在通常情况下可塑性很大，但在快速落地时可以象皮球一样弹回。 粘弹性一词来源于模型理论，即这种性质可以用弹性元件和粘性元件串联 或并联所组成而成的某种模型加以表示，如m a x w e l l 模型，k e l v i n 模型，标准 线性体模型等。下面简述一下相关的模型理论。 粘弹性柱体问题的对偶体系研究 2 2 粘弹性力学一维本构模型 粘弹性模型由基本元件组成：弹性元件和粘性元件。在单轴应力下将由这 些基本元件的不同组合体来描述粘弹性材料的基本性质。 弹性元件的本构关系为： = e e( 11 ) 其中e 为杨氏模量。也即弹性元件是符合h o o k e 定律的。 粘性元件的本构关系为： 盯= 彤( 12 ) 其中f 为粘性系数，此处占表示对时间的微分，即应变率。 由一l - 述基本元件可组合成m a x w e l l 流体模型与k e l v i n 固体模型以及标准线 性固体模型。m a x w e l l 流体模型其组成是弹性元件与粘性元件串联，示意图如 图1 1 ： 卅h 图1 1 ( f i g u r e1 1 )图1 2 ( f i g u r e1 _ 2 ) 其微分本构方程为： 盯+ p 1 盯= q 1 占 ( 1 3 ) 式中，p ，= f e ，q 、= f 。这个方程描述的材料常称作m a x w e l l 流体。在一定应 力作用下，材料可以逐渐的且无限地产生变形，这是流体的特征，例如沥青、 生橡胶、蛋清、唾液等均可作m a x w e l l 流体处理。m a x w e l l 模型可以描述粘弹 性体的应力松弛现象。 k e l v i n 固体模型其组成是弹性元件与阻尼元件并联，示意图如图l2 ，其微 分本构方程为： o 2 q n + q i s ( 1 4 ) 式中，q 。= e ，q 。= f 。k e l v i n 固体模型可以描述粘弹性体的蠕变现象。属于 k e l v i n 固体的材料有：硫化橡胶、塑料绳、牛骨头等。 一l l - 粘弹性柱体问题的对偶体系研究 m a x w e l l 模型能体现松弛现象，但不能表示蠕变，只有稳态的流动；k e l v i n 模型可体现蠕变过程，却不能表示应力松弛。同时，它们反映的松弛或蠕变过 程都只是时间的一个指数函数，而大多数聚合物等材料的流变过程均较为缓慢。 因此，为了更好地描述实际材料的粘弹性质，常用更多的基本元件组合成其他 模型。 标准线性固体模型是由一个k e l v i n 模型和一个弹性元件串联组成的。示意 图如图1 3 ： 图1 3 ( f i g u r e1 3 ) 对于此模型中的弹性元件和k e l v i n 固体模型，分别有： 盯= e 1 占， 盯= e 2 占2 + 如营2 总的应变为： ( 15 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) 为得到标准线性固体的本构关系，对( 1 5 ) 、( 1 6 ) 、( 17 ) 式进行l a p l a c e 变换， 得： 万= e l 云 万= ( e 24 - e s ) 6 一z 占2 毛4 - 占2 ( 18 ) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) 上列式中，牙表示对x 的l a p l a c e 变换，即：牙( s ) = o x ( t ) e - s d t 。将( 1 8 ) 、 ( 1 9 ) 代入( 11 0 ) ，可得： ( e + e 。) + 妒：】孑= e l ( e ：+ 啦) 石 ( 1 1 1 ) 逆变换后可得标准线性固体本构方程的标准形式： 粘弹性柱体问题的对偶体系研究 o - 4 - 且o - = q o 占+ 吼占 黼阡丧， 巨 吼2 赢。 ( 1 1 2 ) 有两条途径可以系统地构造更普遍的线粘弹性模型：k e l v i n 链和广义 m a x w e l l 模型。k e l v i n 链是由任意数目的不同k e l v i n 单元互相串联组成，有时 还包括退化单元弹簧元件s 和粘性元件d ，退化单元弹簧元件s 产生冲击响应。 广义m a x w e l l 模型则是由m a x w e l l 模型单元并联而成，在此情况下，无退化单 元d 可保证有冲击( 瞬态、弹性) 响应，无退化单元s 则使模型具有流体特性。 模型示意图分别见图1 4 和图1 ，5 ： 馏辔一 s 图1 4 ( f i g u r e 14 ) 图1 5 ( f i g u r e1 5 ) d 可以证明任一种粘弹性材料，无论是以k e l v i n 链作为其代表模型，还是以广义 m a x w e l l 模型作为其代表模型，所得到的本构方程是相同的。具有如下形式： 盯十p 1 6 - + p 2 方+ = q o c + g l 营+ 9 2 苦+ ( 11 3 ) 以上简述了几种粘弹性模型的微分形式，通过遗传积分的方法，还可以建 立与微分本构关系完全等价的积分本构关系。本文所作的工作基本建立在微分 本构关系上，故关于积分型本构关系的描述从略。 妻 奎豆耋 粘弹性柱体问题的对偶体系研究 2 3 粘弹性力学三维本构关系 前一节描述了粘弹性一维本构模型。在本节中，将把它推广到三维情形， 进而阐述线性粘弹性力学问题的传统求解方法。 f 蔓蔓蔓 = f 吾昙兰 + f 盯三三盯盯乏三盯盯三三l c - 4 ， il il i = i i l + t ! 三8 占；i e 占兰。 c ，s ， 其中，口= 吉( 巧。+ 仃，怛户 = 即e = 去( e 。+ 垓) = 知2 ；s ， c r ，和岛分别为应力和应变张量的第一不变量。 对于各向同性弹性介质，应力球张量与应变球张量成正比，应力偏量与应 o - 00 f g 0 0 l o o 盯jl o o p j 盯。一盯 盯。盯。k 屯 l 盯， 盯。一盯 盯，i = 2 g l 嘞一8 l 1 1 7 ) l 仃。 口，仃。一万jl s 。 s ，s n e j 用s u 表示应力偏量，s f = 一 盯* 磊，用勺表示应变偏量，勺2 勺一言毛。 j 盯= 3 胎( 11 8 ) i s 口= 2 g e g 式中，k 为体积模量，g 为剪切弹性模量。( 1 1 8 ) 式也可写成为： 粘弹性柱体问题的对偶体系研究 ( 7 - q = 九6d s + 2 “u ( 11 9 ) 其中 和为l a m e 系数，4 ，为k r o n e c k e r 符号。 对于粘弹性材料，在各向同性的前提下，基于物理上的考虑及实验事实的 支持，仍然认为：应变球张量( 反应体积变化) 只与应力球张量( 静水应力状 态) 有关，而应变偏量( 剪切变形) 只与应力偏量( 剪应力有关) 。当然，它们 之间的关系己不再是像弹性情况下那样的简单比例关系，而是类似于p 盯= q 6 那样的本构关系。即： p s 。= q 。( 1 _ 2 0 ) i p ”盯= q ”e 式中，p + 、q 。、p “、q “各为如下的微分算子： 一般说来，p 。、q 、p “、q “四者的系数和阶数都是彼此不同的。方程( 1 2 0 ) 完全表征了三维情况下粘弹性材料的本构关系。 2 4 对应原理 粘弹性问题的解法，原则上与弹性力学相同，都是在给定的边界条件下， 求解其基本方程组。 没“，、白、o 0 分别为位移分量、应变分量和应力分量，粘弹性问题的基本 方程组有三类：几何方程，平衡方程或运动方程，材料的本构方程。 1 几何方程 扩一扩一矿扩一扩矿一扩 耽 吼 。以 j 吼 。等第警 = = = = p g 粘弹性柱体问题的对偶体系研究 位移与应变分量间的关系 白= 扣。棚。) ( 1 2 2 ) 连续性方程，在所讨论的范围内，物体在变形后仍然保持其整体性和连续 性即变形的协调性，这就要求应变分量满足一定的变形协调条件： s h ? + s m j u 一m j l s l ? * = 0 ( 、2 3 由于应变协调方程可以从应变位移方程推导出来，所以他们并非独立的方程。 2 平衡方程 o - 口，j + f = p i ( 12 4 ) 其中，f 为体力分量，p 为材料密度，峨= 丢争。静态或准静态时右端项为零。 3 本构关系 在弹性力学中，各向同性材料的本构方程是广义虎克定律：在线性粘弹性 材料中，其本构方程即式( 1 2 0 ) 。总括起来，当物体处于粘弹性状态时，有6 个几何方程，3 个平衡方程，6 个本构方程，共1 5 个方程。其中包括6 个应力 分量、6 个应变分量、3 个位移分量，共1 5 个未知数。因而在给定边界条件时， 问题是可解的。 4 边界条件 上述粘弹性问题的解必须满足边界上给定的应力边界条件和位移边界条 件，示意图如下： 在应力边界曰。及位移边界占。上，分别有如下的边界条件 粘弹性柱体问题的对偶体系研究 j o - u j = s ，( t ) h ( t ) = ，( t ) ( 12 5 ) 其中一为b 。上外法线的方向余弦，s ，及，( f ) 为b 。及器。上的己知面力及位移分 量。 5 初始条件 假定， 0 时物体处于自然状态，未受扰动，即： 甜，( t ) = 岛( t ) = o - d o ) = 0 一 o 当r e ( 五a j ) = o 时( = 1 ，2 ，3 ) ( 3 2 7 ) i ( 夕) 五p ，五f ，= 一a 。，( j = 1 , 2 ，3 ) 相应的本征函数向量可分别表示为，和，它们中的任意两个本征向量都 存在辛正交归一关系： t 妒3 蛳、1 = 6 i 3 ( h q ) = 一正， ( 3 2 8 ) ( y ：，j ，) = o ( y 勰) = o 根据哈密顿体系的性质，一个任意的全空间向量可由本征函数的线性组合张 开。 粘弹性柱体问题的对偶体系研究 3 3 4 零本征值的解与非零本征值的解 因为梁自由侧面边界条件，必存在零本征解，且可能有各阶次的向量。令 方程( 3 2 4 ) 中的丑= 0 ，先考虑齐次方程。本征方程： h = 0( 3 2 9 ) 的基本解为零解，它表示静态无荷载的情况。再考虑非齐次方程 h w + h = 0 然后考虑齐次方程的非零本征值的解： ( h 一五i ) = 0 ( 兄o ) 具体求解的过程和结果此处从略。至此，辛体系应用于弹性力学求解问题 的脉络已大体勾勒出来。零本征值的解与其相应哈密顿算子矩阵的约当标准型 的所有解以及非零本征解构成了全部的解空间。基于哈密顿体系的简洁性，体 系的更新可在未来的研究工作中带来富有成效的结果，也为其它非线性力学的 求解开拓了新的思路。 ) ) 如 孔 门 粘弹性柱体问题的对偶体系研究 4 粘弹性柱体问题中的辛体系 4 1 基本问题的描述 考虑各向同性粘弹性柱体。选择直角坐标系( x ，y ，= ) ，z 轴与柱体的纵向方 向一致，原点通过柱截面q 的中心。n 为单连通域，边界面m 的外向法线n 具有方向余弦( ，州) 。侧边界面a q 自由，不受力的约束。边界条件可表示为： l 打。4 - r o t = 0 ， ，盯。+ m r w = 0 ， ( 4 1 ) 7 + m c r y = 0 ， 几何方程： 平衡方程( 不计体力) ： ( 4 2 ) ( 43 ) 本构方程，根据三维粘弹性模型的本构方程( 12 0 ) 式，将其写为分量形式： 丝瑟 加一缸 = + 乞 丝秒翌 二 卜 丝砂 鱼砂 = 。 | | 巧 丝如抛一一一西跏一缸 = = = i i 眈i 蔓击啦i 一砂盟砂堡砂 + + + 堡舐笠知监融 粘弹性柱体问题的对偶体系研究 p ( o - ，一o - ) = q ( e x e ) 尸( 盯，一仃) = q ( 占，一p ) 尸。( o - ：一盯) = q ( 占：一p ) r 。= q 哇脚( 4 _ 4 ) 尸1 k ：q ( 昙) p 。：q ( 昙y 。) p ”盯= q ”e 其中： l 1 盯= ( 盯，+ 盯，+ 矿：) ，p = i 1 ( + q + 占：) ，盯= 3 k e = k 臼 ( 4 5 ) 对于真实粘弹性材料，一个较好的近似为：体积变化是弹性的或近似弹性的， 而其流变性质主要表现在剪切变形方面。本文采用这种近似，则( 4 4 ) 式可具 体表示为： p ( 盯，一o - ) = q 。( t p ) 尸。( 盯，一o - ) = q ( q g ) j d ( o - ：一仃) = q ( 占：一e ) n ，= q t ) ( 46 ) 尸。：q ( 1 y y , ) 尸r 。：q ( 三，。) 盯= 3 上述七个表达式的本构方程可简写为六个表达式，如下示 ，仃，= q f i x + ( 3 k p q 扣 p o - 。= q 占。+ ( 3 k p7 一q ) 8 p 盯：= q 。占：十( 3 k p 一q 弘 尸r ，：q 已y ，) 尸。= q ( 二1 ) p 4 f 。= q 。( 妻y 。) ( 47 ) 塑垡塑圭查坠塑璺塑翌堡堡墨旦塞 令尸= l ，q = 2 g + 2 叩：云，可得到k e i v i n 模型的三维本构方程： d ，瑚怕詈脚丘+ ) 2 7 7 2 鲁 铲肌编署瑚。+ 2 r 2 鲁 呼肌编o 西0 + 2 g c + 2 鲁 。， r ，= g y 。+ q 2 鲁 豇 z y ；：g k 等 k = g ，。孥 其中，叩：为粘性系数，刁。为一个关于叩：的表达式，存在如下关系： 2 刁】2 一i 7 7 2( 49 ) 令尸= 1 + 叩】言，q = 2 叩：鲁，矾、叩：为粘性系数。可得到m 黼l l 模型的三维 本构方程： 叫编瑙舢晖矾一知詈均：鲁 盯，怕瑙目懒。一知詈均：鲁 刚强詈瑙州确一知詈均：鲁 v 编鲁鲁 ”叩t 鲁鲁 编鲁确誓 ( 41 0 ) 式退化到一维情况，可得粘性系数矾、叩：的关系如下： 3 0 ( 41 0 ) 一 堂堂堂堡堡塑墅竺型堡堡墨婴窒 n ：垫二型翌! “ n 一3 u ) e 其中，u 为泊松比。 令尸= 1 + 叩，言，q = 2 g + 2 叩：昙，仉、，7 ：为粘性系数。可得到三体固体模型的 三维本构方程： r 掣 p z r 盯 2 0 2 0 + ( k q 一知署脚q + ( i 一詈叩2 ) 等+ 2 g q 肌( x u 。一知粤0 1 + 2 g j 五目+ ( 一刊2 塑o t + 2 切鲁= g 饥誓 怕等= g y y ：+ r 1 2 鲁 怕鲁_ g 叩：盟o t 其中五和g 为弹性常数，k 为体积模量，口为应变张量的第一不变量。( 4 1 1 ) 式退化到一维情况，可得粘性系数玩、r ：的关系如下： 。一2 ( 1 2 u ) q 2，1 一 一 n 一3 u ) e 其中，u 为泊松比。 对以上方程进行l a p l a c e 变换，记：夕= 门= r 夕d t ，则变换后的方程为： f 冗+ 气= 0 ，瓦+ m 弓2 o ( 4 1 2 ) 【啄+ m 五= 0 i 一蕊一 两蕊丽 f 2g - ，s 。瓦。瓦+ 瓦 1 狮折一狮品一蕊 ( 41 3 ) 1 2 面+