（工程力学专业论文）桥梁结构地震反应时程分析.pdf

桥梁结构地震反应时程分析 摘要 地震历来是严重危害人类的一大自然灾害，地震灾害具有突发性和毁灭性， 发生地震时会对桥梁结构产生巨大的破坏。研究桥梁结构在地震中的反应及破坏 模式，提高桥梁的抗震能力是我国公路交通建设中所面临的重大课题。 目前桥梁抗震设计正向两阶段设计方法的方向转变，小地震采用弹性理论、 大地震采用弹塑性理论设计，实现“小震不坏、中震可修、大震不倒”的抗震设 防目标。 本文在前人研究的基础上，系统研究了桥梁结构地震反应时程分析的方法： 先从h a m i l t o n 变分原理出发，导出了动力平衡方程及空间梁的单元质量矩阵、 单元刚度矩阵、单元阻尼矩阵；再分析了桥梁结构的线性地震反应和桥梁结构的 弹塑性地震反应，并建立了基于纤维模型的空间梁单元弹塑性地震反应分析方 法；以m a t l a b 软件为平台，开发了一套适用于计算一般桥梁结构地震反应时程 分析的动力有限元程序；最后以一座两跨预应力混凝土连续箱梁上跨桥为例，运 用自编的桥梁结构地震反应时程分析的动力有限元程序，详细进行桥梁的弹性地 震反应和弹塑性地震反应的时程分析。 关键词：桥梁结构；线性地震反应：弹塑性地震反应；时程分析 s e i s m i cr e s p o n s et i m e - h i s t o r y - - a n a l y s i so fb r i d g es t r u c t u r e a b s t r a c t a so n eo f t h em o s td e v a s t a t i n gn a t u r a ld i s a s t e r ，e a r t h q u a k e a l w a y s ( ：i t l l $ c s t r e m e n d o u sl o $ s e $ t h ed i s a s t e ro f e a r t h q u a k ei s p a r o x y s m a l a n dd e s t r u c t i v e u n d e rg r e a te a r t h q u a k e ，b r i d g e sm a yg ot h r o u g ht r e m e n d o u sb r e a k a g e r e s e a r c h i n g t h er e a c t i v ea n dd e s t r u c t i v ep a t t e r no fb r i d g es t r u c t u r eu n d e re a r t h q u a k e ，i m p r o v i n g t h ea s e i s m a t i ca b i l i t yo f b r i d g ea r ea l li m p o r t a n c et a s ko fc o n s t r u c t i o no f h i g h w a y a n d t r a n s p o r t a t i o ni no u rc o u n t r y a tp r e s e n t , t h ed e s i g no fa s e i s m a t i e b r i d g ei ss w i t c h i n gt ot h em e t h o do f t w o - p h a s ed e s i g n , e l a s t i ct h e o r yi sa d o p t e du n d e rs m a l le a r t h q u a k e ，n o n l i n e a rt h e o r y i sa d o p t e du n d e rb i ge a r t h q u a k e , t or e a l i z et h ed e s i g n t a r g e to f n od e s t r o y i n gu n d e r s m a l le a r t h q u a k e ，a b l e r e s t o r i n gu n d e rm o d e r a t ee a r t h q u a k e ，n oc o l l a p s eu n d e rb i g e a r t h q u a k e b a s e do nt h e p r e v i o u sr e s e a r c ha c h i e v e m e n t s i nt h i sf i e l d , t h em e t h o d so f s e i s m i cr e s p o n s et i m e - h i s t o r y - a n a l y s i so fb r i d g es t r u c t u r ea r es t u d i e d ：f i r s t , d y n a m i c b a l a n c e a b l ee q u a t i o na n de l e m e n tm a s sm a t r i x 、e l e m e n ts t i f n e s sm a t r i x 、e l e m e n td a m p m a t r i xo f s p e c i a l b e a ma r ee d u c e df r o mh a m i l t o n sp r i n c i p l e ：t h el i n e a rs e i s m i c r e s p o n s ea n dn o n l i n e a rs e i s m i cr e s p o n s eo fb r i d g es l a u c t u r ea r ea n a l y z e d a n d t h e a n a l y s i sm e t h o d so f s e i s m i cr e s p o n s ea b o u tm o d e lo f f i b e rb e a m c o l u m ne l e m e n ta r e b u i l t ；ad y n a m i cf i n i t ee l e m e n tp r o g r a mf o rs e i s m i cr e s p o n s ea n a l y s i s o f b r i d g e s t a u e t u r ei s d e v e l o p e do i lt h eb a s i so fp r o g r a mm a t l a b ；i nt h ee n d ，at w os p a n p r e s t r e s s ( ：o n c i c t ec o n s e c u t i v eb o xb r i d g ei sa n a l y z e db yt h ed y n a m i c f i n i t ec l e m e n t p r o g r a mf o rs e i s m i cr e s p o n s et i m e h i s t o r y a n a l y s i so f b r i d g es y s t e m ，a n dt h el i n e a r s e i s m i cr e s p o n s ea n dn o n l i n e a rs e i s m i cr e s p o n s eo ft h eb r i d g ea r ea n a l y z e di nd e t a i l k e y w o r d s ：b r i d g es t r u c t u r e ；l i n e a rs e i s m i cr e s p o n s e ；n o n l i n e a rs e i s m i cr e s p o n s e ； t i m e - h i s t o r y - a n a l y s i s 插图清单 图2 1 空间梁单元5 图2 2 整体坐标系与局部坐标系1 1 图2 3 刚臂变换1 3 图2 4 线性弹簧单元1 5 图z 5 地震动分量坐标变换1 7 图3 1 地震动六分量2 0 图4 1 纤维模型3 3 图4 2 一般空间梁单元的节点力增量和无刚体位移状态下杆端内力增量3 6 图4 3 一般空间梁单元的节点位移增量和无刚体位移状态下杆端位移增量3 6 图6 1 上跨桥布置图4 5 图6 2 原始输入地震波m oog ioq 0 0 10 00 6 0 0 0000 4 6 图6 3 沿顺桥方向输入按多遇地震作用计算的地震波波形4 7 图6 4 沿顺桥方向输入按罕遇地震作用计算的地震波波形4 7 图6 5 混凝土应力应变模型4 7 图6 6 钢筋应力应变模型4 7 图6 7 桥梁结构计算单元的划分4 9 图6 8 桥墩截面5 1 图6 9 桥墩截面纤维单元的划分5 1 图6 1 0 桥面结构沿x 轴向前4 阶振型5 6 图6 1 l 桥面结构沿y 轴向前4 阶振型5 6 图6 ，1 2 桥面结构沿z 轴向前4 阶振型5 7 图6 1 3 桥面结构绕x 轴向前4 阶振型5 7 图6 1 4 桥面结构绕y 轴向前4 阶振型5 8 图6 1 5 桥面结构绕z 轴向前4 阶振型5 8 图6 1 6 按多遇地震作用计算位移反应时程5 9 图6 1 7 按罕遇地震作用计算位移反应时程6 0 图6 1 8 按多遇地震作用计算约束处的反力反应时程6 1 图6 1 9 按罕遇地震作用计算约束处的反力反应时程6 2 图6 2 0 沿顺桥方向输入地震波，按多遇地震作用计算梁内力包络图6 7 图6 2 1 沿顺桥方向输入地震波，按罕遇地震作用计算梁内力包络图7 0 表格清单 表2 i 局部坐标轴在整体坐系中的方向余弦表1 2 表6 1桥梁各部分高度4 8 表6 2 整体坐标系0 x y z 下各节点的坐标4 9 表6 3 线弹性梁单元组成及截面特性5 0 表6 4 弹塑性梁单元组成及初始截面特性5 1 表6 5 桥墩钢筋纤维单元的划分5 2 表6 6 桥墩混凝土纤维单元的划分5 3 表6 7 线性弹簧单元的组成5 4 表6 8 桥梁结构前4 阶固有振动频率和振动周期5 4 表6 9 桥面结构沿x 、y 、z 轴向前4 阶振型5 5 表6 1 0 桥面结构绕x 、y 、z 轴向前4 阶振型5 5 表6 1 1 按多遇地震作用计算3 7 单元3 2 节点处在5 o 5 1 秒时刻杆端内力 o o 6 2 表6 1 2 按多遇地震作用计算3 7 单元3 3 节点处在5 o 5 1 秒时刻杆端内力 o o 6 3 表6 1 3 按罕遇地震作用计算3 7 单元3 2 节点处在5 0 5 1 秒时刻杆端内力 o o oo o o o o ooo 6 3 表6 1 4 按罕遇地震作用计算3 7 单元3 3 节点处在5 o 5 1 秒时刻杆端内力 o o o o o o ooo 6 4 表6 1 5按多遇地震作用计算主梁桥面系各节点最大和最小内力值( n ) 6 5 表6 1 6按多遇地震作用计算主梁桥面系各节点最大和最小内力值( n m ) 6 5 表6 1 7按罕遇地震作用计算主梁桥面系各节点最大和最小内力值( n ) 6 8 表6 1 8按罕遇地震作用计算主梁桥面系各节点最大和最小内力值( n m ) 6 8 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得盒起王些太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 谢意。 论文作者签名：i t h t 签字日期：w 力年2 月j 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盒胆王些太坐有关保留、使用学位论文的规定有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权金 胆王些太堂可以糁学位论文的全部内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩影 或扫描等复制手段保存，汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 芑l b t 签字日期：1 1 年1 1 - 月y 日 学位论文作者毕业后去向 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 电话：f ，6 ，口7 盼7 9 通讯地址：邮编： 彩 致谢 本论文从选题到撰写都是在导师何沛祥副教授的悉心指导下完成的，论 文的字里行间无处不凝聚着老师的心血，在此致以深深的谢意! 在师从何老师攻读硕士学位期间，学生深感老师知识渊博、治学严谨、 为人正直大方，每一次聆听老师的教诲，都能有许多新的感悟。老师在学习 上给予了我诸多指导和关怀，学生难以用言语表达对老师的爱戴和感激之情， 只能在心理再一次表示深深的谢意。 在求学期间，我还得到了胡成副教授在学习等方面的指导和帮助，在此一 并表示衷心的感谢! 同学们的真挚友情将是珍藏在我心理的永远美好记忆，由衷地感谢他们对我 的关心和帮助，他们是严辉钧、汪秀石、任学军、韩新节、郭东海、周亚锋，祝 愿他们前程似锦! 张方胜 2 0 0 7 年1 2 月1 日 第一章绪论 1 1 概述 我国地处环太平洋地震带与欧亚地震带两个世界上最活跃的地震带之间，东 濒环太平洋地震带，西部和西南部是欧亚地震带所经过的地区，是世界上多地震 国家之一“1 。自2 0 世纪以来，我国共发生破坏性地震2 7 0 0 余次，其中8 级以上地 震9 次，6 级以上破坏性地震5 6 0 余次，平均每年5 6 次。我国建国以来造成严重 破坏的7 级以上地震1 8 次( 其中8 级以上3 次) ，受灾面积近3 0 万平方公里，伤亡 人数达4 9 万多人，震毁房屋近9 0 0 万间，直接经济损失数百亿元。 地震灾害具有突发性和毁灭性，地震是一种突发式的强震动，一般从地震开 始到结束仅几秒到几十秒，最多1 分多钟。地震通过地震波释放巨大的能量，因此 发生地震时会对桥梁结构产生巨大的破坏。 桥梁作为重要的社会基础设施，具有投资大、公共性强、维护管理困难的特 点。桥梁不仅是国家经济活动中输送人员、物资的大动脉，又是震灾救援和震灾恢 复中的咽喉。对于作为生命线工程的桥梁在遭遇地震时能保持或基本保持使用功能 极为重要，特别是随着我国交通建设事业的迅速发展，桥梁无论在数量上还是 延伸长度上都在快速增长，高速公路、铁路在国民经济和居民日常生活活动中 发挥着重要的作用，地震中桥梁设施的损坏、倒塌所带来的影响常常超过了桥 梁因改建或维修所需要的巨额财政支出，研究桥梁结构在地震中的反应及破坏模 式，提高桥梁的抗震能力是我国公路交通建设中所面临的重大课题幽。 1 2 桥梁结构的震害 强震发生时，主要发生的桥梁震害现象有上、下部结构的震害、支座的震害、 基础的震害等几类n ”1 。 1 ，上部结构的震害 从历次强烈破坏性地震中人们发现上部结构自身因直接的地震动效应而毁坏 的现象极为少见，但因支承连接件失效或下部结构失效等引起的落梁、主粱的移动、 扭曲、裂缝等现象，在破坏性地震中常有发生，其中落梁现象最为严重。从粱体下 落的形式看，有顺桥向的，也有横桥向的和扭转滑移的。但统计数字表明，顺桥向 的落梁约占全部桥梁落梁总数的8 0 9 0 。梁在顺桥向发生坠落时，梁端撞击桥 墩侧壁，给下部结构带来很大的破坏，从而有可能造成更大的震害。 2 、下部结构的震害 地震动引起的下部结构破坏主要是桥墩的破坏，一般是从接缝处的轻微断裂开 始，继而扩展到四周而造成破坏。震害的迸一步发展，会导致断裂面上下的墩身移 位，最终使断裂面以上的墩身翻落而酿成极大的震害。 3 、支座的震害 桥梁支座是桥梁抗震的薄弱部位，震害极为普遍。由于支座的破坏会引起力的 传递方式变化，从而对结构其他部位的抗震产生影响，进一步加重震害。破坏形式 主要表现为活动支座脱落及支座本身构造上的破坏。 4 、基础的震害 地震引起地基的液化，使地基承载力下降，引起基础下沉。基础下沉进一步引 起桥梁墩台的沉陷，造成桥梁的震害。这种情况多出现在承载力不很高的砂质粘土、 粘土质砂土等地基中。地基的液化使其剪切强度大大降低，会使桥梁基础及桥台沿 液化层水平滑移或转动。 1 3 桥梁结构抗震设计方法的演变“”1 在桥梁抗震计算中，早期结构抗震计算采用的是静力理论。静力法假定整个上 部结构随地面做刚体平移运动，则结构各个质点上的水平地震作用最大值即为该点 质量与地面运动最大加速度的乘积，然后按静力分析方法求出地震效应。因此静 力法属于一种等效静力分析法。静力法将上部结构看作刚体，未考虑上部结构变形 对地震作用的影响，也未考虑地震作用随时间的变化及其与结构动力特性的关系， 这使得静力法的结果具有较大的近似性。它以结构强度作为破坏准则，即以结构的 荷载效应小于结构的抗力效应时认为安全的，一般称为一阶段抗震设计方法。 随后的地震震害资料的分析和对地震作用的深入研究，在本世纪4 0 年代，对地 震作用提出了反应谱理论。结构抗震计算采用动力法一反应谱理论代替静力法计算 最大地震力，虽已反映了地面运动和结构动力的特性，但结构在强震作用下，通常 都进入弹塑性范围，产生较大的塑性变形，从而逐步认识到结构延性对抗震的作用。 反应谱理论计算地震力时引入结构综合影响系数，来考虑塑性变形的影响作为反 映结构延性抗震能力的一个折减系数。由于结构延性不但与结构的力学特性、构造 布置合理程度、杆件的延性性质、杆件的材料特性等等都有关系，但结构综合影响 系数取值的分类过于笼统，不可能确切反映上述影响结构延性的各种因素。因而， 在采用反应谱理论计算地震力时，设计过程仍是静态方法，还是以强度破坏为准则， 仍是一阶段抗震设计方法。 6 0 年代后，随着计算机技术的广泛应用，发展了直接求解结构地震强迫振动方 程的研究，建立时程分析法。时程分析法能更真实地反映结构地震响应随时间变化 的全过程，并可处理强震下结构的弹塑性变形。因此己成为抗震分析的一种重要方 法。但由于时程分析法计算分析量大，因此目前大多数的国家对常用的桥梁结构型 式的中小跨桥梁仍采用反应谱理论计算，但对于重要、复杂、大跨的桥梁抗震计算 都建议或要求采用时程分析法“。由于发展了时程分析方法，使桥梁抗震计算从单 2 一强度保证转入强度、变形( 延性) 的双重保证，为发展二阶段抗震计算方法提供了 分析基础。 由于中、小地震发生的频率高，可能性大，为了不使结构因累积损伤而影响其 使用功能，故要求在常发地震处，结构处于弹性范围内工作，以强度破坏作准则。 而大地震在结构使用寿命期内发生的概率较小，是一种突发的特殊荷载，要结构弹 性地抵抗它，既不经济也不现实，可以允许结构产生塑性变形和有限度的损伤，以 结构的延性( 常用的定义是结构弹塑性最大变形值与结构屈服极限变形之比) 作为破 坏准则。目前桥梁抗震设计正向两阶段设计方法的方向转变，小地震采用弹性理 论、大地震采用弹塑性理论设计，实现“小震不坏、中震可修、大震不倒”的抗震 设防目标。 i 4 本文的工作 本文主要研究了桥梁结构地震反应及其时程分析的方法，详细推导了有关计算 过程。主要从以下几个方面进行了尝试： ( 1 ) 、分析了桥梁结构的线性地震反应。 ( 2 ) 、分析了桥梁结构的弹塑性地震反应 ( 3 ) 、建立了基于纤维模型的空间梁单元弹塑性地震反应分析方法。 ( 4 ) 、以m a t l a b 软件为平台。开发了一套适用于计算一般桥梁结构地震反应 时程分析的动力有限元程序。该程序对桥梁结构可以进行弹性时程分析，也可进行 弹塑性时程分析。 ( 5 ) 、以一座两跨预应力混凝土连续箱梁上跨桥为例，运用自编的桥梁结构地震 反应时程分析的动力有限元程序，详细进行了桥梁结构的弹性地震反应和弹塑性地 震反应的时程分析。 第二章桥梁结构的动力分析与地震波的选取 2 1 概述 本章从动力平衡方程出发，先导出空间梁的单元质量矩阵、单元刚度矩阵、单 元阻尼矩阵，在此基础上再推导出空间梁单元的坐标变换矩阵、刚臂位移变换矩阵 和模拟桥梁支座的线性弹簧单元刚度矩阵。 2 2 动力平衡方程 首先将结构离散成为有限多个单元的集合体，然后采用h a m i l t o n 变分原理，可 导出单元体的动力方程m 踟。 州n ) e 1 - 州l 邪) = ( 2 - ， 式中：【朋r 、【c r 、【t 1 分别为单元的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵， p 。为单 元的节点荷载列阵。 【k l = j i b 】2 【d 】【b 】 ( 2 2 ) = il t - 7 芦 n i d v ( 2 - 3 ) 【c 】= ji f n l r c n i d v ( 2 - 4 ) 时= j 【i r 见) d 矿+ j 【r 劣( 2 - 5 ) 得到单元运动方程后，结构的运动方程通过单元按自由度顺序组集得到，即： 【m 蚓+ 【c 】 k 1 8 ) = ( 2 - 6 ) 式中：【m 】、 【c 】、【k 】分别为结构整体的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵， 占 、 万 、 j 分别为结构整体的节点位移列阵、速度列阵和加速度列阵， p l 为结构整体 il j 的节点荷载列阵。 2 3 空间梁的单元刚度矩阵、单元质量矩阵和单元阻尼矩阵 通常桥梁为细长结构，在地震作用下以低阶振型的影响为主，故桥梁结构的地震 反应一般采用杆系结构梁单元来模拟。，本文主要讨论两节点等截面直线梁单元。 两节点梁单元n ”1 ，每个节点有6 个自由度，对应每个节点取6 个广义位移和 6 个广义力。在系统中取出节点为i 和j 的梁单元，取右手坐标系，j 轴为单元的轴 线方向，而y 轴和z 轴为截面的主惯性轴，如图2 1 所示。 梁单元节点位移： 。= 件h 梁单元节点力： 。= 鼢m y v tw t 9 。e y t8 。t1 l iv iw je 。8 3 ( 2 - 7 ) q 日q 。，m 。m “m z , n jq 。q 日m 口m m r t ( 2 8 ) y 图2 1 空同粱单兀 2 3 1 空间粱的单元刚度矩阵 ( 1 ) 单元的应变矩阵 1 、轴向变形( 坼，”，) 假定梁的轴向变形“( x ) 在单元内线性变化，用线性函数作为形函数。 u ( x ) = a o + q x 将i 、j 节点的坐标和位移代入式( f 1 ) 有 i 口0 2 “， 卜半 故 “( x ) = 【mj 皖) ( a ) 式中： 【n 】= 【锻- 仍】 其中： ( b ) 仍2 了仍2 了 2 、转变形( 岛，岛) 对于圣维南扭转单元，扭转变形沿单元的轴向为线性变化，即 只= 6 0 + 岛x ( c ) 将i 、j 节点的坐标和转角代入式( c ) 后，类似有； 见= 【心】 磊) 式中： m 】= 协仍】 ( d ) 其中； 砚2 字，仍5 手 3 、x y 平面内的弯曲变形“，巳，_ ，巳) 梁单元形心轴线即x 轴上任一点沿y 轴方向的位移为v o ) ，当不考虑剪切变形 的影响时，按照小变形及平截面假定，截面绕形心主轴= 的转角色为： 见= 车 靠 其中：只规定以反时针方向转动为正。 选取梁单元横向位移的分布模式为x 的三次多项式，即： v ( x ) = 岛+ c l x + c 2 x 2 + 岛， ( e ) v f x l 应满足下列4 个位移边界条件： 可解得： 当x = o 时，v = m 当x = l 时，v = k 五d a , = 巴 耋= 乞 c 0 2 1 q = 见， c 2 = 一f 3h 一2 _ ，0 。+ j 3 。v ，一；巴c 2 一f h 一，“+ j z 厂i 屹 白= 吾一+ 古吃一吾_ + 古巴 故梁单元横向位移v ( x ) 用节点位移表示的表达式为： v ( ，) = 【m 1 瓯) 6 式中： 【n ，】= 【伤吼仍纯】 其中： 纠一，( 小z ( 手) 3 一一手 纯= ，( 手) 2 2 ( 手) 3纯= 一 ：+ ； 由v ( x ) 引起的粱内任一点纵向位移m 为： q = 一_ y 车= 叫 积 4 、x - - z 平面内的弯曲变形( ，易，宵，巳) 设梁单元z 轴向位移w ( z ) 为： w ( x ) = 蟊+ 嘎x + 吃，+ 4 ， w ( 工) 应满足下列4 个位移边界条件； 当x = o 时， 当x = l 时， 将边界条件代入式( h ) ，类似得： w ( 石) = 【虬】 瓦) 一巳 一锡 式中： 【，】= 【伤一吼仍一】 其中： 纠一，( 妒z ( 手) 3一等弓 仍= ，( 手) 2 一z ( 手) 3纯= 一手+ 菩 由w ( x ) 引起的梁内任一点纵向位移为： “2 = 一z 半：一_ y ， 出 5 、形函数矩阵 设单元位移为： 厂) = “vw 只 7 ，则由以上各式，有 7 ( h ) = = 一出咖一出 叶 = = w w 料 n a 色1 1 糍； ：l 删 】峨) j f n o j lm 0 0 00 0仍0 000 0 【】= f 麓 = l 。o 等三。0 0 吼孕。0o 墨0 。一0 纯等l c z e ， u 虬1 jl o 0 0羁0 000 0仍0 0 j 仍= 字仍专 纠一，( 小z ( 万 仍2t 仍2 了 鸭2 1 3 【7 j + 2 i 了j 纯= x 一丁2 x 2 + 乒伤= s g ) 2 2 g ) ，吼= 一等+ 等 - 卜墼o x 趔刊一( 2 - 1 2 )l z l z j b ： 阱【荆 ( 2 1 3 ) 吲2 瞄一? 。0 耐02 一? 艺l 孑一? ，：髻一 由 言。o l f , t 驯身 3 知 叫渊 协 将式( 2 - 1 4 ) 、式( 2 - 1 5 ) 代入式( 2 - 2 ) ，得空间梁单元的刚度矩阵： 时2 埘川口1 肌f ( 们7 b 1 出p 【t 卜 ooo o一丝ooooo o o o 等。一孚o o o 孚 孚。一孚。一孚。一孚。 d 孚 o ooo o 一竿o o ， ， o o 一等。孚o oo 孚。孕o o 争 oo o 半。一孚o o o 孚 一孚 ooooo 竽 ooo o o ，f o 一孚o o o 一孚半o o o 一等 o o 一孚。孚o 。孚。孚o ooo 一孚o o o oo 孚 oo o o 一孚。孚。 。 孚。孚o o 争 oo o 孚。一孚o o o 孚 ( 2 - 1 6 ) 式中：= 盯z 2 幽和i z = 驴以为梁单元截面对y 轴和z 轴的主惯性矩 以= 伊2 幽为横截面对z 轴的极惯性矩。 2 3 2 空间梁的单元质量矩阵 由式( 2 3 ) ： = j 【j v 如【】d y p 。 例= 。0 p。a0。0pa 000 i ij l0 0 0 ”j 【掰r = 9 ( 2 - 1 7 ) ( 2 - 1 8 ) ( 2 - 1 9 ) 。字。 丝，o o o 西 1 i j 1j p - _ ij 仃u ” f r ，lj 将式( 2 9 ) 、式( 2 一i s ) f c a 式( 2 1 9 ) ，可得到梁单元的一致质量矩阵【m 】。： h r = p a l ( 2 2 0 ) 式中：正= f f ，2 d , 4 为横截面对j 轴的极惯性矩。 ， 在工程动力分析中，有时还采用集中质量矩阵。集中质量矩阵是人为地将单元 质量集中分配给单元的各个节点，因此得到的单元质量矩阵是一个对角方阵。 在实际分析中，这两种质量矩阵都有应用“”“。一致质量矩阵能有效地给出较 高的频率精度，但它比集中质量矩阵需要大得多的存储单元，计算工作量大得多。 集中质量矩阵是对角线矩阵，只需存储对角线元素的值，可大大节约计算机的存储 单元和计算工作量。 2 3 3 空间梁的单元阻尼矩阵 产生阻尼的原因很多，机理也很复杂”。在实际分析中，由于在地震动作用 下，桥梁结构的动力反应只由少数低阶振型控制，通常将桥梁结构的阻尼矩阵简化 为上述两种形式的线性组合，即r a y l c i g l l 阻尼“。 【c 】f = 甜m 】。+ 纠女r 在整体坐标系下，将所有的单元刚度矩阵和质量矩阵予以组集，可得到结构整体 的阻尼矩阵。 【c 】= a m l + f l k 】 ( 2 2 1 ) 式中：【m 】、陋j 分别为结构整体的质量矩阵和刚度矩阵，系数口、可根据振型 阻尼比予以确定。 o 。而。上。杀。上m 。 。加。上。 。 。m。生们。杀。川。=i暑。上m。 o o o l 一“o o o o o生“o o 。杀。告。”万。斋。 。杀。者。导。=|暑 ，一6 o o 0 0 o l 一3 0 o o o o 。扣。岳。告。击 。抒。去。者。岳。 o o o、一o o o d o、1“o o。导。靠。斋。斋。 。罟。抒。，i。”丽 设谚为结构系统自由振动的第f 个规一化振型矢量，相应的圆频率计为m ，则由 式( 2 2 1 ) ，有； 谚7 【c 】谚= 嘲7 【 f 】谚+ 。能7 【k 】馋 ( 2 2 2 ) 假设振型矢量对阻尼矩阵【c 】具有正交性，由 谚7 【肘】馋= 1 谚7 【足】僻= 0 4 , 2 则式( 2 2 2 ) 可化为： 2 僻毒= a + p o 【1 2 ( 2 - 2 3 ) 式中：毒为相应于第f 个振型的阻尼比。 设磊和鼻分别为第f 个振型与第，个振型的阻尼比，则由式( 2 2 3 ) ，有： p 能5 麓 ( 2 - 2 4 ) 【口+ 届哆2 = 2 哆白 ” 假定i _ ，且q 【m 】 孑) ，+ 。+ 【c 】 吾) 。+ 【k 】 占) ，+ a ，2 尸) ，+ 。 ( j ) 将式( g ) 代入式( j ) ，有： 【k 】 j 。= + 。 ( 3 2 7 ) 式中： 【k 】= v l + o o u + a 。【c 1 ( k ) 尸) ：+ 。= 户) ，+ 。+ 【a ，】( 口o j ，+ q p ，+ 吗p ， + 【c 】( q 占) ，+ a 云 + q ； ，) ( - ) 孑) ，+ 。= 嘞( 占 ，。一 万) ，) 一啦p ，一q ； i p ，+ 。2 p ) + p 】+ qp ) ，+ 。 ( 3 2 8 ) 咏= f ( 1 一口) 吗= a a t 计算步骤： ( 1 ) 确定初始 占) ，、p 和p ，； ( 2 ) 确定质量矩阵【肘】、阻尼矩阵【c 】和刚度矩阵【k 】。 ( 3 ) 选择参数口和卢及积分步长址，按式( h ) 和式( i ) 计算各系数； ( 4 ) 按( k ) 式计算t + a t 时刻的等效刚度矩阵【世】； ( 5 ) 按( 1 ) 式计算f + ，时刻的等效荷载列阵 e l 。； ( 6 ) f f 算t + a t 时刻的位移矢量 占) ，+ 。； ( 7 ) 按式( 3 2 8 ) 计算，+ 出时刻的速度矢量 云和加速度矢量 孑 5 ( 8 ) 以 唧。、p f + 。、 。作为初值，重复步骤( 2 ) ( 7 ) ，直至计算结束。 3 4 2 增量形式的n e w m a r k - - 口法求解”1 对结构的进行弹塑性地震反应分析，常采用增量形式。该法是把时间全程划分 为若干个相等的时间区间a t ，对每个小区间建立增量平衡方程，再按线性进行分 析。把原来的非线性问题化为一系列的线性问题来进行分析。 由式( 3 - 2 5 ) 知，有增量平衡方程： 【m 】 占 + 吲 万 + m 万) ，= 凹 ， ( 3 2 9 ) 占) ，+ 。= j ) ，+ 吾) 酊+ ( 三一) p j ，( ，) 2 + 孑) ，+ 。( a ，) 2 吾) ，+ 山= 吾 ，+ ( - 一口) 孑) ，+ 口 ；) ，+ 脚， ( a ) ( b ) ( c ) + ( ；一 p ，( ，) 2 + 孑 + 。( f y 。， 即+ 嘏+ 。血 垃+ 吉p ) ( 址) 2 + 孑) ，( 出) 2 址+ 口敞址 从式( e ) 中解出m 、： = 志 渺) f - 舭一狲研) = 爿渺卜即+ 溉( 硝 再代入式( 3 - 2 9 ) ，得： 【k 1 j ) ，= a p ) ： a p ) ：= 肚) ，+ 【吖】 【m 】+ 盖【c 1 ( 赭怫+ 【c 】( 粥+ 血( 易一- m 从式( 3 3 0 ) 中可解出 占 。，再代入式( f ) 、式( g ) ， ( e ) ( f ) ( g ) ( 3 - 3 0 ) ( h ) ( i ) 即可求出和。 求得 占) ，、 吾) ，、 否 后，由式( a ) ，可求得，+ 出时刻的位移、速度和加 速度。 占】i + 。u - - 一 j ，+ ( 占 ， 3 l 化r 山 卜r l l 卜渺0 山 一 i | 荆执m 假搠璀腓 中 n 式 由 志 小 ： l l 舯时 r 。嘲+ 跣。嘲+ ( 3 - 3 1 ) ( ) 确定初始 6 ) ，、p 和p ； ( 2 ) 确定f 时刻质量矩阵【肘】、阻尼矩阵【c 】和刚度矩阵【k 】； ( 3 ) 选择参数口和口及积分步长a t ； ( 4 ) 按式( h ) 计算【k 】； ( 5 ) 按式( i ) 计算 p ：； ( 6 ) 由式( 3 3 。) 中解出 万 ，由( g ) 式求出 吾) ，由( f ) 式求出 孑l ； ( 7 ) 由式( 3 3 1 ) 中求出 j ) ，+ 。、 吾) ，+ a ，、 善) ，+ 。； ( 8 ) 以 万) 。、 吾l 。、p ) 。作为初始态，重复步骤( 2 ) ( 7 ) ，直至计算结束。 3 4 3n e w m a r k 方法参数口、口的选择 分析表明：当口2 互1 ，p 三( 圭+ 口) 时，n e w m a r k 方法是无条件稳定的“。在实 际工程中，一般取口= 二，口= 三。 24 但是无条件稳定并不意味着计算结果的精度得到保证，因此在实际问题中一般 不应选择过大的f 值，以免影响计算精度，但是，过短的时间增量f 将增加计算所 需要的时间，因此，对实际问题应根据经验、结果对比或误差估计等途径来合理确 定f 值的大小。 3 5 小结 本章推导了桥梁结构在地震动作用下的线性和弹塑性地震反应方程，并以全量 形式的n e w m a r k - - 法和增量形式的n e w m a r k - - 法分别推导了其地震反应方程 时程分析的过程。 第四章基于纤维模型的桥梁结构弹塑性地震反应分析 4 1 概述 对于桥梁结构的弹塑性地震反应分析，如采用第三章所阐述的方法来分析，计 算比较复杂。工程中，常采用基于纤维模型的空间梁单元来分析桥梁结构的弹塑性 z 瓴 钐 0 基于纤维模型的空间粱单元的基本假定：图4 1 纤维模型 1 塑性区域的弯曲变形、轴向变形符合平截面假定： 2 不考虑剪切变形对材料弹塑性的影响，且忽略剪力引起的剪切变形； 3 忽略扭转变形对弹塑性状态的影响，认为扭转是弹性的，且与弯矩、轴力不 藕合。 4 3 基于纤维模型的空间粱单元刚度矩阵 1 梁单元任一截面上内力增量与变形增量关系 由基本假定1 ，空间梁单元截面内任意一点( 毛y 。= ) 沿工纵轴的位移增量 a u ( x ，y ，z 1 由式( 2 - 1 1 ) 可以表示为： a u ( x ，y ，z ) = a u - y a v - z a w ( a ) 式中：缸，a v ，a w 为梁截面中心在三个坐标轴方向的线位移增量； v 7 = j d v 一= 芝，w p d ：w = 一q - 由基本假定2 ，梁截面的正应变增量和剪应变增量由式( 2 1 2 ) 可表示为： 卜以“7 一y q w 。“一班吃托o ( b ) 【，= ，见 式中：r 为截面上某一点到x 轴截面中心距离。 将式( b ) 写为： 严1 ：1 0 ：一y i y jl o ，0 0j 1 叫a o h0 ，矧池 晓，j 式中： 岛) = “吃o 见， 7 又梁单元任意一点( x ，y ，：) 处的应力增量为： 阱一“g 。“翩 式中：e “弘z ) 和g ( x ，y ，z ) 分别为点( z ，) ，= ) 处的弹性模量和剪切模量。 梁单元轴向坐标z 处截面上内力增量为： a n = d a = 五m 血 啦= i s a r r d a = 窆q 4 卸 m y = l l 叮z 烈= 皂e i a 文缸 忆= 一j 删= - 一n 巨m 儿占 式中：y 。，毛为梁单元轴向坐标z 处截面上任一纤维点k 的坐标； h 为梁单元轴向坐标x 处截面上所划分的纤维截面条数； 吒为纤维点k 到x 轴截面中心距离： 臣、q 分别为纤维点k 处的弹性模量和剪切模量； 4 为纤维点七处截面条的面积： 令 卸 - i 啦埘，啦r ，则： 卸) = 将式( c ) 代入式( e ) ： a n 幽。 幽。 ： 乓m o o g k 酗, r k o o ( c ) ( d ) ( e ) 卸 = 式中： 【日】= 乓馘 o o q 蛆 e 似气 一巨她儿 巨她 墨m 气 0 一臣m 儿 0 0 e l 酗t z ? ：e i 龋。y 。z 。 k l lk - 1 0 一巨4 儿气e a 4 几2 k - ik = l 0 巨4 缸一b 4 n i ij z l q m 0 0 k = l 0 巨m 2 一最她 k - ik - 1 0 一乓4 以气b 4 猷 只 或 见 = 【】 岛) ( 4 1 ) ( 4 - 2 ) 故单元截面的柔度矩阵为： 【o 】= 【日】_ 1 ( 4 - 3 ) 2 局部坐标系下一般空间梁单元与无刚体位移状态下梁单元的关系 一般空间梁单元有1 2 个自由度，如去除刚体位移，则变为无刚体位移状态下的 形式。 令梁单元节点位移增量和梁单元节点力增量分别为： 2 蔷) - 她v f 眺岛巳岛屿哪岛岛 r ( f ) 槲 - 呜蚜叱叱叱 ；呜鹪叱叱叱 r ( g ) 令无刚体位移状态下梁单元杆端内力增量和杆端位移增量分别为： 2 悔 蝇喊峨峨崛峨峨衍，了 ( h ) 万) = 巧瓦毛瓦巧爵毛瓦 ( i ) 靠 胡 。 脚 触 ，dm，乏h y y 图4 2 一般空间粲单元的节点力增量和无刚体位移状态下杆端内力增量 y y 立豁- 舻 一万酉酉a w j d w i p q ip q j 图4 3 一般空间梁单元的节点位移增量和无刚体位移状态下杆端位移增量 x 槲) = 池呜屹眦叱啦叫呜吆叱叱叱】r 令无刚体位移状态下梁单元杆端内力增量和杆端位移增量分别为： = 臀 = 陋嘁峨咄吨峨峨咄丁 刁= 瓦瓦毛瓦巧毛毛毛 由图4 2 知： 心? = 一磷? 绯= ( 毗一峨) t 硷。= 旧m 一幽、| l