（基础数学专业论文）混合单调算子及其应用的若干讨论.pdf

摘要 全文共分三章： 第一章，讨论了一类o l t 型凹凸的混合单调算子，给出了其存在唯一不动点的充分 必要条件。 通过运用锥理论，采用上下解方法、单调迭代技巧等讨论了一类口一t 型凹凸的混合 单调算子，给出了其存在唯一不动点的充分必要条件，含盖了相关文献的部分工作，所给的 充要条件弥补了以往只给出充分条件的局限性，对文献中的相关工作做了本质性的改进；对 于广义q t 型凹凸混合单调算子，通过引入“伴随列”的概念，也给出了其存在唯一不动 点的充分必要条件；对于次线性混合单调算子，通过运用双下标排列的对角线方法，也给出 了其存在唯一不动点的充分必要条件；通过适当的变换技巧，讨论了( q ，卢) 型凹凸混合单 调算子，在一定的条件下，给出了其存在唯一不动点的充分必要条件 第二章，讨论了e 一正齐次算子以及o t 正齐次算子对e n 正齐次算子的逼近问 题。 由于。一正齐次算子的讨论，结果比较完善，混合单调的q 一正齐次算子作为o l t 型凹凸混合单调算子的特殊情况，我们自然有其存在不动点的充要条件。本章将o l 正齐次 算子推广为e 一正齐次算子，并讨论了一乜正齐次算子的连续性、范数性质、以及算 子空间的完备性等。同时，探讨了q 一正齐次算子对e a 正齐次算子的逼近问题。 第三章，讨论了非线性混合单调算子在b a n a c h 空间中非线性脉冲微( 积) 分方程方 面的应用。 作为混合单调算子理论的应用，本章讨论了非线性混合单调脉冲积微分方程和混合单 调非线性椭圆方程方面的一些问题，不同程度地削弱了原有的条件，推广了已知的结果；还 利用锥理论并结合算子半群的性质及其主要特征讨论了非线性脉冲发展方程初值问题、周期 边值问题，给出了混合单调非线性脉冲发展方程的耦合周期解以及存在唯一解的充要条件。 a b s t r a c t t h i sp a p e ri n c l u d e st h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ac l a s so fm i x e dm o n o t o n eo p e r a t o r sw i t ho tt y p ec o n v e x i t ya n d c o n c a v i t yh a sb e e nd i s c u s s e d ，t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o re x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so ft h e i rf i x e dp o i n t sa r eg i v e n i nt h i sc h a p t e r ac l a s so fm i x e dm o n o t o n e o p e r a t o r sw i t hn tt y p ec o n v e x i t ya n d c o n c a v i t yh a sb e e nd i s c u s s e dt h r o u g hc o n et h e o r ya n db yu s i n gt h em e t h o do fl o w e r u p p e rs o l u t i o n s ，t h es k i no fm o n o t o n ei t e r a t i v e t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n s f o re x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h e i rf i x e d p o i n t sa r eg i v e n t h er e s u l t si nr e l e v a n t l i t e r a t u r e sa r eg e n e r a l i z e do ri n c l u d e d t h e s es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sa r e o u to ft h el i m i t a t i o no fo n l y g i v i n gt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n si np r e v i o u sp a p e r s ，a n d i m p r o v et h er e l e v a n tr e s u l t se s s e n t i a l l y ；f o rac l a s so fm i x e dm o n o t o n eo p e r a t o r sw i t h g e n e r a lo tt y p ec o n v e x i t ya n dc o n c a v i t y t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o r e x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so ft h e i rf i x e dp o i n t sa r eg i v e nb yi n t r o d u c i n gt h ec o n c e p to f ”a d j o i n ts e q u e n c e ”f o rac l a s so fs u b l i n e a rm i x e dm o n o t o n eo p e r a t o r s t h es u f f i c i e n t a n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o re x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h e i rf i x e d p o i n t sa r ea l s o g i v e nb yu s i n gd i a g o n a lp r o c e s sw i t hd o u b l e - l o w e ro r d i n a t ea r r a n g e m e n t a n dac l a s s o fm i x e dm o n o t o n eo p e r a t o r sw i t h ( o ，f 1 ) t y p ec o n v e x i t ya n d c o n c a v i t yi s a l s os t u d i e d t h r o u g hs o m ep r o p e rt r a n s f o r m s ，t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o re x i s t e n c e a n du n i q u e n e s so ft h e i rf i x e dp o i n t sa r ea l s og i v e nu n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s i nc h a p t e r2 ，e o t y p ep o s i t i v eh o m o g e n e o u so p e r a t o r sa r es t u d i e d a n dt h ea p p r o x i m a t i o nt oe n t y p ep o s i t i v eh o m o g e n e o u so p e r a t o r sb yo l - - t y p ep o s i t i v eh o m o g e n e o u s o p e r a t o r si sd i s c u s s e d f o ro l t y p ep o s i t i v e h o m o g e n e o u so p e r a t o r s ，t h er e s e a r c hw o r kh a sb e e nc o m p l e t e a sas p e c i a lc a s eo fm i x e dm o n o t o n eo p e r a t o r sw i t ho tt y p ec o n v e x i t ya n d c o n c a v i t y ，t h em i x e dm o n o t o n eo p e r a t o r sw i t hn t y p ep o s i t i v eh o m o g e n e i t yh a v e s i m i l a rr e s u l t so nt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o re x i s t e n c ea n du n i a u e n e 8 8 o ft h e i rf i x e d p o i n t s i nt h i sc h a p t e r n t y p ep o s i t i v eh o m o g e n e o u s o p e r a t o r sa r eg e n e r a l i z e da se o t y p ep o s i t i v eh o m o g e n e o u s o p e r a t o r s m o r e o v e r ，t h ec o n t i n u i t y ，p r o p e r t i e s o fn o r m ，a n dc o m p l e t e n e s so f o p e r a t o rs p a c ea r ei n v e s t i g a t e df o re ot y p ep o s i t i v eh o - m o g e n e o u so p e r a t o r s - t h ea p p r o x i m a t i o nt oe ot y p ep o s i t i v eh o m o g e n e o u s o p e r a t o r s b ya t y p ep o s i t i v eh o m o g e n e o u so p e r a t o r si sp r e l i m i n a r i l yd i s c u s s e d i nc h a p t e r3 ，t h ea p p l i c a t i o n so fm i x e dm o n o t o n e o p e r a t o r st od i f f e r e n t i a l ( 一i n t e g r o ) e q u a t i o n si nb a n a c hs p a c ea r eg i v e n a st h ea p p l i c a t i o n so fm i x e dm o n o t o n eo p e r a t o r st h e o r y ，s o m ec l a s s e so fe q u a t i o n s a r ec o n s i d e r e d s o m ei n i t i a lv a l u ep r o b l e m sa n db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rm i x e d m o n o t o n en o u l i n e a ri m p u l s i v ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dn o n l i n e a re l l i p t i ce q u a - t i o n sa l ed i s c u s s e d s o m ek n o w nr e s u l t sa r eg e n e r a l i z e du n d e rw e a kc o n d i t i o n s a n d i n i t i a lv a l u ep r o b l e m sa n d p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rm i x e dm o n o t o n e n o n l i n e a ri m p u l s i v ee v o l u t i o ne q u a t i o n sa r ed i s c u s s e db ym i x e dm o n o t o n e o p e r a t o r st h e o r y w i t hc o n s i d e r i n gt h em a i np r o p e r t i e so fo p e r a t o rs e m i g r o u p t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o re x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s o ft h e i rs o l u t i o na n d c o u p l e ds o l u t i o nu e o b t a i n e d 前言 非线性算子理论，作为非线性科学的基础理论和基本工具，已经越来越受到世界各国学 者的广泛关注，因为它的基本理论，方法以及结果已经深入地应用到数理、生化、医药、军事、 经济管理及核工业技术等诸多学科领域并影响着它们的发展( 如文 1 卜 9 ， 1 0 5 1 0 7 ) 。 混合单调算子是一类重要的非线性算子，自1 9 8 7 年由郭大钧和l a k s h m i k a n t h a m ，v ( 见 文 1 0 ) 首次提出以来，引起了不少学者的研究兴趣研究结果也十分丰富( 如文 1 7 卜 4 9 ，【9 6 卜 1 0 4 ) 。混合单调算子是继齐次算予、增算子、减算子、h o 一凹( 凸) 算子( 1 9 7 5 年由m a k r a s n o s e l s k i i 提出的，见文1 1 1 1 ) 、o 一凹( 凸) 算子( 1 9 7 7 年由a j b p o t t e r 提出，见文1 1 5 1 、以后兴起研究的一类算子，由于受到微分方程、微分动力系统、概率统 计、控制论，模式识别等学科的刺激，近年来有了飞速的发展。它的重要理论价值在于其结 论可以直接解决工程技术( 如：核技术、航天航空技术、生化技术、生态与经济领域) 中的许 多具体问题，因此无论从非线性泛函分析的理论研究角度，还是数学在其它领域中的应用方 面，都表明研究非线性混合单调算子及其应用具有重要的科学意义和较为广泛的应用前景。 以下不加说明时均记e 为b a n a c h 空间，p 为e 中的锥，本文有关基本概念详见 文1 1 1 - 1 6 ，4 1 ，4 2 ，4 7 ，6 5 j 关于混合单调算子的耦合不动点或不动点已经得到如下主要结论： 早在1 9 8 7 年郭大钧与l a k s h m i k a n t h a m ，v 在锥尸和算子a 满足一定条件下， 得到了混合单调算子最小最大耦合不动点存在的充分条件，为混合单调算子耦合不动点或 不动点的进一步讨论提供了基础。( 见定理a 一1 ，a 一2 ) 定理( a 一1 ) 1 1 0 j 若i t 0 ，v o e ，i t 0 v o ，a ： u o ，v o 】 “o ，v o - - e 是一个混合 单调算子，满足i i , 0 a ( u o ，v o ) ，a ( v o ，u o ) v 0 且下列两条件之一成立时： ( a ) p 是正规的，且a 是凝聚的( 特别地，a 是全连续的或是严格集压缩的) ； ( b ) p 是正则的，且a 是次连续的； 则a 在【u o ，v o 【i t o ，v o 中具有一个耦合不动点( 矿，旷) ，它具有如下的最小最大性 质：对于a 在 7 2 0 ，v o u o ，v o 中任何耦合不动点( 万，可) 都有z + 万sy + ，z + 可y + 且有0 骢岱n2 矿，0 骢鲰2 y + ，其中x n2 4 ( z n l ，一1 ) ，= a ( y n 一1 ，x n - - 1 ) 且 u o 钍ls su n z + s 旷s 。s sv l o 定理( a 一2 ) 【1 0 】若u o ，v o e ，“o ，a ： 钍o ，u o u o ，甜o - e 是一个混合 单调算子，满足u o a ( u o ，v o ) ，a ( v o ，u o ) v 0 且下列四条件之一成立时： ( a ) p 是强极小的； ( b ) p 是正则的； l ( c ) a ( u o ，v 0 u 0 ，v o ) 是相对紧的； ( d ) p 是正规的且a ( 阻o ，v 0 u 0 ，v o ) 是弱相对紧的 则a 在 u o ，v o x o ，v o 中具有一个耦合不动点扛+ ，圹) ，它具有如下的最小最大性 质：对于a 在 u o ，v o 】x u o ，v o 中任何耦合不动点( 虿，功都有虿y + ，z + s 可冬y + 且有县恐z n = z + ，县照y n 2 y + ，其中z n = a ( x n l ，y n - 1 ) ，y n = 4 ( 一1 ，。n 一1 ) 且 “o u 1s u n z + sy + v 。曼v 1 v o 1 9 8 8 年郭大钧教授在锥p 为正规体锥和算子a 满足一定凹凸性条件下，得到r 混 合单调算子存在唯一不动点的充分条件，以及不动点的迭代收敛程序和误差估计。( 见定理 b 一1 b 一2 ) 定理( b 一1 ) t 1 7 若p 是e 中正规体锥，a ：p 。p 。斗p 。为混合单调算子， 满足3 0 p 1 使v 0 t 1 有 a ( t x ，) t 1 3 4 ( z ，) ，z ，y p 。 则a 在p 。中存在唯一不动点z + ，且对v x o ，y o p 。都有0 甄z n2 县恐= z + ， 其中x 。= a ( x 。一1 y n1 ) ，y n = a ( y 。1 ，。一1 ) ，礼= 1 ，2 ， 且有收敛速率i i 。一。+ ! i = 0 ( 1 一r 矿) ，l 旧。一x + l l = o ( 1 一r 矿) 这里常数 0 r 1 它依赖于z o ，珈此外，若( 虿，功是的任一耦合不动点，则必有i = 可= z + 定理( 曰2 ) 1 ”若p 是e 中正规体锥，a ：p 。xp 。_ p 。为混合单调算子， 满足| o p 1 使v 0 o ) 再若0 卢 i 1 ，则z i 关于a 强减( 0 a 1 a 2j 。k z i ：) 并且 舰l l x i l l = o ，枞l i m + 1 1 4 1 1 = o o 之后，关于混合单调算子的研究引起了众多学者的广泛兴趣，于1 9 9 1 年颜心力、孙 勇、陈永卓、张石生和马意海等分别在不同的条件下讨论了此类算予，并得到了相关的结 论。( 见定理c ，d ，e ，f ) 2 定理( g 一1 ) 【1 9 】若e 为1 一型空间或为2 一型空间，u o ，v 0 e ，u o v 0 ，a 【u o ， o 【u o ，w o _ e ，为混合单调算子，又存在常数o ( o ，1 ) 使 u + ov 一“) a ( v ，) ( u os 茎a ( v o ，u o ) ) 口o ) 则存在西( u o ，v o ) 使豇= 4 ( 面，豇) 对于迭代“。+ 1 = “。+ a ( v 。一u 。) ，v n + 1 = a ( ，札n ) ，n = 0 ，1 ， 当e 为1 一型空间，有误差估计0 v 。一面( 1 一a ”) ( v o u o ) ，日茎西一u n 茎 ( 1 一a n ) ( 口。一u o ) ，； 当e 为2 一型空间，有误差估计l l “。( 或) 一面| 1 n ( i a n ) l l v o u o l l ， 定理( g 一2 ) 【1 。 若e 为完备的半序距离空间， a 在上对称压缩，指存在常数 e ( 0 ，1 ) ，使 d ( a ( v ，u ) ，a ( u ，u ) ) o m ( v ，“) ( ? t o u ，v v o ) 且满足“o a ( u o ，v o ) ，a ( v o ，u o ) v o 则a 在f u o ，v o 存在唯一不动点面，对于迭代 扎。+ 1 = a ( u 。，v n ) ，v n + l 二a ( ，u 。) ，扎= 0 ，1 ，2 有误差估计d ( 面，u 。或) o “d ( v o ，u o ) 任取w 0 【u 0 ，v o ，令 n 十1 = a ( w n ，t 】n ) ，则有i 骢2 面 定理( d ) 2 2 】若u ，uee ，且u u ，记d = 阻， 1 算子a ： “，v u ， 】_ e 为混合单调算子且满足： ( 1 ) ( u ，v ) 是a 的耦合下上不动点； ( 2 ) a ( d ，d ) 是可分的，且在e 上弱序列紧 则a 在d 中有耦合最小最大不动点 定理( e ) 2 0 若p 为正规的再生锥，算子a ：e e 一e ，如果存在正线性有界算 子口：e - e ，l i b i f 0 时( 其中d ( d ) 为d 的k u r a t o w s k i 非紧性测度) 时，a ( a ( d 1 ，d 2 ) ) 0 ，c 0 使0 a ( u ，0 ) ，a ( o ，v ) c a ( v ，口) ； ( b ) v 0 n 0 并且v x o ，y o 0 ，v 迭代收敛成 立 定理( g 一2 ) e 2 3 】p 是e 中正规体锥，a ：p p 斗p 为混合单调算子，满足 ( a ) 3 v p 。及c 9 使0 a 扣，0 ) v ，a ( o ，v ) c a ( v ，口) ； ( b 。) v 0 n 0 并且v o o ，y o p 迭代收敛成立 定理日【2 4 】若d = 阻o ，u o 为e 中的序区间，a ：d d _ e 为一个算子，满 足u osa ( u o ，v o ) ，a ( v o ，? t o ) v o 且 ( 1 ) 3 b a n a c h 空间f 和f 中的一个正规锥p l ，半连续的混合单调算子b ：d d 斗 f 和一个半连续的增算子c ： b ( u o ，v o ) ，b ( v o ，u o ) 】- - e 使a = c b ； ( 2 ) b ( u o ，v 0 ) 在f 中拟弱紧 则定理a 结论也成立 于1 9 9 3 年陈永卓、张石生、李国祯和朱传喜分别用t h o m p s o n 距离等研究了混合 单调算子( 组) 不动点和耦合不动点的存在情况( 见定理i ，文f 2 6 ，2 7 ) 。 定理j 【2 5 若g 为e 中的一个等价类，a ：c c _ c 是一个混合单调算子，假 定v i a ，b c ( 0 ，1 ) ，j d = d ( o ，b ) ( 0 ，1 ) 使a ( t x ，i 1 茁) t 。a ，b ) a ( x ，。) ，v x c ，t n ，6 则4 在c 内恰好有一个不动点矿且v x o ，有a “扛o ，。o ) 寸z + = a ( x + ，x + ) 其 中a “( z o ，z o ) = a ( x 。一1 ，x 。一1 ) ( n = 1 ，2 ，) 1 9 9 4 年k u n g u a n i ，i ，1 9 9 6 年张石生等作了混合单调算子的其它相关研究( 见 4 2 8 ，2 9 1 ) 。于1 9 9 6 年、1 9 9 8 年张志涛对两个变元具有相同类型凹凸性和不同类型凹凸性 的混合单调算子，分别讨论了它不动点存在唯一的充分条件( 见定理l ) 。 定理f l 一1 ) 3 0 】p 是e 中正规锥，a ：px p _ p 为混合单调算子，满足 ( 矿) 了口0 及c i i 使0 0 并且v x o ，y o 【0 ，v 迭代收敛成 立 定理( l 一2 ) 3 0 p 是e 中正规锥，3 v 0a ：咿，日 归，口1 - 归， 1 为混合单 调算子，满足 ( 苟) a ( 口，v ) v 及j 1 t c ( u ， ) ，v u ， q ，0 t 1 存在定义在d 线性映射b 及e p + 使b 映d 入g 8 且a = b c ； ( 2 ) 存在a 的偶合下上不动点( “o ，u o ) q q 则a 有且仅有一个不动点z + 有迭代收敛程序。 定理 3 3 】若( x ，d ) 是完备的度量空间，：x 斗r 是连续函数，是由咖 导出的半序 又。o ，y o x ，记d = x o ，y 0 ，映射f ：d d - - + x 是连续的，且满足如下条 件： ( 1 ) s 是混合单调的； ( 2 ) x 0 y ( x o ，o ) ，s ( y o ，x 0 ) y o 则存在，的耦合不动点( ，圹) d d 迭代序列z 。= a ( x 。一1 ，y n 一1 ) ，= 4 ( 一1 ，z 。一1 ) 分别收敛于z + ，9 + ，且 x 0 x l z n sz + s 可+ 玑；可1 可o 进而扛+ ，圹) 是，的最小最大耦合不动点 最近( 2 0 0 3 年) 吴焱生和李国祯，又作了另外的两个变元具有相同类型凹凸性的混合 单调算子不动点存在的充分条件( 见定理0 ) 定理o m 若p 为e 中的正规体锥，a ：p 。xp 。- p 。为混合单调算子，满足： ( 1 ) 固定，a ( ，) ：p 。啊p 。，满足a ( t z ，) t o a ( x ，g ) ，0 1 ，v p 。，其中 o n ； ( 2 ) | u o ，v o p 。，e 0 ，使得0 7 1 , 0 o ，u o 4 ( 札o ，v o ) ，a ( v o ，扎o ) o 且 a ( o ，u o ) e a ( o ，u o ) 则a 在 “o ，1 ) 0 中恰有一个不动点z + 且v ( z o ，y o ) 7 , 0 ， o u o ，咖 序列z 。= a ( x n 一1 ，1 ) ，= a ( y n 一1 ，x n - - 1 ) ，扎= 1 ，2 ，都有l i x 。一z + | | _ o ，| | 一。+ | | _ 0 ( n 斗1 6 本文在上述工作的基础上，参考和借鉴了郭大钧、孙经先等关于凹凸算子研究的方法 和技巧( 见 7 ，8 ，3 6 ，3 7 ，3 8 ，3 9 ) ，研究与讨论了若干混合单调算子，给出了存在耦合不动点 和不动点的充要条件及其在b a n a c h 空间中非线性微分方程中的应用。全文共分三章： 第一章，针对一类“一t 型凹凸的混合单调算子( v 0 t 1 ，3 0 o = o ( t ) 1 使a ( t u ，；) t a ( ) a ( “， ) ，u ，v p h ，“v ) 给出了其存在唯一不动点的充分必要条 件，含盖了前面的部分工作，所给的充要条件这一本质性结论弥补了以往只给出充分条件的 局限性，对文献中的相关工作做了本质性的改进( 见定理1 2 1 ，推论1 7 1 1 7 8 ) ； 对于广义。一t 型凹凸混合单调算子( v o t 1 ，j o o = o ( t ，“，v ) 1 使 a ( t u ，；) t a ( t , u , v ) a ( u ，v ) ，u ，v 日。，usu ) 和次线性混合单调算子( v o 0 ，有( 1 一e ) 护a x a ( t x ) ( 1 + e ) 亡0 a x ) ，讨论了e o 正齐次算子的连续性质、范数性质、算子空间的完 备性等，探讨了o l 正齐次算子对e a 正齐次算子的逼近( 见定理2 2 1 ，定理2 3 1 ，定 理2 4 1 ) ； 第三章，本文利用锥理论，采用上下解方法、单调迭代技巧、比较定理等讨论了b a n a c h 空间中非线性混合单调脉冲微分方程解的存在( 唯一) 性问题。 由于运用锥理论可以讨论非线性算子在b a n a c h 空间中微分方程、积分方程、积分一 微分方程等方面的应用( 如：核物理中的非线性方程，中于迁移理论中的非线性方程，传染 病模型方程等，详见文1 1 - 9 ，6 6 7 1 ，7 3 7 7 ，7 9 8 4 ，8 6 ，1 0 5 1 0 7 1 ) 。而在诸多方程中的非线性 项具有混合单调性，而且往往可以把这类非线性混合单调型方程的解或耦合解的问题转化为 混合单调算子的不动点或耦合不动点的问题去解决。因此，作为混合单调算子理论的应用， 我们也对b a n a c h 空间中微分方程的解的存在性或存在唯一性作了讨论。 在文1 6 6 7 0 ，7 9 8 5 ，l 中曾经讨论了右端项关于u 为单变量的情形或方程不含脉冲项 7 的情况，如 一“”( t ) = f ( t ，i t ，t u ) t t 女 a u i e t 。= 厶( u ( “) ) k = 1 ，2 ，m “7 i k “= 五( u ( “) ) = 1 ，2 ，m u ( o ) = x o ，u ( 1 ) = x l f 焉裂篙州舢 掣巩旭 札- a ：v 。2 ，( z ：x a q e q 本文讨论了关于u 为两个变量、方程带脉冲的情况，为如下的二阶混合单调脉冲积微分方 程边值问题和混合单调脉冲积微分方程终值问题。 一“”( t ) = f ( t ，u ，“，t u ) a u l k “= 厶( 扎( “) ) a u l e “= ( u ( 靠) ) u ( o ) = x 0 ，u ( 1 ) = z 1 “( t ) = ( t ，“( t ) ，u ( ) ) a u l b “= 厶( “( “) ) ( 。) = 。 t t k = 1 ，2 ，r n ， ( 0 1 ) = 1 2 m t t k = 1 ，2 ，( 0 2 ) 。- a ：u 。2 ，扛：兰a ：q c 。s ， 等方面的一些问题，不同程度地削弱了原有的条件，推广了已知的结果； 本文还利用锥理论并结合算于半群的性质及冥主要糈祉讨论j 非线性脉 中发展方槿韧 值问题解的存在条件、周期边值问题解的存在条件，以及混合单调非线性脉冲发展方程( 主 要概念参考自文 8 9 ，9 0 】) 在文 7 4 ，7 5 中讨论了如下情况的发展方程。 i “( t ) + a u ( t ) = ，( ，“( t ) ) ， 1 “( o ) = “( u ) i “( t ) + a u ( t ) = f ( t ，“( t ) ，“( t ) ) 1 “( o ) = 钍( u ) 本文讨论更一般意义下的非线性发展方程，给出了混合单调非线性脉冲发展方程周期边值 问题耦合周期解的存在条件，以及存在唯一解的充要枭件 t t k ，0 t su = 1 ，2 ，m( 0 4 ) ( 其中一a 为正c o 半群t ( t ) ( t 0 ) 的无穷小生成元) 9 0 ” ，札 = 呱 删“州 + 扛 | | 训 ，u呱 第一章关于n t 型凹凸的混合单调算子的不动点 具有凹凸性的混合单调算子，具有广泛的应用前景和理论价值。本章运用锥理论的 知识，采用上下解方法与单调迭代等技巧，讨论了d t 型凹凸的混合单调算子的不动点、 次线性混合单调算子的不动点存在唯一的充分必要条件，本质地改进了以往文献中所给的 充分条件。 5 1 1基本概念与定义 e 为实b a n a c h 空间，0 为e 中的零元素，dc 日，算子a ：d d - 4e 定义1 1 _ 1 非空闭凸集pce 称为e 中的锥，若满足( 1 ) o p ，v a 0 a x p ：f 2 ) z 只- x p = z = 0 由p 导出序”s ”，v x ，y e ，若y z p ，称z y ( y x ) ；若y x ，y x 则记作y o ；若y z 是p 的内点，则记作z 定义1 1 2 锥p 称为正规的，若j o ，v x ，y e ，当0szsy 时，有 | | z | | n l i ”i i 称n 为正规常数。 记p 。= x l x p 且。为p 的内点 定义1 1 3 锥p 称为体锥，若p 。虫 定义1 1 4 锥p 称为正则锥，若e 中的单调递增有上界的序列在e 中必有极限 ( 或若e 中的单调递减有下界的序列在e 中必有极限) 。 y x ，y e ，称x 可：若刍a 0 ，p 0 ，使a x y p o 易知”是一个等 价关系。 记h o ( h 0 且h 0 ) 所在的类为p h = 。l z e ，3 a ( x ) 0 ，卢( z ) 0 使 a ( z ) sz p ( z ) 显见f kc p 定义1 1 5 锥p 称为再生锥，若v x e 都有z = y z 其中y ，z p 乘积空间exe 也是一个b a n a c h 空间，其中的范数可取为 令 ( z ，y ) lj = m a x ij xjj ，j j j j ) ，v ( z ，y ) e e p + = ( z ，y ) e e ：z 日，y p ) 则p + 为e e 中的锥，由它导出的半序为： 1 ，y 1 ) ( x 2 ，y 2 ) 寺x 1 z 2 ，y l y 2 定义1 1 6 称a ：dxd - - + e 为混合单调算子，若a ( x ，y ) 关于。增，关于y 减即v z ，y k d ( k = 1 ，2 ) ，z l 冬z 2 ，y 2 y l ，有a ( x t ，1 ) sa ( x 2 ，y 2 ) ； 1 0 定义1 1 7 称( 茁，y ) d d 为4 的耦合不动点，若a ( x ，y ) = x ，a ( y ，x ) = y 定义1 1 8 称z d 为a 的不动点，若a ( x ，x ) = x 引理1 1 1 锥p 为正规的甘若存在d 0 ，使当9 5 1 ，3 5 2 p ) i i x l | | = l i x 2 | | = 1 时，有| | z 1 + x 2 | | d 引理1 1 2 锥p 为正规的铮任何序区间 x l ，x 2 1 = 扛iz l xsx 2 都是有界 的( 指存在m 0 使得v x 9 j 1 ，x 2 都有i i x l m ) 引理1 1 3 锥尸为正规的咎若x 。sz n y 。，z 。一o ，jx 则z n o 引理1 1 4 若锥p 为正则的，则p 必是正规的 引理1 1 5 若锥p 为体锥，则p 必是再生锥 以上基本概念详见文1 4 0 ，4 1 ，9 3 1 1 2n t 型凹凸的混合单调算子存在唯一不动点的充要条件 定义1 2 1 若a ：d d 为混合单调算子，v 0 t 1 ，j 0 q = q ( t ) 0 ，a ：p h r - - + p h ， 则以下两条等价： ( 1 ) v 0 t 1 ，3 0 o l = n ( t ) 1 使a ( t u ，；) ( ”a ( u ，u ) ，其中“，u r ， 且u