（基础数学专业论文）黎曼流形的子流形上的□r算子及其应用.pdf

摘要 设v 、w 分别为n 维，p 维的向量空间，y + 是v 的对偶空间，y + o v + 固 为张量空间， e 。) ( 江1 ，n ) ， ) ( n = 1 ，p ) 分别为v 和w 的基底令d = d ：j w i o u ；j e 。v + o v + 0 w ，d 对称即d 嚣= d 甓，其中叫为e i 的对偶基。本文 q t ，j 首先定义了三阶张量d 确定y + 0 y + o w 上的牛顿张量耳，) ( d ) ( r = 0 ，1 ，n ) ， 称之为广义牛顿张量；当v 作为子流形的切部时，d 作为与度量联系的子流形v 的第二基本形式的情形，关于第二基本形式d 的第r 个初等对称函数为r 阶平均 曲率，本文引用此名称，定义了关于d 冀的r 阶“平均曲率”q ，并且研究了广义 牛顿算子及“平均曲率”相关的代数性质及它们在常曲率空间子流形中的性质。这 些定义和性质是经典牛顿张量和关于d 的特征值的初等对称多项式的定义和相 关性质( 见文【1 6 ) 的自然推广；然后仿照c h e n g - y a u 在文f 4 中的口算子，利用这 些牛顿张量诱导了一类关于l 2 一内积伴随的算子，口”和自伴的算子一口7 ，并且通 过对这类算子性质的研究，本文找到了一个证明m i n k o w s k i h s i u n g 积分公式的新 方法，得到了欧氏空间子流形上类似m i n k o w s k i h s i u n g 积分公式的积分公式；考 虑了口算子作用在q 上的情形，得到了两个一般性的结论，最后本文着重研究 了具调和曲率黎曼流行的超曲面的口2 算子，从另一个途径获得文f 2 0 1 中的结果 关键词牛顿张量高阶平均曲率 口7 算子 子流形 超曲面c o d a z z i 张 量 云南师范大学硕士学位论文 i i a b s t r a c t l e tva n dwb en - d i m e n s i o n a lv e c t o rs p a c ea n dp - d i m e n s i o n a lv e c t o rs p a c e ，r e - s p e c t i v e l y 1 e tv + b ed u a ls p a c eo fva n dv + o v + 0i t 7b eav e c t o rs p a c e w ed e n o t e ab a s i so fva n dab a s i so fw b y e d ( i = 1 ，一，n ) ，e d ) ( q = 1 ，一p ) ，r e s p e c t i v e l y l e td = d i j w i 叻g e d v + o v + o wa n ddb eas y m m e t r i ct e n s o rw h i c h m e a n sd 嚣= d 嚣，w h e r e i sd e f n e da sd u a lb a s i so fe i i nt h i sp a p e rw ef i r s td e f i n e t h er - t hn e w t o nt e n s o r 丑r ) ( d ) p = 0 ，l ，n ) w h i c hi sd e t e r n f i n e db yt h et e n s o rd o ft y p e ( 1 ，2 ) ，a n dw ec a l li t g e n e r a l i z e dn e w t o nt e n s o r ；w h e nv i sat a n g e n ts p a c e o fas u b m a n i f o d ，a n ddi st h es e c o n df u n d a m e t a lf o r mo ft h es u b m a n i f o l d ( a s s o c i a t e d b yt h em e t r i c ) ，t h er t he l e m e t a r ys y m m e t r i cf u n c t i o n sa r ec a l l e dt h em o d i f i e dm e a n c u r v a t u r e s f o l l o w i n gt h i s i n t h i sp a p e rw ed e f i n e “t h er - t hm o d i f i e dm e a nc u r v a - t u r e s ”o fd 嚣a n dc a l lt h e ma sq r ，w ea l s os t u d ys o m ea l g e b r a i cp r o p e r t i e so ft h e r - t hn e w t o nt e n s o ra s s o c i a t e db yt h e “r - t hm o d i f i e dm e a nc u r v a t u r e s ”a n dt h e p r o p e r t i e so ft h e mf o ras u b m a n i f o l do fas p a c ew i t hc o n s t a n ts e c t i o n a lc u r x a t u r e ， a n ds ot h e s ed e f i n i t i o n sa n dp r o p e r t i e sa r en a t u r a lg e n e r a l i z a t i o uo fc l a s s i c a ln e w t o n t e n s o ra n dt h er - t he l e m e t a r ys y m m e t r i cp o l y n o m i a l sd e f i n i t o n sa n dp r o p e r t i e sf o r t h e m ( s e e 1 6 d t h e n ，f o l l o w i n gt h eo p e r a t o ri n t r o d u c e db yc h e n g - y a ui n 4 a n db y u s i n gt h e s en e w t o nt e n s o rw ei n d u c eas e r i e so fd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s 口7 w h i c ha r ea d j o i n tr e l a t i v et ot h el 2 _ i n n e rp r o d u c t i nt h es t u d yo ft h o s ep r o p e r t i e s ，w ef i n dan e w w a yt op r o v em i n k o w s k i h s i u n gi n t e g r a lf o r m u l a a n dd e r i v es o m ei n t e g r a lf o r m u l a sf o r c o m p a c ts u b m a n i f o l d s ，w h i c ha r ea n m o g o u st ot h em i n k o w s k i h s i u n gi n t e g r a lf o r m u l a c o n s i d e r i n gt h ec a s et h a t 口a c t so nq r ，w eo b t a i nt w og e n e r a lc o n c l u s i o n s f i n a l l yw e f o c u so nt h e 口2o p e r a t o rf o rah y p e r s u r f a c eo far i e m a n n i m lm a n i f o l dw i t hh a r m o n i c r i e m n n i ac u r v a t u r et os t u d y ，a n do b t a i nar e s u l to f1 2 0 k e yw o r d sa n dp h r a s e sn e w t o nt e n s o r ，h i g e ro r d e rm o d i f i e dm e a nc u r v a - t u r e s ，口7o p e r a t o r ，s u b m a n i f o l d ，h y p e r s u r f a c e ，c o d a z z it e n s o r 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进 行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经标 明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：督一瓦苏 1 6 年亨月啪 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文 的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权云 南师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存和汇编本学位论文。 学位论文作者签名：甯 1 。0 年f 月矸日 乱i 致 指导教师签名： 函蛐年f 月砷日 云南师范大学硕士学位论文 o 引言和主要结果 一背景及进展 在1 9 7 3 年，r o b e r t c r e i l l y 在研究关于空间形式中超曲面的平均曲率函数 的变分性质( 见文【1 6 】) 时给出了超曲面中牛顿张量的许多良好性质( 如对称性， 递推性等等) ，并且利用牛顿张量的这些性质计算了空间形式中超曲面的平均曲 率函数的变分，得到了相关的定理和结论1 9 7 7 年c h e n g ，s y 和y a u ，s t 在 研究具常数量曲率的超曲面时定义了一个新的算子一口算子，利用这个算子对于 c o d a z z i 张量关于l 2 一内积自伴性，他们得到了关于具常数量曲率的紧致超曲面 及非紧的，凸的超曲面的一些定理( 参见文【4 ) 。而1 9 9 7 年李海中教授在文 1 2 】 的超曲面的整体刚性定理也正是对c h e n g - y a u 的口算子加以应用而得到 2 0 0 4 年郭震教授在文f 7 中对这个算子做了推广，利用这个算子的自伴性得到了在单 位球中w i l l m o r e 子流行的一个拼挤定理。另一方面，m i n k o w s k i 最早得到了三维 欧氏空间中卵形面的m i n k o w s k i 积分公式，之后，关于这方面的研究已有不少的 工作，其中最为重要的是在1 9 5 4 年，c c h s i u n g 得到了任意维数欧氏空间中闭 超曲面的积分公式，也就是著名的m i n k o w s k i - h s i u n g 积分公式( 见文【8 ) ；随后， 1 9 6 2 年y k a t s u r a d a 推广m i n k o w s k i h s i u n g 积分公式到常曲率黎曼空间的闭可定 向的超曲面中去( 见文1 9 d 二我们的工作 对于一般的向量空间，设v 为一个n 维实向量空间，d ：v y 为一 可对角化线性变换。h k 为d 的特征值特征值的第r 次初等对称函数为 q ，= k i ，- ， l 曼2 1 s ，s t ，曼“ r o b e r t c r e i l l y 定义了r 次牛顿变换( 或张量) 1 ，满足： 耳r 1 = q ，一q ，d + + ( 一1 ) 7 d t r c r e i l l y 给出如下的性质( 见文 1 6 d ： 1 ) ：丑，+ 1 ) ( d ) = q + l i d t ( ，) ，r = 0 ，1 ，n ( 其中f 为恒同变换) 2 ) ：( 研，) ( d ) = dt ( ，) 3 ) ：( r + 1 ) q 件l = t r o c e ( d 丑，) ) 4 ) ：设d = d ( t ) 为v 上的单参可微变换群，则 1 0 q r r + i = t r a c e ( 瓦o d 丑，) ) 在第一节中，我们对经典的牛顿张量的定义和性质加以推广：设v 、w 分 别为n 维，p 维的向量空间，y 是v 的对偶空间，y + o y + o 为张量空 云南师范大学硕士学位论文 2 间，k ) ( i = 1 ，n ) ， e 。) 陋= 1 ，p ) 分别为v 和w 的基底。令d = d 0 “j z w f 8e n v + o v + o w ，d 对称即d 告= 9 异；g e ew i 为e i 的对偶基。本 文首先定义了三阶张量d 确定y + o y + o 上的牛顿张量丑，1 ( b ) ( r = 0 ，1 ，n ) ， 称之为广义牛顿张量；当v 作为子流行的切部时，b 作为与度量联系的子流形 v 的第二基本形式的情形，关于第二基本形式d 的初等对称函数称为修正平均曲 率，本文引用此名称，定义了关于d 嚣的第r 次“修正平均曲率”q ，设d 。，碍， 钟分别为d ，耳：q 沿 e 。) 方向上的分量。本文研究了广义牛顿张量及“修正 平均曲率”相关的代数性质。得到的主要的性质如下： 性质l ( 牛顿公式) ( r + 1 ) q ，+ 1 = t r a c e d t ( ，1 ) 性质2 ( 对称性) r 为奇数时， 叼) i f = 碍) j i r 为偶数时， 耳r ) i j = 丑r ) j i 性质3 ( 递推性) r 为偶数， 丑，) ( d ) = q r i 一瑶一1 ) d 。 r = l 时， 臻、( d ) = q j t i o ) d 。 命题1 2 设d = o ( t ) 为v 上的单参可微变换群，则对于r = 1 ，n + 1 ，有 r 为偶数时， 警= t r a c e ( 碍叫等) r = l 时， 警= t r a 蛔。，等) 在第二节中，对于具有常陷率空间中子流形的牛顿算子，我们得到下面的命 题： 命题2 1 设z ：m “一计9 ( c ) 为n 维黎曼流形m “到具常曲率c 的n + p 维 黎曼流形n 时p 的等距浸入子流形，b 为浸入子流形的第二基本形式，则 i ) p 1 且r 为偶数时，关于b 的第r 次牛顿变换是零散度的，即 丑，) 巧，j = 0 重壹堑垫盘堂塑主堂垡笙塞 当p 1 且r 奇数时， 碍) 嘶= o j i i ) 当p = 1 时，r 为任意的指标，关于b 的第r 次牛顿变换是零散度的，即 丑哟，j = 0 随后定j - tp 1 r 为奇数时的微分算子口r 对于在法丛中的向量= f 。e 。定义微分算子 口”：c ”( t 上( m ) ) - - - + c 。( m 1 口”f = 强) 。锈 对于m 上的c o 。函数，定义微分算子 口：c ”( m ) + c ”( t 上( m ) ) 口，= 臻埘，。e 。 类似的定义p 1 ，r 为偶数时的微分算子口r ，以及p ：1 时的微分算子口r 对于m 上的c ”函数，定义微分算子 口7 ：c 。( ，) + c ”( ( m ) ) 口7 ，= 丑，) 巧，f j 得到定理2 1 定理2 1 设m 是具有常血率空间中紧致子流形，口r ，口r + 如上定义，则 i ) p l 且r 为奇数口，口”关于l 2 一内积是伴随的，即 ( 口n ，) = ( ，口，) 特别的 j m 矿鼬m = 0 j j ) p l 且r 为偶数或p = 1 则口关于l 2 一内积是自伴的，即 ( g ，口r ，) = ( ，口”g ) 特别地有 l m d r f d m = q 3 云南师范大学硕士学位论文 若f 为m 的切部的一向量，亦有 f m j r d m = o ( 其中d m 为m 的体积元) 4 本文利用口算子的性质，找到一个证明m i n k o w s k i h s i u n g 积分公式的新方 法，并且得到了欧氏空问子流行上类似m i n k o w s k i h s i u n g 积分公式的积分公式， 亦即得到r o b e r t c r e i l l y 在文【1 5 中的一个结果。 定理2 , 2 设z ：m ”一n 扎+ p 为n 维黎曼流形m “到具常蓝率c 的n + p 维 黎曼流形n ”pcr n + p + 1 的紧致定向子流形，设a 为n n + p 中的一个常向量， e 。( n = l ，p ) 为m “上的单位法向量场，a t ( r = 0 ，1 ，( n 一1 ) ) 为m n 上的 平均曲率，x 为m “中的位置向量， i ) 当p 1 时，若r 为偶数时，有 ， ( ( 口。+ 1 ，a ) 一c o r ) d m = 0 i i ) 当p = 1 时，r 为任意的指标 m ( a r + 1 ( e n + l , a 一c 1 时，若r 为偶数时，有： ( ( 矗+ 1 ，x ) + a r ) d m = 0 j m i i ) 当p = 1 时，r 为任意的指标， ，( ( 听+ 1 e 时1 ，x ) + a ，) d m = 0 j m 其中的i i ) 即为经典的m i n k o w s k i h s i u n g 积分公式。 在第三节中，考虑了口7 算子作用在g 上的情形，得到了两个一般性的结 论。 命题3 1 设m ”为的紧致定向n 维黎曼流形，为流形m 上的一对称张 量，对于( osr n ) ，令q ，) = ) 妒，如果q ，一1 ) 为一个c o d a z z i 张量，则 凹q ，d m ：0 j f 定理3 1 设m “为的紧致定向n 维黎曼流形，妒为流形m 上的一对称张 量，对于( 1sr n ) ，令q ，一1 ) = 一1 ) 妒，在一点p m 附近选取标准正交标架 e f ) 0 = 0 ，1 ，n ) 使得q r 一1 ) i j = q ，1 ) i i 6 i j ，若e ( ，1 ) 为一个c o d a z z i 张量，则有 积分公式 厶( 1 v c f f _ i ) j 21 v t r c f f _ 1 ) 2 + ；确巧( c ( r _ 1 ) i i - - c ( r _ 1 ) j j ) 2 ) d m = o t ， 最后检查了口7 q r 在r = 2 情形下的几何意义，从另一个途径获得文f 2 0 中的结 果 1 广义牛顿张量及“高阶平均曲率” 云南师范大学硕士学位论文 6 我们以某些代数开始，先回顾一些基本公式，如v 为一个n 维实向量空间， d ：v + y 为一可对角化线性变换。设0 = 1 ，n ) 为v 的一组基底，d 在 这组基下的矩阵定义为( d i j ) ，h ，k 为d 在这组基下的特征值特征值的第 r 个初等对称函数为 g =k 。k i ，= j i 。岛， 第r 个牛顿张量定义为 弓( d ) = q ，i q ，一i d + - + ( 一i ) d 在基( 江1 ，n ) 下，耳( d ) 的矩阵是 耳玎= q r 奶一q r 一1 d i j + + ( 一1 ) d i m - d ，j r c r e i l l y 给出他们的四条性质，见引言部分回忆广义的k r o n e c k e r 符号( 见文 【5 】) 的定义 、 f + 1 i l , ， , 西i r ： 一1 i o ， 当( j 1 ，矗) 互不相同，且( j h 一，矗) 为( i 1 ，i ，) 的偶排列 当( j 1 ，j r ) 互不相同，且( j 1 ，矗) 为( 1 ，4 ) 的奇排列 其它情形 注：进一步地，广义的k r o n e c k e r 符号可以用矩阵的形式表达 蠡1 j 1 文2 j 1 文，j l 其中的幻为标准的k r o n e c k e r 符号，其表示为 命题1 1 f + 1 5 i , j2 i - d ： 6 i l n 蠡2 如 ： 文m 当i = j 时： 当i j 时 q ，= 击s 永：宝d ”。，- - - ，d ”， 丑r ) j = i z 矗：2 赫i 九，j l j 一，d 幻， ( 1 2 ) ( 1 3 ) 云南师范大学硕士学位论文 证明因为d i 。j 1 = k i l 屯，d i 咖= k i ，6 i ， ，所以有 击嚣d h 。，巩矗= 击宅等，k 三r ，iz ：一 g 7 同样的对于( 1 3 ) 的右式，按照广义的k r o n e c k e r 符号可以用矩阵的形式表达( 11 ) 对s 譬毫：用矩阵表达最后一行展开有 去盘：d f 。，d 幻，= 去文舞孤， = g 幻一一1 ) i l d z j 利用r o b e r t c r e i l l y 给出的性质1 ) 即知( 1 3 ) 成立 注：这可以看成是第r 个初等对称函数和第r 个牛顿张量的第二种表示法， 在文f 9 1 5 1 就采用了这种表示法 设v 、w 分别为n 维，p 维的向量空间，y + 是v 的对偶空间，y + q y + o w 为张量空间， e i ) 0 = 1 ，n ) ， e 。) ( o = 1 ，p ) 分别为v 和w 的基底令d = 岫。岣ge 。v + o v + 0 w ：d 对称即d 嚣= d 嚣，其中为e i 的对偶基。本文 q ，e ，j 。 首先定义了三阶张量d 确定y + 0 y + q w 上的牛顿算子1 ( d ) p = 0 ，1 ，n ) ， 我们采用第二种表示法，仿照文 1 6 对平均曲率的定义，如下定义第r 个牛顿张 量： 1 ) r 为奇数，r = 2 k + l ( 女= 0 ，1 ) ，则丑，) ( d ) ：v + 0 v + q w y + o y + ，使 z = 蜀0 3 i 圆e o 夏，) ( d ) z = 刍岛j ：嬲( d 为，d 为：) ( d 罂。一d 登。，) ( 磷川弼) w t 圆w j 记碍) f l ( d ) = l 。”i l , , ，m i , i 。 、d 。a ，l j 。，d i 一2 j 。) ( d 盟2 j ，- 2 1d t l j * - 1 ) d i a ， 丑r ) ( d ) z = 环) “药w i w j ，( 丑，) ( d ) z ) 巧= 叼) n 筋 2 ) r 为偶数，r = 2 k ( = 0 ，1 ，) ，则丑，) ( d ) ：v + o y + o w y + o y + 圆 使 墨，) ( d ) z = ；1 1 _ j 1 i l , ，m i r , 。i d ；a 。1 j ，d 昌：) - - ( i ) 罂。h 一，d 器，) 砺 t 。e 。 记丑小f ( d ) = 击岛i ：弱( d ：j 。，d 易：) ( z ) 罂l j r - 1 1d 筠，) 丑r ) ( d ) z = 丑r ) 订z 嚣w i w 3 e n ，( 丑r ) ( d ) z ) 嚣= 丑r ) 越弼 云南师范大学硕士学位论文8 注：在这一节中，为方便规定成对的指标表示求和， 矸，1 ( d ) 记为1 ，当 r = 0 时，丑o ) i j = 6 r = n 时，耳n ) l ，= 0 ) ( d ) 称为关于d 的广义的第r 个牛顿变换( 或张量) ，为简便记丑，) _ 丑，) ( d ) 当v 作为子流行的切部时，b 作为与度量联系的子流形v 的第二基本形式，关 于第二基本形式b 的初等对称函数称为修正平均曲率，我们感兴趣的是v 作为 子流行的切部的情形，在此引用此名称，定义关于d 嚣的广义的第r 次“修正平 均曲率”g 1 ) r 为奇数，r = 2 k + 1 则定义 q ，：= 刍弓并：釜，d ：j ，d ：j 。) - ( d ! ：打一。，d 罂，矗一。) d 。e 。 q # ：= 刍弓幂：( d 器，d 芝j 。) - ( d 嚣! ，如一。，d 罂，n 一，) d i a 如 2 ) r 为偶数，r = 2 k 则定义 q ，：= ；1 1 。f ，i ，、d 。a 。，l 。，d 暑j ：) ( 嘎! ，。一，磷务) 注：如果听定义为关于d 形式的第r 个“平均曲率”，则知q r = ( ：) 其中 ( ：) = 石i 筹而，并令q o = 1 当r 为1 时，q 1 = n 口1 = ”d ：。 下面来证明广义牛顿张量及“修正平均曲率”相关的一些代数性质，这些代 数性质是经典的牛顿张量及“修正平均曲率”相关的一些代数性质的自然推广。 性质1 ( r + 1 ) q ，+ 1 = t r a c e ( t ( ，1 d ) ( 1 4 ) 证明若r 为奇数 t r a c e ( t ( r 1 d ) = t ；d ； = ；1 1 儿i l 小i 、id a l ：d 为：) ( d 罂。h 一。，d t ，如一，) d 0 打，d 嚣 = 掣i 南窃：_ 3 r , 。j 嵩( d ：j ，d 岛。) ( d 罂。n 。，d 罂：批，)r ! f r + 1 11 一j 1 ， r + 1 、一。1 j 1 一2 2 j 2 、一。r 一2 h 一2 一一1 如一1 ( d 嚣1 d 。a k + 。k ) = ( r + 1 ) q r + 1 若r 为偶数 t r a c e ( t ( r ) d ) = ) l d i q i e 。 = - 刍宅：筹( d 嚣。，d 为：) ( d 登，扣。，d 筠，) d g e 。 = 掣丢丽群：器( 曜；嘏d i e j 。) ( d 罂讲赡，)r ! 一+ 1 ) ! 。，l ，如，如+ l 、一。1 j l 27 、一一1 如一1 一2 r p7 云南师范大学硕士学位论文 性质2r 为奇数时， r 为偶数时， 证明利用d 的对称性， 曙) 巧 瑶) 巧= 瑶) j ； ( r ) i j = ) 弘 当r 为奇数时，令r = 2 + i r j 。! g m i l , , 加i r , i j 一0 ，j 1 。d i 2 j 。) ( d ：三：如一。d 三，n 一，) d 0 击；1 0 譬( d 嚣，d 器：) ( d 釜：辞一。d 磬，。一，) d ，a ，讳 者薯：i j ! ? ( 暌_ d j ：) - ( d ：。矗一：d ! ， 一。) d 打 嘉嚷i ：；= j ( d ：j ：d 嚣j 。) - ( d 麓。斗一：d ! ， 一。) d 嚣打 礞协 当r 为偶数时，令r = 2 k 矸，) i j = 性质3 r 耘 证明若r 为偶数 象0 ( d ：；。，d 舄：) d r , 3 ( 啄：。d 墨：) 等譬( d ：j ，：d 易。) 貅( d ：j ，d ：j ：) ( d 罂，。，d 强) ( 嚷。“嘴，) ( d 罂，j r d 药，) ( d 罂：。，d i ：k j ，) 甄r ) ( d ) = q r 一臻一l 。d 。 瑁) ( d ) = q j t ( o ) d 。 夏r ) i j 2 击嵌鬟_ 1 0 ：( 咣j ，d 毫j 。) ( d 罂，。一，d ：；，) = 者( 1 啧：凳j ? 皇! ，舟一2 勺i l ，以i 3 , ，- , 矗i r , 一i ，+ + 。，i l ，, ，i 2 ：, ， 一, ，i ，r - 一l ，。i r ， ( d ：j ，d 笔j 。) ( d 罂，矗一，d 为，) 口 9 口 “ l r h q”u a + d p 云南师范大学硕士学位论文 1 0 = 去露暂裂。，( d 器，残抄 一去s 芫急j 譬，矗( d 帚。，d 魏) + d ；，j 。，d 黔，) j 船( d 为。，d 茜：) ( d ! ，。一，d ：；，) 弓 i ：劣j 。( d i ：2 j 。，d 荡。) ( d 0 1 l j r - ! d 筠，) ( d j ：z ) 器) 0 s ：( d 茜。，d 器。) ( d 茳l j r - ：d 黔，) ( d h j ，d ；a j l 。) , j r 一一“l , l 。7 “i l j l ，d 荔2 ) ，誓( d ： 。，d 动：) 十q r = 一；1 1 t l a ，一1 ) “d l a j 一一；1 1 t l o ，一1 ) “d 弓+ q ，0 j - i = q r 弓+ 瑶一1 ) i l d l g r = 1 时， 瑁) ( d ) 。j l j d i “l j 】 6 3 “1 酽- j - - 几l 。l j 。一苗1 吩1 d 嚣j 1 q f 吗一吗。d ，9 ，, 。 q 晖一丑o ) 巧，d 芬。 ：) ( 赡。 。) ( 暌。 命题1 2 设d = d ( t ) 为v 上的阜参可微燹抉群，则对于r = 1 r 为偶数时， 警珊一( 碍叫警)钟一、【r “j 疣7 r ：1 时 警：t r a c e ( t ( o ) 等) 优 j 证明若r 为偶数由( 1 1 ) 式 及 ( r ) q r = t r a c e ( t ( ，一1 1 d ) q ，= 刍嚷。耋( d 黔，d 昌。) - ( d 三：。 一。，d 嚣；，) d 嚣) d 嚣) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) 嚷 d 垃船姆如幻拈 嚷嚷嗡 一州td一州 扣 如 舯一 肿 d d q o p 如 3 3 誊_ 一誊_ 一 d d ( ( 卅船e ；三弦 吣耘麓 + 一 一 + ；1 1 。i 1 。i 、d 哪a l ，d 艺j ：) ( d 乞；。，d ：笔j ，。) ( 笔等。嚣；，+ 一。警) = 砉：i 奢( 。：；：，。苏) ( 磁蔓一。，d 。9 一t - ：。1 一：) ( 笔声。器，删毛。警) + 击吐：( d 嚣j ，咙j 。) ( d 三；，一。 ( 笃声。；，+ 一，百c o d k j ) 掣志e 。1 1 h 。i yc-1r1 jj j q j l r ! f 一、! j l ，r 、 d 。c 。t j l ：) ( d ：三k d | = k 。- - 1 。) ( 笔声噬一。警) 上 + 掣南啦i 奎( 9 1 嚷 ( 笔竽。”赡蚺。警) 象( 嘴j ，蠼抄。，( 磁笔沁，d 。? k - 。1 + ；南魏：溉嘏抄蜮a k 刮- i 。，一，r - - 2 ? 。) 。，笔磬 = ；雅啦岳1 c o d e 产r + 终咖晴笔乎 一，a 。 a 磁x 一1 ( r t - 1 ) “j r 否广 = n n c e ( 臻_ 1 ) 等) 警 一 h d 2 南 云南师范大学硕士学位论文 1 2 当r = 1 时 旦堕：翌丝鉴型 扰：4 盘 ：。t r 1a c e m ( t ( o ) 百o d a ) 5 2 常曲率空间子流形中口算子的相关性质和应用 这一节中采用类似文【6 , 2 1 的活动标架法表达，我们约定在子流形中g 为在 第一节中定义的向量形式，而在超曲面中g 为修正平均曲率函数。设z ：m n n 叶，为n 维黎曼流形m “到竹+ p 维黎曼流形的紧致定向的等距浸入，选取 叶9 的局部正交标架场e 1 ，e 。+ p 使得限制在m 上时，e l ，切于m ，如 下约定指标的范围 1s a ，b ，c ，礼十p ， 1 i ，j 、盎n n + 1 n ，p ，y 几+ p ， 并约定单项表达式中重复出现的上下指标，表示该式关于这个指标在其相应的取 值范围内求和对应上面所选的标架场的对偶标架场为w ”，u n + 。 的结构方程如下给出 幽a = w b a w b a ，o ) b a _ - t o a b = 0 ( 2 1 ) 批a b = u 4 c u c b + 虬b ，( p 2 1 。- - 呦g 。u g u 。 ( 2 2 ) 其中0 3 a b 为黎曼流形在e a 下的l e v i c i v i t a 联络形式，再a b c d 为n 的黎曼 曲率张量的分量，且瓦4 b c d 满足下面的条件 r a b c d = 一n a b d c = 一面b 4 d c ，再a b c d = 面c d a b r a b c d + r a c d b + 面a d b c = 0 如限制这些形式在m 上我们采用相同的字母，则 “口= 0 m “的结构方程为 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 25 ) d 她= 哟a 岣t ，哟 - f - w i j = 0( 2 6 ) 破哪= 芝二她 u 柳+ 垂可，西巧= 一i 1 r 巧埘u 女 u f ( 2 7 ) b 三遗! 堕盎堂塑主堂垡堡圭 1 3 由于0 = 幽。= 吁a 屿。，从c a r t a n 引理有 u 垴= h i j w j ， 易= 啄( 2 8 ) ， 从这些公式获得 p h j k z = 勘“+ ( 蠊啄一蟠啄)( 2 9 ) 幽。口3 帅+ 圣。口，垂。口一；吼脚叫岫 ( 2 1 0 ) r a 3 k l = 瓦。埘+ ( h i k h i l l h t z 缘) ，( 21 1 ) 其胄，( ) 为且，的联络，( 口) 为m 在法丛中的联络，令b ：岫 。，称 b 为浸入流形m 的第二基本形式对( 2 8 ) 外微分，并如下定义h i 的共壶导数 蜴，脚2 嘴+ 垛+ e h y 旷 g 口( 2 1 2 ) 嗨一喙，j = 瓦i j k 现在引入口算子 对于m 上的c ”函数f ，如下定义它的梯度和h e s s j a n d ：。，i 咄，巧：= d , 。+ ，屿( 抽：“) 对于法丛产( m ) 中的向量f = 。，如下定义。的共变导数 ；u t = d 。+ 钆胁 如下定义嚣的共变导数 乏：岛屿2d ；+ ；t 一2 u 。p 定义p 1 ，r 为奇数时的微分算子口r 对于在法丛中的向量f = f 。e 口定义微分算子 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 口”：c 0 。( t 上( 朋) ) - c ，”( ) 口”= 露) 玎锈 ( 2 z t ) 对于m 上的c 。函数f 定义微分算子 口7 ：c ”( m ) - - - _ 4c 。( t 上( m ) ) 云南师范大学硕士学位论文 1 4 o r = 臻) i j f , i j e n ( 21 8 ) 类似的定义p 1 ，r 为偶数时的微分算子口”，以及p = l 时的微分算子口7 对于m 上的c ”函数，定义微分算子 口7 ：c 3 。( f ) ，c 。( ( m ) ) d r ，= t ( 哟，i j ( 2 1 9 ) 注：当r = 0 时，口”，= f d i = a i 。 i 现设为具常曲率c 的空间，则 因而有g a u s s 方程 商幻埘= 0 ，瓦巧州= c ( s i k 6 j z 一文l 易) r u k f = c ( 6 ：易f 一魂f 吗) + ( 九盎 叠一h ? t h j 氛) ( 2 2 0 ) a 和 。 嗡一 曩，= 0( 2 2 1 ) 从而第二基本形式b 为一个c o d a z z i 张量我们有下面的命题 命题2 1 设z ：m ”一叶p 为n 维黎曼流形m ”到具常曲率c 的n + p 维黎 曼流形”押的等距浸入子流形，b 为浸入子流形的第二基本形式，则 i ) p 1 且r 为偶数时，关于b 的第r 次牛顿变换是零散度的，即 丑咖。= 0 当p l 且r 奇数时， 碍) 蜘= 0 j i i ) 当p = 1 时，r 为任意的指标，关于b 的第r 次牛顿变换是零散度的，即 丑，) 埴j = 0 证明由于i i ) 在1 16 】的命题b 中已有结论，只证i ) r 为偶数，令r = 2 k 丑，) 巧= 再1 。砌i l i 2 ，- - 加i 孙i k ，i j ，h i 2 j 。) ( 罂咖- i 危为，) 墨壹塑垂盘堂塑主堂垡堂皇 1 5 有 ) = 三r r 3 “1 0 2 7 2 , 暑：( 巷。j ，h a l ：+ h i “l j ， 劫：，) ( 罂， - 1 ， 器，) + - + 击s 冀玺j 象：( ，h i 一2 j 。) ( h 盟，。h 饕，+ 罂，加。 器脚) = 击露舞：i 奢：( ：j ， 茜。) ( 譬。舡。j ， 为，+ 罂，n 。h i a l j ) 上- + 击s 2 囊j ? j 象：( h 为，h 笛：) ( 罂。，嗡，+ 茳。， 黔卅) = 鲁弓z 羟j 囊：( i j ，唱：) ( 裴，n 埘， 黔，+ 罂。，。j 蠕川) = 7 南e 凳嘉蛮：( ：j ，： 舄。) ( 茳，一，“药旬) 又知 所以有 当r 奇数时，令r = 2 k + 1 i + 誓；j ，= 0 药r j = 器m ； ) i j ，j = 0 碍阚= ；11 。i i i ，2 , 。i r - 。l , i 。r , i ，7 h a i j l j 、 巷：+ 巷，h a 。l 。，) ( h 罂。：， 罂。卜，) ， 。蟛 0 = j ( 为。h i 2 j 。) ( h 茳晴。， 罂，。，+ h 盟。扎。 罂。，j ) + 击s z ：j z j ：( i 。：) ( 罂。扎。，h 盟。扎，) h 嚣扎j = ：z f e i l , i z , , , 。i r , 。i ( h a l ，h 巷：j ) ( 赡量：j 。，危望l j r - l ，j ) 嚣 + 三嚷舞? 船：( 。， 巷：) ( h 罂。扎。， 罂，如，) h 卅。t ， + 击嚷嚣? ? = ：( 貉。： 勃。) ( 峰! ：扎：， 罂，扎埘) h 。t 卅 = 箸嚷新j 0 = 。i r , 。i ( 、h 。a l ，咙j 。) ( 罂研一 罂墉一，j ) 嚣矗 唯力 。矛 + + 也 云南师范大学硕士学位论文 + j j - 勺i 1 1 , 如i 2 ? , m i r - “l , i m r , i j ( 、h ：a l l 川唱2 ) ( 罂2 j r 一2 罂。n 1 ，j ) 嚣m j ( 换亚标) = 等s z 麓j ? 毫王嚣( 为，忍劫。) ( h 罂：加。， 罂。，函一。) 幄打 + 击e j i l 。, 棚i 2 , ， , m i r - 一1 1 m i r , ! ( h w y l l ，九为2 ) ( 罂2 扣2 ，危罂。批1 ，) 嚣j 矗 j ( b 为c o d a z z i 的) = 等嚷鬟：? 毫z 麓( 巷。， 为。) ( 罂：。， 罂。，) 导， + 击岛：瑟i ? 0 3 要( ：， 苏) ( h 罂。扣：，h 罂，。埘) h o 一 l( 广义的k r o n e c k e r 符号是反称的) = 一等矗璺j ：? j z j i r , i 孙c 1 。1 巷：) ( 盟。：，危罂。，) h 导p j ie m i l , i 2 , , 加i r - - “1 , i m r , i j ( 、h a 1 1 ，九茜2 ) ( 罂2 j r - 2 1 罂m “，) h a 吲 1 6 所以有 臻) 。，= 0 j 这样就完成了证明 口 对任何一点q m ，黎曼度量( ，) 。诱导了m 上法从的内积，我们定义它也 为( ，) 口，则对于任意的，q c 。( t 上( m ) ) ，由岛，叩叮t 上( m ) q ，可定义一个函数 ( f ，q ) 。= ( 岛，啦) 。同样的可以诱导唯一的+ 算子满足 ( ，q ) q d m = q a 这样可以定义在c o 。( t 上( m