（通信与信息系统专业论文）傅里叶变换光谱仪动镜倾斜误差和采样误差分析及仿真软件设计.pdf

傅里叶变换光谱仪动镜倾斜误差和采样误差分析 及仿真软件设计 摘要 傅里叶变换光谱仪的发展速度很快，仪器的功能和性能也在不断地提高，其 应用领域非常广泛。傅里叶变换光谱测量取决于干涉图的质量和干涉图的采样， 这就要求动镜作匀速直线运动且需要与定镜时刻保持严格的准直关系，另外要求 对干涉图进行等间隔采样。 在傅里叶变换光谱仪中，迈克尔逊干涉仪是其光学系统的核心部分。动镜的 驱动机制的机械特性直接决定着傅里叶变换光谱仪的性能。但是在实际的扫描测 量过程中，由于动镜驱动部分的摆动等原因造成动镜倾斜，引起光程差的变化， 进而造成干涉图测量误差。为了得到所测光的光谱图，需要先对干涉图进行采样， 然后对其作傅里叶变换。在采样过程中，由于电路延迟等原因造成的采样间隔变 化即存在采样误差，也会引起干涉图测量误差。 本文分析了引起动镜倾斜误差和采样误差的原因和误差的类型，并以静态倾 斜误差为例，建立了存在静态倾斜误差时的干涉仪模型，对存在静态倾斜误差时 的干涉图函数进行了公式推导，并根据公式对波数、动镜倾斜角度大小、光束孔 径大d , 三j l 起的存在误差时的干涉图的影响进行了讨论分析。 本文给出各种误差的模型，并借助m a t l a b 对各种误差进行数值模拟，利 用m a t l a b 强大的处理数据和计算能力分别来仿真不同类型的动镜倾斜误差和 采样误差对干涉图和光谱图的影响，克服了由动镜倾斜误差和采样误差本身性质 的复杂性所造成的对误差进行理论分析的困难。 本文根据实际需要，设计了误差仿真用户软件。因为误差种类较多，并且每 种误差模型本身具有不同的参数，如果要仿真不同参数的误差对干涉图的影响是 非常繁琐的，并且目前也没有一个成型的误差仿真软件来方便用户仿真不同的误 差对光谱图的影响，通过误差仿真软件可以方便用户根据需要来仿真各种不同类 型的误差对光谱图的影响。 通过仿真不同的误差对光谱图的影响，并与理想的光谱图作比较，这样便于 用户根据仿真结果对光谱仪进行调整，各种误差对干涉图和光谱图的影响的分析 为改善光谱仪的性能，使得光谱仪g _ n 精度高，误差小的目的提供了依据。 关键词：傅里叶变换光谱仪；动镜倾斜误差；采样误差；m a t l a b 仿真：误差 仿真软件 a n aiy siso fmirr o r t i iti n ga n ds a m p iin ge rr o rs in f o u rie rt r a n s f o r ms p e c t r o m e t r ya n dd e s ig no f sim uia tio ns o f t w a r e6ill a b s tr a c t t h ef o u r i e rt r a n s f o r ms p e c t r o m e t e rd e v e l o p sv e r yq u i c k l y , w h i l et h ef u n c t i o n a n dp e r f o r m a n c eo ft h es p e c t r o m e t e ri s c o n s t a n t l yi m p r o v e d ，s ot h es p e c t r o m e t e ri s u s e di nm o r ea n dm o r ea r e a t h ef o u r i e rt r a n s f o r m s p e c t r o m e t e rm e a s u r e m e n t d e p e n d so nt h eq u a l i t yo fi n t e r f e r o g r a ma n dt h ei n t e r f e r o g r a ms a m p l i n g t h em o v i n g m i r r o ri s r e q u i r e d t om o v ea tac o n s t a n ts p e e di nas t r a i g h tl i n ea n d k e e p p e r p e n d i c u l a rt ot h ef i x e dm i r r o rd u r i n gas c a n ，a n dt h es a m p l i n gi n t e r v a lf o rt h e i n t e r f e r o g r a mi sr e q u i r e dt ob ee q u i v a l e n t t h em i c h e l s o ni n t e r f e r o m e t e ri st h eo p t i c a lc o r eo ft h ef o u r i e rt r a n s f o r m s p e c t r o m e t e r t h ep e r f o r m a n c eo ft h ef o u r i e rt r a n s f o r ms p e c t r o m e t e ri sr e l a t e dt o t h em e c h a n i c a lc h a r a c t e r i s t i c so ft h em o v i n gm i r r o r sd r i v i n gm e c h a n i s m i nf a c t ， t h e r ea r et i l t i n ge r r o r sc a u s e db yt h ev i b r a t i o no ft h em o v i n gm i r r o ra n do t h e r f a c t o r s ，w h i c hc a u s e st h ec h a n g eo ft h eo p t i c a lp a t hd i f f e r e n c e ，a n dt h u sh a v ea l l i m p a c to nt h ei n t e r f e r o g r a ma n ds p e c t r u m i no r d e rt oo b t a i nt h es p e c t r u m ，o n en e e d s t os a m p l et h e i n t e r f e r o g r a m a n dt h e nf o u r i e rt r a n s f o r m si t i f s a m p l i n gt h e i n t e r f e r o g r a mi sn o ti ns t r i c te q u a lo p d s ，b e c a u s eo ft h ee l e c t r i c a ld e l a y sa n ds oo n ， t h e r ea r es a m p l i n ge r r o r st h a ta f f e c tt h es a m p l e di n t e r f e r o g r a m t h ec a u s e so ft h em o v i n gm i r r o r st i l te r r o ra n dt h es a m p l i n ge r r o ra n dt h ee r r o r s c l a s s i f i c a t i o ni sa n a l y z e di nt h ea r t i c l e t h ea r t i c l et a k e st h es t a t i ct i l te r r o ra sa n e x a m p l et oe s t a b l i s ht h ei n t e r f e r o m e t e rm o d e l t h ef u n c t i o no ft h ei n t e r f e r o g r a mw i t h s t a t i ct i l te r r o ri sd e d u c e d ，a n dt h ee f f e c to ft h ep a r a m e t e r ss u c ha st h ew a v en u m b e r ， t h et i l ta n g l eo ft h em o v m gm i r r o r ，t h eb e a m sa p e r t u r es i z e ) o nt h ei n t e r f e r o 伊a mw i t h t i l te r r o ri sa n a l y z e d d u et ot h ee r r o r sh a v i n gd i f f e r e n tc h a r a c t e r i s t i c s ，t h e ym a yc a u s el o s so ft h e d e t e c t e dr a d i a t i o no rc h a n g eo ft h em e a s u r e df r e q u e n c y t oq u a n t i f yt h ee f f e c t so ft h e d i f f e r e n te r r o r so nt h eo u t p u ts p e c m m a ，o n en e e d st o t a k ei n t oa c c o u n tm a n y i n t e r r e l a t e df a c t o r s ，s o m eo fw h i c ha r en o te a s i l yq u a n t i f i a b l e t h em o d e l so ft h e d i f f e r e n te r r o r sa r eg i v e ni nt h i sa r t i c l e t h ee f f e c t so ft h et i l te r r o ra n dt h es a m p l i n g e r r o ro nt h ei n t e f f e r o g r a ma n dt h es p e c t r u ma r es i m u l a t e db yt h em a t l a b ，w h i c hh a s p o w e r f u ld a t ap r o c e s s i n ga n dc a l c u l a t i n ga b i l i t y i no r d e rt os i m u l a t et h ee f f e c t so ft h ed i f f e r e n te r r o r so nt h es p e c t r u m ，i t i s n e c e s s a r yt od e s i g nt h ee r r o r ss i m u l a t i o ns o f t w a r eb e c a u s et h ee r r o r sh a v ed i f f e r e n t d a r 锄e t e r sa n dt h e r ei sn o ta ns i m u l a t i o ns o f t w a r en o w a c c o r d i n gt ot h ea c t u a ln e e d s ， t h ee r r o r ss i m u l a t i o ns o 讯v a r ei sd e s i g n e di nt h ea r t i c l e ，s ot h eu s e rc a no b s e r v et h e e f f e c t so fd i f f e r e n te r r o r so nt h es p e c t r u mc o n v e n i e n t l y t h r o u g hs i m u l a t i n gt h ee f f e c t so ft h e d i f f e r e n te r r o r so nt h es p e c t r u ma n d m a k i n gc o m p a r i s o nw i t ht h ei d e a ls p e c t r u m ，i ti sc o n v e n i e n tf o rt h e u s e r st oa d j u s tt h e s p e c t r o m e t e r t h ep e r f o r m a n c eo f t h es p e c t r o m e t e rc a na l s ob ei m p r o v e ，da c c o r d i n gt o t h er e s u l t so ft h es i m u l a t i o n ，s ot h es p e c t r o m e t e rc a nh a v eh i 【g hp r e c i s i o na n ds m a l l e r r o r k e y w o r d s ：f o u r i e rt r a n s f o r ms p e c t r o m e t e r ；t i l t i n ge r r o ro ft h em o v i n gm i r r o r ； s a m p l i n ge r r o r ；s i m u l a t i o nb ym a t l a b ；e r r o r s i m u l a t i o ns o f t w a r e i v 傅里叶变换光谱仪动镜倾斜误差和采样误差分析及仿真软件设计 1 绪论 1 1 课题的研究背景 由上世纪7 0 年代至今的四十多年中，傅里叶变换光谱技术得到了快速的发 展，傅里叶变换光谱仪也一直在不断的升级n 3 。世界上生产光谱仪的公司有很多， 并且这些公司每隔几年就研制出新的光谱仪，其中相应的配件也在不断的升级 乜1 。正是因为光谱仪的配件的升级，光谱仪的功能也相应的得到了扩充、性能也 得到了提高，光谱仪的应用领域也越来越广心1 。 从十九世纪中后期开始至今的一百多年，傅里叶变换光谱技术的发展非常迅 猛川。特别是从二十世纪六十年代之后，随着光学、电子等相关技术的快速发展， 尤其是计算机技术的快速发展和快速傅里叶变换技术的出现促使傅里叶变换光 谱技术应用二f 越来越多的领域口1 ，并由实验室走向工程应用。 从上世纪七十年代开始，我国从国外购进了傅里叶变换光谱仪。到了八十年 代，光谱仪被大量的引进国内h 1 。八十年代中后期，北京瑞利分析仪器公司从美 国引进了先进的傅里叶变换红外光谱技术，并将其用于傅里叶变换光谱仪的研究 和生产瞄1 。经过二十多年的发展，傅里叶变换光谱仪在我国教育教学、工业等领 域越来越多的被应用，并发挥着举足轻重的作用。 虽然傅里叶光谱仪更新换代很快，性能也在不断的提高，但是在实际应用中 依旧会存在动镜倾斜误差1 和采样误差n 3 ，这两类误差会对检测器检测到的干涉 图和输出的光谱图造成影响。目前关于这两类误差对傅里叶变换光谱仪的影响的 研究不是很多，并且也没有一个成型的仿真软件方便用户来仿真不同的误差对傅 里叶变换光谱仪输出光谱的影响。 傅里叶变换光谱仪在使用过程中，由于存在着动镜倾斜误差和各种因素导致 的采样误差，所以检测器检测到的干涉图与理想的干涉图相比存在差异，这样就 导致了光谱仪输出的光谱图存在误差。由于动镜倾斜误差和采样误差本身具有不 确定性和复杂性，因此对其进行精确的理论分析是有很大的难度的盯1 ，而通过 m a t l a b 对其进行仿真较为简单，使得结果也比较清晰。 利用m a t l a b 软件强大的计算功能，使得实验结果的处理变的简单，节省了 傅里叶变换光谱仪动镜倾斜误差和采样误差分析及仿真软件设计 大量的时间和精力，同时利用m a t l a b 软件的图形用户界面设计功能啉1 ，制作出 误差分析界面，这样用户可以很方便的根据需要选择不同的误差类型，输入不同 的误差参数，来仿真不同类型的误差对光谱图的影响，便于与理想的光谱图进行 比较和修正，并以此来校正光谱仪测量系统，为傅里叶变换光谱仪性能的提高提 供依据。 1 2 课题的研究目的和研究意义 由于动镜倾斜误差和采样误差本身性质的不确定性，所以定量分析这两类误 差对傅里叶光谱仪所测量的干涉图和光谱图的影响是很复杂的，所以本文将这两 类误差对光谱测量的影响进行定性分析，同时利用m a t l a b 对动镜倾斜误差和 采样误差进行数值模拟，并仿真这两类误差对傅里叶变换光谱仪输出频谱的影 响，并设计相应的误差仿真软件，该仿真软件是人机交互式的，这样方便用户输 入不同的参数仿真不同的误差对光谱图的影响。 本文根据傅里叶变换光谱仪的一些基本原理，从实际应用角度出发，利用 m a t l a b 软件强大的计算和绘图功能，根据实际需要，设计了傅里叶变换光谱 测量仪误差仿真软件，对由动镜倾斜和采样定位不准确引起干涉图测量误差进行 仿真分析。 通过设计用户仿真软件可以使得用户仿真不同的误差对输出光谱的影响，这 样便于用户根据仿真结果对光谱仪进行调整，并为改善光谱仪的性能，使得光谱 仪达到精度高，误差小的目的提供了依据。 1 3 课题的研究内容 本文的主要研究内容：在深入了解傅里叶变换光谱仪的工作原理基础上，根 据实际需要，分析光谱测量过程中存在的各种误差，根据误差本身的特性对误差 进行分类，并对这些误差对光谱造成的影响进行理论分析，同时借助m a tl a b 软 件的强大计算和处理数据的特性，针对由这些误差带来的光谱的变化进行数值模 拟，并设计误差仿真用户软件，方便用户仿真不同的误差对光谱图的影响。本文 共有五章： 第一章绪论：简单介绍本课题的研究背景、研究目的和研究意义、研究内 傅里叶变换光谱仪动镜倾斜误差和采样误差分析及仿真软件设计 容及各章节安排； 第二章傅里叶变换光谱仪的基本原理：概括介绍了光谱仪的发展、傅里叶 变换光谱仪的工作原理、傅里叶变换光谱仪的特点以及傅里叶变换的相关知识； 第三章傅里叶变换光谱仪光谱测量时的误差分析：主要分析了引起动镜倾 斜误差和采样误差的原因和误差的分类，并以静态倾斜误差为例着重分析了该类 误差对干涉图的影响，并对存在静态倾斜误差时的干涉图函数进行了公式推导， 并对不同的误差参数对干涉图的影响进行了详细的理论分析。 第四章动镜倾斜误差和采样误差的m a t l a b 数值模拟和仿真软件设计： 给出不同类型的误差模型，利用m a t l a b 对不同类型的动镜倾斜误差和采样误 差进行仿真，分析各种误差对干涉图和光谱图的影响，并根据实际需要设计误差 仿真软件，详细的介绍了软件实现的功能。 第五章总结与展望：对本文做出总结，提出设想，作出展望二 傅里叶变换光谱仪动镜倾斜误差和采样误差分析及仿真软件设计 2 傅里叶变换光谱仪的基本原理 2 1 傅里叶变换光谱仪 2 1 1 傅里叶变换光谱仪概述 从十九世纪六十年代开始，迈克尔逊干涉仪的发明标志着傅里叶变换光谱技 术的出现咱1 。虽然发明迈克尔逊干涉仪最初的目的是为了测量真空中的光速，但 是它的发明为后来傅里叶变换光谱仪的出现打下了良好的基础，这是因为迈克尔 逊十涉仪是傅里叶变换光谱仪的基本结构阳1 。十九世纪九十年代初，迈克尔逊曾 指出，对于双光束干涉仪来说，在其接收面上接收到到干涉图强度随光程差的变 化而变化，且其值大小与被测量光谱的傅里叶变换相等，这些理论为后来傅里叶 变换光谱仪的发展奠定了良好的基础嘲。在随后的几十年的发展历程中，尽管傅 里叶光谱技术的众多优点不断被人们发掘出来，但是由于对高分辨率傅里叶变换 光谱进行反演所需要的计算量非常大，因此直到2 0 世纪后半叶，随着数字计算 机技术的快速发展，傅里叶变换光谱技术才逐步在光谱技术、尤其是红外光谱测 量领域中占据了重要地位阻1 。特别是在1 9 6 5 年，j w c o o l e y 和j w t u k e y 发明 了快速傅里叶变换( f f t ) 算法并且把它应用于干涉光谱仪上，从而使高分辨率 傅里叶变换光谱反演所需要的计算时间大大缩短，也使得傅里叶变换光谱测量技 术的广泛应用成为现实旧1 。 目前主要使用的光谱仪有两类：即色散型光谱仪和傅里叶变换光谱仪 ( f o u r i e rt r a n s f o r mi n f o r mi n f r a r e ds p e c t r o p h o t o m e t e r ，f t i r ) e g o由于这 两类光谱仪有各自的特点，所以它们在不同的领域中得到应用。由于傅里叶变换 光谱仪具有快速、可靠、方便等优点，因而在大、中型实验室主要使用该类仪器。 而色散型光谱仪价格低廉，因此在小型实验室及一般的教学、生产中普及使用。 2 1 2 傅里叶变换光谱仪的基本工作原理 在傅里叶变换光谱仪中，光源发出的光首先经过干涉仪变成干涉光，干涉光 照射样品后，经检测器检测，检测器得到的是干涉图n 。1 ，而不是我们常见到红外 吸收光谱图，通过计算机对所检测到的干涉图作傅里叶变换就可得到实际的吸收 傅里叶变换光谱仪动镜倾斜误差和采样误差分析及仿真软件设计 光谱图n 。图2 - 1 所示为傅里叶变换光谱仪的结构框图，图2 - 2 是傅里叶变换光 谱仪的基本原理图，其主要由光源、干涉仪、检测器和数据处理系统等组成m 1 。 光源 图2 一l 光谱仪的结构框图 一嚣豳动镜驱动装萱 li r 一 l 五，l 羊再 ，jr-_ j， 分束器 r 豳豳圈 检测器 r 圜圜 豳圈 a d 转换 r 豳瞳豳计笪加 图2 2 傅里叶变换光谱仪的原理图 定 镜 迈克尔逊干涉仪是傅里叶变换光谱仪的基本结构，其示意图如图2 3 所示。 迈克尔逊干涉仪的器件主要有光源、定镜、动镜、分束器和检测器。其中光源发 出的光束照射到分束器上，经分束器分为两束，首先做一个假设，分束器不吸收 党，且其反射率与透射率都为5 0 ，也就是说光源发出的光有5 0 透过分束器射 向动镜，再由动镜反射回到分束器乜1 。剩下的5 0 由分束器反射到定镜，再由定 铙爱射回到分束器。这两束光由分束器离开到再次反射回到分束器所经过的光的 路径的差值叫作光程差( o p t i c a lp a t hd i f f e r e n c e ，简记为o p d ) n 。如图2 3 所示，图中虚线为零光程差时动镜的位置，x 为动镜相对零光程差位置的位移， 傅里叶变换光谱仪动镜倾斜误差和采样误差分析及仿真软件设计 这时光程差为2 x 。将光程差用符号万来表示，则光程差可记为：占= 2 x 。 光 定镜 图2 3 迈克尔逊干涉仪示意图 下面以单色光光源为例来讲述干涉图的产生。假设单色光光源产生的光束是 无限窄的且是完全准直的，设其波长是五，经过一个完全不吸收光的分束器，该 光束被分成了两束。 当定镜和动镜到分束器的距离相等时，也就是光程差为零，即6 = o 1 。此时， 由定镜和动镜反射回到分束器上的两束光，它们的相位是完全相同的，所以这两 束光相加后没有发生干涉，因此相加后光的强度大小与这两束光的强度之和相等 n 4 。如果由动镜反射回来的光到达分柬器并且由分束器全部反射，则检测器所检 测到的光强强度与单色光源发出的光强强度相等。 当动镜相对零光程差位置移动彤时，即光程差为占= 仫，从定镜反射回到 ，- r上 分束器上的光束的相位与从动镜反射回到分束器上的光束的相位相差正好等于 波长的一半，即它们的相位差为石，这时说这两束光的相位是相反的。此时这 两柬光相遇发生了干涉，且两束光相加后光强正好等于零，也就意味着两光束的 光强相互抵消，此时由检测器检测到的信号大小为零。 当动镜继续沿着该方向移动且动镜又移动了形的距离时，这时光程差可记 ，_t 为万= 五，从定镜反射回到分柬器上的光束的相位与从动镜反射回到分束器上的 光束相位差值正好等于一个波长，也就说两光束的相位是完全相同的。该情况和 6 傅里叶变换光潜仪动镜倾斜误差和采样误差分析及仿真软件没汁 光程差为零时的情况完全一致。 如果动镜的移动速度是均匀的，那么检测器所检测到的信号强度变化是一个 正弦波，即单色光的干涉图为正弦波。 经过上述分析可知，当万= n 2 ( f i 为整数) 时，这时检测器所检测到的信号强 度是最大的。所以，当测量的光为单色光时，其零光程差位置是无法从干涉图上 来确定的。 因为动镜做匀速移动，所以检测器所检测到的干涉光的强度是光程差的函 数，将干涉光的强度用符号，+ ( 万) 表示，当光程差万= n t ( n 是一个整数) 时，干 涉光的光强与单色光光强相等n5 i 。当光程差万为其它值时，检测器所检测到的干 涉光的强度，( 万) 可由下式给出1 ： ，( 艿) = o 5 ( 。) 【1 + c o s ( 2 万) ( 2 1 ) = 0 5 1 ( o ) 1 + c o s ( 2 r r s o ) 1 ( 2 2 ) 其中，。表示光源的波数( 波数。= ) ，( u ) 是光源的强度。由式( 2 1 ) 可以看出，当光程差万= 刀五( n 为整数) 时，c 。s ( 2 丌) = 1 ，( 6 ) = ，( u ) 。 由( 2 2 ) 式可知，单色光的光强函数( 6 ) 由两部分组成：一部分是直流分量 0 5 1 ( o ) ，另外一部分是余弦函数项o 5 1 ( o ) c o s ( 2 z s v ) 。在实际的光谱测量过程中， 我们只考虑余弦函数项，因为只有余弦函数项是有重要贡献的。因此当干涉仪为 理想干涉仪时，测得的单色光的干涉图，( 万) 可通过下式给出： ，( 艿) = o 5 1 ( 0 ) c o s ( 2 z s o ) 从式( 2 - 3 ) 可以看出，干涉图，( 万) 与单色光的光强， ) 是成正比的乜1 。实 际测量时，干涉图函数除了与单色光的光强有关，检测器所检测到的信号强度还 与下面几个因素有关。 ( 1 ) 现实中的分束器是不可能做到完全理想的，也就是说它的透射率与反射 率不可能正好都是5 0 。还有一点，当介质相同时，反射率会因波长的不同而有 傅里叶变换光谱仪动镜倾斜误差和采样误差分析及仿真软件设计 所不同。所以式( 2 - 3 ) 中的光强1 ( v 1 应乘以一个系数，该系数与波数有关。 ( 2 ) 大部分情况下，检测器光强的响应也会因波数的不同而不同，也就是说 对所有的波数并不是均匀响应的。 ( 3 ) 光谱仪中的很多放大器对不i 一波长的光的响应也是不同的。这是因为在 放大电路中一般都会包含滤波器，在测量光谱时，检测器除了检测到所测光的光 信号之外，还检测到其他的一些噪声和外界干扰信号，滤波器的作用就是要把这 些噪声和外界干扰信号滤除掉，正是滤波器的这种频率相关性才使得放大电路对 光信号的响应因频率不同而有所差异。 所以在实际测量时，检测器所检测到的干涉图强度不但与光源的光强成正 比，还与检测器的响应特性、分束器的反射率和透射率、放大电路的响应特性有 关。对于某一个特性的光谱仪来说，后面三个因素对干涉图的影响是固定不变的， 也就是说是一个常量。这时式( 2 3 ) 应该乘以一个因子，且该因子与波数有关， 用符号h ( u ) 来表示，因此式( 2 3 ) 变为： ( 艿) = 0 5 h ( o ) i ( o ) c o s ( 2 7 r & 0 设b ( o ) = 0 5 h ( o ) i ( o ) ，则式( 2 4 ) 变为 ，( 占) = b ( o ) c o s ( 2 r c & o ( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) 式( 2 5 ) 是表示干涉图的最简单方程u 。该方程表示单色光的干涉图，且单 色光波数为u 。方程中的b ( o ) 是波数为o 的单色光光强，该参数与仪器的特性有 单 】 ，( o 通常称( 占) 为b ) 的余弦傅里叶变换，对干涉图，( 万) 作余弦傅里叶逆变换 即可得到光谱b ( n 印。 当所测光为连续的多频率复色光的情况下，干涉图包含了全部的光谱信息。 动镜运动的每一点处由检测器检测到的干涉图强度是所测光源中所有频率的光 强之和。鉴于复色光干涉图的这种加和性质，所以在一定条件下，在理论上复色 光的干涉图可对( 一。，+ o o ) 波数区间内的所有频率的光强进行积分得到n ”。用 8 傅里叶变换光谱仪动镜倾斜误差和采样误差分析及仿真软件设计 j ( 万) 来表示复色光的干涉图函数，则可用下式表示： 砸) = e 岛( u ) c 。s ( 2 n 6 v ) d 。 ( 2 6 ) 其中，i ( f i ) 表示动镜在光程差为万这一点时，检测器所检测到的光信号强度。 这个信号是对( 一o o ，+ o o ) 区间内的所有波数d 的光强进行积分得到的，即所有 不同波数的光强度的加和口引。因为万是连续变化的，因而可以得到一张完整的干 涉图“。由上式可知，复色光的干涉图函数也与光程差万有关，且在万：o 处取 得最大值，二f 涉光强度随6 的增大而衰减。 式( 2 6 ) 得到的只是干涉图，对式( 2 6 ) 作傅里叶逆变换即可得到所测光的 光谱图n 7 1 ，且光谱图方程如下式： 玩( 。) = e 凇) c o s ( 2 a 0 6 ) d f i ( 2 7 ) 式( 2 6 ) 和( 2 7 ) 式被称为余弦傅里叶变换对。其中i ( a ) 是一个偶函数，所以， 可以将方程( 2 - 7 ) 变成n 3 ： 件 b o ( d ) = 2 ( i ( f i ) c o s ( 2 r c o f i ) d 6 ( 2 - 8 ) 式( 2 8 ) 表明了光谱分布b 。( l ) ) 与干涉图i ( f i ) 之间存在一种余弦傅里叶变换 关系。同理定义b ( u ) 为偶函数，即b 。( - o ) = b ( d ) ，偶函数在区间( 一。，o ) i - _ - 与x e 间( 0 ，+ 一) 上是完全对称的，又因为s i n ( 2 1 r v f i ) 是奇函数，所以可把式( 2 - 6 ) 变为： 砸) = e 玩( 。) e j 2 , z o a d 。 ( 2 9 ) 对上式进行傅里叶变换，会得到n ： b 。( u ) = e ，( 万) e - j 2 n v 5 d 万 ( 2 1o ) 通过式( 2 9 ) 和式( 2 1 0 ) 可知，光谱分布召。( u ) 与干涉图j ( 万) 互为傅里叶变换 对，要想得到光谱图鼠( d ) ，需要对干涉图，( 万) 进行傅里叶变换，同样对光谱图 玩( u ) 进行傅里叶逆变换便可得到干涉图i ( f i ) 叫。 傅里叶变换光谱仪动镜倾斜误差和采样误差分析及仿真软件设计 2 1 3 傅里叶变换光谱仪的特点 ( 1 ) 高通光能力 在常规棱镜和光栅光谱仪中，光源发出的光需要通过入射狭缝，由于受其宽 度限制，通过仪器的光通量也是受限的，理论上可以通过加大缝宽来提高光通量， 但是缝宽加大会导致仪器分辨率降低，这样将不利于测量弱信号。而傅里叶变换 光谱仪中没有狭缝的限制，因此在分辨率相同的情况下，光通量比常规光谱仪的 光通量大得多1 8 1 。 ( 2 ) 具有多通道探测的优点 虽然傅里叶变换光谱仪中的探测器只有一个，但是当测量光源为多色光源 时，由于不同光谱元的调制频率不同，此时相当于多通道的测量情况。因此当测 量光谱有1 3 个光谱元时，傅里叶变换光谱仪与普通的光谱仪相比，信噪比将会提 高刀n 倍呻1 。举个例子，如果测量光的波数范围是4 0 0 - 4 0 0 0 c m ，光谱仪的分辨 率为2 c m ，则傅里叶变换光谱仪与普通光谱仪相比，信噪比将会提高 石= 半硼倍。 ( 3 ) 具有高分辨率 理论上，可以通过提高光程差即增加动镜的扫描距离来提高傅里叶变换光谱 仪的分辨率，傅里叶变换光谱仪的分辨率要比普通光谱仪的分辨率高引。 2 2 傅里叶变换 2 2 1 傅里叶变换原理简介 傅里叶变换是一种积分变换。傅里叶变换的基本思想由法国学者傅里叶首先 提出，所以以其名字来命名乜0 1 。 当某一函数满足一定的条件时，傅里叶变换能用基本的三角函数( 正弦余 弦函数) 或者它们的积分的线性组合来表示该函数。对于不同的研究对象，傅里 叶变换的形式也不同，例如连续时间信号的傅里叶变换和离散时间信号的傅里叶 变换陋。 l o 傅里叶变换光谱仪动镜倾斜误差和采样误差分析及仿真软件设计 傅里叶变换的应用领域非常广泛，例如在物理学、数学、信号处理、概率论、 光学等领域的应用，尤其是对信号进行处理时，经过傅里叶变换可得到信号的幅 值特性与频率特性但。 任何信号都可以用完备正交的函数集进行分解，也就是说任何信号都可以用 基本的时间函数的线性组合来表示n 1 。因为正弦和余弦曲线具有保真度这个性 质，所以傅里叶变换就是将信号表示成若干个正弦和余弦的组合，对于连续傅里 叶变换有： f ( t ) 2 瓦1 f ( 功矿d c o ( 2 - 1 1 ) 其中：f ( 国) ：f of ( t ) e 一，删d t d - c * o ( 2 1 2 ) ( 2 一1 1 ) 式就是信号f ( t ) 的傅里叶变换，( 2 1 2 ) 式被称为傅里叶逆变换，这是 一对傅里叶变换对。 傅里叶变换光谱仪的核心部分是迈克尔逊干涉仪乜2 | 。在上节中提到，在迈克 尔逊干涉仪中，由于动镜作连续的匀速移动，由动镜和固定镜反射产生的两束相 干光光程差产生连续的变化，干涉光强也会作出相应的改变n 1 。由光波的叠加原 理可知，如果有两束单色光的波长都是五，即波数都是d ，偏振方向和传播方向 都相同，光强都是，两束光之问的光程差是万，那么这两光束叠加产生的干涉 光强是： 卜一c o s 2 ( 万。争0 5 i 1 + c o s ( 2 r e 和 l 九 = o 5 i 1 + c o s ( 2 z c v 8 】 ( 2 13 ) 由上式可知，单色光的干涉光强函数有两部分组成：一个直流分量，一个余 弦函数分量，其中，余弦函数分量的周期与单色光的波数有关。在光谱测量时， 对干涉图贡献最大的是余弦调制项。因此，单色光通过理想的干涉仪时测得的干 涉图方程为： ，( 占) = o 5 ic o s ( 2 ；r s v ) ( 2 14 ) 傅里叶变换光谱仪动镜倾斜误差和采样误差分析及仿真软件设计 在上一节中还介绍了多色光的干涉光强函数。如果光源发出的是多色光，光 强的分布，与波数有关即为i ( v ) ，那么在光波数问隔a v 内的光强是l ( v ) - a v ，将 该光源发出的光经过干涉后，光强为： 出= 0 5 1 ( o ) - d + 0 5 i ( o ) a v ，e o s ( 2 z v 8 ) ( 2 一t 5 ) 如果将波数间隔取无穷小，则可以进一步得出在整个光谱范围内的相干光强 为： ，：o 5r + o 5f = 。 (216i(v)dv i ( v ) c o s ( 2 z v s ) d v 1 6 ) ，= o 5i + o 5i ( 2 一 ) 一 其中，i ( v ) 是偶函数，所以上式可化简为： j = r 地) d u + r ，( u ) c 。s ( 2 a v 3 ) d u ( 2 - 1 7 ) 由上式可知，与单色光的干涉光强函数一样，多色光光源的干涉光强也是有 两部分组成：一部分是常数项，与光程差j 无关；一部分是与光程差艿有关的函 数项。我们在研究干涉图时，只考虑干涉光强的第二项，对常数项不作考虑，因 此，可将多色光的干涉光强函数表示为： j ( 艿) ：r 。 ( 2 18 l ( v ) c o s ( 2 z v 6 ) d o 18 ) ，( 艿) = l ( 2 一) 由上式可知，两束光干涉后所得的光强的j r ( 5 ) 是光谱分布i ( v ) 的余弦傅里 叶变换，同时光谱分布i ( v ) 可以由下式表示： 曰( 。) = r 砸) c o s ( 2 z v 6 ) d 8 ( 2 一l9 ) 也就是说，光谱分布i ( v ) 是干涉图，( 6 ) 的余弦傅里叶逆变换。所以只要测 得干涉光图函数曲线，再对其进行傅里叶变换就能得到光谱图。这也是傅里叶变 换光谱仪名称的来源n 。由( 2 一1 9 ) 式可以看出，要想得到这样一个光谱，干涉仪 动镜的扫描距离必须作到无限长才可以旺1 。换句话说就是6 要在零到正无穷大之 间变化，这样就要求光谱仪的干涉仪部分做到无限长，很显然这一点是不可能做 到的，在实际的商用傅里叶变换光谱仪中动镜的扫描距离是有限的。 1 2 傅里叶变换光谱仪动镜倾斜误差和采样误差分析及仿真软件设计 由上式还可以看出，如果要得到光谱图，需要对随光程差变化的连续干涉光 强度曲线j ( 艿) 进行傅里叶变换，实际上，如果用数字计算机对干涉图进行傅里叶 变换的话，必须先将连续的干涉强度曲线进行离散化处理，即按照一定的间隔对 其进行采样。，由奈奎斯特采样定理可知，采样的间隔也与所测光的光谱的波数 有关。 对干涉图的采样和傅里叶变换都是非常复杂的，这些工作都是有计算机来完 成。 2 2 2 快速傅里叶变换f f t 快速傅里叶变换( f f t ) 与离散傅里叶变换( d f t ) 并不是两种不同的变换，而 是为了节约时间，减少快速傅里叶变换( d f t ) 的计算次数而提出的一种快速算法 幢3 。与离散傅里叶变换( d f t ) 相比，快速傅里叶变换( f f t ) 的处理信号速度可 以提高好几倍，这也使得数字信号的实时处理得以实现。 d f t 在信号处理中发挥着非常重要的作用，d f t 经常被用于信号的滤波、相 关和谱估计心“。但是，当要求一个n 点的d f t 而n 很大的时候，需要完成n * n 次复数乘法运算及n 丰( n 一1 ) 次复数加法运算，这个计算量是相当大的。因此，上 个世纪六十年代，j w c o o l e y 和j w t u k e y 两人提出了d f t 的快速算法，这就 是快速傅里叶变换f f t 瞳5 。 设序列x ( ，2 ) 的长度有限且为n ，则z ( 刀) 的n 点离散傅里叶变换( d f t ) 为1 ： v l x ( 尼) = d f t x ( n ) = x ( ，2 ) 孵。，k = o ，1 ，2 ，3 ，n l ( 2 2 0 ) 逆变换为： x ( 门) = i d f t x ( 尼) 】= 土n 箩k = o x ( 尼) 陈蛔，n = o , 1 , 2 , 3 , - - , n - 1 ( 2 2 1 ) 2 石 其中，：p 1 百，n 被称为d f t 变换区间的长度汹1 。 傅里叶变换光谱仪动镜倾斜误差和采样误差分析及仿真软件设计 快速傅里叶变换( f f t ) 利用了吲下面的两个特性，使得长序列的d f t 分 解成点数更小的d f t 运算而实现的。 ( 1 ) 利用睇的对称性，对d f t 运算中的某些项进行合并瞄1 。我们可以看到 ( ) = p “2 ”= 1 ，所以可以得出 暇k i n - n ) 一- - 。- t 2 j r 半：p _ i 2j r - k n ：抽( 2 - 2 2 ) ( 2 ) 利用睇的周期性，将序列较长的d f t 分解成点数更小的d f t 口计： w n ( k + “= 孵肿k 睇。 ( 2 2 3 ) 正是基于这种基本思想，才提出了快速傅里叶变换( f f t ) 。 对于序列长度为n 的复数序列x ( 玎) 来说，对其进行n 点d f t 变换，共需要做 n * n 次复数乘法运算及n 半 一1 ) 次复数加法运算。当n = 1 0 2 4 时，需要作 n2 = 1 0 4 8 5 7 6 次运算。而对其作f f t 运算时，把一个项数为n 的长序列分成长度 为n 2 的两个子序列。先对这两个子序列进行d f t ，则每个子序列需要做( 芸) 2 次 运算，再对这两个n 2 点的d f t 变换通过n 次运算组合成一个氏度为n 点的d f t 变换m ，这样运算次数就变为+ 2 ( 等) 2 = + 等，那么当n = 1 0 2 4 时，运算次 数为5 2 5 3 1 2 ，运算量大约节省了一半。如果继续将这种分裂思想应用到长度为 n 1 2 的两个子序列，直到将长度为n 的序列分成两两一组的短序列，这样n 点的 d f t 变换只需做l 0 9 2n 次运算即可。再对n ：1 0 2 4 时的情况进行讨论，这时运 算次数为1 0 2 4 0 次，运算量不到最初的1 ，n 越大，节省的计算量就越大，f f t 的优越性就越突出。 本文在求干涉光谱时，用m a t l a b 进行数值模拟，需要对干涉图进行f f t ， 当所处理的的数据长度为2 的整数次幂的时候，采用基一2 算法n 1 ，这样会使计算 速度得到明显的提高。所以在对干涉图进行f f t 运算时，要尽可能的使所处理的 数据点数为2 的整数次幂，如果所处理的数据不是2 的整数次幂时，可以采用补 傅里叶变换光谱仪动镜倾斜洪差和采样误差分析及仿真软件设计 零的方式添补数据，使得所处理数据的点数成为2 的幂次。 本章对傅里叶变换光谱仪的发展作了一个简单的介绍，主要介绍了傅里叶变 换光谱仪的基本工作原理和特点，着重介绍了傅里叶变换光谱仪的核心部分 迈克尔逊干涉仪的工作原理，使读者对傅里叶变换光谱仪有一个较为清晰的了 解，也为本文后面展开研究打下了一个基础。本章还介绍了傅里叶变换的概念和 基本原理，进而引出快速傅里叶变换( f f t ) ，这为后文借助m a t l a b 软件对干涉光 的光谱分析作了铺垫。 傅里叶变换光潜仪动镜倾斜误差和采样误差分析及仿真软件设计 3 傅里叶变换光谱仪光谱测量时的误差分析 3 1 误差概述 傅里叶变换光谱仪的发展速度很快，但是在实际应用中依旧会存在动镜倾斜 误差和采样间隔定