（道路与铁道工程专业论文）基于分形的沥青混合料级配评价与路用性能研究.pdf

重庆交通大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：警习听移日期：多。i 年午月2 0e t 重庆交通大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权重 庆交通大学可以将本学位论文的全部内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本人 学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并进行信息服务( 包括但不限于汇编、复 制、发行、信息网络传播等) ，同时本人保留在其他媒体发表论文的权利。 学位论文作者签名：酱刁阿 日期：沏( 年彳月厶日 本人同意将本学位论文提交至中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社c n k i 系列数据 库中全文发布，并按中国优秀博硕士学位论文全文数据库出版章程规定享受相关权 益。 学位论文作者签名：警。万彬 指导教师签名： 碓 日期：z o l 年丫月弘e 1日期：幼“年年月2 旬e t 荔易 一旷 日 一叩呦 人4 名年 签“ 耀 四 教 0 导 期 静 巨 摘要 l l l l l i i l l i i l l i i 叭m i i i l i 洲咖0 y 19 0 2 2 2 9 自上世纪9 0 年代以来，我国公路建设发展迅速，在大规模兴建过程中，沥青 路面的早期破坏比较严重，高温车辙病害突出。重庆地区夏季最高气温常达3 8 以上，且高温天气持续时间长，雨水较多，再加上重载和渠化交通的作用，对沥 青混合料的路用性能提出更为苛刻的要求。寻找到适应于重庆地区气候特点的混 合料工程设计级配范围成为道路工程者亟待解决的问题。 本文依托重庆市交通委员会科学技术项目：提高重庆地区沥青混合料动稳定 度的研究，通过查阅国内外相似气候地区沥青路面使用状况和研究成果，结合重 庆地区实际情况，选取重庆地区常用原材料，对a c 2 0 、a c 1 6 、a c 1 3 、s m a 1 3 四种常用沥青混合料进行室内混合料级配组成的优化设计，并基于分形理论对沥 青混合料的级配组成进行理论分析。 通过不同比例的粗集料堆积密度试验得到间隙率较小的粗集料级配组成：选 取5 种不同n 值计算得到5 种形状的细集料级配，确定5 - - 6 种关键筛孔通过率， 即5 - 6 种不同粗细比例组成的混合料级配进行室内车辙试验和冻融劈裂试验，找 到最佳粗细比例。采用分形理论研究沥青混合料矿料级配的分形特性，找出分维 数与集料体积参数、质量参数、级配曲线走向、马歇尔试验参数等的变化规律， 确定分维值定量评价矿料级配的方法。 在最佳油石比的基础上对a c 1 3 、a c 1 6 、a c , 2 0 、s l v l a 1 3 四种类型的沥青 混合料进行路用性能的研究，通过车辙试验、冻融劈裂试验研究混合料的高温稳 定性及水稳定性。并建立分形维数同沥青混合料高温稳定性、水稳定性等路用性 能之间的相关性。根据各项试验结果综合考虑，优选出动稳定度高、水稳定性符 合国家规范的矿料级配，推荐适应于重庆高温多雨地区的合理工程设计级配范围 及级配分维数取值范围，初步建立路面微观结构和宏观路用性能的关系。 关键词：沥青混合料；分形理论；级配；车辙；水稳定性；维数范围 j11i j1 a b s t r a c t w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fh i g h w a yc o n s t r u c t i o ni nc h i n as i n c e19 9 0 s ，e a r l y d e s t r o yh a p p e n e di nt h ea s p h a l tp a v e m e n ti nl a r g e s c a l ec o n s t r u c t i o np r o c e s s ，e s p e c i a l l y b yh i g ht e m p e r a t u r er u t t i n g c h o n g q i n gi sp a r t i c u l a r l yp r o m i n e n t , b e c a u s ei t sh j 【g h t e m p e r a t u r el a s t i n gf r o mj u n et os e p t e m b e re v e r yy e a r l o n g e rt h a nt h a ti no t h e rp l a c e s ， 丽t i lr a i n i n gal o tf r o mm a yt oo c t o b e r i na d d i t i o n ，a c c o r d i n gt ot h eh e a v yt r a f f i c ，t h e a s p h a l tm i x t u r ei nc h o n g q i n gi s a s k e df o rm o r es l r i n g e n t t h e r e f o r e ，t h ew a yo f f i g u r i n go u tt h es o l u t i o nf o rm i x t u r ed e s i g ng r a d a t i o nr a n g ef o re n g i n e e r i n gu s i n gi s u r g e dt ob ef o u n do u t i nt h i sp a p e r , r e s e a r c hr e p o r t so na s p h a l tp a v e m e n td u r i n gt h es i m i l a rc l i m a t i c z o n e sh o m ea n da b r o a da n dt h ee n g i n e e r i n ge x p e r i e n c ei ss u m m a r i z e d r a wm a t e r i a l s c o m m o n l yu s e di nc h o n g q i n ga r e aa r es e l e c t e d ，a n df o u rt y p e so fd e n s eg r a d a t i o n m i x e sa c - 2 0 ，a c - 1 6 ，a c - 1 3a n ds m a - 1 3a r et e s t e d b u l kd e n s i t yt e s t sa r eu s e dt od e t e r m i n et h eo p t i m u mp r o p o g i o n so fc o a r s e a g g r e g a t ei nt h em i x e s ，a n dt h es m a l l e rv o i d si nam i xa r et h o u g h tt ob et h eb e t t e ro n e f i v ek i n d so ft h es h a p eo ff i n ea g g r e g a t eg r a d a t i o nc a l c u l a t e db y5d i f f e r e n tnv a l u e s a r es e l e c t e dt h r o u g hw h e e lt r a c k i n gt e s ta n df r e e z e t h a ws p l i tt e s tt of i n dt h eb e s to f f i n ea g g r e g a t ec o m p o s i t i o n 硼kf r a c t a lt h e o r yw a su s e dt o a n a l y z et h e f r a c t a l c h a r a c t e r i s t i c so fa g g r e g a t e ，a n df i n dt h ev a r i a t i o nb e t w e e nf r a c t a la n da g g r e g a t e sb u l k 、 q u a l i t y 、g r a d i n gc u r v e 、m a r s h a l lt e s tp a r a m e t e r s b a s e do nt h eb e s ta g g r e g a t er a t i o ，a c 一1 3 ，a c - 1 6 ，a c 一2 0 ，s m a - 1 3 ，t h ef o u rt y p e s o fa s p h a l tm i x t u r e sf o rr o a dp e r f o r m a n c eo fr u t t i n gt e s t ，f r e e z e - t h a ws p l i t t i n gt e s th a d b e e nt a k e n a c c o r d i n gt ot h et e s tr e s u l t s ，h i g hs t a b i l i t ya n dw a t e rs t a b i l i t yi nl i n e 、) ，i t l l n a t i o n a ln o r m so fa g g r e g a t eg r a d a t i o na r ec h o s e n a n di ti sr e c o m m e n d e dt oa d a p tt o c h o n g q i n gr a t i o n a le n g i n e e r i n gd e s i g ng r a d i n gr a n g ew i t hh i g ht e m p e r a t u r ea n dw e t a r e a s ，a n dg r a d a t i o nr a n g eo ff r a c t a ld i m e n s i o n t h er e l a t i o n s h i p 谢t l lm a c r op a v e m e n t p e r f o r m a n c ea n dp a v e m e n tm i c r o s t r u c t u r eh a db e e ne s t a b l i s h e di n i t i a l l y k e yw o r d s ：a s p h a l tm i x t u r e ，f r a c t a lt h e o r y ，g r a d a t i o n , r u t t i n g ，w a t e rs t a b i l i t y ，f r a c t a l d i m e n s i o n 目录 第一章绪论1 1 1 研究背景及意义1 1 2 国内外研究现状l 1 3 主要研究内容4 第二章分形理论简介7 2 1 分形理论简介7 2 2 分形维数的引入8 2 3 分形的特征1 0 2 4 本章小结1 1 第三章沥青混合料级配的分形特性1 2 3 1 沥青混合料的级配研究现状1 2 3 2 沥青混合料的分形特性1 2 3 3 沥青混合料分形维数推导1 3 3 3 1 集料粒径分布函数的分形1 3 3 3 2 集料的分形级配1 4 3 4 分形理论与现有级配理论之间的关系1 5 3 4 1 泰波级配理论1 6 3 4 2i 法1 7 3 4 3k 法1 7 3 4 4 粒子干涉级配理论1 8 3 4 5 贝雷法1 8 3 5 本章小结2 0 第四章级配组成设计，2 l 4 1 粗集料合理组成2 1 4 1 1 堆积密度试验方法2 1 4 1 2 堆积密度试验结果与分析2 2 4 2 细集料的合理比例2 6 4 3 试验级配的选取2 6 4 3 1a c - 2 0 试验级配的选取2 7 4 3 2a c 一1 6 试验级配的选取2 8 4 3 3a c - 1 3 试验级配的选取3 0 4 3 4s m a 一1 3 试验级配的选取3 2 4 4 本章小结3 2 第五章沥青混合料级配的分形分析3 3 5 1 原材料性能3 3 5 1 1 沥青3 3 5 1 2 粗集料3 3 5 1 3 细集料3 5 5 1 4 矿粉3 5 5 2 马歇尔试验方法3 5 5 3 沥青混合料分维数计算3 6 5 4a c - 2 0 不同级配分形分析4 0 5 5a c - 1 6 不同级配分形分析4 4 5 6a c - 1 3 不同级配分形分析4 9 5 7s m a 一1 3 不同级配分形分析5 3 5 8 本章小结5 8 第六章分形维数与沥青混合料性能关系研究5 9 6 1 概述5 9 6 2 沥青混合料的分形维数与高温稳定性研究5 9 6 2 1 重庆地区沥青混合料车辙成因分析5 9 6 2 2 车辙试件成型方法6 0 6 2 3 车辙试验数据分析6 1 6 3 沥青混合料的分形维数与水稳定性研究7 1 6 3 1 试验方法7 1 6 3 2 冻融劈裂试验数据分析7 1 6 4 本章小结7 8 第七章重庆地区矿质混合料工程设计级配范围7 9 7 1 提出优化级配范围的依据7 9 7 2 提出的工程设计级配范围7 9 7 3 推荐级配分维数范围8 2 7 4 本章小结8 3 第八章结论8 4 8 1 主要结论8 4 8 2 下一步工作计划8 6 致谢8 7 参考文献8 8 在学期间发表的论著及取得的科研成果9 1 第一章绪论 1 1 研究背景及意义 第一章绪论 2 0 世纪9 0 年代以来，随着我国基础建设的快速步伐，公路建设及高等级沥 青路面发展得到长足发展，位于长江上游的重庆市尤为突出。到2 0 1 2 年底，高速 公路通车里程将超过2 0 0 0 公里，形成“二环八射”高速公路网；至2 0 2 0 年，高速 公路通车里程将达到3 6 0 0 公里，并实现“4 小时重庆、6 小时周边 的对外交通 目标，形成“三环十射三联线”高速公路网。我国已建沥青路面的早期破坏较多，重 庆沥青路面的高温车辙破坏现象突出。据统计，成渝、渝长、渝合、渝涪、渝邻 等高速公路在投入使用初期即出现了不同程度的车辙病害，不得不投入大量资金、 人力、物力进行维修，其间影响重庆市民出行及货运，带来了较大的经济损失。 重庆地区属亚热带季风性湿润气候，每年7 8 月份气温最高，多在2 7 3 8 之间，最高极限气温达4 3 8 ；同时雨量充沛，常年降雨量在1 0 0 0 1 4 0 0n m 。 夏季温度高且持续时间长、雨热同季，再加上重载和渠化交通的作用，使得重庆 地区相对我国其他地区而言，车辙、水损害等病害问题更为突出，对沥青混合料 的高温稳定性、水稳定性等路用性能提出了更为苛刻的要求。 在我国沥青路面施工技术规范中，针对沥青混合料集料的级配范围要求较宽， 其目的是为了让设计者根据工程所在地的自然环境和交通条件进行选择，使设计 出的混合料级配更有利于适应当地的实际环境口1 。重庆地区夏季炎热多雨，对沥青 路面性能要求更高，可适当提高沥青路面高温性能指标和水稳定性指标，以减少 沥青路面车辙、水损害等病害的发生。因此，寻找适应于重庆地区气候特点的沥 青混合料原材料、混合料工程级配范围、基于抗车辙的混合料配合比设计方法成 为道路材料工作者亟待解决的问题。 本文通过查阅国内外相似气候地区沥青路面使用状况和研究成果，结合重庆 地区实际情况，找出该地区路面车辙的成因，选取重庆地区常用原材料进行室内 混合料级配组成的优化设计，通过室内相关实验和分形几何理论的结合，分析分 形理论与沥青混合料级配本身的相关关系，提出合理的工程设计级配范围，探索 微观分形与宏观路用性能之间的有机规律，找到行之有效的对策来抵抗车辙，延 长路面使用寿命，降低维修费用，取得良好的社会效益和经济效益。 1 2 国内外研究现状 车辙是沥青路面在车辆荷载反复作用下产生竖向永久变形的积累。这种变形 主要发生在夏季高温时节，是沥青混合料高温稳定性不足在重交通道路上的反映。 2 第一章绪论 在许多国家，高速公路路面维修、罩面的原因中，车辙的比率高达8 0 以上 4 1 。 多年来，各国道路工作者对沥青路面的车辙进行调查研究，取得了一定的成 果。国内外研究主要集中在三个方面： 沥青路面车辙形成机理及影响因素； 提高沥青混合料抗车辙能力的设计方法研究； 沥青混合料车辙的评价方法及预估h 3 。 在沥青路面车辙形成机理方面，研究成果表明车辙的形成过程主要可分为三 个阶段：初始压密阶段：沥青混合料的流动：矿质骨料的重新排列及矿质 骨架的破坏。由初始压密造成的车辙可通过加强施工过程中的碾压工艺而避免， 而由于沥青混合料本身高温稳定性不足产生的车辙，最常见且最为普遍，成为各 国道路工程者研究的重点h 1 。 沥青混合料的高温性能与沥青的品种、集料特性、矿质混合料组成级配，及 温度、荷载、荷载作用时间等因素有关。一般主要从选用优质沥青、矿质混合料 级配优化、混合料配合比设计方法等方面入手。 高粘度聚合物改性沥青的选用对提高沥青混合料高温性能预防车辙病害起着 重要作用，在一定程度上能有效避免了沥青路面的车辙等早期破坏，但基于其成 本昂贵，在路面主要承重层的中下面层中却应用较少。 在沥青混合料车辙的评价方法方面，国内外研究沥青路面车辙的方法主要有 以下几种：单轴加载试验；三轴压缩试验；间接拉伸试验；弯曲蠕变试 验；扭转剪切试验：简单剪切试验；车辙试验；大型环道、直道试验； 野外现场试验等。其中车辙试验是沥青混合料高温稳定性试验中应用最普遍也 是最常见的一种试验方法h 1 。 同济大学李立寒认为，经历长时间汽车荷载作用后，轮迹下现场空隙率可能 不低于4 ；由现场初始空隙率变化至使用末期空隙率，压密变形对车辙深度的贡 献率较小，蠕变变形仍然是车辙深度的主要贡献者。建议沥青混合料车辙成型时 其空隙率热拌密级配按7 0 e 社1 进行控制，s m a 按照5 5 e 社0 5 进行控制2 蚴1 。 在沥青混合料级配研究方面，富勒最大密度曲线或泰波公式均是在大量试验 基础上总结出来的经验公式，其基本原理仍是使集料在堆积状态下达到最大密度， 而不考虑集料之间的接触形式或集料之间是否形成了有效的嵌挤。一般情况下， 按照富勒最大密度曲线或泰波公式设计的沥青混合料形成的密实悬浮结构，高温 稳定性难于满足高等级公路沥青路面的技术要求删。 美国s u p e r p a v e 中包含了矿料级配优化设计的思想。s u p e r p a v e 明确规定了对 集料性能的要求，并将集料性能分成两类。一类为认同特性( c o n s e n n s u s p r o p e r t i e s ) ，包括粗集料的棱角性、细集料棱角性、扁平与细长颗粒和粘土含量等； 第一章绪论 3 另一类为料源性能( s o u r c ep r o p e r d t e s ) ，如坚韧度、密实度及有害物质等。但 s u p e r p a v e 关于集料最重要的设计是在级配优化上，它以o 4 5 次幂最大密度曲线为 基础给出了包括控制点和限制区在内的级配控制图，集料必须从控制点之间穿过 但要避开限制区。s u p e r p a v e 建议但没有规定混合料级配必须低于限制区，同时随 着交通量的提高，s u p e r p a v e 建议混合料向粗的控制点接近，且级配的控制点和限 制区不适用于s m a 和开级配混合料嘲。 贝雷法是由美国伊利诺州交通局发明一种系统的级配组成设计方法，其主要 思想是以形成的集料骨架作为混合料的承重主体，使设计的混合料能提供较高的 抗车辙性能，同时通过调整粗细集料的比例，获得合适的矿料间隙率，以保证设 计混合料具有较好的耐久性。贝雷法中提出了用于评价矿料性质的一系列参数， 这些参数直接和空隙率和压实性能相关，有助于更好地理解集料级配与混合料中 空隙体积的关系，也为评价合成级配提供了相应的技术指标。贝雷法主要是克服 了常规沥青混合料设计中以经验确定矿料级配的缺陷，使矿料级配设计更具目的 性和科学性睁坩1 。 国内较有影响的级配设计方法主要有林绣贤教授提出i 法、k 法等级配计算方 法，张肖宁教授提出c a v f ( 沥 j 青混合料组成设计主骨料填充法) ，王林提出多级嵌 挤密级配级配设计法，沙庆林院士提出的s a c 和其他粗集料断级配的矿料级配设 计和计算方法等。 现在国内外对分形的研究大体上分为以下几个方面，其一是对自然界、社会 经济以及艺术等领域中的典型分形形态进行观察和实验；其二是应用于各个技术 领域；其三从数学理论的角度研究分形和分维，试图建立分形理论的数学基础， 其四是对分形和复分形展开研究；其五从物理的角度对分形形成的机理和动力学 规律进行研究。近年来，分形理论被广泛应用于工程材料学，并能够很好的诠释 其材料的规律性。 分形理论用被广泛应用于图像处理，如模拟自然景物生成、图像分割、图形 纹理特征提取及纹理分类、图像编码压缩等瞳3 。 分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论。1 9 7 5 年，m a n d e l b r o t 在自 然界中的分形几何中引入了“分形”概念。沥青混合料是一种多相复合材料，沥青 是多相复合材料中惟一的连续相，其他的集料材料皆为分散相n 卜1 3 1 。 由于集料加工破碎的随机性，同一筛孑l 规格矿料颗粒的几何形状、特征尺寸 并不完全相同，粒径分布呈现一定的随机性和不规则性，很难用常规数学语言准 确描述，反映矿料粒径分布的级配曲线或某筛孔的通过率不能表达矿料特性，无 法与沥青混合料设计参数建立定量关系。沥青混合料是具有复杂结构的非均值、 多相和多层次的复合体系，其宏观力学行为呈现出不确定性、不规则性、模糊性 4 第一章绪论 和非线性性。沥青混合料具有复杂的微观结构，是一种多级层次的复合材料体系， 尤其是其骨料的级配具有突出的自相似性，是可以用分形理论进行分析的n 仰。 同济大学颜强博士年采用分形理论对沥青混合料级配理论进行研究u 。颜强 博士认为可以通过分形理论求出其分维数，不同的分维数描述了该断面空隙的复 杂程度，并可进一步研究分维数与沥青老化性能、降噪、渗流系数的关系。 哈尔滨工业大学陈国民博士指出不同级配曲线走向决定沥青混合料的结构类 型，从而影响其各项力学性能，通过分形理论得到的代表级配走向的分形维数与 其动稳定度是线性相关的哺1 。 综上所述，尽管国内外许多学者对车辙、级配设计、分形理论等领域进行了 深入研究，取得了一定的研究成果，但由于我国幅员辽阔，材料、气候差异较大 等原因，有必要针对重庆地区高温多雨的实际情况，分析该地区路面车辙的成因， 提出合理的工程设计级配范围，并结合分形理论建立级配与路用性能之间的定量 关系，并促进分形理论在路面材料领域的研究和应用，找到行之有效的控制车辙 对策，延长路面使用寿命，具有良好的社会效益和经济效益。 1 3 主要研究内容 国内外研究沥青路面车辙时主要集中在车辙形成机理、矿料级配、改善结合 料、车辙评价指标及预估等方面；分形理论在沥青混合料中的应用主要集中在路 面材料( 包括水泥混凝土和沥青混凝土) 的骨料粒度分布、级配走向、行车舒适性平 整度和疲劳性能等方面。但是，上述学者在研究分形理论与沥青混合料的关系时， 级配的设计上较为粗糙，缺乏针对性，只是挑选几种典型级配作为参照进行试验 设计。本文针对重庆地区气候条件和材质情况，在规范要求范围内，设计不同的 沥青混合料系列组成结构，完成沥青混合料的材质检验、级配、马歇尔稳定度、 流值、含油量、水稳性、高温稳定性( 车辙) 等试验；用数码相机获取沥青混合料内 部结构图像，应用o r i n g i n 7 5 数值分析软件进行数据处理。结合分形几何理论的推 导和计算机对路用性能和试验数据的分析相配合，初步确定沥青混合料颗粒组成 的新方法。主要研究内容包括： 分形理论简介 通过分形理论的简介，找出分形图像的特征，并引入分形维数这个可以定量 评价分形图像特征的参数。总结分形集合的特征和分维数的适用范围。 分形理论与沥青混合料的联系 通过分形理论的简介和分形图像特征的介绍，找出沥青混合料集料堆积形态 与分形图像的联系，级配的曲线走向与分形理论之间的有机规律。探索可以定量 分析沥青混合料级配走向的理论方法，获得沥青混合料的分形特性。 第一章绪论 5 原材料性能研究 选取重庆地区常用沥青进行粘路用性能试验；选取重庆地区有代表性集料( 石 灰岩碎石、破碎卵石、玄武岩、石灰岩机制砂等) 进行试验，分析重庆地区沥青 路面常用原材料的特性。 图1 1 研究结构图 f i 9 1 1r e s e a r c hs t r u c t u r e 级配优化设计及马歇尔实验结果分形特性研究 选取重庆地区常用的a c 1 3 、a c 1 6 、a c 2 0 、s m a 1 3 四种类型的沥青混合 料，每种类型根据不同细集料级配形状、不同粗细比例等拟定5 1 0 种初试级配进 行试验研究，采用马歇尔试验确定最佳油石比。分析矿料级配与粗集料堆积特性， 矿料级配与空隙率、矿料间隙率、沥青饱和度等马歇尔体积参数、矿料级配与最 佳油石比等之间的关系。研究沥青混合料级配集料的分形特性，通过分形理论推 导出矿料级配的分维数，在分析分形理论与现有主要级配设计理论之间的关系的 6第一章绪论 基础上，提出分形几何理论运用于级配设计的可行性。采用不同分维数值来描述 a c 1 3 、a c 1 6 、a c 2 0 、s m a - 1 3 四种类型的沥青混合料的矿料级配，建立利用分 维值定量评价级配集料参数的方法。 矿料级配分形特性与沥青混合料路用性能的相关性分析 分析重庆地区气候特点、重载车辆等对路面车辙影响，结合室内试验分析相 关资料，获得重庆地区沥青路面车辙产生的原因。在最佳油石比的基础上对a c 1 3 、 a c 1 6 、a c 2 0 、s m a - 1 3 四种类型的沥青混合料进行路用性能的研究，通过车辙 试验、冻融劈裂试验研究混合料的高温稳定性及水稳定性。并建立分形维数同沥 青混合料高温稳定性、水稳定性等路用性能之间的相关性。根据各项试验结果综 合考虑，优选出动稳定度高、水稳定性符合国家规范的矿料级配，推荐适应于重 庆高温多雨地区的合理工程设计级配范围及级配分维数取值范围。 第二章分形理论简介 7 2 1 分形理论简介 第二章分形理论简介 分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论。1 9 7 5 年，m a n d e l b r o t 在自 然界中的分形几何中引入了“分形”概念，所谓分形几何，就是研究无限复杂但具 有一定意义下的自相似图形与结构的几何学。 迭代生成原则和自相似原则是分形理论的重要原则，它表征分形在通常的几何 变换下具有不变性，即适当的放大或缩小分形对象的几何尺寸，整体结构并不改变， 这叫做标度无关性。理想的分形图形是利用分形的自相似性，是从不同尺度的对称 出发，通过迭代递归方式生成的。自相似现象是一种特殊的形态，即具有分形特征 的图形，这些不规则的图形的整体可与部分产生自相似，即部分的形状和整体的形 状是一样的，无论部分如何小下去，每个部分都带有整体几何形状的信息。分形体 中的自相似性可以是完全相同，也可以是统计意义上的相似。 标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成的无限精细的结构，它反映在坐 标上，就是一个处处连续但是点点不可微的函数曲线。1 9 0 4 年，瑞典数学家v o n k o c h 设计了一条被称之为k o c h 曲线的典型分形图形。其设计步骤如下：从一个单 位直线段e o 开始，根据下列规则构造一个k o c h 曲线： 三等分一条单位线段； 用一个等边三角形替代第一步划分三等分的中间部分； 在每一条直线上，重复第二步。 k o c h 曲线是以上步骤的无限重复的极限结果( 如图2 1 ) 川饥 一、 n 。气n 、 n 广、a 、 川人l 九e 2 o z e 1 图2 1k o c h 曲线 f i 9 2 1t h ek o c hc u w e 显然，当迭代次数趋于无穷时，k o c h 曲线是一条处处连续，但点点不可微的 8 第二章分形理论简介 曲线。如果我们在e u c i l i d 几何情况下考察k o c h 曲线的长度，可知： l e n g t h ( e 0 ) = 1l e n g t h ( e 1 ) = 4 3 l i m l e n g t h ( e 2 ) = 1 6 9l e n g t h ( e ) = 一一。( 4 3 ) 。1 = o o 这样一来，v o nk o c h 曲线在l 维的e u c l i d 空间的度量为0 0 ，换言之，k o c h 曲 线在传统的e u c l i d 几何领域不可度量。 统计意义上的自相似曲线( 如海岸线) ，当测量英国西海岸线长度时，发现一 个规律：绘制地图的比例尺由大变小时，如由l e n a 代表1 0 0 k m 减d , n1 c m 代表l k m 时候，用e u c l i d 几何学去度量发现海岸线长度却变得更长。 设有一条曲线( 如海岸线) ，用长度为r l 的尺子( 码尺) ，沿着海岸线，一步 一步地测量，n 为码尺的测量次数，l 为海岸线的测量长度。则海岸线在这一尺度 下的近似长度为( 如图2 2 ) ： l i = n ix r l 图2 2 度量海岸线 f i 9 2 2m e a s u r i n gs h o r e l i n e 说“近似”，是因为测量时忽略了小于r l 的那些弯曲的曲线，如果用较r l 小的 度量码尺，比如r 2 ( r 2 r 1 ) 再沿着海岸线一步一步地测量，码尺的测量次数为n 2 则 海岸线在该尺度下的近似长度为： l 2 = n 2 x r 2 “近似”理由同上，此时，那些小于r 2 的弯曲的海岸线仍被忽略了，当不断缩小 测量的单位码尺r ，会得到关于海岸线长度的一系列不同结果：l l ，l 2 ，l i l ， 并且显然有l i l 2 l i i 于是便产生了以下问题：海岸线长度在传统的e u c l i d 几何概念的计算下是无穷大，即：当h 0 时，l 一。因此，对具有统计意义上自 相似的分形特征的海岸线来讲，e u c l i d 里的度量方式已经不能定量反应它的几何特 征。 2 2 分形维数的引入 由上面的描述可知，e u c l i d 几何学的整数维空间无法去准确描述不连续、不光 滑、不规则的图形。但是，非整数维的出现可以解决以上的困惑。( 如图2 3 ) 第二章分形理论简介 9 实际上，若对长度为1 的线段n 等分，每段线长为r ，则： n r = l 对面积为1 的正方形作n 等分，每个小正方形的边长为r ，则： n x r 2 = 1 对体积为l 的正方体作1 1 等分，每个小正方体的边长为r ，则： n ，= l d = i r = 1 r = l 2 - i 1 = 2 r = l 3 - - - - n = 3 d = 3 d 2 9 d = 2 7 图2 3 几何体与维数 f i 9 2 3t h eg e o m e t r ya n di t sd i m e n s i o n 上面三个等式中，r 的幂次实际上就是该几何体能得到的定常度量的空间维数， 于是有如下公式： 巴 n r d = l 两边取对数，得到空间维数d 的表达式： d = _ i n n ( 2 1 ) 对严格自相似的分形图形，k o c h 曲线而言，在第n 步时，其等长折线段数为 4 n ，每段长度为( 妻) n ，于是k o c h 曲线的维数d 为： ) d 一上生；坐1 2 6 1 8 6 i n ( 1 ) 一i n 3 j 可见，分形图形的维数并非e u c l i d 几何中的整数，而是采用分数或者带小数 点的小数表示。分维，作为分形的定量表征和基本参数，是分形理论的一个重要原 则；分维数，是刻画分形的特征量。 然而，对于海岸线这种具有统计自相似的分形曲线，式( 2 1 ) 是不能用的。可 知，l 与r 相关，即： l = ( ，) = n r = l o ( r l o ) 1 d ( 2 2 ) 回国俑国 嗍口 口一口 1 0 第二章分形理论简介 i p 常数，是曲线整形的长度 d 表征曲线复杂程度的分维数，d 芝l 由式( 2 2 ) 可知，若d = i ，即光滑曲线时，l = l o ；若r = l o ，则l = l o ，这是符 合实际情况的。此外，当h 0 时，l 一，对分形海岸线来讲，长度值已不是一个 好的表征方法，必须寻求它的稳定参数。 同理，如果考察的分形对象不是一条线，而是点、面、体，则式( 2 2 ) 可推 广如下式： a ( r ) = 4 ( ，麟) 卜d ( 2 3 ) 卜分形图形对应的e u c l i d 整数拓扑维。e = 0 时，a 和t 对应于点数；e = l 时，a 和t 对应于长度；e = 2 时，a 和r 分别对应于面积和长度；e = 3 时，a 和r 分别对应于体积和长度。 图形是整形时( e = d ) a 的值 r m 广一最大码尺长度 d 一分维数 事实上，分形的基本特征是不可微性、不可切性、不光滑性、不连续性和层次 性，而分维数d 揭示了复杂事物的空间结构的维数是分数的，它是关于分形对象 复杂程度与空间填充能力的一种度量，是一个稳定的参数，它能表示分形图像的本 质特征。一般地，一个系统满足式( 2 3 ) 的幂律定义，则可以认为它是一个分形。 分位值d 和拓扑维数e 之差在一定程度上反映了系统的无序程度。所以，式( 2 3 ) 也是分形几何基本公式。 2 3 分形的特征 分形理论是非线性科学的前沿和分支，作为一种方法论和认识论，其启示是多 方面的：分形整体与局部形态的相似，启示通过有限认识无限，部分认识整体；分 形揭示了介于整体与部分，有序与无序，复杂与简单之间的新形态，新秩序；分形 从特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。 正如k f a l c o n n e r 对分形集合f 的描述，它具有以下特征： f 具有精细的结构，即在任意下的尺度下，它总有复杂的细节，不可精确的 测量。 f 的图像是不规则的，它的整体和局部都不能用传统的几何度量来描述。 f 通常具有某种自相似性，这种自相似可以是近似的，也可以是统计意义上 的( 如图2 4 ) 。 一般来说，f 的分形维数大于它的拓扑维数，并且小于f 所在的空间维。 第二章分形理论简介 f i 驴4 t h ef r a c t a li m a g e ss e l f - s i m i l a r f 以非常简单的方法定义，可能由递归或者迭代过程产生。 2 4 本章小结 对分形几何理论进行了简要介绍，表明对具有统计意义上自相似的几何形体 来讲，欧式几何无法正确描述其图形的几何特征。 引入分维数的定义，它是关于分形对象复杂程度与空间填充能力的一种度 量，是一个稳定的参数，它能表示分形图像的本质特征。 分形集合的基本特征是不可微性、不可切性、不光滑性、不连续性和层次性。 隘镁 1 2 第三章沥青混合料级配的分形特性 第三章沥青混合料级配的分形特性 3 1 沥青混合料的级配研究现状 目前，沥青混合料设计常用的级配理论主要有最大密度曲线和粒子干涉理论。 最大密度曲线理论主要描述了连续级配的粒径分布，用于计算连续级配。富勒最 大密度曲线和泰波公式的基本原理是使集料在堆积状态下达到最大密度，而不考 虑集料之间是否形成了有效的嵌挤，没有考虑骨架结构的形成与否，也没有评价 是否形成密实骨架的指标，所以属于密实悬浮结构。粒子干涉理论，c a q 魏矛斯 ( w c y - m o u t h ) 提出的粒子干涉理论认为沥青混合料要达到最大密实度，前一级颗 粒之间的空隙应由次一级颗粒填充，剩余空隙再由更次一级颗粒填充，但填隙的 颗粒粒径不得大于其间隙的距离，否则大小颗粒之间势必发生干涉现象，粒子干 涉理论可以用于计算连续级配和间断级配。贝雷法是由美国伊利诺州交通局研究 开发出的一种系统的级配组成设计方法，其主要思想是以形成的集料骨架作为混 合料的承重主体，使设计的混合料能提供较高的抗车辙性能，同时通过调整粗细 集料的比例，获得合适的矿料间隙率，以保证设计混合料具有较好的耐久性。贝 雷法主要是克服了常规沥青混合料设计中以经验确定矿料级配的缺陷，使矿料级 配设计更具目的性和科学性，但其设计过程较为复杂。国内较有影响的级配设计 方法主要有林绣贤提出i 法、k 法等级配计算方法，张肖宁教授提出c a v f ( 沥青混 合料组成设计主骨料填充法) ，王林提出多级嵌挤密级配级配设计法，沙庆林院士 提出的s a c 和其他粗集料断级配的矿料级配设计和计算方法。 3 2 沥青混合料的分形特性 沥青混合料是一种多相复合材料，沥青是多相复合材料中惟一的连续相，其 他的集料材料皆为分散相呦1 。由于集料加工破碎的随机性，同一筛孔规格矿料颗 粒的几何形状、特征尺寸并不完全相同，粒径分布呈现一定的随机性和不规则性， 很难用常规数学语言准确描述。即使按同一级配标准配制，所得混合矿料尽管相 似却不尽相同，故评价不同的级配时，反映矿料粒径分布的级配曲线或某筛孔的 通过率不能表达矿料特性，无法与沥青混合料设计参数建立定量关系。所以，沥 青混合料是具有复杂结构的非均值、多相和多层次的复合体系，其宏观力学行为 呈现出不确定性、不规则性、模糊性和非线性性。 由分形理论研究可知，虽然集料破碎的物理过程十分复杂，表现出一定随机 性和不规则性，但其尺度却具有不变性，集料尺寸从大到小，乃至更微细，其动 力学机制是一样的，颗粒粒径分布具有分形特性，即在任意下的尺度下，它总有 第三章沥青混合料级配的分形特性 1 3 复杂的细节。沥青混合料具有复杂的微观结构，是一种多级层次的复合材料体系， 尤其是其骨料的级配具有突出的自相似性( 如图3 1 ) ，表现出明显的分形图像特征。 图3 1 沥青混合料的自相似 f i 9 3 1t h ea s p h a l t ss e l f - s i m i l a r 3 3 沥青混合料分形维数推导 集料级配一般以不同筛孔通过率的方法给出，为了理论推导的需要，假设各 级筛孔上集料颗粒为大小相等的刚性球体。事实上集料的大小分布并不像假设的 那样有规则，即便是同一筛孔上的集料其尺寸分布也不完全一样，而是呈现出一 定的分形特征。 3 3 1 集料粒径分布函数的分形 定义粒径分布函数： f ( x ) ：掣 ( 3 1 ) n o 式中：f ( x 卜粒径分布函数 n ( x 卜一不大于粒径x 的集料总数 n r 系统集料的总数 x 一粒径，用筛孔径表示 对所研究的级配集料，设想把粒径用线段表示，按线段长短把他们分成n 级 排列。每级的集料数目为n i ( i = l ，2 ，n ) 。由式( 2 3 ) 知，在粒径分布函数的分形 中，e = 0 ，码尺r 就是筛孔孔径，r