（基础数学专业论文）若干拟线性波动方程的初边值问题.pdf

若干拟线性波动方程的初边值问题 摘要 本文研究下列三类j e 线性发展方稷的初边值问题 韩牲一妊。一珏。2 十，( 毪，钍 j = 0 搬 国，毽( 0 ，。) ， 乜t ( o ，) = 札( o ，) + 9 ( 。) ， ( 1 ，) = o ， t o ， ( 2 ) 钍( 卫，o ) = “o ( ) ， ( 。，0 ) = 缸l ( z ) ，第( o ，1 ) 一u z 。+ - - 盖声o + ， 啦净9 哪) 黼 筑1 ) x ( 。，+ o 。) ， ( “z ( o ，t ) = h u ( o ，t ) ，”( 1 ，t ) 2o ， t o ， ( 4 ) 珏( z ，o ) = t 栅( z ) ， 珏l ( 霉，o ) = 档l ( 。) ，嚣o ，1 ) ， 地十幽一去芦( t t z + t ) + ，( i t t ) 咖) m f l x ( o 佃) ( 5 ) = 执 芸两= 钒 t o 6 ) ( 嚣，o ) 嚣# o ，啦( 觏o ) = “1 ， 嚣键( 7 ) 的整体广义解的存在性及衰减性，其中h 0 为常数，n 是r ”空间中有光滑边界。n 的有 界区域 在第二章，稳霜g a l e r k i n 方法移位势并方法证明了闻题( 1 ) 一( 2 ) 的整俸广义解的存在健， 唯一性和解的衰减憔，主要结论为： 定理1 很定 a 1 ) ，g r 2 k ，汉辨。，8 巍，f f s ，妒) 鼹豁l i p s c h i t z 遵续 ( a 2 ) ( f ( s ，妒) 一，b ，o ) ) 妒o ，i ，一，妒) 一f ( 8 ，o ) i 基b ( 1 s 1 ) b l 。，s ，妒r ， 其中0 a 3 ，嚣( s ) ( s 2o ) 是非负连续函数 ( a 3 ) 靛。h 2 ，姓i h 1 ，9 岿2 o ，+ 。) ， 剐对任意t 0 ，闻题( 1 1 一( 2 ) 稃在唯一的整俸广义解 1 ，1 ( o ，卅；h 2 ) n 槲2 ( 【o ，卅；l ? ) 1 姆剐，翔果 ( 籼) 巷 8 ，琏 o 为实羹砖 p 十 r ( 旷( r ) + 9 i ( r ) ) d r + o o ， ，0 爨广义簿其鸯瀣近稳凑 坩十 2 ( o ，t ) + ( t ) 1 1 2 篓d ( 鬻) t t _ + 。0 ， 篡中，囊0 搜篓2 辩，r = 紫；当2 嶷s3 嚣雩，r = 锵。 窥遴2 赣定 ( h 1 ) ，o ( 瓣) ，( s 。妒) 局部l i p s c h i t z 连绩并熙( a 。) 成立 ( 疆2 j 菇y ( r , 0 ) d r 一马| 8 l 毋州，( s ，o ) s 一2 氆ls l 丹1 ，簇孛0 嚣l ，鬻戆 l j ，( 2 ) 群在难一黥广义释 ( 8 ) t 五h 1 ( o ，r i ；尉2 ) n h 2 ( 0 ，明；西口) 将溺，鼗聚a t ) 成交，茭l l 广义辩葵宥渐邋淫疆霉) ， 在第三章，翻鼷g a l e r k i n 方法诞臻了潮熬( 3 ) 。翟) 魏熬俸广义麟懿裕农穗，稠糟n a k a o 不 等式诫明广义解的衰减性，主要锚论为： 蹇瑾3 暇窥 ( a l ；爹c 1 薹棼，黟 ) = 0 ，q 8 1 4 1 茎l 参s ) g 臻s i 。+ 十1 ) ，蟊扣j 鑫磊( 1 + l 鬏8 ； ， 球 0 ，q ，岛，慨为正常数 ( a 2 ) ，c 1 ( r ，如) 兰一岛ls l “，晦l 0 时， ( ) = 1 + 2 n ；2 。当。= ( ) 时， ( ) ：e 叫， 0 ，则 | n 。d t ) 1 1 2 + l 。( t ) i i 2 “ ( o ，印蔓5 l h l ( 站，t 兰t 其中， 1 。当n 0 时，h z ( t ) = 一2 “；2 。当d = o 时，h i ( ) = e - 州，r h 0 ， 在第四章，利恩g a l e r k i n 方法翔位势井方法涟盟了问题+ ( 7 ) 的整体广义辫的存在性， 稠焉n a k a o 不等式诞鹾了闻题( 5 ) 。? ) 鹃解静渐避往，主要结论凳： 定理4若 ( a i ) p c ( r ) ，( p ( 轧) 一声( s 2 ) ) ( 勘s 2 ) 0 = l ，2 跨，a 兰o ；篓n 3 薅，娃+ 2 丙2 i n ( a 。) ，g ( r ) ，( 8 ) s 0 ，b 4i s f 9 + 1 sl q + 2 曼鹩 p ( 8 ) s b tj 8 1 4 + 2 ，i 卢( s ) j b 2 ( 1 + 1sl 。+ 1 ) ，当 f ( 8 ) 兰b 3 ( 1 + lsf 。+ 1 ) ，q 至n ，当n 5 时， ( a 8 ) g s ( 丑) ，嚣9 ( f ) d s b 5 8 旷2 丑5 ) ，l # ( s ) l 曼风( 1 十| s r l ) ，p 墨n ，当n 5 珏寸， 芦+ 2 s 雾邕；兰 n 辩，p + 2 ( + o o ( a 4 ) u o w j 1 毫l 2 ，0 a ( o ) 然| | “1 | | 2 + i l o | 1 2 一如f 。g ( s ) d s d x 0 ，阅题( 5 ) 一( 7 ) 移猩弱解n ，且 牡l 。( o ，t ；h 2 ) n 五( o ，r ；三9 + 2 ) ，口e l ( o ，t ；三。) n 占+ 2 ( o ，；驿苫。+ 2 ) 寇瓒5若 多如) = | s | 8 s ，( s 。 s 1 9 s ，a ( s ) 一n 8 s ，i t 0 暇t l l 工2 ， 箕中n ，g ，p ，0 0 ， 珏( 霉，o ) = 瓤8 嚣) ，u t ( x ，0 ) = 姐i ( 。) ，茹0 ，1 ) u t e 一“。一未卢( “) + ，( 毗) = 9 ( ，t ) m ( o ，1 ) ( o ，十o o ) # ；o ，砖= h u ( o ，幻，u ( 1 ，t ) = 0 ，t 0 ， 珏缸，0 ) = 雌。和) ，u f 净，0 ) = u l ( o ) ，茹( 0 ，1 ) n o u a 2 一茜胁州) 训u c ) = 咖)n ( o ，佃) u l o a 。0 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) f 4 ) ( 5 ) 塞喃= 织 t 冁( 6 ) t ( z ，0 ) = u 0 ，u d x ，0 ) = u l茹n ，( 7 ) w h e r eh 0i sac o n s t a n t ，nw h i c hh a sas m o o t h b o u n d a r y0 q i sab o u n d e dd o m a i no fr n i n c h a p t e r2 ，b yc o n s t r u c t i n g t h e p o t e n t i a l w e l la n da p p l y i n g g a l e r k i n m e t h o d ，w e o b t a i n a u n i q u e g l o b a l g e n e r a l i z e ds o l u t i o nf o rt h ep r o b l e m ( 1 ) 一( 2 ) t h em a i nr e s u l ti st h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m1s u p p o s et h a t ( a 1 ) ，g ( 王p ) ，f ( s ，0 ) s 0 ，s r ，缸，妒) i sa l o c a ll i p s e h i t zc o n t i n u o u sf m l e t i o n 。 ( a 2 ) ( f ( s ，妒) 一f ( s ，0 ) ) 妒0 ，l f ( s ，妒) 一s ( so ) l 量b ( i s l ) 妒l o ，8 ，妒r ， w h e r e0 茎o 3 ，b ( s ) ( a 三0 ) i san o n n e g a t i v ec o n t i n u o u sf u n c t i o n ( 锄) 铭。h 2 ，程】h 1 ，g h 2 ( o ，+ 。) ， t h e nv t o ，t h ep r o b l e m ( 1 ) 一( 2 ) h a sau n i q u eg k ) b a lg e n e r a l i z e ds o l u t i o n “1 ( 【o ，引：h 2 ) n 打2 ( o 叫：l 2 ) 4 e s p e c i a l l y ，i f a 0 ，点 晷桃端a i 趣h h b e 转 r ( 9 2 ( r ) 十口i ( r ) ) 打 + ， t h e n ；t h eg e n e r a l i z e ds o l u t i o ni so fa s y m p t q t i e p r o p e r t y m 吲n 矿( 吣川阻( 2 ) 旷董嘎等) ，t - - + o o ， ( 8 ) w h e r e ，i f 0 氆s2 ，七h e nr = 糌；i f 2 n 3 ，t h e nr = 4 + 6 - 。+ t h e o r e m2s u p p o s et h a t h 1 ) ，g ( r 2 ) ，( s ，妒) i sal o c a ll i p s e h i t zc o n t i n u o u sf u n c t i o na n df a 2 ，h o l d s 。 ( h ) j 苫，( t ，0 ) d r 毪日1i si 口+ 1 ，( 8 ，0 ) 8 兰一2 b l i 8i 口+ l ，w h e r e0 b l 0 ，t h e p r o b l e m ( 1 ) h a s a u n i q u e 9 3 。h l 舯r 8 】泌d s o l u t i o n “h 1 ( f o ，t l ；日2 ) n 村2 ( 0 ，t ；l 2 ) e s p e c i a l l y , f f 她) h n l d s ，t h e nt h eg e n e r a l i z e ds o l u t i o ni so fa s y m p t o t i cp r o p e r t y ( 8 ) 孙c h a p t e x3 , b ya p p l y i n gg a i e x k i nm e t h o d ，w eo b t a i nt h eg l o b a lg e a e r a l i z e ds o l u t i o nf o r t h e 甜。挺秘强 ( 3 ) ( 4 ) u n d e rt h em i x e db o u n d a r yc o n d i t i o n s b yu s i n gn a k a o i n e q u a l i t y , w ep r o v et h eg e n e r a j i z e ds o l u n 。n i so fa s y m p t o t i cp r o p e r t y t h em u i n r e s u l ti st h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m3 s u p p o s et h a t ( a 1 ) 序0 1 ( r ) ，厣( o ) = o ，g l 沁f 。+ 1 茎l ? ( s ) is 晚( i s l “+ 1 + 1 ) ：0 竖伊( s ) 茎辱最( 1 + 艇s ) 佟， d 0 ，c i ，岛，m ia r 。p o s i t i v ec o n s t a n tn u m b e r s a ) ，0 1 疆蛩，s ) 一c 3 ls 1 8 ，l s k ，0 0 ，t h e nh ( t ) = 1 、 2 ，“；2 。i f q 黼0 ，t h e n 矗( 螃= c - r t t ，霉 0 ，t h e h l l 鞋州1 1 2 + l | 珏。；f 洲2 + 船 ( o ，t 羔5 1 h l 幻，t t w h e r e ，1 。i fc 1 0 ，t h e nh i ( t ) 盟# 一2 “；2 。i f 艘嚣0 ，t h e nh l ( t ) = e m2 ，啦0 赫c h a p t e r4 ，b yc o n s t r n e t i n g b gp o t e n t i a lw e l l 靠琏da p p l y i n gg a l e r k i nm e t h o d o b t a i nag l o b a l g e n e r a l i z e ds o l u t i o nf o rt h ep r o b l e mf 5 ) * ( b yu s i n gn a k a oi n e q u a i t y , w ep r o v et h eg e n e r a l i s e ds o l u t i o ni s o fa s y m p t o t i cp r o p e r t y t h em a i nr e s u l ti st h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m4s u p p o s et h a t ( a 1 ) 黟g ( r ，( 筘是) 葶( 麓) ) f s l 一筑0 筘 砖s 露l 81 8 + 2 ，| 筘( 司l 魏l l $ l 。十1 ) ，i f n 篇1 ，2 ，t h e n 凸o ，i f n 3 ，t h e n 。+ 2 s 斋岛 矗2 ，g ( 霆) ，f ( s ) s 三。 热 $ 4 + 1 s ，和) l 董糍( 1 十 $ ；9 十1 l 譬曼秘，i f n 5 ，t h e n q + 2 s 蔷生 ) g g ( 鞠，露g ( r ) d v 墨b 5 $ l 舛2 ( b s 0 ，t h e p r o b l e m 5 ) * ( 7 ) h a s g e a e r a l i z e ds o l u t i o n 珏gl e o ( o ，r ；h 。) n e ( o ，r ；p + 2 ) ，魄o 。( o ，t ；l 2 ) n l + 2 国，r i 弼8 ) ， t h e o r e m5s u p p o s et h a t 黟和；芝 s 尹s ，( 砖= s 1 ，孽$ 鬻群 $ 9 s ，u o ；致珏i 芒五舢 w h e r eq t ，岛p 1 0 0 、t h e n a 固量江弦妒壶i 瑟一l i 节“。 k e yw o r d s ：q u a - s i l i n e a rw a v ee q u a t i o n ；g e n e r a l i z e ds o l u t i o n s ；i n i t i a lb o u n d a r yv a i u ep r o b l e m 6 第一章孳l言 率文研宪下歹三癸 缓e k e s 2 臆方程懿蟊逮缓蕊题 t “一删；一“* t + f ( u ，啦) = 0 t( 0 ，1 ) ( o ，+ o 。) ，( 1 1 ) 黜# ( o ，匀= 毳龆， ) + 孽0 ) ，抖( 1 ，。) = 。，。 。， f l 。秘 u ( x ，o ) = 孙髫，桃每，= 疆! f 嚣) ，嚣溉1 ) ， 仃 蛳叫m 。一盖口( ) + ，( ) 2 g ( x ，t ) ( o ，1 ) ( o ，+ 。) ，( 1 - 3 ) 8 ；。瓤鹣醇j8 1 1 ) 2 。，t 辑 馐鸯 江，o ) = = 甜o ( 嚣) ，u t ( x ，0 ) = 鼍f l z x 茹$ ( o ，i 蛳埘u 一娄蠢圳砌吲u ) m 州。) ， 阻5 ) 口| 。n = 取 蒙昧= 趣 f e ， f l 。谚 “( z ，0 ) = u o ，“t ( # ，0 ) = u l r 2 f 1 7 ) 秘整俸广义辩翡存磁性爱衰藏饯，其孛h 0 为鬻数，n 楚武空翘中裔必澄速爨棚豹鸯 器区竣 问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 魁用来描述动物神经传播的一类非线性波动方程，同时，它还支配了具 有非线性夕卜力作用的线性粘弹性杆的纵波振动，见文献【3 】。对此类方程的研究，尤其对于 疆耗散与菲凌注西索橙互鞭约骢关系器灭研强，是近年寒疆黩癸学术彝酹瓣变蒸熹，强文 献( 7 ，1 2 ，a r 。 d + i ) a n g 和ap n d i n h 在文献【3 0 】中研究了下面的初边值问题 鬈群一盎毛垂一a a u t 十，番) = o ，扭：，醇8x ( 0 ，) ，五 e ， 瑞o ( 嚣 ) 8 n e o ，掣) ， ( 1 8 ) “( 并，= 叫o ( z ) ，t 协，0 ) = i j l ( ) d 。d 。a n g 移矗pn d i n h 鬟秀线性递j 毽揍式，在，满是下翊祭箨翡馕糯下诞臻了窝嚣f i 趟 的蘩体解的存在憷，唯一往和解的衰减性， ，一c ，o o ，e c 2 ( 鞑) 成立懿条婷下摄到了耀题( 1 ，l o ) 豹麓戆存在经，嚷蛙窝貉懿稳 定性，嫩文献f 4 2 】 g a n d r e w s 研究了下面的初边值问题 缸抖落( a ( u # ) + 珏$ t ) z ，o 0 ， u ( z ，o ) 僦u o ( x ) ，h t ( z ，o ) = “1 ( z ) ，0 0 ， 1 1 2 ( z ，0 ) = “l ( ) ，。0 ，1 ) 声c 1 ( r ) 。一( ) ) = 0 ，c 1 1 s “+ 1 兰1 芦( s ) 1 曼c ：2 ( t s l “+ 1 十1 ) ，0 = 墨3 ( s ) 曼 彳( 1 + | 芦( s ) 8 鸯8 m 珏 l l 磅辞 0 z h h 定暇 n 0 ，8 r ，c 1 ，岛，m 为正常数 ，0 ( 巍) ，f o ) = 0 ，( s 2 一( 鼍ls ，l8 o ， f 2 2 ) 珏扛，母= 赶。( 茹) ，锄( 若，e ) = 锃l ( 嚣) ，嚣 o ，1 ) 的整体广义解的存在性，唯一性芾饵解的渐近性质，其中h 0 为常数。 本鹫利用g a l e r k i n 方法和位势井方法讨论农混合边界条件下，问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 的整体广义 薅戆夺程注，灌一谯帮簿豹澈避羧凌。 记 n 裟( 0 ，1 ) ，口t = n x ( o ，t ) ，工p = 五p ( n ) ，w 1 ，p = w 1 ，( n ) ，日m 篇w 卅2 ( n ) ，| | 1 i i c = j | i i g ( n ) ，| | i i p = h b ，吲| = h | 幻 t h ， = | 一，v = u h 1h ( 1 ) = o 在矿中定义范数： i f u l l v = i l u 。眠 劐v 悬一个h i l b e r t 您闰。 主凝结论翅下： 寇理1 假定 ( a 1 ) f c ( r 9 ，( 8 ，o 扣2o ，s r ，f ( s ，妒) 局部l i p s c h i t z 连续 a ) ，扫，妒；一，0 ) ) 妒o ，l ( s ，妒j f ( s ，o ) l 曼霹l s 耱r ，s ，妒巍， 其中0 ns3 ，口( s ) ( s o ) 撼非负连续函数 ( a 3 ) 1 l o 日2 ，1 1 1 h 1 ，g h 2 ( 0 ，十。) 剡对任意t o ，姻题2 1 ) 一2 。2 ) 存在唯一的整体广义勰 珏打1 ( 【o 、t i ；h 2 ) n h 2 ( o ，司；l j 特别，卉雎果 0 ( a 4 ) 0 0 ，b 2 0 为实数j ，十 7f 矿r ) + 9 i ( r ) ) 打( + ， j o 则广义解具有渐近憔质 献剜一锻o ，静黼 ) 1 1 2 p ( 等_ 佃 ( 23 ) 其中，当0 0 ，为常数( 冕( h 3 ) ) + 定理2 假定 ( h 1 ) ，c ( r 2 ) ，( s ，妒) 局部l i p s c h i t z 连续并髓( 赴) 成立 珏2 ) j 2 f ( v , 0 ) d v b t ls 1 8 + 1 ，s ，o ) s 三一2 致| s | 8 + 1 ，其中0 b l 0 ，问题( 2 1 ) ( 2 2 ) 存在唯一的广义解 1 h 1 ( 【o ，明；h 2 ) n 盯2 ( 【0 ，卅；l 2 ) 特羽，魏栗( a 4 ) 成立，刚广义勰麓有渐近往凌( 2 3 ) 2荸| 理 i i gi 遐1 1 2 9 1 ( g a g l i a r d o - n i r e n b e r g ) 假定1sr 0 为常数，0 0 1 ( 如槊q = + o o ，0 p 0 ，( 2 5 ) 矿f o ) = 龆笤叶链。于h 2 ，杯 0 ) = 链 _ 群l 子努1 其中协) 整。是矿的标准正交基 把( 25 ) 中的q 按成n 并利用( 如) 得到 羹孛 出d _ a 。( 砖+ l l ”袅8 ) 1 1 2 + i h 陬n 溉# ) 阻；脚) 十蜘) 】 一 a 。( ) 十f j o 据( a t l 秘( a 3 ) ( 2 6 ) 2 十互h ( u n ( 0 ，蝴d r 曼州。) + ；z 妒( r ) 埘( 州帆 ( 2 “：。) 1 1 2 + ( “”( 。，f ) ) 2 + 2 z 1z “，( s ，。) d s d z l 划o ) = 扣u 到2 刊制卧蚴触) ) 2 + 2 2 1 z “如埘d s d z f if 。1f 0 8 o ) d s d 。jo j 0 j 0 a “( 。) + ：z 。治2 ( d + 9 ；( r ) 】d r g ， 其中c 为不依赣予，”的正常数 由( 2 7 ) 和s o b o l e v 嵌入定理得到 l | “? 弘) t 1 2 + | n ： ) l i 2 十a ( 珏”( 。，哟2 + z 。强略( 扩+ 知? f 。，叫2 j d rs e i i 矿( ) i i c 0 1 。当0 s n 1 时， l t f ( w * , u ? # 2 s ( # 羔垂) ；尹+ 1 ) ； 2 。当1 8s 3 时，利用g a g l i a d o - n i r e n b e r g 不等式得到 i i ，( 珏”， 2 g ( | | 姐关牡) 尸一1 i | “t ) | 。+ 1 + 1 ) g ( 1 i 枉( 幻| p + 1 ) 从而，避0 s3 时，由( 2 8 ) ，( 2 1 0 ) 及( 2 1 1 ) 褥副 五“( 瑚( r ) ) 怖r 董口( r ) ，【o ，卅， 其中0 ( 黔是仅霰赣予t 酶正常数。 把( 2 5 ) 中的q 糗成u 3 并在( o ，t ) 上积分得到 ；一味r ) 1 1 2 d r + 扣貅) i f 2 互h ( o 国) 2 剑吲圳n + 扣l i l 2 十i i u 恐1 1 1 1 吲i + z 1 l f ( 州味“忭( r 川h 陋撕) 1 1 硐r + z 陵+ 鲥r ) 十珧卿，叫“7 ( 0 曲- ( 曲) 蚓r ) + 榭( o 删喇o ，叫3 + 曩h 鲥o ) ) 2 注意到 “g ( 0 ) s g i i “；| | ，s q 锚 ( 国墨c | | 辩 | | 嚣，茎。 由( 2 1 3 ) ，( 28 ) ，利用y o u n g 不等式及s o b o l e v 嵌入定理褥列 z l 吲圳2 ( i r + 峨( t ) 1 1 2 + ( u i ( 0 t ) ) 2 量g ( 丁) ，i l u ? ( t ) l l 疗e ( t ) ，t 阳 1 挺( 2 5 ) 中的咯换成麓；在f 。，外上积分并乖j 箨c a u c h y 不簿式及( 21 2 ) ，( 2 1 4 ) 得到 扣剡圳卜：知蛾加川2 d r 剑n 划n o o 。川，( “2 圳哦( 珊】d r c ( 丁【o ，7 1 圳 圳 据( 28 ) ，( 21 4 ) 和( 2 1 5 ) ，我们可以从 u ” 中抽出收敛的子净列仍记为和”) ，使当n _ + o 。时 珏“珏 予三( 陵司；h 2 ) w e a k _ u 于上o 。( 【0 ，卅：h i ) n 驯o ，叫：日2 ) 珊8 幽8 6 1 矿( o ，) “( o ，t ) 于w 1 。【0 ，t 1 w e a k 瓤箍呻乜抖予三2 ( 国? ，) v j e a k 由( 2 1 6 ) 及，的谶续性，当n 叶时， 3 “壮于l 2 ( q t ) 并且n b 予珊 ( 2 1 7 ) ，沁”，“? ) - - 4 ，( ，“) 8e ，于q t ， ( 2 1 8 ) 其中= 0 ，1 摄 e 。酽投隈的横懿下半连续性可知，不簿式 2 8 ) ，( 2 ，1 2 ) ，2 1 4 ) 和( 2 。1 5 ) 对于极限函数 仍成立，从而 i l u ( t ) c + i i h t ( o l l c 墨秽( t ) ，1 ，( “，让? ) 一，弛，“t ) i 曼g ( ? ) ，t 【0 ，列 据( 2 1 9 ) 及l e b e s g u e 控制收簸定毽，当n _ 0 0 辩 ，( 矿，) + f ( u ，m ) 于l 2 ( q t ) 恕( 2 ，蛰孛戆垮羧藏# v 势纛识0 上积分嚣菪令 t 2 4 势蠢| 薅2 1 6 ) ，( 2 。2 0 ) 褥到 j ( ( u 一“一飞。+ ，( “m ”) d r = 0 ，v 矿 把担2 1 ) 关于求导褥翻，对地v ， ( 托一。一。+ ，啦) ， ) = 0 ，a e 于( 0 ，t t 又据( 2 。1 6 ) 得到，当_ 。时， ( n 8 均) _ f h 献呦于h 2 冷，霹。 又因为 嚣2 【o 、t 】qc 1 【o ，习， 据( 2 ，6 ) 及极限的唯一性得到 1 4 博 牡 嬲 2 2 2 2 由( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) 得到“t t l ( n 司；日2 ) n 铲( i o ，引；工2 ) 魁问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 的广义解。 莰 ，“2 玎1 爹，t 1 ；爿2 n 蟊2 双t 1 ；l 2 ) 是瓣题( 2 。t j 2 。2 魏瑟拿广义錾，粼# ：* ；：满 足闻题 “一。州2 z + f ( u l ，t t , i f ) ，( “2 ，i t 2 t ) = 0 ，( 2 2 4 ) u ( 1 ，g ) m0 ，t b ( o ，螃= h u ( o ，砖，n 缸，蹲；啦( 0 ) = 0 - 方程( 2 2 4 ) 用u 。( t ) 柱岛中作内积并利用，的硒部l i p s c h i t z 遴续性得到 ；翻壤( t ) l i 2 + i i “删产+ h u 2 ( o ，t ) t + t l 毪删艮赫鹣母茎g 陬( t ) i t 2 + i i * s 2 应用g r o n w a l l 不等式于( 2 2 6 ) 得到： g u t 棼l 尹| t b 站| 尹+ h u 2 ( o ，站= 0 ， 从而= 0 ，群“1 j h 2 。 下面我们讨论解的渐近行为，把( 2 5 ) 中的呦挟成“( 1 ) 得刹 ；熹g 晒；慰| 尹幸a 矿黜 2 l 圳* ：嘲2 + 鑫妒邮炉 = ( 珊一熹( u 跏”) 一( m “，o ) ”) 一( m ”，“) m “，o ) ，“) 一扩( o ，t ) 曲( t ) 十m ( t ) 】 i 。当0 8 2 霹，羁建i u i s l d e r 虿等式及穆，国褥到 f 。i ( ，( ”，。? ) 一，( ”，o ) ，。n ) d ，曼ef 。i i u t ( i i u t ( ，) t l d rg ( 免字 z 怖”，u 沪m ”朋，矿) d r 曼e 五 r g 挠学， 2 。当2 a 曼3 时，利嘲g a g l i a d o - n i r e n b e r g 不等式，h s l d e _ i 不等波及( 2 固得到 ，。 f ，白n ，t 。) 一，( 。n ，辞，n ) l d r s c ，。 # ( ，) l i 一1 口p ) i i ih drcd r 墨e 警+ f f ，白8 ，t a ) 一，( n ”，辞，甜4 r s f # ( r 暑。 珏p 一 墨e 鬻学+ j 0j 0 据( 2 2 7 ) ，伍2 9 ) 得到 ；骥f 螃 ：+ 矗嚣* 姆，萄：】f f | | n 辇扛) i t 2 + ； 嚣。( 。，甲) 2 强r j 0 墨z11u?(r)112+11“?()1111u)lldr(t)ll十ilu?llllzc8tl十i菌2(r)+g；(r)】dr兰g(1十t0 “) ， 墨1 1 u ? ( r 2 斗1 1 “? ( 十i 十菌2 ( r ) + g ；( r ) 】d r 兰g ( 1 十n ) ， j”，0 其孛，塞0 n 茎2g 季，扎= 兰芎耋；当2 s 3 对，弧= 5 据( 27 ) 得到 未 ( 1 + ) 引# ) 】茎十! ”9 】j 嘲 端 卿 嘴 挪 江 江 江 豫 暖 ( 1 + t ) j 4 n 蜓引0 ) z o ta n ( r ) d r 十；z l 卅( 砍r ) + 癣( 嘲打 s c 十；0 4 。m “( r ) 1 1 2 十i l u ；( r ) 1 1 2 + ( “”( 。，r ) ) 2 + 2 2 1 z ”1 ，( s ，o ) d s d 。j d r s c 十；眦( f 2十r2 州“叩，) ) 2 + 2 上，弛，溅渺 据( a 4 ) 及h s t d e r 不等式得到 j f o tz 1 一江p d s d x d ，- 篓是f 0 2i i 矿嘣酶0 。瞄繁翊廊， 曼g 0 2 嗽一) 1 1 2 d r + c ( f o i i “；( r ) 怖r ) 1 邶+ 1 ) t 南 瘩犯3 2 健人堙3 1 鼹穰囊f 2 8 翻f 2 9 ) 缮到 2 3 1 ) ( 2 - 3 2 ) ( 1 + t ) a 。( t ) c ( 1 + r ) ，( 2 ，3 3 ) 其中，当0 a 玉2 时，r = 帮；当2 a 曼3 h 于，r = 帮 在( 2 3 3 ) 中令”呻。，鑫w e a k 极限懿穰懿下半连续毪褥戮 | l u t ( t ) 1 1 2 + u 2 ( o ，t ) 十i l u 。( 0 1 1 2 n m i n f ( 1 l u ( t ) 1 1 2 十( “( o ，) ) 2 + i l u ：( 0 1 1 2 ) 0 ， 因此不妨假定n s w 对一切州；n 成立 据( h 2 ) a 。# ) ： 1 l u ； ( t ) l t 2 + 矗和“( o ，) ) 2 + | | 乜銎( 站| 2 】一嚣i | 阻“o ) i | g 鬟 = 知f u ( t ) f 1 2 + h ( u ”( o ，t ) ) 2 l + j ( u ”( t ) ) 注意到，当n o o 时， 蝾f o ) 一。 o ) | g | | 舔一。| | 口t - 0 + i f 1 上：；，( s ，。) 一，( s 。) d s d m l i f ，( ，。) l u g t z 。f i _ 。 其中 。“u + d ( t z 占一t o ) ，( o 氇 攀实t ，医“戳若存在t 0 ，健得铲( # ) e 弼t o ，r ) ，f t 一( 丁) ) = 0 溅立 ； “；棼擎十a 矿f 即) ；2 j 士i “；翰| 尹+ i i n ” 匀嚣：魏2 矗 。i 涛强鸭+ 嘲。 晒黧妒 d ( 2 a ( 0 ) 1 f ，溉。1 ) 曩ts 羚，霹 据1 1 3 ) 袋$ o b o l e v 嵌入定理 罨到 i l 扩t l 嚣；瓯【；( 溅 棼手知g 薅t 鹣嘲霹警辩；f 站爨t 鹣司 据( h 3 ) 鲻f ( ( 筝) ) 0 ，与假设矛鼹，因此驴( ) 畦砒t 0 ， 爨( 2 ，7 及2 + 3 7 ) 辫爨 扣矧队蜘嗡嘞2 j + 麴堪鹾吲妒酬) i i a + d 十知壤剜融；蚓嘲霸d r 曼2 a ( 0 ) + 扣睽挺+ 嘲， 0 ” 驳下嚣瓣予塞鹱1 翁诞鹱，魏键孬鹫陲遂疆i ) 2 尊存爨噻一懿广曼簿， 撼( 2 5 ) 中龄蜥按成“”( ) 褥铡( 2 2 7 ) ，搬( 蕊) 秽嚣s ，国，* 4 ) 一2 菇n n ) 蝣：；， 瓣f 2 6 ) ，23 s ) ，f 2 2 码及23 ) 褥戮 f 1 l 珏耋p ) l 字+ l | 鼍土“f f 残2 ：；+ 簿”，r ) ) 2 l d f 篓o ( 1 + q ) ， ( 2 。4 0 ， 鬣囊宠怒1 懿落鼹道疆缮裂 囊攥2 落擎。 f 珊十u 。( 叩) + 黼螂+ 脚) 嘣s g f 鼍等t ( 2 m ) 1 7 4例子 侧1 在方程( 2 1 ) 中取f ( s ，妒) = 妒妒3 ，则方程( 21 ) 变为 显然，局部l i p s c h i t z 涟续，直接验诳可知，定璁1 的条件( a ，) ，( ) 成立，熟中d ( s ) = 一，o = 3 数只要“o h 2 , n l h 1 , 9 丑2 杈十。) ，譬o 。f 妒，) + 谚) 打+ ，则根据定理1 知，对对任 意， o ，藤题霹l 莲2 ，2 + 2 ) 存在壤一蛇广义簿镕抒2 羚，司：野2 ) n 舻f 鹣霹；岛) 韪 | | 饥( ) i | 2 十2 ( o