（基础数学专业论文）pascal矩阵的分解与riordan矩阵.pdf

t h ef a c t o r i z a t i o no ft h ep a s c a lm a t r i x a n dt h er i o r d a nm a t r i x h u a n gz h o n g y u e b s ( l u oy a n gn o r m a lu n i v e r s i t y ) 2 0 0 4 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e p u r em a t h e m a t i c s i n t h e g r a d u a t es c h o o l o f l a n z h o uu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o 影 s u p e r v i s o r p r o f e s s o r y a n gs h e n g l i a n g m a y , 2 0 1 1 illii-i。llidfli5ii118i113i8ill r 兰州理工大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者躲考吁认嗍少年月召日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文同时 授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务 作者签名：薪中陈日期力脾 导师签名2 r 批 日期：刎，f 年 日日 8， 月月 ，u，o 目录 摘j i j e i a b s t r a c t i i 第一章绪论1 1 1 研究背景 1 2 预备知识l 第二章涉及f ib o n a c c i 矩阵的对称p a s c a l 矩阵的分解5 2 1p a s c a l 矩阵的冗一r 分解5 2 2p a s c a l 矩阵的r 一三分解。l o 第三章涉及j a c o b s t h a l 矩阵的p a s c a l 矩阵的分解1 3 3 1 背景知识13 3 2 分解结果。1 4 第四章r i o r d a n 矩阵与p a s c a l 矩阵2 1 4 1rj o r d a n 矩阵基本概念介绍2 l 4 2r i 咖州矩阵与p a s c a l 矩阵的关系一2 3 总结与展望。2 7 参考文献2 8 蜀谢31 摘要 随着计算机和我国科学的飞速发展，矩阵作为一种科学研究的工具，其应用越来 越广泛矩阵的分解在矩阵理论研究上和数值计算中有重要的意义它是将一个矩阵通 过变换分解成几个比较简单或具有某种特性的矩阵的乘积， 本论文主要利用f i b o n a c c i 矩阵和j a c o b s t h a l 矩阵对p a s c a l 矩阵进行了分解，具 体内容如下： 第一章中，我们先介绍了矩阵分解的研究背景，以及关于p a s c a l 矩阵分解的预备 知识 第二章利用二项式系数的代数和作为元素引入了新的矩阵尺。，重点研究了利用 f i b o n a c c i 矩阵对p a s c a l 矩阵的分解，最后得到了p a s c a l 矩阵的简单的分解式 第三章分为三部分，首先引入了一个新矩阵r 。，得到了p a s c a l 矩阵的分解式 只= r 。以，其次用j a c o b s t h a l 数作为元素定义了新矩阵u 一，可。，再定义简单的矩阵 瓯，利用它们对矩阵r 。和以进行了分解；最后利用上述分解式得至u t p a s c a l 矩阵的分 解式 第四章主要是介绍了今年来出现的热点_ r i o r d a n 矩阵理论，指出了它与 p a s c a l 矩阵关系，并得到了一些组合恒等式 关键词：p a s c a l 矩阵；f i b o n a e c i 矩阵；j a e o b s t h a l 矩阵；r i o r d a n 矩阵 a b s tr a c t a l o n g 晰血t h er a p i dd e v e l o p m e n to f t h ec o m p u t e ra n do u rc o u n t r y ss c i e n c e ，m a t r i x ， a sak i n do fs c i e n c er e s e a r c h t o o l s ，i su s e dm o r ea n dm o r ew i d e l y t h ef a c t o d z a t i o nt h e o r yo f m a t r i xi so fg r e a ti m p o r t a n c et ot h et h e o r yo fm a t r i xa n dn u m e r i c a lv a l u ec a l c u l a t i o n i ti st o d e c o m p o s eam a t r i xi n t os e v e r a lr a t h e rs i m p l em a t r i x e st h r o u g hc h a n g e so rap r o d u c to fs o m e m a t r i xw i 也c e r t a i ns p e c i a lc h a r a c t e r s i nt h i sp a p e r , u s i n gt h ef i b o n a e e im a t r i xa n dt h ej a c o b s t h a lm a t r i x ，w ef a c t o r i z et h e p a s c a lm a t r i x t h ec o n t e n t sc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e ri ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ft h ef a c t o r i z a t i o no ft h em a t r i x ，t h e ng i v e t h ep r e p a r a t i o nk n o w l e d g eo f t h ep a s c a lm a t r i x i nc h a p t e ri i ，u s i n gt h eb i n o m i a lc o e f f i c i e n t , w ei n t r o d u c ean e wm a t r i x 兄l a y 地 h e a v ys t r e s so nr e s e a r c h i n gf a c t o r i z a t i o no ft h ep a s c a lm a t r i xi n v o l v i n gt h ef i b o n a c c im a t r i x ， f i n a l l yw eo b t a i ns i m p l ed e c o m p o s i t i o nt y p eo f t h ep a s c a lm a t r i x c h a p t e ri i ic a nb ed i v i d e di n t ot h r e ep a r t s ，f i r s tan e wm a t r i xr i si n t r o d u c e d , f r o mi t w eo b t a i naf a c t o r i z a t i o n 只= r n 以t h a t i n v o l v i n g p a s c a l m a t r i x ，t h e nf a c t o r i z et h e m a t r i xr a a n d j n ，f i n a l l yo b t a i nt h ed e c o m p o s i t i o nt y p eo f t h ep a s c a lm a t r i x 。 c h a p t e ri vi n t r o d u c eo n et h e o 黟鼬o r d a nm a t r i xt h e o r y , p o i n to u ti t sr e l a t i o n s h i pw i t h p a s c a lm a t r i x ，f i n a l l yg e ts o m ec o m b i n a t o r i a li d e n t i t i e s k e yw o r d s ：p a s c a lm a t r i x ；f i b o n a e c im a t r i x ；j a c o b s t h a lm a t r i x ；r i o r d a nm a t r i x i i 硕十学位论文 第一章绪论弟一早珀下匕 1 1 研究背景 矩阵的分解在矩阵理论研究上和数值计算中有重要的意义而p a s c a l 矩阵因为其 经典和很多重要的性质，更是引起了人们的关注，对于它的分解也引起了人们的巨大 兴趣2 0 0 2 年l e eg y ，k i mj s ，l e es g 等人在文献 4 中曾经利用特征值的理论对对 称的p a s c a l 矩阵进行了分解2 0 0 7 年z h a n gz h i z h e n g ，w a n gx i n 等人在文献 5 也对 p a s c a l 矩阵分解进行了有进展性的工作 根据前人的结果，对于p a s c a l 矩阵的分解，我们可以从他们的分解方法中得到启 发，再利用p a s c a l 矩阵的的对称性质，去构造特殊的矩阵来作为p a s c a l 矩阵分解的因 子进而根据p a s c a l 矩阵的元素是二项式系数的性质来定义特殊的但是却很简单的矩阵 再对p a s c a l 矩阵进一步分解 我们知道，p a s c a l 矩阵是一个对称的下三角阵，所以其分解式中的因式也应该是 下三角的，这一点从l e eg - y 和z h a n gz h i z h e n g 的已有结果中就可以得知因而对 p a s c a l 矩阵的分解我们就按照这个思路去构造合适的矩阵来作为分解式的因式 1 2 预备知识 二一心惜睁= 由二项式系数作为元素的下三角矩阵= 仍， ，川玉就叫做p a s c a l 矩阵，即 只= ( 2 ) 0 o ( 1 ) o0 o 0 oo 。 n - 1 p a s c a l 矩阵的分解与r i o r d a n 矩阵 此矩阵的元素就简记为p u ，显然p u ：i - 1 1 i ，在第四章中我们将用 【0 i j r i o r d a n 矩阵的理论来得到其逆矩阵 发生函数又叫作生成函数，它是一个由无穷数列唯一确定的幂级数：若 口。，口。，a ：，a ， 是一个无穷数列，那么形式幂级数 a = 彳g ) = d o + 口。x + a ：x 2 + a s x 3 + = x ”就叫做这个数列的发生函数例如，无穷 常值数列 1 ，1 ，1 ，1 ) 的发生函数就是日( x ) = 1 + x + x 2 + x ”+ 2 萎x “= 。五1 ；右边的 i l i 叫做这个发生函数的和函数，因为发生函数可以看作是无限可导函数的泰勒级数 ( 即泰勒展开式) ，所以如果能找到一个无穷数列的的发生函数的和函数，那么和函数 的泰勒级数的系数就是这个无穷数列由二项式系数为项构成的无穷序列 ( ：) ，( ? ) ，( 兰) ) 的生成函数就是日g ，= ( ：) + ( ? ) x + ( 兰 x 2 + ( ： x “ e 是刀阶的f i b o n a c c i 数列的第刀项，f i b o n a c c i 数列的项满足递推关系 f o = 1 ，互= 1 ，e = e q + e 一：f i b o n a c c i 数列有许多有趣的属性，例如随着数列项数的 增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0 6 1 8 0 3 3 9 8 8 7 还有它本身 完全是一个自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的，其通项公式为 e = 去l 降卜降卅捌啪一一卧 从第二个月开始，每一个月生出雌雄一对小兔子每一对小兔子从它们出生的第二个月 开始每一个月生出雌雄一对小兔子用e 来表示兔子总数，由假设知道每一个月的兔子 总数满足递推关系f 0 = 1 ，互= 1 ，e = e l + c 一2 ，因而兔子总数构成f i b o n a c c i 数列 - 2 j 耍 有发生函数薹e ，= 南，刀行阶的f i b o n a c c i 矩阵l = z ， u 司玉啊是一个下 三角阵，其定义为： 氕。j = 卜? i 了：二 兰丁 2 硕士学位论文 r n = 互 磊 1f 1 r e ； f o e 一，互 1l 2l1 3211 e qe 一：j i ，e 一， 1 = l 脚。州= 一1 i 一2 j i 1 i j 一1 i = 1 0其它 即r , = l 一1 1 1一l1 o一111 o0o 0l 以是刀阶的j a c o b s t h a l 数，满足递推关系式以= 以一l + 2 以一2 及初始值 厶= 0 ，以= 1 ，( 见文献4 1 ) ，j a c o b s t h a l 数列的通项为以= 三；生根据其递推关 刀，1 、刀 系式，容易得到j a c o b s t h a l 数列的前万项和为以= 去( 以+ ：- 1 ) ，j a c o b s t h a l 数列的第 刀项与第刀一1 项的关系为以= 2 以一。+ ( 一1 ) 川，j a c o b s t h a l 数列在组合数学中有很多的应 用，例如，将2 一1 ) 的矩形方格用1 2 和2 2 的同色瓷片覆盖，问用多少种不同的 覆盖方法设覆盖方法数为以，我们从矩形的最左端铺起，若第一块用1 2 的瓷片竖放 ，则剩下一个2 x ( n 一2 ) 的矩形方格，覆盖为以一。：若第一块用1 2 的瓷片横放或者2 2 的瓷片覆盖，则剩下一个2 x ( n - 3 ) 的矩形方格，覆盖为2 以一：，所以覆盖满足 j a c o b s t h a l 数列 类似于f i b o n a c c i 矩阵，我们定义一个j a c o b s t h a l 矩阵，并且在不至于引起混淆 的情况下我们仍然用以来表示以以阶的j a c o b s t h a l 矩阵以= 眈，】咖i 2 啊： l ，= 争叫+ 1 三一- r t + + 。l 。o 3 昂巧e；巳 五e e ；o e e 日；e p a s c a l 矩阵的分解与r i o r d a n 矩阵 以= j 、 3q 3 tj 、 3 q j 3j 2j l 3 3 j i j aj n j - 2 3 氇 以 j 瞄 jq j 、 1 l 1 311 5311 j nj n j n 2j n 3 显然，以为下三角矩阵，由文献 4 1 可得矩阵以的逆矩阵厶1 = 【，：，l = 1 2 。一抻 其中s ，f = 1 , 2 , - - n ， 奄j ：= f1 z j ： 一： l z 【o s = f s = f + 1 s = f + 2 其它 l 一11 21l 0211 002一l 0o 一2 11 4 硕上学位论文 第二章涉及f ib o n a c ci 矩阵的对称p a s c ai 矩阵的分解 本章的主要目的是研究f i b o n a c c i 矩阵p a s c a l 矩阵的关系，利用f i b o n a c c i 矩阵 l 给出了p a s c a l 矩阵的一种分解 2 1p a s c ai 矩阵的足一r 分解 我们构造一个新的刀阶矩阵兄= ，；。 ，= l ，2 。其元素为： b - ( = m 1 ) - ( 褂 由定义，我们容易得知r 。为下三角矩阵，它满足： 当f 2 时，= 一三o + l 一2 ) 当f ，j 2 时，乃，= 一l + 一l 一1 将羁写出来就是兄= 1 0l _ 2ll 一512l - 9 _ 61 31 ，：， l，；i 2 3，：l ，4，：i 5 1 由第一章的定义，f i b o n a c c i 矩阵的为 r n = e届 五e磊 e五互 日ee f ，f 。- 1 r 互 。 ； 。f 0 e 一，e 其中的e 为f i b o n a c c i 数列的项 定理2 1 1p a s c a l 矩阵有如下分解：只= r 。l 其中l 是f i b o n a c c i 矩阵 证明：证明上面定理等价于证明只1 = r 。，在第一章中，我们给出了f i b o n a c c i 矩阵 5 。；囊。： 。l 2 ；0 ，。2 3 ；0 p a s c a l 矩阵的分解与r i o r d a n 矩阵 f 打的逆矩阵r ：1 ： r f l = 对i 1 而言，我们有 p 啦厶= p u 石：。+ p 啦z ，。+ p 厶 = 一去( f - i i - l 一2 ) = 勺 = 一一 _ l z - = r ， 、 ，、， - 对i 1 , j 2 而言，我们有 p j l 氏= p l j 氏+ p c j q 九州+ p i ，j 2 九州 = 守 一弘， 由上可得，只1 = r 。定理证毕 例：当拧：5 时有 只= r 厅l 即 1 11 12l 13 31 14641 推论2 2e 二： = 只。+ 。一2 坨，+ i 1g 2 5 咒+ 2 k 刊 + 茎( ：二：) 2 一三一曼帮最一，+ 。 喜 ( ：二：) 一( 力k 一1 一( ： 最= 冰一一kk = 如”卜 证明：我们用数学归纳法证明这个定理，当i = 3 , 4 时，定理显然成立，假设当i 4 时定 1 o 1 o o 1 1 o o o 1 1 1一一0 一 o _ _ 工 1 1 2 1 1 2 3 1 l 2 3 5vhhhbnhhhlb炅1 ，) l 2 l 1 6 l l 一 一 ，o 乞o q 硕士学位论文 理成立，那么 荟“汀b h - , j 一书凇 = 骞 ( 三) 一( = h ：2 凇+ 鲥1 - l ( 七i - 一2 3 j 、一( z 一( = 凇 = 扣”，+ 孙z ) 一侣肛 = 如”，+ 冰z 一代肛训 = 如 ) + 1 书2 也2 2 一硼- 2 ) + 冰z ) _ ( = h ：2 肛 如叫小叱22 增, - 1f l f i - 2 m 、2 ) 一( = 凇 ( 根据推论2 1 2 ) = o + ) g 一2 ) + 一。一2 ) 一( 三2 + l = o + 2 ) o 一，) 所以引理对f + 1 也成立，根据数学归纳法，定理成立 下面我们引入新窑义的挖x 挖钜阵u 厅。和疗。： 玑= l o e 一只 一e e l 11 o1 1 00o u k = 厶u k ，页。= 【1 】o r 。q ，即厅t 的左上角是单位阵l 。，而右下角是以，其余元 素是o ；一r 。的第一行是( 1 ，0 ，0 ，o ，0 ) ，第一列是( 1 ，0 ，0 ，o ，o ) r ，右下角是疋一。的矩阵， 由刁。的定义，矽t = 厅z = l ，u 一。= 玑，由此可得到： 引理2 1 4 兄= r 一。以 7 p a s c a l 矩阵的分解与r i o r d a n 矩阵 证明：我们首先考虑矩阵天。的元素，其第f 行第歹列元素o ，) 为吒一。产。( f ，j f = 2 , 3 刀) ，或 者是1o = j = 1 ) 或者是o ( i = 1 ，_ ，l 或者i 1 ，j = 1 ) 设天。u n - - 0 ) u ) ，巩- ( u u ) ，显然q j = 1 = n l ，d 2 ，。= o = ，2 l ，并且d j ，= o ( f _ ，) 当 i 3 ，由引理2 i 3 ，我们可以得到： f b 。l = 廿l ，l k f f i l = 一抓z 一假凇 ( 由引理2 1 3 ) 当f j 2 时，我们可以得到： 由上知，引理成立 例：当刀= 5 时有 r 5 = l o 1 211 512l 9 6i3i i 、 o1 0 o1 o一21l o一5121 。 l o 1 2 11 30l 一500 = rn u n 由引理2 i 4 和可i 的定义，我们可以得到： 定理2 i 5r 。= 可l u 2 一u 州可。 例：当刀= 5 时有 3 2一 + o 1 2 一 = = j 吒 = d + qqi j 七 ” d 乒 d ，纠 = 珥 硕七学位论文 l 1 o 一2 3 瓯= s oo 厶，其中k n r = 1 i ar - l ，g i = l ，g 2 = l 一3o & l ，当k 3 时， g k = l i i os k - 3 我们暂且给出下面结果： l = g 1 g 2 q q q 在下一章中，我们将对类似于此的结论作为一个定理进行证明到此为止，我们得到了 p a s c a l 矩阵的简单分解： 定理2 1 6 只= u iu2 u 州u g 1 g 2 q 例：当以= 5 时有 l o1 o o l ll 0l o o 枷氯 量墨三 ，重 量墨：。 9 ，i 1 c _ ， 1 2 1 l l l l 1 o l 1 o 0 。o 乞o o vooooooooo几 ll l 1 0 voo儿一 1 i、， o 0 1 o 1 l 1 o 屯 1 o o 1 o 0 0 = l 1一一厂ill 1 0 0 0 = o 乞o q ，。o o o 一添 。i，。i、m牡e七勰 1 o o 0 1 o o 0 0 v000000000儿 1 o 0 0 0 1 j，。一 l、， i_ 。o o o 。o 也0 o l 1 4 1 3 6 1 2 3 4 1l_l p a s c a l 矩阵的分解与r i o r d a n 矩阵 1 o1 o ol o ol1 1 o1 o101 l loo 0 l o o1ol 几ooo01 几00 00 1 2 2p a s c ai 矩阵的r 一三分解 首先定义一个新的刀刀矩阵三。= k ，j ，其元素定义为： 。= i - 1 一一 从定义上来看，l = 1 ，且当j f 2 时，厶。_ ，= 0 ；当歹3 时，1 2 = 0 ；当f 3 时，t 。1 = 一1 ； 当f ，j 2 时，0 = 一l 1 + 0 l ， 定理2 2 1p a s c a l 矩阵具有分解式只= l 厶 证明：上式等价于厶= 1 只， = 1 = 1 ， = = ， ( 1 ，川， l i = 0 ，所以 ，l 1 1 0 0 硕一1 ：学位论文 吼，+ ”+ 砜朋护以，= 仁) ， 由于七r + 2 时，1 ，= 1 ，o l ，= ，一1 ，所以 ，= 当，- = 1 时，l = 1 ，z 2 。l = 0 ： n - 2 兰h3 i 3 时， t 。= ( - l y + 1 e + ：，且l = 只霹， 用同样的方法可以得到 e = 薹仁。卜由这两个恒等式，我f 有 推论2 2 3 e = + 喜( _ t y + 1 ( ；二：) 乃一：= 2 ”一2 一喜最2 ”t 一3 c 刀3 ) 证明：因为l ：k 】：只e ，而以，。：e ，所以e ：兰以j 疋1 又因为。：1 ， k = l 艺，。= o ，l j 。= ( _ 1 y “c + ：，所以 = p + ( _ 1 ) p 1 p 乃一2 司-1+套卜)川lnh-1厂)fi=3 j ： 设e = ( 1 ，1 ，1 ，1 ) r ，由定理2 3 1 ，只e = l 厶e ，又k = 2 h ，因此，当刀3 时，e + e q + e 一2 + e 2 ”t = 2 一，推论得证 蕾乏5-o=：i三。：，5-一。=墨11。：，5k=，。日jj，ct=：，：，)t；，=b，曰目r1。， g 。= l ，g ：= 厶一，o 岛q = l 吐s k - 3 伍3 ) 在文献 4 中，作者给出了下面的分解 结果：l = g 。g 2 g 3 q p a s c a l 矩阵的分解与r i o r d a n 矩阵 为了给出p a s c a l 矩阵的比较简单的分解结果，再定义行刀的矩致，厅七，一l 刀： h 。= 1 o l ： 一1 h t = l 一七h k ，一l 。= 【1 】o 厶一，从豆t 的定义中，我们有豆= 厅：= l 因z 。h 一= 厶 我们根据矩阵的乘积得出下面的引理： 引理2 2 4 三。= h 。h 。- lh 一2 日2 日1 由引理2 2 4 和定理2 2 1 以及文献 4 给出的l = g i g 2 g 3 q 定理2 2 5n 阶p a s c a l 矩阵具有简单的分解式 只= g 1 g 2 qh h 一_ l h 2h i 1 2 硕：l 学位论文 第三章涉及j a c o b s t h ai 矩阵的p a s c ai 矩阵的分解 在第二章中我们利用f i b o n a c c i 矩阵对p a s c a l 矩阵进行了两种分解，得到了相应 的分解式。在组合数学中，还有一种比较重要的序列_ 丁a c o b s t h a l 数，其应用在第一章 我们已经给出了，并且定义了j a c o b s t h a l 矩阵以，本章的主要目的是研究j a c o b s t h a l 矩阵与p a s c a l 矩阵的关系，利用j a c o b s t h a l 矩阵给出了p a s c a l 矩阵的另外一种分解 3 1 背景知识 首先根据p a s c a l 矩阵只的元素是二项式系数并且具有对称性来定义一刀的矩阵 胪h 胤：州肝一= m 1 _ 2 ( = 由r 。的定义易知它是一个下三角阵，且满足下面关系式 也就是说疋= h 。= - i ( - 2 ) o 2 ) l = 一l - l + r s l o ，j 2 ) 1 ol _ 311 8 221 - 1 5 - 1 0031 ，；，。l，：1 2，：l ，3，：i - 4，：1 5 1 实际上，这样定义的r 。是可以分解的，在下一节中我们将利用j a c o b s t h a l 数作为 元素定义新矩阵乩和厅。还有夏。来对r 。进行分解。这样，因为疋是p a s c a l 矩阵己分 解的一个因式，而r 。又是可以分解的，所以我们就直接将p a s c a l 矩阵只分解的更为简 单。 而在本章中我们要用到的j a c o b s t h a l 矩阵以在第一章中已经给出： 1 3 p a s c a l 矩阵的分解| 孑r i o r d a n 矩阵 j n = j 、 j q j tj 、 j q 3 、j ij i j q j j 、 j t j l j ；i 厶 j nj n dj 。2j 。七j l 其逆矩阵厶1 为：1 = 3 2 分解结果 1 11 3ll 5311 j nj n j 。吨j - - 3 1 一l1 21l o一2一l1 o021 oo 一2 11 定理3 2 1p a s c a l 矩阵具有下面分解式：只= 兄以 证明：上式等f f r = j = i 正n ) jr 。= 只1 用z 表示厶1 的元素， 对f 1 有 p 啦以，l = p f 1 冗l + p 啦z ，l + p z 。1 2p f ，l p f ，2 2 p f 。3 = ( 一0 1 ) 一( _ 1 ) 一一2 1 = 一i ( i 一2 ) = 对f 1 ，f 2 有 p 啦以，r = p f r 儿+ p 帆1 丘l ，+ p 价2 丘2 ，f = p ，一p ，+ 1 2 p ，+ ：= ( ；二：) 一( 7 7 1 一2 ( ；：) 2 由此可知只厶1 = r 。， 定理得证 例：当丹= 5 时有 1 4 硕士学位论文 只= 1 11 12l l331 l4641 = r 5 以 推论3 2 2 利用定理3 2 1 以及矩阵的乘积等式中元素的关系可得到： 仁) 4 州如2 乜，+ 三g 2 嘞k ，q + 茎( ：二：) 2 一罢一2 ( , , - k x , , - k - o j 扣，+ 喜 ( ：二： 一( 刀：1 ) 一2 ( ： 丘= 佃3 z 3 冰三) 一一拧肛舡2 证明：我们对f 用数学归纳法，当汪3 , 4 ，结论显然成立假设当f 4 时结论成立，则 在i + 1 的情况下有 粼二蚪哥2 卜 一= 薹 ( z + ( 2 ) - 0 - 2 ) + ( z _ 2 旺2 ) + 瞄i - 2 肛 = 骞瞄) - 0 1 ) 一例卜+ 训i t n s _ 2 - 3 、j _ ( 三 一2 0 - 2 以 叫h ，+ 猷三) 一屯2 肛 啦- 2 ) + k = z 驴 。2 一屯2 肛饥) 娟叫+ 抓l 三k - 2 ) ) 一屯2 妣 + 骞髓) 一屯2 ) ) 2 山 1 5 1 1 f ， 1 1 3 5 l l 3 5 n v0000000000八 1 c _ j 1 2 0 1 l 乞。o。q耶 l j 勰。a lm t y t ：明竹肼i 砌o r c l a n 矾阡 = z ( - 2 ) + m 2 h 卜22 肛骞胆 一一捌k 卜 + 龇z 一一托k ) ) 2 以q 锄刊小呻，一拧卜刊+ 龇三 一屯2 ) ) 2 “ 啦叫小，一抒2 卜刊+ 粼= 心k 2 ) - 2 ( 捌嘲 ( 根据推论3 2 2 ) = ，0 - 2 ) + 1 一。一2 ) 一三2 ) + ，1 6 f 一2 ) + 2 = ( f + ) ( f 一) 即对于i + 1 结论也成立，从而命题得证 我们定义刀玎的矩阵u ，u 一。和页。分别如下 砜= f f i iu k = 厶t u k ，即矽七是l 一七和u 的直和；页。= 【1 】or 中即页一就是把疋一。的最上 边加上一行( 1 ，0 ，o ，o ) ，最左边加上一列0 , o ，o ，o ) r 由厅t 的定义可知疗一= 厅：= l ， 厅。= u n 因此有 引理3 2 4 矩阵r 。有如下分解式：r 。= 一r 。 证明：根据天。的定义， r h2 1 00o 0 ol o01 o一31l ： 0 一u ，；l i 2，：l - 1 3 一一一1 1 6 0 o o o o 1 0 0 0 o 0 l o o o o ；o 0 o 0 1 ；0 0 o 1 1 ；0 o 1 l o ；0 3 4 玎，0 以山；厶 一 一 一 坝十字位论又 夏。的第f 行第j 列元素o ，j ) 为d 1 ，或者是1 ( 扣l ，j = 1 时) 或者是o ( 当扣1 ，l 或f 1 ，j = 1 ) 设夏。u = b ，) ，以= 0 f ) ，显然d l ，。= 1 = 吒l ， d 2 l = 0 = r 2 ，l ：而当f ok 动 是一个r i o r d a n 矩阵，并简记为该r i o r d a n 矩阵为( g g ) ，厂g ) ) 如果g g ) 是一个可逆级 数，厂g ) 是一个d e l t a 级数( 即当f o = o ，石0 时) ，则称该r i o r d a n 矩阵为正常的 从这个定义我们可以看出，一个r i o r d a n 矩阵就是一个形式幂级数对g g l 厂g ) ) ， 它定义了一个无穷下三角矩阵瓴ji 止。，其元素为以j = i x ”k g 炒g 矿，其中的 g g 炒g 矿称为该r i o r d a n 矩阵的第七列的发生函数，本节中，我们主要以定义2 来展 开论述 下面考虑r i o r d a n 矩阵的一些运算法则， 定理1 在r i o r d a n 矩阵的右侧乘一个列向量a ，a 。，口：，y 可以得到一个列向量 b ，b l ，6 ：，) r ，后一个列向量有发生函数 1 p a s c a l 矩阵的分解丐r i o r d a n 矩阡 曰g ) = c o g ) + 口。c l g ) + 口：c 2 g ) + = g ( x ) t a 。+ 口。g ) + 口：【厂g ) 】2 + j = s ( x ) a o r ( d ) 我们可以将其简记为： g l 厂g ) ) 宰彳g ) = g ( x ) a o c g ”并称之为r i o r d a n 群基本定理 定理1 设d = q g l 厂g ”= ( 以乒l j 。是一个r i o r d a n 矩阵，办g ) = 玩x 是序列的 发生函数，则窆以j ：b “k g 协u g ) ) k = o 证明：由r i o r d a n 矩阵的第二个定义， 这个定理的应用是很广泛的，例如我们用这个定理来处理p a s c a l 矩阵，因为 c a l 矩阵为( 击，击) ，i 面p a s c a l 矩阵的一般元= ，由定理1 酏卜= k ”】圭怔) 而这个公式就是有名的e u le r 变换， 推论1r i o r d a n 矩阵的一般元的行和，交错行和，加权行和，对角线和分别为 e 七d n , k = k 1 嵩，k 1 j j e 七( - 旷以上= k 1 高， ；碱j = k 1 篇， 旷k 1 高， ( 行和) ( 交错行和) ( a n 权行和) ( 对角线和) 证明：分别考虑序列 1 ，1 ，l ，l ，1 ) 的发生函数为办= _ ，序列 1 ，- 1 ，1 ，- 1 ，1 ，- 1 ， l x 的发生函数为雨1 ，序歹l j 呦，4 ，。 的发生函数为南，分别应用定理l 即可 得到三个推论式子对于对角线和，我们知道k g ) ，可g ) ) 也是一个r i o r d a n 矩阵，它的 k萨g f ， v 几g，够 片 ，f 。脚 i i 七一 d 。脚 = 玩t d 。脚 硕 ：学位论文 每一行均为q g l 厂g ”的对角线，所以用行和的等式就有军以一。j = k “】1 - 盟x f ( x ) ， 例1 对p a s c a l 矩阵而言，因为f i b 。n a c c i 数列具有发生函数n = oe ，2 南 所以材斗k 1 圭南 = k ”】未专= 川苦 = e + - 例2 因粕刊a n 矩阵( 南，x 的一朊为瞄) ，所以 莓i 七卜】南五1 = h 南= l m n + 刊l 1 定理2 两个r i o r d a n 矩阵相乘的情况下，例如g g l g ) ) 宰o g ) ，g ) ) ，我们将后一个 r i o r d a n 矩阵积g ) ，g ”写成列向量的形式g g ) ，办g ) g l 厅g 弛g ) 】2 ，) ，这样我们用 r i o r d a n 群基本定理，就可以得到结果： b g l 厂g ) ) o g ) ，g ) ) = g g 协( 厂g ) ) ，( 厂g ) j c i 由以上的两条，我们再加上单位阵i = ( 1 ，z ) ，以及每一个r i o r d a n 矩阵的逆元 b g ) ，厂g ”一= ( g ( 7 g ) ) ，7 g ) ) ， 此处7 g ) 为g ) 的反级数， 即 玎7 g ) ) = 7 ( 厂g ) ) = x ，所有的r i o r d a n 矩阵关于r i o r d a n 矩阵的乘法就可以构成一个 群，我们称之为r i o r d a n 群，并且每一个r i o r d a n 矩阵的逆元不但是存在的而且唯一的， 这个可以由厂& ) ：x + 石24 - 疋x 34 - 4 - 疋x 一4 - 来保证 4 2rio r d a n 矩阵与p a s c al 矩阵的关系 在本节中，我们首先指明p a s c a l 矩阵可以用r i o r d a n 矩阵来表示： p a s c a l 矩阵的分解与r i o r d a n 矩阵 p = 1 1l 12l 1331 1464 = b ，击) 根据r i o r d a n 矩阵的定义，对p a s c a l 矩阵而言g b j = 1 + 1 x + 1 x 。+ 1 x ”+ ，所以 g g ) = 一，我们还知道，如果彳g ) = 口o + 口l x + a 2 x 2 + 口3 x 3 + ，那么 l x 彳g ) _ l _ = 口o + 0 0 - i - a 1 ) x - i - a + 口1 + 口2 b 2 + l x 根据二项式系数的性质：( 妻 + ( 后：1 ) + ( 七：2 + i ) = ( ： 而p a s c a l 矩阵的第后列元素是k - 1 ) ，( 七k 一。 ，( 妻二：) ， 所以，p a s c a l 矩阵的第七列元素的发生函数q g ) 与第j j + 1 列元素的发生函数q + 。g ) 之 间有如下关系：q ( x ) l - 兰= g + g ) ，由此递推关系我们可以得到p a s c a l 矩阵的第f 列 元素的发生函数就是 删= 击b ) 。 所以，p a s c a l 矩阵用r i o r d a n 矩阵来表示就是( # j ，击) 并且我们可以运用 b g ) ，厂g ) ) q = ( g ( 7 g ) ) ，7 g ) ) 来求出p a s c a l 矩阵的逆矩阵 儿( 击，熹) q = l 一11 12 1 一l 33 1 46 l 一4 下面我们主要利用r i o r d a n 矩阵理论来研究一些与p a s c a l 矩阵有关的组合恒等式， 首先我们举一个e u l e r 的著名问题，即e u l e r 的国王步数问题：国际象棋中的王在棋盘 中的走法为： 2 4 硕士学位论文 1 起始位置 1 1 1 走一步后 12 3 21走