（基础数学专业论文）理论的相容度及效应代数的滤子与商.pdf

理论的相容度及效应代数的滤子与商 周湘南 摘要从现代逻辑学的视野来看，逻辑学从古至今经历着从传统逻辑到经典逻辑 再到非经典逻辑的发展过程2 0 世纪8 0 年代以来，非经典逻辑在计算机科学和 人工智能领域获得了基础性的地位模糊逻辑与量子逻辑以及它们相应的代数系 统是目前非经典逻辑体系中非常活跃的研究分支本文主要就命题模糊逻辑系统 中理论的相容性以及效应代数中的素滤子和商展开讨论，取得了一些有意义的研 究成果 在任何逻辑系统中，理论的相容性问题都十分重要理论相容或不相容是对 理论好坏的简单而粗糙的分类自然如何对相容的理论进行更为精细的划分，即 如何区分理论相容的程度也是非常值得关注的问题理论的发散度的引进为解决 这一问题提供了非常有利的工具不相容的理论必是全发散的，即理论的发散度 为1 ；但是全发散的理论是否一定不相容呢? 文献【1 ，2 针对l u k a s i e w i c z 命题模糊 逻辑系统已经作出了回答本文第一章中就g s d e l ，p r o d u c t 和三个逻辑系统 讨论了该问题，并指出在这三个系统中均存在全发散且相容的理论另外，文献 f 1 1 针对l u k a s i e w i c z 命题模糊逻辑系统中的有限理论提出了相容度函数，用来刻 画有限理论的相容度接下来文献 3 又利用逻辑系统的紧致性将文献 1 中所给 的函数推广到任意理论上，并在二值经典逻辑系统中进行了相应的讨论本文的 第一章主要针对上面提到的四种命题模糊逻辑系统中理论的相容程度问题进行了 更进一步的研究利用理论的发散度和用以区分理论相容与否的极指标，在上述 几个逻辑系统中引入了一种适合于任一有限或无限理论且表达相对简单的相容度 函数 1 9 9 4 年美国数学家f o u l i s 和b e n n e t t 引进了效应代数概念，推广了正交模 格，被看作是量子逻辑的数学模型这种抽象的效应代数虽然历史很短，然而它 却引起了数学工作者和理论物理工作者的极大兴趣在过去十年里，与效应代数 相关连的一系列概念和方法，象正交模部分有序集、d 一集、理想、滤子、拟效 应代数、效应代数的群表示和效应代数的泛群等得到了极大发展本文第二章首 先在效应代数中引入了与三角模算子和蕴涵算子密切相关的部分积和部分蕴涵算 子，讨论了它们的一些基本性质并利用其讨论了格效应代数与模糊逻辑代数系统 中的重要结构，即正则剩余格之间的联系在第三章中通过引入r 一滤子，引入 了格效应代数中的素滤子概念，并讨论了r 一滤子、素滤子、同余关系和商之问 的关系指出若f 是效应代数e 中的滤子，则一f 是同余关系当且仅当f 是r 一 滤子；格效应代数关于r 一滤子f 的商e f 是全序效应代数当且仅当f 是素滤 子最后我们初步讨论了素滤子与素理想之间的关系 关键词：模糊逻辑系统发散度相容度效应代数滤子 i i c o n s i s t e n c yd e g r e e s o ft h e o r i e sa n df i l t e r sa n d q u o t i e n t so f e f f e c ta l g e b r a s z h o u x i a n g - n a n a b s t r a c tf r o mt h ep o i n to fm o d e r nl o g i c ，t h el o g i cd e v e l o p e df r o mt r a d i t i o n a ll o g i ct oc l a s s i c a ls y m b o l i cl o g i ct h e nt on o n c l a s s i c a ll o g i c s i n c et h ee i g h t i e s o ft h e2 0 t hc e n t u r y ，n o n c l a s s i c a ll o g i ch a so b t a i n e dt h eb a s i cp o s i t i o ni nt h ef i e l d so f c o m p u t e r s c i e n c ea n da r t i f i c i a li n t e l l i g e n c e n o w ，s t u d i e sa b o u t f u z z yl o g i c ，q u a n t u m l o g i ca n d t h ec o r r e s p o n d i n g a l g e b r as y s t e m s a r ev e r ya c t i v ei nn o n c l a s s i c a ll o g i c i n t h i sa r t i c l e ，c o n s i s t e n c yd e g r e e so ft h e o r i e si ns o m es y s t e m so fp r o p o s i t i o n a lf u z z y l o g i ca r er e f e r r e dt o ，s oa r ef i l t e r sa n dq u o t i e n t so fe f f e c ta l g e b r a w h e t h e rat h e o r yi sc o n s i s t e n to rn o ti so n eo fc r u c i a lq u e s t i o n si na n yl o g i c a ls y s t e m at h e o r yi sc o n s i s t e n to ri ti s i n c o n s i s t e n t ，t h e r ei s n oi n t e r m e d i a t e s i t u a t i o n s ，i e ，t h ec o n c e p to fc o n s i s t e n c yo fat h e o r yi sc r i s pr a t h e rt h a nf u z z y n a t u r a l l y i ti sw o r t h yo fc o n c e n t r a t i n go nh o wt og r a d et h ec o n s i s t e n c yt h e o i i e s f o r t u n a t e l y ，t h ei d e ab a s e do nt h ec o n c e p to fd i v e r g e n c ed e g r e e so ft h e o r i e sc a nb e u s e dt os o l v et h i sp r o b l e m w eh a v ek n o w nt h a te v e r yi n c o n s i s t e n tt h e o r ym u s tb e f u l l yd i v e r g e n t ，i e ，i t sd i v e r g e n c ed e g r e ei s1 h o w e v e r ，a r et u l l yd i v e r g e n tt h e o r i e s t ob ei n c o n s i s t e n t ? f o rl u k a s i e w i c zl o g i c a ls y s t e m ，t h ea n s w e rh a sb e e ng i v e ni n 1 ， 2 i nt h ef i r s tc h a p t e ro f t h i sa r t i c l e ，t h eq u e s t i o ni sd i s c u s s e di nl o g i c a ls y s t e m so f g 6 d e i ，p r o d u c ta n d ，a n daf u l l yd i v e r g e n ta n dc o n s i s t e n tt h e o r yi sg i v e nt h e r e i na d d i t i o n ，am e m b e r s h i pf u n c t i o ni sc o n s t r u c t e dt og r a d et h ec o n s i s t e n c yd e g r e e s o ff i n i t et h e o r i e si nl u k a s i e w i c zl o g i c a ls y s t e mi n 1 f o l l o w i n g t h a t ，t h ef l m c t i o ni s e x t e n d e dt og e n e r a lt h e o r i e si nl u k a s i e w i c za n di nt w o v a l u e dl o g i cs y s t e m sb yu s i n g t h ec o m p a c t n e s so fl o g i c a ls y s t e m s b yi n t r o d u c i n gt h ec o n c e p to fp o l a ri n d e x e s t h ef i r s t c h a p t e rd e f i n e san e wr e a s o n a b l ec o n c e p to fc o n s i s t e n c yd e g r e e st b rg e n e r a lt h e o r i e s ，f i n i t eo ri n f i n i t e ，i nb a s i cl o g i cs y s t e m s ( b r i e f l y ，b ls y s t e n l s ) i n c l u d i n g l u k a s i e w i c zf u z z yl o g i cs y s t e m ，g 5 d e lf u z z yl o g i cs y s t e m ，a n dp r o d u c tf h z z yl o g i c s y s t e m t h er e s u l t so b t a i n e da r ea l s ot r u ei nt h e 岛一f u z z yl o g i cs y s t e mc + w h i c h i sn o ti n c l u d e di nb l s y s t e m s ，a n dt h ee x p r e s s i o no ft h en e w l yd e f i n e dc o n s i s t e n c y d e g r e ef + ( r ) o ft h e o r yf i sm u c hs i m p l e rt h a nt h ee x p r e s s i o nf ( r ) g i v e ni n 1 3 】 e f f e c t a l g e b r a sw e r ei n t r o d u c e da sam a t h e m a t i c a lm o d e lo fq u a n t u ml o g i c b ya m e r i c a nm a t h e m a t i c i a n sf o u l i sa n db e n n e t ti n1 9 9 4 ，w h i c hg e n e r a l i z e do r t h o 。 i i i m o d u l a r l a t t i c e s m a n yr e s e a r c h e r s ，i nt h ef i e l d so fm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s ，w e r e a t t r a c t e dt os t u d yt h e m s o m er e l a t e dc o n c e p t sa n dm e t h o d s ，s u c ha sd i f l b r e n c e p o s e t ，i d e a l s ，f i l t e r sa n du n i v e r s a lg r o u p so fe f f e c ta l g e b r a s ，w e r ed e v e l o p e d i nt h e s e c o n dc h a p t e r ，t w op a r t i a lo p e r a t o r s ，p a r t i a lp r o d u c ta n dp a r t i a li m p l i c a t i o n i n e f f e c ta l g e b r a sa r ei n t r o d u c e d ，a n dt h e i rp r o p e r t i e sa r ed i s c u s s e da n dt h ec o n n e c t i o n b e t w e e ne f f e c ta l g e b r a sa n dr e g u l a rr e s i d u a t e dl a t t i c e si sa l s om a k e nc l e a r wu s i n g t h e m i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fp r i m ef i l t e r si nl a t t i c ee f f e c t m g e b r a sb yp r e v i o u s l yi n t r o d u c i n gt h ec o n c e p to fr - f i l t e r s ，a n dd i s c u s st h er e l a t i o n a m o n g 兄一f i l t e r s p r i m ef i l t e r s c o n g r u e n c e sa n dq u o t i e n t s i ti sp r o v e dt h a ti ff i saf i l t e ri na ne f f e c ta l g e b r ae ，t h e n fi sac o n g r u e n c ei fa n do n l yi ffi sar f i l t e r a n dt h a taq u o t i e n teffo fal a t t i c ee f f e c t a l g e b r ae w i t hr e s p e c tt oar f i l t e rfi sa l i n e a r l yo r d e r e de f f e c ta l g e b r a i fa n do n l yi ffi sap r i m ef i l t e r f i n a l l y ， w es t u d yt h er e l a t i o nb e t w e e np r i m ef i l t e r sa n dp r i m ei d e a l sb r i e f l y k e y w o r d s ：f u z z yl o g i cs y s t e m ；d i v e r g e n c ed e g r e e ；c o n s i s t e n c yd e g r e e ； e f i e , c ta l g e b r a ；f i l t e r i v 学位论文独创性声明 x 7 2 8 6 5 5 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西 师范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文 的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名圈豳交吼选： 前言 经典数理逻辑经过3 0 0 多年的发展已经渗透到人工智能等许多学科且扮演 着奠定基础的角色，同时它在自然科学、工程技术和人文社会科学等领域的应用 也取得了辉煌的成绩然而随着计算机科学技术、人工智能和信息科学研究的不 断深入，经典的二值逻辑已经远远不能满足人们的需要，非经典逻辑，如：模糊 逻辑、量子逻辑以及它们相应的代数系统和模糊逻辑中近似推理理论等的研究已 经成为目前形式逻辑研究的热点 8 - 5 0 j 模糊逻辑的研究源于美国控制论专家l a z a d e h 于1 9 6 5 年所提出的模糊集 理论和经典数理逻辑理论的有机结合【4 】其中逻辑公式的真值由二值推广到了模 糊值，相应的逻辑系统中各种逻辑运算和推理规则也都具有模糊性，因而模糊逻 辑较之经典逻辑具有更强的表达力1 9 7 3 年z a d e h 首先将模糊数学的思想和方 法应用于推理，提出了著名的合成推理方法吼模糊推理是模糊控制的理论基础， 它主要从模糊逻辑的语义上来进行研究，以各种不同的蕴涵算子为基本工具王 国俊教授在文献 6 中引入了一种形式系统c 4 ，提出了相应的新蕴涵算子r 。此 外其它学者也从不同的应用背景出发提出了不同的蕴涵算子不同的蕴涵算子确 定不同的逻辑系统，有着不同的公式集和赋值空间当赋值域为多值域时，公式 的真度有多种不同的类型早在1 9 5 2 年r o s s e r 和t u r q u e t t e 就提出了区分公式 可靠程度的思想n 此后许多学者从不同的角度提出了区分公式真确度的方法 文献 8 ，9 】就连续值域的情形，利用积分方法建立了公式的积分真度理论公式 的积分真度越大则表明其可靠程度越大而文献【1 0 中基于测度引入了适合多种 逻辑系统的公式的真度概念，并通过通用逻辑度量空间概念在全体公式集上引入 了伪距离，为逻辑空间的度量化奠定了基础，也为近似推理理论提供了一种可能 的框架 随着多值逻辑的产生与发展，人们针对不同的应用背景提出了不同的近似推 理理论 z a d e h 于1 9 7 3 年在文献 5 中首次提出基于模糊集思想的近似推理理 论，王国俊教授在专著 8 】中提出了不依赖于模糊集理论的近似推理理论但是， 不管是哪种推理都必然有一组作为出发点的理论r ，若从r 出发能推出矛盾式， 则称r 不相容，否则称其相容也就是说，若全部r 一推论之集d ( f ) 等于全体 公式集，则r 不相容，否则r 相容那么同为相容的理论r 。和r 。的相容性是 否有程度之分? 如果有，怎样区分2 著名学者v n o v a k 等人在做了深入研究而未 能得出满意的结果之后指出，这是一项不容易的工作王国俊教授在文献1 1 中针 对l u k a s i e w i c z 命题模糊逻辑系统中的有限理论提出了相容度函数，用来刻画该 系统中有限理论的相容度但同时也指出如何在该系统中的无限理论上建立合理 的相容度函数以及怎样把这种相容度概念纳入到更一般的模糊逻辑系统中等都是 尚待解决的问题文献3 利用逻辑系统的紧致性在二值逻辑系统和l u k a s i e w i c z 命题模糊逻辑系统中进行了一些讨论本文更进一步探讨了上述问题，并取得了 一些较好的结果 众所周知，量子力学是物理学研究中的一个重要分支早在1 9 3 6 年b i r k h o f f 和、f o nn e u m a n n 率先探讨了如何在可分复h i l b e r t 空间中建立适当的逻辑结构来 描述量子理论的问题他们将可分无限维h i l b e r t 空间的全体闭子空间所形成的 正交模格看成是量子力学的一个命题系统并通过研究该系统中的逻辑关系来解决 量子力学的数学公理化问题随着量子逻辑理论的发展，效应代数作为一种量子 结构于1 9 9 4 年由美国数学家f o u l i s 和b e n n e t t 提出【3 6 】，它推广了正交模格，是量 子逻辑的一个数学模型，因而十年来吸引了一大批数学工作者和理论物理工作者 的研究兴趣大量与效应代数有关的概念和方法被引入和提出，如，正交模部分 有序集、d 一集、理想、滤子、拟效应代数、效应代数的群表示和效应代数的泛 群等但是量子逻辑的模型效应代数与通常模糊逻辑相应的代数系统之间的关系 如何呢? 这方面的研究至今还比较缺乏另外，由于效应代数中的算子为部分算 子，那么能否引入素滤子，如何正确引入素滤子以及效应代数模素滤子所得的商 是否是全序效应代数等仍是尚待解决的问题本文则讨论并在一定程度上对上述 问题作出了回答 本文的工作主要包括两个部分： 文章的第一部分也就是第一章主要是针对l u k a s i e w i c z ，g 5 d e l ，p r o d u c t 和c + 四个命题模糊逻辑系统中理论的相容程度如何区分进行了讨论，利用理论的发散 度和区分理论相容性的极指标给出了适合于上述系统中有限和无限理论的相容度 函数 文章的第二部分，包括第二章和第三章，则致力于讨论效应代数中的有关问 题首先在第二章引入了部分积和部分蕴涵算子，研究了它们的一些性质，并利 用这两个部分算子初步探讨了格效应代数与正则剩余格的关系；然后在第三章给 出了效应代数上一种同余关系的定义，并通过引入r 一滤子给出了格效应代数上 素滤子的定义，讨论了素滤子与商的关系，最后初步地讨论了滤子与理想以及素 滤子与素理想之间的关系这些工作为进一步研究效应代数提供了有用的工具 2 第一章命题模糊逻辑系统中理论的相容度 如果从理论r 出发能推出每一个结论，特别地从r 能推出矛盾式，则称r 是不相容的，否则称r 是相容的理论r 的相容性概念是分明的而非模糊的一 个很自然的问题是：如何区分r 的相容程度? 即，如何用一种数值指标来区分两 个相容理论r 1 与r 2 的相容性? 就此，v n o v a k 等人在文献【2 0 ，2 1 中弓i 进了模 糊理论r 鸽不相容度的概念，给出了不相容度函数： i n c o n s ( f ) ：= 。j r 卜。a 一aa n da 咒( r ) )( 1 ) 并证明了模糊理论r 是相容的当且仅当i n c o n s ( f ) i 1 王国俊教授在文献 1 中 明确指出了该不相容度函数并不完全适合于一般的命题模糊逻辑系统为了建立 一种适合于l u k a s i e w i c z 命题模糊逻辑系统的相容度理论，文献 1 通过分析理论 的发散度、相容和不相容三者之间的内在联系，给出了该逻辑系统中有限理论的 相容度概念但是如何在该逻辑系统的无限理论上引入合理的相容度概念以及怎 样把这种相容度概念纳入到更一般的模糊逻辑系统中? 这都是尚待解决的问题 本章将在第二至四节探讨这一问题，通过在l u k a s i e w i c z 命题模糊逻辑系统( 简写 为l u k ) 中引入极指标的概念，给出了一种普遍适用于任一理论的相容度函数， 并证明了其具有良好的性质；通过深入分析g s d e l 模糊逻辑系统( 简写为g 6 d ) ， p r o d u c t 模糊逻辑系统( 简写为p r o ) 以及兄。一模糊逻辑系统中理论的发散 度、相容和不相容三者之间的联系，利用距离的概念给出了这些系统中的一种统 一的相容度函数 1 1 预备知识 设s = p x ，p 2 ，) 是可数集，一，v ，_ 分别为一元、二元和二元算子，以厂 表示由s 生成的( 、，v ，_ ) 型自由代数，称，中的元为命题( 公式) ，s 中的元为原 子命题( 原子公式) 不同的公理系统决定不同的逻辑系统l u k a s i e w i c z 逻辑系统 l n k ，g 6 d e l ：逻辑系统g s d ，p r o d u c t 逻辑系统p r o 和场一逻辑系统c 4 是现今比 较流行的逻辑系统，m p 规则是这几个逻辑系统中共同的推理规则设1 pc ，是 一个理论，若a 能从4 u r ( a 为全体公理之集) 在有限步之内运用m p 规则得 到，则a 称为r 一结论，记作r 卜a ，用d ( r ) 表示全体r 一结论之集当r = o 时，将r 卜a 简写为卜- a 且a 称为相应系统中的定理若d ( r ) y - ，则称r 为 3 相容的，否则称f 为不相容的可见，一个理论f 或者相容或者不相容，没有中 间状态这是逻辑系统在语构方面的概念 语义方面，相应于这四个逻辑系统有四个重要的代数系统： m v 一代数， g 一代数，一代数和r 。一代数以下是这四个代数系统中相应的蕴涵算子和 t 一模： r l ( x ，y ) = ( 1 一x + y ) al ，z y = ( zq - y 一1 ) v 0 剐刑) = 垤：嚣x 。y = x a y r n ( 。，”) = 錾 ，：i ：。”= ? ” 冰川= 豫刊v 。，：嚣咖= 玑端蛩 定义1 1 1 【2 5 】在【0 ，1 1 上定义一元运算、和二元运算v 与_ 如下： ( i ) 一z = 1 一z ，z f 0 ，1 ， ( i i ) x v 口= m a x x ，g ) ，茁，y 【0 ，1 】 ( i i i ) x 斗y = r ( x ，9 ) ，z ，y 0 ，1 】，这里r 是蕴涵算子 则当r = 风时，( 、，v ，一) 型代数1 0 ，1 称为风一单位区间，记为【0 ，1 r 。； 当r = r l 时， 0 ，1 是一种特殊的m v - 代数，称为m v 一单位区间或r l 一单 位区间，记为【0 ，1 l 若将( i ) 改为 ( i ) 当z = 0 时，o = 1 ；否贝0 一z = 0 则当r = r 6 ，j 址时，称相应的( 一，v ，o ) 型代数 0 ，1 为r g 一单位区间， 一单位区间，记为【0 ，1 1 g ，【0 ，1 k 若映射口：户- f 0 ，1 为一个从全体公式集，到r 一单位区间f 0 ，l j 的 ( 、v ，_ ) 型同态，则称口为一个r 一赋值，全体r 一赋值之集用q 咒表示若 v v q r ，v ( a ) = 1 ，称a 为重言式；若v v q 冗，u ( a ) = 0 ，称a 为矛盾式；若 v u q 冠，v ( a ) o l ，则称a 为a 一重言式1 8 ，若在l u k 中令 a v b = ( a + b ) + b ，a a b = 、( 、av 、b ) ， 则可以证明 v ( a v b ) = m a x v ( a ) ，u ) ) ，v ( a a b ) = m i n v ( a ) ， 旧) ) 在上述四个逻辑系统及相应的代数系统中分别定义： a “：2 4 生墨g ：竖a ， n m ：2oa n 次。次 注意这里所提到的四个逻辑系统均为标准完备的，即公式a 为逻辑系统中 的定理当且仅当与a 为相应r 单位区间中的重言式 1 3 , 3 3 】 设a = a ( p l ，一，舫) 是由连接词一，v 和。将原子公式p 1 ，p 。连接起 来的一个公式，则a 确定了一个函数a ：f 0 ，1 ”_ 0 ，l 】这里五( z 一。j 是将【o ，1 中的变元：z 1 ，z 。用【o ，1 】上的运算、，v 和j 按公式4 4 中连接 p 一，p 。的相应方式连接而成的如在l u k 中令a ( p 】，p 2 ) = ( 、p 1 斗p 2 ) 啊印2 ， 贝4 a ( z l ，x 2 ) = ( z i x 2 ) 斗1 2 2 = ( 2 一( z l + x 2 ) 1 一z 2 ) a 1 显然v ( a ( p 1 ，p 2 ) ) = a ( v ( p 1 ) ， ( p 2 ) ) ，且一般地u ( a l ，p 。) ) = a ( v ( p t ) ，u ( p 。) ) ( a ，v n ) 例 特别地，在l u k 中a 是m c n a u g h t o n 函数【1 4 】由a 的结构特点知， = 万= 五，j 而= a v 秀，再_ 二了百= a - - + 豆，a ，b 芦( 2 ) 在文献 8 ，2 5 中给出了下列定义， 定义1 1 2 设a ( ph - ，) 户，令 厂l，l r a ( a ) = f a ( x t ，一r ，。) d 趴d x 。，( 3 ) ! ! 一 m 则称t n ( a ) 为a 的r 一积分真度，简写为豫( a ) = 厶。鼻d u 。或r ( a ) = 厶五山， 定义1 1 3 设4 ，b 丁，称 ， r ( a ，b ) = r ( f i _ ，豆) a r ( 亩，a ) d w( 4 ) j 为a 与b ：2 1 ；- j 篚jr 一积分相似度，其中r 为蕴涵算子，当，b ) = l 时称a 与b 是r 积分相似的，特别地，当r 取l u k a s i e w i c z 蕴涵算子也时，有 ， f r 。( a ，b ) = ( 1 一a + 廖) a ( 1 一直+ 4 ) d w( 5 ) j 令 p r ( a ，b ) = 1 一& ( 4 ，b )f 6 ) 6 称( ，触) 为逻辑度量空间 注1 1 4 ( i ) 在定义1 1 3 中a 与启可能含有不同的原子公式，如a ( p 一p ) 和b ( 口l ，q k ) ，但由积分不变性定理( 8 j 知可以认为a 与b 由同样的m 个原子 公式组成，救将( 3 ) 简写为您) = ，f i i d w 是合理的 ( i i ) 在文献【2 5 】中证明了p r 确为，上的伪距离，且当b 为定理时显然有 p r ( a ，b ) = 1 一t r ( a ) 并且在l u k 系统中可以简单地按以下方式计算， 厂 f ，r 。( a ，b ) = f 1 4 一b l d w( 7 ) 5 式 ( i i i ) 易证丁r 。( a ) = 1 当且仅当a 是定理，殛。( a ) = 0 当且仅当a 是矛盾 定义1 1 5 设fcf ，定义 d i v ( r ) = s u p p r ( a ，b ) l a ，b d ( r ) ) 其中 d ( r ) = a ，i 存在从r 到a 的推理) ( 9 ) 称d i v ( r ) 为r 的发散度，当d i v ( r ) = 1 时称r 全发散 注1 1 6 i3 l u k 中不相容的理论必然全发散这是因为，若r 不相容，则 d ( f ) = ，从而a = p - p d ( r ) ，b = 一( p _ p ) d ( r ) ，且ai1 ，bi0 ，由 ( 7 ) 知p r 。，b ) = 1 ，再由( 8 ) 得d i v ( f ) = 1 ，即工、全发散 命题1 1 7 m 】l u k 中存在全发散且相容的理论 1 2l u k a s i e w i c z 命题模糊逻辑系统中理论的相容度 理论的相容性问题是任何逻辑系统中至关重要的一个问题自然，理论除了 相容与不相容的粗略区分以外，如何对其相容性程度进行更为精细的划分也是一 个重要的问题文献( t 】中详细讨论了l u k 中有限理论的相容性问题，给出了一 个相容度函数如下( 如无特别说明，本节中p = p r l ) ， ( 1 1 ) = l i r n 1 一d i v ( f ) ( 1 一言“。，r 1 ) 】( 1 0 ) 一 z 其中 = 竿攀( 1 1 0 r n , f ( 1 1 )2 布两f j r “= a i 存在一个从r 到a 的长为m 的推理)( 1 2 ) d ( e ) = s u p p ( a ，b ) i a ，b ) ，cf 且o( 1 3 ) z 表示大干或等于z 的最小整数，且规定o ( 1 一i 1 ：) = 0 ，称( r ) 为有限理论 r 的相容度 针对文献 1 】1 中所提出的如何在l u k 系统的无限理论上引入合理的相容度函 数的问题，文献 3 】利用逻辑理论的天然紧性，在l u k 及二值经典逻辑系统中给 出了一种广泛适用于有限与无限理论的相容度函数如下， ( 1 1 ) = i n f ( r o ) l r o 为r 的有限子集)( 1 4 ) 6 其中 1 f ( r o ) = 1 一d i v ( p o ) ( 1 一妄f ? - ( a ) 1 )( 1 5 ) 这里a 为r o 的根， 但是上述两种相容度函数都比较复杂，本节基于文献【1 】的思想讨论了适用 于l u k 系统中任一理论的相容度问题，给出了一种相对简单且性质好的相容度函 数 注1 2 1 l u k a s i e w i c z 蕴涵算子a _ b = ( 1 一口+ b ) 1 在l o ，1 上是连续的， 且、，v ，a 在 0 ，1 】上均连续，因而，由公式a ( p l ，p 。) 所诱导的m c n a u g h t o n 函数a ( x l ，z 。) 在 0 ，1 】”上是连续的 定理1 2 2 设a ，b 厂，则p ( a ，b ) = 1 当且仅当a 与b 其中之一为重言 式，另一个为矛盾式 证明 若p ( a ，b ) = 1 ，则由( 9 ) 式知厶i a 一直i 如= 1 ，不妨设a = a ( z l j ，。) ，b = b ( z l ，z 。) ，贝0 有 出陬x l ， 1 x m ，阶础一( 1 6 ， m 次 由注1 2 ，1 知i a 一一b j 在1 0 ，1 】”上是连续的，从而由( 1 6 ) 得到， i a ( z 1 ，一，。) 一直( 。1 ，z 。) j 三1 ，( x l ，一，。) e 【0 ，1 “( 1 7 ) 再由0 a ，豆1 必然有， a ( 石l ，。- ，z 。) o ，1 ) ，亩( 茁l ，z 。) o ，1 ) ，( z l ，z 。) o ，1 ( 1 8 ) 由于连通集 0 ，1 ”在连续映射a 下的像仍然是连通的【5 2 ，因而a ( f o ，1 - t ) ： o ，1 不成立，即，a ( 。l ，x 。) 三1 ，v ( x 1 ) 一，x 。) 0 ，1 】m 或a ( x h 一，茁。) 1 0 ，v ( x l ，茁。) 0 ，1 】”不妨设，a ( x 1 ，- ，。) 三1 ( x l ，- ，x 。) 0 ，1 t m ) ，贝0 a 为重言式，因而日为矛盾式 反之，不妨设4 为重言式，b 为矛盾式，则a ( x 1 j ，x 。) 一啻( 。，z 。) ； 1 ，v ( x i ，x 。) 0 ，1 】”从( 7 ) 和( 1 6 ) 式知p ( a ，b ) = 1 定义1 2 3 设f 是l u k 中的理论，p c ，令 i ( r ) = m a x p ( a ，b ) i a ，b d ( r ) ) ，( 1 9 ) 7 其中 m ，酬= 娃o p ( a 忍裔 ；， a 0 ，1 】 因此 d i v ( f 自) = p r o ( b ，确：1 一南( 1 一击) = 南+ 志，( = 1 2 ，) 由命题1 3 4 至1 3 6 我们看到理论r - ，r 2 ，中的发散度随着相应序列中公 式真度的增大变得越来越小且最终趋向于0 这似乎提示我们可以定义理论r 的 相容度为( r ) = 1 一d i v ( r ) 但由定理1 3 2 可知这种相容度的定义是不合理的 下面我们将通过修正等式( r ) = 1 一d i v ( r ) 来给出g s d ，p r o 和中的一种较为 合理的相容度函数 5 1 4 g s d e l ，p r o d u c t 和命题模糊逻辑系统中理论的相容度 在1 2 节我们定义了一种能判定l u k 系统中理论相容与否的极指标，下面的 例子表明这种极指标并不适用于本节中的三个逻辑系统 例1 4 1 设a ，b ， a = 【( p _ 争q ) _ 、p vq v 【( g _ p ) _ 、gv 叫，b = 、4 1 2 则t r 。( 4 ) = 1 这样，p r o ( p _ p ，b ) = 1 一r r o ( b ) = 7 ) = 1 且p p 是重言式但b 在c + 中不是矛盾式在g s d 和p r o 中，设b = p _ 、_ 纠， a 为定理，则容易证明住。( b ) = t r 。( b ) = 0 且b 不是矛盾式，但加( ab ) = l 一珊( b ) = l ( n = r n 或r = 冗g ) 定义1 4 2 8 假设a ，r 是一个蕴涵算子，则a 唯一确定了一个函数 a ：q - 【0 ，1 l 如下： a ( v ) = ( a ) ，v n ， 其中 0 0 n = n 墨，v n n ，x n = _ n = l 由函数距离的定