（道路与铁道工程专业论文）基于NURBS的公路三维建模技术研究.pdf

东南大学硕士学位论文 摘要 摘要 随着计算机的硬件及支撑软件的发展，以及数模系统的成熟和实用，目前己具备在数字化场景中进行 公路设计的能力。将非均匀有理b 样条f n i y r b s ) 这一现代曲面造型中最为广泛流行的技术引进道路设计 是一次有益的尝试。 本文对道路三维建模所涉及的核心理论和关键技术进行了研究，从建模和算法方面提出了一系列方 法并予以实现。主要研究内容及研究成果如下：1 ) 在对传统设计方法研究后提出了基于道路中心线的三 维设计思想。2 ) 深入地研究n u r b s 的机理和关键技术，并将n u r b s 方法应用于道路设计，实现n u r b s 的道路二维描述方法，证昵了n u r b s 用于传统道路设计的可行性。3 ) 对应于传统二维设计，给出了用 于平、纵曲面交合生成道路中心线的方法，探讨了三维环境下采用三次n u r b s 插值空间点的方式直接 生成道路中心线的算法。这种方法同时亦是平面线形曲线型设计方法的一个新的补充。4 ) 将计算机图 形学知识引入道路的三维建模，提出了蒙面法建立路面模型的新方法。5 ) 以o p e n g l 为图形开发工具， 实现了路面三维建模。 本文对道路设计和计算机建模提出了新的理论与方法，初步探索了适应与三维可视化技术相协调的 设计方法和建模思路。 关键词：道路勘测设计、线形、数学模型、n u r b s 、蒙面法、三维建模、o p e n g l 、路线c a d 东南大学硕士学位论文摘要 a b s t r a c t a l o n gw i 血d e v e l o p i n go f h a r d w a r ea n ds u p p o r t e ds o f e w a r e t o d a yw eh a v ea b i l i t i e st ot a k er o u t ed e s i g n i nr o a dv i r t u a l3 de n v i r o n m e n ti n r e a lt i m e i ti sag o o de x p e r i e n c et o e x p r e s st r a d i t i o n a lr o u t ew i t h n u r b s w h i c hi st h em o s tp o p u l a li nm o d e ms u r f a c em o d e l i n g t h i sd i s s e r t a t i o ns t u d i e so nt h ek e yt h e o r i e sa n dm a j o rt e c h n o l o g i e si n v o l v e di nt h eh i g l l w a y3 dm o d e l i n g , a n dp r e s e n t sas e r i e so fm e t h o d si nm o d e l i n ga n da l g o r i t h m s t h ec h i e fr e s e a r c hc o n t e n t sa n da c h i e v e m e n t s c a l lb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： 1 o n t h eb i s i so f c u r r e n t m e t h o d so f r o u t ed e s i g n , t h ep a p e rp r e s e n t sa n e w i d e a o f 3 dd e s i g n w h i c hb a s e d o nm i d - a l i g n m e n to f h i g h w a y 2f r o ma n a l y s i so f t h et h e o r ya n ds o m ec r u c i a lt e c h n o l o 一垂e so f n u r b s ，t h i sp a p e r ，u t i l i z e st h en 【瓜b s c u v et od e s c r i b et h et r a d i t i o n a lr o u t e ，a n di t i sp r o v e dc o r r e c t l y 3 f o rt r a d i t i o n a ld e s i g n t h ep a p e rp r e s e n tam e t h o dt ob u i l dm i d a l i g n m e n tw h i c hi sas e c t i o no f h o r i z o n t a ls u r f a c ea n d v e r t i c a ls u r f a c e a l s o ，t oc r e a t ei tw i t hi n t e r p o l a t i n gas e to fg i v e np o i n ti n3 d c i r c u m s t a n c e s 4i n t r o d u c ec o m p u t e rg r a p h i c si n t ot h r e e d i m e n t i o ns u r f a c em o d e i i n go fh i g h w a ya n dan e wm e t h o di s p u tf o r w a r dt om o d e lr o a ds u r f a c ei ns k i n n i n gs u f a e e 5 t a k ea d v a n t a g eo f o p e n g lr e n d e r i n gc o n t e x t ，r o a ds u r f a c ei sa t t a i n e d an e wt h e o r ya n dm e t h o d sa l ep u tf o r w a r df o rr o u t ed e s i g na n d3 dm o d e l i n g ，w h i c hl a y sd o w nt h e f o u n d a t i o no f r e a lt i m es p a t i a li n t e r a c t i n n k e yw o r d s ：r o u t es u r v e ya n dd e s i g n 、a l i g m e n t 、m a t h e m a t i c sm o d e l i n g 、n u r b s 、r o u t ec a d 、o p e n g l 、 3 dm o d e l i n g 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：量爱日期：型；。 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电 子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包 括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：耋协师签名牲期： 东南大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 计算机的发展和c a d 系统的广泛应用使道路设计方法和设计手段产生了根本性的变化，在计算机 技术支持f 设计对象的模型表达、人工智能的应用、设计方法的变革等就成为目前主要的研究方向i 1 - 2 】。 目前的道路设计，通常都是按平面、纵面和横断面分别设计，然后再考虑平、纵配合和平、纵、横的 综合坍调。其中，平面图和纵断面图在选线、定线过程中需经多次实地勘测、方案比较才能确定，平面、 纵面和横断面组成公路的整体效果全凭设计者经验决定，在设计中造成了一定的随意性，难以达到设计成 果的最优化。国内道路c a d 系统软件编制思想和程序结构也基本模仿常规的设计过程，其设计的模型都 是建立在二维的基础上。如何将道路几何形体在计算机中设计、表现和分析评价是当前和今后一段时间 道路c a d 研究和开发的核心和关键，同时也是难点和热点1 3 。 非均匀有理1 3 样条( n u e , b s ) 是现代曲面造型中最为广泛流行的技术。n u r b s 方法的突出优点是： 可以精确地表示二次规则曲线曲面，从而能用统一的数学形式表示规则曲面与自由曲面，而其它非有理 方法无法做到这点；具有可影响曲线曲面形状的权因子，使形状更宣于控制和实现；n u r b s 方法是 非有理b 祥条方法在四维空间的直接推广，多数非有理1 3 样条曲线曲面的性质及其相应算法也适用于 n u r b s 曲线曲面，便于继承和发展。由于n u r b s 方法的这些突出优点，国际标准化组织s 0 ) 于1 9 9 1 年颁布了关于工业产品数据交换的s t e p 国际标准，将n u r b s 方法作为定义工业产品几何形状舶唯一 数学描述方法，从而使n u r b s 方法成为曲面造型技术发展趋势中最重要的基础1 4 j 。 1 2n u r b s 的发展历程 n u r b s 方法的优点之一是：n u r b s 方法是1 3 样条方法以及b c z i e r 方法的重要的推广，因此，n u r b s 方法的产生就首先从1 3 e z i e r 方法谈起。1 9 6 3 年美国波音飞机公司的f e r g u s o n 首先提出将曲线曲面表示 为参数的矢函数方法，并引入参数三次曲线。从此曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式。 1 9 6 4 年美国麻省理工学院的c o o n s 发表一种具有般性的曲面描述方法，给定围成封闭曲线的四条边 界就可定义一块曲面。但这种方法存在形状控制与连接问题。1 9 7 1 年法国雷诺汽车公司的b e z i e r 提出 一种由控制多边形设计曲线的新方法。这种方法不仅简单易用，而且漂亮地解决了整体形状控制问题， 把曲线曲面的设计向前推进了一大步，为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。但1 3 e z i e r 方法仍 存在连接问题和局部修改问题。到1 9 7 2 年。d e b o o r 总结、给出了关于b 样条的一套标准算法，1 9 7 4 年g o r d o n 和r i e s e n f e l d 又把b 样条理论应用于形状描述，最终提出了b 样条方法。这种方法继承了 b e z i e r 方法的一切优点，克服了b e z i e r 方法存在的缺点，较成功地解决了局部控制问题，又轻而易举地 在参数连续性基础上解决了连接问题，从而使自由型曲线曲面形状的描述问题得到较好解决。 但随着生产的发展，b 样条方法显示出明显不足。即不能精确表示圆锥截线及相等解析曲面，这就 造成了产品几何定义的不唯一，使鳗线曲面没有统一的数学描述形式，容易造成生产管理混乱。为了满 足工业界进一步的要求，1 9 7 5 年美国锡拉丘兹( s y r a c u s e ) 大学的v e r s p r i l l e 在他的博士论文中首次提出有 理b 样条方法。后来由于p i e g l 和t i l l e r 等人的功绩，终于使非均匀有理b 样条( n u r b s ) 方法成为现代 曲面造型中最为广泛流行的技术。 东南大学硕士学位论文第一章绪论 1 2 1b e z i e r 曲线 1 ，2 1 1 定义 给定空间n + 1 个点的位置矢量p ( i = 0 , 1 ，n ) ，则b e z i e r 参数曲线上各点坐标的插值公式是 p ( t ) = 只b 。( t ) ，t o ，1 1 其中，e 构成该b e z i e r 曲线的特征多边形，b 。( t ) 是1 1 次b e m s t e i n 基函数： b 邶( t ) = c ：t ( 1 一t ) “= 酉i ：兰i 豇t 1 ( 1 一t ) “一，( i = 。，1 ，。，n ) 0 0 = 1 o ! = 1 1 2 1 2b e z i e r 曲线的性质 ( 1 ) 端点性质 曲线端点位置矢量由b e m s t e i n 基函数的端点性质可以推得，当t = 0 时，p ( o 户p o ；当t = 1 时，p ( 1 ) = p n 。 由此可见，b e z i e r 曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重台。 切矢量b e z i e r 曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一 致。 二阶导矢2 阶导矢只与相邻的3 个顶点有关，事实上，r 阶导矢只与( 件1 ) 个相邻点有关，与更远 点无关。 k 阶导函数的差分表n 次b e z i e r 曲线的k 阶导数可用差分公式为： 心t ) = 高善k p i b i , n k ( t ) m 【0 ，l 】 其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定义 a k p i = 世。p j “一世。p j ( 2 ) 对称性。b e z i e r 曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。 ( 3 ) 凸包性。 。 ( 4 ) 几何不变性这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。b e z i e r 曲线的位置与形状与 其特征多边形顶点只( i = o ，1 ，n ) 的位置有关，它不依赖坐标系的选择 ( 5 3 变差缩减性若b e z i e r 曲线的特征多边形kp i p 。是一个平面图形，受i j 平面内任意直线与 p ( t ) 白q 交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这性质叫变差缩减性质。此性质反映了 b e z i e r 曲线比其特征多边形的波动小，也就是说b e z i e r 曲线比特征多边形的折线更光顺。 ( 6 ) 仿射不变性即在仿射变换下，p ( t ) 的形式不变。 1 2 2 b 样条曲线 2 2 1 定义 与b e z i e r 曲线得定义方法类似，b 样条曲线方程定义为 ，2 东南大学硕士学位论文第一章绪论 n p ( t ) = p n 肚( t ) 1 = o 其中，只( i = o ，1 ，n ) 是控制多边形的顶点，n ( t ) ( i _ o ，1 ，n ) 称为k 阶( k 一1 次) b 样条基函数 其中每一个称为b 样条，它是一个称为节点矢量。 2 2 2b 样条曲线类型的划分 曲线按其首末端点是否重合，区分为闭曲线和开曲线。闭曲线又区分为周期和非周期两种情形， 周期闭曲线与非周期闭曲线的区别是：前者在首末端点是c 2 连续的，而后者一般是c 。连续的。非周期 闭曲线可以认为是开曲线的特例，按开曲线处理。 b 样条曲线按其节点矢量中节点的分布情况，可划分为四种类型。假定控制多边形的顶点为 p ( i _ 0 , 1 ，n ) ，阶数为k ( 次数为k - 1 ) ，则节点矢量是t = t o ，t l ，t 。+ k 】。 ( 1 ) 均匀b 样条曲线 节点矢量中节点为沿参数轴均匀或等距分布，所有节点区间长度相等。 ( 2 ) 准均匀的b 样条曲线 与均匀b 样条曲线的差别在于两端节点具有重复度k ，这样的节点矢量定义了准均匀的b 样条基。 均匀b 样条曲线在曲线定义域内各节点区间上具有用局部参数表示的统一的表达式，使得计算与 处理简单方便。但用它定义的均匀b 样条曲线没有保留b e z i e r 曲线端点的几何性质，即样条曲线的首 末端点不再是控制多边形的首末端点。采用准均匀的b 样条曲线就是为了解决这个问题，使曲线在端 点的行为有较好的控制。 ( 3 ) 分段b e z i e r 曲线 节点矢量中两端节点具有重复度k ，所有内节点重复度为k - 1 ，这样的节点矢量定义了分段的 b e m s t e i n 基。 b 样条曲线用分段b e z i e r 曲线表示后，各曲线段就具有了相对的独立性，移动曲线段内的一个控 制顶点只影响该曲线段的形状，对其它曲线段的形状没有影响。并且b e z i e r 曲线一整套简单有效的算 法都可以原封不动地采用。其它三种类型的b 样条曲线可通过插入节点的方法转换成分段b e z i e r 曲线 类型，缺点是增加了定义曲线的数据，控制顶点数及节点数都将增加。 ( 4 ) 非均匀b 样条曲线。 在这种类型里，任意分布的节点矢量t = 【t 1 ，t 2 ，t 。+ k ，只要在数学上成立( 节点序列非递减， 两端。审点重复度韭，内节点重复度虫1 ) 都可选取，这样的节点矢量定义了非均匀b 样条基。 2 23b 样条曲线的性质 a 局部性移动该曲线的第j 个控制顶点p i 至多影响到定义在区间( t ，t + k ) 上那部分曲线的形状， 对曲线的其余部分不发生影响。 b 连续性p ( t ) 在r 重节点t 。( k i r t ) 处的连续阶不低于k 一1 一r 。整条曲线p ( t ) 的连续阶不 低于k 一】一。，其中l m a x 表示位于区间( t ，t ) 内的节点的最大重数。 c 凸包性p ( t ) 在区间 t ，t i + 1 ) ，k 一1 s i s n 上的部分位于k 个点p i k + l ，p i 的凸包c - 内，整个 - 3 东南大学硕士学位论文第一章绪论 曲线则位于各凸包c ，的并集fi c 、。 i = 一k - l d 分段参数多项式p ( t ) 在每个区间( t ，t j + 1 ) ，k 1 i n 上的次数不高于k - 1 的参数t 的多项式 p ( t ) 的参数t 的k - 1 次分段多项式。 e 导数公式由b 样条基的微分差分公式，有： p 心，2 汕j = 窆啊n p n 出h，善(考击ni,k-ii=oik1 州k 一。， p ( t ) = i 。i ，。( t ) i = ：p i ：，。( t ) = ( k 一1 ) i j ；j - ：二j 二；一i ( t ) t 【t k 。，t 。+ 。】 i ；0i ；i 、+ 一一 f 变差缩减性设平面内n + 1 个控制顶点p ( i - 0 i ，n ) 构成b 样条曲线p ( t ) 的特征多边形。 在该平面内的任意一条直线与p ( t ) 的交点个数不多于该直线和特征多边形的交点个数。 g 几何不变性b 样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关。 h 仿射不变性对任一仿射变换a ：a l p ( t ) = a p i n i , k ( t ) ，t t k - it 。 即在仿射变换下 p ( t ) 的表达式具有形式不变性。 i 直线保持性控制多边形退化为一条直线时，曲线也退化为一条直线。 j 造型的灵活性用b 样条曲线可以构造直线段、尖点、切线等特殊情况， 1 3 国内外研究概况 早在上个世纪四、五十年代联邦德国公路设计部门就开始在道路设计过程中使用“万能曲线尺”定 线。万能曲线尺是用宽3 r n m 、高6 r a m 的弹性材料制成的条尺。最常见的形式是条尺上有带钩的铁锤， 钩上刻有可夹紧条尺的窄槽。为了在任意点能固定万能曲线尺，铁锤可放在乎面上。用这种方法可通过 期望的控制点而决定路线位置，同时在各点中间，可利用曲线尺的弹性获得连续弯曲的曲线形状。 德国的汉斯洛伦兹博士在公路线形与环境设计一书中指出；“以万能曲线尺绘制的曲线与由回 旋线和圆弧所绘制的设计图。一般并不认为有所差别，很少大于1 - 2 r a m ”。德国的另一位工程师v 兰克 通过研究后认为，对连接两个大小不同的s 型回旋曲线进行计算，并精确地绘制出来。同时，沿着圆 的地方固定万能卣线尺，万能曲线尺在两个圆之间以某种程度的自由活动，沿曲线尺给出曲线，结累绘 制的曲线与计算的曲线达到了惊奇的一致。 利用万能曲线尺绘制公路线形是将曲线拟舍形成的样条曲线应用于公路设计的最初模型。上述事例 说明了样条曲线不仅具有足够的光顾性，丽且对回旋线和圆曲线具有良好的逼近效果。事实上样条曲 线早已应用在工业制造领域广泛应用，成为工业造型不可或缺的工具。目前，样条曲线在我国公路领域 的应用还并不广泛，技术人员仅在山区低等级公路和立交匝道方案设计阶段的线形设计中加以运用。 1 9 8 0 年，重庆公路科学研究所郭文复提出用三次样条函数作为公( 铁) 路线形设计，其后，东南 大学的王富年教授将圆弧样条函数用于互通式立交匝道平纵面线形设计1 2 1 。屠书荣从汽车行驶轨迹的连 续性和计算的方便性出发，提出了局部坐标下的三次样条曲线，探讨了样条曲线的线形优化工作，并开 发了较为实用的计算机软件口】。程建川利用样条函数的优点来布设线位，通过调整曲率图的方法将样条 曲线向惯用线形转化州。吴国雄提出了根据曲率图，采用积木法将样条曲线返还为传统线形t 2 。杨少伟、 张乃苍等学者也做了大量的研究工作p 】。重庆交通学院的颜强采用三次样条曲线建立了空间曲线例。长 沙交通学院的何祷对m j p , b s 在道路线形设计中做了大量的研究，却并不完善州【j0 1 【l ”。这些工作使得 样条曲线最终为设计人员接受做了铺垫。 d 东南人学艇，l 学位论文第一章绪论 随着勘测设计一体化、智能化技术研究的开展，工程可视化设计成为新的研究热点。如果我们在道 路设计的同时能够兼顾几何模型表达，将赋予可视化设计崭新的意义。从实现计算机对形状处理、便于 形状信息传递与数据交换的角度来看，标量函数不具有几何不变性，非参数的显函数不能统一表示各种 形状及处理各种情况，包括各种特殊情况，如，当曲线用y = y ( z ) 表示时，曲线上具有垂宜切线的点， 斜率为无穷大，这将导致计算机处理时出现上溢或下溢问题。因此，标量无法满足工程可视化建模的要 求，从这个意义上讲，在道路设计中采用样条函数的意义就不仅仅是为了规避不良地形、地物了，它的 出现有着必然性。 道路设计中经常遇到许多由多段圆弧、抛物线弧等二次曲线弧与直线段连接而成的线形，要建立三 维道路模型显然用于自由型曲线曲面的b 样条方法包括贝齐尔方法根本不能适应初等曲面的要求。因 此，本文选择了n u r b s 作为道路线形设计的工具。探索一条既能用于设计又能满足几何形体表达的新 型设计手段。 1 4 本课题研究的目的与意义 随着计算机的硬件及支撑软件的发展，以及数模系统的成熟和实用，目前已具备数字化场景中进行 公路设计的能力。如何用三维的概念描述公路几何特征，如何继承原有的设计经验，使三维路线c a d 系统应用于实际工程设计，是研究成败与否的关键。 笔者认为结合未来三维可视化技术道路路线设计的思路应该是；1 。确定道路的走向，基于数字场景， 采用计算机外设在屏幕上实现交互操作。在场景中选择控制点，生成道路中心线。2 路幅设计，考虑空 间线形上的空间作用力与空间加速度对行车的影响，根据汽车的行驶特性对道路的左右幅分别进行设 计，确保路面曲面的连续性，平顺性。然而，如何将三维的空间线形和现行的二维设计标准进行扬弃将 是十分熏要的研究课题。 将非均匀有理b 样条( n u r b s ) 这一现代曲面造型中最为广泛流行的技术引进道路设计是一次有益 的尝试，具有重要意义。 1 对样条函数描述公路线形的补充。 在道路c a d 研究中，利用样条函数描述公路线形的研究取得的很多成果，将n u r b s 引入到道路设 计中是对样条函数描述公路线形的朴充。它的优势主要三种方面：1 n u r b s 曲线描述公路线形，使公路 线形描述具有统一的数学模型。只需掌握公路的起讫点、中间交角点、曲线半径等资料，就可利用统一 的数学模型进行公路平、纵、横设计。2 n u r b s 曲线描述公路线形是通过多边形顶点和权因子控制，对 公路各种线彤均能适用。对卵形曲线等复杂线形上的点坐标计算与直线段上的点坐标计算一样简单，传 统设计方法与此相比则要复杂得多。3 利用样条曲线的优点布设线位，规避地形地形约束，具有曲线型设 计方法的优点。 2 实现计算机可视化设计。 目前的道路设计，通常都是按平面、纵面和横断面分别设计，设计者难以从平面图、纵面图和横面 图想象出设计方集的三维效果，n u r b s 曲线描述公路线形，利用公路的起讫点、中间交角点、曲线半 径等资料，就可迅速建立公路三维模型，利用可视化技术可以了解到计算、设计过程中产生的各种现象 和变化，通过改变控制参数，直接观察参数的作用，从而实现对计算、设计过程的引导和控制。 3 为分析评价道路的几何形体研究提供了必要的先决条件。 现行的道路c a d 建立的路面模型侧重于形体的表达，其使用的标量函数不能满足形状数学描述的 要求，路面曲面模型的建立为下一步将路面( 曲面) 做作研究对象，综合评定道路线形设计质量提供了 东南大学硕士学位论文第一章绪论 必要的先决条件。结台c a g d 理论与车辆行驶特性对路线的几何线形、平、级、横的整体协调、行车 视距的检验的研究，可能成为一个新的研究方向。 1 5 本文的主要研究内容与成果 本文对n u r b s 曲线的关键技术和算法及其在道路线形设计中的应用进行了系统的研究，其主要研 究内容与成果如下： ( 1 ) 对n u r b s 方法和道路线形设计的发展进行了综述和总结。在对传统设计方法研究后提出了基于 道路中心线的三维设计思想。 r 2 ) 对n u r b s 曲线曲面的几何性质、配套技术做了详尽的说明。特别地给出了- 次n t n m s 曲线方 程的有理分式形式。讨论了圆锥曲线的n u r b s 表示，以及用n u r b s 曲面表达平面，圆弧面和一般柱面， 为后继的研究工作奠定了基础。 ( 3 ) 研究了基于n u r b s 的道路二维描述方法，提出用三次抛物线描述回旋线的n u r b s 方法，并用 工程实例进行检验。证明了用于传统道路设计的可行性。给出了用了平纵曲面交台生成道路中心线的方 法。 ( 4 ) 探讨了三维环境下采用- - ? 欠n t r e , b s 插值空间点的方式直接生成道路中心线的方法。提出了实用 的算法和曲率检验方法。用实例加以说明。论文指出这种插值和曲率检验方法同样适用于二维平面设计， 是平面线形曲线型设计方法的一个新的补充。在此基础上讨论了采用n l r r b s 进行道路设计的曲线路用 特眭。 ( 5 ) 对由直线、圆曲线段、三次抛物线组成的复杂曲线，提出了一种用一条n u r b s 曲线进行精确表 示的方法，并利用n u r b s 曲线的节点、升阶和插值算法以及二次曲线的n u r b s 表示，设计了相应的算 法。 ( 6 ) 将计算机图形学知识引入道路的三维建模，在上述基础上进一步提出了蒙皮法建立路面的新方 法。 ( 7 ) 以o p e n o l 3 图形开发工具，实现了路面的三维建模。 6 查堕查堂堡生兰垡堡壅 苎三皇! ! 旦些! 些垡些堕箜苎查堡垒 2 1 引言 第二章n u r b s 曲线曲面的基本理论 形状信息的核心问题是计算机表示，即要解决既适合计算机处理，且有效地满足形状表示与几何设 计要求，又便于形状信息传递和产品数据交换的形状描述的数学方法。 提出n u r b s 方法，即非均匀有理b 样条方法，主要是为了找到与描述自由型曲线、曲面的b 样 条方法既相统一，又能精确表示二次曲线弧与二次曲面的数学方法。 n u r b s 方法的主要优点： ( 1 ) 既为标准的解析形状( 即前面提到的初等曲线曲面) ，又为自由型曲线曲面的精确表示与设计提 供了一个公共的数学形式。 ( 2 ) 可修改控制顶点和权因子，为各种形状设计提供了充分的灵活性。 ( 3 ) 与b 样条方法一样，具有明显的几何解释和强有力的几何配套技术( 包括节点插入、细分、升阶 等、。 ( 4 ) 对几何变换和投影变换具有不变性。 ( 5 ) 非有理b 样条、有理与非有理b e z i e r 方法可以处理为它的特例。 2 2n u r b s 曲线的定义和性质 2 ，2 1 曲线方程的三种等价表示 2 2 1 1 有理分式表示m 2 ，”j 一条n u r b s 曲线可以由分段有理b 样条多项式基函数表示： c o u p o n 冲( t ) 。 p ( t ) = 等一2 p i r 岵( t ) 2 - 1 皑n 咄( t ) 4 。 r i k ( t ) ：掣 ( 2 2 ) q n 仆( t ) 其中，r ，k ( t ) ( i = o ，l ，、，n ) 称为k 阶有理基函数；n 。k ( t ) 是k 阶b 样条基函数；p i ( i 2 0 1 ，n ) 是 特征多边形控制顶点位置矢量；国。是与p i 对应的权因子，首末权因子，珊。 0 ，其余c o 。三o ，以防 j r 分母为零及保留凸包性质、曲线不因权因子而退化为一点：节点矢量为t = t o ，t l ，一t 一t 。+ k ，节 点个数是m ：n + k + 1 ( n 为控制项的点数，k 为b 样条基函数的阶数) 。 - 7 一 东南人学硕0 学位论文第二章n u r b s 曲线曲面的基本理论 2 21 2 有理基函数表示 对丁非周期n u r b s 曲线，常取两端节点的重复度为k ，即有：t = k ，i 。，t k + l , - , 9 t 。，；，纠，在 人多数实际应用中，口：0 ，p = 1 。p ( t ) 在 t k m t 。i 区间上是一个k - 1 次有理多项式，p ( t ) 在整条曲线 上具有k 2 阶连续一陛，对于三次b 样条基函数，具有c 2 连续性。当n = k ，1 时，k 阶n u r b s 曲线变成 k - 1 次有理b e z i e r 曲线，k 阶n u r b s 曲线的节点矢量中两端节点的节点重复度取成k + l 就使得曲线具 有同次有理b e z i e r 曲线的端点几何性质。 r k ( t ) 具有k 阶b 样条基函数类似的性质： ( 1 ) 局部支承性：r ，k ( t ) = 0 ，t 芒 t ，t m ； ( 2 ) 权性：r i , k ( t ) = l ： l = 0 ( 3 ) 可微性：如果分在母不为零，在节点区间内是无限次连续可微的在节点处( k 一卜r ) 次连 续可微，r 是该节点的重复度。 ( 4 ) 若= 0 ，则r ( t ) = 0 ； ( 5 ) 若珊，= + 0 0 ，则r 、k ( t ) = 1 ； ( 6 ) 若d = + o o ，且j i ，则r i ，k ( t ) = 0 ； ( 7 ) 若0 5 = l ，j ；o ，l ，n ，则r ，k ( t ) = n i k ( t ) 是b 样条基函数；彩，= 1 ，j = 0 ，1 ，n ， 且t 2 扣，k + l ，0 ，1 ，k + l ，1 ，则r 一! k ( t ) = b ( t ) ，b i k ( t ) 是b e r n s t e i n 基函数。 2 2 1 3 齐次坐标表示 为了便于讨论，我们考虑平萄b l u r b s 曲线的情况蠲围2 i 所不，如果给定一组控制丁贞点e 。 ( x ，y ，) ( i = o ，1 ，n ) 及对应的权因子0 ) i ( 产0 ，1 ，n ) ，则在齐次坐标系x y c a 中的控制 顶点为鼍。= ( 由。x i ，功y 。，q ) ( i = 0 , 1 ，n ) 。齐次坐标下的k 阶非有理b 样条直线可表示为： p 。( t ) = 掣n 址( k ) i _ o 若以坐标原点为投影中心，则得到平面曲线： c o u p o n 址( t ) p ( t ) = 鼍 ( 2 3 ) 观n ， ( t ) 8 东南大学硕士学位论文 第二章n u r b s 曲线曲面的基本理论 y 图21 平面n u r b s 曲线齐次坐标表示 三维空间的n u r b s 曲线可以类似地定义。即对于给定的一组控制顶点 p i ( x 。，y 。，z 。) ( i = o ，1 ，n ) 及对应的权因子国。【i = o ，l ，1 3 ) ，则有相应的带权控制点 p 。= ( x ，q y 。，z ，国x i = o ，1 ，n ) ，定义了一条四维的k 阶非有理b 样条曲线p 。( t ) ，然后， 取它在第四坐标甜= 1 的超平面上的中心投影。即得三维空间里定义的一条k 阶n u r b s 曲线p m 。这不 仅包含了明确的几何意义，也说明，非有理b 样条的算法可以推广到n u r b s 曲线，只不过是在齐次坐 标下进行。 2 2 2n u r b s 曲线的几何性质 r k ( t ) 与n n ( t ) 具有类似的性质，导致n l y r b s 曲线与b 样条曲线也具有类似的几何性质： ( 1 ) 局部性质。k 阶n u r b s 曲线上参数为t t 。，t j 十1 】c 【tk 1 ，t + i 的一点p ( c ) 至多与k 个控制 顶点b 及权因子以( j - i k + l ，i ) 有关，与其它顶点和权因子无关；另一方面，若移动k 次n u r b s 曲线的一个控制顶点p i 或改变所联系的权因子仅仅影响定义在区间【t j ，t j + k 】c tk 1 ，t 。+ l 】上那部分 曲线的形状。 ( 2 ) 变差减小性质。 ( 3 ) 凸包性。定义在非零节点区间t 【t 。，t i + 1 匕k - l , tn + l 】上曲线段位于定义它的k + 1 个控制顶 点r ，p 的凸包内。整条n u r b s 曲线位于所有定义各曲线段的控制顶点的凸包的并集内。所有 权园子的非负性，保证了凸包性质的成立。 ( 4 ) 在仿射与透射变换下的不变性。 ( 5 ) 在曲线定义域内有与有理基函数同样的可微性。 ( 6 ) 如果某个权因子；为零，那么相应控制顶点e 对曲线没有影响。 ( 7 ) 若i o 。，则当t 【t 。，t i + k j 时，p ( t ) = p i 。 ( 8 ) 非有理与有理b e z i e r 曲线和非有理b 样条曲线是n u r b s 曲线的特殊情况。 2 2 2 1 权因子的几何意义 由于n u r b s 曲线权因子国。只影响参数区间定义在区间【t ，t i + k c i t k - 1 , t 。+ 1 上的那部分曲线的彤 一9 东南大学颁士学位论文 第二章n u r b s 曲线曲面的基本理论 状，冈此，我们只考察整条曲线的这一部分。如果固定曲线的参数t ，而使珊、变化，则n u r b s 曲线 方程变成以珊为参数的直线方程，即n u r b s 曲线上t 值相同的点都位于同一直线上，如图2 , 2 所示。 我们把曲线与有理基函数的记号用如下包含其权因子国，变量的记号替代。因为皑一m 时， r ，k ( t ，0 9 。一十o o ) = l 的，故该直线通过控制顶点p ，b ，n ，b 。分别是，20 ，= 1 ，由，0 ， 1 对应曲线上的点，即b = p ( t ，1 9 ) i = 0 ) ，n = p ( t ，印。= 1 ) ，b ，= p ( t ，国。o ，1 ) ，p i = p ( t ，卯。) 。 令口= r “( t ；国= 1 ) ，= r n ( u ) n ，b 可表示为： n = ( 1 一口) b + a p i b 。= ( 1 一f 1 ) b + 嵋 用口、口可得到下述比例关系： i 一口i 一只np b ：l = l ：l 2 = 0 9 d b n b b 。 上式是( e ，b ，n ，b ) 四点的交比，由此式可知： ( 1 ) 若以增大或减小，则b 也增大或减小，所以曲线被拉向或推离开p i 点 ( 2 ) 若御，增大或减小，曲线被推离或拉向p j ( j i ) 。 圈2 2n u r b s 曲线中的权因子作用 2 2 2 2 圆锥曲线的n u r b s 表示 若取节点向量为t = 0 ，0 ，0 ，1 ，1 ，l 】，则n u r b s 曲线退化为二次b e z i e r 曲线，且 附，= 鬻嵩尚等 ( 2 4 ) 可以证明，这是圆锥曲线弧方程，c 。：巫称为形状因子，c , e 的值确定了圆锥曲线的类型。 珊1 c d = 1 时，上式是抛物线弧，c ( 1 ，+ ) 时，上式是双曲线弧，c ( o ，1 ) 时，上式是椭圆弧。且 c “一+ o d 时，上式退化为一对直线段p op l 和p 1 p 2 ，c n _ o 时，上式退化为连接p o p 2 两点的直线段如 图2 3 所示。 - l o - 衷南入学硕士学位论义第二章n u r b s 曲线曲面的基本理论 2 2 2 3n u r b s 曲线的修改 p l p 0现 图2 3 圆锥曲线的n u r b s 表示 n u r b s 曲线的修改有多种方式，常用的方法有修改权因子、控制点和反插节点。 1 修改权因子 权因子的作用是：当保持控制顶点和其它权因子不变，减少或增加某权因子时，曲线被推离或拉向 相应顶点。假定已给定k 阶( k - 1 ) 次n u r b s 曲线上参数为t 的一点s ，欲将曲线在该点拉向或推离控 制顶点p 一个距离d ，以得到新点s ，与点s 对应的权因子国可通过下式计算得到： d 钏- 1 + 瓦獗西面 图2 4 修改权因子 如图2 4 所示，p 。s 表示p j 和s 两点间的距离，d 有正负之分，若s 在b 和s 之间，即曲线被拉向 顶点p ；d 为正，反之为负。 修改过程是先拾取曲线上点s ，并确定该点的参数t “t ，t j 十l 】，再拾取控制多边形的个顶点 e ，它是k + 1 个控制项点p m ，p j 中的一个，即j k + 1 i j ，便可算出两点间的距离d 。若在 直线段sp i 上拾取一个点s + ，就能确定替代老权因子q 的新权因子硝，修改后的曲线将通过s 点。 2 修改控制顶点 若给定曲线上参数为的点s ，新点s + 与s 点得距离为d ，s 点指向s + 点方向矢量为v ，计算控 制顶点p 的新位置p ，+ ，以使曲线上s 点沿v 移动距离d 到新位置s 。s + 可表示为： s + = p j r j , k ( t ) + ( 只+ a v ) r i , k ( t ) l j ；0 于是： 东南大学硕士学位论文 第二章n u r b s 曲线曲面的基本理论 s - s 郇刮v j r i , k ( 1 ) j 口= 丽南 由此可得新控制顶点： p = + = p + a c v 专门修改控制顶点或专门修改权因子都不易得到满意的结果。两者的结合使用将容易地且满意地设 计出所要求的形状。在这里，控制顶点可用于粗改，而权因子用于精修。 3 反插节点 在对n u r b s 曲线、曲面的操作中，插入节点是一个非常有用的工具。例如t 在打断n u r b s 曲线、 曲面，转换n u r b s 曲线、曲面为有理b e z i e r 曲线、曲面，局部修改n u r b s 曲线、曲面，蒙面法构造 n u r b s 曲面等操作中，都将用到或可能用到插入节点。 给定控制多边形顶点p i 与权因子国，( f = o ，1 ，n ) 、节点矢量，= k ，f 1 ，r 。+ 。】，就定义了一条k 阶n u r b s 曲线。现欲在该多边形的p ip i “边上选取一点p ，使得点成为一个新的控制顶点，这就是所 谓反插节点。p 点可按有理线性插值给出： i ：! ! 二1 2 竺呈! 竺出旦! ! ( 1 一s ) q + s ( t ) i + 1 于是： 。：些! ! 二里! ： m p p ii + i + lp j + l p l 所以 t = t + s ( t + k t i + 1 ) 这就使得p 成为个新控制顶点而要插入的新节点。 当插入新节点i l 。，t j + l 】使芦成为一个新控制顶点的同时，将有k - 2 个老控制顶点被包括f 在内 的新控制顶点所代替，如图2 5 所示。 2 2 3 三次n u r b s 曲线 p ip 图2 5 使p 成为新控制项点 设已知：多边形控制顶点为只，权因子为o ) i ，其中i _ 0 ，1 ，2 ，n - 3 ；节点序列为 t 一3 = t 一2 = t 一1 = t o t 。一2 = t 。一l = t 。= t 。+ l 。则三次n u r b s 曲线表示为 1 2 东南大学砸士学位论文第二章n u r b s 曲线曲面的基本理论 珊。+ p in m ，3 ( t ) e ( t ) = 旦t 。t t 0 9 。+ j n ，3 ( t ) j = o 令u ：一! 兰l 作参数替换使式( 1 ) 归化，得： 脚，= 器 嘞一 式中： p ( u ) = 1 uu 2 w ( u ) = 【1 uu 2 u 3 ( t 。+ 1 一t i - 1 ) ( t 。+ 2 一t m ) = i 一(