（基础数学专业论文）二维轴对称活塞问题激波解的存在性.pdf

二维轴对称活塞问题激波解的存在性 摘要 本文主要目的在于研究二维轴对称活塞问题的激波解的存在性。 高维轴对称活塞问题是研究守恒律方程组的一个重要物理模型。它是一维的活 塞问题在高维情况下的推广。在文 6 中，作者首先考虑了当活塞以一定的速度 均匀向外扩散时，激波解的存在唯一性作者证明，在这种情况下，必然存在一个 的激波面，以某一速度8 0 ( a o ) b o ) 向外扩散在这篇论文中，作者还同时考虑了当 活塞不是对称的，而是对称的一个扰动时激波解的存在性 在文f 6 1 的工作的基础之上，本文进一步研究当轴对称活塞的运动速度不是常 数时，轴对称的激波解的存在性由于二维的轴对称活塞问题和高维的情形没有本 质的差别( 其中一个系数有变动) ，因此我们在后面仅以二维为例进行讨论。我们 的主要结果是，对于等熵的可压缩流，在一定的条件下，证明了激波解的局部存在 性和整体存在性。而对非等熵的情形，即对整个的e u l e r 方程组的情形，证明了激 波解的局部存在性。 下面对全文的结构安排作一简单介绍。 第一章，绪论。在这一章中，我们简单介绍了活塞问题的物理背景，数学模型， 并对论文的主要结果以及证明方法给以简单说明 第二章给出了几种轴对称活塞问题的数学模型( 包括一维等熵流，二维等熵流 和二维不等熵流) 和它们的详细推导，并给出了一些相关的基本性质 第三章研究二维等熵可压缩流的轴对称活塞问题激波解的局部存在性。所采用 的是牛顿迭代法的思想，即首先构造近似解，作为迭代过程的第一项，然后在近似 解的附近将问题线性化，并对线性化的问题建立能量估计，最后进行迭代过程并证 明收敛性我们在一定的光滑性的假设下，证明了该问题问题的激波解的局部存在 性。 第四章主要研究二维等熵可压缩流轴对称活塞问题激波解的整体存在性我们 采用的是改进的g j m m 格式的方法。即首先利用随机取点的方法构造近似解，然后 分别建立局部的和整体的相互作用估计，最后借助于这些估计证明由所构造的近似 解形成的序列中，存在收敛的子序列。这样，我们在对气体的初始密度及轴对称活 塞的运动速度一定的假设条件下，得到了激波解的整体存在性。 第五章主要研究非等熵流可压缩流的轴对称活塞问题激波解的局部存在性。这 里我们处理的是整个的e u l e r 方程组同前面两章相比，这个模型更接近于真实的 物理模型。我们所采用的方法仍是牛顿迭代法，在一定的光滑性的假设下，证明了 该问题的轴对称激波解的局部存在性。 关键词：理想流体，e u l e r 方程组，活塞问题，近似解，线性化，能量估计， r a n k i n e h u g o n i o t 条件，g l i m m 格式，g l i m m 泛函，收敛性 e x i s t e n c eo fs h o c kf r o n t s o l u t i o nt o2 - d i m e n s i o n a l a x i a l l ys y m m e t r i cp i s t o np r o b l e m a b s t r a c t t h e p r e s e n tp h d d i s s e r t a t i o ni sc o n c e r n e dw i t he x i s t e n c eo fs h o c kf r o n ts o l u t i o nt o a x i a l l ys y m m e t r i cp i s t o np r o b l e mi n2 - d i m e n t i o n a lc o m p r e s s i b l ef l o w s a x i a l l ys y m m e t r i cp i s t o np r o b l e mi sa ni m p o r t a n tm a t h e m a t i c a lm o d e li nt h es t u d y o fc o n s e r v a t i o n l a w s ，i n ( 6 1 ) ，t h ea u t h o rf i r s tc o n s i d e r e de x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs h o c k f r o n ts o l u t i o ni nt h ec a s ew h e nt h ev e l o c i t yo ft h ep i s t o ni ss o m ec o n s t a n t 如t h e nt h e a u t h o rp r o v e dt h a tt h e r ee x i s t sas h o c kf r o n ts u r f a c ew h i c hm o v e so u t w a r dw i t hs o m e v e l o c i t ys o ( s o 6 0 ) ，m o r e o v e r ，t h ea u t h o ra l s oc o n s i d e r e dt h ec a s et h a tt h ep i s t o ni sn o t s y m m e t r i c t h em a i nw o r ko ft h i sd i s s e r t a t i o ni st om a k es o m ef u r t h e rs t u d yi np i s t o np r o b l e m ， i e ，t h ee x i s t e n c eo fs h o c kf r o n ts o l u t i o nw h e nt h ev e l o c i t yo ft h ea x i a l l ys y m m e t r i cp i s t o n i sn o tc o n s t a n t b e c a u s et h e r ei 8n oe s s e n t i a id i f i e r e n c eb e t w e e n2 d i m e n s i o a lc a s ea n d m u l t i - d i m e n s i o n a lc a s e ( t h ed i f f e r e n c el i e so n l yi n o n ec o e f f i c i e n t ) ，w eo n l yt a k et h e2 - d i m e n s i o n a lc a s ea sa ne x a m p l e t h em a i nr e s u l t so ft h ed i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s i n t h ec a s eo fi s e n t r o p i cc o m p r e s s i b l ef l o w ，w eg i v et h el o c a la n dg l o b a le x i s t e n c eo fs h o c k f r o n ts o l u t i o n su n d e rs o m e a s s u m p t i o n s f o rt h ec a s eo f n o n i s e n t r o p i cc a s e i e ，t h ew h o l e e u l e re q u a t i o n s tw eg i v et h el o c a le x i s t e n c eo fs h o c kf r o n ts o l u t i o n t h ew h o l ec o n t e n t sa r eo r g a n i z e d f o l l o w s c h a p t e ri ，p r e f a c e t h i s c h a p t e ri sd e v o t e dt od e s c r i b i n go f t h ep h y s i c a lb a c k g r o u n d a n dt h em a t h e m a t i c a lm o d e l t h em a i nr e s u l t so ft h i sp h d ，d i s s e r t a t i o na r eb r i e f l y i n t r o d u c e di nt h el a s ts e c t i o no ft h i sc h a p t e r c h a p t e ri ii s d e v o t e dt ot h ed e r i v a t i o no fs e v e r a lm a t h e m a t i c a lm o d e l so fp i s t o n p r o b l e m ( i n c l u d i n g1 - di s e n t r o p i cf l o w ，2 - di s e n t r o p i cf l o wa n d2 - dn o n - i s e n t r o p i cf l o w ) ， s o m ep r o p e r t i e st h a tc o n c e r n e da r ea l s og i v e nh e r e c h a p t e ri i id e a l sw i t ht h el o c a le x i s t e n c eo f2 - dp i s t o np r o b l e mi ni s e n t r o p i cc o r n - i i j p r e s s i b l ef l o w t h em e t h o dw ea d o p t e dh e r ei sn e w t o ni n t e r a t i o np r o c e d u r e n a m e l y , f i r s tw ec o n s t r u c ta p p r o x i m a t es o l u t i o na st h ef i r s tt e r mo f i t e r a t i o n 、t h e nw el i n e a r i z et h e p r o b l e mn e a rt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n n e x tw ec o n s t r u c te n e r g ye s t i m a t ef o rt h el i n - e a r i z e dp r o b l e m a tl a s t ，w i t ht h eh e l po ft h ee n e r g y e s t i m a t e ，w ep r o v et h ec o n v e r g e n c e o fi t e r a t i o n w i t ht h e p r o c e d u r ea b o v e ，w eg e tt h el o c a le x i s t e n c eu n d e rs o m ea s s u m p t i o n o fs m o o t h n e s s i nc h a p t e ri v ，w ef o c u s e do nt h eg l o b a le x i s t e n c eo f2 - dp i s t o np r o b l e mi ni s e n t r o p i cc o m p r e s s i b l ef l o w ，t h em e t h o dw eu s e dh e r ei sm o d i f i e dg l i m ms c h e m e ，f i r s tw e c o n s t r u c ta p p r o x i m a t es o l u t i o nb yr a n d o mc h o i c em e t h o d ，t h e nw ec o n s t r u c tl o c a la n d g l o b a li n t e r a c t i o ne s t i m a t er e s p e c t i v e l y w i t ht h ee s t i m a t ea b o v ew ep r o v e dt h a tt h e r e e x i s t sas u b s e q u e n c eo ft h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n ss e q u e n c et h a tc o n v e r g e n c e st ot h ew e a k s o l u t i o no ft h i sp r o b l e m t h u s ，u n d e rs o m ea s s u m p t i o n so ft h ev e l o c i t yo ft h ep i s t o na n d t h ed e n s i t yo ft h eg a so u t s i d e ，w eg i v et h eg l o b a le x i s t e n c eo fs h o c kf r o n ts o l u t i o n i nc h a p t e rv ，t h el o c a le x i s t e n c eo f2 - dp i s t o np r o b l e mf o rn o n i s e n t r o p i cc o m p r e s s i b l ef l o wi sc o n s i d e r e d a tt h i sp l a c e ，w es t u d y e dt h ef u l le u l e rs y s t e m c o m p a r e dt o c h a p t e ri i ia n di v ，t h i sm o d e ld e s c r i b e st h ep a y s i c a l m o d e lm o r ea c c u r a t e l yw ea l s o u s e dt h en e w t o ni t e r a t i o na n dp r o v e dt h el o c a le x i s t e n c eo fs h o c kf r o n ts o l u t i o nu n d e r s o m ea s s u m p t i o no fs m o o t h n e s s k e y w o r d s ： i d e a lf l u i d ，e u l e re q u a t i o n s ，p i s t i o np r o b l e m ，a p p r o x i i n a t es o l u t i o n ， l i n e a r i z a t i o n ，e n e r g ye s t i m a t e ，r a n k i n e - h u g o n i o tc o n d i t i o n s ，g l i m ms c h e m e ，g l i m m f u n e - t i o n a l ，c o n v e r g e n c e 第一章绪论 自然界的大量流体的运动产生的现象，都可以近似的归结为对理想流体的研 究。所谓理想流体，是指忽略粘性和热传导的流体。对于很多流体的研究，都可以 近似看成是理想流体。例如，当研究飞行器周围的流场分布时，除飞行器附近一薄 层中通常必须考虑粘性及热传导外，在流场的其余部分，均可假设未理想流体来进 行研究。从而，在着眼于整体流体的性质时，即使对整个流场中的流体均假设为理 想流体，也可以得到相当合理的结果。因此，对理想流体的讨论，不仅具有理论上 的重要意义，而且具有实际上的重大价值。 理想流体的数学模型是下面的e u l e r 方程组 3 p t + f ( 肚。) “= 0 ， ( 质量守恒)( 1 1 1 ) t = l 3 ( p u ) t + ( 戊q ) 。，+ b ，= o ，i = 1 ，2 ，3 ，( 动量守恒) ( 1 1 2 ) 2 = l ( 畔；，“；) 。+ 陋+ 一u ；) c + 引u i 。= 叫= l j 2 3 1 p = ，( p ，s ) ( 能量守恒) ( 状态方程) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 其中“= ( u i ，u 2 ，“2 ) 分别表示气体在z i ，：9 2 ，。3 方向上的速度，p 表示气体的密度， p 表示气体的压强，e 表示气体的内能，s 表示气体的比熵。由于所有的热力学量 中只有两个是独立的，所以，状态方程也可以表示为其他的形式。相应的，各个守 恒律方程也可以用其它的量来表示这个模型的详细推导及其一些基本性质，可参 见 1 8 】_ 上述方程组是一个拟线性双曲型方程组。对这一类方程而言，即使给定一个充 分光滑的c a u c h y 初值，它的解也很可能出现间断。这种间断可以分为弱间断和强 间断。弱间断是指“导数”的间断，一般是沿着特征线传播。而强间断是指函数本 身的间断，包括激波、接触间断等复杂的现象，于是使得分析非常复杂尤其是激 波的出现，导致了越过激渡的熵的变化，由此也破坏了解的唯一性。这个方程组本 1 身是三维的，现在没有一个好的一般方法处理。所以，目前人们所考虑的，一般是 对上述问题的简化。 人们首先研究的是一维的情况，并得到了一些非常好的结果。关于这个问题， 最早可以追溯到1 9 世纪下半叶。r i e m a n n ( 18 60 ) 对上述方程组的特殊情形一 p 方程组，引进了“r i e m a n n 不变量”，发展了简单波理论和流动问题的一般解，并 发现和建立了激波理论。1 9 5 7 年，在p l a x ( 1 7 ) 的工作中，提出了激波的l a x 几 何熵条件、线性退化与真正非线性、单参数的激波和疏散波曲线等重要概念，并解 决了方程组的r j e m a 。n n 问题的解。在此基础上，1 9 6 5 年，o n m m ( 1 1 5 ) 引了g l i m m 格式，这是一项具有代表性的工作在这篇论文中，g l i m m 用随机取点的方法来构 造近似解，构造了g l i m m 泛函并证明了其单调性，最后证明其收敛性。这样，在初 值的全变差充分小的条件下，证明了问题的弱解的整体存在性。另种建设性的方 法是1 9 6 8 年n i s h i d a ( 2 7 ) 及1 9 7 9 年t a r t a r ( 3 0 ) 所采用的补偿列紧的方法 除了一维的问题以外，高维的对称问题和一维的问题具有某些相似的性质。 它们的差别在于高维的对称问题多了一个含有强奇性的右端项这样，对一维问 题的方法一般并不能直接应用过来。于是必须把以前的方法加以改进d a l e r m a s - l h s i a o ( 1 1 ) ，t p l i u ( 【2 0 j ) 等利用改进的g l i m m 格式的方法，以定常问题的解 来修正r i e m a n n 问题的解，得到了初值问题的解的整体存在性后来，有文献 2 5 】， 1 趴 2 2 ， 2 8 ， 1 4 及 2 4 】， 3 2 】中，将其做到了初边值的问题在f 2 3 】中，作者将其推广 到了线性退化的情形。在 2 0 】中，作者用g l i m m 格式的方法解决了非齐次守恒律方 程组解的存在。另外，g qc h e n - j g r i m m ( 1 9 9 8 ，【3 j ) 利用改进的g u d o n o v 格式，利 用定常的问题的解来修正r i e m a n n 问题的解，用补偿紧的方法，证明了对称的守恒 律方程组在一个去掉原点附近的邻域的区域中的弱解的整体存在性。 关于高维问题，通常考虑的是流体在一些特殊情况下的流动，或是流体与一些 障碍物的相互作用。这方面，绕流问题是一个重要的物理模型，并且对于它的研究 取得了很大的进展。关于直楔绕流问题的结果可以参见m 后来，人们考虑了一些 更加一般的情形。例如当物面不是平的，或者当张角不是很小时，以及当来流的方 向产生扰动时，激波解的存在性。关于这方面的工作参见 7 】， 8 】等。 高维轴对称活塞问题是研究守恒律方程组的另一重要物理模型。我们都知道一 2 维的活塞问题。假定有一个一端开口，而另一端以一个活塞封闭的长的管子中( 这 个管子通常称为激波管) 。假设在初始时刻，管子中的气体是静止的，其密度为p o ， 压强为娲。于是活塞的任何运动将导致管内气体的相应运动。也就是说，如果活 塞是往后拉的，则在活塞的附近必然出现一个中心疏散波，并且慢慢向管内扩散。 相反，如果活塞是往前推的，则必然有一个压缩的波进入到气体中去。现在假定活 塞是均匀地往前推的，则在管内的气体中必然产生一个激波，以比活塞快的速度向 前运动。这种现象可以由物理实验证实，并且在数学上有很多的研究。 将上述问题推广到高维的情况。以二维为例，假定在一个柱形圆壳( 即我们所 称的高维轴对称活塞) 的外面，充满了给定的气体从初始时刻开始，活塞以只依 赖于半径的速度向外扩张。于是由于活塞的推动导致空气的压缩，必然产生一个激 波，以比活塞更快的速度向外扩张。活塞外面的气体的状态是固定的和已知的，活 塞问题就是要确定激波的位置及活塞和激波之间的气体的状态对这个问题，最有 意义的情形是在初始时刻，活塞退化成一个点的情形。这在物理上对应着爆轰波的 模型三维的轴对称活塞问题可以举一个很好的例子，当一个气球充气膨胀时，气 球的外表层可以看成一个三维的球对称活塞，它对外面的空气有压缩作用，从而产 生激波。 对于高维的活塞问题，已有的基础性的结果是在 6 】中给出的文 6 】中，作者 首先考虑了当活塞以一定的速度b o 均匀向外扩散时，激波解的存在唯性。作者证 明，在这种情况下，必然存在一个的激波面，以某一速度8 0 ( 8 0 b o ) 向前运动。在 这篇文章中，作者还同时考虑了当活塞不是对称的，而是对称的一个扰动时激波解 的存在性。 在文f 6 1 的工作的基础上，本文进一步研究当活塞的运动速度不是常数时，激波 解的存在性。由于二维的轴对称活塞问题和高维的轴对称情形没有本质的差别( 其 中一个系数有变动) ，因此我们在后面仅以二维为例进行讨论我们的主要结果是， 对于等熵的可压缩流，在一定的条件下，证明了轴对称激波解的局部存在性和整体 存在性。而对非等熵的情形，即对整个的e u l e r 方程组的情形，证明了轴对称激波 解的局部存在性 下面对全文的结构安排作一简单介绍。 3 第一章是绪论部分。在这一章中，我们简单介绍了活塞问题的物理背景，数学 模型，并对论文的主要结果以及证明方法给以简单说明。 第二章给出了轴对称活塞问题的三种数学模型； ( 1 ) 一维的活塞问题的数学模型： 以4 - ( p 日) r = 0 ， 毗十珏r 十p 1 2 p r = 0 ， “= b i ( t ) ，在r = b ( t ) 上，( 11 5 ) p u = s 讹) ( p m ) ，在r 一8 ( t ) 上， p 7 一p ? = 7 s ( t ) p + “，在r = s ( t ) 上 ( 2 ) 二维等熵流的轴对称活塞问题的数学模型： fp + ( 胛) ，+ 譬= 0 ， l毗+ 札u ，十以p r = 0 ， ( ) u = b t ( t ) ，在r = b ( t ) 上( 1 16 ) lp u = s m ) ( p m ) ，在r = s ( t ) 上， 【p 7 一p = y s ( t ) p 。“，在r = s ( z ) 上 当活塞在匀速运动时，该模型可简化为 fp t + ( 胛) r + 譬= 0 ， lu + u u r + 矿一2 胁= 0 ， ( i i i ) u = b o ，在r = 6 0 上，( 11 7 ) 印= s o ( p p 。，在r ；s o 上， 【p 7 一= 7 s 似) m “，在r = s o t 上 ( 3 ) 二维非等熵流的轴对称活塞问题的数学模型 ( i v ) p c + p u r + u p ，+ 譬= 0 ， p u t + p u u r + ( 7 1 ) p e r + ( 7 1 ) e p r = 0 ， 龟+ 甜白- t - ( 7 1 ) e u ，+ 盟三掣竺= 0 ， = b r ( t ) ，在r = b ( t ) 上( 1 1 8 ) p u = s 他) ( p p a ) ，在r = s ( t ) 上， n 一1 ) ( p e p 。e 。) = s 韶) m ，在r = s ( t ) 上 2 ( 7 1 ) e 。u = s 7 ( t ) 2 ( e e 。) 一u 2 ，在r = s ( t ) 上 在这一章里，给出了这些模型的推导，并证明了有关的一些性质。 4 第三章研究二维等熵可压缩流的轴对称活塞问题( 问题( i i ) ) 激波解的局部存 在性。所采用的是牛顿迭代法的思想。在一定的光滑性的假设下，证明了问题( i i ) 的激波解的局部存在性主要的证明过程如下。 第一步：构造近似解，作为迭代过程的首项。我们将构造问题( i i ) 的一个 阶近似解这里所说的阶近似解，是指一个向量函数( p ( 8 ，。) ，“( a ，z ) ，s z ) ) ，它 在。= 0 附近满足问题( i i ) 的误差为o ( x ) 首先做变换 。= o ， a = i 然后设近似解具有形式 “( 出z ) = n n = 。钍。( o ) 留“，p ( ，。) = 。n = op 。( ) z ”， ( 11 9 ) s ( z ) = 。n - o 8 n x n + l ， b ( z ) ：磐o k z “， 将( 11 9 ) 依次代入问题( i i ) 的各式，然后令所有的项的系数为零，就得到n + 1 个常微分方程组的边值问题，分别对应k = 0 ，i ，一，+ 1 其中 = 0 时对应的问 题为匀速运动的活塞问题所对应的自模鼹所满足的方程，这是已知的其他的阐题 都是线性的，我们利用对称双曲组的思想，证明了其解的存在唯一性。 第二步：将问题线性化并建立能量估计为了方便，先做变换s ( z ) = x a ( x ) 及 6 扛) = 。卢( z ) 然后做变换 ，码。= 蒜 ( 1 。) 以固定自由边界。这样，原来的边界r = b ( x ) 与r = s ( z ) 分别变成了0 = 0 与0 = 1 这样，整个问题变成了固定边界的问题为了从形式上去除在原点的奇性，再作变 换e 7 = y 在这个坐标变换下，y = 0 的邻域变成为r = 一o o 的邻域，然后再将新 的问题在近似解的附近线性化接下来再对线性化的闫题建立能量估计，我们采用 加权的范数。它在区域f o ，1 l ( 一m ，卅上的定义如下： 忖雌2 m f - - 巾磊：。仁p 1 邛o i l + 护i 2 f 。1 2 删 类似地，在边界8 = 0 上定义的范数为 ，驴；圣。e-2-rt2jt,o僦0 = 0 机 ( 雕。：o ；| 筹l 机 f + 注女j 一。 l 。4l 在边界目= 1 上，所定义的范数具有相同的形式，除此以外，也采用 来定义边界上的范数，它包含着边界上的法向导数 对线性化的问题得到的能量估计如下： 定理3 3 设k 是任意的正整数，t 0 ，使得对任意q r o 问题线性化后的问题的解，= ( p p ( 叭，u 一“( ，口一口( o ) ) 满足下面的能量估计： 叩i l 驴l 瞠，4 ，丁+ ( ( 睁) ) l 儿r + ( 古) l + l 丁 c k ( ；| | ，1 1 2 ，。，丁+ ( 9 ) 2 , o , t , o = o 1 - ( - ) ；，。，t ，一：，+ ( 。) 2 ，。t ，。：- ) ( i 1 1 1 ) 另外，对2 ，常数仇只依赖于系数的| | 忆口，了1 范数，而系数的范数则依赖于 | | 妒( o ) j | 丁，( ( 妒( o ) ) ) t m 丁和( 口( o ) ) 七十1 m 丁 第三步：迭代并证明收敛性我们不妨将原来的方程组简写戚 工( 妒，口) ( 妒，口) = 0 ( 1 1 1 2 ) 首先寻找下面形式的解： 妒= 妒( o ) + 驴， 口= o - ( o ) + 6 - ( 1 1 1 3 ) 于是( 111 2 ) 变成 三( 妒( o ) + 驴，盯( o ) + 方) ( 驴，方) = 一二( 妒( o ) + 睁，盯( o ) + 古) ( 妒( 叭，盯( o ) ) ( 1 1 1 4 ) 于是我们令( 曲( 叭，古( o ) ) = ( o ，o ) ，并依次解下面的方程 三( 妒( o ) + 驴一，盯( o ) + 古_ 一1 ) ) ( 驴m ) ，6 - ( ”) ) = 三( 妒( o ) + 驴( “一，盯( o ) 十方m 一1 ) ) ( 妒( ，口( o ) ) ( 1 11 5 ) 这样，得到一个近似解序列( 睁( w ，6 - ( “) ) 然后，应用b a n a c h 压缩映象原理的思路， 并借助于前面的能量估讯最终证明了上面的解序列存在一个收敛的子序列，这个 子序列的极限就是原问题的解 6 忙 1 o 枉 ， 锑 。越 斗 o忙丁 q叶 2 k，邵 。硝 三 _ 2 女， 第一章中得到的结果可以归结为下面的定理 定理3 1 假设6 ( ) c o 。，6 ( o ) = 0 ，( o ) 一b o ，且对2 k k ，成立 6 ( 。) ( o ) = 0 。其中k 是一个给定的整数，则存在一个常数t 0 ，使得问题( 3 1 1 ) 一 ( 3 1 5 ) 的激波解在t t 时存在， 第四章利用改进的g l i m m 格式的方法来研究二维等熵可压缩流轴对称活塞问 题( 问题( i i ) ) 激波解的整体存在性。开始先对g l i m m 格式的思想方法作了简单的 介绍所得到的主要结果是在对气体的密度及活塞的运动速度一定的假设条件下， 得到了激波解的整体存在性具体步骤如下： 第一步：利用g l i m m 格式的思想，构造近似解这里的问题是非齐次的初边值 问题，而一般的g l i m m 格式解决的是齐次的初值问题并且一般的g l i m m 格式只 是证明弱解的存在性，一般并不知道波的具体形式，而这里我们要求出强激波的位 置。从而这是采用的近似解的构造要复杂得多它又可以分为以下几步 ( 1 ) 在每一格内随机取点； ( 2 ) 在每一格内解问题( i i i ) ，得到自模解； ( 3 ) 在每一格点处解问题( i ) 的r i e m a n n 初值问题； ( 4 ) 沿着r i e m a n n 问题解的每一条射线解回题( i i i ) 。在其中，为了考虑扰 动产生的波和原有的渡的相互作用，引进了中心的概念 但是，在活塞的运动曲线以及主激波上，必须作另外的处理。在活塞的运动曲 线上，要将解r i e m a n n 初值问题改成解r i e m a n n 初边值问题而在主激波上，我们 采用的办法是将主激波的近似线段连接起来并且，在主激波附近，除了上面的步 骤外，还要加上下面的步骤：( 5 ) 以r i e m a n n 初值问题解中两个波的中间状态为 初值，再解一次问题( i i i ) ，得到一个自模解这样，将产生的1 一渡拉到下面一个 格点。 第二步：建立局部的相互作用估计g l i m m 格式的一个重要特点就是，将弱 解的收敛性归结为证明其全变差有界，然后通过构造近似解来估计这个全变差于 是，这个过程归结为在近似解中，用下层的全交差来估计上一层的全变差，实际 7 上就是用下一层的波的强度的绝对值的总和来估计上一层的波的强度的绝对值的 总和。我们考察这样的类空曲线，即顺次连结各随机点的线段所构成的无限长的折 线。从整个平面来看，它们是由一个个的不规则的四边形组成，我们将其称之为“菱 形”为了证明所需的相互作用估计，我们只须对当两条类空曲线之间只相差一个 顶点( 我们称后一个为前一个的直接后继) 的情况进行证明。在这种情况下，两条 类空曲线之间夹有一个菱形。我们分三种情况，即菱形在活塞的运动曲线和激波的 运动曲线之间、菱形覆盖了一部分活塞的运动曲线及菱形覆盖了一部分主激波的运 动曲线曲线三种情况进行讨论，建立了相应的估计除此之外，我们对于菱形覆盖 了一部分主激波曲线的情况，为了得到g l i m m 泛函的单调性，考察了主激波与与通 过与激波的发出点主激波的中心的直线的夹角，证畴了其单调性，并做出了估计。 第三步：建立整体的相互作用估计。正如第二步中所提到的，我们的最终目的 是要来估计弱解的全变差。在上面的局部的相互作用的基础上，下面要设法让弱解 的全变差用初始给定的资料来控制。这就是g r i m m 泛函所起的作用于是，我们构 造了g l i m m 泛函，借助于前面的局部的相互作用，证明了当初值的全变差以及所有 的弯曲的角度之和充分小的条件下，g l i m m 泛函是单调减小的。 第四步，证明收敛性。近似解的构造过程可以知道，在激波曲线和活塞的运动 曲线之间的区域被对r 轴平均分割的直线族分成很多带形区域，而在每个带形区 域中，通过在每一个格点处解r i e m a n n 问题( 初值问题或初边值问题) ，可以得到 两种类型的波：激波和中心疏散波。于是，激渡、中心疏散渡的边界以及活塞的近 似运动曲线将带形区域分成很能多小块。我们将整个积分区域分解为在这些小块中 积分，并在其中运用g r e e n 公式，将积分转化为在这些小块的边界上的积分。在这 些边界上的积分，实际上可以分为两部分一部分是在带形区域的边界的两边分别 积分( 但方向相反，因此实际上是它们的差) 为了处理这一部分，引入乘积空间 x = n 墨o ( o ，1 ) ，经过计算，可以证明其在”眦z ( x ) 的范数下收敛于零，从而存在一 个子列几乎处处收敛于零。而另一部分经过计算，是一个阶数为o ( i ) z x t 的小量 于是最终得到了收敛性我们同时验证了在由主激波近似运动曲线所得到的极限曲 线上，满足r a n k i n e h u g o n i o t 条件。 我们最后得到的结论为下面的定理。 8 定理4 1 假设b ( x ) g 。，b ( o ) = 0 ，6 ( 0 ) = 6 0 ，6 ( ) ( 0 ) = 0 ，2s 女k ， 其中k 是一个给定的整数则如果p o ，b o 和伊i b ( t ) l d t 都充分小，则问题( i i ) 存在整体的弱解。而且，存在一个关于的激波面r = s ( t ) ，它从原点出发，并且 ( p ，“) l ， 。( t ) = ( p o ，0 ) ，( p ，u ) 1 b ( t ) 0 ) 上，下面的四个关系式在( p o ，o ) 的某个邻域中 成立： ( a ) m 0 ， ( b ) p 。 0 ， ，、， d 5 0( 7 + 1 ) c o 。) 恶石2 i f ( d ) 溉历d u = 品 ( 2 ，1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 ，i 6 j ( 2 1 7 ) 证明注意到在激波的外面，气体是静止的，于是当活塞和激波之间的气体的速摩 趋于零时，激波将变成为个音速波。相应地，在这种情况下，激波的速度也趋向 1 2 于音速。这说明，l i r a 。o s o = c o 。从而，由( 2 12 ) 中的最后两式得 limp-po i，lim皇乎=pocopu c ( 2 18 )o u - - o q _ 0 、”， 另一方面， u p 。南妒一麻) p 。+ c 2 p ( p _ p 0 ) ( 2 1 9 ) 于是我们得到( 2 1 4 ) 式，并且邯和p 。在点( p ，o ) 的附近是正的。 将( 2 1 3 ) 微分两次得 ( 铲) 印= 上p o p 3 h 1 ) ( p 一册) p c 2 + 2 内舻_ 2 p o ( p 7 一露) 这样， 2 u “卯= ( u 2 ) p p 一2 ( 邯) 2 = 世掣+ 矿c 2 p o p等盟一2 p 霈o pp r 蠕一甏p 葛p o 撂。， p p o (一肼)2 p 6 ( ) 、 由直接的计算得到 觑譬粉掣= 訾，觑掣= 豢 觑瓦1 【r c 2 一丽( p 而- - 耳p o ) c 4 丽一p 2 o ( p ( p 1 - 一p p g 。) ) j 一p t - - ；m 。p o 警pp ，- m ，p o 糍p 番崭p n 筹铲 u4 p 0 i 口一i i 口r 一雕l = 一去溉笄 ：! ! ! 旦l i 。2 p o s 笔：o，2p2c2p7 4 c o p 8 p - + p o 。 从而l i r a p _ + m “印= 呼 0 。这四条益线在( “u ) 平面上的 位置如图1 1 所示。 p 5 s ? 翌一 蒜卜、墨： 图1i 1 4 2 2 二维等熵可压缩流的轴对称活塞问题 在本节中，我们将给出二维等熵可压缩流的轴对称活塞问题数学模型的详细推 导，并给出一些具体性质。 上一节中所考虑的是一维的活塞问题，本节中要将其推广到高维的情况，以二 维为例，假定在一个柱形圆壳( 即我们所称的高维轴对称活塞) 的外面，充满了给定 的气体从初始时刻开始，活塞以只依赖于半