（光学工程专业论文）洛伦兹光束在非近轴和近轴情况下的相关传输特性研究.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 光束质量和光束传输特性的研究是激光光学的一个重要领域，它能为光学系 统的设计、光束的传输变换和光束质量的控制提供理论依据。随着激光技术的发 展，双异质结半导体激光器的产生，给出了一类横向模式为洛伦兹函数表征的标 量光束一洛伦兹光束。目前主要研究的是洛伦兹光束在空间域中傍轴情况下通过 自由空间和一阶轴对称a b c d 光学系统的传输变化特性，针对洛伦兹光束在非傍轴 情况下的传输变化特性，在近场衍射中的传输变化特性，以及它通过梯度折射率 光纤时在频率域中传输变化特性的研究还未见报道。因此本文主要是对洛伦兹光 束在这三方面的基础理论进行研究，研究内容如下： 1 研究了洛伦兹光束在非傍轴情况下通过自由空间的传输变化规律。利用平 面波的角谱理论，得到了非傍轴洛伦兹光束通过自由空间的场分布表达式。基于 光强的二阶矩理论，得出了非傍轴洛伦兹光束的远场发散角、近场发散角、束腰 宽度以及光束传输因子的解析表达式，讨论了它们的变换规律。研究结果表明： 与相同束腰的非傍轴高斯光束相比，在相同条件下，非傍轴洛伦兹光束的发散角 要小于非傍轴高斯光束，其光束传输因子则大于非傍轴高斯光束，非傍轴洛伦兹 光束的远场发散角、近场发散角、束腰宽度以及光束传输因子与非傍轴高斯光束 的对应参数相比具有相似的变化规律。在束腰宽度与波长比取值符合二极管激光 器物理机制的情况下，非傍轴洛伦兹光束更符合二极管激光束的实际情况。 2 研究了洛伦兹光束在近场衍射过程中的传输特性。基于光束近场标量衍射 理论，利用傅立叶光学变换法，得出了洛伦兹光束分别作为平面光波和球面光波 发生近场衍射后在观察面上的衍射场分布，分析了这两种不同的描述洛伦兹光束 衍射场方法的关系以及洛伦兹光束发生近场衍射后的特性。利用广义瑞利一索莫菲 衍射积分，得到了洛伦兹光束作为球面光波分别在平面观察面和半球观察面上的 衍射场分布。研究结果表明：将洛伦兹光束看作叠加的平面光波并应用传输函数 得到的光束衍射场分布，与将洛伦兹光束看作叠加的球面光波并应用脉冲响应函 数所得到的光束衍射场分布是相等的；洛伦兹光束发生近场衍射后在观察面上的 光强分布是随着远轴方向逐渐减小的。 3 研究了洛伦兹光束通过一阶轴对称光学系统和梯度折射率光纤时在频率域 江苏大学硕士学位论文 中的传输变化规律。利用广义惠更斯菲涅尔衍射积分的频域形式，导出了洛伦兹 光束通过一阶轴对称光学系统和梯度折射率光纤时传输变换的解析公式。利用 w i g n e r 分布函数二阶矩的频域形式以及其传输定律，得出了洛伦兹光束的束宽、 发散角和曲率半径的解析表达式，讨论了这些参数通过梯度折射率光纤传输时的 变换规律。研究结果表明：洛伦兹光束首次通过一阶光学系统时得到的新光束具 有振幅相位调制，是非封闭性的，这与在空间域中的研究结果相同：与相同束腰 的高斯光束相比，在相同条件下，洛伦兹光束的瑞利距离比相同束腰的高斯光束 瑞利距离要大，洛伦兹光束光斑半径的扩展速度慢于高斯光束，洛伦兹光束的发 散角小于高斯光束的发散角，而且在梯度折射率光纤中传输时洛伦兹光束与高斯 光束在束宽，发散角和曲率半径这三个参数上的变化规律相同。 关键词：光束传输，非傍轴，二阶距，衍射积分，w jg n e r 分布函数，洛伦兹光束， 梯度折射率光纤 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t s t u d yo nb e a mq u a l i t ya n dp r o p a g a t i o np r o p e r t i e si sa ni m p o r t a n tr e g i o ni nl a s e r o p t i c s i tc a na f f o r dt h e o r yb a s i cf o ro p t i c a ls y s t e md e s i g n ，b e a m - q u a l i t yc o n t r o l ，b e a m p r o p a g a t i o na n dt r a n s f o r m a t i o n w i t ht h ed e v e l o p m e n to fl a s e rt e c h n i q u ea n dt h e a p p e a r a n c eo fd o u b l eh e t e r o j u n c t i o nl a s e r s ，ak i n do fs c a l a ro p t i c a lb e a m sc a l l e d l o r e n t zb e a m sb e c a u s et h ef o r mo ft h e i rt r a n s v e r s ep a t t e r ni sa ni n d e p e n d e n tl o r e n t z f u n c t i o ni sg i v e n t h ep r e s e n ts t u d yi st h ep r o p a g a t i o np r o p e r t i e sf o rl o r e n t zb e a m s p a s s i n gt h r o u g hf r e es p a c ea n df i r s t - o r d e ra x i s y m m e t r i ca b c do p t i c a ls y s t e m si nt h e c a s eo fs p a t i a ls p a c ep a r a x i a l ，f o rp r o p a g a t i o np r o p e r t i e so fl o r e n t zb e a m si nt h ec a s eo f n o n - p a r a x i a l ，i nn e a r - f i e l dd i f f r a c t i o n ，a n di nt h ec a s eo ff r e q u e n c yd o m a i nw h e n t h r o u g hg r a d e d - i n d e xf i b e ra r en o tr e p o r t e d i nt h i sp a p e r , w eh a v es t u d i e db a s i c t h e o r i e sa b o u tl o r e n t zb e a m si nt h et h r e ec a s e s ，t h em a i nc o n c e r n sa r ea sf o l l o w s ： 1 p r o p a g a t i o np r o p e r t i e so fl o r e n t zb e a m si nt h ec a s eo fn o n p a r a x i a la r es t u d i e d b a s e do nt h ea n g u l a rs p e c t r u mo fp l a n ew a v e s ，t h ew a v ef i e l de x p r e s s i o n so f n o n p a r a x i a ll o r e n t zb e a m st h r o u g hf r e es p a c ea r ed e r i v e d b a s e do nt h et h e o r yo ft h e s e c o n di n t e n s i t ym o m e n t ，t h ea n a l y t i ce x p r e s s i o n so ft h ef a r - f i e l dd i v e r g e n c ea n g l e ， n e a r - f i e l dd i v e r g e n c ea n g l e ，w a i s tw i d t ha n db e a mp r o p a g a t i o nf a c t o ro fn o n - p a r a x i a l l o r e n t zb e a m sa r ed e r i v e d ，a n dt h et r a n s f o r mc h a r a c t e r i s t i c sa r ed i s c u s s e d i ti ss h o w n t h a t ，c o m p a r i n gw i t ht h en o n p a r a x i a lg a u s s i a nb e a m sp o s s e s s i n gt h es a m eb e a mw a i s t ， o nt h es a m ec o n d i t i o n ，t h ed i v e r g e n c ea n g l eo ft h en o n - p a r a x i a ll o r e n t zb e a m si s s m a l l e rt h a nt h en o n p a r a x i a lg a u s s i a nb e a m s ，a n di t sp r o p a g a t i o nf a c t o ri sg r e a t e rt h a n t h en o n - p a r a x i a lg a u s s i a nb e a m s ，t h et r a n s f o r ml a w s o ft h ea b o v ep a r a m e t e r sf o r n o n p a r a x i a ll o r e n t zb e a m s a r ea ss i m i l a ra st h o s ef o rn o n - p a r a x i a lg a u s s i a nb e a m s i n t h ec a s eo fr a t i oo ft h ew a i s tw i d t ht ot h ew a v e l e n g t hi sa c c o r dw i t hd i o d el a s e r , t h e n o n - p a r a x i a ll o r e n t zb e a mi sm o r ei na c c o r d a n c ew i t ha c t u a l s i t u a t i o n so fd i o d el a s e r b e a m s 2 p r o p a g a t i o np r o p e r t i e so fl o r e n t zb e a m si nn e a r - f i e l dd i f f r a c t i o np r o c e s sa r e s t u d i e d b a s e do nt h en e a r - f i e l ds c a l a rd i f f r a c t i o nt h e o r ya n df o u r i e rt r a n s f o r mt h e o r y , t h ed i f f r a c t e dw a v ef i e l do nt h eo b s e r v a t i o np l a n eo fl o r e n t zb e a m sw h i c hc a nb e r e p r e s e n t e d a s p l a n e w a v e sa n d s p h e r i c a lw a v e sa r e d e r i v e dr e s p e c t i v e l y , t h e r e l a t i o n s h i po ft h et w od i f f e r e n tm e t h o d sf o rd e s c r i b i n gl o r e n t zb e a m si nn e a r - f i e l d 江苏大学硕士学位论文 d i f f r a c t i o na n dt h en e a r - f i e l dd i f f r a c t e dp r o p e r t i e sa r ea n a l y z e d b a s e do nt h eg e n e r a l r a y l e i g h - s o m m e r f e l dd i f f r a c t i o nf o r m u l a ，t h ed i f f r a c t e dw a v ef i e l do fl o r e n t zb e a m s r e p r e s e n t e da ss p h e r i c a lw a v e s o nap l a n ea n do n ah e m i s p h e r ea r ed e r i v e d i ti ss h o w n t h a t ，t h ed i f f r a c t e dw a v ef i e l do fl o r e n t zb e a m sr e p r e s e n t e da ss u p e r p o s i t i o np l a n e w a v e sb yu t i l i z i n gt r a n s f e rf u n c t i o n ，i s e q u i v a l e n t t ot h ed i f f r a c t e dw a v ef i e l d r e p r e s e n t e da ss u p e r p o s i t i o ns p h e r i c a lw a v e sb yu t i l i z i n gi m p u l s er e s p o n s e ；t h ei n t e n s i t y d i s t r i b u t i o no nt h eo b s e r v a t i o np l a n ei sd i m i n i s h e dg r a d u a l l yv e r s u s i n gt h ed i r e c t i o nf a r f r o mt h ea x i s 3 p r o p a g a t i o np r o p e r t i e so fl o r e n t zb e a m sp a s s i n gt h r o u g haf i r s t - o r d e ro p t i c a l s y s t e ma n dg r a d e d - i n d e x f i b e ri n f r e q u e n c yd o m a i na r e s t u d i e d b a s e do nt h e f r e q u e n c i e df o r mo fg e n e r a l i z e dh u y g e n s - f r e s n e ld i f f r a c t i o ni n t e g r a l ，t h ea n a l y t i c p r o p a g a t i o ne x p r e s s i o n si nf r e q u e n c yd o m a i nf o rl o r e n t zb e a m sp a s s i n gt h r o u g ha f i r s t o r d e ro p t i c a ls y s t e ma n dg r a d e d i n d e xf i b e ra x ed e r i v e d b a s e do nt h ef r e q u e n c i e d f o r mo fs e c o n d m o m e n t so fw i g n e rd i s t r i b u t i o na n di t sp r o p a g a t i o nl a w , t h ee x p r e s s i o n s o ft h eb e a m - w i d t h ，t h ed i v e r g e n c ea n g l ea n dt h er a d i u so fc u r v a t u r eo fl o r e n t zb e a m s a r eg i v e n ，a n dt h et r a n s f o r mc h a r a c t e r i s t i c si ng r a d e d i n d e xf m e ra r ed i s c u s s e d i ti s s h o w nt h a t ，t h ee x p r e s s i o n so ft h eb e a m w i d t h ，t h ed i v e r g e n c ea n g l ea n dt h er a d i u so f c u r v a t u r eo fl o r e n t zb e a m sg i v e ni nf r e q u e n c yd o m a i na r ea st h es a m ea st h o s ei n s p a t i a ld o m a i n ，c o m p a r i n gw i t ht h eg a u s s i a nb e a m sp o s s e s s i n gt h es a m eb e a mw a i s t ， o nt h es a m ec o n d i t i o n ，t h er a y l e i g hd i s t a n c eo fl o r e n t zb e a m si sl a r g e rt h a nt h a to f g a u s s i a nb e a m s h o w e v e r ，t h ee x p a n s i o ns p e e do ft h eb e a m w i d t ho fl o r e n t zb e a m si s l o w e rt h a nt h a to fg a u s s i a nb e a m sa n dt h ed i v e r g e n c ea n g l eo fl o r e n t zb e a m si ss m a l l e r t h a nt h a to fg a u s s i a nb e a m s m o r e o v e r ，t h et r a n s f r o ml a w so ft h ea b o v ep a r a m e t e r sf o r l o r e n t zb e a m sa r ea st h es a m ea st h o s ef o rg a u s s i a nb e a m s p a s s i n gt h r o u g h g r a d e d - i n d e xf m e r k e yw o r d s ：b e a mp r o p a g a t i o n ，n o n - p a r a x i a l ，s e c o n d o r d e rm o m e n t s ，d i f f r a c t i o n i n t e g r a l ，w i g n e rd i s t r i b u t i o n ，l o r e n t zb e a m ，g r a d e d i n d e xf i b e r i v 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学位保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密回。 学位论文作者签名：弓长7 沈 为f o 年6 月1 0e l 指导教师签名：_ 勺 lo 年g 只f e l 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：弓长7 阮 日期：为i 口年6 月f oe l 江苏大学硕士学位论文 1 1国内外研究现状 第一章绪论 1 9 6 0 年世界上第一台红宝石激光器的问世使得高功率密度的一类强光束成为 现实，这是光学领域的一个重大性突破。自此几十年来，各种类型的激光器和激 光控制技术接二连三地发明出现，例如半导体激光器、固体激光器、气体原子激 光器、气体离子激光器、自由电子激光器等等【1 1 。与此同时，应用激光形成了一系 列的交叉学科和应用领域，如信息光电子学、激光医疗、激光加工、激光检测与 计量、非线性光学、激光化学等。在这些强激光技术及应用中，对激光光束的研 究和控制【2 】是非常关键和重要的一部分，是当今激光技术发展的一个重要研究领 域。 一般而言，光束是指以小的发散角定向传输的光频电磁波。激光是指方向性 好、单色性好、相干性高和亮度高的一类光源。针对激光束的研究主要是研究它 通过各类光学系统( 成像、非成像光学系统，轴对称和非轴对称光学系统等) ，以 及各类介质( 均匀和非均匀介质、各向同性和各向异性介质等) 时，在傍轴与非 傍轴情况下的传输变换规律，从而达到光束控制的目的。任何激光系统都是由一 些基本的光学系统，如自由空间、透镜系统、激光介质、光阑等组成的。作为基 础理论研究，对激光束在这些常见光学系统中传输的研究是非常必要的。一阶光 学系统【3 】代表着广泛使用的一类光学系统得到了广泛的研究【4 卜洲。自从由脉冲响 应函数表达的广义瑞利一索莫菲衍射积分【捌和由光学系统传输矩阵参数表达的广 义惠更斯一菲涅耳衍射积分给出之后【凋，有关激光光束在不同情况下通过各种光 学系统传输变换的研究更加广泛【勿。1 3 2 】。 目前，国内外对光束传输变换特性的研究已建立了较完善的基础理论方法。 常见的研究方法有【2 】，【3 3 】： ( 1 ) 几何光学方法【3 4 】当波长趋于o ( 几何光学近似成立) 时，光的波动性 居于次要地位，可用几何方法把光看作光线来处理。几何光学方法是以费马原理 为基本原理，以光线的直线传播定律、反射和折射定律为基础，用几何方法来研究 光线的运动轨迹。它主要用来研究几何成像、光线传输及像差分析等方面的问题。 f 、 江苏大学硕士学位论文 常用的几何光学方法有光线方程、透镜几何成像的高斯公式和牛顿方程等。在研 究光束传输变换特性的各种方法中，以几何光学方法最为直观。 ( 2 ) 矩阵光学方法【3 5 】矩阵光学方法是用矩阵代数来研究光学问题的方法， 最初本质上并没有超出几何光学的范畴。但随着激光器的问世和激光技术的发展， 矩阵光学方法拥有了更丰富的内涵。使用矩阵表述，可以把激光束通过光学系统 的行为用一个变换矩阵( 即a b c d 传输矩阵) 来描述。激光束参数在光学系统中的 传输满足著名的a b c d 定律。此外，矩阵光学方法还可用来处理光学谐振腔的基本 问题，如模式参数公式、光学谐振腔稳定性等。矩阵光学方法的最大优点是形式 简明、规范，便于使用计算机进行处理。 ( 3 ) 波动方程方法【3 3 】亥姆霍兹方程是研究光波传输的基本微分方程。方程 的求解必须与初始条件和边界条件相联系，较为复杂。波动方程可用于研究强激 光在大气中的传输、强激光在脉冲放大器中的传输、激光在波导和光纤中的传输 等。 ( 4 ) 广义衍射积分法【2 5 】，陋】，【3 6 】广义衍射积分法有瑞利一索莫菲衍射积分法 和惠更斯一菲涅耳衍射积分法。瑞利一索莫菲衍射积分法是由通过自由空间传输函 数得到的脉冲响应与初始光波场的卷积所得到的广义瑞利一索莫菲衍射积分公式， 来研究光在近场衍射过程中的传输特性。它主要研究的是光在远轴条件下的传输 变换，采用的是标量近似。惠更斯一菲涅耳衍射积分法也即柯林斯( c o l l i n s ) 公 式法【硐，是把复杂光学系统的衍射积分与光学系统的传输矩阵有机的结合起来，从 而将研究自由空间中光传输的惠更斯一菲涅耳衍射积分公式推广到研究光在a b c d 矩阵所描述的光学系统中传输的衍射积分公式。因此，它实质上是衍射积分法与 矩阵光学方法结合的产物，它也使用了标量近似。原则上，光束通过光学系统( 有 光阑和无光阑，近轴近似) 的传输变换都可以用它来统一加以处理。 ( 5 ) 傅立叶光学法【3 6 】傅立叶光学法的基本思想是用空间频谱概念来研究光 传输和成像中的信息提取和分析问题。由于傅立叶级数、傅立叶积分和傅立叶变 换这套数学工具使用的方便性，以及傅立叶光学对空间频谱和光学滤波等问题的 详尽分析，使傅立叶光学法在光束传输变换研究中仍具有很大的应用。在数学上， 直角坐标系中的广义衍射积分公式可表示为傅立叶变换公式，通过目前发展成熟 的快速傅立叶变换，可对某些大型光学系统中的光束传输问题进行快速处理。 江苏大学硕士学位论文 ( 6 ) 魏格纳( w i g n e r ) 分布函数法【3 7 】w i g n e r 分布函数同时描述了光束在空 间域和频率域中的性质，并与几何光学对光线的描述有类似之处。光束的w i g n e r 分布函数和光束的场分布函数从不同的角度等价的描述了光束的性质。基于 w i g n e r 分布函数的二阶矩方法1 3 8 1 1 4 4 l 是w i g n e r 分布函数方法的重要应用。1 9 3 2 年 w i g n e r 在量子力学中引入和使用w i g n e r 分布函数【4 5 1 ，1 9 6 8 年w a l t h e r 蛔为了联 系部分相干与辐射将w i g n e r 分布函数引入光学。自此以后，w i g n e r 分布函数在光 学研究中得到了广泛的应用，特别是研究光束通过一阶光学系统的传输变换规律 【卅。【钙】。它传输定律形式极为简单。现已成为研究光束传输的非常有用的工具。特 别是在处理无光阑情况下复杂像散并同时有扭曲的光束传输时，w i g n e r 分布函数 方法比其他处理方法更有优势，它可将复杂的积分公式变为简明的矩阵代数公式， 大大降低了计算难度且更便于计算机处理。 ( 7 ) 光束质量因子法【3 3 】激光光束质量在激光束描述及控制中是一个非常重 要的指标，如何描述光束质量已成为激光技术领域关注的一个热点。它在激光的发 展过程中，曾针对不同的应用目的提出来不同的评价参数，包括聚焦光斑尺寸、远 场发散解、斯特列尔比( s t r e h l ) 、光束参数乘积、m 2 因子等【3 3 】，【3 4 】。但在一个较长 的时期光束质量都没有得到确切的表述。2 0 世纪9 0 年代初s i e g m a n | 4 9 】对m 2 因子提 出较为完整的理论。国际标准化组织( i s o ) 举行多次会议研讨激光参数定义、测量 方法和激光束的描述等问题。目前，针对光束质量的研究仍是十分活跃的领域。 1 2 洛伦兹光束介绍及现状 洛伦兹光束是指在源平面上横向模式为洛伦兹函数表征的一类标量光束，它 是非高斯型的光束，是构成新一类正交近轴场的基础之一。早在1 9 7 5 年d u m k e 利 用洛伦兹分布描述了双异质结半导体激光器中光束的发散特性【5 0 1 ，1 9 9 0 年n a q w i 利用洛伦兹分布描述y - - 极管激光束的聚焦特性【5 1 1 ，但他们都没有明确给出洛伦 兹光束的模型。2 0 0 6 年和2 0 0 7 年e lg a w h a r y 相继引入洛伦兹光束( l o r e n t zb e a m s 简称“l b ) 和超洛伦兹光束( s u p e r l o r e n t i z a nb e a m s 简称“s l b ) 5 2 】，【5 3 1 ，并 利用傅立叶变换的方法导出了洛伦兹光束和超洛伦兹光束通过自由空间的传输变 换公式。2 0 0 7 年陆群英等人导出了洛伦兹光束和超洛伦兹光束通过a b c d 光学系统 的传输变换公式【5 4 1 ，给出了光束质量相关参数的表达式和变换规律。 江苏大学硕士学位论文 目前为止，主要是对洛伦兹光束在空间域中傍轴情况下通过自由空间和一阶 轴对称a b c d 光学系统的传输特性进行研究，针对洛伦兹光束在非傍轴情况下的 传输变化特性，在近场衍射过程中的传输变化特性，以及通过梯度折射率光纤时 在频率域中传输变化特性的研究还未见报道。本文综合运用傅立叶光学法、强度 二阶距法、广义衍射积分法、光学矩阵法以及魏格纳分布函数法，对洛伦兹光束 在非傍轴情况下的传输变化，洛伦兹光束在近场衍射中的传输变化，以及洛伦兹 光束通过一阶轴对称光学系统和梯度折射率光纤时在频率域中的传输变化进行了 研究。 1 3 本课题的研究意义 通过对洛伦兹光束的相关传输特性作深入细致的研究，并利用强度二阶矩法 和w i g n e r 分布函数法研究它在不同情况下的光束参数变化规律，一方面可为其它 光束的研究提供理论参考，另一方面可为今后的进一步深入研究和实际应用作好 铺垫。 1 4 本论文的主要研究内容和安排 本论文的主要内容分为两部分。 第一章和第二章为第一部分，介绍现有的与本论文研究内容相关的工作。 第一章绪论：对洛伦兹光束的概念、现状及发展进行了介绍，对光束传输的 研究现状和研究方法进行了概述。此外，说明了本论文的研究意义和主要研究内 容。 第二章基础理论：介绍了二极管激光器和梯度折射率光纤有关光束传输变换 的性质，光束在非傍轴条件下和在近场衍射中的传输特性，以及与本论文研究内 容相关的光束传输的研究方法。 第三章至第六章为第二部分，主要为论文作者的工作。 第三章：根据平面波的角谱理论，利用傅立叶变换研究洛伦兹光束在非傍轴 情况下的传输特性，并用强度二阶矩法研究了洛伦兹光束相关参数在非傍轴情况 下的传输变换规律。 第四章：根据瑞利一索莫菲标量衍射理论，利用傅立叶光学变换法研究洛伦兹 江苏大学硕士学位论文 光束分别作为平面光波和球面光波在近场衍射过程中的传输特性，以及洛伦兹光 束作为球面光波分别在平面观察面和球面观察面上的衍射特性。 第五章：根据广义菲涅尔衍射积分法的频域形式研究洛伦兹光束通过一阶轴 对称光学系统和梯度折射率光纤时在频率域中的传输特性，并用w i g n e r 分布函数 的二阶矩及其传输定律研究洛伦兹光束的相关参数在梯度折射率光纤中的传输变 换规律。 第六章对本文的主要研究工作进行了总结，并指出需进一步研究的工作。 江苏大学硕士学位论文 第二章基础理论 弟一早 荃臼函埋下匕 本论文中对光束传输变换的研究主要有三方面：第一，结合二极管激光器对 光束在非傍轴近似条件下的传输变换特性进行研究；第二，对光束在近场衍射过 程中的传输变换特性进行研究；第三，结合梯度折射率光纤对傍轴近似条件下光 束在频率域中的传输变换特性进行研究。因此，本章节首先对二极管激光器和梯 度折射率光纤与光束传输变换相关的情况和性质作一介绍，然后对光束在非傍轴 条件下传输变换的情况和性质以及光束在近场衍射过程中用于研究光束传输变换 情况的方法作了介绍，最后介绍本论文所采用的主要光束传输变换的研究方法一 傅立叶光学法，强度矩法，衍射积分法，w i g n e r 函数法。本论文中此后章节所 使用的函数、变量的名称、符号若无特别说明均按照本章定义，不再进行重复 说明。 2 1 二极管激光器和梯度折射率光纤有关光束传输变换的情况和性质 2 1 1二极管激光束的数学物理模型 二极管激光器作为一种重要的激光光源，具有价格低廉，尺寸小，易于操作 的优点，在激光精密测量、激光打印、激光治疗等领域有着广泛的应用【5 5 】。在所 有这些应用当中，针对二极管激光束数学物理模型的选取，要求不仅要便于研究 二极管激光束的传输变化情况，而且还要与二极管激光束的实际情况相符合。二 极管激光束的数学物理模型可以表示出光束横截面上在焦点附近的强度分布以及 相位分布。 对于二极管激光器所发出光束的远场分析研究，是可以利用麦克斯韦方程组 进行研究的。用这种方法所分析的结果虽然与实际测量的光束强度相符合，但是 其过于复杂的数学形式，限制了它们在实际当中的计算和应用。目前广泛使用一 种高斯型分布来描述二极管激光器，它具有数学形式简单，便于计算和分析的优 点。但是这种模型也有它的不足之处。虽然高斯型分布能准确的描述平行于二极 管激光器p n 结的场分布，但是它并不适合表示垂直于p n 结方向的场分布。d u m k e 提出了一种新的模型一洛伦兹型分布，相比高斯型分布它能更好的描述垂直于p n 结方向的场分布。洛伦兹型场分布适用于描述一类应用十分广泛的双异质结激光 江苏大学硕士学位论文 器( d h ) 【5 1 1 ，这类二极管激光器受激物质作用层厚度的数量级为0 1 , u m ，其所发 出光束的波长范围为u0 8 a m 。另外，由于垂直于结方向的发散场十分大，以至 于在二极管激光器出口前的镜头不能把所有发射出的光束会聚，会聚的光束是截 断的，高斯型分布是不能描述这种情况的。因此，洛伦兹型分布比高斯型分布更 符合二极管激光束的实际情况，利用菲涅尔衍射积分它能够更便捷的计算聚焦场 分布。 2 1 2 梯度折射率光纤的光束变换矩阵 梯度折射率介质是一种折射率空间分布不均匀的光学介质。梯度折射率光纤 是最典型的一种，这种光纤的折射率沿光纤径向以半径的平方规律变化【5 6 1 ，即 厅 ，y ，z ) = 一鲁 2 + ) ，2 ) ( 2 1 1 ) 式中表示x 、y 为零的光纤轴线上的折射率，n 2 为折射率的横向梯度系数。因为 这种折射率分布是轴对称的，所以又可表示为 刀( ，) = 一i 1h 2 ，2 ( 2 1 2 ) 光线在这种具有径向折射率梯度的光纤中传播，其传播方向总有一个变化量 坐：一生，使光线向光纤轴心方向偏折，类似于透镜的会聚作用。所以常把这种 韶，k 光学介质称为内透镜介质，用梯度棒制作微透镜。 近轴条件下，可以将式罢( ，z 塞) = 罢( ，z 害 = v 疗近似表示为 要r 妾 ：一v n ( r ) ( 2 1 3 瓦l 石j 2 屺 副 这里我们用导近似代替导，用坐标，近似代替位矢r 一。梯度折射率光纤内的光线 宓嬲 微分方程为 d 2 了r + n z ，：0 ( 2 1 4 ) 选择z = 0 4 硷为光线入射面，入射光线基矢为，i ，呸，方程( 2 1 4 ) 的解为 江苏大学硕士学位论文 其光束变换矩阵为 心叫居 巧+ 肛( 居卜 坫， 口( z ) = 乏d r 一扣( 居卜s ( 居卜 m = c o s ( 居 一肛( 居) 2 2 光束在非傍轴条件下以及在近场衍射中的传输特性 2 2 1 光束在非傍轴近似条件下的传输特性 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 考虑一束单模激光束在i 司性、i 司向的电介质中传输，在标量光束传输理论中， 光束可以由一个满足亥姆霍兹波动方程的单一标量场来描述【5 7 1 a u + ( 2 n a ) 2 u = o ( 2 2 1 ) 我们假定光束沿着z 轴方向传输，设光束的场分布为u = u ( ，z ) ，其中，为径向柱 坐标。 设在z = o 平面光束的场分布为u = c 厂( ，0 ) ，令彳( p ，o ) 为u ( r ，0 ) 的二维傅立叶 变换。由此从亥姆霍兹公式中我们可以得出u ( r ，z ) 的傅立叶变换a ( p ，z ) 为 a ( p ，z ) = a ( p ，o ) e x p 2 万i ( 1 2 2 ) 2 小p 1 2 ) ( 2 2 2 ) 根据逆傅立叶变换，可得光束在z 处的场分布为 居习 ，。一rr卜肿层 压 江苏大学硕士学位论文 ) 勘了 ，o ) e 万i ( 1 a 2 - p 2 v ( r , z d p p a ( p x p2 z i ( 1 2 1 ) 啦z j o ( 2 万p ，) ) = 2 万 ，o ) e 1 ) 啦zi 万，) o 一一 + 2 万j d p p a ( p , o ) e x p l - 2 z ( p 2 1 2 2 ) 坭zi j o ( 2 万) 1 五 。 一 ( 2 2 3 ) 其中厶为第一类零阶贝塞尔函数。( 2 2 3 ) 式中的u 代表叠加的平面波场分布，式 中第一个积分表示的是相同性质的平面波沿从9 0 0 到9 0 0 之间的任意角度传输，第 二个积分表示的是不同性质或倏逝的平面波以z 的指数函数形式消逝。根据这个性 质，我们知道只有光束场分布u ( ，z ) 中z = o 时倏逝波才存在。根据( 2 2 2 ) 式和 ( 2 2 3 ) 式可以得到光束从平面知传输到平面z 的表达式 a ( p ，z ) 口彳( p ，z r ) e x p l 2 z i ( 1 a 2 一p 2 ) 们( z 一磊) ( p 1 名) ( 2 2 4 ) u ir , z ) ：2 石1 ，2 ，) e x 玎7 i1 2 , 2 - - p 2 , d p p a ( p 2 z i ( 1 2 , 们( z 吃) k ( 2 万) u i ) = 2 石， ，) e x p i 2 ( z 吃) k ( 2 万) 0 - ( 2 2 5 ) 式( 2 2 4 ) 和式( 2 2 5 ) 表示的是非傍轴标量光束从一个平面出发在自由空间传 输一段距离z 后的场分布。当式( 2 2 3 ) 中( 1 2 , 2 - - p z ) 1 2d ( 1 一五1 几42 p 2 ) 五，并且 积分限转化为无限积分时式( 2 2 3 ) 表示的是傍轴近似的情况。 下面我们来介绍一下非傍轴标量光束的参数表达式。这其中最重要的是由光 束横向场分布的二阶矩所定义的光束束宽，对于非对称的光束可以在横截面上任 意方向定义光束宽度，而对于不变的光束，我们可以定义一个确定方向的光束宽 度，例如x 方向。 形2 ( z ) 2 雨4k 州懈) 1 2 = 南p 3 z ) 1 2 ( 2 2 6 ) 式( 2 2 6 ) 是光束宽度的表达式，其中a x , 兰出咖。 p ( z ) = 卜电i u o ，z ) 1 2 = 2 z 弘打i u o ，z ) 1 2 ( 2 2 7 0 江苏大学硕士学位论文 式( 2 2 7 ) 为光束的强度表达式。 根据傅立叶变换的性质，式( 2 2 6 ) 和( 2 2 7 ) 可以化为 喇= 厕1 j d p p 掣1 2 q 2 剐 p ( z ) = 2 万d p p i a ( p ，z ) 1 2 ( 2 2 9 ) 上两式中的积分上e l 2 意味着倏逝波可以忽略不计，例如z 口2 时。 将式( 2 2 4 ) 代入式( 2 2 8 ) 和( 2 2 9 ) 中，我们发现光束的强度是保持不变的， p ( z ) = p ( z r ) - p ，同时光斑半径形( z ) 表示的是双曲线，如下式所示 晔) = h 小2 卜) 甜+ ( z 叫2 伽2 岛 - ( 2 2 加) 南2 本而n n 了咖布并掣州胪，汜2 m ， 式( 2 2 1 1 ) 表示的是非傍轴光束的有效束宽或者傍轴光束的曲率半径。 协2 岛= 南1 南z ) 1 2 汜2 舷， 式( 2 2 1 2 ) 表示的是光束的发散角。式( 2 2 1 0 ) 表示的是光束从平面传输一 段距离z 后到任一平面的光束宽度，在这个平面上的光束参数分别为w ( z r ) 、 r ( ) 和m o o 。 从式( 2 2 1 0 ) 可以得出束腰平面的位置为 = 一面w 而2 ( z 而r ) ( 2 2 1 3 ) 束腰平面的光束宽度为 圳小痞路厂 汜2 “， 与束腰平面相距为z 处的光束宽度为 w 2 ( z ) = 孵+ ( z z o ) 2 t a n 2o o ( 2 2 1 5 ) 非傍轴标量光束的光柬传输因子为 江苏大学硕士学位论文 m 2 = q 以- w o ( o ) m e o ( 2 2 1 6 ) n 由式( 2 2 1 6 ) 可知要想提高光束的传输质量就必须尽量的减小束腰宽度以及光束 的发散角。 2 2 2 光束在近场衍射中的传输特性 建立三维直角坐标系o x y z ，z 轴沿光束的传输方向瞄1 ，令 三：要，多：要，三：要， ( 2 2 1 7 ) x 2 万) ，2i z 。万 ( 2 2 1 7 ) 三维直角坐标系似弦按比例转化为d z ay az a ，三轴沿光束的传输方向。设在三维直角 坐标系d 工y z 中z = 0 处的平面为昂，我们用砜o ，y ，0 ) 表示平面光波在平面昂上的 场分布。设在三维直角坐标系d 三多三中与平面昂相距为三的平面为p ，平面光波从 平面昂出发，在自由空间发生近场衍射后传输到平面p 上的光波标量场分布用 u “ay a ，z a ) 表示。分别用a ，o ) 和