（基础数学专业论文）riemann流形中特征值及desitter空间中超曲面.pdf

摘要 本文分为四章，第一章讨论了e i ! 里i 塑远形第一特征值的下 界估计问题，用一种不同于传统的梯度估计的新方法塑盒应法 给出了一个新的估计，并解决了一个十年悬而未决的猜想第二章 则重点讨论了球面上全脐点子流形的等谱问题，证明了在绝大多数 情况下，与全测地超球面等谱的全脐点子流形是全测地的。第三章 指出了发表在j o u r n a lo fg e o m e t r ya n dp h y s i c s 的一篇文章的 错误，并对其进行改正后，得到一些刚性定理第四章给出了d e ! 坠竺至同中塑睦亘的一个内蕴不等式，并证明了此不等式等号成 立的充要条件是超曲面是全测地的。 i i i a b s t r a c t t h e r ea r ef o u rc h a p t e r si nt h i sp a p e r i n c h a p t e ri ，w ed i s c u s s e dt h e e s t i m a t eo ft h el o w e rb o u n do ft h ef i r s t e i g e n v a l u eo fr i e m a n n i a n m a n i f o l d s b yu s i n go fan e wm e t h o d c o u p l i n gm e t h o di n s t e a d o ft h et r a d i t i o n a lg r a d i e n te s t i m a t e ，w eg a v eo u to n en e we s t i m a t e a n dp r o v e dac o n j e c t u r ep o s e dt e n y e a r sa g o i nc h a p t e ri i w e m a i n l yd i s c u s s e dt h ei s o s p e c t r u mo ft o t a l l yu m b i l i c a lh y p e r s u r f a c e s w i t ht o t a l l yg e o d e s i ch y p e r s u r f a c e so nas p h e r e w ep r o v e dt h e y a r ei s o m e t r i ci nm o s tc a s e s i nc h a p t e ri i i ，b yu s i n gc h e n g - y a u s s e l g a d j o i n to p e r a t o r 口w es t u d yt h es p a c e l i k eh y p e r s u r f a c e si nt h e d es i t t e rs p a c ea n do b t a i ns o m e r i g i d i t yr e s u l t s t h e nw ep o i n t e d o u ts o m ep r o b l e m si n 1 s j i n 1 8 ，t h ee r r o r sa t e q u a ( 3 2 ) a n d ( 4 4 ) i n f l u e n c e dt h ec o n c l u s i o no ft h e o r e m3 1 ，c o r o l l a r y31a n d t h e o r e m3 2i n 【l g j i nc h a p t e ri v ，w eg a v eo n ei n t r i n s i ci n e q u a l i t y f o rs p a c e l i k eh y p e r s u r f a c e si nd es i t t e rs p a c ea n das u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rs u c hh y p e r s u r f a c e st ob et o t a l l yg e o d e s i c 1 v 序言 特征值估计是一个经典的重要问题，很多著名的数学家如丘成桐，郑绍远 等对它的发展做出了重要的贡献其中丘成桐引入了梯度估计的办法，对特征 值( 特别是第一特征值) 的估计提供了一个非常有效的分析上的办法。国内杨 洪苍等人的工作主要就是延续丘成桐的做法，得到了很多优秀的估计。然而梯 度估计也有其局限性，特别是随着人们对实验函数和不等式估计的不断的改 进，用梯度估计得到新的好结果的困难也越来越大最明显的例子是【5 1 那 么人们自然就会去寻找一个新的有效方法陈木法等人在用概率论的方法研 究特征值问题时，得到了一个一般公式其优点是每给定一个试验函数，就会 有一个估计。结果发现这个一般公式不仅能够很容易的得到以前梯度估计所 得到的结果，而且还可以产生很多原来意想不到的结果本文作者就是在这样 的一个背景下，对第一特征值的估计进行了研究，结果非常幸运的解决了十年 前杨洪苍提出的一个优美的猜想。 等谱问题一直就是谱理论中的一个重要问题大家所广泛接受的一种研 究方法就是对两个等谱的流形先进行m i n a k s h i s u n d a r u m p l e i j e l g a f f n e y 渐进 展开。然后对比两边的系数，得到一些等式。通过对流形加一些条件( 一般是 对些几何量) ，然后通过对那些等式的运算而最终证明两个流形是等距的。 例如f 7 】， s t ， 9 】就是运用的这种方法对一些特殊流形进行了研究本文对球面 中的全脐点子流形进行了研究，发现在大多数情况下，等谱就意味着等距 近几年物理届掀起了计算宇宙常数的热潮，他们认为宇宙空间其实是一 个渐进d es i t t e r 空间很自然的对d es i t t e r 空间的研究就成了一个热门问 题d es i t t e r 空间从定义上似乎对应着r i e m a n n 空间中的球面，但它却具有 一些很特殊的性质，比如d es i t t e r 空间中的极大超曲面一定是全测地的等 在2 0 年前，数学家就已经对d es i t t e r 空间，更一般的对m i n k o w s k i 空间进 行了一些研究。最著名的当属g o d d a r d 猜想，即：d es i t t e r 空间中具有常平 均曲率的超曲面一定是全脐点的。在经过了很多人的努力下，证明这个猜想只 在某些条件下成立，并得到了一些最优的刚性结果本文的第三章也给出了一 些类似的结果那么我们能不能找到些几何量的关系来做为d es i t t e r 空间 中超睦面是全脐点或全测地的充要条件呢? 这也是我们所关心的问题，本文 第四章中就给出了这样的一个条件，并得到了一个内蕴的不等式。在宇宙常数 的研究中，不等式的作用要大于等式的作用 1 第一章紧r i e m a n n 流形上第一特征值估计 1 1 前言 考虑紧r i e m a n n 流形m 上的拉氏算子，它的谱是离散的：0 = a o 0 ，双曲流形 0 n 一1 7 一 p h b e r a r d ，gb e s s o n ，s g a l l o t ( 1 9 8 5 ) m 瓦fo2 c o s m - j t d t 2 伽，k ：m 一1 。 l ；j c o s m l t d t j 。1 ”。一 p l i ，st ，y a u ( 1 9 8 0 ，孚伟光干口丘戚俐) 磊，k 0 j qz h o n g ，h c y a n g ( 1 9 8 4 ，钟家庆和杨洪苍) 万7 r 2 ，k 。 p l i ，s ty a u ( 1 9 8 0 ，李伟光和丘成桐) 而了而寺丽，k 。 中国科学技术大学硕士学位论文 3 筹+ k ，k o ) ，d 是m 的直径，则a l 芝事一o 5 2 k 若还满足k 浮，则 a l 一专k 此定理表明当k 释时，猜测( 1 1 ) 成立。本文在此基础上，利用 6 中的变分公式，完全证明了猜测( 1 1 ) ，而且给出了第一特征值的一个新的下 界估计主要结果如下： 定理1 1 设紧r i e m a n n 流形m 的r i c c i 曲率- k ( k = c o n s t 0 ) d2 m 的直径，则a ，簪 1 + ( 舁鲁) ( e x p ( k d 2 ) 一1 ) 定理1 2 设紧r i e m a n n 流形m 的r i c c i 曲率一k ( k = c o n s t 0 ) d 为m 的直径，则a - 孑7 r 2 5 k 。 1 2 预备知识 设r i c m 一k ，k r ，令k ( y ) = i n ， r ：h e s s v r i c m r ) 以 c u t ( x ) 记x 的割迹，分别以m ，d 和p 表示流形的维数，直径和r i e m a n n 距 离。 定义a ( r ) = s u p 十 ： p ( x ，) = r ，y 隹c 扎t ( z ) ) ，r ( 0 ，d 约定a ( 0 ) = 0 此夕r ，记k + = m a x o ， ，k 一= ( 一k ) + ，并选取7 e ( o ，d ) ，使得7 ( r ) m z n k ( 矿) r ， 2 瓦可硼t a n h 眨 币筹与 一2 瓦1 丽t a n 暖、巧篆葛】+ n ( r ) ) 令 c ( r ) = e 印法层7 ( s ) d s 陈木法、王凤雨从概率中的耦合方法得到如下变分公式，详细证明参见 6 】。 定理b 【6 任给f c ( o ，d ) ，满足f l ( o ，d ) 0 ，有l = + v v 的第 2 0 0 2 年中国科学技术大学硕士学位论文 5 一特征值 a - 独礼f r e ( o , d ) m ) z 7 ) 。1 d s ，d c ( u ) m ) d u ) ，( 1 3 ) 据此，我们得到如下引理： 引理1 1 设紧r i e m a n n 流形m 的r i c c i 曲率一k ( k = c o n s t 0 ) ， d 为m 的直径，任给f c ( o ，d ) ，满足n o ，d ) 0 ，则有l a p l a c e 算子的 第一特征值 a 。4 z n f t e ( o , d ) ，( r ) ：e z p ( 一百1 k s 2 ) d s ，4e z p ( ；k “2 ) ，( “) d “) 一1 ( 1 4 ) 证明令v = 0 ，则h e s s v = 0 由r i c m 一k 及k ( v ) = i n f r ： h e s s y r i c msr ，得k ( v ) k 令，y ( r ) = k r ，显然，y ( r ) = k r2 k ( v ) r r a i n k ( v ) 哪征砺可t a 曲叫南】- 2 雨币两t a n 眨、巧筹葛 + n ( r ) ) c ( r ) = e 印睦片，y ( s ) d s = e x p r 2 ) r 【0 ，d 由( 1 3 ) 立得结论，证毕 引理1 2 设，g ： a ，b 一r 是可积函数，且一个单调增，一个单调减 设p ： a ，b 】- r 是一个正的可积函数，则 z 6 p ( z ) ，( z ) 9 ( z ) d zz 6 p ( z ) d z 冬z 6 p ( 。) ，( z ) d 。z 6 p ( z ) 9 ( z ) d z 证明 。；z 6z 6 i f ( z ) 一，( y ) g ( z ) 一目( ) 】p ( z ) p ( ) d z d = ，6 p ( z ) ，( z ) 9 ( z ) d zz 6 p ( z ) d z z 6 p ( 茁) ，( z ) z 6 p ( z ) 9 ( z ) d z 证毕 2 0 0 2 年中国科学技术大学硕士学位论文 6 引理1 3 琴一z s i n x c o s xs ( 吾一1 ) c o s x ，z 0 ，琴 证明此不等式等价于琴一xs i n z 一等c o s z 0 令9 ( 。) = 等一z s i n z 一 蓦c o s x ，则9 ( o ) = g ( 薹) = 0 9 ( z ) = 一s i n x xc o s x + 薹s i n x = c o s z ( 3 1 ) t a n z z ，z ( 0 ，萼) 令 ( z ) = ( 三一1 ) t a n x z ，z ( o ，写) 易见，存在唯一一点( o ，薹) ， 使得h l ( o m ) 0 ，h i ( t o , 再) o 则9 i ( o 。) 0 ，g l ( 再) 0 。所以9 ( z ) = 三一xs i n x 一蓦c o s x m a x g ( o ) ，9 ( 琴) ) = 0 ，证毕。 1 3 主要结论的证明 定理1 1 的证明取，( r ) = s i n ( 器) ，r o ，d ，则 ，de 茁p ( 百1 k u 2 ) s i n ( 豸) 如2 i dc 。s ( 荔) e 印( ；k s 2 ) + 等：4 札e 印( ；k u 2 ) c o s ( 筹) d “ 因为e 印( u 2 ) 单调增，c 。s ( 醋) 单调减，u o ，d 由引理1 2 与 理13 得： j f s d u e x p ( ) c o s ( 珈( 小矿1 卜印( 扣灿，8 s ( 焉胁 所以 3 2 d 2 k 丌2 ( d 2 e 印百1k d 2 ) 一e 印百1k s 2 ) ( ；一荔s i n ( 荔) 一c 。s ( 荔) 黜b p ( ) _ e 印( 却 c o s ( 荔) 卜p ( ) s i n ( 荔胁 i 2 d e 印( 百1 k s 2 ) c 。s ( 荔) + 糕b p ( ；k d 2 ) 一e 印( 百1 k s 2 ) c o s ( 荔) z o o z 年 中国科兰苎查查兰里圭兰竺堡奎 二 _ _ 一一 则 f o re x p ( - - d 。扣d 百1 k u 2 ) s i n ( 篆胁 扣2 ) d s ，e 印【百 ) 砒 z 7 i 2 dc 。s ( 荔) d s + ：7 矛1 6 d 可s ( 丽j - 1 ) e z p 唁1k ( d 2 一s 2 ) 】一1 c 。s ( 荔) d s s 等s i n ( 荔) + 丁3 2 d 2 ( j - 1 ) 【e 印( ；k d 2 ) 一l 】s i n ( 荔) ， 这里我们用到竺堕盖掣e x p ( i k 。d 2 ) - 1 由引理11 ，我们有： 艟4 叫) s i n ( 狲卜卅百1 脒) d s ! d 唧( 百1 时) s i n ( 焉胁) _ l 4 。陀 ，e ( o , d ) s i n ( t 。r 。r ) 4 。d 一2s i n ( 荔) + 掣3 2 d 2 ( j e z p ( 百1 d 2 ) 一1 s i n ( ；) 一1 = 薯 1 + ( 弃4 一薯) 【e 酬；尉) 刈一， 证毕 定理12 的证明首先，我们证明若z 2 ，则 1 + ( ；4 一瓤啾字) - 1 旷1 - 一； 一“一瓤印( 7 百1 - 2 x 川- 一番一互x 十( ；4 一扣p ( 等) 堋一争 一+ 4 9 9 3 1 ( 1 一；) ：4 9 9 3 1 2 9 9 6 5 5 z 墨4 9 9 3 l 一2 9 9 6 5 5 j 5 一1 1 。一3 。 由此，立得上述不等式。 n 令z = 筝，由定理1 1 ，当嚣k 等时， 艟万7 ( 2 1 + ( 孑4 一瓤酬) - l 旷1 孑t 2 ( 1 一等) = 孑7 f 2 一j 1 刚* ) 2 0 0 2 年中国科学技术大学硕士学位论文 8 当k 蓐，定理a 保i i e ( ) 成立，当k 可2 7 r 2 ，( ) 是平凡的证毕。 第二章球面上超曲面的等谱问题 2 1 引言 等谱问题是谱理论中最重要的问题之一人们想知道两个等谱的流形是 否是等距的。一般来说，答案是否定的。m i l n o r 给出了第一个反例。然而，在 一些情形下，一个流形的谱确实确定了流行本身的几何结构，例如【7 】【1 0 】 在本文中，我们讨论了球面上全脐点超曲面和全测地超曲面的等谱问题。 2 2 准备知识 设( m “，g ) 为一个n 维r i e m a n n 流形，它的谱为： s p e c 。( f “，g ) = 0 a l ，口= = a i ，g 0 ) 的一个超曲面，则我们有 p = ( a 。) 2 一a ；+ c n ( n 一1 ) ， ( 29 ) i i s 1 2 = ( a ；) ( 沁) 2 + a ；+ c 2 n ( n ik i 2 n 札 ik + 2 c ( n 一1 ) ( 九) 2 2 c ( n 一1 ) a 毛 ( 2 1 0 ) i i r 1 2 = 2 ( a ；) 2 2 碍+ 4 c ( 九) 2 4 c a ；+ 2 c 2 n ( n 一1 ) - ( 2 1 1 ) ii ii 2 0 0 2 年中国科学技术大学硕士学位论文 1 1 引理2 1 的证明由( 2 8 ) 所以 s u 咒枞，= 硒，a t 一九妨+ c ( n 一1 ) 6 i j t p = r 。，= ( a 。) 2 一a ；+ c n ( n i , j ii 1 ) s j 2 = 岛= 饥九一a 。a ，6 。，+ c ( n 一1 ) 文， 2 i , j2 ，j i ( a ；) ( a k ) 2 + a 4 + c 2 n ( n tki 并且 2 增k + 2 c ( n 一1 ) ( 九) 2 2 c ( n 一1 ) a ； iti i r ；肼= a 。( 民k o f 一5 6 j k ) + c ( s i k 6 j z 一5 s j k ) 2 i , j ，k ，ii , j ，f = 2 ( a ；) 2 引理21 证毕。 2 碍+ 4 c ( a ；) 24 c a ；+ 2 c 2 n ( 竹一1 ) 由 7 中的引理2 ，我们有：若c ( n ，q ) = 0 ，( 竹，q ) ( 6 ，5 ) 和( 6 ，1 ) ，则 n 2 5 我们可以得到如下引理： 引理2 2 f n 一4 11 ( q 一1 ) 1 ( n q1 ) ! 若e ( n ，q ) = 0 ，( n ，q ) ( 6 ，5 ) 和( 6 ，1 ) ，贝0 竹2 5 ，令。= 我们有 c 1 ( n ，q ) b o ， c 3 ( n ，口) = 耐1 r 2 1 0 n + 6 ) 。 o ， q ( n ，口) 一2 c 3 ( n ，g ) = l ( n 2 5 + 1 0 n + 6 ) z 0 ( 2 1 2 ) ( 21 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 2 0 0 2 年中国科学技术大学硕士学位论文 1 2 n ( n 一1 ) c t ( 州) + ( n 1 ) c 2 ( n ，q ) + 2 c 3 ( 刚) = 一盍( n 一2 ) ( 佗一3 ) ( n + 2 ) z o ， 【2 1 6 j 且 n 9 1 甘( n 一1 ) 2 c l ( n ，g ) + ( 元+ 1 ) 2 q ( n ，q ) = 一；巾_ 1 ) 2 + 素( 而+ 1 ) 2 ( n 2 + 6 ) 。 = 丽1 一n 3 + 8 n 2 何+ 1 4 n 2 + 1 9 n + 4 8 何+ 2 4 z o ) 上的全脐点超瞳面，s p e c 4 ( m “) 3 s p e c q ( s “( c ) ) ，则 ( 1 ) 若n ( n 一1 ) 6 q ( n q ) ，m “是全测地的 ( 2 ) 若n ( n 一1 ) = 6 q ( n 一口) ，则当n 9 1 或者当2 5 曼n 9 1 ， 盯 0 若n29 1 ，则 一；n ( n 1 ) 2 + 素( 、历+ 1 ) 2 ( n 2 + 6 ) 0 ， ( 2 2 5 ) 式 的最后一项s0 ，从而所有不等式应该为等式特别地，( 2 2 5 ) 式的最后一 项应该为0 ，即a ；= 0 ，m “是全测地的 若2 5 曼n 0 注意题设 口 0 ) 的一个全脐点子流形，s p e c q ( m “) 2 0 0 2 年中国科学技术大学硕士学位论文 1 5 s p e c q ( s “( c ) ) ，则 ( 1 ) 若n 一1 ) 6 q ( n q ) ，m “是全测地的 ( 2 ) 若凡( 几一1 ) = 6 q ( n 一口) ，则当n 9 1 或者当2 5 n 9 1 口 0 ，我们称m po ( c ) 为指数为1 的d es i t t e r 空间。设 m “是浸入到m r l ( c ) 的n 维r i e m a n n 流形m r l ( c ) 的伪r i e m a n n 度量 诱导了m “的r i e m a n n 度量，m “被称为一个类空的超曲面近来，无论是 数学家还是物理学家都对d es i t t e r 空间中的类空超曲面的研究产生了极浓的 兴趣a k u t a g a w a 1 5 1 和r a m a n a t h a n 2 8 1 分别独立地证明了对d es i t t e r 空间 中具有常平均曲率的超曲面，如果平均曲率日满足当n = 2 时，h 2 c ， 当n 3 时，n 2 h 2 4 ( n 一1 ) c ，则它是全脐点的。之后，c h e n g 1 8 将这 一结果推广到d es i t t e r 空间的一般子流形 另一方面，c h e n g 和i s h i k a w a 1 9 1 最近证明全脐点的圆球是s n 十1 中的唯 一的具有常数量曲率s 一 a ar 蚶 1 2 2 0 0 2 年中国科学技术大学硕士学位论文2 2 = ( 伍面一扣2 ) 日佶) 2 + 吣一志硝( 3 3 7 ) 由( 3 3 6 ) ，( 3 3 7 ) ，我们得到如下定理： 定理c ( l i 2 3 ) 设m “是( n + 1 ) 维d es i t t e r 空间m r l ( c ) 中的n 维紧 类空超曲面若 i v 1 2 n 2 i v h l 2( 3 3 8 ) 且 日。 2 ) 是d es i t t e r 空间m p “( c ) 中的n 维紧类空超曲 面若 1 v h 2 芝n 2 t v h l 2( 3 4 5 ) 且 s 2 日寸，2 可以取遍区间【4 ( n 一1 ) n 2 ，。) 中的所有可能的值 另一方面，易见 s = kc o t h 2r + ( 扎一) t a n h 2r 2 v n - 一1 等式当k = 1 且c o t h 2r = 撕再1 时成立，这时要求佗 2 此外 且n 2 时，s 可以取遍区间 2 x f l n - l 1 ，o 。) 中的所有可能的值。 3 4 文献 3 1 中的一些错误 ( 35 0 ) 当k = 1 3 1 】中的( 3 2 ) ，( 3 3 ) ，( 3 4 ) 有错t h ee r r o r sa t ( 3 3 ) ，( 3 4 ) 中的错误是小的打 印错误，但( 3 2 ) 中的错误被运用到后面的计算中这三个式子的正确形式如 n h ( a n + 1 ) 3 ， ( 3 5 1 ) “ 碍 +hn一 又 n = 一 “ r 菱。 中国科学技术大学硕士学位论文 2 5 u r l 0 ，j z l 2 = 又+ t n h 2 i ( 智“) 3 = ( r 1 ) 3 + 3 h i z 2 + n h 3 i l 现在我们用纠正过的( 3 2 ) ，( 3 3 ) ，( 3 4 ) 重新写出( 3 5 ) ；r i j | f j ( a 7 + 1 ( 3 5 2 ) ( 3 5 3 ) z 1 2 ( n o 一3 n i l 2 ) 一n 2 h 4 + ( 智”+ 1 ) 2 一n h ( u ? + 1 ) 3 i o ( 3 5 4 ) 因为式( 3 6 ) ，( 3 7 ) ，( 3 8 ) 是由上述式子导出，从而也是错的，在此不赘述 这些错误对 3 1 】中的定理31 ，推论3 1 ，定理3 2 有很大的影响。 3 1 中的式( 4 4 ) 也有错误，这直接影响了定理3 2 我们将其纠正如下： 一删叫，日隔氓一删功 ：n 。十兰罂：n c + 2 ( 二；! 三呈2 + 罢皇兰： 。一垒= n c 十7 = 三= + l 芦= 一+ i = 一 n c 一；兰 2 、n 一12 n 一1、n 一1 2 、n 一1 从而 3 1 中的式( 4 5 ) 应该是 0 厶。( 1 珊卜舻i v h 2 ) + ( 俨) ( 礼c 一熹v 昔) ( 35 5 ) j m “ t6 1 第四章d es i t t e r 空间超曲面的一个内蕴不等式 4 1 引言 设m ? + 1 ( c ) 是一个( n + 1 ) 维指数为p 的具有常截曲率c 的连通伪r i e f 1 & n f l 流形。它被称为指数为p 的不定空间形式特别的，当p = 0 时，称为不 定空间形式如果c 0 ，我们称聊“( c ) 为指数为1 的d es i t t e r 空间设m “ 是浸入到m ? + 1 ( c ) 的n 维r i e m a n n 流形m ? + 1 ( c ) 的伪r i e m a n n 度量诱导了 m “的r i e m a n n 度量，m “被称为一个类空的超曲面。m o n t i e l 1 1 给出了d e s i t t e r 空间中紧类空超曲面的一个积分不等式，并用此不等式研究了具有常均 曲率的类空超曲面。在本章中，我们考虑指数为1 的d es i t t e r 空间中一般的类 空超曲面，获得一个内蕴不等式，而且我们证明等号成立当且仅当超曲面是全 测地的。然后，我们将此定理应用到e i n s t e i n 类空超曲面我们得到如下结果： 定理4 1 设m “是d es i t t e r 空间m ? + 1 ( c ) ( c 0 ) 的一个类空超曲面， s 和p 分别是m “的r i c c i 曲率张量和数量曲率，则 l s1 2 2 c p ( n 一1 ) 一c 2 n ( n 一1 ) 2 定理4 2 设m “是d es i t t e r 空间m r l ( c ) ( c 0 ) 的一个类空超曲面，s 和p 分别是m “的r i c c i 曲率张量和数量曲率，则is | 2 = 2 c p ( n 一1 ) 一c 2 n ( n 一1 ) 2 当且仅当m “是全测地的。 推论4 1 设m “是d es i t t e r 空间m r l ( c ) ( c 0 ) 的一个类空e i n s t e i n 超 曲面，若其r i c c i 曲率张量为r i c = c ( n 一1 ) 9 ( g 是m “的r i e m a n n 度量) ， 则m ”是全测地的 4 2 准备知识 我们选m e + 1 ( c ) 中的局部伪r i e m a n n 正交标架 e 一，e 。，e n - t - l 使得限 制到m n 上， e ，e 。) 跟m “相切设u h 一，u 。+ - 是其对偶标架场使 2 0 0 2 年中国科学技术大学硕士学位论文 2 7 得m ”1 ( c ) 的伪r i e m a n n 度量为d s 2 = ( 咄) 2 ( 。+ 1 ) 2 = e a a ) 2 ，其 中e 。= 1 ，i = 1 ，n ，e 。+ 1 = 一1 。从而m ”1 ( c ) 的结构方程为 d w = fe b “j a u a b + u 口a = 0 ，( 4 1 ) 日 幽a b = e c “a 。 “e s 一心口c d 0 2 c ( 4 2 ) c 。c 。d k a b c d = c e a e 且( 6 a g 6 b d 一5 a v 6 b c ) ( 4 3 ) 限制到m ”上，我们有 “。+ i = 0 ，( 4 4 ) m “的r i e m a n n 度量为d s 2 = ( 岫) 2 因为0 = d w 。+ l = ec o n + a0 2 i ，由 c a r t a n 引理，我们有 吣= ，= ， 由上述公式，我们得到m “的结构方程 d w 。= 叫ua 屿m ，+ 呦= 0 ， j 凼玎= 一；r 班m k“k 1 r 玎k f = c ( 瓯k 如l 一5 i , s j k ) 一( h i k h f l h i t h j k ) ( 45 ) ( 4 6 ) ( 4 7 1 ( 4 8 ) 其中r i j k t 为m “的曲率张量分量。我们称h = h i j w i c 0 j 为m “的第二 基本形式。m ”的平均曲率日定义为 h = 妄 。 ( 49 ) n 一 对任意z o m “，由( b ) 的对称性，我们可以选择e ”，使得 玎= a 。6 。，( 4 1 0 ) 从而我们有 r u kc = c ( 文k 如l 一6 ：l 岛k ) 九a j ( 民k 岛f 一文f 屯k ) ( 4 1 1 ) 2 0 0 2 年中国科学技术大学硕士学位论文 2 8 4 3 定理的证明 为了证明我们的主要结果，我们需要如下引理 引理4l ( c a u c h y s w a r t z 不等式) 设al ，n 。，b l ，b 。是实数列，则 ( a i b 。) 2 ( 。) 2 ( 幻) 2 ， ( 41 2 ) e i ， 等号成立当且仅当存在常数a 使得a i = 拍。i = 1 ，n ，或者b i = a a i ，i = l ，一，n 引理4 2 设m “是a 卵“c ) ( c 0 ) 的一个类空超曲面若对任意点z m “ 选择适当的正交标架，m “的第二基本形式可以写为( j o ：? j i 引理4 2 的证明 首先，显然a ( z ) = n h ( z ) ，所以a ( z ) 是m “上的一个g 。函数我们令 v a ( z ) a ；( z ) v 2 a ( z ) = a ”( z ) 咄。屿，v = 泓咄。 u k z i ，i ，j ， 由题设和( 2 9 ) ，我们有： h l l = a ( z ) ，h i j = 0 ，( i ，j ) ( 1 ，1 ) r i j k t = c ( s i k s j l 一如如) p = r ：j i j = c n ( n 一1 ) i , j 口= ( h i j ) 2 的l a p l a c i a n 为： z ，j ；口= ( 九。j ) 2 + h i j a h i j ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) 2 0 0 2 年中国科学技术大学硕士学位论文2 9 = ( ) 2 + n 嘞+ ；。+ h i j h k 。郴 i , j , kz , 3 j ，k ，m i , j ，k m 由( 41 3 ) ，( 4 1 4 ) ，我们有 ；a = e ( h i j k ) 2 + a ( z ) a “b ) + c ( n 一1 ) a 2 ( 。) 一 2 j ，k i 另一方面，我们有 盯= a 2 ( z ) 所以 ；a = ；醋( z ) = ( 九( 嚣) ) 2 + 入( 。) k ( 笱) 从而( 4 1 6 ) 可以写为 ( 4 1 6 ) ( 4 1 7 ) ( a 。( z ) ) 2 = ( 玎k ) 2 + c ( 扎一1 ) a 2 ( z ) ( 41 8 ) i l j ，七 由( 4 1 4 ) 和b o n n e t m y e r s 定理，我们知道m “是紧的从而存在点x 使得 a ( z ) 在z 处达到最大值并且在此点有 a “( z ) 0 ，a i ( x ) = 0( 4 1 9 ) 由( 4 1 8 ) ，这意味着m a x 。m n a ( z ) = 0 同理，我们可以得到m i n 。m n a ( x ) = 0 ，所以a ( z ) 三0 ，m “是全测地的 定理4 1 的证明由( 4 1 1 ) 所以 = r k i k j = 一a k a ，( 民k 6 旷6 幻) + c ( s k k s i j d 刈) ) kk s j 2 = 岛= 一九儿+ 九+ c ( n 一1 ) 啪2 i , ji , i k 1 ) 如 2 0 0 2 年 中国科学技术大学硕士学位论文3 0 2 二脒( 0a k ) 2 + 墨2 掣2 玎十c 2 ( 凡一1 ) 2 翰一2 碍儿一2 c ( n 一1 ) 九k u “ 詹 七 + 2 c ( n 一1 ) 九) = ( a ；) ( a t ) 2 + 碍+ c 2 n ( n 一1 ) 2 2 a ? k 一2 c ( n 1 ) ( 九) 2 + 2 c ( n ko l 七f f 4 2 0 1 而且 所以 p = 嘞玎= c ( 1 一曲) 一a i a j ( 1 一如) ， i , ji , j = 一( 九) 2 + a 。2 + c k n 一1 1( 4 2 1 ) i ( 九) 2 = a ；+ c n ( n 一1 ) 一p ( 4 2 2 ) i i s 1 2 = ( 碍) ( a 女) 2 + a ；+ c 2 n 一1 ) 2 2 a ；k 一2 c ( n 1 ) ( 九) 2 + 2 c ( n 一1 ) 碍 = ( 定) ( 碍+ c 扎( n 一1 ) 一p ) + 碍+ c 2 n ( n 一1 ) 2 2 譬k 一2 c ( n 一1 ) ( 蟹+ c n ( n 一1 ) 一p ) + 2 c ( n 一1 ) a ； ( 譬) ( 埒+ c n ( 札一1 ) 一p ) + a ；一2 ( 碍) 5 ( 掘2 ，z 1 ( a ；+ c n ( n 一1 ) 一p ) ot l i i + 2 c ( n 一1 ) p c 2 n ( n 一1 1 2 = ( a ；) 一( 碍) ；( a ；+ c n ( n 1 ) 一p ) ) 2 + 2 c ( n i 兰2 c ( n 1 ) p c 2 n ( n 1 ) 2f 4 ，2 3 ) 第一个不等式用到了引理1 定理1 证毕 2 0 0 2 年中国科学技术大学硕士学位论文 3 1 定理4 2 的证明若m “是全测地的，即a 。= 0 ，i = 1 ，n ，则由( 4 1 3 ) 和 ( 41 4 ) ， 1 s1 2 = c 2 n ( n 一1 ) 2 ，p = c n ( n 一1 ) ( 4 2 4 ) 即is1 2 = 2 c p ( n 一1 ) 一c 2 n ( n 一1