（基础数学专业论文）pun1的离散子群的正规化子及其应用.pdf

p u ( n ，1 ) 的离散子群的正规化子及其应用 中文摘要 摘要 本文给出了邯的全纯等距群p u ( n ，1 ) 的非初等的离散子群g 的正规化 子群离散的充要条件：g 的极限点集l ( g ) 生成复双曲空间的维数是n ； 并证明了当g 是p u ( n ，1 ) 的非初等的无扰离散子群时，作用于体积有限的复 双曲流形h s c 上的等距群是有限群 关键词：非初等的离散子群；正规化子；复双曲流形；体积有限 作者：王晓峰 指导教师：陈敏教授 d i s c r e t e n e s so fn o r m a l i z eo fd i s c r e t es u b g r o u p si np u ( n ，1 ) a n da na p p l i c a t i o na b s t r a c t a b s t r a c t l e tgb ean o n e l e m e n t a r yd i s c r e t es u b g r o u po fp u ( n ，1 ) i nt h i sp a p e r ，w ep r e s e n ta d i m e n s i o nc o n d i t i o nw h i c hc a nb eu s e dt oc h e c kw h e t h e rt h en o r m a l i z e rno fgi sd i s c r e t e w ep r o v et h a tni sd i s c r e t ei fa n do n l yi ft h ed i m e n s i o no fc o m p l e xh y p e r b o l i cs p a c eg e n e r a t e d b yl ( g 、i sn a sac o n s e q u e n c eo ft h er e s u l tw ep r o v et h a ti fgi sn o n - e l e m e n t a r yd i s c r e t e s u b g r o u po fp u ( n ，1 ) a n dd o e s n tc o n t a i ne l l i p t i ce l e m e n t ，t h ev o l u m eo f 奶gi sf i n i t e ，t h e n t h ei s o m e t r yg r o u po fh u ai sf i n i t eg r o u p k e y w o r d s ：d i s c r e t en o n e l e m e n t a r ys u b g r o u p ；n o r m a l i z e ；c o m p l e xh y p e r b o l i cm a n i f o l d i s o m e t r yg r o u p i i w r i t t e nb yw a n gx i a o f e n g s u p e r v i s e db yp r o f c h e nm i n 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育 机构的学位证书而使用过的材料对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明本人承担本声明的法律责任 研究生签名：玉立些日期：! ! ! i ：量：! 王 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合 作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布 ( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名： 王晚肆日期： 竺! i ：s ：b 导师签名： 牲日期：竺弘7 p u ( n ，1 ) 的离散子群的正规化子及其应用 一引言 第一章引言 双曲几何学是一门有着悠久的历史，又有无限活力的学科，它吸引着众 多优秀的数学家投身于对它的研究，并取得了大量的重要成果如k l e i n i a n 群理论、双曲流形理论以及与之相关的t e i c h m f i l e r 理论等，另外s a g a r d ， d s u l l i v a n ，p t u k i a 等在m o s t o w 刚性问题上的工作都充分地展示了上个世纪人 们在实双曲几何学方面取得的重要成就 与实双曲几何相比，复双曲几何的内容更为复杂，对它的研究起步也比 较晚，因此还有许多问题尚未解决，如刚性形变等问题但鉴于复双曲几何 内在的强大生命力及其与其它领域( 如复流形、拓扑学、李群等) 的互动作 用，近年来吸引了越来越多的人参与到对它的研究例如w m g o l d m e n ，j o h n r p a r k e r 等人在复双曲几何方面的成果，以及在2 0 0 2 年北京国际数学家大会 上，s c h w a r t z 关于p u ( 2 ，1 ) 中三角群形变的报告都充分肯定了复双曲几何在 当代数学的重要地位 上世纪九十年代，r a t c l i t t e j 在 1 中将前人的结果进行推广，给出了有 限维实双曲流形的等距变换群是有限群的一般判别条件复双曲流形的等距 变换群在什么条件下是有限群呢? 对这一问题的探讨是一个有趣的课题，本 文使用p u ( n ，1 ) 的非初等的离散子群的正规化子群对这一问题进行了研究 在 2 】中，作者推广了b m a s k i t 3 】中命题e 1 0 的结果，讨论并给出了2 维的复 双曲空间的非初等的离散子群的正规化子群离散的充分条件；本文的第二 p u ( n ，1 ) 的离散子群的正规化子及其应用 一引言 章把上述问题进一步推广到一般的n 维复双曲空间船，并证明了下面的结 果：若g 是n ( n 2 ) 维复双曲空间磁的全纯等距群p u ( n ，1 ) 的非初等的离 散子群，则g 在p u ( n ，1 ) 中的正规化子离散当且仅当g 的极限点集l ( g ) 生成的复双曲空间的维数为n ；作为上述结果的应用，我们还进一步证明了 当g 是p u ( n ，1 ) 的非初等的无扰离散子群时，作用于体积有限的复双曲流形 邵g 的等距群是有限群 p u ( n ，1 ) 的离散子群的正规化子及其应用 二预备知识 第二章复双曲空间基础 我们将具有h e r m i t i a n 形式的n + 1 维的复向量空间c ”+ 1 记为c ，h e r m i t i a n 形式可以有不同的定义方式，本文中，我们选择了由下面的方式给出的 h e r m i t i a n 形式： ( z ，) = 面1 z 1 + + 面。一砜+ 1 + 1 ，即( z ，w ) = w + j z ， 其中z = ( z l ，+ 1 ) 2 ，w = ( 加1 ，- 一，t 工h ，w n + 1 ) 。，z i ，w i c o isn + 1 ) ，w = 铲小( 台三) 据此可将c n ，1 中的元素分为以下三类： u = z l 0 ，z o n , 1 ) ， 让= z l z ，z ) 0 ，z c n , 1 ) ， y o = z l z ，z ) = 0 ，z c n , 1 ) 因为( 入z ，a z ) ：2 ( 互z ) ，a 叭 o ) ，所以我们可以对c ”，1 中+ 1 0 的向 量定义投影： p ：z = ( 主。) 。ht z ，= ( 霎) 称z 为 别在c 中的代表元，则复双曲空间= “硎( z ，z ) o ，z c ) = p ( 亿) ，璐的边界0 h 3 = p ( v o ) 琊中两点间的距离公式户由下面的式子给出： c 。s h 2 ( 刎刁，m ) ) = 嬲 这个度量称为b e r g m a n 度量 3 p u ( n ，1 ) 的离散子群的正规化子及其应用 二预备知识 在本文所取的h e r m i t i a n 形式下，奶同胚于单位球： 鼠= z l l z l l 2 + + i 1 2 1 ，z c n ，1 ) ， 当z = ( 1 ，0 ，o ) 。时，我们定义【z 】= 0 0 我们把保持h e r m i t i a n 形式的g l ( n + 1 ，c ) 的子群记为u ( 佗，1 ) ，若a u ( n ，1 ) ， 则对任意z ，w c n ，一，有( a z ，a w ) = ( z ，w ) ，又因为( z ，w ) = w j z ，( a z ，a w ) = + a + j a z ，所以有j a = z 我们利用p u ( n ，1 ) 中的元素在琊u a 彤中不动点的分布的情况，可将 p u ( n ，1 ) 中的非平凡元分为以下三类：假设，是p u ( n ，1 ) 中的非平凡元，若， 在彤中有不动点，则称，为椭圆元；若，仅有一个不动点且在a 码上，则 称，为抛物元；若，仅有两个不动点且在a 邵上，则称，为斜驶元 船的全纯等距变换群为： p u ( n ，1 ) = u ( n ，1 ) u ( 1 ) ，其中u ( 1 ) = e 徊i o 0 0 令u = 妒p u ( n ，1 ) i p ( 妒 ( x 】) ， x 】) ，( o i 几+ 1 ) ) ，贝0u 为p u ( n ，1 ) 中 记的开邻域，任取g n nu ，有 7 p u ( n ，1 ) 的离散子群的正规化子及其应用三p u ( n ，1 ) 的离散子群的正规化子 p ( f l g 一1 9 ( x 】) ， x 】) = p ( 夕( 【x 】) ，夕五( x 】) ) p ( 9 ( 【x ) ，五( x 】) ) + j 9 ( ( 【x 】) ，9 ( 【x ) ) j d ( 9 ( x 】) ， x ) + p ( ( 【x 】) ，9 ( 】) ) 8 由s 的定义可知f l g 一1 夕= i d ，所以五9 = 夕 ，0 i 礼+ 1 ，所以g 与中 每个元素都可交换 因为对任意i f l ( g ) ，有序列 g m ) ，g m l ( g 7 ) ， 刁琊使得 ( 【别) 一f y 】，( m o 。) ， 又由于 p ( 9 h ( 【z 】) ，夕( g 。( 【z ) ) ) = p o 仇( z 】) ，g 。国( 【z 】) ) ) = p ( 【z 】，夕( 【z 】) ) ， 所以 0 粤bl 鲕( 【z 】) 一9 ( 鲕( z 】) ) i = 0 ， 因此夕( y 】) = i v ，即g 固定l ( g 7 ) 中的每一点因为陬 l ( g ，) ，所以夕( m 】) ： y d ，( 1 i 亿+ 1 ) ，因此9 为椭圆元，从而g 在奶中有不动点，不妨设这个 不动点就是原点0 ，记0 与吲所确定的测地线为厶，由引理l 知，9 ( l ；) ： l t ，( 1 i n + 1 ) 由引理2 可知，l 双向全纯同构于踢，所以我们可以假定l 。上的点的 上方代表元形如( 2 ，0 ，0 ，1 ) 。，其中z = i z l 1 ，且 ( 知，0 ，0 ，1 ) t 】= m 】， 其中i z o l 2 = 1 设b 为9 的上方矩阵，因为g ( l - ) = l 1 ，所以 而 b 卜，c ， 8 p u ( n ，1 ) 的离散子群的正规化子及其应用三p u ( n ，1 ) 的离散子群的正规化子 la z + f 0 l ! l 0 甜+ a z + b c z + d 0 因此9 在l 上的作用可视为上的m s b i u s 变换虿( z ) = 詈等，又因为 g ( l 1 ) = l 1 ，g ( o ) = o ，9 ( k 】) = k 】， 所以 虿( ) = a ，歹( 0 ) = 0 ，歹( 2 ，0 ) = z o 因此 歹( z ) = z ( v z ) 从而g 固定l 1 上的每一点，同理可证g 固定l j ( 2 j 他+ 1 ) 上的每一点 设吼 y 】分别为l ，l 2 上的任意一点，吼 y 】所确定的测地线记为l ，则我 们采用证明g 固定l ，上的每一点的方法，可证明g 固定l 上的每一点，从 而g 固定l ，l z 所生成的奶中的双曲子空间中的每一点，同理可证g 固定 l ，l z ，l s 生成的奶中的双曲子空间中的每一点，反复使用这样的做法，我们 可得g 固定l 1 ，l 2 ，l n + 1 生成的复双曲空间毋中的每一点，所以g = i d ， 因此g 离散 下面我们将证明定理的必要性 设l ( g ) 生成的复双曲子空间为y ，因为9 ( l ( g ) ) = l ( c ) ，所以9 ( y ) = v 若d i m c l ( g ) = m n ，则由引理2 知，y 双向全纯同构于叼，不失一般性， 我们不妨假定y 中点的上方代表元可以写成( 0 ，0 ，一m + 。，钿，1 ) t 设g 的 上方矩阵为a = ( o t j ) ( 1 t ，j n + 1 ) 取0 的上方代表元( o ，0 ，1 ) t ，因为夕( o ) v ，所以 9 p u ( n ，1 ) 的离散子群的正规化子及其应用 三p u ( n ，1 ) 的离散子群的正规化子 的下方投影在y 中， 取 a f 1 1 = 8 1 n + l a n r n n + 1 c h m + 1 n + 1 口n n + l a n + l ，n + l 从而有口1 卅1 = = a n m ，1 = 0 z l = ( o ，o ，麓，0 ，0 ，1 ) ，五0 ，且【z 刁v ( n m + 1 l 死+ 1 ) ，因 g ( v ) = v 所以夕( 】) v ，又因为 所以 a 刀= 口1 i 盈 a n m i z i a n m + 1 。忍 a n t 盈 a n + 1 t 。盈 口1 = = a n m ，i = 0 ，( 礼一m + 1 i n + 1 ) 从而可将a 分块为：a = ( a a 。1a 0 。) ，其 为 中a 。是( n m ) xm m ) 阶矩阵， 也是( m + 1 ) 一m ) 阶矩阵，a 3 是( m - i - 1 ) + 1 ) 阶矩阵，因为a 是可逆的， 所以a 。也是可逆的为讨论问题的方便我们将j 分块为： ，= ( 言玩0 ) ， 其中b i 是 一m ) 一m ) 阶单位矩阵，b z = ( 台三) 是( m + 1 ) ( 仇+ 1 ) 阶矩阵 因为a u ( n ，1 ) ，所以a j a = - ，即 a s 1 ：( b i o 岛0 ) ( 龛 从而有岛a 3 = o ，因为a 3 ，岛都可逆，所 所以 = ( 言兰) 以盈= o ，即a 2 = 0 a = ( 含量) 因为对任意e ( o p 2 7 r ) 有 i 0 p u ( n ，1 ) 的离散子群的正规化子及其应用三p u ( n ，1 ) 的离散子群的正规化子 ( k 0 ”0 ，) ( a 0a 。3k + 1 、 所以它们的投影也可换，因此 内，从而不离散 1 1 p u ( n ，1 ) 的离散子群的正规化子及其应用 四体积有限的复双曲流形 第四章体积有限的复双曲流形 在下面的讨论中，我们假定g 是p u ( n ，1 ) 的非初等的无扰离散子群，并 利用定理1 证明：当h u g 的体积有限时，等距变换群i s o m ( h 苎g ) 是有限群 引理5 ：若奶g 的体积有限，则d i m c l ( g ) = n 证明：记l ( g ) 生成的复双曲子空间为y ，若d i m c l ( g ) = m n ，则由引理 2 知，y n 彤双向全纯同胚于h 8 ，不失一般性，我们不妨假定y 中点的上 方代表元形如( o ，0 ，一。+ 1 ，1 ) t ，由定理l 的证明知g 中元素的上方矩 阵形如( a 。1a 0 。) ，设g 在v 中的d i r i c h l e t 基本域风以原点0 为中心，过。 点与y 正交的测地线记为厶耶中到l 的欧氏距离小于e 的所有点的集合记 为伊( 选取足够小的e ，使得y o n vcd o ) ，则伊中任意一点的上方代表元形 如( z 1 ，一m ，一m + 1 ，1 ) 。其中z 7 = ( o ，o ，一m + 1 ，1 ) 2 的下方投影 在d o 内，鲥z 】) 隹d o ( 夕i d ) ，即( a 。( 钿一。仙0 ，1 ) 。) 的下方投影不在d 0 中 因为 ( 名1a 0 。) c z ，一m ，一m + z ，- ，= ( a 。一。，1 ，t ) ， 所以9 ( 1 2 1 ) 岳v o ，即v o 中的点互不等价，从而伊包含在g 在彤中的基本域 内，因为伊体积无限，所以h u g 的体积是无限的，这与已知磁g 的体积 有限矛盾，所以假设d i m c l ( g ) = m n 不成立，从而d i m c l ( g ) = n 引理6 ：设丁i s o m ( h 吕g ) ，则存在h i s o m ( h 昌) 使得7 。p = p 。h ，并且 1 2 p 【，( n ，1 ) 的离散子群的正规化子及其应用 四体积有限的复双曲流形 h g h 一1 = g 证明：因为p ：彤一彤g 为万有覆盖，所以存在磁的同胚h ，满足 ro 肛= poh ，又由于肛是局部等距映射，r 是等距映射，所以h 是局部等距映 射对任意a ，b 奶，设矿：【0 ，1 】一弼为连接q ，b 的测地线段，因为h 是局部 等距，所以ho 盯：【0 ，i i 一码为可求长曲线段，且长度与盯相同，所以 j 9 ( ( o ) ，危( 6 ) ) p ( a ，6 ) ， 同理可得， p ( h 一1 ( q ) ，h - 1 ( b ) ) p ( q ，b ) ， 所以 p ( a ，”= p ( h 一1 h ( d ) ，h - 1 h ( b ) ) p ( h ( 口) ，h ( 6 ) ) ， 因此对任意d ，b 奶，有 j d ( 九( o ) ， ( 6 ) ) = p ( a ，6 ) ， 所以h 为丑3 的等距变换 对任意g g ，有 po h o go h 一1 = r o p o go h 一1 = r o po h 一1 = p ， 从而h o goh 一1 g ，即h ，所以 h g h 一1 = g 引理7 ：等距变换群i s o m ( 奶g ) 同构于g 证明：任取，n 可以定义映射 ，：奶g _ 蟛g ，g ( z ) hg ( ，( z ) ) 易证厂为满射，因为 1 3 p u ( n ，1 ) 的离散子群的正规化子及其应用四体积有限的复双曲流形 及，( g ( z ) ) ，( g ( z ) ) ) 2 ；n 。fp ( f ( z ) ，夕( 化) ) ) 2 j n “f p ( f ( z ) ，m ( z ) ) ) 2 i n “f p ( x , h ( z ) ) = 及g ( 正) ，g ( 名) ) 所以，i s o m ( h 子c ) ，由引理6 可知妒为满射，其中 虹n i s o m ( h 3 g ) 。 h j ， 又因为 硒( g ( z ) ) = g ( ，( 9 ( z ) ) ) = 厂。矾g ( z ) ) ， 所以妒为同态映射，若氕g ( z ) ) = g ( z ) = g ( ，( 圳( 比磁) ，则，g ，从而 k e r b = g ，所以i s o m ( h 昌a ) 竺 引理8 ：如果商空间娜g 的体积有限，那么 ：q 有限 证明：因为磁g 的体积有限，所以由引理5 知d i m c l ( g ) = 礼，又由定 理1 知离散，从而可取z 磁不为n 中非平凡元固定，做的d i r i c h l e t 基本域d ( z ) 因为v o l 0 d ( z ) = 0 ，所以v o l ( h 子n ) = v o l ( d ( z ) ) 设关于g 的 陪集分解为n = ub i g ，令q = u ( d ( z ) ) 因为对任意z 奶，存在，n ， 使得，( z ) 万两，且，= 耳1 9 ( g g ) ，所以9 ( z ) 0 ，又因为对任意h g ，若 ( q ) nq 咖，则有h = i d ，所以q 为g 的基本域，因为d ( z ) 在鄙中局部有 限，a qcuh d d ( z ) ) ，所以v o t ( a q ) = 0 ，从而v o z ( q ) = v o z ( h 昌a ) ，因为v o t ( h 昌a ) 有限，所以= 揣有限，即 ：g 】有限 定理2 ：若g 为p u ( n ，1 ) 的非初等的无扰的离散子群，且复双曲流形 磁g 的体积有限，则等距变换群i s o m ( h 昌g ) 为有限群 证明：因为等距变换群i s o m ( h 吕) 由p u ( n ，1 ) 与共轭变换，7 生成，所以【 p u ( n ，1 ) 的离散子群的正规化子及其应用四体积有限的复双曲流形 i s o m ( h 昌) ：p u ( n ，i ) i = 2 又因为= p u ( n ，1 ) ，所以【7 ：】= 2 由引理8 可知，n 关于g 的陪集分解为n =u 乜g ，则n 关于g 的陪集分解为 1 墨逛m = u 限g u 零豫功，因此! ：q = 2 m 有限又因为i s o = ( h 3 g ) 掣n g ， 1 5 l m 所以i 鲫n ( 月召g ) 为有限群 1 5 p u ( n ，1 ) 的离散子群的正规化子及其应用 参考文献 参考文献 【1 r a t c l i f f ej , o nt h ei s o m e t r yg r o u p so fh y p e r b o l i cm a n i f o l d s j ，c o n t e m pm a t h ，1 9 9 4 ， 1 6 9 ：4 9 1 4 9 5 2 黄华鹰，p u ( 2 ，1 ) 的k l e i n i a n 子群的正规化子 j 】 苏州大学学报，2 0 0 6 ，2 2 ：2 0 一 【3 m a s k i tb ，k l e i n i a ng r o u p s m ，b e r l i n ：s p r i n g e r v e r l a g ，1 9 8 8 4 】g o l d m e nwm ，c o m p l e xh y p e r b o l i cg e o m e t r y m ，o x f o rm a t h e m a t i c a lm o n o g r a p h s o x f o r d ：o x f o r du n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 9 9 5 】p e k k at u k i a ，c o n v e r g e n c eg r o u p sa n dg r o m o v 7 sm e t r i ch y p e r b o l i cs p a c e s j ，n e w z e a l a n dj o u r n a lo fm a t h e m a t i c s ，1 9 9 4 ，2 3 ：1 5 7 1 8 7 6 】j o h nrp a r k e r ，n o t e so nc o m p l e xh y p e r b o l i cg e o m e t r y l e c t u r en o t e s 【7 】s c h w a r t zr ，c o m p l e xh y p e r b o l i ct r i a n g l eg r o u p s ，i c m ，b c i j i n ，2 0 0 2 【8 】r a t c l i f f ej , f o u n d a t i o n so fh y p e r b o u em a n i f o l d s m ，n e wy o r k ：s p r i n g e r v e r l a g ，1 9 9 4 【9 】9 b e a r d o naf ，t h eg e o